Avaliação II - Individual ALGEBRA

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26/09/23, 22:41 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:883787)
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Prova 70736122
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos 
fluidos. Na matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, em que o produto entre dois vetores tem como 
solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Quanto ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (1, -2, 2) e v = (-3, 1, -2), 
analise as sentenças a seguir:
I. u x v = (-2, 4, 5). 
II. u x v = (-2, -4, -5). 
III. u x v = (2, 4, 5). 
IV. u x v = (2, -4, -5). Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a sentença II está correta.
B Somente a sentença I está correta.
C Somente a sentença IV está correta.
D Somente a sentença III está correta.
A criação do Plano Cartesiano, por René Descartes, possibilitou o avanço de várias áreas da matemática. Uma delas foi trabalhar conceitos 
algébricos de maneira geométrica. Com isto, a Álgebra Vetorial transcendeu o campo abstrato para o campo prático. Numa visão concreta, qual das 
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figuras a seguir é a representação do vetor v = (2, -1) no plano cartesiano?
A Figura 3.
B Figura 2.
C Figura 1.
D Figura 4.
Quando trabalhamos com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação 
entre três vetores. A esta operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular, o módulo deste resultado 
nos calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2, -1, 3), (0, 2, -5), (1, -1, -2) é igual à 19.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2, -1, 3), (0, 2, -5), (1, -1, -2) é igual à 12. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (4, 1, -2), (0, 1, -1), (1, 0, -2) é igual à 7. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (4, 1, -2), (0, 1, -1), (1, 0, -2) é igual à 5.Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - F.
B F - V - V - F.
C V - F - F - V.
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D F - V - F - V.
As operações vetoriais existentes são a soma e a multiplicação por um escalar. Combinando estas operações podemos realizar uma série de outros 
vetores que podem ser aplicados em diversas áreas. Sendo assim, dados os vetores u = (1, -2) e v = (2,-3), assinale a alternativa CORRETA que apresenta 
o vetor resultante da operação w = 2u - 3v:
A w = (0, -3).
B w = (-3, 0).
C w = (-4, 5).
D w = (-4, -5).
Ao falarmos do Produto Interno, podemos nos confundir, muitas vezes. Por exemplo, em física, em particular nas aplicações da teoria da 
Relatividade, o produto interno tem propriedades um pouco diferentes do que as usuais. Podemos ter equívocos quanto ao produto escalar, comumente 
usado na geometria euclidiana, que é um caso especial de produto interno. Portanto, quanto à necessidade de definirmos Produto Interno corretamente, 
analise as sentenças a seguir:
I. O produto interno se faz necessário porque determina se a transformação linear é um operador linear em um espaço gerado. 
II. O produto interno se faz necessário para a generalização dos conceitos de autovalor e autovetor. 
III. O produto interno se faz necessário porque facilita o cálculo do determinante em matrizes quadradas. 
IV. O produto interno se faz necessário por facilitar e tornar mais coerente, num espaço vetorial qualquer, a noção de ângulo entre os vetores.Assinale a 
alternativa CORRETA:
A Somente a sentença IV está correta.
B Somente a sentença I está correta.
C Somente a sentença II está correta.
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D Somente a sentença III está correta.
Ao analisar os Espaços Vetoriais, podemos realizar a análise de sua dimensão. Nesse sentido, é possível relacioná-la com a quantidade de vetores 
LI que geram este espaço. As aplicações deste conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Baseado nisto, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n². 
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômio de grau 3 é igual a 3. 
( ) A dimensão do R² é igual a 3. 
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 2 é igual a 4.Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - V.
B V - F - F - F.
C F - V - F - V.
D V - F - F - V.
Em muitas aplicações não é interessante trabalhar com um espaço vetorial "inteiro", mas com uma parte deste espaço, ou seja, um subespaço, que 
seja constituído pelas combinações lineares de um dado conjunto de vetores. Será, então, conveniente escrever os elementos desse subespaço como 
combinações lineares de um conjunto que contenha o menor número possível de vetores e que estes sejam escritos de forma simplificada. Neste aspecto, 
podemos representar estes subespaços através de bases. Sobre os conjuntos que podem ser bases de R², classifique V para as opções verdadeiras e F para 
as falsas:
( ) {(2, -4),(-1, 2)}. 
( ) {(2, 3),(-6, -9)}. 
( ) {(1, 5),(3, 0)}. 
( ) {(0, 0),(2, 1)}. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B V - F - V - F.
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C V - V - F - F.
D F - F - V - F.
Geometricamente, o produto escalar entre dois vetores u e v é definido como o produto do módulo do vetor u pelo módulo da projeção do vetor v 
sobre u. Essa definição geométrica nos mostra que o produto escalar u · v é positivo quando os vetores u e v estão no mesmo sentido (ângulo θ entre 0 e 
90 graus), negativo quando estão em sentidos opostos (ângulo θ entre 90 e 180 graus) e zero quando são ortogonais (ângulo θ igual a 90 graus). Dois 
vetores, de módulos iguais a 4 e 2, formam entre si um ângulo de 60º. Sobre o valor corresponde ao produto escalar desses vetores, assinale a alternativa 
CORRETA:
A 2.
B 3.
C 4.
D 8.
A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a 
ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida, então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de 
adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. A respeito 
das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de subtração e multiplicação por escalar. 
( ) Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares. 
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço. 
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - F.
B F - F - F - F.
C V - V - F - V.
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D F - V - V - F.
Em Álgebra Linear, podemos identificar o conjunto das matrizes linha, que são aquelas que possuem apenas uma linha como um espaço vetorial. 
Elas respeitam as operações elementares para esta definição. Sendo assim, este espaço vetorial (o das matrizes linha) possui um vetor oposto. Imagine 
uma matriz linha M = [1 -2 -4]. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta seu vetor oposto:
A (-1, 2, 4).
B (-1, -2, 4).
C (1, -2, 4).
D (1, 2, 4).
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