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AD1 {Álgebra 1} Universidade do Federal Estado do Rio de Janeiro Professor: Gladson Antunes – 2021.1 Questão 1. [2,0 pontos] Decida se as demonstrações abaixo estão completas. Justifique detalhada- mente as suas afirmações. (a) (1,0 ponto) Em um certo livro texto o autor afirma que o gráfico de uma função afim f (isto é, f : R→ R dada por f(x) = ax+ b onde a e b são números reais fixados) é a reta que passa por dois pontos do gráfico de f . Como justificativa desta afirmação ele mostra que os pontos do gráfico de f são colineares (isto é, estão numa mesma reta). Sugestão: lembre-se que tanto a reta como o gráfico de uma função f são conjuntos e use seus conhecimentos sobre igualdade de conjuntos (b) (0,5 ponto) Para provar a afirmação “Todo número par maior que 2 e menor que 101 é a soma de dois números primos” um matemático exibiu 49 exemplos de números pares no intervalo considerado e escreveu cada um deles como a soma de dois números primos. (c) (0,5 ponto) Para provar a afirmação “Todo número par maior que 2 é a soma de dois números primos” um matemático exibiu 250 exemplos de números pares no intervalo considerado e escreveu cada um deles como a soma de dois números primos. Solução: (a) Para provar a afirmação deve-se verificar a igualdade dos conjuntos G =“gráfico da função afim f(x) = ax + b” e r =“reta que passa por dois pontos do gráfico de f ”. O autor apenas mostrou que os pontos de G são colineares, portanto, pertencem a r, isto é, mostrou que G ⊂ r. Faltou mostrar que os pontos da reta pertencem ao gráfico, isto é, que r ⊂ G. Observe que os pontos de um segmento de reta são todos colineares, mas um segmento de reta não é uma reta. (b) Existem exatamente 49 números pares entre 2 e 101, de fato, são os números pertencentes a {n = 2k | k ∈ N e 1 < k < 51}, então a afirmação tem como universo 49 elementos e ele verificou a afirmação para todos, logo a prova está completa. (c) O universo considerado neste caso é o conjunto dos números naturais pares maiores que 2, logo infinito. Sendo, portanto, impossível de se verificar a validade exemplo a exemplo. A solução não está completa porque ainda faltam infinitos casos a se verificar. Critério de correção (a) 0,5 ponto se percebeu que deveria mostrar as duas inclusões. 0,5 ponto se mostrou corretamente que os pontos da reta pertencem ao gráfico. (b) 0,5 ponto se percebeu que a afirmação foi verificada para todos os números pares entre 2 e 101. (c) 0,5 ponto se chamou atenção que o universo considerado neste caso é o conjunto dos números naturais pares maiores que 2, logo infinito. Fazendo com que a prova não possa ser feita pela simples verificação de casos. Questão 2. [2,0 pontos] Mostre a seguinte igualdade entre conjuntos: A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C). Solução: Para mostrar a igualdade entre dois conjuntos devemos mostrar que o primeiro está contido no segundo e que o segundo está contido no primeiro. • A× (B ∩ C) ⊂ (A×B) ∩ (A× C) Tomemos um par ordenado arbitrário (x, y) ∈ A × (B ∩ C). Então x ∈ A e y ∈ B ∩ C, ou seja, x ∈ A, y ∈ B e y ∈ C. Portanto o par ordenado (x, y) é tal que (x, y) ∈ A × B e (x, y) ∈ (A× C), donde concluimos que (x, y) ∈ (A×B) ∩ (A× C). Mostramos assim que todo elemento de A× (B ∩ C) é elemento de (A×B) ∩ (A× C), isto é, A× (B ∩ C) ⊂ (A×B) ∩ (A× C) . • (A×B) ∩ (A× C) ⊂ A× (B ∩ C) Seja agora (x, y) ∈ (A×B) ∩ (A× C), então (x, y) ∈ A×B e (x, y) ∈ (A× C). Note que{ (x, y) ∈ A×B =⇒ x ∈ A e y ∈ B (x, y) ∈ (A× C) =⇒ x ∈ A e y ∈ C, portanto x ∈ A e y ∈ B ∩ C e assim (x, y) ∈ A × (B ∩ C). Mostramos que todo elemento de (A×B) ∩ (A× C) é elemento de A× (B ∩ C), ou seja, mostramos que (A×B) ∩ (A× C) ⊂ A× (B ∩ C) . Com isso concluimos que vale a igualdade entre os conjuntos. Observação: Chamamos a atenção de que utilizando equivalências poderíamos escrever a solução tam- bém da seguinte forma: (x, y) ∈ A× (B ∩ C)⇐⇒ x ∈ A, y ∈ B e y ∈ C ⇐⇒ { (x, y) ∈ A×B (x, y) ∈ (A× C) ⇐⇒ ⇐⇒ (x, y) ∈ (A×B) ∩ (A× C) . Critério de correção • 0,5 ponto se deixou claro ter percebido que precisa provar duas inclusões; • 0,75 por cada inclusão provada corretamente. Questão 3. [2,0 pontos] Ache uma fórmula fechada para a soma n∑ i=2 1 (i− 1) i , para todos os inteiros n ≥ 2 e prove o seu resultado por indução matemática. 2 Solução: Veja que para n = 2, 3 e 4 têm-se: 2∑ i=2 1 (i− 1) i = 1 1 · 2 = 1 2 3∑ i=2 1 (i− 1) i = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 = 1 2 + 1 6 = 2 3 4∑ i=2 1 (i− 1) i = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 = 2 3 + 1 12 = 3 4 agora note que 1 2 = 1− 1 2 , 2 3 = 1− 1 3 e 3 4 = 1− 1 4 . Tal observação nos leva a conjecturar que n∑ i=2 1 (i− 1) i = 1− 1 n , qualquer que seja o n ≥ 2. (1) Vamos agora provar por indução matemática a afirmação em (1). Já verificamos acima que a afirmação é válida para n = 2. Como hipótese de indução vamos supor que a afirmação é válida para n = k, isto é, k∑ i=2 1 (i− 1) i = 1− 1 k . Temos então que verificar que a afirmação ainda é válida para n = k + 1. De fato, k+1∑ i=2 1 (i− 1) i = k∑ i=2 1 (i− 1) i + 1 k (k + 1) = = 1− 1 k + 1 k (k + 1) = k − 1 k + 1 k (k + 1) = = (k2 − 1) k + k k2 (k + 1) = k (k2 − 1 + 1) k2 (k + 1) = k k + 1 = 1− 1 k + 1 , obtendo assim o resultado desejado. Critério de correção • 0,5 ponto se achou corretamente a fórmula fechada; • 0,5 se verificou corretamente o caso n = 2. • 0,5 ponto se formulou corretamente a hipótese de indução. • 0,5 pela conclusão correta da prova. Questão 4. [2,0 pontos] Seja a sequência g0, g1, g2, ... definida como g0 = 12 g1 = 29 gk = 5gk−1 − 6gk−2, ∀ inteiros k ≥ 2. Prove por indução matemática que gn = 5 · 3n + 7 · 2n para todos os inteiros n ≥ 0. Solução: Para n = 0, temos que g0 = 5 · 1 + 7 · 1 = 12 e para n = 1, temos que g1 = 5 · 3 + 7 · 2 = 15 + 14 = 29. Portanto, o passo base é verdadeiro. 3 Nosso passo indutivo será o seguinte: Se k > 1 e a propriedade é verdadeira para todos i, 1 < i < k, então ela deve ser verdadeira para n = k. Devemos mostrar que, para n = k vale: gk = 5 · 3k + 7 · 2k. De fato temos que gk = 5gk−1 − 6gk−2 = = 5 ( 5 · 3k−1 + 7 · 2k−1 ) − 6 ( 5 · 3k−2 + 7 · 2k−2 ) = = 25 · 3k−1 + 35 · 2k−1 − 30 · 3k−2 − 42 · 2k−2 = = 3k−2 (25 · 3− 30) + 2k−2 (35 · 2− 42) = = 3k−2 · 45 + 2k−2 · 28 = 3k−2 · 32 · 5 + 2k−2 · 22 · 7 = = 5 · 3k + 7 · 2k. Critério de correção • 0,5 ponto se verificou corretamente o passo base; • 0,5 se formulou corretamente o passo indutivo. • 1,0 pela conclusão correta da prova. Questão 5. [2,0 pontos] (a) (1,0 ponto) Use o Teorema de Indução para mostrar que a identidade xn + · · ·+ x+ 1 = x n+1 − 1 x− 1 vale para cada n ≥ 1 inteiro. (b) (0,5 ponto) Use o item anterior para calcular a soma dos n primeiros termos da sequência {aqn}n∈N, onde a e q são números reais fixados. (c) (0,5 ponto) Use os ítens anteriores para mostrar que para n ∈ N temos 1 + 1 2 + 1 22 + · · ·+ 1 2n−1 = 2− 1 2n−1 . Solução: (a) A identidade se verifica para n = 1 pois tomando o lado direito da identidade com n = 1 temos x2 − 1 x− 1 = (x+ 1)(x− 1) x− 1 = x+ 1, que é a expressão do primeiro membro com n = 1. Suponha que a expressão valha para algum n ≥ 1 inteiro qualquer (fixado, mas arbitrário). Mostra- remos que ela também vale para n+ 1. De fato, xn+1 + xn + · · ·+ x+ 1 = xn+1 + x n+1 − 1 x− 1 = xn+1(x− 1) + xn+1 − 1 x− 1 = xn+2 − 1 x− 1 . E a afirmação fica provada por indução. (b) A soma dos n primeiros termos da sequência dada é Sn = a+ aq + aq 2 + · · ·+ aqn−1 = a(1 + q + q2 + · · · qn−1) = a ( qn − 1 q − 1 ) 4 (c) Basta escrever a sequência do item anterior com a = 1 e q = 1/2 e obtemos Sn = 1/2n − 1 1/2− 1 = 2− 1 2n−1 Critério de correção (a) • 0,25 ponto se verificou corretamente o caso n = 1; • 0,75 pelo restante da prova feito corretamente. (b) • 0,25 ponto se escreveu corretamente a expressão da soma dos n primeiros termos da sequência dada; • 0,25 pelo restante da prova feito corretamente. (c) • 0,25 para as escolhas corretas para a = 1 e q = 1/2; • 0,25 pelo cálculo correto.Atenção: Entrega da AD1 exclusivamente via postagem pela Plata- forma até o dia 23 de março. 5
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