Transformações de Möbius

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Instituto de Matmática - Departamento de Matemática
Geometria II / Geometria Não-Euclidiana
Profa. Katrin Gelfert
7.∗ Transformações de Möbius
Estude a seguinte proposição, tente demostrar as le-
mas que vão ajudar na demonstração desta afirmação.
Proposição. Duas transformações de Möbius distin-
tas da identidade possuem os mesmos pontos fixos, se
e somente se eles comutam.
Faremos uns observações preparatórias. Nas seguin-
tes afirmações sejam S, T : C∞ → C∞ duas transfor-
mações de Möbius.
Lema 1. Seja R : C∞ → C∞ uma transformações de
Möbius. Considere S̃ = R◦S◦R−1 e T̃ = R◦T ◦R−1.
Então
S ◦ T = T ◦ S ⇔ S̃ ◦ T̃ = T̃ ◦ S̃.
Demonstração. Basta ver que S = R−1 ◦ S̃ ◦ R e
T = R−1 ◦ T̃ ◦R e que S ◦ T̃ = T̃ ◦ S̃ implica
S ◦ T = (R−1 ◦ S̃ ◦R) ◦ (R−1 ◦ T̃ ◦R)
= R−1 ◦ S̃ ◦ T̃ ◦R
= R−1 ◦ T̃ ◦ S̃ ◦R
= (R−1 ◦ T̃ ◦R) ◦ (R−1 ◦ S̃ ◦R)
= T ◦ S.
Da forma análoga S ◦ T = T ◦ S implica S̃ ◦ T̃ =
T̃ ◦ S̃.
Lema 2. Seja R : C∞ → C∞ uma transformações de
Möbius. Considere S̃ = R◦S◦R−1 e T̃ = R◦T ◦R−1.
Então
S e T possuem os mesmos pontos fixos
⇔
S̃ e T̃ possuem os mesmos pontos fixos.
Demonstração. Seja S(v) = v = T (v) um ponto fixo
comum para S e T . Então o ponto ṽ = R(v), usando
v = R−1(ṽ) e
S̃(ṽ) = (R ◦ S ◦R−1)(ṽ) = (R ◦ S)(v) = R(v)
= ṽ
= R(v) = (R ◦ T )(v) = (R ◦ T ◦R−1)(ṽ)
= T̃ (ṽ)
segue que ṽ é ponto fixo comum para S̃ e T̃ .
Lema 3. Para todo v, w ∈ C∞, v 6= w, existe uma
transformações de Möbius R : C∞ → C∞ tal que
R(v) =∞ e R(w) = 0.
Demonstração. Tomar
R(z) =
z − w
z − v
.
Lema 4. Para qualquer a ∈ C, as transformações de
Möbius S e T tem o ponto ∞ como ponto fixo co-
mum se e somente se as transformações de Möbius
S̃(z) = aS(z) e T̃ (z) = aT (z) tem o ponto ∞ como
ponto fixo comum.
Lema 5. Para qualquer a ∈ C, as transformações de
Möbius S e T comutam se e somente se as transfor-
mações de Möbius S̃ e T comutam, onde S̃ é definida
por S̃(z) = aS(z).
Lema 6. Se uma transformação de Möbius é distinta
da identidade, ela tem no máximo 2 pontos fixos.
Demonstração. Por contradição: Se ela tivesse pelo
menos três pontos fixos, ela tem que fixar todos os
pontos de C∞, i.e. ela é a identidade, em contradição
com a hipotese.
Demonstração da Proposição. Sejam S, T : C∞ →
C∞ duas transformações de Möbius, ambas distintas
da identidade.
⇒: Supomos que as transformações de Möbius S e T
possuem os mesmos pontos fixos.
Pelo Lema 6, há dois casos:
1) S e T tem um ponto fixo v
2) S e T tem dois pontos fixos v e w.
Caso 1): Pelos Lemas 1–3 podemos assumir, sem
perda da generalidade, que v =∞.
Portanto, S (e T similar) tem a forma
S(z) =
az + b
c
=
a
c
z +
b
c
, a, b, c ∈ C
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Pelo Lema 4 podemos assumir, sem perda da genera-
lidade, que
S(z) = z + b, T (z) = z + β, b, β ∈ C.
Fácil ver que S e T comutam.
Caso 2): Pelos Lemas 1–3 podemos assumir, sem
perda da generalidade, que v =∞ e w = 0.
Portanto S e T tem a seguinte forma
S(z) = az, T (z) = αz.
Fácil ver que S e T comutam.
⇐: Supomos que as transformações de Möbius S e T
comutam, i.e. S ◦ T = T ◦ S. Portanto
T−1 ◦ S−1 ◦ T ◦ S = id. (0.1)
Pelo Lema 6, para S há dois casos:
1) S tem um ponto fixo v
2) S tem dois pontos fixos v e w.
Caso 1): Pelos Lemas 1–3 podemos assumir, sem
perda da generalidade, que v = ∞ e assim S(∞) =
∞.
Pelos Lemas 4 e 5, podemos assumir, sem perda da
generalidade, que S tem a forma
S(z) = z + β,
para um β 6= 0.
Sem perda da generalidade, podemos assumir que
T (z) =
az + b
cz + d
, a, b, c, d ∈ C, ad− bc = 1.
Usando (0.1) e usando ad− bc = 1 segue
z = T−1 ◦ S−1 ◦ T (z + β)
= T−1 ◦ S−1
(
a(z + β) + b
c(z + β) + d
)
= T−1
(
a(z + β) + b
c(z + β) + d
− β
)
=
z(1− cdβ) + β(1− cd− d2)
zc2β + 1 + c2β2 + cdβ
Portanto, para todo z tem-se
z2c2β = z(1− cdβ − (1 + c2β2 + cdβ))
+ (β(1− cd− d2)).
Comparando coeficientes em z2 segue
c2β = 0 ⇒ c = 0.
Portanto
0 = β(1− d2).
Portanto
d = ±1
Novamente usando 1 = ad − bc = ad segue a = d.
Portanto
T (z) = z + b.
Portanto T (∞) = ∞. Assim mostramos que S e T
fixam o mesmo ponto.
Caso 2). Pelos Lemas 1–3 podemos assumir, sem
perda da generalidade, que v = ∞ w = 0 e assim
S(∞) =∞ e S(0) = 0.
Supomos agora que S tenha dois pontos fixos z e w.
Podemos assumir que z = ∞ e w = 0 e portanto
S(z) = αz, α ∈ C \ {0, 1}.
Da forma análoga ao caso anterior segue que T tem
que fixar também ambos os pontos 0 e ∞.