AV1 - Equações Diferenciais- Roberta Manoela Pinheiro da Silva

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Nome: Roberta Manoela Pinheiro da Silva
Matrícula: 01033613
Curso: Engenharia de Produção
A propositura de atividade com contextualização é de suma importância para a fixação do entendimento sobre o assunto, visto que são apresentadas, circunstâncias que ajudam a formar uma compreensão total a respeito de um tema e não de modo fragmentado, contribuindo assim para a descoberta e construção do conhecimento do aluno, por meio da observação e da participação em atividades autênticas. 
E seguindo, esse ideal juntamente com o cronograma da disciplina, foi disponibilizado um case, contendo uma situação-problema, que para sua resolução será necessário conhecimento acerca de todo o conteúdo apresentado na disciplina de equações diferenciais, visando desenvolver a Transformada de Laplace para encontrar a solução geral da corrente de um circuito elétrico RL, onde o modelo matemático dessa malha gera uma equação diferencial. 
 
Para tanto, a atividade propõe considerar que um circuito RL (resistor-indutor), ou filtro RL, que é um dos circuitos mais simples em termos de filtros eletrônicos de resposta de impulso infinita analógico. Que consiste em um resistor e um indutor, podendo estar ligados tanto em série quanto em paralelo, sendo alimentados por uma fonte de tensão. 
Na situação problema proposta, a finalidade é encontrar a equação da corrente elétrica do circuito RL para 0 ≤ t ≤ 1. Todavia, pretende-se expandir tal resultado para um intervalo de 0 a 4 s, objetivando uma visualização Gráfica. 
Nos últimos anos, a transformada de Laplac, tem sido de grande importância para a engenharia, devido a sua forma simples de resolver problemas relacionados com equações diferenciais. Inicialmente, esse método foi estudado com interesse meramente teórico. Foi introduzida por Pierre-Simon Laplace quando estudava a teoria da probabilidade e as aplicações atuais foram desenvolvidas pelo engenheiro e matemático inglês Oliver Heaviside. 
Ele fez estudos da análise vetorial e a introdução do cálculo operacional para resolver equações diferenciais, especialmente em circuitos elétricos, tornando as equações diferenciais em equações algébricas facilmente resolúveis. Além disso, desenvolveu uma função singular e descontínua onde o valor é zero quando o seu argumento é negativo e o valor é unitário quando o argumento é positivo, conhecida como função Degrau Unitário. Essa função é denotada por u(t - a) é definida por:
Para a Transformada de Laplace da função Degrau Unitário, temos a função Degrau Unitário:
E ao aplicar a Transformada de Laplace, temos:
Já para a determinação de Laplace e da solução geral para i(t), temos o seguinte circuito elétrico RL:
E usando a segunda Lei de Kirchhoff, temos:
A seguir, usando a Transformada de Laplace, temos:
E ao considerar i(0) = 0, é possível observar que:
E utilizando a Transformada inversa, temos:
Dessa forma encontramos a solução geral a seguir:
Assim é possível a identificação gráfica referente à corrente para 0 ≤ t ≤ 4, onde o comportamento da corrente depende da expressão encontrada a seguir:
A corrente aumenta exponencialmente até atingir o valor máximo e decresce exponencialmente até atingir o valor zero. 
Portanto, comportamento da corrente para a tensão aplicada de forma binária entre 0 ≤ t ≤ 4:
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
LUSTOSA, José Ivelton Siqueira. A Transformada de Laplace e algumas aplicações. Mestrado profissional em Matemática, Universidade Federal de Paraíba. João Pessoa, 2017. 
G. Holbrook, J. (1987). Transformada de Laplace para engenheiros eletrônicos. Cal.
RUIZ, L. M.; HERNANDEZ, M. P. (2006). Equações diferenciais e transformada de Laplace com aplicações. Editorial UPV.
SIMMONS, G. F. (1993). Equações diferenciais com aplicações e notas históricas. McGraw-Hill.