01 Estruturas cristalinas

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ESTRUTURAS CRISTALINAS 
1. INTRODUÇÃO: 
 O motivo pelo qual estudamos as estruturas cristalinas dos materiais é 
devido ao fato de que as propriedades de muitos desses materiais estão 
diretamente relacionadas às suas estruturas cristalinas. Por exemplo, o 
magnésio e o berílio puros e sem deformação, os quais possuem uma 
determinada estrutura cristalina, são muito mais frágeis, ou seja, fraturam sob 
menores níveis de deformação do que metais puros e sem deformação, tais 
como o ouro e a prata, que possuem outra estrutura cristalina. 
 Além disso, existem diferenças significativas de propriedades entre 
materiais cristalinos e não cristalinos que possuem a mesma composição. Por 
exemplo, as cerâmicas e os polímeros não-cristalinos são, em geral, 
opticamente transparentes; os mesmos materiais na forma cristalina (ou 
semicristalina) tendem a ser opacos ou, na melhor das hipóteses, translúcidos. 
 
2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS: 
 Cristalino: Os materiais sólidos podem ser classificados de acordo com 
a regularidade segundo a qual os átomos ou íons estão arranjados uns em 
relação aos outros. Um material cristalino é aquele em que os átomos estão 
posicionados em um arranjo repetitivo ou periódico ao longo de grandes 
distâncias atômicas, isto é, existe uma ordem de longo alcance, tal que, na 
solidificação, os átomos vão se posicionar em um padrão tridimensional 
repetitivo, no qual cada átomo está ligado aos seus átomos vizinhos mais 
próximos. Todos os metais, muitos materiais cerâmicos e certos polímeros 
formam estruturas cristalinas sob condições normais de solidificação. Naqueles 
materiais que não se cristalizam, essa ordem atômica de longo alcance, está 
ausente, são os denominados materiais não-cristalinos ou amorfos. Um 
exemplo de um material cristalino e de outro não-cristalino pode ser visto na 
figura 1 abaixo. 
2 
 
 
 Figura 1: Estrutura do (a) dióxido de silício cristalino e do (b) dióxido de silício não-
cristalino. 
 
 Estrutura cristalina: Algumas das propriedades dos sólidos cristalinos 
dependem da estrutura cristalina do material, ou seja, da maneira segundo a 
qual os átomos, íons ou moléculas estão espacialmente arranjados. Na 
descrição das estruturas cristalinas, os átomos (ou íons) são considerados 
como esferas sólidas com diâmetros bem definidos. Isso é conhecido como 
modelo atômico da esfera rígida, onde as esferas que representam os átomos 
vizinhos mais próximos se tocam umas nas outras. Existe um número 
extremamente grande de estruturas cristalinas diferentes, todas elas possuindo 
uma ordenação atômica de longo alcance. Essas estruturas cristalinas variam 
desde estruturas relativamente simples, como ocorre nos metais, até estruturas 
excessivamente complexas, como as exibidas por alguns materiais cerâmicos 
e poliméricos. 
 Rede cristalina: Algumas vezes, o termo rede cristalina é utilizado no 
contexto das estruturas cristalinas. Nesse sentido, “rede cristalina” significa um 
arranjo tridimensional de pontos que coincidem com as posições dos átomos 
(ou centro das esferas que os representam). 
 
3. CÉLULAS UNITÁRIAS: 
 A ordenação dos átomos nos sólidos cristalinos indica que pequenos 
grupos de átomos formam um padrão repetitivo. Dessa forma, ao descrever as 
estruturas cristalinas, com freqüência torna-se conveniente subdividir a 
3 
 
estrutura em pequenas entidades que se repetem, chamadas de células 
unitárias. As células unitárias para a maioria das estruturas cristalinas são 
paralelepípedos ou prismas com três conjuntos de faces paralelas. 
 Uma célula unitária é escolhida para representar a simetria da estrutura 
cristalina, onde todas as posições dos átomos no cristal podem ser geradas por 
translações de comprimentos inteiros da célula unitária ao longo de cada uma 
de suas arestas. Nesse sentido, a célula unitária é a unidade básica, ou bloco 
construtivo da estrutura cristalina, e define a estrutura cristalina em virtude de 
sua geometria e das posições dos átomos no seu interior. Em geral, a 
conveniência dita que os vértices do paralelepípedo devem coincidir com os 
centros dos átomos representados na forma de esferas rígidas. Além disso, 
mais do que uma única célula unitária pode ser escolhida para uma estrutura 
cristalina particular. Contudo, usamos normalmente a célula unitária que possui 
o mais alto nível de simetria geométrica. 
 
4. ESTRUTURAS CRISTALINAS DOS METAIS: 
 Como o próprio nome diz a ligação atômica presente no grupo dos 
metais é uma ligação metálica. É uma ligação de natureza não-direcional, 
consequentemente são mínimas as restrições em relação à quantidade e a 
posição dos átomos vizinhos mais próximos. Isso leva a números relativamente 
elevados de vizinhos mais próximos e a empacotamentos compactos dos 
átomos para a maioria das estruturas cristalinas dos metais. Além disso, para 
os metais, ao se utilizar o modelo de esferas rígidas para representar as 
estruturas cristalinas, cada esfera representa um núcleo iônico. Três estruturas 
cristalinas relativamente simples são encontradas para a maioria dos metais 
mais comuns (conforme tabela 1), são elas: 
• Cúbica de faces centradas; 
• Cúbica de corpo centrado; 
• Hexagonal compacta. 
 
4 
 
 
 Tabela 1: Raios atômicos e estruturas cristalinas para 16 metais. (a) CFC: cúbica d 
face centrda, CCC: cúbica de corpo centrado e HC: Hexagonal compacta. (
b
) Um nanômetro 
(nm) equivale a 10
-9
m. 
 
 Estrutura Cristalina Cúbica de Faces Centradas (CFC): A estrutura 
cristalina encontrada em muitos metais possui uma célula unitária com 
geometria cúbica, com os átomos localizados em cada um dos vértices e nos 
centros de todas as faces do cubo. Esta estrutura é chamada apropriadamente 
de estrutura cristalina cúbica de faces centradas. Alguns dos metais mais 
familiares que possuem essa estrutura cristalina são o cobre, o alumínio, a 
prata e o ouro (tabela 1). A figura 2a mostra um modelo de esferas rígidas para 
a célula unitária CFC, enquanto que a figura 2b apresenta os centros dos 
átomos, que são representados por pequenos círculos para proporcionar uma 
melhor perspectiva das posições dos átomos. 
 
 
 
 
 Figura 2: Para uma estrutura cristalina cúbica de faces centradas, (a) uma 
representação da célula unitária por meio de esferas rígidas, (b) uma célula unitária com 
esferas reduzidas e (c) um agregado de muitos átomos na configuração CFC.
 
O agregado de átomos 
consistindo em muitas células unitárias CFC. 
se tocam umas nas outras ao longo de uma diagonal da face. O comprimento 
da aresta do cubo “a” e o raio atômico 
relacionados através da 
 
 
 
 Figura 3: Aresta do cubo “a” e Raio atômico “R” representados numa estrutura cristalina 
CFC. 
 
uma estrutura cristalina cúbica de faces centradas, (a) uma 
representação da célula unitária por meio de esferas rígidas, (b) uma célula unitária com 
esferas reduzidas e (c) um agregado de muitos átomos na configuração CFC. 
agregado de átomos na figura 2c representa uma seção de um cristal 
consistindo em muitas células unitárias CFC. Essas esferas ou núcleos iônicos 
se tocam umas nas outras ao longo de uma diagonal da face. O comprimento 
” e o raio atômico “R”, mostrados na figura 3
relacionados através da seguinte expressão: 
 
 
: Aresta do cubo “a” e Raio atômico “R” representados numa estrutura cristalina 
5 
uma estrutura cristalina cúbica de faces centradas, (a) uma 
representação da célula unitária por meio de esferas rígidas, (b) uma célula unitária com 
 
representa uma seção de um cristal 
Essas esferas ou núcleos iônicos 
se tocam umas nas outras ao longo de uma diagonal da face. O comprimento 
3 abaixo, estão 
: Aresta do cubo “a” e Raio atômico “R” representados numa estrutura cristalina 
 
 O volume dacélula unitária CFC (Vc) pode ser calculado a partir de:
Portanto: 
 
onde: 
 Vc = volume da célula unitária
 R = raio atômico [cm]
 
 Na estrutura cristalina 
por oito células unitárias
pertence a apenas duas células unitárias. Portanto, um oitavo de cada um dos 
oito átomos nos vértices e 
1/8) + (6 * 1/2)), ou um total de 
uma dada célula unitária. Isso está 
apenas as frações das esferas que estão dentro dos limites
unitária engloba o volume do cubo que é gerado a partir dos centros dos 
átomos nos vértices, como mostrado na figura.
 Na verdade, as posições nos vértices e nas faces são equivalentes, isto 
é, a translação do vértice do cubo
para o centro de um átomo localizado em uma das faces não irá 
estrutura da célula unitária.
 Duas outras características importantes de uma estrutura cristalina são o 
número de coordenação
metais, cada átomo possui o mesmo número de vizinhos mais próximos ou 
átomos em contato, o que corresponde ao seu número de coordenação.
estruturas cúbicas de faces centradas, o número de coordenação é 12. Isso 
pode ser confirmado através de um exame 
anterior possui como vizinho mais próximo quatro átomos localizados nos 
vértices ao seu redor, 
contato pelo lado de trás e quatro outros átomos equivalentes nas faces da 
próxima célula unitária, à su
figura. 
célula unitária CFC (Vc) pode ser calculado a partir de:
 
 
Vc = volume da célula unitária [cm³]. 
[cm]. 
cristalina CFC, cada átomo em um vértice é compartilhado 
por oito células unitárias, enquanto um átomo localizado no centro de uma face 
pertence a apenas duas células unitárias. Portanto, um oitavo de cada um dos 
oito átomos nos vértices e metade de cada um dos seis átomos nas faces
, ou um total de quatro átomos inteiros, podem ser atribuídos a 
uma dada célula unitária. Isso está representado na figura 2
apenas as frações das esferas que estão dentro dos limites do cubo. 
unitária engloba o volume do cubo que é gerado a partir dos centros dos 
átomos nos vértices, como mostrado na figura. 
Na verdade, as posições nos vértices e nas faces são equivalentes, isto 
é, a translação do vértice do cubo de um átomo originalmente em um vértice 
para o centro de um átomo localizado em uma das faces não irá 
estrutura da célula unitária. 
Duas outras características importantes de uma estrutura cristalina são o 
número de coordenação e o fator de empacotamento atômico (FEA)
metais, cada átomo possui o mesmo número de vizinhos mais próximos ou 
mos em contato, o que corresponde ao seu número de coordenação.
estruturas cúbicas de faces centradas, o número de coordenação é 12. Isso 
pode ser confirmado através de um exame da figura 2a. O átomo 
anterior possui como vizinho mais próximo quatro átomos localizados nos 
vértices ao seu redor, quatro átomos localizados nas faces que estão em 
contato pelo lado de trás e quatro outros átomos equivalentes nas faces da 
próxima célula unitária, à sua frente, os quais não estão representados na 
6 
célula unitária CFC (Vc) pode ser calculado a partir de: 
CFC, cada átomo em um vértice é compartilhado 
, enquanto um átomo localizado no centro de uma face 
pertence a apenas duas células unitárias. Portanto, um oitavo de cada um dos 
cada um dos seis átomos nas faces ((8 * 
podem ser atribuídos a 
2a, onde estão 
do cubo. A célula 
unitária engloba o volume do cubo que é gerado a partir dos centros dos 
Na verdade, as posições nos vértices e nas faces são equivalentes, isto 
de um átomo originalmente em um vértice 
para o centro de um átomo localizado em uma das faces não irá alterar a 
Duas outras características importantes de uma estrutura cristalina são o 
fator de empacotamento atômico (FEA). Nos 
metais, cada átomo possui o mesmo número de vizinhos mais próximos ou 
mos em contato, o que corresponde ao seu número de coordenação. Para 
estruturas cúbicas de faces centradas, o número de coordenação é 12. Isso 
átomo na face 
anterior possui como vizinho mais próximo quatro átomos localizados nos 
quatro átomos localizados nas faces que estão em 
contato pelo lado de trás e quatro outros átomos equivalentes nas faces da 
a frente, os quais não estão representados na 
 
 O FEA é a soma dos volumes das esferas de todos os átomos no interior 
de uma célula unitária 
rígidas) dividida pelo volume da célula unitária
 
 
 Tanto o volume total dos átomos como o volume da célula unitária 
podem ser calculados em termos do raio atômico R. O volume para uma esfera 
é e uma vez que existem 
volume total dos átomos (ou esferas) é:
 
 Como visto, o volume total da célula unitária é:
 
 Portanto o fator de empacotamento atômico é:
 
 
 Para a estrutura CFC, o fator de empacotamento atômico é 0,74, que é o 
máximo empacotamento possível para 
Tipicamente, os metais possuem fatores de empacotamento atômico 
relativamente elevados, de forma a maximizar a proteção conferida pela nuvem 
de elétrons livres. 
 
 Estrutura Cristalina Cúbica de 
estrutura cristalina comum em metais também po
cúbica, com átomos localizados em todos os oito vértices e um único átomo no 
centro do cubo. Essa estrutura é denominada estrutura 
corpo centrado. Um conjunto de esferas mostrando essa estrutura cristalina 
consta da figura 4c enquanto as 
O FEA é a soma dos volumes das esferas de todos os átomos no interior 
de uma célula unitária (VE) (considerando o modelo atômico das esferas 
) dividida pelo volume da célula unitária (Vc), ou seja: 
, ou,
 
Tanto o volume total dos átomos como o volume da célula unitária 
podem ser calculados em termos do raio atômico R. O volume para uma esfera 
e uma vez que existem quatro átomos por célula unitária 
volume total dos átomos (ou esferas) é: 
 
Como visto, o volume total da célula unitária é: 
 
Portanto o fator de empacotamento atômico é: 
 
Para a estrutura CFC, o fator de empacotamento atômico é 0,74, que é o 
máximo empacotamento possível para esferas de mesmo diâmetro
os metais possuem fatores de empacotamento atômico 
relativamente elevados, de forma a maximizar a proteção conferida pela nuvem 
Estrutura Cristalina Cúbica de Corpo Centrado (CCC)
estrutura cristalina comum em metais também possui uma célula unitária 
cúbica, com átomos localizados em todos os oito vértices e um único átomo no 
centro do cubo. Essa estrutura é denominada estrutura cristalina cúbica de 
Um conjunto de esferas mostrando essa estrutura cristalina 
c enquanto as figuras 4a e 4b são diagramas
7 
O FEA é a soma dos volumes das esferas de todos os átomos no interior 
(considerando o modelo atômico das esferas 
, ou, 
Tanto o volume total dos átomos como o volume da célula unitária 
podem ser calculados em termos do raio atômico R. O volume para uma esfera 
átomos por célula unitária CFC, o 
Para a estrutura CFC, o fator de empacotamento atômico é 0,74, que é o 
esferas de mesmo diâmetro. 
os metais possuem fatores de empacotamento atômico 
relativamente elevados, de forma a maximizar a proteção conferida pela nuvem 
o (CCC): Outra 
ssui uma célula unitária 
cúbica, com átomos localizados em todos os oito vértices e um único átomo no 
cristalina cúbica de 
Um conjunto de esferas mostrando essa estrutura cristalina 
são diagramas de células 
 
unitárias CCC com os átomos representados pelos modelos de esferas rígidas 
e de esferas reduzidas, respectivamente.
 
 Figura 4: Estrutura cristalina cúbica de corpo centrado. (a) representação da célula 
unitária por meio de esferas rígidas. (b) célula unitária com esferas reduzidas. (c) um agregado 
de muitos átomos. 
 
 Os átomos no centro e nos vértices se tocam uns nos outros ao longo 
das diagonais do cubo e o comprimento da célula unitária 
“R” estão relacionados pela expressão:
Ovolume da célula unitária C
Portanto: 
 
onde: 
unitárias CCC com os átomos representados pelos modelos de esferas rígidas 
e de esferas reduzidas, respectivamente. 
 
cristalina cúbica de corpo centrado. (a) representação da célula 
unitária por meio de esferas rígidas. (b) célula unitária com esferas reduzidas. (c) um agregado 
Os átomos no centro e nos vértices se tocam uns nos outros ao longo 
iagonais do cubo e o comprimento da célula unitária “a” e o raio atômico 
estão relacionados pela expressão: 
 
 
O volume da célula unitária CCC (Vc) pode ser calculado a partir de:
 
8 
unitárias CCC com os átomos representados pelos modelos de esferas rígidas 
cristalina cúbica de corpo centrado. (a) representação da célula 
unitária por meio de esferas rígidas. (b) célula unitária com esferas reduzidas. (c) um agregado 
Os átomos no centro e nos vértices se tocam uns nos outros ao longo 
e o raio atômico 
C (Vc) pode ser calculado a partir de: 
 
 Vc = volume da célula unitária [cm³].
 R = raio atômico [cm].
 
 O fator de empacotamento atômico para a estrutura CCC é obtido da 
mesma maneira que visto para a estrutura CFC, ou seja:
 
célula unitária) considera 
 O cromo, o ferro e o tungstênio, assim como vários outros metais 
listados na tabela 1, exibem
a cada célula unitária CCC: o equivalente a um átomo devido aos oito vértices 
do cubo, onde cada átomo é
átomo no centro do cubo, que se encontra totalmente contido no interior de sua 
célula unitária. Adicionalmente, 
equivalentes. O número de coordenação para a est
Cada átomo central possui como seus vizinhos mais próximos oito átomos 
localizados nos vértices. Uma vez que o número de coordenação é menor na 
estrutura CCC do que na estrutura CFC, o fator de empacotamento atômico na 
estrutura CCC também é menor, ou seja, 0,68 na CCC contra 0,74 da CFC.
 
 Estrutura Cristalina 
possuem células unitárias com simetria cúbica. A última estrutura cristalina 
comumente encontrada nos metais a ser discutida tem uma célula unitária que 
é hexagonal. A figura 5
para essa estrutura, chamada de hexagonal compacta (HC). Uma montagem 
de várias células unitárias HC 
As faces superior e inferior da célula unitária são compostas por seis 
átomos que formam hexágonos regulares e que 
átomo central, como apresentado na 
com três átomos adicionais para a célula unitária está localizado entre os 
planos superior e inferior. Os átomos nesse plano intermediário possuem como 
vizinhos mais próximos átomos nos dois planos adjacentes. O equivalente a 
seis átomos está contido em cada célula unitária
Vc = volume da célula unitária [cm³]. 
raio atômico [cm]. 
O fator de empacotamento atômico para a estrutura CCC é obtido da 
mesma maneira que visto para a estrutura CFC, ou seja: 
 onde VE (volume dos átomos (ou esferas) em uma 
célula unitária) considera os dois átomos presentes na estrutura CCC
O cromo, o ferro e o tungstênio, assim como vários outros metais 
, exibem uma estrutura CCC. Dois átomos estão associados 
a cada célula unitária CCC: o equivalente a um átomo devido aos oito vértices 
do cubo, onde cada átomo é compartilhado por oito células unitárias, e ao 
átomo no centro do cubo, que se encontra totalmente contido no interior de sua 
Adicionalmente, as posições atômicas central e nos vértices são 
equivalentes. O número de coordenação para a estrutura cristalina CCC é 8. 
Cada átomo central possui como seus vizinhos mais próximos oito átomos 
localizados nos vértices. Uma vez que o número de coordenação é menor na 
estrutura CCC do que na estrutura CFC, o fator de empacotamento atômico na 
CCC também é menor, ou seja, 0,68 na CCC contra 0,74 da CFC.
Estrutura Cristalina Hexagonal Compacta (HC): Nem todos os metais 
possuem células unitárias com simetria cúbica. A última estrutura cristalina 
comumente encontrada nos metais a ser discutida tem uma célula unitária que 
5a mostra uma célula unitária com esferas reduzidas 
estrutura, chamada de hexagonal compacta (HC). Uma montagem 
de várias células unitárias HC está representada na figura 5c. 
superior e inferior da célula unitária são compostas por seis 
átomos que formam hexágonos regulares e que estão ao redor de
, como apresentado na figura 5a. Um outro plano que contribui 
com três átomos adicionais para a célula unitária está localizado entre os 
planos superior e inferior. Os átomos nesse plano intermediário possuem como 
próximos átomos nos dois planos adjacentes. O equivalente a 
seis átomos está contido em cada célula unitária completa: um sexto de cada 
9 
O fator de empacotamento atômico para a estrutura CCC é obtido da 
(volume dos átomos (ou esferas) em uma 
ura CCC. 
O cromo, o ferro e o tungstênio, assim como vários outros metais 
. Dois átomos estão associados 
a cada célula unitária CCC: o equivalente a um átomo devido aos oito vértices 
compartilhado por oito células unitárias, e ao 
átomo no centro do cubo, que se encontra totalmente contido no interior de sua 
posições atômicas central e nos vértices são 
rutura cristalina CCC é 8. 
Cada átomo central possui como seus vizinhos mais próximos oito átomos 
localizados nos vértices. Uma vez que o número de coordenação é menor na 
estrutura CCC do que na estrutura CFC, o fator de empacotamento atômico na 
CCC também é menor, ou seja, 0,68 na CCC contra 0,74 da CFC. 
Nem todos os metais 
possuem células unitárias com simetria cúbica. A última estrutura cristalina 
comumente encontrada nos metais a ser discutida tem uma célula unitária que 
mostra uma célula unitária com esferas reduzidas 
estrutura, chamada de hexagonal compacta (HC). Uma montagem 
superior e inferior da célula unitária são compostas por seis 
estão ao redor de um único 
. Um outro plano que contribui 
com três átomos adicionais para a célula unitária está localizado entre os 
planos superior e inferior. Os átomos nesse plano intermediário possuem como 
próximos átomos nos dois planos adjacentes. O equivalente a 
: um sexto de cada 
10 
 
um dos 12 átomos localizados nos vértices das faces superior e inferior, 
metade de cada um dos dois átomos no centro das faces superior e inferior e 
todos os três átomos interiores do plano intermediário. Se “a” e “c” 
representarem, respectivamente, as dimensões menor e maior da célula 
unitária mostrada na figura 5a, a razão c/a deve ser de 1,633. Entretanto, em 
alguns metais com estrutura cristalina HC, essa razão se desvia do valor ideal. 
 A célula unitária hexagonal convencional consiste, na realidade, em um 
paralelepípedo, que está contido dentro do hexágono. Uma representação 
deste paralelepípedo está indicada na figura 5b, sendo compreendido pelas 
letras “ABCD” e “EFGH”, com “J” ao centro. Cada paralelepípedo contém dois 
átomos. 
 
 
 Figura 5: Estrutura cristalina hexagonal compacta (HC). Em (a) se tem uma 
representação da célula unitária hexagonal, que é composta por três paralelepípedos, 
compreendendo portanto um total de seis átomos. Em (b) se tem o empacotamento real dos 
átomos dentro de uma célula unitária hexagonal convencional que contém dois átomos ( 1 + (4 
* 1/6) + (4 * 1/12) = 2 átomos); observe que o átomo do meio se estende além dos limites do 
paralelepípedo que é a célula unitária. Em (c) um agregado de muitos átomos numa estrutura 
hexagonal compacta. 
 
 
 O volume da estrutura hexagonal compacta é igual a:
 
 
O fator de empacotamento atômico para
da mesma maneira que visto para as estruturas CFC e CCC, ou seja:
 
célula unitária) considera o total de 
estrutura HC. 
 
Figura 6: Estrutura cristalina hexagonal compacta (HC). Em
atômico, em (b) átomos dentro da célula unitária.
 
 Através de recurso fotográfico é possível notar o perfil hexagonal 
presente na estrutura do Magnésio, como 
único feixe incidente de Raio X atinge o monocristal que causa difração devido 
seus planos cristalográficos
atingem a chapa fotográfica. O resultadohexagonal oriunda da estrutura hexagonal compacta do Magnésio.
O volume da estrutura hexagonal compacta é igual a: 
 
O fator de empacotamento atômico para a estrutura hexagonal é obtido 
da mesma maneira que visto para as estruturas CFC e CCC, ou seja:
 onde VE (volume dos átomos (ou esferas) em uma 
célula unitária) considera o total de seis átomos (figura 6b) 
 
cristalina hexagonal compacta (HC). Em (a) átomos num arranjo 
atômico, em (b) átomos dentro da célula unitária. 
Através de recurso fotográfico é possível notar o perfil hexagonal 
presente na estrutura do Magnésio, como representado na figura 7 abaixo
único feixe incidente de Raio X atinge o monocristal que causa difração devido 
seus planos cristalográficos, o que dá origem a vários feixes difratados que 
atingem a chapa fotográfica. O resultado da revelação da chapa 
exagonal oriunda da estrutura hexagonal compacta do Magnésio.
11 
a estrutura hexagonal é obtido 
da mesma maneira que visto para as estruturas CFC e CCC, ou seja: 
(volume dos átomos (ou esferas) em uma 
) presentes na 
(a) átomos num arranjo 
Através de recurso fotográfico é possível notar o perfil hexagonal 
figura 7 abaixo. Um 
único feixe incidente de Raio X atinge o monocristal que causa difração devido 
o que dá origem a vários feixes difratados que 
da revelação da chapa é uma simetria 
exagonal oriunda da estrutura hexagonal compacta do Magnésio. 
 
Figura 7: Fotografia da difração d
 
5. CÁLCULO DA DENSIDADE 
 O conhecimento da estrutura de sólido metálico permite o cálculo de sua 
densidade teórica “ρ” (Rô) através da relação:
 
onde: 
 ρ = densidade teórica
 n = número de átomos associados a cada célula unitária.
 A = peso atômico 
 Vc = volume da célula unitária
 NA = número de Avogadro (6,023 x 10
 
6. ESTRUTURAS CRISTALINAS DAS CERÂMICAS
 Uma vez que as cerâmicas são compostas por pelo menos dois 
elementos, e frequentemente mais do que isso, suas estruturas cristalinas são, 
em geral, mais complexas
atômica nesses materiais varia desde puramente iônica até totalmente 
covalente. Muitas cerâmicas
ligação, sendo o nível do caráter iônico dependente das el
dos átomos. 
 Para aqueles materiais cerâmicos em que a ligação atômica é 
predominantemente iônica, as estruturas cristalinas podem ser consideradas 
da difração do raio X na estrutura HC do Magnésio.
A DENSIDADE - METAIS: 
conhecimento da estrutura de sólido metálico permite o cálculo de sua 
ô) através da relação: 
 
teórica [g/cm3]. 
= número de átomos associados a cada célula unitária. 
 [g/mol]. 
Vc = volume da célula unitária [cm³]. 
número de Avogadro (6,023 x 1023 átomos/mol). 
ESTRUTURAS CRISTALINAS DAS CERÂMICAS: 
que as cerâmicas são compostas por pelo menos dois 
elementos, e frequentemente mais do que isso, suas estruturas cristalinas são, 
complexas do que aquelas exibidas pelos metais. 
atômica nesses materiais varia desde puramente iônica até totalmente 
covalente. Muitas cerâmicas exibem uma combinação desses dois tipos de 
ligação, sendo o nível do caráter iônico dependente das eletronegatividades 
Para aqueles materiais cerâmicos em que a ligação atômica é 
predominantemente iônica, as estruturas cristalinas podem ser consideradas 
12 
 
estrutura HC do Magnésio. 
conhecimento da estrutura de sólido metálico permite o cálculo de sua 
 
que as cerâmicas são compostas por pelo menos dois 
elementos, e frequentemente mais do que isso, suas estruturas cristalinas são, 
do que aquelas exibidas pelos metais. A ligação 
atômica nesses materiais varia desde puramente iônica até totalmente 
exibem uma combinação desses dois tipos de 
etronegatividades 
Para aqueles materiais cerâmicos em que a ligação atômica é 
predominantemente iônica, as estruturas cristalinas podem ser consideradas 
13 
 
como sendo compostas por íons eletricamente carregados, não por átomos. Os 
íons metálicos, ou cátions, estão carregados positivamente, pois eles cederam 
seus elétrons de valência para os íons não-metálicos, ou ânions, que por sua 
vez estão carregados negativamente. Duas características dos íons que 
compõem os materiais cerâmicos cristalinos influenciam a estrutura do cristal: a 
magnitude da carga elétrica de cada um dos íons componentes e os tamanhos 
relativos dos cátions e dos ânions. 
 Estruturas cerâmicas cristalinas estáveis são formadas quando aqueles 
ânions que estão ao redor de um cátion estão todos em contato com aquele 
cátion. A figura 8 apresenta configurações estáveis e instáveis para uma 
estrutura. O número de coordenação, isto é, o número de ânions vizinhos mais 
próximos para um cátion, está relacionado à razão entre os raios do cátion e do 
ânion. Para um modelo de coordenação específico, existe uma razão rc/rA 
crítica ou mínima para a qual esse contato cátion-ânion é estabelecido (figura 
8), onde essa razão crítica pode ser determinada a partir de considerações 
puramente geométricas. 
 
 Figura 8: Configurações de coordenação ânion-cátion estáveis e instáveis. Os círculos 
brancos representam os ânions. Os círculos reticulados representam os cátions. 
 
Os números de coordenação e as geometrias em relação aos vizinhos 
mais próximos para diferentes valores da razão rc/rA estão representados na 
tabela 2. Por exemplo, para as razões rc/rA menores do que 0,155, o cátion, 
que é muito pequeno em relação ao tamanho do ânion, está ligado a dois 
ânions de uma maneira linear. Se a razão rc/rA tem um valor em 0,155 e 0,225 
o número de coordenação para o cátion é 3. Isso significa que cada cátion está 
envolvido por três ânions formando um triângulo eqüilátero plano, onde o cátion 
está localizado no centro do triângulo. 
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 Tabela 2: Números de coordenação e geometrias para várias razões entre os raios do 
cátion e do ânion ( rc/rA ). 
 
7. POLIMORFISMO E ALOTROPIA: 
 Alguns metais assim como alguns não-metais, dependendo de 
condições como pressão e temperatura, podem ter mais do que uma estrutura 
cristalina, um fenômeno conhecido como polimorfismo. Quando encontrada 
em sólidos elementares, essa condição é chamada com freqüência de 
Alotropia. A estrutura cristalina que prevalece depende tanto da temperatura 
quanto da pressão externa. Um exemplo familiar é encontrado no carbono: a 
grafita é o polimorfo estável sob condições ambientes, enquanto o diamante é 
formado sob pressões extremamente elevadas. Da mesma forma, o ferro 
possui uma estrutura cristalina CCC à temperatura ambiente, que se altera 
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para uma estrutura CFC a 912°C. A tabela 3 apresenta alguns metais e suas 
estruturas para diferentes temperaturas. Na maioria das vezes, uma 
transformação polimórfica vem acompanhada de mudanças na densidade e em 
outras propriedades físicas. 
 
Tabela 3: Formas alotrópicas de alguns metais. 
 
 Outro exemplo de polimorfismo ocorre com o ferro. Este, diante de 
aquecimento da temperatura ambiente até seu ponto de fusão (1539°C), 
apresenta os arranjos CCC e CFC (gráfico 1). O ferro α (alfa) existe de -273°C 
a 912°C e tem estrutura cristalina CCC. Entre 768 e 912°C, o ferro α deixa de 
ser magnético e, algumas vezes, é chamado de ferro β (beta). O ferro γ (gama) 
existe de 912°C a 1394°C e tem estrutura CFC. O ferro δ (delta) existe de 1394 
a 1539°C, apresentando novamente estrutura CCC. A diferença entre as 
estruturas CCC do ferro α e do ferro δ reside no valor do parâmetro de rede 
dos dois casos. Na faixa de temperatura mais baixa o parâmetro de rede é 
menor. 
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 Gráfico 1: Variações alotrópicas do ferro puro. 
 
8. SISTEMAS CRISTALINOS: 
 Uma vez que existem muitas estruturas cristalinas diferentes possíveis, 
algumas vezes é conveniente dividi-las em grupos, de acordo com as 
configurações de suas células unitárias e/ou de seus arranjos atômicos. Um 
desses enfoques está baseado na geometria da célula unitária, isto é, na forma 
doparalelepípedo apropriado para a célula unitária, independentemente das 
posições dos átomos na célula. Nesse arranjo, é estabelecido um sistema de 
coordenadas x, y, z que tem a sua origem localizada em um dos vértices da 
célula unitária. Cada um dos eixos x, y e z coincide com uma das três arestas 
do paralelepípedo que se origina a partir desse vértice, como está ilustrado na 
figura 9. A geometria da célula unitária é completamente definida em termos de 
seis parâmetros: os comprimentos das três arestas a, b e c e os três ângulos 
entre os eixos α, β e γ. Esses parâmetros são, algumas vezes, chamados de 
parâmetros da rede de uma estrutura cristalina. 
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Figura 9: Uma célula unitária com os eixos coordenados x, y e z, mostrando os 
comprimentos axiais (a, b e c) e os ângulos entre os eixos (α, β e γ). 
 
Com base nesse princípio, existem sete combinações estruturais 
possíveis e diferentes de a, b e c e α, β e γ, cada uma das quais representa um 
sistema cristalino distinto. Esses sete sistemas cristalinos são os sistemas: 
cúbico, tetragonal, hexagonal, ortorrômbico, romboédrico (também chamado de 
trigonal), monoclínico e triclínico. As relações entre os parâmetros da rede e as 
configurações das células unitárias para cada sistema estão representados na 
tabela 4. 
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Tabela 4: Relações entre os parâmetros da rede e figuras mostrando as geometrias 
das células unitárias para os sete sistemas cristalinos. 
 
 
 
Bibliografia: 
PLT – Fundamentos da ciência e engenharia de materiais – Autor: William D. 
Callister Jr. – Páginas: 23–40. 
 
 Hermano.