geometria analica 2

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GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
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CONVERSA INICIAL
Quando pensamos em retas, temos muitas aplicações no cotidiano. Linhas retas compõem as
bordas de objetos tais como mesas retangulares, armários e molduras de quadros, dentre outros.
Também aparecem computacionalmente nas bordas de uma tabela, em gráficos ilustrando a variação
de valores tais como preço, produção etc., em delimitadores de páginas da internet e muito mais.
Uma reta está associada a quantidades proporcionais e para representarmos matematicamente uma
reta, precisamos de uma equação associada a ela. Em particular, na geometria analítica,
aprenderemos diferentes maneiras de escrevermos equações de retas. Aprenderemos a identificar
posições relativas entre retas, determinar a intersecção, caso exista e calcular o ângulo formado por
retas.
TEMA 1 – EQUAÇÃO REDUZIDA E EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Uma forma muito comum de representarmos uma reta é por meio da equação reduzida. A
equação reduzida tem a forma
em que a e b são constantes.
Dizemos que a é o coeficiente angular e que o termo b é o coeficiente linear. O coeficiente
angular está associado à inclinação da reta e o coeficiente linear indica o ponto no qual a reta
intercepta o eixo y.
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Podemos pensar em uma aplicação real associada a uma reta. Para isso, vamos imaginar que em
um certo local o litro de água mineral custa R$ 0,50. Como o total a ser pago é proporcional à
quantidade de água adquirida, temos a tabela a seguir, que apresenta o total a ser pago em função
da quantidade adquirida.
Quantidade Total (R$)
0 0,00
1 0,50
2 1,00
3 1,50
4 2,00
5 2,50
Observe que o respectivo gráfico é uma reta.
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Uma outra aplicação muito comum relacionada a retas e que será abordada com mais detalhes
em disciplinas futuras é o que chamamos de mínimos quadrados. Em um problema de mínimos
quadrados, não temos uma reta que passa sobre os pontos dados, mas que se aproxima da melhor
forma destes pontos. Problemas de mínimos quadrados aparecem em diversas situações reais. Por
exemplo, podemos analisar o que ocorre com o custo quando há variações na produção. A tabela a
seguir mostra a relação entre a quantidade produzida por uma determinada empresa e os
respectivos custos.
Produção Custo (R$)
10 123,00
12 145,00
15 190,00
18 226,00
20 240,00
23 285,00
 
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Em duas situações distintas temos exemplos relacionados a retas. Mas como é possível obter os
valores de a e de b para que tenhamos a respectiva equação reduzida da reta?
Há diversas formas. Veremos a seguir alguns exemplos.
Exemplo: Sabendo que a equação reduzida da reta r é y=ax+b, encontre a equação da reta que
passa pelos pontos A(2, 7) e B(6, 19).
Resolução: Uma forma simples para encontrarmos a equação da reta que passa pelos pontos A e
B é substituirmos as coordenadas de cada um desses pontos na equação y=ax+b. Assim, podemos
obter os coeficientes a e b da equação reduzida da reta.
Vamos considerar, inicialmente, o ponto A(2, 7). Note que x=2 e y=7. Vamos substituir os valores
de x e y na equação y=ax+b:
7=a.2+b
Multiplicando a por 2, temos
7=2a+b
ou, equivalentemente,
2a+b=7
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Vamos substituir agora as coordenadas do ponto B (6, 19) na equação y=ax+b. Neste caso, x=6 e
y=19. Portanto
19=a.6+b
Multiplicando a por 6 temos
19=6a+b
que corresponde a
6a+b=19
Como temos duas variáveis e duas equações, vamos resolver o seguinte sistema linear
.
Há vários métodos destinados à resolução de sistemas lineares. Vamos utilizar um conhecido
como método da adição. Relembrando, o método da adição consiste em multiplicarmos as duas
equações por números convenientes de modo que, somando as duas equações, possamos obter
uma nova equação com apenas uma variável. Calculando o valor dessa variável, basta substituí-la em
uma das duas equações originais para que possamos obter o valor da outra variável.
No caso do sistema
,
podemos multiplicar a primeira equação por -1. Essa multiplicação faz com que, ao somarmos as
duas equações, seja possível obtermos uma nova equação contendo agora apenas a variável a.
Multiplicando cada termo da primeira equação por (-1), temos
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Agora podemos somar, termo a termo, as duas equações, ou seja, vamos calcular os valores de
-2a+4a, -b+b e -7+19. Sendo assim, temos
o que resulta em
4a=12
a=12/4
a=3
Como já sabemos o valor de a, podemos calcular o valor de b substituindo este valor em uma
das duas equações. Vamos substituir a por 3 na primeira equação, ou seja, em 2a+b=7, para que
possamos calcular o valor de b:
2(3)+b=7
Multiplicando 2 por 3, temos
6+b=7
b=7-6
b=1
Sabendo que a=3 e que b=1, a equação cartesiana da reta, na forma reduzida, que passa pelos
pontos A e B corresponde a y=3x+1.
Exemplo: Obtenha a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(4, 1) e B(6, 5).
Resolução: Vamos resolver este exemplo de uma forma mais direta para vermos como é simples
a resolução:
Para A(4, 1), temos
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Para B(6, 5), temos
A partir das duas equações, temos o sistema
Substituindo na primeira equação, temos
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Logo, a equação reduzida é
Como na equação reduzida, o termo a é conhecido como coeficiente angular, também podemos
obter a equação a partir de um ponto pertencente à reta e da respectiva inclinação. Basta utilizarmos
. O termo m é o coeficiente angular da reta (o mesmo que a na equação y=ax+b)
e é dado por  ou também por , onde  é a inclinação da reta.
O exemplo a seguir ilustra o uso dela.
Exemplo: Um desenvolvedor de games precisa da equação reduzida da reta para poder fazer a
trajetória, representada em vermelho, da aeronave que tem uma inclinação de 78° em relação à
horizontal e está, inicialmente, no ponto A de coordenadas (300, 100), conforme a figura a seguir.
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Com base nessas informações, qual é a respectiva equação reduzida?
Resolução:
A partir da equação reduzida da reta, podemos determinar, por exemplo, qual é a inclinação da
reta, qual a intersecção da reta com o eixo y, se um dado ponto pertence à reta e muito mais. Nos
exemplos a seguir veremos isso com detalhes.
Exemplo: Determine a inclinação da reta r de equação y=1,2x+3.
Resolução: A inclinação da reta r é dada pelo coeficiente angular a, que é igual à tangente do
ângulo de inclinação dessa reta. Como a=1,2, podemos obter a inclinação da reta através da equação
donde
o que resulta em
Portanto, a inclinação da reta r é igual a 50,19°. Relembrando, o valor do arco tangente de 1,2 é
obtido facilmente com o uso de uma calculadora científica.
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Exemplo: Qual é o ponto de intersecção da reta r de equação y=1,2x+3 com o eixo y.
Resolução: O ponto de intersecção da reta r com o eixo y ocorre quando x é igual a 0. Neste
caso, vamos substituir x por 0 na equação y=1,2x+3.
y=1,2(0)+3
y=0+3
y=3
Portanto o ponto de intersecção procurado tem coordenadas (0, 3).
Note que, quando x é igual a 0, o valor de y coincide com o valor de b da equação y=ax+b.
Exemplo: Verifique se o ponto P(5, 9) pertence à reta r de equação y=1,2x+3.
Resolução: Para verificarmos se um determinado ponto pertence ou não a uma reta, se ao
substituirmos as coordenadas deste ponto naequação da reta, a igualdade precisa valer. No caso do
ponto P(5, 9), basta substituirmos x por 5 e y por 9 na equação y=1,2x+3.
9=1,2(5)+3
9=6+3
9=9
Como a igualdade se verifica, podemos afirmar que o ponto P(5, 9) pertence à reta de equação
y=1,2x+3.
Exemplo: Considere a reta t representada na figura a seguir.
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Com base nas informações apresentadas, escreva a equação reduzida da reta t.
Resolução: Note que neste caso temos a inclinação da reta t em relação ao eixo x e temos
também o ponto de intersecção da reta com o eixo y. Sabemos que a equação reduzida de uma reta
corresponde a
onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Sendo assim, conhecendo os valores de
a e de b podemos encontrar a equação desejada.
O coeficiente angular a corresponde à inclinação da reta t com o eixo x. Sabemos que essa
inclinação é igual a 30°. Como
e como
temos que .
O coeficiente linear b é igual a 4, pois esse é o valor de y no ponto de intersecção da reta t com
o eixo y. Como já temos os valores de a e de b, podemos escrever a equação reduzida da reta t como
sendo
.
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Exemplo: Uma viga reta tem inclinação de 30º e está apoiada em uma torre de 8 metros de
altura. A distância entre o outro ponto onde a viga será apoiada e a torre é igual a 10 metros.
Qual é a equação reduzida da reta associada a essa viga e quais são as coordenadas do ponto
Q?
Resolução: A equação reduzida é dada por
Como , temos . Logo,
Para obtermos b, utilizaremos as coordenadas do ponto P(10, 8). Assim
Portanto,
Para obtermos as coordenadas de Q, vamos considerar x=0:
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Assim, Q(0; 2,33)
Além da equação reduzida, temos a equação cartesiana na forma geral: . É uma
outra maneira de representarmos a equação de uma reta. A forma geral é útil, por exemplo, quando
queremos calcular a distância de um ponto a uma reta.
Exemplo: Seja a reta r definida pela equação reduzida . Escreva a equação de r na
forma geral.
Resolução: A forma geral da equação da reta é dada por . Considerando a equação
, subtrairmos y dos dois membros, ou seja, passarmos o y que está positivo no primeiro
membro para o segundo membro, mas agora com o sinal negativo:
De forma equivalente, temos
que é a respectiva equação geral.
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Veremos a seguir outras formas de representarmos as retas.
TEMA 2 – EQUAÇÃO VETORIAL E EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Uma forma muito simples e muito útil de representarmos retas é a forma vetorial. A ideia
consiste em, a partir de um ponto pertencente à reta e de um vetor que tem a mesma direção da
reta, multiplicarmos o vetor direção por um número real t, que varia de menos infinito até infinito, e
com isto, gerar todos os pontos da reta. Logo,
, 
Graficamente, temos alguns exemplos de pontos pertencentes à reta r para alguns valores de t.
Exemplo: Obtenha a equação vetorial da reta r que contém o ponto A(1, 2) e tem direção dada
pelo vetor .
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Resolução: A figura a seguir mostra o ponto e o vetor:
A equação vetorial é dada por
.
Logo,
Graficamente, temos
Exemplo: Um desenvolvedor de games precisa da equação vetorial da reta para poder fazer a
trajetória, representada em vermelho, da aeronave que tem uma inclinação de 78° em relação à
horizontal e está, inicialmente, no ponto A de coordenadas (300, 100), conforme a figura a seguir.
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Sabendo que o vetor  possui uma inclinação de 78° em relação à horizontal, qual é a
respectiva equação vetorial?
Resolução: A resolução é muito simples. Como temos A(300, 100) e , basta
substituirmos estes elementos na equação
Logo,
que é a respectiva equação vetorial.
Quando separamos os termos em x e y de uma equação vetorial em R2 ou os termos em x, y e z
de uma equação vetorial em R3, temos as equações paramétricas.
Para compreendermos melhor, temos um exemplo: escreva as equações paramétricas da reta
que passa por A(300, 100) e tem vetor diretor .
Resolução:
Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da reta r que contém o ponto A(1, 2) e tem direção
dada pelo vetor .
Resolução: Sabemos que a equação vetorial corresponde a
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Sendo assim, as equações paramétricas são:
onde .
Exemplo: Determine uma equação vetorial da reta r que passa pelos pontos A(1, 3, 6) e B(-2, 3,
3).
Resolução: Vamos utilizar os pontos A e B para definirmos um vetor direção: .
Logo, vamos fazer .
Subtraindo as respectivas componentes, temos
o que resulta em
Como a equação vetorial de r corresponde a
temos
onde .
Exemplo: Encontre uma equação vetorial para a reta r que contém os pontos A(1, 2, 1) e B(2, 3,
3).
Resolução: Podemos observar os pontos A e B na figura a seguir.
 
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Para escrevermos uma equação vetorial para a reta r, precisamos de um vetor direção. Faremos
:
.
Agora que já temos um vetor direção, podemos obter a equação vetorial de r. Sabemos que
.
Logo,
onde .
A figura abaixo apresenta o vetor  e a reta r.
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TEMA 3 – EQUAÇÕES SIMÉTRICAS
Outra forma de representarmos uma reta é por meio das equações simétricas. Observe que se
considerarmos as equações paramétricas de uma reta, isolando t e igualando as equações, temos as
equações simétricas. Para compreendermos melhor, temos o seguinte exemplo.
Exemplo: Obtenha as equações simétricas da reta r que contém o ponto A(1, 2) e tem direção
dada pelo vetor .
Resolução: Na figura a seguir temos o ponto A(1, 2) e o vetor :
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Sabemos que a equação vetorial da reta corresponde a
e que as equações paramétricas são
Para obtermos as equações simétricas, vamos considerar, primeiro, .
Isolando t, temos:
Vamos considerar agora a equação  e em seguida vamos isolar t.
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Finalmente, vamos igualar as equações  e . Assim, temos
que são as equações simétricas da reta que r que contém o ponto A(1, 2) e tem direção dada
pelo vetor .
Observe que nos numeradores de cada fração temos as coordenadas do ponto A e nos
denominadores as componentes do vetor .
Sendo assim, podemos escrever, de uma forma geral, as equações simétricas para retas em R2:
.
Para retas em R3, temos:
.
No exemplo anterior, obtivemos as equações simétricas a partir das equações paramétricas, mas
agora que temos as respectivas fórmulas, podemos escrever as equações simétricas de uma forma
simples e direta substituindo as coordenadas de A e as componentes de  na respectiva fórmula.
Exemplo: Quais são as equações simétricas da reta r que passa por A(2, 3, 4) e tem direção de
?
Resolução: Substituindo as coordenadas de A e as componentes de  em
temos
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que são as respectivas equações simétricas.
Exemplo: A partir das equações simétricas  da reta r, obtenha as respectivas
equações reduzidas.
Resolução: Como estamos tratando de uma reta em R3, as equações reduzidas são dadas por
,
ou seja, escrevemos y e z em função da variável x.
Desta maneira, a partir das equações
,
temos:
 e ,
pois precisamos relacionar y com x e também z com x.
Considerando a equação , temos:
A partir da equação , temos
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Sendo assim, as respectivas equações reduzidas são
.
TEMA 4 – ÂNGULO ENTRE RETAS
Dentro da Geometria Analítica e em muitas áreas do conhecimento, é importantesabermos
calcular o ângulo formado por duas retas. Para obtermos o ângulo entre retas, utilizaremos a fórmula
, com 
onde  e  são os vetores diretores das retas r e s. Graficamente, temos:
Exemplo: Determine o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações
 e 
Resolução: Os vetores diretores de r1 e r2 são, respectivamente,  e . Para
determinarmos qual é o ângulo  entre as retas r1 e r2 vamos utilizar esses vetores. Sabemos que o
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ângulo  pode ser calculado através da relação
Vamos substituir os vetores  e  por  e . Logo
Calculando o produto escalar e os respectivos módulos dos vetores, temos
Portanto, o ângulo  entre as retas r1 e r2 é igual a 59,44°.
Dizemos que duas retas são ortogonais quando o ângulo entre elas é igual a 90°.
Simultaneamente, duas retas são ortogonais quando o produto escalar dos respectivos vetores
diretores é igual a zero:  onde  e  são as direções de  e , respectivamente.
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Se  e  são concorrentes, então  e  são perpendiculares.
Duas retas são concorrentes quando há um ponto de intersecção entre elas.
Exemplo: Mostre que as retas r e s dadas por
 e 
são ortogonais.
Resolução: A ortogonalidade entre duas retas pode ser mostrada facilmente. Basta calcularmos o
produto interno entre os vetores direção  e  das retas r e s. Se  for igual a 0, as retas r e s são
ortogonais. Em particular,  e . Vamos calcular o produto .
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Como o produto interno  é igual a 0, as retas r e s são ortogonais.
Duas retas são paralelas quando o ângulo entre elas é igual a 0.
Exemplo: Considere as retas g e h definidas pelas equações vetoriais g=(1, 9, 6)+t(3, -2, 4) e h:(0,
3, -5)+t(-6, 4, -8). Mostre que g e h são paralelas.
Resolução: Vamos utilizar a relação  para podermos mostrar que as retas g e h
são paralelas. Para isso, basta mostrarmos que o ângulo  formado entre elas é igual a 0°. Os vetores
diretores de g e h são, respectivamente,  e .
Inicialmente precisamos substituir os vetores   e   por   e . Fazendo isto,
temos
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Portanto, as retas g e h são paralelas, pois o ângulo entre elas é igual a 0°.
TEMA 5 – INTERSECÇÃO ENTRE RETAS
Quando existe um ponto P comum às retas r1 e r2, dizemos que elas possuem intersecção.
A intersecção entre segmentos de retas é muito comum de ser observada no cotidiano. Na
representação de uma grade ou na trajetória retilínea de objetos podemos ter intersecções.
Mas como podemos encontrar a intersecção entre retas, caso exista? No exemplo a seguir,
veremos os detalhes.
Exemplo: Considere as retas
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 e .
Determine, caso exista, o ponto P de intersecção destas retas.
Resolução: Duas retas são concorrentes quando há um ponto de intersecção entre elas. Caso
haja um ponto de intersecção entre as retas w e s, então existe um valor de h e um valor de t tal que
as equações paramétricas de w e de s podem ser igualadas em relação aos termos x, y e z.
Os termos que possuem as variáveis t e h devem estar no primeiro membro e os termos
independentes no segundo membro
que corresponde a
Agora, precisamos resolver este sistema de equações lineares. Note que temos três equações e
duas variáveis. Sistemas assim são chamados de sistemas sobredeterminados. Uma maneira de
verificarmos se há uma solução para este sistema é resolvermos, por exemplo, as duas primeiras
equações e, em seguida, verificarmos se a solução obtida satisfaz a terceira equação.
Considerando apenas as duas primeiras equações, temos
Para podermos resolver o sistema pelo método da adição, vamos multiplicar a segunda equação
por -1
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o que resulta em
Vamos agora somar os termos correspondentes dessas equações
Para resolvermos a equação
vamos somar 2t com 0
Para que possamos obter o valor de t, precisamos agora dividir os dois termos da equação por 2
donde
ou, na forma decimal, t=-0,5.
Vamos agora encontrar o valor de h. Para que possamos encontrar o valor de h, vamos substituir
t por -0,5 em uma das duas equações do sistema que acabamos de resolver. A escolha é feita
aleatoriamente. Substituindo t por -0,5 na equação
temos
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Multiplicando 5 por -0,5, temos
Vamos agora somar 2,5 nos dois membros
o que resulta em
que é igual a
Dividindo os dois membros por -2, temos
Dividindo -2 por -2 e 1,5 por -2, temos
Agora que já calculamos os valores de t e de h, precisamos verificar se estes valores também
satisfazem a terceira equação do sistema original. Para isso, vamos substituir os valores de t e de h na
equação
Como t= -0,5 e h= -0,75, temos
Multiplicando 2 por -0,5 e 4 por -0,75, temos
Somando -1 com -3
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Como a igualdade se verificou, t=-0,5 e h=-0,75 correspondem à solução do sistema
Neste caso, podemos concluir então que as retas w e s são concorrentes. Vamos agora
determinar as coordenadas do ponto de intersecção dessas retas.
As coordenadas do ponto de intersecção podem ser obtidas com a substituição de t nas
equações paramétricas de w ou com a substituição de h nas equações paramétricas de s. A escolha é
aleatória. Vamos substituir t=-0,5 nas equações de w
Multiplicando os respectivos valores, temos
O próximo passo é realizar a somas indicadas
Logo, o ponto de intersecção das retas w e s é P(-0,5, 1,5, 2).
FINALIZANDO
Vimos, nesta aula, que as retas são importantes ferramentas na resolução de problemas
abstratos e na resolução de problemas reais. Aprendemos que é possível obtermos a equação
reduzida ou a equação geral a partir de algumas informações, tais como dois pontos dados ou a
partir da inclinação da reta e de um ponto pertencente a ela. Vimos, também, que além da equação
reduzida e da equação geral, podemos ter também a equação vetorial, as equações paramétricas, as
equações simétricas. Aprendemos a calcular o ângulo entre duas retas, analisar posições relativas
entre retas e a obter o ponto de intersecção entre retas.
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