ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
Aluno: ANDERSON HEWITSON DOS SANTOS 
Matrícula: 01430904 
Curso: Engenharia Mecânica 
Polo: São Luis/MA 
 
Como estudado durante o decorrer da disciplina, as equações diferenciais são de 
grande importância para resolução de problemas das mais variadas áreas de atuação, 
no contexto da física elétrica, podemos usar equações diferenciais para aplicação em 
circuitos elétricos, e assim, os componentes como resistências (R), indutores (L) e 
capacitores (C). 
No exemplo citado para resolução da atividade proposta, o objetivo é encontrar a 
equação da corrente elétrica do circuito RL 0 ≤ t ≤ 1. Porém, deve-se expandir tal 
resultado para o intervalo de 0 a 4, para obter uma visualização gráfica do 
comportamento da corrente para tensão aplicada de forma binária, de acordo com o 
gráfico apresentado. 
Para chegarmos aos resultados solicitados, se faz necessário a produção de um texto 
com as seguintes informações. 
1 – A definição de função degrau: 
Na estatística e matemática, a função degrau ou (heaviside), que foi criada pelo 
matemático e engenheiro eletricista, Oliver Heaviside, Nascido em 18 de maio de 1850, 
em Londres. Foi um físico que previu a existência da ionosfera, uma camada 
eletricamente condutora na atmosfera superior que reflete as ondas de rádio. 
A função degrau ou heviside unitário é nula para argumento negativo e vale 1 para 
argumento positivo. Quando o argumento é zero, a função não precisa está definida ou 
pode-se definir qualquer valor, isso dependendo do contexto, por exemplo). Note que 
esta é uma função contínua por partes. 
 
 ꭒ (t) = {
0, 𝑡 < 0
1, 𝑡 > 0.
 
 
A função degrau com descontinuidade em t=a é da forma 
 
ꭒ (t − a) = {
0, 𝑡 < a
1, 𝑡 > 𝑎.
 
 
 
 
 
 
2 – Cálculos desenvolvidos para determinar a transformação de Laplace e da solução 
geral para i(t), sendo f(t) uma função definida nos reais não negativos. Quando a integral 
 
 {𝑓(t)} = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 
∞
0
 
 
for convergente, ela se chamará de transformada de Laplace da função 𝑓(𝑡). A 
transformada de Laplace L{ 𝑓(𝑡)} de uma função 𝑓(𝑡) é uma função variável s. A notação 
visual do contexto é a letra minúscula para função e a letra maiúscula para transformada. 
L{ 𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠), L{ 𝑔(𝑡)} = 𝐺(𝑠), L{ ℎ(𝑡)} = 𝐻(𝑠). A seguir, vamos aplicar a definição para 
calcular a transformada de Laplace de algumas funções. 
Exemplo 1-1: iremos calcular a transformada de Laplace da função 𝑓(𝑡)=1: 
 
 {1} = ∫ 1. 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 
∞
0
 
 = lim
𝛼→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 
𝛼
0
 
 = lim
𝛼→∞
 
1−𝑒−𝑠𝛼
𝑠
 
 
O limite lim 
1−𝑒−𝑠𝛼
𝑠
 só existirá se s>0. Desta forma {1} =
1
𝑠²
 s>0. 
Exemplo 1-2: a transformada de Laplace da função 𝑓 (t)=t é calculada fazendo por partes 
sua integração. 
 
 {t} = ∫ 𝑡. 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 
∞
0
 
 = − 
𝑡𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 |
∞
0
 - ∫ − (
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
) 𝑑𝑡.
∞
0
 
 = − 
𝑡𝑒−𝑠𝑡 
𝑠
 |
∞
0
+ 
1
𝑠
∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡.
∞
0
 
 
Onde a notação = − 
𝑡𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 |
∞
0
 indica lim
𝛼→∞
 (− 
𝑡𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 |
∞
0
) podemos observar que, se s > 0, 
a primeira parcela do lado direito é zero e a segunda é 
1 
𝑠
 {1}, isto é: {t} = {1} = 
1
𝑠2
 s ˃ 0. 
Onde podemos usar o exemplo 1.1. 
Exemplo 1.3: Para calcularmos a transformada de Laplace da função f(t)= 𝑡𝑛 usamos a 
ideia aplicada no exemplo 1.2 e escrevemos em termos da transformada de 𝑡𝑛−1. Note 
primeiro a transformada de 𝑡2 e 𝑡3. 
 
 
 
 
 
 
 {𝑡2} = ∫ 𝑡2 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
∞
0
 
 = 
𝑡2 
−𝑠𝑡
𝑠
|
∞
0
 - ∫ (−2𝑡
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
) 𝑑𝑡.
∞
0
 
 = 
2
𝑠
 ∫ 𝑡𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 
2
𝑠
 
∞
0
 {t} = 
2
𝑠
 
1
𝑠2
 = 
2
𝑠2 ³
 s˃0 
 {𝑡3} = ∫ 𝑡3 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
∞
0
 
 = 
𝑡3 
−𝑠𝑡
𝑠
|
∞
0
 - ∫ (−3𝑡²
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
) 𝑑𝑡.
∞
0
 
 = 
3
𝑠
 ∫ 𝑡2𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 
3
𝑠
 
∞
0
 {t²} = 
3
𝑠
 
2
𝑠3
 = 
2
𝑠4 ³
 s˃0 
 
Desta forma podemos chegar à conclusão de qual seria a expressão para transformada 
de 𝑡𝑛 {𝑡𝑛} = 
𝑛!
𝑠𝑛+1
 , s˃0. 
Pelo método de indução, podemos demonstrar a referida expressão matemática. 
3: Ilustração em gráfico referente a corrente para 0≤ t ≤ 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências bibliográficas: 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heaviside 
https://matematicasimplificada.com/funcao-de-heaviside-ou -degrau-unitario/ 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/tdl- 
dexfb01nix00e7x00e3o_de_transformada_de_laplace.html