ESTATÍSTICA AULA 4

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ESTATÍSTICA 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Lemermeier Rodrigues 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Iniciamos este tema chamando Larson, no livro Estatística Aplicada. 
“Quando meteorologistas dizem que há uma chance de 90% de chuva ou médico 
dizem que há 35% de chance de sucesso em uma cirurgia, eles estão afirmando 
as possibilidades, ou probabilidades, de que um evento específico ocorra”. 
Em outras palavras, quando alguém nos apresenta um dado probabilístico 
não quer dizer que ele algo que efetivamente vá ocorrer, mas simplesmente que 
há uma comparação relativa entre a ocorrência e a não ocorrência. 
Sendo assim, a probabilidade é a tradução matemática das possibilidades 
de ocorrência ou não ocorrência de um evento. 
Seguindo essa esteira, quando pensamos nas aplicações da 
probabilidade dentro das tomadas de decisões, na realidade estamos pensando 
nas possibilidades de sucesso e insucesso do caso analisado. 
Assim, é disso que se trata o estudo das probabilidades, uma análise 
numérica e muito próxima da realidade de eventuais casos favoráveis e 
desfavoráveis. 
Portanto, voltando à ideia inicial, uma previsão do tempo traz em sentido 
numérico relativo (em porcentagem) a análise do evento “ocorrência de chuva”, 
ou, como no outro exemplo, há uma tradução numérica relativa do evento 
sucesso em uma cirurgia. 
Enfim, esse é o assunto dessa aula, a análise probabilística. Para 
buscarmos melhor compreensão dos assuntos apresentados, todos os tópicos 
trarão exemplificações do contexto apresentado, assim facilitando a assimilação 
dos conceitos apresentados. 
TEMA 1 – ESPAÇO AMOSTRAL 
A análise probabilística, ou o estudo das probabilidades, precisa de um 
substrato bem definido para sua sustentação. 
Tendo por principal característica a comparação relativa, isto é, a 
comparação entre as probabilidades, é fundamental estabelecer um palco de 
atuação das personagens. Sendo assim, o estabelecimento do espaço amostral 
é peça chave nessa análise. 
Definimos espaço amostral S como sendo o conjunto de todos os 
possíveis resultados de um experimento E. 
 
 
3 
Importante que se diga que nesse momento de definição do espaço 
amostral não se estabelecem as margens de sucesso ou insucesso 
individualizadas. 
Portanto, o estabelecimento do espaço amostral deve ser isento de 
vontades e de busca de resultado confirmatório a uma tese. 
Enfim, o espaço amostral ou conjunto universo deve corresponder, 
revelar, todas as possibilidades de ocorrências do evento que se está 
analisando. 
Na definição do espaço amostral não se estabelece qual a possibilidade 
de se ter o resultado desejado, mas sim busca-se estabelecer todos os 
resultados possíveis. 
Tomando por exemplo um experimento que consiste no lançamento de 
um dado. 
Nesse caso, o espaço amostral de um dado seria a coleção de todos os 
resultados possíveis, portanto, o espaço amostra é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Outro exemplo interessante de ser analisado é a possibilidade de acerto 
de seis números (sorteio) dentro de um universo de 60 números, como é o caso 
da Megasena (Loteria da Caixa Econômica Federal). 
 
Crédito: Joa Souza/Shutterstock. 
Nesse caso, temos um total de 6 números escolhidos dentre 60. Portanto, 
uma combinação de 60 números tomados de 6 e 6. 
Matematicamente, como não interessa a ordem de sorteio, usamos a 
fórmula do estudo de análises combinatórias, combinação: 
 
 
4 
 
𝑪𝑪
𝒏𝒏,𝒑𝒑= 𝒏𝒏!𝒑𝒑!∙(𝒏𝒏−𝒑𝒑)!
 
Onde: 
𝑛𝑛 = número de elementos do universo 
𝑝𝑝 = número de elementos que se deseja dentro do universo 
Sendo assim, 
𝑛𝑛 = 60 números (total de números no cartão) 
𝑝𝑝 = 6 números (total de números que devem ser selecionados na aposta) 
 
C
60,6= 60!6!∙(60−6)1=
 
=
60!
6! ∙ 54!
 
 
=
60 ∙ 59 ∙ 58 ∙ 57 ∙ 56 ∙ 55 ∙ 54!
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 54! 
 
=
60 ∙ 59 ∙ 58 ∙ 57 ∙ 56 ∙ 55
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
 
 
50.063.860 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Portanto, nesse caso, teremos um universo de 50.063.860 de 
combinações possíveis de se ter o resultado com 6 números. 
TEMA 2 – EVENTO 
Evento é qualquer conjunto de resultados de um experimento que na 
análise está dentro do espaço amostral, sendo assim vetada a ideia de um 
evento externo ao universo no qual se está analisando. 
Estudaremos dois tipos de eventos: evento simples e evento composto. 
2.1 Evento simples 
É aquele formado por um único elemento do espaço amostral. 
Exemplificando: no lançamento de um dado não viciado, cujo espaço 
amostral é de 6 elementos S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
Crédito: Juan Camilo Jaramillo/shutterstock. 
Um evento simples é resultado da face voltada para cima, no caso da 
imagem, o resultado 6. Nesse caso teremos somente o evento E = {6} 
Outro exemplo interessante é um lançamento de uma moeda não 
viciada. 
 
 
6 
 
 
Crédito: Fat Jackey/Shutterstock. 
 
 
A moeda tem um espaço amostral de dois elementos: 
S = (cara, coroa). Nesse caso, temos o evento simples de ocorrer a face 
coroa e, também, outro evento simples na ocorrência da face cara. 
2.2 Evento Composto 
É aquele que possui mais de um elemento do espaço amostral. 
Exemplificando: no lançamento de um dado não viciado, cujo espaço 
amostral é de 6 elementos S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
Crédito: Viktor Fedorenko/Shutterstock. 
 
 
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Um evento composto é resultado da face voltada para cima, no caso da 
imagem, o resultado seja um número par. Nesse caso teremos três elementos 
no evento: E = {2,4,6}, portanto um evento composto. 
Outro exemplo seria o caso do lançamento sucessível (uma após a 
outra) de duas moedas honestas, no qual importa a ordem dos resultados, em 
que termos como resultado a combinação E = {(cara, cara)} 
 
Crédito: Marcusvdt/Shutterstock. 
Sendo que nesse caso o espaço amostral (resultados possíveis): 
S = {(cara, cara), (cara coroa), (coroa, coroa), (coroa, coroa)} 
2.3 Evento Certo 
Um evento certo é aquele que sempre ocorrerá, isto é, é um tipo de 
evento que em todas as realizações da experiência sempre ocorrerá. 
Esse tipo de evento é representado pelo próprio conjunto que define o 
espaço amostral. 
Exemplificando: no lançamento de um dado não viciado, cujo espaço 
amostral é de 6 elementos S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
 
 
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Crédito: Cameramannz/Shutterstock. 
Um evento certo é resultado da face voltada para cima. No caso da 
imagem, o resultado seja um número maior ou igual a 1 e menor e igual a 6. 
Em outras palavras, um número entre 1 e 6 incluindo os extremos. 
Nesse caso, teremos todas os seis elementos do universo: E = {1, 2, 3, 
4, 5, 6} e, portanto, um evento certo. 
2.4 Evento impossível 
Um evento impossível é aquele que nunca ocorrerá, isto é, é um tipo de 
evento que não tem possibilidade de acontecer. 
Esse tipo de evento é representado pelo conjunto vazio. 
Exemplificando: no lançamento de um dado não viciado, cujo espaço 
amostral é de 6 elementos S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
 
Crédito: Cristina Nakamura/Shutterstock 
Um evento impossível é resultado da face voltada para cima, no caso da 
imagem, seja o número 7. 
Note que o dado não tem nenhuma face com o número 7. 
Portanto o evento será: 
 
Isto é, o evento não tem elemento algum. 
2.5 Evento soma 
 
 
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Evento soma ou evento união é aquele evento que resulta da realização 
de pelo menos um dos eventos do experimento. 
Exemplificando: considerando um baralho completo (52 cartas, 4 
naipes). 
 
Crédito: Maak/Shutterstock. 
Retira-se duas cartas querendo os resultados uma carta do naipe de 
espadas ou uma carta Ás. 
Figura 9 
 
 Crédito: Uglegorets/Shutterstock 
 
 
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Crédito: Nerthuz/Shutterstock. 
Nesse caso, basta um dos eventos ocorrer que o experimento estará 
satisfeito. 
2.6 Evento Produto 
Evento produto ou intersecção é aquele evento que resulta da realização 
de todas as condições do evento do experimento. 
Exemplificando: considerando um baralho completo (52 cartas,4 
naipes). 
 
Crédito: Maak/Shutterstock. 
 
 
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Retira-se uma carta querendo o resultado seja uma carta Ás do naipe de 
espadas. 
 
 
Crédito: Uglegorets/Shutterstock. 
 
 
Crédito: Stephen Marques/Shutterstock. 
Nesse caso, as duas condições do evento devem ocorrer para que o 
experimento seja satisfeito. 
2.7 Evento mutuamente exclusivo 
 
 
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Um evento mutuamente exclusivo é aquele que os eventos do 
experimento não puderem ocorrer simultaneamente, ou seja, a ocorrência de 
um exclui a ocorrência do outro. Isto é, acontece um outro. 
Exemplificando: no lançamento de um dado não viciado, cujo espaço 
amostral é de 6 elementos S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
Crédito: Tviolet/Shutterstock. 
Observa-se o evento do número com a face para cima ser par ou ímpar. 
Nesse caso, temos dois eventos que ocorrem separadamente um do 
outro sem ponto comum. 
𝑭𝑭𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒑𝒑𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂: 𝑬𝑬𝟏𝟏 = {𝟐𝟐,𝟒𝟒,𝟔𝟔} 
𝑭𝑭𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 Í𝒎𝒎𝒑𝒑𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂: 𝑬𝑬𝟐𝟐 + {𝟏𝟏,𝟑𝟑,𝟓𝟓} 
Note que nesse caso não há elemento comum aos eventos, eles são 
independentes. Não há intersecção. 
TEMA 3 – PROBABILIDADE E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
3.1 Probabilidade 
A probabilidade de um acontecimento é a relação entre o número de 
casos favoráveis e o número de casos possíveis. 
Exemplificando: no lançamento de um dado não viciado, cujo espaço 
amostral é de 6 elementos S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual probabilidade de termos o 
número 3 como resultado (face para cima)? 
• espaço amostra: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sendo então 6 possibilidades; e 
• evento: E = {3}, sendo então 1 possibilidade. 
Desta forma, a probabilidade desse experimento: 
𝑷𝑷𝑬𝑬
𝑺𝑺=
𝟏𝟏
𝟔𝟔
 
 
 
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Esse resultado em valor absoluto: 
𝟏𝟏
𝟔𝟔
≅ 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟏𝟏 
Em valores relativos: 
𝟏𝟏
𝟔𝟔
≅ 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟏𝟏% 
Portanto, a probabilidade de acontecer esse evento é de 16,67% em 
relação a todos os possíveis resultados do lançamento de um dado. 
3.2 Distribuição de probabilidade 
Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático para a 
distribuição real de frequências. 
Exemplificando: considerando uma escola na qual se verifica a 
quantidade de faltas diárias, ausências de alunos em uma determinada turma 
durante 30 dias de aulas. 
Número de faltas 
diárias (ausências) 
Número de alunos 
faltantes (ausentes) 
0 18 
1 5 
2 3 
3 2 
4 1 
5 1 
Total 30 
Fonte: Rodrigues, 2021. 
 
A Distribuição de probabilidade desse evento: 
Número de faltas diárias 
(ausências) 
Número de 
alunos faltantes 
(ausentes) 
Probabilidade 
absoluta 
Probabilidade relativa 
(%) 
0 18 18/30 = 0,6 60 
1 5 0,1667 16,67 
2 3 0,1 10 
3 2 0,0667 6,67 
4 1 0,0333 3,33 
5 1 0,0333 3,33 
Total 30 1 100 
Fonte: Rodrigues, 2021. 
 
 
14 
 
TEMA 4 – DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade que é 
usada quando o processo de amostragem é do tipo binomial, ou comumente 
chamado de processo de Bernoulli. 
Esse processo de amostragem se caracteriza quando: 
1. em cada tentativa existem dois resultados possíveis e mutuamente 
exclusivos (sucesso e insucesso); 
2. as tentativas ou observações são eventos independentes; e 
3. a probabilidade de sucesso é permanece constante ao longo do processo. 
Geralmente, denomina-se p a probabilidade de um evento acontecer e q 
a probabilidade de o evento não acontecer. Portanto, temos p + q = 1. Isto é, a 
chance de sucesso somada com a chance de insucesso totaliza 1, em número 
relativo isso representa100%. 
Para efeito de cálculo, denominaremos q = 1 – p é a probabilidade de 
que o evento não ocorra 
 
Onde: 
• N = Total de tentativas; e 
• X = Números de ocorrências desejáveis. 
Exemplo: 
Determinar a probabilidade de ocorrer três vezes o n° 6 em cinco (5) 
lances de um dado honesto. 
Temos: 
• p = 1/6 (chance favorável); 
• q= 5/6 (chance não favorável); 
• N = 5 (total de tentativas); e 
• X = 3 (número de ocorrências desejáveis). 
 
 
 
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TEMA 5 – DISTRIBUIÇÃO DE POISSON E DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
5.1 Distribuição de Poisson 
A distribuição de Poisson pode ser usada para determinar a probabilidade 
de um dado número de sucessos quando os eventos ocorrem sem interrupções, 
isto é, há um fluxo constante de acontecimentos. 
A distribuição de Poisson se assemelha à distribuição binomial, porém a 
diferença fica por conta de tomarmos um média para os eventos favoráveis. 
Desta forma, não precisando lidar com a possibilidade desfavorável. 
Vendo a fórmula: 
 
Onde: 
 
Exemplificando: Supondo que a tutoria de uma disciplina recebe em 
média 10 pedidos, por dia, de orientação em relação ao conteúdo. Qual a 
probabilidade de que, de forma aleatória, seja feita a escolha de um dia que 
tenha 4 tutorias para compor um relatório? 
 
 
5.2 Distribuição normal 
Na definição de Castanheira (2010, p. 167), “a distribuição normal de 
probabilidade é uma distribuição de probabilidade contínua que é simétrica em 
relação à média e mesocúrtica e assíntota em relação ao eixo das abscissas, em 
ambas as direções”. 
A distribuição normal é representa por uma curva é conhecida como Curva 
de Gauss. 
 
 
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Figura 15 – 
 
Fonte: Rodrigues, 2021. 
Essa distribuição tem muita importância nos estudos estatísticos por nos 
trazer uma análise das médias e do desvio padrão. 
NA PRÁTICA 
A probabilidade oferece a oportunidade estratégica de se ter uma previsão 
de como e quando os eventos podem acontecer, isto é, a probabilidade é uma 
ferramenta muito importante na tomada de decisão, pois ela permite de forma 
científica prever situações favoráveis ou até mesmo desfavoráveis em diversos 
eventos. 
 
 
 
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FINALIZANDO 
Nesta aula, você pôde perceber como o mundo matemático da 
probabilidade está intimamente ligado às análises de ambientes e às tomadas 
de decisões. 
Dentro dos estudos da estatística, essa parte de estimação de resultados 
tem absoluta relevância nas estratégias de diversas empresas e governos. Isso 
vai de estudos de viabilidade de sucesso de novos empreendimentos até 
políticas sociais, principalmente as de saúde pública, a exemplo no caso de 
grandes epidemias. 
Enfim, aqui você teve uma introdução aos assuntos. Agora é estudar e se 
aprofundar. 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
CASTANHEIRA, N. P. Estatística Aplicada a todos os níveis. 5. ed. Curitiba: 
IBPEX, 2010. 
LARSON, F. Estatística Aplicada. 4. Ed. São Paulo: Pearson, 2011.