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ÁLGEBRA COMUTATIVA – LISTA 2
ENTREGAR ATÉ DIA 13 DE ABRIL DE 2016
R é um anel comutativo com unidade em todos os exercı́cios.
Exercı́cio 1. Sejam F,M e N três R-módulos. Suponha que F é livre sobre R. Prove
que para todos f ∈ HomR(F,N) e g ∈ HomR(M,N) tal que g(M) = N, existe h ∈
HomR(F,M) tal que f = g◦h.
Exercı́cio 2. Sejam R domı́nio de integridade e M um R- módulo. Defina T (M) := {x ∈
M|{0}R ( AnnR(x)}.
a) Mostre que T (M) é um submódulo de M. Ele é chamado de submódulo de
torção de M.
Dizemos que M é livre de torção se T (M) = {0}M.
b) Mostre que todo R-módulo livre é livre de torção.
c) Mostre que se R é domı́nio de ideiais principais (PID) então todo R- módulo
finitamente gerado e livre de torção é livre.
d) Suponha agora que R não é domı́nio de ideias principais. Dê um exemplo de
um módulo finitamente gerado e livre de torção que não é livre. Justifique sua
resposta.
Exercı́cio 3. Mostre que um módulo livre R⊕Λ é projetivo.
Exercı́cio 4. Sejam Ii ideais de R, onde n≥ 2 e 1≤ i≤ n. Prove que se Ii+ I j = R, para
todos 1≤ i, j ≤ n com i 6= j, então
⋂n
i=1 Ii = ∏
n
i=1 Ii.
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Exercı́cio 5. Sejam F um R-módulo e /0 6= X ⊂ F. Suponha que para todo R- módulo
M e toda aplicação θ : X →M existe um único h ∈ HomR(F,M) tal que h|X = θ. Prove
que F é um R-módulo livre.
Exercı́cio 6. (Lema dos cinco) Considere o diagrama comutativo de R-módulos com
linhas exatas.
M1 −−−→ M2 −−−→ M3 −−−→ M4 −−−→ M5y f1 y f2 y f3 y f4 y f5
N1 −−−→ N2 −−−→ N3 −−−→ N4 −−−→ N5
Mostre que
a) f3 é injetiva se f1 é sobrejetiva e f2 e f4 são injetivas.
b) f3 é sobrejetiva se f5 é injetiva e f2 e f4 são sobrejetivas. (como caso particular
e importante temos que se f1, f2, f4 e f5 são isomorfismos então f3 também o é).
Exercı́cio 7.
(1) Sejam I um ideal de R e M um R-modulo. Mostre que (R/I)⊗R M ∼= M/IM.
(Dica: IM, o submódulo de M gerado por {im : i ∈ I,m ∈ M}, é também a
imagem de certo homomofismo I⊗R M→M.)
(2) Mostre que se I e J são ideais de R, então (R/I)⊗R (R/J) é a R-algebra R/(I+
J).
(3) Sejam m e n números naturais. Descreva, o mais explicitamente possı́vel, os
anéis
(Z/mZ)⊗
Z
(Z/nZ) and Z[x]/(xm) ⊗
Z[x]
Z[x]/(xn).