Miller Dias - Os Segredos da Algebra

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j.
Miller Dias de Araújo
Os Segredos da Álgebra
para IME ITA Olimpíadas
Editora Vestseller 
FORTALEZA - CE 
1a Edição Julho/2018
Apresentação
Miller Dias De Araújo
Escrever um livro não é só expor nele a matéria e resolver as questões 
selecionadas.
É, antes, relacionar conteúdos, conjugando didaticamente idéias e métodos 
eficazes ao longo da obra. Trata-se de um trabalho árduo, pois são vários os 
aspectos (muitas vezes sobrepostos) a abordar, e somente quem é autor sabe 
a dificuldade de levar tudo isso a um bom termo.
Por outro lado, a escrita deste livro ofereceu-me novas experiências e 
oportunidades de amadurecimento tanto como professor quanto como autor. 
Além disso, o fato de haver poucos, talvez pouquíssimos, livros hoje no 
mercado que detalham os assuntos de que trato aqui fez com que minha 
motivação fosse ainda maior.
Nos oito primeiros capítulos, exponho toda a teoria, de forma detalhada 
e demonstrada. Trato do assunto e, após fazê-lo, trago exemplos resolvidos 
para facilitar a compreensão. Na sequência, há uma batería de exercícios para 
o leitor praticar os assuntos e fixar o que aprendeu.
Você verá que a maioria das questões tem mais de uma resolução, e 
algumas delas foram repetidas em capítulos diferentes. Isso se dá para que 
você possa, se quiser, resolvê-las com o assunto daquele novo capitulo, 
aumente sua visão geral dos conteúdos e afie ainda mais seu raciocínio para 
utilizar em exercícios futuros.
Nos dois últimos capítulos, concentrei os gabaritos, as sugestões e as 
resoluções, para que o leitor possa conferir suas próprias respostas e, 
possivelmente, aprender idéias novas também a partir das resoluções.
Prefácio
No século XVIII, o matemático francês Jean Le Rond D'Alembert 
afirmou "A álgebra é generosa: frequentemente ela dá mais do que se lhe 
pediu". D'Alembert, que possui importantes descobertas na álgebra, como o 
Teorema Fundamental da Álgebra, não poderia ter sido mais feliz em sua 
célebre frase. A álgebra é a ferramenta mestra para o desenvolvimento de 
todas as ciências naturais. O que seria da física sem a álgebra? O que seria 
das outras áreas da matemática sem a álgebra?
No nosso pais, de forma geral, as pessoas menosprezam a importância 
da matemática em suas vidas. Mal sabem essas pessoas o quanto elas seriam 
mais felizes se soubessem, por exemplo, calcular o consumo mensal de cada 
aparelho eletrônico de sua residência ou calcular o consumo de combustível de 
seu automóvel em faixas diferentes de velocidade. Para tanto, bastaria que 
tivessem uma base mais sólida de álgebra e aritmética. E essa base mais sólida 
em matemática aprende-se com bons professores e com bons livros.
No âmbito dos concursos militares e olimpíadas cientificas, uma base 
sólida em matemática não é uma opção, é uma obrigação. Há um detalhe 
importante sobre o ensino dos primeiros conceitos de álgebra: eles são 
abordados no ensino fundamental, momento em que não há espaço para 
aprofundamentos, fazendo com que os livros apresentem a álgebra de maneira 
superficial. Nos vestibulares tradicionais (ENEM e vestibulares de 
universidades federais, estaduais e particulares), não há uma exigência muito 
grande quanto à álgebra. Porém, nos concursos militares e olimpíadas de 
matemática, a álgebra é exigida em um nível muito alto, sendo necessário um 
estudo mais aprofundado.
De modo a auxiliar nesse aprofundamento, a obra "Os Segredos da 
Álgebra Para IME/ITA/OLIMPÍADAS", do eminente autor Miller Dias De Araújo, 
é perfeita. Todos os tópicos da álgebra fundamental estão presentes, incluindo 
potenciação, radiciação, produtos notáveis e fatoraçâo. Em cada capitulo, a 
teoria algébrica é apresentada de forma detalhada, seguida de muitos 
problemas resolvidos. Várias identidades algébricas são demonstradas, 
algumas pouco conhecidas. Certamente, a cereja do bolo são os exercícios 
propostos, em grande quantidade e de excelente qualidade, a maioria retirada 
de concursos militares e olimpíadas de matemática de todo o mundo. Você vai 
se deparar com exercícios do Colégio Naval, ITA, IME e também de olimpíadas 
de diversos países. Deve-se destacar a organização dos capítulos, nos quais
Marcelo Rufino de Oliveira
os conceitos mais fundamentais são apresentados primeiro, para somente 
depois constarem os tópicos mais avançados, facilitando o entendimento do 
leitor. O último capitulo do livro é reservado para as soluções e dicas dos 
exercicios propostos.
A presente obra é um verdadeiro tesouro, indispensável para qualquer 
pessoa que deseja formar uma base sólida em álgebra. Recomendo ao leitor 
que resolva esse livro de capa a capa, prestando atenção nas nuances de cada 
passagem algébrica. Existe muita poesia, arte e magia nessa obra prima do 
Miller Dias. Parabéns ao grande mestre!
Tenho que admitir que, durante a leitura do livro, me perguntei o quanto 
minha vida de concurseiro militar teria sido mais fácil se eu tivesse, à época, 
um livro de tão alto nivel para ajudar minha base algébrica. Certamente esta 
obra de Miller Dias De Araújo será uma importante ferramenta para todos 
formarem uma base mais sólida em álgebra.
Agradecimentos
A Deus, pelo dom da vida.
Ao professor Renato Brito, pelas criticas e sugestões.
Ao professor Marcelo Rufino pela escrita do prefácio.
Ao professor Cláudio Neves pelas revisões.
Aos meus pais, que sempre me apoiaram e me incentivaram em todas as 
minhas caminhadas.
A meus amigos, em especial Thais Pereira Soares e Johnatan Bruno, pelo 
apoio, motivação e incentivo; Meus professores, que ensinaram-me com muita 
dedicação.
Ao professor Luiz Vieira dos Santos, pelos ensinamentos, pela paciência e por 
ter-me iniciado no caminho da Matemática IME ITA.
Sumário
Capítulo 04: Expressões Algébricas
4.1) Tipos de Expressões Algébricas
4.2) Valor Numérico
4.3) Operações com Expressões Algébricas.
Capítulo 03: Racionalização
3.1) Quocientes Notáveis
3.2) Fator Racionalizante
3.3) Radicais Duplos.........................................
3.4) Tópicos Avançados em Radicais Duplos.
Capítulo 02: Radiciação
2.1) Definição
2.2) Produto de Radicais de Mesmo índice
2.3) Divisão de Radicais de Mesmo índice
2.4) Raiz de uma Raiz
2.5) Produto de Radicais de índices Diferentes.
2.6) Raiz de Fração Composta
2.7) Séries Finitas de Radicais
2.8) Séries Infinitas de Radicais
2.9) Divisão Composta Infinita
2.10) Radicais em Cadeia Infinita
2.11) Operações com Radicais
Capítulo 01: Potenciação
1.1) Definição
1.2) Produto de Potências de Mesma Base
1.3) Divisão de Potências de Mesma Base.
1.4) Potência Elevada à Potência
1.5) Produto Elevado á Mesma Potência
1.6) Potência Elevada á Potência, n vezes ..
1.7) Potência de Ordem Superior
1.8) Potência com Expoente em PG
1.9) Potência com Expoente Negativo
1.10) Divisão Composta
1.11) Potência com Expoente Fracionário...
93
94
105
124
125
126
127
31
32
33
36
43
45
52
61
81
84
90
11
11
12
13
13
17
17
21
26
26
27
Capítulo 06: Fatoração
6.1) Critérios de Fatoração
6.2) Agrupamento ou "evidência”
6.3) Quocientes Notáveis
6.4) Completando o Produto Notável
6.5) Cruzadinha Simples
6.6) Teorema do Fator ou das Raizes Racionais 
6.7) Fatorando Polinõmios do 3o Grau
6.8) Cruzadinha Dupla
6.9) Cruzadinha Dupla Especial
6.10) Fatorando Polinõmios do 5o Grau
130
131
132
133
133
134
140
142
149
149
152
157
158
160
161
165
173
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194
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213
213
214
216
226 
230 
231 
234
238
243
Capítulo 05: Produtos Notáveis
5.1) Quadrado da Soma de Dois Termos
5.2) Quadrado da Diferença Entre Dois Termos..
5.3) Identidade de Legendre para a Soma
5.4) Identidade de Legendre para a Diferença
5.5) Identidade de Lagrange para a Soma
5.6) Identidade de Lagrange para a Diferença....
5.7) Produto da Soma pela Diferença...................
5.8) Identidades de Stevin
5.9) Cubo da Soma de Dois Termos
5.10) Cubo da Diferença de Dois Termos
5.11) Identidade de Cauchy
5.12) Quarta Potência da Soma e da Diferença..
5.13) Identidades de Legendre
5.14) Quinta Potência da Soma5.15) Quinta Potência da Diferença
5.16) Identidades para Termos Recíprocos
5.17) Quadrado da Soma de Três Termos
5 18) Identidade de Lagrange Para Três Termos.. 
5.19) Produto Dois a Dois Elevado ao Quadrado.
5.20) Identidades de Argand
5.21) Quadrado da Soma de Quatro Termos
5.22) Cubo da Soma de Três Termos
5.23) Identidade de Gauss......................................
5.24) Soma de Quatro Termos Elevado ao Cubo.
5.25) Quarta Potência de Três Termos
5.26) Identidades de Stevin para Três Termos
5.27) Identidade de Sophie-Germain
5.28) Identidade de Chrystal
5.29) Identidades Condicionais
5.30) Tópicos Avançados em Produtos Notáveis.
Capítulo 09: Respostas e Sugestões
Capítulo 10: Resoluções
Bibliografia
6.11) Cruzadinha Tripla...........................
6.12) Tópicos Avançados em Fatoração.
Capitulo 07: Polinômios Simétricos
7.1) Forma de um Polinõmio Simétrico...........
7.2) Propriedades dos Polinômios Simétricos.
7.3) Fatoração por Polinõmio Simétrico..........
7.4) Polinõmio Alternado...................................
7.5) Propriedades dos Polinômios Alternados
7 6) Fatoração por Polinõmio Alternado..........
Capítulo 08: Somas de Newton
8.1) Somas de Newton para Dois Termos.............
8.2) A Notação Sigma..............................................
8.3) Somas de Newton para Três Termos............
8.4) Generalização para um Polinõmio de Grau n
272
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Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 11
Capítulo 01 - Potenciação
|0a = 0|; Va sR-|0, ra}.c)a)
a1 = a|; Va e R . |la = l|; Va e R - {«>}.b) d)
.202C)
|am ■ an = am~n]
Consequências da definição:
|a° = l|; VaeR-{0,®).
Introdução
A determinação da potência de um número é feita pela multiplicação de fatores 
iguais. O expoente possui um papel fundamental na potenciação, pois ele é 
quem define quantas vezes a base será multiplicada por ela mesma. Vejamos 
como trabalhar com essa ferramenta importantíssima na resolução de 
problemas.
P1. Produto de Potências de Mesma Base:
Num produto de potências de mesma base, repete-se a base e somam-se os 
expoentes.
Exemplos de Aplicação 01
a) 2001° =1.
b) 1o = 1.
(4O96202)1 =4096'
1.2) Propriedades das Potências:
A seguir, veremos as propriedades mais importantes das potências. Com elas, 
iremos resolver vários problemas usando o minimo de cálculo algébrico. Vamos 
lá!
1.1) Definição:
Dado um número real "a" qualquer, tomemos n como um número natural. O 
produto de n fatores “a" é igual á enésima potência de “a”.
"n" vezes
a a - ...a = an ; VneNeaeR.
d) 01785 = 0.
e) 01 = 0 .
f) 750 234 _ 1
1 Potenciação12
Demonstração:
”m + n" vezes"m"vezes "n" vezes
a'a
.m
■81'b)
2p + 7p ,9PC)
Demonstração:
"m"vezes "m - n" vezes
1
; Vm, n e N, a e R e an * 0.
,30-12a)
,2016-1008b)
.28C)
am
— = a ■ a a a ■ a 
an
am— = a ■ a •... • a---------------
an aa...-a
"n" vezes
8136
92016
f_ 21008
21008
o30
ó <18
312
l25=8161.
P2. Divisão de Potências de Mesma Base:
Numa divisão de potências de mesma base, repete-se a base e subtraem-se 
os expoentes.
—=am“n 
an
im-an = a a a a-... a
v100
*___ __ *100-72
x72
X100 
_____- y
72 X
■ m7p = m‘ ■ m7p=m5
O2016 
- ----- = 2:
21008
im an =a-a-...-a a a-... a
; Vm, n e N e a e R .
Exemplos Resolvidos 02 
q30 2- = 3: 
31Z
im • a" = a1
m2”
■8125 g36 + 25
=> m2p
=> 8136
Exemplos Resolvidos 01
a) 53 -515 =53 + 15 => 53 -51s=518.
am
— = am-n 
an
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 13
Demonstração:
"n" vezes
; Vm, n e N e a g R.
"n" vezes "n"vezes
.m
•25-3a)
2qm 2qmb)
2q m■3n 6qmnc)
(ab)n =anbn
Demonstração:
(a b)n = an • bn ; Vn e N e a, b e R .
P4. Produto Elevado à Mesma Potência:
Num produto elevado á potência, eleva-se cada base ao expoente.
P3. Potência Elevada a Potência:
Numa potência de uma potência, repete-se a base e multiplicam-se os 
expoentes.
Consequência:
"n" vezes
_______ "n"vezes_______
(ab)n = (a b) (a b)-... (a b)
Exemplos Resolvidos 03
(725)3 = 725.3 (725)3 =
= am'np
(p2<’f=p:
775
"n"vezes "n"vezes
(a-b)n = aa-...abb-...b
(p2q)m=p:
/ rr. \3n[(p2q) ] =P:
(am)n = amn
■...arn■am•am•am
am
•...am ....-a"'
((an,)nJ’ = (amn
(am)n=a'
■am -am
"p“ vezes
Potenciação14 1
Consequências:
(abc...)n=anbncn...
Demonstração:
.2m • x 2m • x(P ■ m)'
Demonstração:
,n
01) Produto de vários termos, elevado a potência:
O produto de vários termos elevado a potência é igual ao produto de cada termo 
elevado a potência.
________________"n"vezes________________
(a* b* -cz...)n =(ax -by -cz...)-(ax by cz-(ax -by -c2...) 
■n“ vezes "n" vezes "n“ vezes 
axax-...axbyby...bycz-cz-...cz
■b25
02) Se as potências tiverem expoentes:
Generalizando a consequência anterior para produto de potências, tem-se:
(axby-cz...)n=a'!nx ,bny.cnz
inx ■ bny
"n"vezes
(a b c...)n = (a b c...) (a b c...)-... (a b c...)
"n" vezes "n" vezes "n" vezes
= aa-...abb-...bcc-...c
■c25
• cnz
■ m2m x
= a25
Exemplos Resolvidos 04
a) (p • m)2"1'x = (p)2m x ■ (m):
b) (a ■ b • c)25 =(a)25 • (b)25 • (b)25
<=> (abc...)n
(a-b c...)n = an bn cn... .
<=> (ax by cz...) =
(ax by-cz= a'
2m - x :
I = P
, u \2S (abc)
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 15
m‘
b) (ax
Problemas Propostos
, quando simplificado, é:
2
c) 1-2"
Questão 1.2
k2dt2c
Questão 1.3
b) 2“<2k-1) c) -2-<2k+1> d) 0 e)2
Questão 1.5
Simplifique
a) (p'
b) -2n+1
iSnj2m =p8<i m .m10n m 
(ax by cz)3 =a:
Questão 1.4 (AHSME-1971)
O número 2~(2k+1) -2-(2k~1) + 2"2k é igual a:
Exemplos Resolvidos 05
)2m=p)2m.(rn5n)2m
■by-c2)3 = (ax)3 ■ (by j3 ■ (bz j3
=>(p4q-
Determine ^22a2 -32b2 -72c2)
Questão 1.1 (AHSME-1952) 
2n+4 -2•(2n)
(2n+3)
Determine ^(2aj J
104 1516 3311 -7717 -8413 
520,1430,3q40 .^28
i3x-b3y
a) 2“2k
c32
16 1 Potenciação
Questão 1.6
Simplifique
Questão 1.7
Questão 1.8
.k
Questão 1.9
£
Questão 1.10
5n'
51’
bavezes
Reduza ab + ab +.
2n~1
21-n '
aavezes
.. + ab-bb+bb+... + bb.
k
x vezes xnvezes xkvezes
+ xnk + ... + x"k -xn + xn+... + xn xk + xk+... + xk.
bavezes
Reduza ab ab -...-a1
Simplifique 
x'
Simplifique xn
+ xnk
+ xnk
X°k+2
,nk-2
-xnk+1
- xnk-1
_ abvezes 
lb-baba-...-ba.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 17
= a
Demonstração:
"n” vezes "n" vezes
"n"vezes-.m
,100a) d)
b)
e)
"a" vezes
a
C)
"p" vezes
P6. Potência de Ordem Superior:
Numa potência de ordem superior, repete-se a base e eleva-se o expoente a 
potência.
P5. Potência Elevada a Potência, Elevada a Potência “n” Vezes:
Numa potência elevada a potência, elevada a potência n vezes, o expoente é 
dado pelo produto de potência de mesma base.
"n” vezes
"n" vezes
”7?
"2017"vezes
■ x36
í = 3',362017
Exemplos de Aplicação 02
"100"vezes
/ ,\3
H(23)3]' = 23
"x"vezes
73
= am
im ; Vm, neN e ae R
i"P
; Vm, n, peNeaeR
= aa3
= am" g m • m .m
= n5"
= 33*
Potenciação18 1
aa
Consequências:
= amn p’r5... ;Vae R.
5q>|
c)
a)
d)
b) a
r" Y'
; Va e R .
2) Se os expoentes forem distintos:
Se as potências forem distintas e seus respectivos expoentes forem iguais, 
podemos usar a propriedade do produto elevado a potência.
(am" J
"p"vezes
'( • Y1HJ
lv
Demonstração:
"p"vezes
H']"
z n x3P (2 )
2nn J = 22 .
"m" vezes
= a(mpr...)n
_ 22n-3p-5q
= aaXt>y'cZ
am 
= am
= amnP
a base e multiplicam-se os
"p"vezes
= am n n ■■■ n
1) Se as potências forem distintas:
Se as potências forem distintas, repete-se 
expoentes distintos.
Exemplos de Aplicação 03
“n" vezes 
.\n
[H]
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 19
Demonstração:
vnT' r" Y"
Exemplos Resolvidos 06
7n 7n5n)
= 3(2 3 5 7)"
a)
7
>(4z)n 1 (42)" '
= n(x-2y4z)n = n(8x-y Z)nb)
ms'l
; Va e R.= a
Demonstração:
ms ms
■
3) Se os expoentes forem distintos e suas bases iguais:
Se as potências forem distintas e suas respectivas bases forem iguais, 
podemos usar a propriedade do produto de potência de mesma base.
(a-f
í x"Y2y)n n
= 3210"
z n
= amnpnr"...
/ \mq
(a )
(32nf
z \mq^am ) n + q + s + ...
_ amn-mq- ms... n + q-s^... = a
= a(m p-r...)"
Potenciação120Exemplos Resolvidos 07
,60 \
a)
xx'lxxY
b) = x
"p"vezes
mn'|
mnY
"p" vezes
ynn” mn Y"
mn Y"
7 
"p"vezes
4) Se os expoente forem iguais e as bases iguais:
Se os expoentes forem iguais e suas respectivas bases também são iguais, 
podemos usar o produto de potências de mesma base.
Demonstração:
"p" vezes
xX + X + X
= aHP
9100 = 52
260 '
z _ y (a )
, n 'l (am jz xmn(■ )
930 \ 
(52i°y
930(5q2
am"
*30 + 60
omnp = a
= amnP
v3x 
= X
"p" vezes
 mn- mn- mn...= a
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 21
"x"vezes
xx'l xx>|
a)
"x+1”vezes “x+1" vezes
yzY yz)
yZ (X + 1)
b) = x
a = aa...
Demonstração:
"n" parênteses"n" parênteses
mm
aia...a... a
”n” parênteses
\m
"n" parênteses
a... a = a
a(a(a)mj
m Y
a(a(a)'
a(a(a)mj
f rn"-l'|
f mn-l'| m ---------
I m-1
i ' '
Exemplos Resolvidos 08
"x"vezes
(a)m2
(a)m3
X2
= XX
am
am2
= x^Z(41
= x*XX
,LL xm V ,m >
P7. Potência de mesma base e expoentes em PG:
Numa potência com expoentes em PG. repete-se a base, e o expoente 
expressa-se como soma de uma PG.
"n" parênteses
Potenciação22 1
"p" parênteses
Demonstração:
"p" parênteses "p" parênteses
m m,m
•a
"p" parênteses "p" parênteses
m
nm
"p" parênteses
= an...
"p" parênteses
m'
= a
"p" parênteses
.. >.m
= a
( ( m \rn V
an... an an an(an)
n ■
= a
Generalização:
Numa potência com expoentes em PG de potências, repete-se a base, e o 
expoente expressa-se como soma de uma PG.
an..|an^an(an)mj
= an..|an(an(an
í n • m •, L
an... an^an(an)mj
an... a"^an(an)mj
• anm2 • anrr|3• anm2an... an an-a'
.m \ m p+1-m 
m-1
n • p + m + m2 + m3j |
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 23
Exemplo Resolvido 09
Determine
Resolução: Podemos escrever:
(2--1)
,2046
x
x '■
X
Calcule x... x
,X+1xX
X
X...
Exemplo Resolvido 11
"2016" parênteses
,.x10
29...Determine
2
= 3
2- 
= 3
Exemplo Resolvido 10
"x" parênteses
"10" parênteses
^3...(3(3)2]' j
"10" parênteses 
7
=>[3...(3(3)2)' J
x(x(x)x):
Resolução: Podemos escrever: 
"x" parênteses
"10" parênteses
Í3...(3(3)2)-''f =32<1023)
29Í29(29) j
í = x k ' = X
"10" parênteses
7^2
3-(3(3)2)
"10" parênteses—
i3...^3(3)2| =3:
x(x/
24 Potenciação1
.•\1O
.10 A
Problemas Propostos
Questão 1.11 (Harvard-MIT-2012)
, encontre o valor de n.
Questão 1.12
"2016"vezes
35 '
Determine
Questão 1.14
"x"vezes
x
Determine xx •
Resolução: Podemos escrever: 
"2016" parênteses
9
=> E = 2
9.
=> E = 2
Questão 1.13
"x" vezes
Determine xx • xx •... ■ xx .
E= 29 ...Í29 ^29 (29
102017 10
9
Se 44“ 128/ ,2nV22
^xx -(xx • • (xx)) j
1O2°16 + 1-1O
10-1
E_ 2(102017-10)
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 25
Questão 1.15
Questão 1.16
Sugestão: Use 12 +22 +32 + ... + n2 =
Questão 1.19
k2 3 4 .n
Sugestão: Use 13 +23 +33 + ... + n3 =
.4 n+2
Determine
"50" vezes
Determine a3b4 a3b4 •...•a3b4 .
"100"vezes
Determine a3b4c5 a3b4c5 •... a3b4c5 .
n(n +1) 
2
Questão 1.17____________________________________
Determine x ■ (x2■ (x3 )3 ■ (x4 . • (xn.
n(n + 1)(2n +1)
6
Determine x-^x2) j -^x3) j -^(x4j j '■■■'^(xn) j
2
Questão 1.18_____________________________
Determine x2 (x2)3-(x3)4 .(x4)5 •...■(x")"*1
Q u e stã o 1.20
Sugestão: Use 1 • 2• 3 + 2■ 3• 4 +... + n (n +1)■ (n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
Sugestão: Use 1-2 + 2-3 + 3-4 + ... + n (n + 1) = n(n +1)(n + 2)
26 Potenciação1
Agora vamos ver as bases fracionárias e os expoentes negativos. Vamos lá!
11
a) aa
a
b1
b)
a
c)
c)a) 2'
d)b)
a ; Va, b, c... e R - {0}
125
64
2 
3
7
4
4
7
1 
am
2 
a
1.3) Potência com Expoente Negativo:
Numa potência com expoente negativo, inverte-se a base, e coloca-se o 
expoente positivo.
1.4) Divisão Composta:
Numa divisão composta, podemos alternar os expoentes de cada termo da 
divisão composta.
■or-
Exemplos Resolvidos 12
1=í-f =-2
Consequências:
= a+1-b‘1
1 m
b^ 
am
a~m => a~m
■c+1
f => a
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 27
Exemplos Resolvidos 13
2 2- = 2+1 -3 • 2+1 • 3a)
a
b)
b b
a)
b)
c)
Vp
d)
e)
Vimos as bases fracionárias. Agora veremos os expoentes fracionários. Sigam- 
me!
4
9
_a3
1 b2'
a 
b
Aa J,
a 
b
A a ),
■ a+1 = a3 • b“2
— Vm
1.5) Potência com Expoente Fracionário:
Numa potência com expoente fracionário, o denominador é o Índice do radical, 
e o numerador é o expoente do radicando.
■a+1 -b'
= 22 3-2 = 4
32
f 1Y 
f1'fp f ijs.l 
<a=almJ
= a+1-b'
Potenciação28 1
=> 16
25 16
x’C)
a'
d)
e)
Problemas Propostos
Questão 1.21 Questão 1.22
Simplifique Simplifique
1
c)1
4
- 64 2 -(32) 5 é:
1 
a
1
ía'
2a^ Y 2a % 
k b^3
:7í = x>
O valor de — a° + 
16
3U
aX.b%'
f220
Exemplos Resolvidos 14 
ü = Vi6 ieü =
b) 1—
16
a) 1 —16
e)±16
d)^
8
à /
Questão 1.23 (AHSME-1954)
a) 16'
w«(?)
4 .
= JU”)
J
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 29
, então S é igual a:
Reduzindo a , obtemos:
e) a9
Questão 1.26
m
m
Simplifique
b) 1-2 32
_ 1_
c) 1-2 32
m 
m2-1
_1_
m
a) 1. 1-2" 32
4-^1
m+1 
m m
m-1 '
+ m m
Questão 1.25
expressão (-a2)3 (-a
2
1 + 2 2
3)ã
b) 2
c) 9
m
i '
1 + 2 4
1 '
1 + 2 8
2
mm +1
Questão 1.24 (AHSME-1971)
Se S = 1 + 2’32
1' 
1 + 2’18
1
2
1
2
Potenciação30 1
Questão 1.27
Determine
Questão 1.29Questão 1.28
•2n
Sabendo que n é par, determine: 
an
Sabendo que n é par, determine: 
an
a"3
a-4
an2
íbn3J
a14n
Aa-(-1>n'n2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 31
Capítulo 02 - Radiciação
Exemplo 02: v/2401 = 7 <=> 74 = 2401 .
Exemplo 03: ^15625 = 5 <=> 56 =15625.
Exemplo Resolvido 15: Efetue 1^ã.
Introdução
A radiciação nada mais é que a operação inversa à potenciação, ou seja, ela é 
utilizada para representar, de maneira diferente, uma potência com expoente 
fracionário. Vamos conhecer essa ferramenta que nos ajudará a resolver vários 
problemas.
Exemplos de Aplicação:
Exemplo 01: 3/27 = 3 <=> 33 = 27 .
2.2) Como Expoente Fracionário:
A raiz m-ésima de um número a poder ser definida como sendo uma potência 
de a, com expoente sendo o inverso de m, assim: 
lãl
Consequência:
Se tiver expoente, esse fica como numerador.
Jã.
^ = a'
Resolução: Podemos escrever: 1^ã = a
'Va"
2.1) Definição:
Dado um número real não negativo a e um número natural m>1, chama-se 
raiz m-ésima de a o número real não negativo b, tal que bm = a .
|t]/ã = b bm =~ã]
Radiciação232
J?) 112 =121.Resolução: Podemos escrever:
Resolução: Podemos escrever: x/32
Exemplo Resolvido 18: Efetue x/ã ■ x/b • x/c ■ ^/d .
Resolução: x/ã • x/b ■ x/c • Vd = x/abcd .
Exemplo Resolvido 19: Efetue x/64 • x/8Í .
2.3) Propriedades da Radiciação:
As propriedades da radiciação facilitam os cálculos de expressões numéricas 
e equações que envolvem raizes.
P1. Produto de Raizes de Mesmo índice:
Num produto de raizes de mesmo índice, repete-se o radical e efetua-se a 
multiplicação.
Resolução: Podemos escrever. 
x/ã2 ■ Vb3 ■ x/c4" = \]a2 -b3 c4 = c •w.
Exemplo Resolvido 17: Mostre que x/32 = 2 .
fÉ)
= 2'5' = 2=2.
Exemplo Resolvido 20: Mostre que ^•Vã3-^ = c4x/ãFT3.
5^5
Resolução: Podemos escrever:
í/64 ■ í/81 = 3/64-81 = xM4 - 34 = x/lã4 =12.
W2
Consequências:
a) |^.^b.^.... = ^a.b.c....|.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 33
an
Resolução: Podemos escrever:
= 2-1^9.
Resolução: Podemos escrever:
= 10E =
= 2-1^9.E =
——. - ml-----
rpLp \ bp
1^22<32
10/^
loç^FTã
10/210
P2. Divisão de Raizes de Mesmo Índice:
Numa divisão de raizes de mesmo Índice, repete-se o radical e efetua-se a 
divisão.
^5
m/„2m í_2m va a 
—----= m-----Ç™ V bm
■q/b Nb
Consequência:
Numa divisão de raizes elevada a potência, repete-se o radical e conserva-se 
a potência.
1P/
Exemplo Resolvido 23: Mostre que —
6^20
Exemplo Resolvido 21: Efetue .
a2
Exemplo Resolvido 22: Mostre que —=?- = —
_ 1^210 -32 = 2-
^20 /2 0
Resolução: Podemos escrever: —=- = 6/— 
v5 v 5
'22o-32
21O
1^210
m/
34 2 Radiciação
Problemas Propostos
Simplifique
Simplificando
e) N
2 
c) N3
1
a) N27
13
d) N27
Questão 2.3 (AHSME-1956)
r i . ~i4 r r- 4
, temos:
Questão 2.2 (CN-2000)Sabendo que = 1996®, ,/y =19944
2
z > 0). o valor de (xyz)s é:
a) 1999®
b) 19996
2
c) 1999®
d) 1999’6
e) 1999"9
z4 = 19998 , com (x > 0, y > 0 e
Questão 2.4 (AHSME-1998)
Se N > 1, então ?/N, vale:
1
b) N9
e
a) a16
b) a12
c) a8
d) a4
e) a2
Questão 2.1 (CN-1964)
. 8/r
■
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 35
, encontre r e s.
Questão 2.6
Questão 2.7
a'
Questão 2.8
Simplifique a expressão
Questão 2.9
aaa
aaSimplifique a expressão a
r
s
Questão 2.5 (Harvard-MIT-1998)__________________________
Dado que r e s são inteiros positivos e primos relativos, tal que 
2(V2+VÍÕ) 
5p3 + Vs)
íaa+bbb+ba-b-aa 
i2b ■ ba + b2a ■ ab
Simplifique a expressão —.
Simplifique a expressão —.
(aa*1
lya—b ] b 
7b-a +2b-a
a(aa)a
Radiciação236
Consequências:
a)
"n"vezes
b)
"m" vezes"m" vezes
C)
"n"vezes"n" vezes
d)
dí7 c".e)
f)
g)
h)
-Vi.i)
j) V
J2mJ2m7^/i =^ví.
"n"vezes 
m ■ m • m m
P3. Raiz de uma Raiz:
Para a raiz de uma raiz, repete-se o radicando e multiplicam-se os índices.
Vi
'Vn ...y-
”n"vezes
2"\j 2"^ 2"Vi 2m 2m ■ 2m .... 2m
" m " vezes ,—— —
bm -cn dp -■■■y-
"n" vezes
-Vi =-Vi
j<bn^=bm bn bP-Vi.-. =^^-ví .
xjpJnxHi =m np Vi .
J ^\/ã — • x/p '
-Vi
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 37
k)
Exemplo Resolvido 27: Mostre que
J ’ipd "y/~
Resolução: Podemos escrever:
"2010"vezes
^mb ■ nc • pd -... j—
Exemplo Resolvido 24: Efetue 7T^.
Resolução: Podemos escrever:
vezes „2016.. ve2es -2016-yezes
V?W=3—
^mb • mc • md ■... >— 
x/a
Exemplo Resolvido 25: Efetue
"2016"vezes
Exemplo Resolvido 26: Mostre que
Resolução: Podemos escrever:
=> =
Radiciação38 2
Exemplo Resolvido 28: Efetue \
E =
E =
Exemplo Resolvido 30: Mostre que
Resolução: Podemos escrever:
'a
= a3Vã = a3
Exemplo Resolvido 31: Mostre que
1
(m + 2)(m-1)
2
(m + 2)(1-m) 
2
(m + 2)(1-m)
2
Resolução: Podemos escrever:
”10" vezes
Resolução: Podemos escrever: 
" 2010 " vezes "2010" vezes2010"vezes ------- •--------
-*2&jã=2—-
“10"vezes
... 210l
32 -33 -34 .... r
------------- Va
Exemplo Resolvido 29: Efetue 3Í .
q2 + 3 + 4+...+m _-----------Vã
Resolução: Podemos escrever:
E = 3VW- E = ^-^V2
e =37J
E = ^V2 E^t^00)
f(2 + m)(m-1)
2 E = Í------------ :
E = 9-^ 32/Ê = ^V2.
6»252 -315 530 r-
—-------------- -Ja .
"10" vezes 
e=21°.2’°.2^.2^ e =
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 39
E =
Exemplo Resolvido 32: Efetue
E =
Exemplo Resolvido 33: Efetue
Resolução: Podemos escrever:
E
E =
Exemplo Resolvido 34: Mostre que
E
^2y
Exemplo Resolvido 35: Mostre que '
Resolução: Podemos escrever:
.16
6^212 31S 24° 530 =
JsHsMg) Jx
6^2S2 315 530^
2°/a1° b15 -c16 
------------------- Vx .
Vx-Sjx6^-...^ 
y/X —
_ S^.6^Íã6^°.6^y-
Resolução: Podemos escrever:
= E.£^72
= e.2^2 = E.£3js= e.s-®í , E-^72.
6^2l2 315 420-530 r 
E =----------------------Va =
------------ Vx
Resolução: Podemos escrever:
= e_7S■^3 ^)- _ c_2^° 2^?.2^-
Radiciação240
X*E =
(x2.2-33)y
X*
I1?)
x“
^xy <- y + y + y
E =
Problemas Propostos
Questão 2.10
3/4/5) 4/
Simplifique
Questão 2.11 
Simplifique n+3
Resolução: Podemos escrever:
^x2^ X^2YJ ?33y
=> E =------------------------- '
(33)y
& &
Exemplo Resolvido 36: Mostre que «
x.xHr) E = xx x
FÍ
=> E =----------
|an2+5n
x
=> E = -
F xm.■. E = xx
jan2
n/a3n2
?a
Resolução: Podemos escrever:
Vx* ■ xy • xy x*
J(54x2ly
Çy => e = --------
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 41
Questão 2.12
Simplifique
Simplifique
Questão 2.14
Simplifique
Questão 2.16
Questão 2.17
Simplifique
Questão 2.18
r-Simplifique
y 
bfoç ÍVx
Determine xy, se —=
«2
=w
J64n +162n
V 8n+32n
Questão 2.13 
J ^16^4
V2 ^/4 -1^2 '
, para a * 0 .
Questão 2.15
Simplifique —\l'^=b=
KG75a
2 Radiciação42
Questão 2.19
5V5Simplifique
Questão 2.20
Simplifique
Questão 2.21
Se a = bc , então , vale:
a) c
b) 1
c) c“1
d) Vc
e) c2
5
9^2 3^'2 n- H392
ci«H
..,.2-9^2
|^9 l
í 3 J
■«’ .[-WM
5~5 1 -5J5
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 43
= ^(apn)(bqm) .a)
b)
■b .c)
d)
e)
f)
E = 1^16 27 ^2 -^3 = 1?/432.
.15
bp
-----= m
bp '
Vbm
a_
Vb1^w
M~bP~
ap ■ 'Vb = ^(ap)m
Exemplo Resolvido 38: Efetue 577.4^.
Resolução: Podemos escrever:
E = 57a7.4Ví? =, E = ^(a2)4.(b3)5 E = Mj(a2'4)-(b3'5)
Consequências:
m^.n/^=^aP)n.(bq)m
P4. Produto de Radicais de índices Diferentes:
Num produto de radicais de indices diferentes, repete-se o radicando, tira-se o 
MMC dos índices, o resultado divide-se pelo Índice de cada radicando e 
multiplica-se pelo expoente do radicando.
^•0/5 = -- "77“^
Exemplo Resolvido 37: Efetue \/2 • í/3 .
Resolução: Podemos escrever:
E = 3V2-4V3 => E = ~TFT?
■b ap ■ mJb = ^(am p)
^an m a" 
-------= m--------- .
bp Vbm p
b
2 Radiciaçào44
5 • W = 3/1250 .■10
■10 =>E
2016/ = 2016^Exemplo Resolvido 41: Mostre que
= 2°1^J E=2016^.
=> E = 2016 — —■ EE =
Problemas Propostos
Simplifique
Exemplo Resolvido 39: Mostre que 5 ■ 3/ÍÕ = 3/1250 .
Resolução: Podemos escrever: 
5.3/w = 3^ ■ 10 => 5 ■ 3/lÕ = 3/125-10
Resolução: Podemos escrever: 
2016/22014 
2
Questão 2.22
^a""-2 Jami3
(22014
2
Questão 2.23
Simplifique 3^“ ^-3/81.
3/^
Exemplo Resolvido 42: Efetue — .
Resolução: Podemos escrever: 
%3 3/3 _ 3| 3
3P 3P V33p
Exemplo Resolvido 40: Mostre que 72 ■ 13/TÕ = 1\/lO-720
Resolução: Podemos escrever:
E = 72-13/iÕ=>E = 1^72)10 = 1^71o2)-1O E = 1^1O-720
'22014
22016
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 45
Consequências:
M í' = a' mMa)
lc
b)
C)
= aK).bí'mP2j.c(+mq3)
d)
= mn;
P5. Raiz de Fração Composta 01:
A raiz de uma fração composta é igual a cada termo da fração composta 
elevado a expoentes alternados.
"l/ã 
mnJE 
m n-p
J?/ã_ 
°A/b
li í+ m n, 
' -cK
Lll Lll
_L_) m • n • p .
^VbP
w
=
■^b
Í+-L-I :.cl m-npj
Radiciação46 2
e) •... = aa' ■ a
anf) = a • a
rr
Exemplo Resolvido 43: Mostre que
Exemplo Resolvido 44: Mostre que
J _an_ wl
n ■
a"Vã"
Resolução: Podemos escrever:
&
3-^/d
I a
—— "Vã
^Jã
1 _ 1 1 l 
.m J
Resolução: Podemos escrever: 
cr tu
.,®„(-a.c(i) j-í)
= a(3M’12hJ60U’120)
ièr
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 47
Exemplo Resolvido 45: Mostre que
Resolução: Podemos escrever:
/. E = 3'
Exemplo Resolvido 46: Mostre que
=> E = x'=> E = x • x'
X3 X3 X3
=> E = x
m2+1 
m4
Vx
4/í
</3
</2
P6. Raiz de Fração Composta 02:
A fração composta das raízes é igual ao radicando elevado a expoente 
fracionários e alternados com os denominadores sendo o produto dos Índices 
de acordo com as raizes que os comportam.
1 _ 1 1
* X2 X3
í-rAÍ'
3-____= 3 m3 >
í X2-X+ll
c X3
E = xv 1
í x2-x+1 I
l x3 = xv '
I I 
. 2^ m4 '
•cV
1 ) 
m-n-pj
Resolução: Podemos escrever:
.Gü.xHJJx3)
>
E'O=” nlísJ
Radiciação248
Consequências:
m
m
b)
H1
m
d) • a= a
e) = a' ■ a
j’í.
"GíL
c H-
f.
m • m ■ my
"te
V7
m • n ■ p r- 
------ Va
^te 
te
-r.i..,.') m • n m J
J+-)
= a(4m3)J’m2).c(’m).
C) =
,(* m m-m) a( m m) J+ m)
^m n-p) J m-n) J+ m)
w
a) Vt-’
_ Jm-n p
=a(à‘;H+' J.
_ a(m n-p
Jd^) a(-^).aH)
m ■ n • p »— 
-- ■ s/a
^te
•te
S . t 
m-n m
m ■ m • m /— ------ -ya
m - m •
m m r-
—-ya
•te
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 49
0 = a • a
a
Exemplo Resolvido 48: Efetue
=> E =
E = 22 • 3~5 • 75 .
Exemplo Resolvido 49:
4
E => E =
__n___
m ■ m • m
nU 1 
_ a m2 m
(2^4025
a
a
a
1 3125
725
Resolução: Podemos escrever: 
10-12-30^ 
—73 
175
E = Í
Exemplo Resolvido 47: Mostre que 1\|
f 250 "l f 125^ (25'|
=> E = 2^ 53 ' ■ 3^ 52 h 7^ 5 *
= 2(3500] 3( 120] 5(10)
J®
|i J3^2 ( 1 1 ( 1 >
I 3 3600 J 3U 120 J
m • m m r~jr
1
Resolução: Podemos escrever: 
. =- 4 ■ 9 16 25,ya4025
49-16Vã 
___
Resolução: Podemos escrever:
5Í5^ —7^5-
V 3125 73125
725 5/725
<2501 <125’1 <251
=> E = 2<125M~25J A5 J
m ■ m • m í~—
50 2 Radiciação
=> E = a
=> E
=> E = a
E
Exemplo Resolvido 50: Mostre que
• x■ X
Problemas Propostos
Questão 2.25Questão 2.24
SimplifiqueReduza
Questão 2.26
Simplifique
W E = 1?/i.
X3-X2 + X-1 
X4H íJ---- X---- _ x\
X.-. E = x'
E = x'
E = x‘
=> E = a^
( 4025 25 400 3600 ]
I 4-916-25 “ 4-916-25 ’ 4-9-16 25 4-916-25)
E = x'
( 2 ] 
=> E = a'-4'9'
Resolução: Podemos escrever: 
x - x x - Xy~
í x3-x2+x-1
) «4
f 4°25__ L_ + _L_1]
J 4-9-1625 4-916 4-9 4j
4025 ) ( 
4-9-16-25 J J
• d
( 1 1 1 í
a
f 800 1
E = a'4’9'16'25A
f l2®! Í25'| 
2-3^ 32 7^
f 1 X X2 X3 
r?’x4‘>4\4.
.-4.9-16) J49) J-4)
a3b
3 S rw
<4025-25+ 400-3600]
=>E=al 4-9-16-25 J
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 51
Questão 2.27
^2 3/x4 77Simplifique
Questão 2.28 (*)
Determine o valor de n, tal que
c) 100 d) 99 e) 98a) 102 b) 101
Questão 2.29 (*)
Sendo n um número impar, simplifique
a)1
nas questões(*) Observação: Use S
2.28 e 2.29.
2
n radicais
N x3!
X21
x1!
e) x
-nqn-1+lj
2
n(n+1) 
b) x 2 c) xn d) x’n
a(qn-l) rq[(n-1)-qn
q-1 (q-1)'
52 2 Radiciação
"m" vezes
'aja =
Demonstração:
"m" vezes “m" vezes"m" vezes
E = 'a-
E =
'a1
Generalização:
"m" vezes
"m" vezes "m" vezes
,2n=> E = \anE = => E =
> E =
”m
A partir de agora veremos várias séries finitas. Atenção aos raciocínios das 
demonstrações, pois dão uma visão além do alcance. Vejamos!
E = =>
"m" vezes
2.4) Séries Finitas de Radicais:
Nesta seção, veremos as séries finitas de radicais. São séries que facilitam 
muitos cálculos e são ferramentas rápidas e eficazes na hora da prova.
Demonstração:
"m" vezes
aa2a4-...
S1. Multiplicação de Raizes na Forma 2m.
Esta primeira série aborda produto de radicais cujas potências aumentam em 
PG, o resultado é a raiz de índice da potência 2™, eo radicando é a soma de 
uma PG.
=> E=
an7an^
"m" vezes
2-2-2-...2
=> E= ’
'an -a' 'an-a2n
“m" vezes 
<2n(l+2+4...+2m)
"m“ vezes
^a1+2+4...+2m
ía2m-1
a2"1"1
•a4n
'ada
2m-1 
a 2-1
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 53
”m” vezes
=> E =
=> E = 3
M25"vezes
=> E — 2 => E = 2
"n” vezes
Demonstração:
"n”vezes"n"vezes"n" vezes
m=> E ==> E
"n"vezes
"n" vezes
mn■••mm ml=> E =
22.Í3?L1] . I 225 J
m + m2 -r.m - mm •... m=> E =---------------- Va1’
Resolução: Podemos escrever: 
"25"vezes
|m/m| iV Va-a
+ m + m2 + ...
E= V16Vl6x/Í6
S2. Multiplicação de Raízes na Forma m".
Esta série é uma generalização da série anterior, o resultado segue o mesmo 
raciocínio.
=> E = ^
1024-n 
. 1024 )e = JaVâTa
"10" vezes
22.Í32ízl 
, l 22 223
_ —m a a
Í210-i]
^E = 3W
f225-l) 
225 => E = 16l 2 >
(225-l)
=> E = (24j, 225 I
>/i6a/i6VÍ6 = Z 223 <
‘‘25" vezes z 1
Exemplo Resolvido 52: Mostre que >/l6\/l6\/l6>/Í6 = 2^ 223 I
■a1”2
"10"vezes
‘ ~------ - r 1O23'|
Exemplo Resolvido 51: Mostre que iJ3\/3i/3\/3 =3^1024' 
Resolução: Podemos escrever:
"10“vezes
■ . ' = í10231 
V3V373V3 =3^1024<
=>E = ^
54 Radiciação2
ou E = a'
Generalização:
"n" vezes
^an ^an ^17 = a
"n" vezes
=o E =
"n"vezes"n" vezes
=> E =
n -
a
ou E = a ou E = a
"5" vezes
Exemplo Resolvido 53: Efetue
"16" vezes
Exemplo Resolvido 54: Efetue
E = => E =
n 
m -1
mn-1 
m -1
1 
mn (m -1)
mn-1 
mn- (m -1)
V
Resolução: Podemos escrever:
”5"vezes 
1016/
~W 9 J
Resolução: Podemos escrever:
"16"Yezes 10is | fio16-il
1 ~v7u°-1J
Demonstração:
"n”vezes
n • I m -1
i k 7
n H'1) 
mn (m -1)
E=
E = ^5
■ a™2
• m/gn
í—1 m -1 |
n 
mn (m -1)
L'- 
ou E = aL
í s5~11 . f J4 55J
■•■10/7
m m
m mi
‘n“ vezes
m m m ...-rn| n(umTm2
'an -anm
'ananm
E= >n ^an
n£
E= V
1?/71^ => E =
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 55
Demonstração:
"m" vezes
"m" vezes
a a
”m"vezes
; se m for par.
"m"vezes
xja -r >/a -r >/ã
Generalização:
”m”vezes
n •
a
an-?-van => E =
se m for ímpar.
(-2)-1
1 - (-2)m
3
1-(-2)m
3
Demonstração:
"m" vezes "m" vezes
"m" vezes
Va -5-7a * Vã =
a-r-a2 => E = W+a4...
E = ’\|anZ
=> E= '
"m"vezes
E = '\ja + \]a^y/ã
a 3
"m" vezes 
E= 222- '27a1-2 + 4--H-2)m
S3. Divisão de Raizes na Forma 2m.
Esta série é com divisão, em vez de produto, segue o mesmo raciocínio das 
séries anteriores.
"m" vezes
7a +
"m" vezes
'an-r-a2n
56 2 Radiciação
"m" vezes
"m" vezes
=> E =
n
a
"m" vezes
\jan . \jan a = \ a
"m" vezes
; se m for par.
"m" vezes
"8" vezes
"8"vezes
3
"9" vezes
E
S4. Divisão de Raízes na Forma mn.
”n"vezes
a
Jan^Van-
an + se m for ímpar.
Essa série é uma generalização da série anterior, o resultado segue o mesmo 
raciocínio.
Exemplo Resolvido 55: >J3^Z3 +73
Resolução: Podemos escrever:
m +1
n.ílsHT] 
3I ' }
(1-281 í 1 - 28 1
3' 3 ' E = 3' 3 28 !2!
=>E =
É 22-2..,2n-(1-2.4-„. + (-2)mj
?!
=> E =
I 
5 3
__ === £
E = 'tf3* 73-73 =>E=
1-(-2)8
3
29/ 1-(-2)9
2m
=> E =
E= V5-75-V5 =>E =
í—]Exemplo Resolvido 56: '^5 4- Võ = 5^3 2
Resolução: Podemos escrever:
"9" vezes
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 57
Demonstração:
"n"vezes"n" vezes"n"vezes
4'Vã =>E = mm =>E =
"n" vezes
"n" vezes
=> E =
"n" vezes
a
"n" vezes
; se n for par
n vezes
=m/
Generalização:
"n" vezes
"n"vezes
m/an => EE =
"n"vezes"n" vezes
E =
n •m m
a
"n"vezes
n ■
m/
a
se n for ímpar
(-m) -1
= m?
i^an^,>yãF
Demonstração:
"n"vezes
1-(-m)n 
m t-1
1-(-m)n 
m +1
-rí/an + 'y]
”n" vezes 
••• mn • - m + m2 - ...+(-m)nj
nf
=> E= '
m
E =
/—m= —
an^anm
'a4-amE= T/
í (-m)n- 1
I l-m) -1 
ak
58 2 Radiciação
; se n for par.
Exemplo Resolvido 57: Mostre que
Resolução: Podemos escrever:
E = =>E =a
101
Exemplo Resolvido 58: Mostre que
Resolução: Podemos escrever:
6Vx =
I6/
se n for ímpar.
14-6'
7
"2n"vezes
1-(-10)2n 
10+1
"2n" vezes
■107a,107^
"2n-1" vezes
62n~1 62n~1
102n
^a -r1 Syã => E = \
;2n-1 j
E =
;2n-1j
= abi io2nJ
102"í p-102n'|
-- \ l 11Vak '
(1-102n 1
= abl-102nJ
"2n-1" vezes /
W2n-1;vezes 
■6O
"n"vezes
1 + 62"-1 
7■62n-’
1+ 62n’1 
6+1
"2n“vezes
•■io7T^
= xl7-62"-1
'a + 1^
I 1 1 + 6‘
1_ 1~10<
E = a102"' 11
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 59
Problemas Propostos
Questão 2.33
Qual o valor de
Questão 2.34
5Efetue
Questão 2.35
"n" radicais
X X X...
Se x * 0 e n é um número par, determine 
)
3
Questão 2.36
Qual o valor de
"n" radicais
Questão 2.32
Qual o valor de E^1^.'^.1^.....’0^ ?
Questão 2.31
Qual o valor de E = -^3® 7
x Vx
Questão 2.30
Efetue E =
e) x1 + 2°
3(1- 2 
b) x 2“
6J7
2(2" -1) 
a) x 3
2(1+ 2‘n 
d) x”
X + Vx-r-.-.v/x 
"n“ radicais 
4(1-2-")
c) x 3
60 2 Radiei ação
Questão 2.37
"n“ radicais
Questão 2.38
"n" radicais
Questão 2.39
Qual o valor de
"n" radicais
íuestão 2.40
Simplifique
Questão 2.41
Qual o valor de
radicais
Questão 2.42
Determine o valor de
S ,2
Dica: Soma dos termos de uma P.A.
a(qn-l) rq[(n-1)-qn-n-qn’1+l] 
q“1 + (q-1):
x/ xx 
VX
a) x|n-2»+2'
b) x("~1)+2'
c) xn+2'n
d) x(n+1>+2'
*/ X3 
vxx X2 VX
x/ x4 Vx
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 61
=> x =x =
A partir de agora, veremos as séries infinitas. Atenção aos raciocínios que 
aumentam a visão do leitor. Venha comigo!
=> x2
•\2
X =
=> X2-
2.5) Séries Infinitas:
Nesta seção, veremos as séries infinitas de radicais, cujos raciocinios fornecem 
uma boa maturidade para quem os estuda. São séries que facilitam muitos 
cálculos e são ferramentas rápidas e eficazes na hora da prova, vejamos
S1. Radicais em Soma:
Aqui veremos as séries em soma, acompanhe cada caso com atenção.
a) Soma de Radicais Simples:
I I < b +Vb2 + 4a 
va + b>/a + bva + ...oo =-------- - --------
b) Soma de Radicais com Termo Fora da Raiz:
^a + bVa + bVa + ...oo^b + 7^
=> x2 = a + x
/ - 1 + Vi + 4a
Va-í-...cD =------------------
2
Demonstração:
xja- Va + => x2 = a + Va + Va"^ ...a>
x-a = 0; A = (-1)2 — 4.1.(—a) => A=1 + 4a;
-(-1) ± >?1 + 4a 1 + Vi -r4a
2J => x - 2
I I ' E 1 + Vi + 4a 
a + va +... co =--------------- .
2
Demonstração:
x = Va + b Va + bVã + ...a> 
=> x2 - bx - a = 0 ;
-(- b)± Vb2 + 4a
X ~ 2.1
=> x2 = a +bVa + b>/a+ ...00 => x2=a + bx 
=> A = (-b)2 - 4.1 .(-a) /. A = b2+4a;
b + Vb2 +4a
=> x - ----------------
2
2 Radiciação62
; VabeR+.
x =
; Vac e R+ .
= a + 1
..CO
.-. x/ab + b x/ab + bx/ab+ ...■» =
.-. x/ac a-
c) Soma de Radicais com Termos em Produto:
 b + x/b2 + 4ab
2
x/ab+ bx/ab a-bx/ab+ ...00 =
d) Soma com Termos em Produto e um Termo Fora da Raiz:
 I , / . r b + Vb2 + 4ac
Vac + b\/ac + bvac + ...oo =--------- ----------
e) Soma com Produto de Termos Consecutivos:
^a(a + 1) +Ja(aa1) + Ja(a +1) + ...oo
Demonstração:
x = Ja(a + 1) + Ja(a a-1)a- Ja(a + 1) + .
b + x/b2 + 4ab
' X“ 2
b + x/b2 + 4ac
2
Demonstração: x = x/ab + bx/ab a-bx/ab a-...oo => x2 = ab a- bx/ab + bx/ab a- ...«>' 
=> x2=ab + bx => x2-bx-ab = 0;
=> A = (-b)2 - 4.1.(-ab) => A = b2+4ab
 -(- b)± x/b2 + 4ab b + x/b2 + 4ab
X “ 2J ~ 2
b + x/b2 + 4ab
2
b x/ac + bx/ac + ...oo =
bx/ac + bx/ac a ...oo
Demonstração:
x = x/ac + bx/ac + bx/ac + ...co => x2 = ac +
=> x2 = ac + bx => x2-bx-ac = 0;
=> A = (- b)2 - 4.1.(- ac) => A = b2+4ac 
-(- b) ± x/b2 + 4ac b ± x/b2 + 4ac b + x/b2 + 4ac
.-. x = —----- ------------------- => x = - ---------------- -- .'. x =--------------------
2.1 2 2
bx/ac + bx/ac + ...oo
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 63
=> X =X =
X
2)
=> X =
..oo
^a(a+ 1)(a + 2) +^/ã(a + 1)(a+ 2) + ...co =
g) Soma de Termos Consecutivos e com Termo Fora da Raiz.
J a (a +1) + (a - 2) ^a(a + 1) + (a-2)^ã(a + 1) + =
Demonstração:
x = ^a(a + 1) + (a-2)^(ã+1) + (a-2)>/a(a + 1) + .
(a - 2) + -ha2 +4
2
=> x2 = a (a +1) + ^a(a + 1) + 7a(a + 1) + ...CO
=> x2=a(a + 1) + x => x2-x-a(a + 1) = 0;
=> A = (-1)2-4.1.[-a(a + 1)] => A = 1 + 4a2 + 4a A = (1 + 2a)2;
(~1)±^/(1 + 2a)2 _ 1 +1 + 2a
2.1 ~ 2
^a(a + 1)+ Ja(a +1) + ^a(a + 1) + ...co
f) Soma com Produto de Três Termos Consecutivos:
1 + ^/l + 4a(a + 1)(a + 2)
2
1+ ^1 + 4a(a + 1)(a + 
2
I-------------------------- , 1 +Jl + 4a(a + 1)(a + 2)
.-. ^a(a + 1)(a + 2) + 7a(a + 1)(a + 2) + ...co = —i----------— ----------- ;
Demonstração:
= Ja (a +1) (a + 2) + ^a(a + 1)(a + 2) + ^(a + 1)(a + 2) + ...co
> x2 = a(a + 1)(a + 2) + ^a(a + 1)(a + 2)+ ^ã(a + 1)(a + 2) + ...CO 
=> x2 = a(a+ 1)(a + 2) + x => x2 - x - a(a + 1)(a + 2) = 0 ;
=> A = (-1)2-4.1.[-a(a + 1)(a + 2)J A = 1 + 4a(a + 1)(a + 2) ;
 -(-1)± Vl + 4a(a + 1)(a + 2)
X= 2.1
2 +2a=> x =-------- .-. x = 1 + a
2
= a + 1 ; Va(a +1) e R+ .
Radiciação264
=> X =X =
= 2a + 1
x =
Ja(a +1) + (a - 2) ^a(a +1) + ...oo =
Va(a +1), (a - 2) e R+ .
h) Soma interessante:
•Ja(2a + 1) + (a + 1) ^a(2a +1) + (a + 1)^a(2a +1) +..
Demonstração:
= ^a(2a +1) + (a + 1)^a(2a +1) + (a + 1)^a(2a + 1)+ ...«?
a + 1) +...00 
x2 - (a + 1)x - a (2a +1) = 0 ;
Demonstração:
x = Ja(a -1) + ^a(a-1) + 7ã(a-1) + ...00
3 + *1 + 3a +1 
=> X =---------------------
2
x
=> x2 = a (2a +1) + (a + 1)^a(2a + 1) + (a + 1)^a(2:
=> x2 = a(2a +1) +(a + 1)x =>
=> A = [-(a + 1)]2 -4.1.[-a(2a + 1)] => A = a2 + 2a +1 + 8a2 + 4a
=> A = 9a2+6a + 1 A = (3a + 1)2;
[-(a + 1)]±J(3a + 1)2
2.1
=> x2 = a (a + 1) + (a - 2)^a(a +1) + (a-2)^/a(a +1) +
=■ x2 = a(a + 1) + (a - 2)x => x2 - (a - 2)x - a(a +1) = 0 ;
=> A = [-(a - 2)]2 - 4.1 ,[-a(a + 1)] => A = (a-2)2 + 4a(a +1) 
=> A = a2 - /1-á" + 4 + 4a2 + pá A = 5a2 + 4 ;
[-(a - 2)]± -Jèa2 + 4 (a - 2) + 75a2 + 4 
25 X= 2
(a - 2) + 75a2 + 4
2 r
.-. [x = 2a + l|.
i) Soma com Inverso do Produto Consecutivo:
Ja(a-1) + Ja(a-1) + Ja(a-1) +...» = a ; Va(a-1)e .
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 65
x =
a + b
Demonstração:
.2
a + b = J(a + b)2 => a + b = 7a2 +2ab + b2 => a + b = ya2+b(2a + b) 
*2a + b = ^(2a + b)2 => 2a +b = ^[a + (a + b)]2
=> 2a + b = y]a2 + 2a(a + b) + (a + b)2
=> x2 = a(a-1) + y/a(a-1)+y/ã(a-1) + ...c°
=> xz=a(a-1) + x => x2 - x-a(a-1) = 0;
=> A = (-1)2 -4.1 ,[-a(a-1)] => A = 1 + 4a2-4a A = (2a-1)2;
(-1)± ^/(2a-1)2 1 + 2a-1 2a
---------- i------------- => x =------------- => x = — x = a .
2.1 2 2
■. ^a(a-1)+ ^a(a-1)+ ^a(a-1) + ...x = a ; Va (a -1) e r'_ .
=> 2a + b = ^a2 + (a + b)(2a +a+ b) 2a + b = \|a2 +(a + b)(3a + b) 
* * 3a + b = ^(3a + b)2 => 3a + b = 7[a + (2a + b)]2
=> 3a + b = yja2 + 2a(2a + b) + (2a + b)'
=> 3a + b = ^a2 + (2a + b)(2a + 2a + b)
=> 3a + b = ja2 + (2a + b)(4a + b) • ■ •
Logo, temos:
a + b = ^a2 + b(2a + b) => a + b = ^a2 + b^a2 +(a + b)(3a + b)
=> a + b = ^|a2+bjã2+(a + b) Jã2 + (2a + b)(4a + b)
j) Soma com Termos em PA:
Radiciação266
a + b .
=> E —=> E =
?
+ 4-4 => E = => E =
=> E =
=> E ==> E ==> E =
Exemplo Resolvido 62: Efetue 73-8 + 573 8 + ...
.-. 73-8 + 57^8 + ...co = 8.=> E =
5 + 7Í2Í
2
1 + 7T+8
2
5+725 + 96
2
1 + 79
2
Resolução: Podemos escrever: 
3 + 7^
2
3 + 725
2
4+764
2
E = l
2̂
 4 + 8
=> t =--------
2
E = 74 + 374 + ..Z
3 + 5 8 r- A
=> E =------- => E = - => E = 4 .
2 2
Exemplo Resolvido 60: Qual o valor de ^4+ 3^4+ 374 + ..
r- 12 => E = — 
2
Resolução: Podemos escrever: 
=> E = 73 ■ 4 + 473^4 +...00 
 
4 + 716 + 48
2 
7l2 + 47Í2 + ...co = 6 .
Exemplo Resolvido 61: Qual o valor de 7l2 + 4712 + ...co = 6 ?
Resolução: Podemos escrever: 
I------------ , 5 + 7õ2 + 4-3-8
E = 73-8 + 573 ■ 8 +...oo => E =-------------
2
5 + 11 16
=> E =--------=> E = —
2 2
E = 7l2 + 47Í2 + ...°o
4 + 742 + 4-3-4
2
Exemplo Resolvido 59: Efetue 72 + 72 + ...oo .
Resolução: Podemos escrever:
 E = 72+ 72 + ...co =. E = 1 + ^2+4'2 
 
.■. x/2 + \/2 + ...co = 2 .
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 67
Exemplo Resolvido 63: Qual o valor de 742 + 742 + 742 +.. ?
=> E =
=> E ==> E ==> E =
4
=> E =
=> E = => E =
Exemplo Resolvido 66: Efetue 7210 + 117210 +117. .
= 2-10 + 1 E = 21
Í6- 7 +
6+1
|6- 7 + 6- 7 +...co
6+1 7 6+1
E = 6 + 1 742 + 742 + 742 + .
1 + 749
2
Exemplo Resolvido 64: Efetue 72■2•3 + 72 ■ 2 ■ 3 +.. .00 .
= 78•9 + 678-9 + 678-9 + 6...cc 
(8-2) + 75-82
2
=> 72-2-3 + ^-2-3 + ...co = 4.
Resolução: Podemos escrever:
E = 72 • 2 ■ 3 + 72 • 2 ■ 3 + ...■»
=> E = 72(1 + 1)(1 + 2) + 72(1 + 1)(1 + 2) + ...a 
1+71 + 4 2 2-3 E 1+71 + 48
2 " 2
Exemplo Resolvido 65: Efetue 772 + 6-^72 + 6772 + 6...00 .
Resolução: Podemos escrever: 
E = 772 + 6772 + 6772 + 6...co => E
Resolução: Podemos escrever:
 
E = 742 + 742 + 742+777
 1+7 8
=> E =------ => E = —
2 2
E = 6±18 . E = 12
2
=> E = ^8(8 +1) + (8 - 2)78(8+ 1) + ...m
6 + 7320 + 4 E 6 + 7324
2 " 2
Resolução: Podemos escrever:
E = ^210 + 11^210 +1 iV...» = ^10(21)+ 11^/10(2-10+i) + ii777í
E = ^10(2-10 + 1) + (10 + 1) 710(2 10 + 1) + ...co
68 2 Radiciação
?
?
=» E = 3 + 7
Problemas Propostos
Questão 2,43 (AHSME-1954/Stanford-2010)
Se x =
a) x = 1 b) 0 < x < 1
c) 1 < x < 2 d) infinito
e) x > 2 , mas finito
Questão 2.44 (Harvard-MIT-2000)
Qual o valor de
Questão 2.45 (Harvard-MIT-2000)
Qual o valor de
7l2-11 + 7Í2-11 + ...CO =
Exemplo Resolvido 68: Qual o valor de yjQ + 7^9+ 10^9 + 137... 
Resolução: Podemos escrever:
E = \]9 + 7^9+ 10^9 +1377?»
=■ E = j32+7^32+(3 + 7)^2 + (2-3 + 7)77»
.-. 79 + 7Va +1 o>/9Ti37777^ =10.
Exemplo Resolvido 67: Qual o valor de 712-11 + 712-11 + ...00
Resolução: Podemos escrever:
^12 (12-1) +712 (12-1) + . ..co
=• 7l2-11 + 7Í2-11 + ...oo =12.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 69
Questão 2.46
Qual o valor de
Questão 2.47
Qual o valor de
Questão 2.48
Qual o valor de ?
Questão 2.49
Qual o valor de
Questão 2.50
Qual o valor de
Questão 2.51
Qual o valor de
Questão 2.52
Qual o valor de
(x + n)^a(x + 2n) + (n + a)2 + (x + 2n)... ?I olax + (n + a)
^60 +
/ 2+ x Ja(x + n) + (n + a)
^60 + ^60+77 ?
Radiciaçâo270
X =
c) Diferença do Inverso de Termos Consecutivos:
a
..oo = a ; Va(a + 1) e R+ .
S2. Radicais em Diferença:
a) Diferença de Radicais Simples:
x2=a-x
= a-1 ; Va(a-1)eR*+ .
b) Diferença de Termos Consecutivos:
Ja(a + 1)- Ja(a + 1)- Jã(a +1) - ...= =a ; Va(a + 1)e .
/------ / -1 +Jl + 4a
a - Va -...» =------------------
2
Demonstração: 
x = a - \la - -7a -7 
=> x2 + x - a = 0 ;
-1 ± V1 + 4a 
x =-----------------
2.1
2a
=> x = — .'. x = a .
2
-1 + 1 +2a
=> x =---------------
2
Demonstração:
x = ^a(a +1) - N/a(a + 1)-/a(a + 1)-...cor
=> x2 = a (a +1) - Ja (a + 1) - ^a(a + 1)-...oo
=> x2=a(a + 1)-x => x2 + x - a(a +1) = 0 ;
=> a = 12-4.1.[-a(a + 1)] => A = 1 + 4a2+4a A = (1 + 2a)2;
-1± 7(1 + 2a)2
2.1
.-. ^a(a +1) - Ja(a +1)- ^a(a +1) -.
..co => x2 = a -Va - Va - ...<» =>
=> A = 12-4.1.(-a) => A = 1 + 4a;
-1 + Vl + 4a 
=> x =-----------------
2
I i -1 + Vl + 4a
a-Va-...co =----------------- .
2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 71
Demonstração:
/. x = a -1.x =
d) Diferença interessante:
= a -1
Demonstração:
x = a-1.
2a-2=> x =---------
2
= a-1 ; Va(a-1) e K*. .
x = ^2a(a -1) - (a +1) ^2a(a-1) -(a + 1)^2a(a-1)-(a + 1) x/...co 
=> x2 = 2a(a -1)- (a +1)^2a(a -1)- (a + 1)^2a(a -1) -(a +1) V...«j 
=> x2 = 2a(a-1)-(a + 1)x => x2 + (a + 1)x - 2a(a -1) = 0 ;
=> A = (a+ 1)2-4.1.[-2a(a -1)] => A = a2 + 2a +1 +8a2 - 8a
(a + 1)±7(3a-1)z
2.1
x = (a -1) - ^a(a-1)~7a(a-1)->í7Í
=> x2 = a (a -1) - ^a(a-1)-7á(a-1)-^..oc
=> x2=a(a-1)-x => x2 + x-a(a-1) = 0 ;
=> A = 12-4.1 ,[-a(a-1)J => A = 1 + 4a2-4a A = (2a-1)2;
7(23-1)2 ■ - ' - -
2.1
.-. 7a(a-1)-7a(a -1)- ,/a(a -1)-5/...'jo =a-1 ; Va(a-1)e R'+ .
-1 + 2a-1=> x =---------------
2
=> A = 9a2-6a + 1 .-. A = (3a-1)2; => x =
-a-1 + 3a-1 2a-2
=> X =----------------------- => X =--------- -
2 2
.-. 72a(a-1)-(a-|-1)V2a(a-1)-(a-1)>^°°
Radiciação272
=> 720-720-/
720 - 720 - .Tot = 4 .=> 720 - 720-.'
'...CO
= 8
..00 = —
2
=> 720-720-7?^ =
=> 720-720-...00 =
Exemplo Resolvido 71: Qual o valor de 7l00 99- 7l00-99-7...co ?
Resolução: Podemos escrever: 
7l 00-99-^100-99 - V...CO = ^100(100 -1) - 7100(100-1) - >/...oo
=> Jl00-99~7l 00-99-7777 =100-1
=> V100 ■ 99 - 7l 00-99-7777 = 99 .
Exemplo Resolvido 69: Qual o valor de 720-720-...co ?
Resolução: Podemos escrever: 
720-720-7/T =
Exemplo Resolvido 72: Efetue 7l 2 -4>/l2-47...cõ .
Resolução: Podemos escrever:
7i2-4V?2 -4^...00 = 72-3-2-4V2-3-2-4V?TZ =>
7l 2 - 4/Í2 - = ^2 ■ 3 • (3 -1) - (3 +1) 72 • 3 • (3 -1) - (3?
=> y12 — 47l 2 — 4-7770 =3-1 => 7l2-47l2 - 47...00 = 2 .
-1 + 71 + 80
2
= -1 + 9..co =--------
2
Exemplo Resolvido 70: Efetue 7s■ 6- V5-6-75-6-...co .
Resolução: Podemos escrever:
75-6-75^6-...□□ = 75 • (5 +1) - 75 (5 + 1)-75 (5 + 1)-...Z 
.-. 7õ ■ 6-75-6-75^6-.= 5 .
-1 + 71 + 4-20
2 
-1 + 781
2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 73
a > 1
0
X2
a > 1.
= a ; Va > 0 .
S3. Radicais Alternados
a) Radicais Alternados Simples:
7 a - Va + Ví-...<» =
Somando e subtraindo x3, x2 e ax, temos: 
x4 -|2ax21 + a2-x-a = 0
fa + x = a - x2
b) Radicais Alternados de Termos Consecutivos:
^a (a +1) - Ja(a + 1)
1 + 71 + 4a _ .
--------------- ; 0 < a < 1
2
-1 +V4a-3
2
—1 + 74a — 3
X =---------------------
2
, „ + ax - ax = 0
-a-xj + ^x2 -x-a) =
x-a = 0 ou x2 + x- a + 1 = 0
x3 - x3 + x2 - x2 + ax
x-a)-a(x2
+ x-a + l) = 0 x2-
, .,2 . . ■ -
Va — ...oo
|2 => a + x = a2 -2ax2 + x4
Demonstração: Nesta demonstração usaremos uma técnica de fatoração que 
será mostrada no capitulo sobre fatoração.
x = Va - Va + Vã- ...oo => x2 = a - 7a + x
=> a + x = (a -x2)
=> x4 -2ax2 + a2-x-a = 0
=> x4 - ax2 - ax2 + a2 - x - a +
=> x2(x2 -a-xj + x(x2 -
=> (x2-a-x)(x2
x2-x-a = 0 => A = (-1)4 - 4.1 .(-a) A = 1 + 4a;
x = ~(-1)±Vl + 4a
2.1
rX-a + 1 = 0 => A = 12-4.1.(-a-í-1) A = 4a-3;
-1± 74a-3x =-------2.1
74 2 Radiciação
=> k =
0
0
0ou
= a(a + 1)- x2
+ x + l)].[k - (x2 + x)J =
2x2 +1±2x + 1
2
 2x2 +1-(2x + 1)
“ 2
=> A = 4x4 +4x2 + 1-4x4 +4x
x-a(a+ 1) + [a(a+ 1)]2 =0
-k + k2=0 => k2-(2x2 +l)k + (x4-x) = O
=> A = [-(2x2+1^]2
Demonstração:
x = Ja(a +1) - ^a(a + 1) + ^(a + 1) — x/. ..co 
=> x2 = a(a + 1)-^a(a + 1) + x => ^a(a + 1) 
=> a(a + 1)
(*) Observação: É muito interessante essa técnica de encontrar as raizes de 
uma equação, em função do parâmetro.
Assim, temos:
x4-2kx2-x-k + k2 = 0 => 1-[k-(x2
+ x + l)]-[a(a + 1)-(x2 + x)] =
I: = 0 ou a(a + 1)-(x2 + x) =
ou x2 + x - a (a + 1) = 0
+ x-a-a2=0 => x2-a2 + x-a = 0
0 => (x-a)(x + a + 1) = 0
=> [a(a +1) - (x2
a(a + 1)-(x2 + x + 1
x2 + x +1 - a(a +1) = 0 (não serve) 
x2 + x-a(a + 1) = 0 => x2 
=> (x + a)(x-a) + x-a =
-4.1.(x4 -x)
=> A = 4x2+4x + 1 => A = (2x + 1)2 
_-[-(2x2+l)]±7(2x + 1)2 
2/í 
2x2+1 + 2x + 1
=> kt=---------------------
k-, = x2 + x + 1 ou I
- ou k1 
k1 = x2 +
= (a(a + 1)-x2]2
=> a (a + 1) + x = [a (a +1)]2 -2a (a + 1)xz + x4
=> x4 -2a(a + 1)x2-x-a(a + 1) + [a(a + 1)]2 =0
Fazendo k = a(a + 1), temos uma equação do 2° grau em função de k (*): 
x4 -2a(a + 1)x2 - 
=> x4 -2kx2 -x
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 75
= a ; Va > 0.
Exemplo Resolvido 73: Mostre que
Resolução: Note que 0 < - < 1, então:
=s E =E =
2
=o E =
= 1.
=> E ==> E =
= 1.=> E =
Exemplo Resolvido 75: Efetue
8.
'3
4
3
4
3
4
'3
4
2
4
■\J8-9-
1+74
2
2
=> x - a = 0 |x = a| ou x + a + 1 = 0 => [7 
Logo:
=> E = l
2̂
78-9- ^8 ■ 9 + V8~9 - 77?õõ .
= —a —1| (não serve)
'3 3---- ...co = — .
4 2
=> E = Z1±3 
2
2
73 - 73 +
I3 3---- ...co = —
4 2
1 +
E = —
Exemplo Resolvido 74: Mostre que \/3-a/3 + x/3-...co
Resolução: Note que 3 > 1, então:
E = 73->/3 + V3-...<o => E = ~1 + ^'3~3_
=> E = 2
2
Í1 + 4 • 3
4
Resolução: Podemos escrever:
^8 • 9 - ^8 ■ 9 + ^8 ■ 9 - = ^8(8 + 1)- ^8(8 +1) + ^8(8 + 1) - 77^
3
4
76 2 Radiciação
Problemas Propostos
Questão 2.53
Qual o valor de 11-
Questão 2.55
Qual o valor de
Questão 2.56
Qual o valor de
Questão 2.57
Qual o valor de 2450-x/2450 —
Questão 2.58
Qual o valor de
Questão 2.59
Qual o valor de
33
64
'21
16
'33
64
b 
2
77^
Questão 2.54 (Rússia/IMO-Longlist-1969)
Prove que, para a > b2 , ocorre a identidade
/ K / K I-----K /-------- I 3b2
>Ja-b\la + bJa-b>/a + ... = Ja--------
V 4
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 77
S4. Radicais em Produto:
a
Demonstração:
= a .
Demonstração:
= ax =>
Outra forma:
; Vm gX-{0,1} e a > 0 .a
Demonstração:
x = = ax =>a
; Vm e R - {0,1} e a > 0 .a
m/ Vm gR - {0,1] e a > 0 .
2 
m
1 
m
2 
m
2'
m
x = '
2 
a(a...co)m
x = 7a7ax/ãT^» => x2 = ax x = 0 ou x = a
T/an
1
x = am"1
b) Generalização para n-ésima Potência de índice m.
—vã
1
= am“1
1
= am-1
a) Generalização do Produto Anterior, para Raiz de índice m:
=> xm
'ava...cc = a
1 A 
a(a...co)m
m
— = a => xm-1 = a 
X
1 A
, J-'lm 
a(a...co)m
x = => xm — = a => xm-1=a 
X
^a...w = ——Vã ; Vm e R - {0,1} e a > 0 .
V^a.-.co = ——Vã ; Vm e R - {0,1} e a > 0 .
Radiciação278
xm = an ■ x'an -x
=> x’
Vm e 111 - {0,1} e a > 0 .
Outra forma:
a
k
Demonstração:
xm = an • xan => x =X =
= an x = a'
a
^2^77=—^
1 
m
n 
m-1
1 
m2)
2> 
m 2
(an •x)"’
Exemplo Resolvido 77: Efetue ^2^2^27^ = \/2 .
Resolução: Podemos escrever: 
^2^2^2...» = $2 .
Exemplo Resolvido 76: Efetue 00^1 00 Vi00.. .°o .
Resolução: É imediato que J100J1 00>/100...co = 100 .
2'
an(an...»)m
=» x = ^ í2 = an
X
TJan
:m-1 =an x = ~>/ã".
; Vm e R - {0,1} e a > 0 .
n
= am“1
; Vm e R - {0,1} e a > 0 .
Demonstração:
x=mJan 'V^an...oo
n
= am"1
1
2 'im 
a(a...co)m
íZ = an => Xm"1 
x
2 
a(a...co)m
m/an n\/
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 79
m/ e a > 0 .
Outra forma:
1 
')m ; tfm e X - {0,1} e a > 0 .a -5-
f i
Exemplo Resollvido 78: Mostre que 81 8(8...00)9
1
I9
1
Im
|9
a-(a-...co;
x = x/ã \[t
xm’1
...» = —--Jã ; Vm e R - {0,1}
Demonstração:
x = 2a-rVaTrVa-...»
Resolução: Podemos escrever:
* í— I í = 8<9-1-1 =•
m +1 /— 
= a /. x =----- x/a=> xm = a -i- x =>
Demonstração:
X = 7a -r Jãã-...»
b) Generalização da Raiz Anterior para Raiz m-ésima:
r\la + r7ã+ l\Za-s-..S = Jã ; Vm e R - {0,1} e a > 0 .
1
9 í 11
= 8v8J
S5. Radicais em Divisão 
a) Radicais Simples:
11
( 1)9
8 8(8...oo)g
f
8 8(8...00)9
=> x2=a-s-x => x2 = — => x3=a 
x
1
= amt1
Radiciação280
Demonstração:
1 
•)mx = a -r
k
; tfm e IR -{0,1} e a > 0.a -e-
xm = an -r x=> x =
xm • x = an
Outra forma:
; Vm e R- {0,1} e a > 0 .
Demonstração:
:)(aX =
a
x
m
1 ' 
m
1 
m
1
Um
Im
a + (a + ...»
a-(a*.
an -J an *(an -e-...»)™
a*(a-s-...oo
xm + 1
=> x = (an
’an+ \lan+...°o = —-jã" ; Vm e R - {0,1} e a > 0 .
Demonstração:
* = Ían+n£^an=> x = rx/ana-x 
xm + 1 = an x = ~■7a"
1
= a x = am + 1
xm = a -e- x => xm
1
_ glT) +1
c) Generalização Para a n-ésima Potência e Raiz de índice m.
^.^a" a-^a" a-...00 = —; Vm e R - {0,1}e a > 0 .
n
= am + 1
1 'j
1 'Im 
. .cojm
1
Jm
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 81
; Vm g R - {0,1} e a > 0 .an + an
k
d) Divisão Composta 01:
a = m^
m
Demonstração:
ax =
m
- ="W
m
I
m
I
■0
i a 'ífl
ífil
xm = ? = xm.1 „a 
X
n
xm*1 =an x = am + 1=> xm=an+x => xm = — 
X
n
_ gOl + 1
1
1 'Im
(an
a
T
ce
a
"fl
Radiciação82 2
e) Divisão Composta 02:
= a
rj
..00 .
( —
Exemplo Resolvido 81: Mostre que 11 + 11 + (11 + ...co)io
1 
m + 1
m
_1_ A 
110
m
-^1 m mm J
Demonstração: 
mm m 
m-m /— 
------ Vap. 
p 
■p-
Exemplo Resolvido 79: Efetue 7274 727 4727 4-/
Resolução: Podemos escrever:
= 727 => 727-x/27-4 727 -5-,..00 = 3 .
=a(íi-^+^+
Resolução: Podemos escrever:
024 4-71024 4-...co = —71024 
=> 5/1024471024 4-...» = 7?°
&
1° m=11lnj.
Exemplo Resolvido 80: Efetue ^10244 7l0244-...« .
727 4^27 4-7277 ...CO
'■f-
N a
a _3(m + V
7l024 4TÍÕ24 4...» = 71024 
x/l024 4 TÍ024 4...» =4.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 83
64 = .Exemplo Resolvido 82: Mostre que
2016
Resolução: Podemos escrever:
= 2016^664 642016/ZT- ------ V64
2016
64
2016
Resolução: Podemos escrever: 
_i 
10
( 1
11-r 11-r(l1-r...<Z))l0
2'
110
2016
I
2016
I
2016
I
2016
I
” (-1= 11^
1 A
( 1 V0
11-5- 11-=-(1l4-. ..00)10
1 
= ^10 + 1
2016
Radiciação284
?Exemplo Resolvido 83: Qual o valor de
CO
= 64.
=&.Se xx'
Demonstração:
= a^.= a
b) Potência em cadeia infinita 02:
= x
Demonstração:
= x=> x = a
c) Potência em cadeia infinita 03:
= a
Demonstração:
■X
= X =>
1 
a£
6^128
V 128
128
Resolução: Podemos escrever:
Ü^Í28
V 128
3 128 '
= a , então
xa = a
S6. Radicais em Cadeia
a) Potência em cadeia infinita 01:
_i_
xx Xxx X
= x => \/ã = x = x^X
= a => (Vx) = a => í/x =
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 85
Por comparação, temos:
b' = a
d) Potência em cadeia infinita 04:
XxSe x = a, então x
Demonstração:
'xXX X
e) Potência em cadeia infinita 05:
Se , então - a= a
Demonstração:
x
f) Potência em cadeia infinita 06:
= xx
Demonstração:
X 
= xb’a.
a
-1 = - 
a -------------------
Observação: Se x*a , não poderiamos usar o resultado.
= a => x7* =
£
= aa
= a a
_1_ 
a => x =
a => x = a
X
= b a
X
= xb3 => ab 1=> ab’1
= a => xn^ =
x
- => x = a
Radiciação286
Observação: Para x = 2 ex = 4, temos duas soluções, visto que:
x = 4| => 4 = a.
= 5 , qual o valor de x?
?
24 = 42
Logo:
Fazendo Vã = y => a = yx, temos :
=s> xy = a => xy = yx => x = y (Por comparação)
=> a = yx => a = xx
e 42 = 24.
= 5 => x5 = 5 => x = ^5.
Fazendo Vã = y => a = y4, temos:
=> 4y=a => 4y=y4 => y = 2 ouy = 4 (Por comparação) 
=> a = 42 |a = 16| ou a = 44 |a = 256|.
= a => 4^
xx X
Exemplo Resolvido 84: Se x
Resolução: Podemos escrever:
|x = 2| => 2’2" =a => 2^=a
Fazendo Vã = y => a = y2, temos :
=> 2y=a => 2y = y2 => y = 2 ou y = 4 (Por comparação) 
=> a = 22 |a = 4| ou a = 24 |a = 16|.
2’2
Vê67®
Exemplo Resolvido 85: Qual o valor de ^6
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 87
= 6 .
■4J?'
?
■tff
= 7 .
Problemas Propostos
Questão 2.60
Questão 2.61
?
Questão 2.62 Questão 2.63
32Simplifique
Simplifique
oc
ÍW
729
729
4J
7
Qual o valor de E = —
x9-26J26
Qual o valor de E = —
x9+26J x9 -5-,..00
.00 
— ?
4r-^4
Exemplo Resolvido 86: Qual o valor de v7
Resolução: E imediato que T7
' 6/—Resolução: E imediato que 76
88 2 Radiciação
Questão 2.64
,xx = 2017?
Questão 2.65
xx = 27?
Questão 2.66
Qual o valor de 1Ç/TÕ
Questão 2.67
Questão 2.68
e) 9
Questão 2.69
?
Questão 2.70
?
Questão 2.71
Qual o valor de x, sabendo que x = 625?
(w) .
5V ' , determine x.
c) 5 d) 7
Qual o valor de x, sabendo que x:
Qual o valor de x, sabendo que x
24^243 24^?
Qual o valor de 24?/243 ?
■X
Se Mm
a)1
.2^
Qual o valor de 2J2
= e M
b) 3
7^(5^)
Qual o valor de (5V3 j
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 89
Questão 2.72
Qual o valor de x, sabendo que x 1024?
Questão 2.73
Qual o valor de x, sabendo que x
Questão 2.74
Questão 2.75
?
Questão 2.76
Qual o valor de 13
7
Qual o valor de 7 '
' 7
7’7
Qual o valor de x, sabendo que x =32?
Radiciação290
20^ã + 8x/ã-14\/ã = 14^ã.
Çz+p^ + q^.
Exemplo Resolvido 88: Efetue 2oVã +8Vã-l4Vã .
Resolução: Podemos escrever: 
20Vã + 8Vã-14^ = (20 + 8-14)^ã
a) Adição e Subtração:
Podemos reduzir os radicais em uma soma ou diferença, desde que sejam 
radicais semelhantes.
Podemos também manipular os radicais de modo a ter termos semelhantes, 
vejamos alguns exemplos.
Exemplo Resolvido 87: Efetue 3VÍ + 7VÍ .
Resolução: Podemos escrever:
3V4+7W = (3 + 7)VÍ => 3VÍ + 7VÍ = 1 oVÍ .
2.6) Operações com Radicais: ______________
Nesta seção, iremos dividir em duas partes: a parte "a" será a adição e a 
subtração, e a parte "b" será a multiplicação e a divisão. Para efetuar as 
operações com radicais da parte “a”, devemos verificar se os radicais são 
semelhantes, isto é, se os radicais têm o mesmo Índice.
Desse ponto em diante, veremos as operações com radicais. Para efetuar soma 
e subtração, usaremos a estratégia de “colocar em evidência" e então 
efetuaremos a operação. Para efetuar multiplicação e divisão, usaremos as 
propriedades de multiplicação e divisão vistas anteriormente.
Vejamos a seguir como operar com radicais!
Exemplo Resolvido 90: Efetue Vã + Vãã .
Resolução: Podemos escrever:
Vã + Vãã = Ví~ã + V16-2 => Vã + Vãã = Ví•Vã + VTã■ Vã 
=> Vã + V3ã = 2-Vã + 4-Vã => Vã + Vãã = (2 + 4)Vã 
=> Vã + Vãã = 6Vã.
Exemplo Resolvido 89: Efetue mv
Resolução: Podemos escrever:
+ p\Zã^ + q\íã* = (m + p + q)1^^.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 91
=> 2%ã - y/27aA + 3/125a = 23/ã - 3 ■ a ■ 3/ã + 5 ■ 3/ã
=> 2^/ã - ^27a4 + 25a = (2 - 3a + 5) 3/ã
23/ã - ^27aA + 3/125a = (7 - 3a)3/ã .
b) Multiplicação e Divisão:
Para a multiplicação e divisão, devemos considerar dois casos: se os radicais 
tiverem o mesmo Índice e se os radicais tiverem índices diferentes.
Caso 01: Se os radicais possuem o mesmo índice.
Se os radicais possuem o mesmo indice, você vai utilizar a propriedade do 
produto de radicais de mesmo índice.
Exemplo Resolvido 93: Mostre que 3^-4^ ■ • 2\/d = 24 -3/abc2d .
Resolução: Podemos escrever: 
3$ã ■ 4l//b • tfc? ■ 2Q/d = 3-42 \/a b c2 d 
=> 3^ ■ 4^ ■ ^/c2” • 2\/d = 24-^bc^d .
Exemplo Resolvido 94: Efetute m .
Resolução: —= 
p!Vb
m.nE
P Vb
=> 2^ã-v,27a4 +3/l25a = 23^-3/27 -3/ã3■ 34ã + 3/Í25 ■ 3/ã
Exemplo 91: Mostre que 2^ã-3/27a4 + 3/125a = (7 -3a) 3/ã.
Resolução: Podemos escrever: 
23/ã - ^27a4 + 3/125a = 23/ã - 3/27 a3 a + 3/125 a
Exemplo Resolvido 92: Efetue 2-42-sJÃÁ .
Resolução: Podemos escrever:
272 -5>/TÍ =10^2-11 => 2^2 -5Vil =10^22 .
Radiciação92 2
Exemplo Resolvido 95: Efetue
Exemplo Resolvido 96: Efetue Vã • Vb ■ V8 .
E = rVã-VbV8 E =
E =
Resolução: Podemos escrever:
E = 2-
=> E
Caso 02: Se os radicais tiverem indices diferentes, devemos efetuar os 
seguintes passos:
Passo 01: Tira-se o mmc dos indices. o mmc será o novo Índice.
Passo 02: Efetua-se a divisão do mmc por cada Índice anterior, e o resultado 
multiplica-se pelo expoente do radicando.
Passo 03: Efetua-se a operação como no caso anterior.
Resolução: Efetuando os três passos acima, temos: 
mn^/anP mn^bmP mnP/gmn
.-. E = 2a ■ 1\/23 ■ 36 ■ 54 .
23mn■ bm
=> E = 2■ 1Va12 23 -36 -54
Exemplo Resolvido 97: Efetue 2Vã ■ Vl8a2 ■ V25a .
/ / o \fnn
=> E = mWan bm (23)
2 -1^a4+6+2 ■ 23 ■ 36 (52)2
Ç4 • 1^(l8a2)3 • 1^(25a)2
10 Võ
4^3 '
Resolução: Podemos escrever: 
10^5 10 Jõ 10^5 5 3Í5
4^3 ” 4 V3 43/3 "2 V3 '
E = 2 -Vã -\/l8a2 -VÜã => E = 2-1\/
1x/ãT4 ■ 1<7l 83 a6 •1^252 -a2 => E = 2-1^a4 -(2 ■ 32)3 a6 -252 a2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 93
Capítulo 03 - Racionalização
a)
= a2 + ab + b2.b)
c)
= (a + b)(a2+b2].d)
= a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4.e)
= a4 -a3b + a2b2 -ab3 +b4.f)
g)
h)
2b + an-3b2-,.. + bn,n-1i) - a
3b2 -,.. + bn"1, para n ímpar.j)
k)
Introdução
Racionalizar uma fração consiste em eliminar o radical (ou os radicais) que 
estiverem no denominador, para tal tarefa usamoso chamado fator de 
racionalização.
= an-1-a'
in"1 - an~2b + a'
3b2-...-bn-1, para n par.
2bn
--------- , para n impar . 
a + b
2b + a'
2b + an~3b2 -,..-bn 1 + , para n par .
a + b
3.1) Quocientes Notáveis
Os quocientes notáveis são expressões que vêm diretamente dos produtos 
notáveis, ferramenta que você verá mais à frente. Serão muito usados na 
racionalização, nesta seção veremos os mais utilizados e a generalização, mais 
à frente veremos mais dessa ferramenta fortíssima!
a2-b2
—------- = a + b .
a-b
a3-b3
a-b
a3 + b3 2 u u2
- ------- = a - ab + b .
a + b
a4-b4
a-b
as-b5
a-b
a5+b5
a + b
—~bn = an-1 + an-2b + an-3b2 + + bn-1
a-b
^ = a--a'
a + b
an-bn ,
---------- = a
a + b
an+bn ,---------- = a
a + b
an+bn
a + b
Racionalização94 3
I)
Assim, VÃ é o fator racionalizante.
7
Viõ
75
2
3
2
N
/Ã
N VÃ
A
7-VÍÕ
10
7-VÍÕ
10
3y/3 _ 3736
VÍ2 “ 12
3.2) Fator Racionalizante 
O fator racionalizante é o fator que elimina o radical quando efetuamos a 
multiplicação pela fração. Vejamos alguns casos em que usamos o fator 
racionalizante e outros bem interessantes.
3 /3
Exemplo Resolvido 100: Mostre que -V= = 
VÍ2
’2b2 +... + bn~1 + —— 
a -b
= an~1+a'
Exemplo Resolvido 99: Mostre que -X= =
Viõ
373 3-6 
=> ■■■:------------ = -------------------- =>
VÍ2 12
an--bn 
a - b
Resolução: Podemos escrever:
7 = 7 VTÕ 7 = 7-VÍÕ 
Viõ “ Viõ Viõ Viõ " (VTõ)2
Exemplo Resolvido 98: Mostre que = 
72
Resolução: Podemos escrever: 
1 1 1 72
72 ~ 72 72 72 “
3Õ3 18
VÍ2 ” 12
2b + a1
Caso 01: Quando o denominador é da forma VÃ :
Note que nesse caso ao multiplicarmos o denominador por VÃ , fica:
N N VÃ N N -VÃ
Và “VÃ'Và VÓ^)2
1 _V2
72 2
Resolução: Podemos escrever: 
373 _ 3>/3 VÍ2 3y/3 _ 373 ■ 12
VÍ2 “ VÍ2 VÍ2 VÍ2 “ (VÍ2)2
373 3
=> vn = r
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 95
Caso 02: Quando o denominador é da forma
. fica:
Assim,
Caso 03: Quando o denominador é um quociente notável: 
Neste caso você multiplica tudo pelo fator do quociente notável.
3-'
10/
A
•An"™
3
1^3
1VF~23
V23 -2
3 
10^3"
3 
10^5“
3
3^
Exemplo Resolvido 102: Mostre que = 
V23
3
3 
Exemplo Resolvido 101: Mostre que =
3 1\^~
Resolução: Podemos escrever:
VÕ ^3 VF^3 3/3 3j3-t/2 V3_
V? V? 'V?"3 V? V?^
VÕ = 1fe-33-23 ^3 = 1^63
4^5" 4^4 4^3 2
N
VÙ
Note que nesse caso ao
N N Va"~™
VÙ VÙ Va"-™ 
nVa"~™ 
VÙ
3-W
10
N ■ Va"~™ 
VÃ"
3V27
~ ■1V27
10
N
VÙ
N
VÙ
n n Va"-™ 
VÙ VÙ • Va"-™ 
n ■ Va"-™ 
ry^m+n-m
Va™ :
N 
VÙ
Resolução: Podemos escrever: 
3 i<y2io-3 
1V? 1 Va1 0-3 
1VÃ7
Va" ™ é o fator racionalizante.
96
= V5-1.Exemplo Resolvido 103: Mostre que
= 75-1.
Exemplo Resolvido 104: Mostre que
V7-2VTÕ
= V7 + 2VÍÕ.
3 
^7-2-JÍÕ
3 
77-2770
3 ■ ^7 + 2770 
749 - 40
3-77 + 2770
3
12
3 + 375
12
3 + 375
472
47 + 43
4^2
47 + 43
3 
•^7-2440
3 
77-2770
12
3 + 375
3 
7? - 2770
3 ■ ^7 + 2770
^72 -(27ÍÕ)2 
3-77 + 2TÍÕ
75
472 (77-73)ww
472 (77-77)
" 4
12(3-375)
32 -(375)2
36 (1-75) 
^36
Resolução: Podemos escrever:
477 477 77-77
77 + 77 77 + 77 77-77
Resolução: Podemos escrever:
12 12 3-375 12
3+377~ 3 + 377 3-377 3+377~
Exemplo Resolvido 105: Mostre que . - = 7^ + 2770 ,
77-2TÍÕ
4^2 ^ 472.(77 - 73) 
77+73" 7-3
3 Racionalização
12 36-3675
3 + 375 - 9-45
=> 12 í1-^) = 
3 + 375 -1
Resolução: Podemos escrever:
3 3 77 + 2VÍÕ
I7 - 27ÍÕ 5/7 + 2770
-4^ = 72.(77 - 73)
77 + 77 v 1
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 97
Exemplo Resolvido 106: Mostre que
= 5/3-55.Exemplo 107: Mostre que
1 1
57-3/2 “5/7-5/5
1 1 5/5-5/5 
5/81 + 5/54 + 536 + 5/24 + 5/Í6 5/81 + 5/54 + 536 + 5/24 + 5/Í6 55-55
1 
5/7-55
1
57-55
yÃã + Vu+VÃ
5
1 
57-55
5/49 + 5/14 + 5/4
7-2
1_________ 55-5/5
5/81 + 5/54+^36 + 5/24 + 5/16 3-2
=0 ___________ 1___________= 5/3-5/2
5/81 + 5/54 + 5^6+5/24 + 5/16
1_________ 55-55
5/81 + 5/54 +5/36 + 5/24 + 5'16 ^)5_(5/5)5
_____________1_____________ 
55Í + 5/54 + 5/36 + 554 + 5/Í6
Resolução: Podemos escrever:
____________ 1____________ =____________
5/81 + 5/54 + 5/36 + 5/24 + 5/Í6 5/3^ + ^2-33
Resolução: Podemos escrever:
(5^)2 + 57-5/2 + (5/^)2
(5^)2 + 5^5^ + (5^)2
1 5/49 + 5/Í4 + 5/4
57-5/5" (57)3_(3/2)3
549 + 5Í4 + 5/4
5
98
N
2) Forma
2
N N- 
x/Ã+x/B + x/Õ
3 Racionalização
N 
x/Ã+x/B-x/C '
N
x/Ã + x/B-x/C ”
N_______
x/Ã + x/B -JÕ ~
Caso 04: Formas interessantes que seguem a mesma linha de raciocínio.
N
1) Forma -----7=-----7= ■
x/A + x/B+x/C
N _ N x/Ã + Vb-x/C
VÃ + x/B + x/c " x/Ã + x/B + x/c x/Ã + x/B-x/C
N N-(x/Ã + x/B-x/C)
VÃ + Vb + x/c-^^2-^)2
N-(x/Ã + x/B-x/Õ)
x/Ã + x/B + x/C- A + 2x/ÃB+B-C
N N-(x/Ã + x/B-x/C) A + B-C-2x/ÃB
x/Ã + x/B + x/C - A + B-C + 2x/ÃB A + B-C-2x/ÃB
(x/Ã + x/B-x/c)-(a + B-C-2x/ÃB)
(A + B-C)2 -(2x/ÃB)2
N N(x/Ã+x/B-x/c)-(A + B-C-2x/ÃB)
x/Ã + Vb + x/c (A + B-C)2 -4AB
N
x/Ã + x/B-x/C '
N N x/Ã + x/B + x/c
x/Ã + x/B-x/c x/Ã + x/B+x/Õ x/Ã + x/b + x/C
N N-(x/Ã + x/B + x/c)
VÃ + VÈ-Vc ’(vã + Vb)2-(Vc)2 
N-(x/Ã + x/B + x/c) 
A + 2x/ÃB+B-C 
N-(x/Ã + VB + x/c) a + B-C-2x/ÃB 
A + B-C + 2x/ÃB A + B-C-2x/ÃB 
N ■ (x/Ã + VÊ + x/c) ■ (A + B - C - 2x/ÃB) 
(A + B-C)2 -(2x/ÃB)'
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 99
3) Forma
VÃ-s/b + Tc
4) Forma
N n.(VÃ + 7b + 7c)-(a+b-c-2'/ãb)
VÃ + >?B-VC (A + B-C)2-4AB
N
x/Ã-x/b + x/Õ '
N N x/Ã-x/B-x/Õ
JÂ - Tb + Vc ” VÃ - 7b + Vc TÃ-Tb-Vc
N n(x/ã-7b-Vc)
(7ã-7b)2-(7c)2
N n(7ã-7b-7c)
x/Ã-x/b + x/Õ A-2x/ÃB+B-C
__ N n (7Ã-7b-7c) A-B-C + 2x/ÃB 
x/Ã-x/b + x/Õ ” A + B-C-2x/ÃB A + B-C + 2x/ÃB
N n (VÃ-7b-x/c) (A + B-C+2x/ÃB)
x/Ã-Vb + x/C (A + B-C)2-(2x/Ãb)2
N N(x/Ã-x/B-x/c)(A-rB-C + 2x/ÃB)
x/Ã-x/B + x/Õ (A + B-C)2-4AB
N
x/Ã-x/B-x/C '
N N x/Ã-x/b + TÕ
x/Ã-x/B-x/Õ x/Ã-x/B-x/Õ VÃ-x/b + x/c
N N-(x/Ã-x/B + x/Õ)
VÃ-x/b-Vc "(tã-x/b)2-(x/c)2
N N-(x/Ã-x/B+x/Õ)
x/Ã-x/B-x/Õ" A-2x/ÃB+B-C
N N-(x/Ã-x/B + x/c) a + B-C + 2x/ÃB
x/Ã-x/B-x/Õ A + B - C - 2x/ÃB A + B-C+ 2x/ÃB
100
Exemplo Resolvido 108: Mostre que
E =
=> E =
= 5 Vii-15 + 7x/5-2-J55 .Exemplo Resolvido 109: Mostre que
E =
= 5VH-15 + 7V5-2x/55.
1
V2 + V3 +Vê
5 
1+ Vil-75
7Í2+VÍ8-VãÕ
12
5
1 + 7Ü-75
(VÃ - VÊ + Tc) • (A + B - C + 2-VÃB ) 
(A + B-C)2 -(2x/ÃB)2
N(7a- 7b + ,/c) (A + B-C + 2VÃB) 
(A + B-C)2 -4AB
Resolução: Podemos escrever:
5 5-(l + VÜ + V5)-(1 + 11-5-2VmÍ)
l+s/íi-x/5 (1 + 11-5)2-4-1-11
3 Racionalização
1
Tã + Vã + Vê
(72 +Vã- Vê) -(-2 Vê)
“ -24
1 V12 + VÍ8 - Vãõ
Vã + Vã + Vê” 12
Resolução: Podemos escrever:
(V2+Vã-V5)-(2 + 3-5-2Vr3)
(2 + 3-5)2-4-2-3
(Vã + V3-Vê).(V6)
12
5 ■ (1 + VTi + Vê) • (7 - 2VH) 
(7)2-44
X • (7 - 2Vil + 7VÍ1 - 2 ■ 11 + 7V5 - 2V55)
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 101
Exemplo Resolvido 110: Efetue
73 - 72 + 7ÍÕ
= 277 - 977 + 57TÕ - 4777.
Exemplo Resolvido 111: Mostre que
77-77-77
1 
77 — 77 + 770
1
77 - 77 + 77Õ
1 
j3-j2 + y/v5
(377-742 -277)
12
77 
77-77-77
Resolução: Podemos escrever:
77-(74-T7 + 77)-(4 + 3-7 + 2T4”7) 
(4 + 3-7)2 -4-4 3 
^2 77 (2-77+ 77) (2743)
77 - 77 - 77 ” -48
^2 (272-T6 + 7Í4) (473)
77 - 77 - 77 ~ -48
72 (76-7Í4-272)-73
74 - 73 - 77” 12
7^ (372 - 742 - 276)
74-73-77” 12
1
73 - 72 + Tiõ'
Resolução: Podemos escrever:
■j (v^-72-7ÍÕ)-(3 + 2-10 + 273T2)
(3 + 2-10)2 -4-3-2
(73 - 72 - 7ÍÕ) -(-5 + 276)
(-5)2-24
= -573+3-272+572-2 277 + 57ÍÕ-2• 27Í5
Racionalização3102
Problemas Propostos
Questão 3.2
Racionalize
Simplifique a expressão
c) A-3VÃ
Racionalize
Questão 3.5
Qual o valor de
Questão 3.6
Racionalize
Questão 3.7
Racionalize
Questão 3.8
Racionalize
a) A-9 + An/3 
d) 3-A + V3
43
2-?8 + 3^5 - 7>/2 '
12 
442+345 + 4? '
1
2 43 4/342
Questão 3.4 (CN-1999-Modificada)
2 2
45-43 42'
42+45
472 - 445 + 4V2 '
Questão 3.3 (CN-1976) ______________
AVÃ-3V3 
VÃ-x/3
b) A + 3 + V3Ã
e) 9 +VÃ
Questão 3.9
T- ” i i i “Raciona ize —= + — + -—= + —— .42 42 64ã 94ã
Questão 3.1
Q 
Racionalize —==.
45-43 + 42 ?
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 103
Questão 3.10
Qual o valor de ?
Questão 3.11
Racionalize
Questão 3.12
Racionalize
Questão 3.13
Racionalize
Questão 3.14
Questão 3.15 (Moscou 1982)
Simplifique a expressãoQuestão 3.16
Questão 3.17
Racionalize
4
^16 + 875
72
J2
f3>/27 ~^2y/8 
V27-x/Í8
1 1
Í/2-V2 Ü2 + 42
__________ 2__________
^4 - 3^/5 + 275 - ^125
f2 + 73
^2 + 73
2a - 3b - ,'ab 
2y/ã-37b
„ , , J x/2+K
Qual o valor de — ?
^2-1
5I
Racionalize —
V2 + 7l4-i-476
78 + 75-276
104 3 Racionalização
'2-73
Efetuando , obtém-se:
b) 73 c) 72 e) 1a) 4
O valor de é:
e) 372d) 272a) 1
O número é igual a:
d) 72-72c) 772-1 e)b)
O valor de
a) b) c)
d) e)
Questão 3.22 (CN-2012)
Sabendo que A =
a) c) d)
Questão 3.23
Racionalize
Questão 3.18 (CN-1983)
'2 + 73 
2-73 V2 + 73
273 - 372 - 730
24
273 + 372 + 4730
24
______ 3 + 76______
573-2712-732 + 750
b) VÕ®
1
72-73 ’
Questão 3.21 (CN-1997)
3(72 + 73 + 75 + 2)
2^(72 + 73 + 75 +1)2 -ij
73 + 472 - 7Í5 273+372-730
------ 12------ b)------- Ta-------
73 + 72 + 75
12
73®57F
A2
, qual o valor de ?
e)
d)?
3
Questão 3.19 (CN-1991)
7^8 + 772-1-7^8-772-1 
778 - 772 +1
b) 72 c) 2
1 
_______________________ g‘ 
72 + 73 + 75 '
Questão 3.20 (CN-1994) 
1 
7275 + 3
a) 772+1 '72+2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 105
A - VB = 4m
2=> 2A + 2- 4m => 4m = 2A + 2 ■
2
=> 2A-2- 4n => 4n = 2A-2-
2A + 2-
=> m =-----------
A 
m = —
3.3) Radicais Duplos
Radicais duplos são radicais em soma ou diferença de termos que podem ser 
transformados em algum produto notável.
Veremos alguns radicais duplos:
01) Radicais da forma: Va ± VB .
Queremos transformar Va ± -Jb em uma soma ou diferença de radicais. Então, 
vamos desenvolver isso:
Demonstração 01:
Seja Va + Vb = Vm + -Jn e VA - Vb = Vm - Vn . temos:
Quando somamos:
Va + Vb + -Ja - VÊ = Vm + Vn + Vm - Vn
=> Va + -7b + Va-Vb = 2x/m. (eq1)
Quando subtraímos:
Va + Vb - Va - Vb = Vm + Vn -(Vm - Vn)
=> Va + VB - Va - VB = Vm + Vn - \/rn + Vn
Va + 7b - Va-Vb = 2Vn. (eq2)
Queremos m e n, então, elevando (eq1) e (eq2) ao quadrado, temos: 
(Va + Vb + Va-Vb)2 = (2Vm)2 
=> A + Vb + 2p(A + Vb)(a- Vb)
A2 -b) =
A2 -B)
a2-b)
A2 -B)
A2 -B)
4 |__
/ / I \ 2 2l Va+ Vb-Va-Vb =(2Vn)
=> A + Vb - 2 ■ ^(a-Vb)(a-VB ) + A - Vb = 4n
A2 -b) =
106
2
x/a + x/b
x/a ± x/b =
>0.
(*) Observação: Esses produtos notáveis serão vistos no capítulo 5, com todos 
os detalhes!
A2-B) .
A + x/a2 -B
+ n => x/a±Vb = x/m ± x/n)2
Geralmente, chamamos C = x/A2 -B , dai essa expressão fica: 
fA + C + lA-C
2 V 2
Demonstração 03: Qual o valor de x/a + x/b + x/A-x/B ?
Seja x/a + x/b = x , x/a-x/b = y e E = x + y>0, podemos escrever (*): 
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 => x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy
=> (x/a + x/b^2 + pA-Vej2 = E2 - 2 ■ Va + x/B • x/A-x/B
=> A + x/B+A-x7b = E2 - 2 ■ ^A2 -(x/b)2 => E2 = 2A + 2 • x/a2 -B 
=> E2 = 2Ía + x/a2 -b) E
2A-2.^
=> n =------------ —
4
Assim, temos:
3 Racionalização
Demonstração 02:
Uma outra forma é enxergar como trinómio quadrado perfeito, a saber: 
x/a ± x/B = I a ± 2 Fb~ => >/a + x/B = x/m + n + 2x/mn
Vm+n Vmn
=> x/a ± x/B = x/m ± 2x/m ■ x/n
x/a ± x/B = |x/m ± x/n |.
A->2-B) 
n =-------2-------------
2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 107
2 2
>0.
3 e B = 8, C = Va 
'3 + 1 
2
(*) Observação: Esses produtos notáveis serão vistos no capitulo 5, com todos 
os detalhes!
Resolução 02: Podemos escrever;
V3-2V2 = Vi - 2^2 + 2 => 73-2^2 =
=• V3-2J2 = ^(l - 72)2 => ^3-272 = |1 - 721, como 
V3-2V2 = 5/2-1.
5/3-25/2 = V3-^2-2Z :
A = 3 e B — 8, C- — 5/a 2 
Logo : 5/3 - 5/8 =
Demonstração 04: Qual o valor de Va + -Jb + Va - 5/B ? 
_____ n_____ ,_____ P_____
(-Va +Vb) + (-VA-5/B ) = 0 . então
=> 73-25/2 =-(1-5/2)
Exemplo Resolvido 112: Determine \/3-2\l2 .
Resolução 01: Podemos escrever:
=> 73-25/2 = 5/3-5/8
- B => C = V32 -8 =• |C = 1
- J = 5/3-Vã = 5/2 -1.
-2-1.5/2+(^)2
1-5/2 <0
m
Seja x = 5/A + 5/B + Va - 5/B => x +
dos produtos notáveis condicionais, temos que (*): 
m + n + p = 0 => m2 + n2 - p2 =-2(mn-r-mp + np)
=> m2 + n2 + p2 = -2[m(n + p) + np]
=> x2 + (-Va + Vb )2 + (-Va - 7b )2 = -2^x(-x) + (-Va + 5/ã)(-Va - 7b )j 
=> x2 + A + 5/B + A - 5/ã = -2 -x2 + ^A2 -(5/ã)2 I
=> x2 +2A = 2x2 -2VA2 -B => x2 +2A = 2x2 -2Va2 -B
=> x2 = 2A + 2■ Va2-B x = ^2(a + Va2 -b)
108
2
2
2 '
75 + 724 =73 + 72.
Logo : 7a~ 7b = -
Resolução 02: Podemos escrever:
75 + 724 =73 + 276+2 => 75 + 724 = ^(73)2 + 2 ■ 73 ■ 72 + (Ti?)2 
=> 75 + 724 = ^(73 + 72^ => 75 + 724 = |73 + 72|, como 
73 + 72 > 0 => 75 + 724 = 73 + 72.
3 Racionalização
Exemplo Resolvido 114: Determine 728-1073 .
Resolução 01: Podemos escrever:
728-1073 = 728-73-102 => 728-1073 = 728 - 73ÕÕ 
=> A = 28 e B = 300, C = 7282 -300 => C = 7784-300 
=> C = 7484 .-. |C = 22|. Logo : 7a-7b =
=> 728-73ÕÕ = ^28 + 22-^28~22 => 728 - 73ÕÕ 
=> 728-73ÕÕ = 725 - 73 => 728 - 7300 = 5-73.
Resolução 02: Podemos escrever:
728-1073 = 725 - 2-5-73 + 3
=> 728-1073 =^52 - 2-5-73 + (73)2
=> 728-1073 = ^(5 - 73)2 => 728-1073 = |õ- Ts|, como 
5 - 73 > 0 => 728-1073 = 5 - 73.
Exemplo Resolvido 113: Determine 75 + 724 .
Resolução 01: Podemos escrever: 
75 + 724 => A = 5 e B = 24, C = 7õ2 -24 => C = 725 - 24 .'. |C = 1|.
ÍÃH2 7i7^7= /5Tl+JE1
2 V 2 V 2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 109
E2 = 6 + 2 ■ V9-8
=> E2 = 6 + 2 x/í
(*)
Vã = 2 Vã > 0.
Vã.
3A + Vã + 37a - Vb = 2m. (eq1)-7ã
(*) Observação: Esses produtos notáveis serão vistos no capitulo 5, com todos 
os detalhes!
(*) Observação: Esses produtos notáveis serão vistos no capitulo 5. com todos 
os detalhes!
=> x2 +6 = 2x2 -279-8 => x2=6 + 2n/Í => x2 - 8 x =
Vn + m
^A-Vb =m-
02) Radicais da forma: V á±Vb.
Queremos transformar v A ± Vb em uma soma ou diferença de radicais. Então, 
vamos desenvolver isso:
Demonstração 01: Seja \/a +VÈ
Quando somamos, temos: 
x/a + Vã + 7 A — Vb = m +
Resolução 02: Chamando a expressão toda de x, podemos escrever:
x = 73 +Vã + 73-Vã => x- 73 +Vã - 73-Vã = O . Então dos produtos 
notáveis condicionais, temos que (*):
m+n+p=0 => m2 + n2 + p2 = -2(mn + mp + np) 
=> m2 + n2 + p2 = -2[m(n + p) + np]
=> x2 +(-x/3 +Vã)2 +(-73-Vã)2 = -2[x(—x) + (-■J3 + Vã) ('—73 — Vã)) 
=> X2 + 3 + Vã + 3 - Vã = -2 -X2 + ^32 - (Vã)2
Exemplo Resolvido 115: Qual o valor de 73 + Vã + 73 - Vã ?
Resolução 01: Seja 73 + Vã = x , 73 - Vã = y e E = x + y >0. então (*): 
x2+2xy + y2 = (x + y)2 => x2 + y2 = (x + y)2-2xy (*) 
=> (73 +Vã)2+p3-Vã)2 =E2-2-V3 + Vã -V3-Vã 
=> 3 + Vã + 3-Vã = E2-2-^32-(Vã)2 => 
E2=6 + 2 => E2=8 E = Vã = 2V2>0.
= m + Vn e
110
2A + 3-
8m3 - 6m ■ 0.
n = m'
J(A + x/b)(A-Tb)2 + A-Tb =8m3
8m3
Demonstração 02: Podemos pensar da seguinte forma:
(Aí-JBj3 = A3±3A2Tb + 3A(Tb)2±(Tb)3 
=> (A ± x^B )3 = A3 ± 3 ■ A2 ■ x/B + 3 ■ AB + Bx/B 
3|(a±Tb)3 = ^(a2 + 3b)-a±(3a2+b)Tb .
Seja x/a + Tb = x,
x/n) => ^A2 - (Tb) = m‘
Demonstração 03: Qual o valor de ÇA + -,'B + TA - x/B ?
^A-x/b = y e E = x + y>0, podemos escrever (*):
Continuando o desenvolvimento, note que, se subtrairmos, não chegaremos ao 
resultado direto, então vamos encontrar n, em função de m, multiplicando as 
duas equações: 
 
(?/^7jB).(3k^/B) = (m + x/n)(m-
Ma2~b) •
3 Racionalização
i2 -n
Quando subtraímos, temos:
Ta t x-'B - Ta - Tb = m + x/n - (m- x/n) => 
 
x/a - X^B - Ta~\/B = m + x/n-m + x/n x/ A + x/B - x/a - x/B = 2 x/n. (eq2)
Queremos m e n, então, elevando (eq1) e (eq2) ao cubo, temos:
^x/a + Tb -r x/a - Vb )3 = (2m)3 =>
a + xfê + 3 ■ J(a + Tb)2 (A - x/B) + 3 ■
=> 2A + 3 ^(a + Tb)(a-Tb)^^a + Tb+^a-Tb) =
• ^(A + x/b)(a - TB)}(2m) = 8m3 =>
3̂^A2 - (Tb)2 ] - 2A = 0 4m3 - 3m-^A2 - B j - A =
Como A e B são dados, temos que o valor pedido é racional.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 111
(x + y)3 = x3 +y3 +3xy(x + y)
(’*)
0, temos dos
Exemplo Resolvido 116: Determine \/l0 + 6x/3 .
E3 =
(*) Observação: Esses produtos notáveis serão vistos no capitulo 5, com todos 
os detalhes!!!!
(") Observação: Você aprenderá a resolver equações de terceiro grau no 
capítulo sobre Fatoração!
(*)
+ 3E • 7a + Tb • ^A-TÊ3
Resolução 01: Podemos montara seguinte equação: 
^/l 0 + 673 = 0 + T3-62 = [ 0 + Tl~Õ81
produtos notáveis condicionais (*): 
m + n + p = 0 => m3 + n3 +p3 = 3mnp 
x3+(_3^7^j3 + (_3^jgj3 =
Demonstração 04: Qual o valor de ^A + x/B + ^A-Tb ? 
seja x = ^a + Tb+^a-Tb => x + (-^a + Tb ) + (-^a - Tb j =
(*) Observação: Esses produtos notáveis serão vistos no capítulo 5, com todos 
os detalhes!!!!
(**) Observação: Você aprenderá a resolver equações de terceiro grau no 
capítulo sobre Fatoração!
=> e3=a + Tb + a- Tb + 3E-3/a2- (Tb)2
'a2-B E3 - 3E -Ta2 - B - 2A = 0.=> E3 = 2A + 3E •
(*)
3 X (-^/Ã7^b) (-^Tb)
=■ x3-(a + Tb)-(a-Tb) = 3x-^a2 -(Tb)2
=> x3 - a - Tb - a + Tb = 3x • x/a2 - b 
x3 -3x■ x/a2-B-2A = 0. (**).
112
.3
Logo: ^A + Vb =
(*) Observação: Você aprenderá o teorema do fator no capitulo de Fatoração.
10
^10 + 673 = 1 + , / 3 .
.3
Por comparação, temos:
B = 3 => 3A2+B = 6 => 3A2+3 = 6 
=> A2 =1 => A = ±1.
Resolução 02: Podemos escrever:
^10 + 6^3 =3/(a + ^)3 => (a2+3B)a + (3A2 + b)>/B=10 + 6>/3
-108)
m + Vn
-w(io2
^102 -108^-10 = 0
00-108)-10 = 0 => 4m3-3m (^8)-10 = 0
=> ^10 + ViÕ8 =1 + 5/3.
4m3 - 3m ■ pA2 -BJ-A = 0 => 4m3-3m-
=> 4m'5-3m í^T
=> 4m3 -3m• (-2)-10 = 0 => 4m3 + 6m-10 = 0.
Usando o teorema do fator (*), note que a única raiz real dessa equação 
4m3 + 6m-10 = 0 é1,ou seja m = 1. Assim, substituindo na outra expressão 
temos:
- A = 0 => 4m3 - 3m •
=> 3A2 = 6-3 => 3A2 =3 
(eq1) e (a2+3B)a = 10 => (a2+3 3)a = 
=>A3 + 9A = 10. (eq2)
Note que A = -1 não satisfaz (eq2). Portanto A = 1.
Logo: ^10 + 6v/3 = ^(1 +
n = m2 => n = 12 — ^(-8) => n = 1-(-2) => n = 3.
Exemplo Resolvido 117: Determine ç7 + 5^2 .
Resolução 01: Podemos montar a seguinte equação:
^7 + 5-/2 = ^7 + >/2-52 =|^7 + '/5Õ
4m3 -3m-^A2 -bJ
=> 4m3 -3m )^/49
=> 4m3 -3m (-1)-7 = 0 => 4m3 + 3m-7 =
^72-5oJ-7 = O
^5Õ)-7 = 0 => 4m3-3m (^i)-7 = 0
0.
3 Racionalização
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 113
^7 + TõÕ =1+75.
(*) Observação: Você aprenderá o teorema do fator no capítulo de Fatoração.
Tb)' 2
7 => 7
.3
=>A3+6A = 7. (eq2)
Note que A = -1 não satisfaz (eq2). Portanto A = 1.
Logo: ^7 + 5^2 = ^(l + T5)3 => 7?+ 575 = 1 + 75 .
:)a + (3A2+B)7b =7 + 575.
1^45^
- 50)
Resolução 02: Podemos escrever: 
^7 + 5/5 =^(A+ ^'3 (A2+3B
±1. (eq!) e
4m3-3m-
Exemplo Resolvido 118: Determine ^45 - 2975 .
Resolução 01: Podemos montar a seguinte equação:
745-29/2 = ^45 - \ZT292
(/a2-Bj-A = 0 => 4mJ-3m-
=> 4m3 - 3m -(/2Í
=• 4m3 -3m-7-45 = 0 => 4m3 -21m-45 = 0.
Usando o teorema do fator (*), note que a raiz real dessa equação 
4m3 - 21m -45 = 0 é 3, ou seja m = 3 .
7/1682 | 
i3 -3m-^452 -1682j-45 = 0
1025-1682)-45 = 0 => 4m3 - 3m ■ (7343) - 45 = 0
=> n = 12 -^(-1) => n = 1-(-1) => n = 2 .
Por comparação, temos:
B = 2 => 3A2+B = 5 => 3A2 + 2 = 5 => 3A2 
=> A2 =1 => A = ±1. (eq1) e (a2 + 3B)a =
= 5-2 => 3A2 =3
(A2 +3-2)A =
Usando o teorema do fator (*), note que a raiz real dessa equação 
4m3 + 3m-7 = 0 é1,ou seja m = 1. Assim, substituindo na outra expressão 
temos: 
n = m2 - ^72
Logo: 3/A + 7b =m + 7n
114
^45-7Í682 =3-72.
(*) Observação: Você aprenderá o teorema do fator no capítulo de Fatoração.
A2 = 9 A = ±3. 45
(*) Observação: Esses produtos notáveis serão vistos no capitulo 5, com todos 
os detalhes!
Note que, pelo teorema do fator, 2 é raiz dessa equação de terceiro grau. 
Logo: E = 2.
745-2972 =^(A-7b)3
Por comparação, temos:
B = 2 => 3A2+B = 29 => 3A2 + 2 = 29 => 3A2=29-2 => 3A2 = 27
(eq1) e (A2 + 3B)A = 45 => (a2+3-6)a =
=> A3 + 6A = 45. (eq2)
Note que A = -3 não satisfaz (eq2). Portanto A = 3.
Logo: ^45 - 2972 = ^3-72 )3 => ^45-2972 =3-72 .
Resolução 02: Podemos escrever:
=> (A2 + 3B)A - (3A2 + B)7B = 45 - 2972 .
3 Racionalização
Exemplo Resolvido 119: Qual o valor de ^10 + 7108 + 0 - 7108 ?
Resolução 01: Seja 710 + 7108 = x , \/l0-7w8 = y e E = x + y > 0, temos 
dos produtos notáveis (*):
(x +y)3 = x3+y3 + 3xy(x +y) =•
E3 =(7iO-7w8 )3 +^/lO-7TÕ8 j'
=> E3 =10Tx/ÍÕ8+10-7ÍÕ8+3E-^102-(7TÕ8)2 =>
E3 = 20 + 3E • 7l00 -108 => E3 = 20 + 3E ■ 7=8 => E3 =20 + 3E (-2)
=> E3=20-6E E3+6E-20 = 0. (**)
3 _________ _____ ___
I + 3E ■ 0 + 7TÕ8 ■ 7l 0 - 7iÕ8
Assim, substituindo na outra expressão temos: 
n = m2-3^452 -1682) => n = 32-7343 => n = 9-7 => n = 2.
Logo: 3/A-7b = m-7n
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 115
Resolução 02:
Seja x = ^10 +VTÕ8 + 0 — 7TÕ8
Exemplo Resolvido 120: Mostre que v161 + 72>/5 -2 + ^5 .
Resolução: Podemos escrever:
a/161 + 7275 = ^81 + 2-9-4>/5 + 80
(*) Observação: Esses produtos notáveis serão vistos no capitulo 5, com todos 
os detalhes!
(**) Observação: Você aprenderá a resolver equações de terceiro grau no 
capitulo sobre Fatoração!
Note que, pelo teorema do fator, 2 é raiz dessa equação de terceiro grau. 
Logo: x = 2.
03) Radicais da forma \/A ± vB .
Para radicais com índice 4, basta fazer radical duplo de índice 2, duas vezes. 
Vejamos alguns exemplos:
(-^10 + ^ÍÕ8^-^/lÕ^
p______
o - Tiõã; = o,
x/l61 + 72>/5 =^(9 + 4V5)Z 
como 9 + 4>/5 >0, x/l61 + 72>?5 = ^9 + 4>Í5 .
(**) Observação: Você aprenderá a resolver equações de terceiro grau no 
capitulo sobre Fatoração!
n 
m •----- --------- '-------
=> x + (-3x/l0 + /^) + (-^
então dos produtos notáveis condicionais, temos que (*):
m + n + p = 0 => m3 + n3 + p3 = 3mnp =>
x3 + (-^10 + 7ÍÕ8 )3 + VTÕsj3 = 3x ■
=> x3-(10 +VÍÕ8)-(l0-yfÕ8) = 3x-^102-(v/iÕ8)2
=, x3-10-VÍÕ8-10 + 7TÕ8 = 3x ^100-108
=> x3 - 20 = 3x • \/-8 => x3-20 = 3x (-2) x3 + 6x - 20 = 0. (")
116
Exemplo Resolvido 121: Mostre que ^193-132^2 = 3-\Í2 .
,2
Então temos:
04) Radicais da forma: 7a + x/B + ~Jc + x/Õ .
7 A + x/B + x/c + x/d = ^m + n + p + 2x/mn + 2jmp + 2^/np
=> 7A + x/B + x/C + x/D=7m + n + p+ 74mn + ^4mp + 74np
3 Racionalização
79 + 475 = 74 + 2 ■ 272 + 5 => ^9 + 4^5 = 7 2 + 75 f 
como 2 + 75 > 0 , 7161 + 7275 = 2 + Tõ .
Resolução: Podemos escrever:
7l93-132x/2 = t/121-2-11-672 + 72
=. 7l 93-13272 = ^(l1-672)2 => 7l 93 -13272 = ^|l 1 - 6v^|
como 11 - 672 > 0 , 7l 93-13272 = 7l 1-672 
7l 1-672 = 79-2-372 + 2 => 7l 1-672 = 7(3- x/2)'
=> 7l1-6x/2 = |3- x/21 como 3- 72 > 0
=. 7l93-132x^ = 3 - 72 .
Até agora, vimos radicais para cuja resolução usamos as formas (a + b)2 , 
(a + b)3 e (a+ b)4 . Vamos ver agora aqueles em que usamos as formas
(a + b + c)2 e (a + b + c)3. Vamos lá:
Como (a + b + c)2=a2+b2+c2 + 2ab + 2ac + 2bc , podemos fazer
a = x/m, b = x^n, c = 7p . dai fica:
(x/m + x/n + 7p) = m +n + p +2x/nin+27mp + 27np
(x/m -rx/n + Tp)2 = m + n + p + x/4mn + 74mp + -JÃnp
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 117
Onde: A = mtn + p, B = 4mn , C = 4mp , D = 4np.
Exemplo Resolvido 122: Efetue 7"l 0 + 2 Vã + 2^10 + 2>/Í5 .
Exemplo Resolvido 123: Efetue \J37 +12 Vã + 6\/Í4 + 4721 .
Note que m = 2, n = 3 , p = 5. Logo:
7l0 +2-7(5+2-VÍÕ + 2VÍ5 = ^(75 + Vã + Vã)2
VlO + 2V6 + 2ViÕ + 2VÍ5 = Vã + Vã + Vã.
Resolução: Podemos escrever:
V1O + 2V6 + 2VÍÕ + 2VÍ5 = 72 + 3 + 5 +272-Vã+ 272 -Vã + 2Vã-Vã .
Note que m = 18, n = 12, p = 7. Logo:
E = V37 + 12V6 + 6VÍ4+4721 => E = 7(VÍ8 + VÍ2 + V7)2 
=> E = VÍ8 + VÍ2 + 77 E = 372 + 273 + 77.
=> Va + Vb + Vc + VÕ = Vm + Vn + Vp ) 
Va + Vb + Vc + Vd = Vm + Vn + Vp -
Resolução: Podemos escrever:
E = V37 + 12V6 + 6VÍ4 +4721
=> E = ^37 + 2-Í2]-3-V2|-p3]+2 -3-V2|-V7 + 2 -|2-V3V 77
=> E = J37 + 2-V2 32 |-|V3-22] + 2-72-32 |-77+ 2 p3^|-x 
=> E = Jl8 + 12 + 7 + 2-VÍ8| rÃ2] + 2-VÍ8|-V7 + 2 |VÍ2|-77 .
118 3 Racionalização
Problemas Propostos
Questão 3.24
Questão 3.25
Efetue x/ô - 4-Í2 .
Questão 3.26
Efetue 7l61 + 72V5 .
Questão 3.27
Efetue
Questão 3.28
Efetue x/l7--12x/2 .
Questão 3.29
Efetue 732-10^7.
Questão 3.30
Questão 3.31
Qual o valor de Vl0 -4>/6 ?
Questão 3.32
Questão 3.33
Qual o valor de 7>3 + x/48 ?
Efetue 7)6-677 .
Qual o valor de Js + A^/s ?
Efetue 73-78
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 119
Questão 3.36
e) 5
Questão 3.41
Qual o valor de 757-4077 - 757 + 4077 ?
Questão 3.42
Qual o valor de 71?2-9673 ?
Questão 3.39
Qual o valor de 743-1277 -743 + 1277 ?
Questão 3.40
Qual o valor de 753-2077 - 753 + 2077 ?
Questão 3.37
Determine o valor de >J39-'\2-j3 +^4 + 2^3 .
Questão 3.34
Qualo valor de 729-1275 - 729+1275 ?
Questão 3.43
Qual o valor de 732+1077 + 732 -1O77 ?
M
73+r
Questão 3.38 (CN-1984)
A expressão 73 + 2 7s72 - 73 - 2
a) 1 b) 2 c) 3
Questão 3.35
Se a igualdade 7x + 2 + 272x = 7l 1 + 378 é satisfeita, determine o valor de x.
Determine o valor de M em 73 - 78 + 75 - 724 =
7272 é igual a:
d) 4
120
d) 375a) 375 b) 275 e) 6
d) 7Õ e) 275
Se N =
b) 275-1a)1 e) NDA
c) 1 + 75 d) 1 + 75 e) 1 + 72
c) 3-72
e)2
Questão 3.44 (Princeton-2006)
Simplifique 7? + 475 + 7? -475 .
Questão 3.48 (AHSME-1976)
775 + 2 + 775 -2
775 + 1
Questão 3.50 (CN-1982)
O valor de 7l0 + 675 é: 
a) 1 + 77 b) 1 + 76
Questão 3.51 (CN-2011)
O número real ^26-1575 é igual a: 
a) 5 - 75 b) 77 - 475
d) 713-375
- 73-275 , então N é igual a:
Questão 3.46 (AHSME-1970)
O número 73 + 275 - 73-275 é igual a:
a) 2 b) 275 c) 475
Questão 3.45 (AMC-2011)
Qual dos valores abaixo é igual a 79 - 675 + 79 + 675 ?
. 775 
c) —
Questão 3.49
Qual o valor de 72 + 75 ?
3 Racionalização
Questão 3.47 (IMO-Longlist-1988 - Modificada)
(11 + 675) ■ 7ii-675 - (11 - 675) • 7i 1 + 675 
Calcule o valor de x em x = ------- ' --- v — ' --------
775 + 2 + 775 -2) + 775 +11
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 121
C)
e)1
Questão 3.60 (Suécia-2001) 
1 1
Mostre que (Võ2 + 5^3 + (752 -5^3 é irracional.
Questão 3.59 (IMO-Longlist-1973)
O número vV5 + 2 + V\/5 - 2 , é racional ou irracional?
Questão 3.57 (Turquia-2009-Modificada)
Determinando o valor de x = 3/l 1 + 7337 + \/l 1-7337 , quanto vale x3 +18x ?
Questão 3.58
Qual o valor de ^5^2+7 - ^5>/2-7 ?
Questão 3.53 (IME-02/03)
Demostre que ^20+1472 + ^20-14^2 é um número inteiro múltiplo de 4.
Questão 3.52 (Stanford-2008)
'17V7-r45
4
Questão 3.55 (Turquia-2007-Modificada)
Determine o valor de 3/2 + 75 + 3/2 - 7õ .
Questão 3.54
Mostre que 3l 26 -1573 + 726 +1573 é um número inteiro.
Questão 3.56 (AHSME-1980)
A soma 3^5 + 27^3 + ^5-27l3^. é igual a:
. , 3/65 1 + ^13
b) — C) ~2~a)l 
d) 3/2
Simplifique ?/
122
é um número inteiro positivo seMostre que
para algum m inteiro positivo.
2
Questão 3.62 (lrã-1989)
^n + Vn2 + l)3 +(n-
Questão 3.66 (Kosovo-2013)
Prove que Vl0 + V24 + 740 +760 = 72 + Vê + Vê .
Questão 3.65
Qual o valor de ^8 + V4Õ + -J2Õ + -Jõ ?
Questão 3.61 (Malásia-2010)
Mostre que existem inteiros m e n, tais que — = x/VõÕ +7 -^V5Õ-7 . 
n
Questão 3.64 (CN-2004-Modificada)
Simplifique \J49 + 2üVê .
Questão 3.69
Qual o valor de ^28 - 4^48 ?
Questão 3.68
Qual o valor de \^8 + 4V48 ?
Questão 3.67 (AIME-2006)
O número V104Vê + 468VÍÕ + 144VÍ5 + 2006 pode ser escrito como 
aV2+bV3+cVõ , onde a, b e c são inteiros positivos. Determine abc.
mím2 + 3 
n =-----------
1
^M3
Questão 3.63 (IME-90/91)
. . J,L 125 j 125 .
Mostre que o numero + J9 + - fl-3 + J9 + e racional.
3 Racionalização
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 123
Questão 3.70
Qual o valor de \/l 7 + 12T2 ?
Questão 3.72 (CN-2003)
'10 + 275 e b = 74 + 7l0 + 2>/5 , então a + b é igual a: 
b) 4 c) 272 d) 75+1 e) 73 + 2
Questão 3.71 (AIME-1990)
3 3
Determine (52 + 6743)?-(52-6743)? .
Se a = 74 - 
a) 7TÕ
124
Então, tirando a raiz cúbica, temos;
Radicais da forma: ^A + \/b + ^C + ^D + \/Ê + ^F + ?/g + .
^a+^'b + ^+^d+?/ê+?/f + ^g + ?/h =
Onde:
A = m + n + p, B = 27mn2 , C = 27mp2 , D = 27m2n. E = 27m2p, 
F = 27n2p, G = 27np2, H = 216mnp.
3,4) Tópicos Avançados
Nesse tópico avançado veremos como se comporta um radical duplo com 
Índice 3, em cuja resolução usaremos (a + b + c)3 . Vamos lá:
Desenvolvendo (a + b + c)3, temos:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2 + 6abc , 
podemos fazer a = \/m, b = \Zn, c = ^p , daí fica:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2 + 6abc
(3m + ?/n + ^p) =m+n+p+3 ímn2 + 3 xjmp2 + 3 3'm2n + 3 \)m2p +
+ 3 3/n2p + 3 ^np2 + 6 ^mnp
+ x/n + = m + n + p + x/27mn2 + ^27mp2 + \/27m2n +
+ ^27m2p + ^27n2p -r ^27^7 + 3/216mnp
\/m + n + p + ^27mn2 + ^27mp2 + \/27m2n + ^27m2p + ^27n2p + ^27np2 + ^216mnp
=» 3Va + 37b-^c + 37d + ^e+?/f + ^g + 37h= ̂+ 3VÍ + ^)3 
3ylA 3̂jB+3Jc + 3jD + l/Ê + ^ + 3jGÜ/H=3^ + 3^^
3 Racionalização
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 125
Capitulo 04 - Expressões Algébricas
Note que o grau de um monômio é a soma dos expoentes da parte literal. No 
exemplo, temos: Gr(M) = 3 + 6 + 4 + 11 = 24.
Introdução
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. 
As letras nas expressões são chamadas de variáveis, o que significa que o 
valor de cada letra pode ser substituído por um valor numérico. Atualmente as 
letras associadas a números constituem a base da álgebra e contribuem de 
forma eficiente na resolução de várias situações matemáticas. Vamos conhecer 
os diversos tipos de expressões que nos ajudarão a resolver inúmeros 
problemas!
c) Trinômio
É a soma ou diferença entre TRÊS monõmios.
4.1) Tipos de Expressões Algébricas
a) Monômio
É a expressão algébrica na qual as operações entre os símbolos são somente 
multiplicação ou divisão.
Exemplo: M = |x3y6z4w11.
2
Coeficiente: - .
------------------ 7
Parte Literal: x3y6z4w11.
b) Binômio
É a soma ou diferença entre DOIS monõmios.
Exemplo: B = ya8b5c4 - 5m11n3 .
11
Coeficientes: •— e 5.
------------------- 2
Partes Literais: a8b5c4 e m11n3.
Note que o grau de um binômio é a maior soma dos expoentes das partes 
literais. No exemplo, temos:
Gr(B) = 8 + 5 + 4 = 17 ou Gr(B) = 11 + 3 = 14 Gr(B) = 17.
126 4 Expressões Algébricas
,4
Gr (P) = 4 + 4 = 8
d) Polinômio
É a soma ou diferença entre QUATRO OU MAIS monômios.
Resolução: Basta substituirmos o valor de x, então: 
2x4 - X3 - 4x2 + 5x -11 = 2 ■ 24 - 23 - 4 ■ 22 + 5 ■ 2 -11 
=> 2x4 - X3 - 4x2+5X -11 = 32-8-16+ 10 -11 
=> 2x4 - x3 - 4x2 + 5x -11 = 7.
Exemplo Resolvido 124: Determine o valor numérico da expressão abaixo 
para x = 2.
2x4 — x3 — 4x2 + 5x — 11.
4.2) Valor Numérico
O valor numérico de uma expressão algébrica é o resultado da operação que 
efetuamos, quando substituímos os valores das variáveis.
Exemplo: T = -3a6b + 2x7y3z + 1.
Coeficientes: -3, 2 e 1.
Partes Literais: a6b e x7y3z .
Note que o grau de um trinõmio é a maior soma dos expoentes das partes 
literais. No exemplo, temos:
Gr(T) = 6 + 1 = 7 ou Gr(T) = 7 + 3 + 1 = 11 .-. Gr(T) = 11.
Exemplo: P = x8y8-2x7y7 + x4y4 +xy-10.
Coeficientes: 1, -2 1 e 10.
Partes Literais: x8y8, x7y7, x4y4 e xy.
Note que o grau de um polinômio é a maior soma dos expoentes das partes 
iterais. No exemplo, temos:
Gr(P) = 8 + 8 = 16 ou Gr(P) = 7 + 7 = 14 ou
ou Gr(P) = 1 + 1 = 2 Gr(P) = 16.
Observação: Podemos chamar monômios, binômios ou trinômios de 
polinômios, sem perda de generalidade.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 127
c) Multiplicação de Polinômios
Para multiplicar dois polinômios, cada termo de um polinômio deve multiplicar 
cada termo do outro polinômio, propriedade que chamamos de "distributiva".
b) Subtração de Polinômios
A subtração de polinômios é efetuada pela soma dos termos semelhantes 
(termos com a mesma parte literal). Conserva-se a parte literal e subtraem-se 
os coeficientes.
Exemplo Resolvido 127: Efetue -3xy2 + 24xy2 -32x2y-4x2y .
Resolução: Note que temos duas partes literais. Conservamos a parte literal e 
somamos os coeficientes, o resto se repete.
-3xy2 + 24xy2 - 32x2y - 4x2y = 21 xy2 - 36x2y .
Exemplo Resolvido 126: Efetue 3x4y + 3xy3 +2z2 +5x4y + 3xy3 -9z2 +1.
Resolução: Conservamos a parte literal e somamos os coeficientes, o resto se 
repete.
3x4y + 3xy3 + 2z2 + 5x4y + 3xy3 + 9z2 +1 = 8x4y + 6xy3 +11 z2 +1.
4.3) Operações com as Expressões Algébricas
a) Adição de Polinômios
A adição de polinômios é efetuada pela soma dos termos semelhantes (termos 
com a mesma parte literal). Conserva-se a parte literal e somam-se os 
coeficientes.
Exemplo Resolvido 125: Efetue x3y2 +5xy + 3x3y2 .
Resolução: Note que temos duas partes literais. Conservamos a parte literal e 
somamos os coeficientes, o resto se repete.
1x3y2 + 5xy + 3x3y2 = 4x3y2 + 5xy.
ExemploResolvido 128: Efetue xyz-2xyz + 2ab -5ab - mn + 7mn .
Resolução: Conservamos a parte literal e somamos os coeficientes, o resto se 
repete.
xyz-2xyz + 2ab-5ab-mn + 7mn = 6mn-3ab- xyz.
128 Expressões Algébricas4
,3
Lembrando que multiplicamos os coeficientes e as partes literais de dada termo. 
No final, se obtivermos termos semelhantes, somamos ou subtraímos conforme 
a operação aparecer.
Vejamos os exemplos:
Exemplo Resolvido 132: Efetue (xy-2yz + 2xz)(x2y2 + x2z2 -y2z2).
Resolução: Conservamos a parte literal e somamos os coeficientes, o resto se 
repete.
(xy-1)(x3y:
Exemplo Resolvindo 131: Efetue (ab2 + 2abc2 )(-a2c - b4c + 4ab i.
Resolução: Note que temos duas partes literais. Conservamos a parte literal e 
somamos os coeficientes, o resto se repete.
(ab2 + 2abc2 )(a2c - b4c) = ab2 (-a2c - b4c) + 2abc2 (-a2c - b4c)
(ab2 + 2abc2 )(a2c - b4c j = a1+2b2c + ab2+4c - 2a1+2bc2+1 - 2ab1+4c2+1
(ab2 + 2abc2 j(a2c - b4c) = a3b2c + ab6c - 2a3bc3 - 2absc3.
Exemplo Resolvido 130: Efetue (- 7x3)(x4y2z-2xyz3).
Resolução: Conservamos a parte literal e somamos os coeficientes, o resto se 
repete.
(-7x3)(x4y2z-2xyz3) = - 7x3+4y2z + 7 - 2x3+1yz3
(-7x3)(x4y2z-2xyz3) = -7x7y2z + 14x4yz3.
’3 + x2y2 - xy + 6) = x4y4 + x^y^ - x2y2 + 6xy - Z
-x2y2 +xy-6
(xy -l)(x3y3 + x2y2 -xy + 6) = x4y4 -2x2y2 + 7xy -6.
Exemplo Resolvido 129: Efetue (~3xy)(+4x5y2 j.
Resolução: Note que temos duas partes literais. Conservamos a parte literal e 
somamos os coeficientes, o resto se repete.
(-3xy](+4x5y2) = -12x1+5y1+2 => (-3xy)(+4x5y2j = -12xsy3 .
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 129
Exemplo Resolvido 133: Efetue
=-8x4y■y
Parte Literal:
Problemas Propostos
d) Divisão de Polinõmios
Na divisão de monômios, efetuamos a divisão dos coeficientes (quando 
possível) e efetuamos a divisão da parte literal.
Observação: Aqui, irei apenas citar a divisão de monômios, para não fugir dos 
objetivos deste livro.
2
3
Questão 4.2 (CN-1952) 
Simplifique a expressão 7l6x\ --(x-5y)■ 7^7 •
(+24x5y2)
(-3xy)
Resolução: Note que temos duas partes literais. Conservamos a parte literal e 
somamos os coeficientes, o resto se repete.
(+24xsy2)
(-3xy)
(+24x5y2) 
(~3xy)
+24 / , 
= —3 '(X
Questão 4.1 (CN-1952)
Efetue a multiplicação (x2 - 5x + 9^(x + 3) .
Exemplo Resolvido 134: Efetue ^x3^ + ^-^x4y2zy
Resolução: Conservamos a parte literal e somamos os coeficientes, o resto se 
repete.
2
„ . . XXCoeficiente: +-—-XX X
3
x8 x8~4 x8 x4
x4y2z y2z x4y2z y2z
130 5
Capítulo 05 - Produtos Notáveis
(a
(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
Exemplo Resolvido 136: Efetue (x + 2)2 .
5.1) Quadrado da Soma de Dois Termos
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, 
mais o dobro do produtos dos dois termos, mais o quadrado do segundo termo. 
b)2 = a2 + 2ab + b2
Exemplo Resolvido 135: Efetue (2x + 3)2.
Demonstração:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
.'. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Resolução: Podemos escrever:
(x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) o (x + 2)2 = x2+ x-2 + 2x + 22 
<=> (x + 2)2 = x2+2x + 2x + 4 .-. (x+ 2)2 = x2 + 4x +4.
Introdução
No cálculo algébrico, existem várias expressões algébricas (ou polinõmios) cujo 
uso é bastante frequente em fatorações e simplificações, essas expressões são 
chamadas de produtos notáveis. Neste capitulo, vamos estudar essas 
ferramentas importantíssimas e muito eficazes nas simplificações de 
expressões algébricas.
Resolução: Podemos escrever:
(2x + 3)2 =(2x + 3)(2x + 3) <=> (2x + 3)2 = (2x)2 + 2x ■ 3+ 3 ■ 2x + 32 
<=> (2x + 3)Z = 4x2 +6x + 6x + 9 (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9.
Produtos Notáveis
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 131
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - ab - ab + b2
2")2.
5.2) Quadrado da Diferença entre Dois Termos
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, 
menos o dobro do produtos dos dois termos, mais o quadrado do segundo 
termo.
Demonstração:
(a - b)2 = (a - b) (a - b) <= 
.-. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 .
1)2-
Exemplo Resolvido 139: Efetue (3a3 - b2 j .
Resolução: Podemos escrever:
E = (3a3-b2)2 => E = (3a3-b2)-(3a3-b2) =>
E = (3a3 )2 - 3a3 • b2 - b2 • 3a3 + (b2 )2 =• E = 9a6 - 3a3b2 - 3a3b2 + b4 
.-. (3a3 - b2 )2 = 9a6 - 6a3b2 + b4.
Exemplo Resolvido 137: Efetue (4:
Resolução: Podemos escrever:
(4x i-1)2 = (4x +1)■ (4x +1) <=> (4x + 1)2 =(4x)2+4x-1 + 1-4x + 12 
o (4x + 1)2 = 16x2 +4x + 4x + 1 .-. (4x + 1)2 =16x2+8x + 1.
Exemplo Resolvido 138: Efetue (3x-2)2.
Resolução: Podemos escrever:
(3x-2)2 =(3x-2)(3x-2) o (3x-2)2 = (3x)2-3x-2-2-3x + 22
<=> (3x - 2)2 = 9x2 - 6x - 6x +4 .-. (3x-2)2 = 9x2-12x + 4.
Exemplo Resolvido 140: Efetue (am
132 5
E
E
= a'
a2 - 2ab + b2
.2 (a-b)2 = 2(a2 + b2) .
E
+ 16).
= 2^(9pm)2+42
E = (l + x3)2 +(l- x3)2
Exemplo Resolvido 142: Mostre que (l + x3) + (l-x3) = 2(l + x6).
Resolução: Podemos escrever:
=> E = 2[(1)2+(x3)2] E = 2(l + x6).
E = 2(49a2 +b4).
Exemplo Resolvido 141: Mostre que (7a+ b2) + (7a-b2) =2^49a2+b4).
Resolução: Podemos escrever:
= (7a + b2 )2 + (7a - b2 )2 => E = 2^(7a)2 + (b2 )2 I
Resolução: Podemos escrever:
= (am-2n)2 => E = (am-2n) (am-2n) => 
= (am)2-am-2n-2n-am+(2n)2=> E = a2m 
(am-2n)2 =a2m-2n+1am+22n.
Exemplo Resolvido 143: Efetue (9 pm + 4! +(9 pm - 4) = 2(81 p2m 
Resolução: Podemos escrever:
E = (9 pm
Demonstração:
(a + b)2 + (a - b)2 = a2 + 2ab + b2
=> (a + b)2 +(a-b)2 = 2a2 +2b2 (a + b)'
+ 4)2 + (9 pm - 4)2 => E 
E = 2(81p2m+16).
am -2n
Produtos Notáveis
5.3) Identidade de Legendre para a Soma
A soma dos quadrados da soma e da diferença entre dois termos é igual ao 
dobro da soma dos quadrados de cada termo.
(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
-2 am -2n +22n
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 133
Exemplo Resolvido 145: (ab + c)2 -(ab-c)2 = 4abc .
Resolução: Podemos escrever:
(ab + c)2 -(ab-c)2 = 4ab c (ab + c)2 -(ab-c)2 = 4abc .
(a2b3+c
(a2b3
Exemplo Resolvido 144: Mostre que (x4 + 1) -(x4-l) = 4x4 .
Resolução: Podemos escrever:
(x4+l)2-(x4-l)2 =4-x4-1 /. (x4+l)2-(x4-l)2 =4x4 .
'dn )2 = 4(a2b3 )-(cmdn ) 
:mdn)2 =4a2b3cmdn .
2ab + b2) < 
+ 2ab - b2
5.4) Identidade de Legendre para a Diferença
A diferença entre os quadrados da soma e da diferença entre dois termos é 
igual a quatro vezes o produto desses dois termos.
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
Exemplo Resolvido 146: Calcule (a2b3 + cmdn i -(a2b3-cmdn) .
Resolução: Podemos escrever:
:mdn)2-(a2b3-cm:
+ cmdn)2 -(a2b3 — c'
b)2 - (a - b)2 = a2 + 2ab + b2 - (a2 - 
b)2 - (a - b)2 = a2 + 2ab + b2 - a2 
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab .
Demonstração:
(a
» (a
5.5) Identidade de Lagrange para a Soma:
Podemos generalizar a soma de dois quadrados, e o resultado será:
(ax + by)2 + (ay - bx)2 = (a2 + b2j(x2 + y2)
134 5
.2
Exemplo Resolvido 148: Determine ^5mx + 3n) +(5m-3nx) .
22
,6
E = 13(x2+y2).
49+ c4
.3?
Exemplo Resolvido 147: (2x + 3y)2+(2y-3x)2 =13(x2+y: 
Resolução: Podemos escrever:
E = (2x + 3y)2+(2y-3x)2
\2 z .
I (84 bJ vq "?p
pW).
Resolução: Podemos escrever:
(5mx + 3n)2 +(5m -3nx)2 = |^5m)2 +(bn)2^j(x2 +12) 
(5mx + 3n)2 + (5m - 3nx)2 = (52m + 32n)(x2 +1).
Demonstração:
E = (ax + by)2 + (ay -bx)‘
=> E = (ax)2 + 2 - ax by + (by)2 + (ay)2 - 2 ay-bx + (bx)2
=0 E = a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2 => E = a2(x2+ y2) + b2(y2+ x2)
(ax + by)2 + (ay - bx)2 = (a2 + b2)(x2 + y2) .
Produtos Notáveis
Exemplo Resolvido 149: Calcule í ■ p3 + X- - q4 
v c
Resolução: Podemos escrever:
O-
\2 /
=> E = ^22 + 32j(x2+y2)
/ u \2 f U \2
(a 3 b 4] a 4 b 3]■■■ (r-P *?■’JV’ ?P J
5.6) Identidade de Lagrange para a Diferença:
Podemos generalizar a diferença de dois quadrados, e o resultado será:
(ax + by)2 - (ay + bx)2 = (a2 - b2j(x2- y2)
b
C'
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 135
2
E
=> E d'
E
E = 7(b2-c2).
Demonstração:
E = (ax + by)2 - (ay + bx)2
=o E = (ax)2 + 2 ax by + (by)2-[(ay)2+2 ■ay bx + (bx)2)
=• E = a2x2 + 2•ax•by + b2y2 - a2y2 - 2 ay■bx - b2x2
=> E = a2x2 + b2y2 - a2y2 - b2x2 => E = a2(x2 -y2)-b2(x2 -y2) 
(ax + by)2 - (ay + bx)2 = (a2 - b2)(x2- y2) .
Exemplo Resolvido 150: (4b + 3c)2-(3c-4c)2= 7(b2-c2)
Resolução: Podemos escrever:
E = (4b + 3c)2 - (3c - 4c)2 => E = í42 - 32 ](b2 - c2) 
116 9 / '
a2UÜ8d‘
,2010 j2
)•
,2009^2012 _b2010c2011 j2
|2012 j2"j
Exemplo Resolvido 151: Determine (ab2Vc + 3yVx )2-(ab2Vx +3y7c)2 .
Resolução: Podemos escrever:
E = (ab2Vc+3yVx) - (ab2Vx + 3yx/c)2
=> E = ^ab2j2-(3y)2J(Vcj'
a2009d2012 +b2010c2011)2
Resolução: Podemos escrever:
_(a2009b2010 +c2011d2012j2
= [(a2009)2 -(c2011)2J(b'
= (a4018-c4022)(b4020 -d4024
(Ví)2] E = (a2b4-9y2)(c-x).
Exemplo Resolvido 152: Determine
(a2009b2010+c2011d2012j2_((
136 5 Produtos Notáveis
Problemas Propostos
Compute
2
Questão 5.8
Se a igualdade Vx + 2 + 2\/2x = y11 + 3^6 é satisfeita, determine o valor de x.
Questão 5.7 (Putnam-2001-Modificada)
Simplifique x4-(2n-4)x2+(n-2)2.
Questão 5.6 (Noruega-1998)
Seja p o maior fator primo de 9991. Então, a soma dos algarismos de p vale?
Questão 5.4 (Harvard-MIT-2012)
>ejam a e b números complexos tais que 2a + 3b = 10 e 4a2 + 9b2 = 20 , 
determine o valor de ab.
Questão 5.3 (Noruega-1998)
Sejam a > b números reais, tais que a2 + b2 = 31 e ab = 3 . Então, quanto vale 
a-b?
Questão 5.1 (Noruega-1999)
7772 - 662
777 + 66
Questão 5.2 (Noruega-1999)
Se xy = 6 e x2y + xy2 = 63 , determine x2 + y2 .
= a , então (x + y)2 é igual a:
Questão 5.5 (AHSME-1958)
7” Z 1 í~Se xy = b e — + —
x y
a) (a + 2b)2 b)a2+b2
c)b(ab + 2) d) ab(b + 2)
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 137
Questão 5.11 (AHSME-1951)
a) b2 -4ac b) c)
d) e)
0.
Questão 5.14 (Eõtvõs-1933)
Sejam a, b. c e d números reais tais que a2 + b2 = c2 + d2 = 1. Se ac + bd 
determine o valor de ab - cd.
b2 - 4ac
2a
b2 -2ac
b2 -4ac
b2 -2ac
Questão 5.12 (Hungria)
Sejam a, b, c e d números reais tais que a2+b2=1 e c2+d2=1. Se
Vãac + bd = —, determine o valor positivo de ad - bc .
Questão 5.10 (Singapura-2014)
Se a e p são as raízes da equação 3x2 + x -1 = 0 , onde a > p. determine o 
a p
valor de — + — .P a
Questão 5.13 (Harvard/MIT-2008)
Suponha que a. b, c. d são números reais satisfazendo a>b>c>d>0, 
a2 + d2 = 1, b2 + c2 = 1 e ac + bd = V . Determine ab - cd.
3
Questão 5.9 (AHSME-1955)
Se r e s são as très raízes da equação x2 -px + q = 0 , então r2 + s2 , é 
a)p2+2q b)p2-2q c) p2 + q2
d) p2 -q2 e) p2
Seres são as raizes da equação ax2 + bx + c = 0 , determine -7 + -5-: 
r2 s2
138 5
,8
Dados x e y reais com
em termos de k.
,8 
J +
x8 + y' 
7^?
,2
= k, determine
x8-yl 
x8 + y8
Questão 5.16 (Hong Kong-2002)
Sejam x,, x2, e y2 números reais, satisfazendo as equações x2 + 5x2 =10, 
x2y, xiY2 = 5 e x^ + 5x2y2 = -/105 . Qual o valor de Xfy, + 5x2y2 = 7105 ?
Sejam a e b números reais, tais que |a| * |b| e
Questão 5.18 (Júnior Balkan-1997)
x2 + y2 + x2 
x2-y2 x2+y'
Questão 5.15 (india-1998-Modificada)
Mostre que (a2 + 3b2)(c2 +3d2j = (ac + 3bd)2 + 3(ad-bc)2 .
Questão 5.17 (Eslovênia-2010/ Kosovo-2013)
a+b a-b -------+------- = 6 . 
a-b a+b
a3 + b3 a3 - b3
Determine —----- - + —------ .
a3-b3 a3 + b3
Produtos Notáveis
-y
,2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 139
Exemplo Resolvido 153: Reescreva 49 + x2 como quadrado da soma.
,2
Exemplo Resolvido 154: Reescreva 16x2+121 como quadrado da soma.
A soma de dois quadrados pode ser escrita de duas maneiras: a primeira é em 
forma de quadrado da soma, e a segunda é em forma de quadrado da 
diferença.
Demonstração:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 + b2 = (a
Demonstração:
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 .'. a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab .
b)2 - 2ab .
c8
Exemplo Resolvido 155: Reescreva 4a4b2+ — como quadrado da diferença.
Resolução: Podemos escrever:
49 + x2 = 72 + x2 => 49 + x2 = (7 + x)2 - 2 • 7 • x 
49 + x2 =(7 + x)2-14x.
Resolução: Podemos escrever:
16x2 + 121 = (4x)2 +112 => 16x2 +121 = (4x +11)2 - 2 ■ 4x-11 
16x2 +121 = (4x +11)2 - 88x .
5.8) Soma de Dois Quadrados em Forma de Diferença: 
A segunda escrita é em forma de quadrado da diferença.
a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
5.7) Soma de Dois Quadrados em Forma de Soma: 
A primeira escrita é em forma de quadrado da soma.
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
140 5
2
E =4a4b2
E
Exemplo Resolvido 156: Reescreva 9x2p+25y4q como quadrado da 
diferença.
Demonstração:
(a + b)(a-b) = a2-ab + ab-b2 (a + b) (a - b) = a2- b2 .
5.9) Produto da Soma pela Diferença:_______________________________ ___
O produto da soma de dois termos pela diferença desses mesmos dois termos 
é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
(a + b) (a - b) = a2 - b2
I + 2-2azb — .-. E = Í2a2b-^-
5 5
=> E =Í2a2b- —
5
Resolução: Podemos escrever:
g =E.(2A)\[Ç] 
c4
Demonstração:
(am + bn)-(am - bn) = a'
(am + bnj (am - bn) = a:
Resolução: Podemos escrever:
E = 9x2p+25y4q => E = (3xp)2 + (5y2q)2 =>
= (3xp-5y2q)2+2-3xp 5y2q E = (3xp-5y2q)2 + 30xp • y2q
Produtos Notáveis
Generalizações do Produto da Soma pela Diferença:____________________
Podemos generalizar o produto da soma pela diferença entre dois termos, como 
veremos a seguir.
a) Binômio Soma e Diferença com Potência
O produto de um binômio soma pelo binômio diferença é igual ao quadrado do 
primeiro monômio menos o quadrado do segundo monômio.
(am + bn) (am - bn) = a2m - b2n
I 4a2bc4 
+----------- ■
5
i2m - am-bn + am-bn - b2n
l2m _ b2n
C4
5
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 141
_ b2'
= (x2 -4j-(x2 + 4)-(x4 +16)
= (x4 -16) ■ (x4 +16) ■- (x2m +2'
+ b2n) = a2'
+ b2n) = a2'
-P2q
b) Generalização para uma Potência n.
O produto da diferença pela soma das potências de dois termos em PG é igual 
à diferença entre quadrados com a potência consecutiva.
(a-b)- (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4)-...-(a2n
x2m
x2m
,2m j
x2m _ 22m’1x2m+1
1n+pq).(mn-pq).
+ 22m)
+ 22m)
+ 22m) =
+ 22m).
+ b2n) 
b2")
>n+1 on+1■ - b2
Exemplo Resolvido 158: Efetue [m1
Resolução: Podemos escrever:
(mn + pq)(mn -pq) = (m11)2 -(pq)2 (mn + pq)(i
= (a - b)(a + b) (a2+ b2)-(a4+ b4)-...-(a2n 
= (a2 - b2)-(a2+ b2) (a4+ b4)....(a2" + 
= (a4-b4).(a4+b4)-....(a2n+b2n)
= (a8-b8)-...-(a2n+b2n) =...
Exemplo Resolvido 157: Efetue (2a + 3b) (2a-3b).
Resolução: Podemos escrever:
(2a + 3b) ■ (2a- 3b) = (2a)2 -(3b)2 /. (2a + 3b) ■ (2a-3b) = 4a2-9b2.
Exemplo Resolvido 159: Efetue (x-2) (x + 2)-(x2 + 4)-... (x2m 
Resolução: Podemos escrever:
E = (x-2)-(x + 2)-(x2+4)-[x4+16)-...-[:
=> E
E
.-. (x-2)-(x + 2) (x2 +4)-(x4+16)-...-(
Demonstração:
E
=> E
=> E
=> E = (a8-bB)-...-(a2n+b;
(a-b)-(a + b) (a2 +b2)-(a4 +b4)-...-(a2n
mn-pq) = m2n
142 5
a)-(x - b) = x2 + (a - b)x - ab(x
Exemplo Resolvido 160: Efetue (x + 2) (x + 3).
Resolução: Podemos escrever:
(x + 2)-(x + 3) = x2+(2 + 3)x + 2-3 (x + 2)(x + 3) = x2+ 5x + 6 .
Veremos agora os produtos notáveis que tem relação com as equações do 2° 
grau. São chamados de identidades de Stevin. São pouco usadas devido à sua 
simplicidade, mas são identidades importantes numa prova que exija rapidez!
-a)(x-b) = x2 - (a+ b)x + ab .
Demonstração:
(x-a)(x-b) = x2-bx - ax + ab (x
Demonstração:
(x + a)(x+ b) = x2+bx + ax+ ab (x + a)(x + b) = x2+ (a + b)x + ab .
b) Produto entre um binômio soma e um binômio diferença, com termo 
comum:
Exemplo Resolvido 161: Efetue (x + ab) (x-bc).
Resolução: Podemos escrever: 
(x-s-ab)-(x-bc) = x2 + (ab-bc)x-abbc
(x + ab) (x - bc) = x2 +(a - c)bx-abzc .
Demonstração:
(x+ a)(x-b) = x2-bx + ax-ab kx + a)(x-b) = x2 + (a-b)x-ab .
c) Produto entre dois binômios diferença, com termo comum:
(x - a)-(x - b) = x2 - (a + b)x + ab
5.10) Identidades de Stevin para Dois Termos:
a) Produto entre dois binômios soma, com termo comum:
(x + a)(x + b) = x2+ (a + b)x + ab[
Produtos Notáveis
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 143
a)
b)
c)
ab
(xm + a)-(xm- b) (a - b)xm - ab
- ab .
b) Produto entre um binômio soma e um binômio diferença, com termo 
comum:
x2m + (a
+ b)
= a-b-ab + l|.
x2m
xm
x2m
b)xm
- bxm
Exemplo Resolvido 162: Efetue (x-abc) -(x-bcd).
Resolução: Podemos escrever:
(x - abc) (x - bcd) = x2 - (abc + bcd)x + abc bcd
(x - abc) ■ (x - bcd) = x2 - (a + d)bcx + ab2c2d .
+ bxm
= x2m
Demonstração:(xm + a) (xm - b) =
(xm+ a) (xm- b) =
Demonstração: 
(xm+ a)-(xm+ b) =
(xm + a) (xm+ b) = x2m + (a + b)x'
Generalizações das Identidades de Stevin:
Podemos generalizar as identidades de Stevin, como segue: 
a) Produto entre dois binômios soma, com termo comum: 
(xm+ a)(
Consequência, para x = 1, temos:
Se substituirmos x = 1 nas identidades de Stevin, teremos identidades bem 
interessantes, vejamos:
(1 + a)(1 + b) = 12 + (a + b)-1 + ab |(1 + a) (1 + b) = a + b + ab + l|.
(1 + a)-(1-b) = 12 + (a - b)-1-ab |(1 +a)-(1-b)
(1-a)-(1-b) = 12-(a-rb)-1 + ab |(1-a) (1-b) = ab-a-b-rl[.
= x2m + (a + b)xm
+ axm + ab
:m + ab .
+ axm - ab
144 5
- bxm - axm + ab
Exemplo Resolvido 163: Efetue ^2x7 + 3)^2x7 + 5)
3c4)
-6b3c4 .,2016
■p
= p'p
-3c4) = (;
3c4) = a'
Resolução: Podemos escrever: 
8
(2x7 + 3) • (2x7 + 5) = (2x7 )2 + (3^5) • 2x7 + 3 ■ 5
(2x7 + 3) (2x7 + 5) = 4x14 + 16x7 +15.
>mn-by
>mn-ax
Demonstração:
(x"-a).(x”-b) =
^xm - a) (xm - b) - x
r" -by
>mn -ax
Exemplo Resolvido 165: Efetue í pm
Resolução: Podemos escrever:
) = [pmn]2+(ax+by)
,2mn-(ax+by)prnn+axby.
r” -ax.by
+ 2b3)-(a:
+ 2b3)(a:
)2+(2b3-3c4)a:
l4032 + (2b3-3c4)a2016
,mn - by
a2016
x^m
t2016 - 2b3 ■ 3c4
Produtos Notáveis
Exemplo Resolvido 164: Efetue (a2016
Resolução: Podemos escrever:
(a2016+?k3Vf=2016
(a2016
+ 2b3)-(a2016
:2m- (a + b)xm+ ab .
c) Produto entre dois binômios diferença, com termo comum:
(xm - a)-(xm- b) = x2m- (a + b)xm+ ab
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 145
b)-(cx - d) = acx2 - (ad bcjx + bd(ax
d) = acx2 (ad - bc)x - bd
b) Produto entre dois binômios diferença (genéricos), com termo 
comum:
Demonstração:
(ax +
■■ E*
d) Produto entre um binômio diferença e um binômio soma (genéricos), 
com termo comum:
(ax - b)-(cx
Demonstração:
(ax +
[(ãx +
b)(cx + d) = acx2 + adx + bcx + bd
+ b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
b)-(cx - d) = acx2 - adx + bcx - bd
b) (cx - d) = acx2 + (bc - ad)x - bd|.
De um modo geral, podemos escrever as identidades de Stevin das seguintes 
maneiras:
a) Produto entre dois binômios soma (genéricos), com termo comum:
(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
Demonstração:
(ax - b) (cx - d) = acx2 - adx - bcx + bd
|(ax - b) (cx - d) = acx2 - (ad + bc)x + bd .
Demonstração:
(ax - b) (cx + d) = acx2 + adx - bcx - bd
(ax - b) (cx + d) = acx2 + (ad - bc)x - bd .
c) Produto entre um binômio soma e um binômio diferença (genéricos), 
com termo comum:
(ax + b) (cx - d) = acx2 + (bc - ad)x - bd
146 5
Exemplo Resolvido 166: Efetue (2x + 5)(3x + 4).
(2x + 5)(3:
(2x + 5)■ (3x + 4) = 6x2 + 23x + 20 .
Exemplo Resolvido 167: Efetue (x-3)(7x-2).
x + 3-2
(x-3)-(7x-2) = 7x2-23x + 6 .
Exemplo Resolvido 168: Efetue (5a + 2) • (9a - 3).
a-2-3
(5a + 2) (9a-3) = 45a2 + 3a - 6 .
Exemplo Resolvido 169: Efetue (ax -4) ■ (3x + b) .
Resolução: Podemos escrever:
(ax -4) (3x + b) = a -3-x2 +(a-b + 34)x + 3-2 
(ax-4) (3x + b) = 3ax2 +(ab-12)x-4b.
Resolução: Podemos escrever: 
(2 21 '
(x - 3) • (7x — 2) = 1-7 • x2 + 12 + 3-7
Resolução: Podemos escrever: 
(18 15 '
(5a+ 2) (9a-3) = 5-9 a2 + 2-9-5-3
Resolução: Podemos escrever: 
( 8 15 1
4) = 2-3 x2+ 2-4 + 5-3 -x + 5-4
Produtos Notáveis
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 147
Problemas Propostos
Divida a' por
-b’Divida a' por
Simplificando-se a fração , onde a > b, obtém-se:
a) a2 - b2 - 2ab 
c) a2 + b2 - 2ab 
e) a2 +b2
Questão 5.20 (Harvard-MIT-2009)
Determine o valor da soma 112 -12 +122 -22 +132 -32 + ... + 202 -102
Questão 5.22 (OCM-1998-Modificada)
Determine o valor de 12 - 22 + 32 - 4 2
Questão 5.19 (CN-1954)
Decomponha 16x4 -1 em três fatores.
+ ...-19982 +19992.
Questão 5.21 (Turquia-2007-Modificada)
Determine o valor de (lOO2 -992)(992 -982)...(32 -22)(22 -12) .
AM
Questão 5.25 (Moscou 1946)
Prove que, depois de completar a multiplicação e agrupar os termos de 
(l-x + x2 -x3 + ... ■-x"x100)-(l + x + x2 +... + x" + x100), não haverá 
monômios de grau ímpar.
Questão 5.26 (CN-2005)
, a4 + b4 -6a2b2 
a2 - b2 + 2ab
b) a2 -b2 + 2ab
d) a2 + b2 + 2ab
+ b26(a + b)(a2 +b2)(a4 +b4)-...-(a2
(a + b)(a2+b2)(a4+b4y...-^a2k '
Questão 5.24 (Moscou 1945) 
i2k-b2k
Questão 5.23 (Moscou 1945) 
l2? — b2?
148 Notáveis5 Produtos
c)b)
d)
x2 +1 
~2
X4 -r X2 - 1 
2x2
x4-x2-1 
2x2
Questão 5.30 (CN-1991)_____________________________________________ _
Simplificando a expressão abaixo, para os valores a, b e c que não anulam o 
denominador, obtém-se:
(a2 -b2 -c2 -2bcj(a + b-c)
(a + b + c)(a2 +c2 -2ac-b2)
a) 1
b) 2
c) 3
d) a + b i-c
e) a - b + c
ab + b2^a12 + a6b6 +b12)
a)
2x2
Questão 5.29
Simplifique (a + b)(a-b)(a2 +ab + b2)(a2 -
Questão 5.28
Simplifique (a + b - c + d)2 + (a + b - c - d)2 - 2^(c - a - b)2 - d2 j.
I ( x4 -1 
Simplificando a expressão ,11+ -----—V l 2x2
Questão 5.27 (AHSME-1951 / CN-1998)____________________________
i2 x2 
-—.para XeR , obtém-se:
, x2 
e}T2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 149
3a2b + 3abz b3 .
b)
b3
(a
Até agora, vimos os produtos notáveis de expoente dois, ou seja, elevados ao 
quadrado, agora veremos os produtos de expoente três, ou seja, elevados ao 
cubo, vamos lá!
5.11) Cubo da Soma de Dois Termos
O cubo da soma de dois termos é igual ao primeiro termo elevado ao cubo mais 
três vezes o primeiro termo elevado ao quadrado vezes o segundo termo, mais 
três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo elevado ao quadrado, mais 
o segundo termo elevado ao cubo.
(a + b)3 = a3
Exemplo Resolvido 171: Desenvolva (3x + 2)3.
Resolução: Podemos escrever:
(3x + 2)3 = (3x)3+3 (3x)2-2 + 3-3X-22+23
.-. (3x + 2)3 = 27x3 + 54x2 + 36x + 8 .
5.12) Cubo da diferença de Dois Termos:
O cubo da diferença entre dois termos é igual ao primeiro termo elevado ao 
cubo menos três vezes o primeiro termo elevado ao quadrado vezes o segundo 
termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo elevado ao 
quadrado, menos o segundo termo elevado ao cubo.
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 .
Exemplo Resolvido 170: Desenvolva (x + 3)3 .
Resolução: Podemos escrever:
(x+ 3)3 = x3+3-x2 • 3 +3 ■ x-32+33 .-. (x + 3)3 = x3 + 9x2 + 27x + 27 .
Demonstração:
(a + b)3 = (a + b)2 (a + b) <=> (a + b)3 = (a2 + 2ab + b2) ■ (a 
<=> (a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 
b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 .
150 5
Exemplo Resolvido 173: Desenvolva (x-2y)3.
(a-b)3 = 2a(a2+3b2) ..3
5.13) Cubo da Soma mais Cubo da Diferença:
Quando somamos o cubo da soma com o cubo da diferença, obtemos um 
produto notável interessante: o dobro do primeiro termo que multiplica o 
quadrado do primeiro termo mais três vezes o quadrado do segundo termo.
(a + b)3+(a - b)3 =2a(a2+3b2)
Resolução: Podemos escrever:
4y2 
(x-2y)3 = x3-3-x2-2y+ 3-x(2y)2-(2y)3 
.-. (3x-2)3 = x3-6x2y + 12xy2-8y3 .
Exemplo Resolvido 174: Efetue (x + 3)3 +(x-3)3 .
Resolução: Podemos escrever:
(x + 3)3 + (x-3)3 = 2-x(x2+3-32)=>(x + 3)3+(x-3)3 = 2x(x2+2?) 
.-. (x + 3)3 + (x - 3)3 = 2x3 + 54x .
Exemplo Resolvido 172: Desenvolva (x-2)3.
Resolução: Podemos escrever:
(x-2)3 =x3 +3 x2 2 + 3 x-22+23 (x-2)3 = x3-6x2+12x-8 .
Demonstração:
(a + b)3 + (a - b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(a-í-b)3 + (a-b)3 = 2a3 + 6ab2 .-. (a + b):
Produtos Notáveis
Demonstração:
(a-b)3 = (a-b)2 (a-b) (a - b)3 = (a2-2ab + b2) (a - b) 
o (a - b)3 = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 
.-. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 .
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 151
Exemplo Resolvido 177: (3x + 7)3 -(3x-7)3 = 378x2 + 686.
Resolução: Podemos escrever:
(3x+ 7)3-(3x-7)3 =2-7^3-(3x)2+72l
=> (3x + 7)3 -(3x-7)3 = 14(27x2 +49)
=> (3x+ 7)3 - (3x - 7)3 = 378x2 + 686 .
Exemplo Resolvido 176: Efetue (x +
Resolução: Podemos escrever:
(x + 5)3 -(x-5)3 = 2-5(3-X2 + 52)=> (x + 5)3 -(x-5)3 = 10(3x2 +25) 
=> (x + 5)3 -(x-5)3 =30x2+250.
5.14) Cubo da Soma menos Cubo da Diferença:
Quando subtraímos o cubo da diferença do cubo da soma, obtemos um produto 
notável interessante: o dobro do segundo termo que multiplica três vezes o 
quadrado do primeiro termo mais o quadradodo segundo termo.
(a + b)3-(a-b)3 =2b(3a2+b2)
Demonstração:
(a + b)3 -(a-b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 +b3 -(a3 -3a2b + 3ab2 -b3)
(a + b)3 - (a - b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - a3 + 3a2b - 3ab2 + b3
(a + b)3-(a-b)3 = 6a2b + 2b3 .-. (a + b)3-(a-b)3 = 2b(3a2+b2)
(2x-5)3.
5)3-(x-5)3.
Exemplo Resolvido 175: Efetue (2x + 5)3
Resolução: Podemos escrever: 
(2x + 5)3 + (2x — 5)3 = 2 - (2x)[)(2x)2 + 3 ■ 52 ) =>
(2x + 5)3 +(2x-5)3 =4x(4x2 +75)/. (2x + 5)3 + (2x - 5)3 =16x3 + 300x .
5152
b)
Exemplo Resolvido 178: Desenvolva (m + 10)3.
Veremos como expressar a soma de cubos e a diferença de cubos. Podemos 
escrevê-las a partir das identidades de Cauchy, temos também a forma 
fatorada. que são chamados de produtos de Warring.
Exemplo Resolvido 179: Desenvolva (3n + 4)3.
Resolução: Podemos escrever: 
(3n + 4)3 = (3n)3 +43 +3(3n)-4(3n + 4) 
=> (3n + 4)3 = 27n3 + 64 + 36n(3n + 4).
= m3 +1000+ 30m(m + 10).
5.15) Identidade de Cauchy (Soma):
Podemos escrever o cubo da soma de um modo mais cômodo, é a chamada 
identidade de Cauchy:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a
Demonstração:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 .-. (a + b)3 = a3+b3 + 3ab(a+ b) .
5.16) Identidade de Cauchy (Diferença):
Podemos escrever o cubo da diferença de um modo mais cômodo, é a 
chamada identidade de Cauchy:
(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
Demonstração:
(a-b)3 = a3 - 3a2b +3ab2-b3 (a-b)3 = a3 -b3 -3ab(a-b) .
Resolução: Podemos escrever: 
(m + 10)3 =m3 + 103 + 3-m-10(m + 10) 
=> (m + 10)3
Produtos Notáveis
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 153
b3 =(a + b)3-3ab(a + b) .
3ab(a-b) .
c) Soma de cubos (Warring): a3+b3 = (a + b)(a2
d) Diferença de cubos (Warring): a3 -b3 =(a-b)(a2
Exemplo Resolvido 180: Efetue x3 + 43 .
Resolução: Podemos escrever:
x3 +43 = (x + 4)3 - 3-x-4(x + 4) => x3 + 43 = (x + 4)3 -12x(x + 4).
-ab + b2) .
-ab + b2) .
+ ab + b2j
Demonstração:
a3+b3 = (a + b)3-3ab(a + b) <=>
a3 +b3 = (a + b)|^a2 + 2ab + b2
a3 - b3 = (a - b)£(a - b)2 + 3ab"| 
-2ab + b2+3abJ a3-b3 = (a-b)^a2
Demonstração:
(a-b)3 = a3-b3 - 3ab(a-b) a3-b3=(a-b)3
+ ab + b2 j
a3 +b3 = (a + b)|ja + b)2 -3ab 
-3ab^| a3 + b3 = (a + b)(a2
a) Soma de cubos: a3
Demonstração:
a3 - b3 = (a -b)3 + 3ab(a -b)
«=> a3 -b3 - (a-b)[a2
Demonstração:
(a + b)3 =a3+b3+3ab(a + b) a3 + b3 = (a +b)3-3ab(a + b) .
b) Diferença de cubos: a3 - b3 = (a-b)3 + 3ab(a-b) .
154 5
Exemplo Resolvido 181: Efetue (2m)3 - 33.
Exemplo Resolvido 182: Efetue (5a)3 +(2b)3.
Exemplo Resolvido 183: Efetue (11 x)3 - y3 .
Resolução: Podemos escrever:
(2m)3 - 33 = (2m-3)3+3-(2m)-3(2m-3) 
=> (2m)3 - 33 = (2m-3)3+18m(2m-3).
■!]
Resolução: Podemos escrever:
(11 x)3 - y3 = (11 x - y )£(11 x)2 + (11 x) ■ y + y:
=> (11 x)3 - y3 =(11x-y)(l21 x2 +11 xy + y:
Resolução: Podemos escrever:
(5a)3 +(2b)3 = (5a + 2b)[(5a)2 -(5a)-(2b) + (2b)2] 
=> (5a)3 +(2b)3 = (5a + 2b)(25a2-10ab + 4b2).
Produtos Notáveis
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 155
Problemas Propostos
,3 = 28 . Determine
Questão 5.32 (CN-2006)
, x2 + y2 - xy « 0 , obtém-Simplificando-se a fração
c) x + y-1
Simplificando , vamos encontrar:
c) V2(x2-4)a) V2(x + 2)
d) ,/2
Simplificando a fração , vamos encontrar:
Simplifique
se:
a) x-y + 1
d) 1 + x + y
a) z(x + y) 
d) zx - y
b) x-y-1
e) 1- x + y
x-y) + y2(y + 1)
2+ y -xy
Questão 5.31 (Harvard-MIT-2007)
Sejam x e y dois números reais tais que x-y = 4 e x3-y' 
xy.
Questão 5.33 (CN-1980)
(2x2 -4x + 8)(x2 -4) 
V2 • x3 + VÍ28
b) V2(x-2)
Questão 5.35
(a + b)2 -4^a2 + b2 :
(a3+b3)2-(a2+b2)3 '
x(x2 
x2
Questão 5.34 (CN-1983)
(x2z + zy2 + 2xyz)(x2
x3 +3x2y + 3xy2 +y
b) z(x-y) c) zx + y
e) z + y
-Z) 
,3
156 5 Produtos Notáveis
2
, quando simplificado, é:
c)1
>2
Calcule
23 -r-1 33 +1 43 +1 53 +1 63 +1
+ X + l)
Questão 5.40 (Stanford-2012) 
 . . 23-1 33-1 43 -1
Questão 5.39 (Harvard/MIT-2007) 
23-1 33-1 43-1 53-1 63-1
Questão 5.38 (Harvard/IVllT-2000)_______ _
Calcule 20003 -1999- 20002 -19992 ■ 2000 +19993 .
-x + l)
•>iwjd) [(x3 +1)(x3-1)]
_ . , 23 -1 33 -1 43 -1 163 -1 
Calcule —---------------- - ...—- .
23 +1 33 +1 43 -r-1 163+1
(x + 1)2(x2
(x3+1)2
Questão 5.37
Determine a3 - a2b - ab2 + b3 .
(x-1)2(x2
(xM2
b) (x3 +l)4
Questão 5.36 (AHSME-1952) _________ —
a) (x + 1)4
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 157
b4
(a-b)4 = (a3 -3a2b + 3ab2 -b3j(a-b)
Desenvolveremos agora a quarta potência de dois termos e a utilizaremos para 
desenvolver potências de temos recíprocos.
Demonstração:
(a - b)4 = (a - b)3 • (a - b)
5.18) Quarta Potência da Diferença:
A quarta potência da diferença é dada por
(a - b)4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
Exemplo Resolvido 184: Desenvolva (x + 2)4 .
Resolução: Podemos escrever: 
4 8
(x + 2)4 = x4 + 4 • x3 2 + 6 x2 ■ 22 + 4 ■ x 23 + 24
=> (x + 2)4 = x4 +8x3 + 24x2 +32x4-16 .
5.17) Quarta Potência da Soma:
A quarta potência da soma é dada por
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3
Exemplo Resolvido 185: Desenvolva (2x + 3)4.
Resolução: Podemos escrever: 
8x3 4x2 9 27
(2x + 3)4 = (2x)4 + 4 ■ (2x)3 • 3 + 6 ■ (2x)2 • 32 + 4 • (2x) ■ 33 + 34 
.-. (2x + 3)4 = 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 81.
Demonstração:
(a + b)4 =(a + b)3(a + b) <=■ (a + b)4 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)(a+ b)
(a + b)4 = a4 + 3a3b + 3a2b2 + ab3 + a3b + 3a2b2 + 3ab3 + b4
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 .
158 5
13+14
2b4 <=>
8a2b2
Resolução: Podemos escrever: 
(x — 1)4 = x4 - 4 ■ x3 -1 + 6 x2 -12 - 4 x- 
=> (x-1)4 = x4 -4x3 +6x2 -4x + 1.
Exemplo Resolvido 186: Desevolva (x-1)4 .
Exemplo Resolvido 188: Efetue (3x + 4y)4 + (3x-4y)4 .
Exemplo Resolvido 187: Desenvolva (4m-3)4 .
Demonstração:
(a + b)4 + (a - b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 + a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4 
(a + b)4 + (a - b)4 = 2a4 + 2a2b2 + 8a2b2 + 2a2b2 -
<=> (a + b)4-r(a - b)4 = 2a2(a2 + b2) + 2b2(a2+b2) +
(a + b)4 + (a - b)4 = 2(a2 + b2) + 8a2b2 .
■=> (a-b)4=a4- 3a3b + 3a2b2 - ab3 - a3b + 3a2b2 - 3ab3+b4 
(a - b)4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4 .
Produtos Notáveis
Resolução: Podemos escrever:
64m3 16m2 g 27
(4m- 3)4 = (4m)4 -4 • (4m)3 ■ 3 + 6 ■ (4m)2 • 32 - 4 ■ (4m) ■ 33 + 34 
(4m-3)4 = 256m4 -768m3 + 864m2 -432m + 81.
5.19) Identidade de Legendre (Soma):
Somando as duas identidades anteriores, chegamos à identidade da soma de 
Legendre para á quarta potência.
(a + b)4 + (a - b)4 = 2^a2 + b2j + 8a2b2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 159
Resolução: Podemos escrever:
,2
Exemplo Resolvido 189: Efetue (7x + 2y)4 -(7x-2y)4 .
Demonstração:
(a + b)4 - (a - b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 -
-(a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4 j 
(a + b)4 - (a-b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 - a4 + 4a3b- 
-6a2b2 +4ab3 -b4 
(a + b)4 -(a-b)4 = 8a3b + 8ab3 (a + b)4 -(a-b)4 = 8ab(a2 + b2) .
5.20) Identidade de Legendre (Diferença):
Subtraindo as duas identidades anteriores, chegamos á identidade da diferença 
de Legendre para à quarta potência.
(a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2j
Exemplo Resolvido 190: Efetue (11 m + 5n)4 - (11 m - 5n)4 .
Resolução: Podemos escrever:
(7x + 2y)4 - (7x - 2y)4 = 8 ■ (7x) ■ (2y)[(7x)2 + (2y)2 ] 
=> (7x + 2y)4 - (7x - 2y)4 = 112xy (49x2 +4y2).
9x2 !6y2
(3x + 4y)4 + (3x - 4y)4 = 2 -[(3x)2 + (4y)2]2 + 8 ■ (3x)2 ■ (4y)2
=> (3x + 4y)4 +(3x-4y)4 = 2(9x2 +16y2+1152x2y2
=> (3x + 4y)4 + (3x - 4y)4 = 2(81x4 + 288x2y2 + 256y4) + 1152x2y:
=> (3x + 4y)4 +(3x-4y)4 = 162x4 +576x2y2+512y4+1152x2y2 
.-. (3x + 4y)4 +(3x-4y)4 = 162x4 + 1728x2y2 + 512y4 .
160 5
14+15
5.21) Quinta Potência da Soma:_______________________________
A quinta potência da soma é dada por
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
5.22) Vamos desenvolver a quinta potência da diferença:_______
A quinta potência da diferença é dada por
(a - b)5 = a5 - 5a4b + 10a3b2 - 10a2b3 + 5ab4 - b5
Demonstração:
(a - b)5 = (a - b)4 • (a - b)
(a - b)5 = (a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4 j ■ (a - b)
(a - b)5 = a5 - 4a4b + 6a3b2 - 4a2b3 + ab4 - a4b + 4a3b2 - 6a2b3 +
+ 4ab4 -b5
(a - b)5 = a5 - 5a4b + 10a3b2 - 10a2b3 + 5ab4 - b5 .
(11 m +
=> (11
Demonstração:
(a + b)5 = (a + b)4 (a + b)(a + b)5 = (a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4) ■ (a + b)
(a + b)5 =a5 + 4a4b + 6a3b2 +4a2b3 + ab4 + a4b + 4a3b2 + 6a2b3 +4ab4 +b5
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 .
Resolução: Podemos escrever:
5n)4 -(11 m -5n)4 = 8 • (11 m)■ (5n)[jl 1 m)2 + (5n)2] 
m + 5n)4 -(11 m -5n)4 = 440mnp21 m2 + 25n2).
Produtos Notáveis
Exemplo Resolvido 191: Desenvolva (x + 1)5 .
Resolução: Podemos escrever:
(x + 1)5 = x5 + 5 x4 -1 + 10 x3 -12 +10 x2 -13 + 5 x • 
=■ (x + 1)5 = x5+5x4+10x3+10x2+5x+ 1.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 161
Exemplo Resolvido 193: Determine (3x +1)5 + (3x -1)5 .
Resolução: Podemos escrever:
Exemplo Resolvido 194: Determine (2x + 5)5 + (2x -5)5 .
Resolução: Podemos escrever:
(3x-1)5 = 2 (3x)- (3x)4 +10 (3x)2 -12 + 5 14 
9x2
=> (3x + 1)5+(3x-1)5 =6x(81x4 +90x2 +5)
=> (3x + 1)5 +(3x-1)5 =486x5+540x3+30x.
(a +
(a
(2x - 5)5 = 2 ■ (2x) • (2x)4 +10 ■ (2x)2 • 52 + 5 ■ 54
25
Demonstração:
(a + b)5
5.23) A Soma das Quintas Potências da Soma e da Diferença:
A soma dos dois produtos notáveis anteriores é dada por
(a + b)5+(a - b)5 = 2a(a4 + 10a2b2 + 5b4)
Exemplo Resolvido 192: Desenvolva (x - 2)5 .
Resolução: Podemos escrever: 
4 8 16
(x- 2)5 = x5 -5• x4 -2 +10 • x3 -22 —10 • x2 • 23 + 5 x ■ 24 — 2S
=> (x-2)5 = x5 -10x4 +40x3 -80a2 +80x-32.
b)5
+ b)!
(a -b)5 = a5 + 5à^b. + 10a3b2 + + 5ab4 + X + a5 -
-~5à^b. + 10a3b2 - JLQa^X + õab4 -X
(a - b)5 = 2a5 + 20a3b2 + 10ab4
|5+(a - b)5 = 2a(a4 + 10a2b2 + 5b4) .
(2x+ 5)5
(3x + 1)5
162 5
Exemplo Resolvido 195: Determine (2m + 3)5 +(2m-3)5 .
Resolução: Podemos escrever:
=> (2x + 5)5 + (2x-5)5 = 4x(l6x4 + 1000x2+ 3125) 
=> (2x + 5)S+(2x-5)5 = 64x5 + 4000X3 + 12500X .
(2m + 3)5 + (2m-3)5 =2-3- 5(2m)4 + 10-(2m)2 -32 +34 
'--- 'V' '--- 'T' 916m4 4m2
=• (2m + 3)5 + (2m-3)5 = 6(80m4 +360m2 + 8l)
=> (2m + 3)5 +(2m-3)5 = 480m4 +2160m2 +486.
Produtos Notáveis
Exemplo Resolvido 196: Determine (t +1)5 + (t -1)5.
Resolução: Podemos escrever:
(t + 1)5 + (t-1)5 = 2 • 1 ■ (5 ■ t4 + 10t2-12+14)
=> (t + 1)5+(t-1)5 =2-(5t4+10t2+l)
=> (t + 1)5+(t-1)5 = 10t4 + 20t2 + 2 .
Demonstração:
(a + b)5- (a-b)5 = ^ + 5a4b+10ãV_ + 10a2b3+ £àtí( + b5 -
- - 5a4b + iSãV. -10a2b3 + - b5)
(a + b)5 - (a - b)5 = 10a4b + 20a2b3 + 2b5
(a + b)5 + (a - b)5 = 2b(5a4 + 10a2b2 + b4) .
5.24) A Diferença das Quintas Potências da Soma e da Diferença: 
A diferença entre os dois produtos notáveis anteriores é dada por
(a + b)5 + (a - b)5 = 2b(5a4 + 10a2b2 + b4)
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 163
Problemas Propostos
Questão 5.42
,2 ,4
Determine xy.
Questão 5.43
Dados x e y reais com em
termos de k.
Simplifique
,2
J +
Questão 5.45
Sejam a e b números reais não nulos tais que x e y satisfazem o sistema 
ax + by = 2
ax2 +by2 =20
ax3 + by3 = 56
ax4 + by4 = 272
Determine o valor de ax5 + by5.
Questão 5.41
Dado a2 + b2 = k e ab = x.
Sejam x e y números reais positivos satisfazendo x2 + y'
Questão 5.44 (IMO-Longlist-1992-Adaptada) 
5126-1 
525-1 '
x2 + y' 
7^7
,2
= k, determine
„ 4 4 17= 1 e x + y = —
18
Questão 5.46 (AIME-1990/Harvard-IVIIT-2009)____________________________
Determine ax5 +by5 se os números reais a, b, x e y satisfazem as equações 
ax + by = 3, ax2 + by2 = 7, ax3 + by3 =16, ax4 + by4 = 42 .
(a-b)4 .
x2 - y' 
x2 + y2
x8+y' 
x8 - y8
Determine (a-s-b)4 e
-8 x8 -y8 
rx8-.y8
164 5 NotáveisProdutos
= 4 . Qual o valor de
Questão 5.47 (OBM XXXI - 2a Fase - Nível 2)_____________________________
Determine ax5 +by5 se os números reais a, b, x e y satisfazem as equações 
ax + by = 1, ax2 + by2 = 2, ax3 + by3 = 5, ax4 + by4 = 6 .
Questão 5.48 (AMC-2007)
Suponha que o número a satisfaça a equação a + a' 
a4 4-a"4?
a) 169
b) 172
c) 192
d) 194
e) 212
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 165
2 2
k2 k2
33 2
k3 k2
4 = k3
5.25) Soma de Termos Recíprocos:
a) Soma dos quadrados de termos recíprocos, dada a sua soma.
A soma dos quadrados de dois termos recíprocos é dada por
x2+A- = k2-2 
xz
1
condição x + —= k. com k>2 Pnmeiramente iremos ver algumas regras 
x
práticas, ao final veremos sua generalização.
c) A soma das quartas potências de termos recíprocos, dada a sua 
soma.
A soma das quartas potências de termos recíprocos é dada por
x4=k4-4k2+ 2
x4
4 = k2-2 . 
x2
Vamos agora desenvolver a soma de termos recíprocos xn+-l, dada a
Demonstração:
‘4—H)’=
<=> x3 +3x + 3^-J
<=> x3 +3k + -1- = k3 .-. |x3 
x3
Demonstração:
1 . ( n2x + — = k <=> x + - =
x < xj
<=> x2 + 2 + ~ = k2 .-. x2 
x2
+4=k3 X3
+ -L = k3 -3k .
x3_______
b) A soma dos cubos de termos recíprocos, dada a sua soma.
A soma dos cubos de termos recíprocos é dada por
X3 + 4~ = k3 -3k
x3
166 5
,4
k4
,3 ,42
k4
X4
,3 4 5
k5
x5 + 5 x3
x5
Demonstração: 
x+’=k => 
X
x5 + 5k3— 15k + 10k + 4- = k5 
X5
+ 6 + 4 = k4 
x4
f n5
| x + - | =k5 
l x J
<=. x5 +5x3 +10X + 10-
<=> x4 + 4x2 + 6 + 4
10x3 K) *
KM?)
*?)MXK)
C2 xs+5(k3-3k) + 10k + 4 = k5
<=> x5 +5k3 -5k + 4 = k5 x5+4 = k5-5k3 + 5k .
xb x5______________
_1_
+ x2.
<=> X4 +4k2-8 + 6 + 4 = k4
e) A soma das sextas potências de termos recíprocos, dada a sua soma.
A soma das sextas potências de termos recíprocos é dada por
x6 +4 = k6 -6k4 +9k2 -2
x6
d) A soma das quintas potências de termos recíprocos, dada a sua 
soma.
A soma das quintas potências de termos recíprocos é dada por
x5 +4 = k5 -5k3 +5k
x5
x + - = k
M-rS
’?=RÍ
Produtos Notáveis
Demonstração:
1 . í 1 f
x V x/
x4*4x3KM2KMxK)J*K)'"
x4+4(k2-2) + 6 + 4 = k4 <=> x4 -8 + C+ 14
x4 + 4k2 - 2 + 4 = k4 lx4 + 4 = k4-4k2 + 2 .
x4 x4
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 167
6k4 - 24k2 +12 + 15k2 - 30 + 20
=> k6 = x6 6k4 -9k2 + 2 => x6
-4-1-1
x =
Se , então:
,n
2 
X
Generalizando por equação do 2o grau e lembrando que k 2: 2.
Podemos generalizar a soma da enésima potência resolvendo a equação do 
segundo grau formada, assim sua solução geral é dada por:
k + Tk2
2
Observação: Com um pouco de manipulação algébrica, podemos escrever a 
soma das sextas potências da seguinte forma:
x6 +-1. = (k2 -2)(k4 -4k2 +l).
a = k2 -4 > 0 ;
— V -4
Demonstração:
= k x2 +1 = kx
2 
k + 7k2 -4
xn + A 
xn
k±7k2 -4 
X = -------------------
2
x2-kx + 1 = 0; A = (-k)2
=> k6 = x6
k + x/k2 - 4 
x =----------------
2
íx + -
\ X
=> (x + 1)6 = x6+4 + 6Íx4
=> k6=x6+ 1 6
X6
_1_
+ X6 +
_1_
+ xs +
-(- k)± Vk2 -4 
Ti
4- = k6 - 6k4 + 9k2 - 2 . 
x6
Demonstração:
| = X6+6x4+20 + 15X2+4- +A + -F 
x2 x4 x6
1
X6
(k4 -4k2 +2) + 15(k2 -2) +20
Notáveis168 Produtos5
, então:
n ,n
X2
2,2
k2
Demonstração:
.2
Observação: Os primeiros desenvolvimentos são formas práticas e rápidas, 
fica a cargo do leitor decorá-las ou não.
1x — 
x
x3 -3x2 f—1 + 3x- 
t X )
2 
k-7k2 -4
x-l=k «
X
xn + — 
xn
k2 => mm =
+ ^- = k2+2 .
x2
Se x =
b) A diferença dos cubos de termos recíprocos, dada a sua diferença.
A diferença dos cubos de termos recíprocos é dada por 
x3-4- = k3+3k 
x3
condição x-- = k, com k>2. Primeiramente iremos ver algumas regras 
x
práticas, ao final veremos sua generalização.
,3
=k3
■j
Vamos agora desenvolver a soma de termos recíprocos xn + — , dada a 
xn
5.26) Diferença de Termos Recíprocos:
a) Soma dos quadrados de termos recíprocos, dada a sua diferença.
A soma dos quadrados de dois termos recíprocos é dada por
+ 4 = k2+2 
x______
Demonstração:
1 f 1 fx - - = k <=> x - - =
x V x J
=> x2_2 + 4 = k2 .-. Ix2 
xz
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 169
4
k4
k2 ,3 4
k4
.2 54
k5+ 10X3
1 .x— = k cx> 
x
= k4 x4
c) A soma das quartas potências de termos reciprocos, dada a sua 
diferença.
A soma das quartas potências de termos recíprocos é dada por
x4 + 4- = k4 + 4k2 + 2
x4
= k3 x3 —4 = k3 + 3k .
x3
d) A diferença das quintas potências de termos reciprocos, dada a sua 
diferença.
A diferença das quintas potências de termos reciprocos é dada por
x5 - A = k5 - 5k3 + 5k
x5
4 = k4 
x4
+ 6 + -4 = k4 
x4
<=> x4 -4 x2
x4 -4k2 -8 + 6 + — = k4 
x4
Demonstração:
1 . f 1Y*x — = k o x — =x V x }
<=> x4-4x2+6-4^4j + 
o x4-4(k2+2) + 6+ 4- = k4
+ x4<=> x4 -4k2 -2
x3 - 3k —4 x3
-L = k3 x3-4 = k3 x3
+ 4- = k4 +4k2 +2 . 
x4
Demonstração:
( 1\5
|x--| =k5
k x)
X5_5x4.['lj
170 5
= k5
= k5
<=> X5
X6
=> k6 = X6 -20
=> k6 = x6
1
+ x2+ X4
Observação: Com um pouco de manipulação, podemos escrever: 
x6 + 4 = (k2 +2)(k4 +4k2 +1).
e) A soma das sextas potências de termos recíprocos, dada a sua 
diferença.
A soma das sextas potências de termos recíprocos é dada por
4 = k6+6k4+9k2+2
x6
x5-5[x3-4
x5 - 5k3 -15k +10k - -!■ = k5 
x5
Generalizando por equação do 2° grau e lembrando que k i> 2 .__________
Podemos generalizar a soma da enésima potência resolvendo a equação do 
segundo grau formada, assim sua solução geral é dada por:
k±7k2 + 4
X =-------------------
2
x5 -5x3 +10X-10 +
1 'l 1) 1
x5-õ(k3 + 3kj + 10k~4 = k5 «=>
xs-5k3-5k-4 = k5 x5-4 = k5+5k3 + 5k .
x5 x3_____________
+4-6fx4 
x6 l
=> k6 = x6 +4-6(k4 +4k2 +2) + 15(k2 + 2)-20
=> k6 = x6 +4--6k4-24k2-12 + 15k2 +30-20
x6
4-6k4-9k2-2 => x6+4 = k6 + 6k4 + 9k2 + 2 .
x6 x6
Produtos Notáveis
Demonstração:
lx--] = x6-6x4 +15x2-20 + 4-4 + 4
k x J x2 x4 x6
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 171
x =
Aqui temos que considerar dois casos:
, então:Se x =
n n
4
Se x = , então:
n
Se x = , então:
n
Se x = , então:
n .n
xn 1 
xn
Para n par:
k + x/k2 + 4
2
____2 
k + x/k^
k-x/k2
2
A = k2 + 4 > 0 ;
= kx <=> x2 - kx -1 = 0;
-----\n
-4
k±x/k2+4 
x =----------------
2
2 
k - x/k2 - 4
xn + — 
xn
xn - — 
xn
2 
k - x/k2 - 4
A = (— k)2 — 4 -1 - (—1)
x" - — 
xn
k - x/k2 - 4
2
k - x/k2 -4
2
k-x/k2 -4
2
Para n ímpar: 
k + x/k2 + 4
2
Demonstração: 
x-- = k <=> x2 -1 
x
__ 2 
k + x/k2
k + Vk2 +4 
~~2
k + x/k2 + 4
2
-(-k)±x/k2 +4
24
172 5
X3 '
+ 4-= 970. 
x3
+ 4 = 254 . 
x2
Exemplo Resolvido 197: Sabendo que x + — = 16 , qual o valor de x2+ —? 
x x
Exemplo Resolvido 199: Sabendo que x + — = 6 , determine o valor de
1
Exemplo Resolvido 200: Sabendo que x + - = 5, determine o valor de 
x
1 
-j = 1154. 
x4
1 3
Exemplo Resolvido 198: Sabendo que X + — = 10 , qual o valor de x
Resolução: Podemos escrever:
x4 +—= 64 -4-62 +2 => X4 + 4 = 1296"4• 36 + 2 
x4 x4
=> x4 +4 = 1298-144 => X4
x4
Resolução: Podemos escrever:
x2+1 = 162-2 => x2+-l = 256-2 => x2
x2 x2
Resolução: Podemos escrever:
x5 + -1 = 3125-625 + 25 
x5
“*7
x5+ —
X5'
Produtos Notáveis
x5 + 4 = 5S-5-53+5-5 
x5
=> x5+ 1 = 2525.
x5
Resolução: Podemos escrever:
x3+4 = 103-3-10 =■ x3 + 4 = 100 - 30 => x3
x3 x3
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 173
729-6-81 + 9-9-2
xioo ,100
2
=> E =
,100
E=1100 +1100 . x100=3 E
b2
,2
Agora veremos as identidades para três variáveis, identidades muito úteis no 
desenvolvimento das relações de Girard (polinômios) e também em fatorações.
1
+ xioo
5.27) Quadrado da Soma de Três Termos:
O quadrado da soma de três termos é igual ao quadrado de cada um dos três 
termos mais o dobro do produtos tomados dois a dois.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
2
2 +V22 -4
1
Exemplo Resolvido 201: Sabendo que x + — = 3 , determine o valor de 
x
+ x100 = 2'
+ —!—9
X100 '
E = x100
Resolução: Podemos escrever:
x6+4 = 36-6-34 +9 32-2 => x6+4
x6 x6
=> x6 + 4- = 729-486 + 81 -2 => x6+4 = 322.
x6 x6
Exemplo Resolvido 202: Se x + — = 2 , qual o valor de x100 
X
Resolução: Podemos escrever: 
v/22 -4 
2
Demonstração:
(a + b + c)2 = (a + b + c)-(a + b + c) <=>
(a + b + c)2 = a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2
<=> (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) .
xe+4-X6
174 5
- bc)
- bc).
Consequências do quadrado da soma de três termos:
a) O segundo termo é negativo:
(a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ac - ab - bc)
b) O terceiro termo é negativo:
(a + b - c)2 = a2 b2 + c2 + 2(ab - ac
Demonstração:
(a - b - c)2 = (a - b - c) (a - b - c)
(a - b - c)2 = a2 - ab - ac - ab + b2 + bc - ac + bc + c2
(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc
(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(bc - ab - ac) .
c) O segundo e o terceiro termos são negativos:
(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(bc - ab - ac)
Produtos Notáveis
Demonstração:
(a + b - c)2 = (a + b - c)-(a + b - c) «=•
(a + b - c)2 = a2 + ab - ac + ab + b2 - bc - ac - bc + c2
<=> (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc
(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab - ac
Demonstração:
(a - b + c)2 = (a - b + c) (a - b + c) <=>
(a - b + c)2 = a2 - ab + ac - ab + b2 - bc + ac - bc + c2
<=> (a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc
.. (a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ac - ab - bc)
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 175
Exemplo Resolvido 204: Desenvolva (4 - 2m + n)2.
Resolução: Podemos escrever:
(4-2m + n)2 = 42 +(2m)2 +n2 + 2[4n-(4-2m)-(2mn)] 
=> (4 - 2m + n)2 = 16 + 4m2 +n2 + 2(4n - 8m - 2mn) 
=> (4-2m + n)2=16 + 4m2 + n2 + 8n -16m-4mn .
5.28) Identidade de Lagrange para Três Termos:
A identidade de Lagrange para três termos é útil em fatorações mais 
rebuscadas, cuja percepção do leitor esteja bem apurada.
(ax-í-by + cz)2 + (ay -bx)2 + (az-cx)2 + (bz-cy)2 = (a2 +b2 + c2)(x2 + y2 + z2 j
Exemplo Resolvido 206: Desenvolva (1-x-y)2. 
Resolução: Podemos escrever:
(1-x-y)2 =12 + x2 + y2 + 2(x-y-1x-1-y)
=> (1-x-y)2 =1 + x2+y2+2(xy-x-y) 
=> (1-x-y)2 = 1 +x2+y2+2xy-2x-2y .
2
Exemplo Resolvido 203: Desenvolva (a + 2b + 3c) .
Resolução: Podemos escrever:
(a + 2b + 3c)2 = a2 + (2b)2 +(3c)2 +2[(a-2b) + (a-3c) + (2b-3c)] 
=> (a + 2b + 3c)2 = a2 + 4b2 + 9c2 + 2(2ab + 3ac + 6bc) 
=> (a + 2b + 3c)2 = a2 + 4b2 + 9c2 + 4ab + 6ac + 12bc .
Exemplo Resolvido 205: Desenvolva (x + y - 2z)2 .
Resolução: Podemos escrever:
(x + y-2z)2 = x2 +y2+(2z)2 +2(xy-x 2z-y-2z) 
=> (x + y-2z)2 = x2+y2+4z2+ 2(xy-2xz-2yz) 
=> (x + y-2z)2 =x2+y2 + 4z2 + 2xy-4xz-4yz.
176 5
,2
Exemplo Resolvido 208: Desenvolva (2y + yz + 2z)2.
Resolução: Podemos escrever:
(2y + yz - 2z)2 = (2y)2 + (yz)2 + (2z)2 + 2 ■ 2 • yz(2 + y + z) 
=> (2y + yz + 2z)2 = 4y2 + y2z2 + 4z2 + 4yz(2 + y + z).
+ y2+z2)
5.29) Produto Dois a Dois Elevado ao Quadrado:
Podemos também desenvolver a soma dos produtos dois a dois elevado ao 
quadrado, segue o mesmo raciocínio da soma de três termos:
(ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 + 2abc(a + b + c)(bc)2
Exemplo 207: Desenvolva (x + 2y + 3z)2 +(y-2x)2 +(z-3x)2 + (2z-3y)2 .
Resolução: Podemos escrever:
(x + 2y + 3z)2 + (y - 2x)2 + (z - 3x)2 + (2z - 3y)2 = (l2 + 22 + 32 )(x2
(x + 2y + 3z)2 + (y - 2x)2 + (z - 3x)2 + (2z - 3y)2 = 14 (x2 + y2 + z2)
+ y2 + z2)
Demonstração:
E = (ax + by + cz)2 + (ay-bx)2 + (az-cx)2 + (bz-cy)2 
=> E = (ax)2 + (by)2 + (cz)2 + 2àx-by + ,2ax<íí + 2by-.'Cz + (ay)2 - 
- 2~'ay-.bx + (bx)2 + (az)2 - ^a-z^cx + (cx)2 + (bz)2 - 2'';:bz-::cy + (cy)2 
=> E = a2x2 + b2y2 + c2z2 + a2y2 + b2x2 + a2z2 + c2x2 + b2z2 + c2y2 
=> E = a2 (x2 + y2 + z2) + b2 (y2 + x2 + z2) + c2 (z2 + x2 + y2) 
(ax +by + cz)2 + (ay-bx)2 + (az-cx)2 + (bz - cy)2 = (a2 +b2 + c2)(x2
Produtos Notáveis
Demonstração:
E = (ab + bc x ac)2 => E = (ab +bc + ac) (ab +bc +ac) o
E = a2b2 + ab2c + a2bc + ab2c + b2c2 + abc2 + a2bc + abc2 + a2c2 
(ab + bc + ac)2 = a2b2 +b2c2 + a2c2 + 2a2bc + 2ab2c + 2abcz 
(ab + bc + ac)2 = (ab)2+ (bc)2+(ac)2+2abc(a + b + c) .
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 177
Problemas Propostos
Se
Questão 5.50 (CN-2014)
e) 15
Questão 5.51
Seja x um número real não nulo tal que
. Qual o valor de
c) 192b) 172
e) 212
b)2 
e) 6
x-2 é 71.
X
Questão 5.52 (AMC-2007)
Suponha que o número a satisfaça a equação 4 = a + a 
a4 + a 4?
a) 169 
d) 194
3
Seja x um número real, tal que x + - = 9 . Um possível valor de 
x
Sendo assim, a soma dos algarismos de "a" será:
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14
2
Exemplo Resolvido 209: Desenvolva (m + 4mn + 4n) .
4 1 , . . , m+nx + —— = n , determine o valor de--------.
x4 m - n
1 •+ -y e igual a: 
xJ
c) 0
Questão 5.49 (AHSME-1952-1954 / CN-1986)
7 7? 7x + — = 3 , então x
k xj
a)1
d) 3
1
x + - = 4 , se 
x
Resolução: Podemos escrever:
(m + m • 4n + 4n)2 = (1 • m)2 + (m ■ 4n)2 + (1 -4n)2 + 2 ■ 1 • m ■ 4n(1 + m + 4n) 
=> (m +4mn + 4n)2 = m2 +16m2n2 +16n2 + 8mn(1 + m + 4n).
x3 + -1- = m e 
xJ
178 5 Produtos Notáveis
Se x2
Questão 5.55 (Singapura)
e x +y +z = 16 , o produto xyz é:
c) 32 d) 108 e) 96
m
c)7 d) 18 e) 22
8
3
Se — + 
x
1 
p-
1
+ X7'
+ X5 '
Questão 5.60 (CN-1999)
Se m + n -p = 6 , mnp = 2 e mn + mp + np = 11, podemos dizer que o valor de
P_ a. 
mn
b) 3
Questão 5.56
Se x + - = , determine o valor de x7
x
x6
Se x2 - 4x +1 = 0, determine o valor de —
Questão 5.58
Seja r um número real positivo, tal que -Jr - = 14 . Prove que x/r + — = 6 .
Vr x/r
Questão 5.57
Seja r um número real, tal que x/r + 4 = 3 . Calcule o valor de r3 + 
vr
Questão 5.54
Se X + — = 1 , determine o valor de 5lx5 
x V
Questão 5.59 (CN-1984)
- 2 2 2 £ £
y z yz xz xy
a) 192 b) 48
Questão 5.53 (Stanford-2010)
+ -4 = 7 , determine o valor de x5 + 4. 
xz xb
—-r—é: 
np mp
a) 1
1
+ x6 
x3+-t-
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 179
Questão 5.61 (CN-2011)
b ba ac
b b
c) p2r2 -9a) b)
e) p2r2 -12pd)
é+ y
•y
c) (x + y + z)
é igual a:
a) 5,05 d) 61,25
Questão 5.65
,5 ,5
Calcule o valor de
_1_ 
bc
 1 1
P2 q2 r2
5 + 721
2
Questão 5.62 (Harvard/MIT-2008)
As raizes da equação x3 - 9x2 + 8x + 2 = 0 são p, q, r. Calcule —
5-V2Í
2
P2f2 -9p
12
Se x + Vx2-1 +-----
x - 
b) 20
b) x“z
d) — 
xyz
1 L. ■
+ — = p, ab + bc + ac = r e 
ac
e)-------- ---------
xy + yz + xz
a a c
p2r2 + 9
4
p2r2 -10
4r
Sejam a, b e c números reais, tais que — + 
ab
+ - = q . O valor de q2 + 6q é sempre igual a: 
c b
•z-2 + y-2
Questão 5.63 (AHSME-1981)
Para todo número positivo x, y e z, o produto
(x + y + z)’1 • (x-1 + y-1 + z"1) • (xy + yz + xzf1 • [(xy)-1 + (yz) 
igual a:
a) x-2
Questão 5.64 (AHSME-1991)
J— = 20 , então x2 + 7x4 -1 +-------- 1
X2 — 1 X2+Vx4-1
c) 51,005 d) 61,25 e) 400
180 5 Produtos Notáveis
Questão 5.66
,10>10
Determine o valor de
,1997
Sejam x = , oe y =
d) 4 e) 5c) 3
1 + >/5
2
1-75
2
valor de 4x2 - 3y2 é: 
a) 1 b) 2
+ (2-73) 
2
’ , <->1997
73
Questão 5.67 (CN-1998)
/ i—\1997
(2+73) / »—\1997(2+73)
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 181
b4
4m
,3j4m 2n ++ a'
,3l 'b‘+ - a'
■b2n
Generalizando a Identidade de Argand, temos:
Podemos generalizar a identidade de Argand para a soma de uma potência 
qualquer, assim temos:
(a2m + am • bn + b2n )(a: im • bn + b2n ) = a'
5.30) Identidades de Argand:
Outra identidade que requer uma boa criatividade do leitores é a identidade de 
Argand, também encontrada em olimpíadas de Matemática e em colégios 
militares. A identidade de Argand é dada por:
(a2 + ab + b2j(a2 - ab + b2)= a4 + a2b2
Consequência para b = 1 :
Esse caso particular da identidade de Argand é bastante útil:
(a2 + a1 + 12)(a2 - a-1 + 12j= a4 + a2-12 + 14
(a2 + a + "l)(a2 - a + ij = a4 + a2 + 1 .
Exemplo Resolvido 210: Efetue (4p2 + 2pq + q2)(4p2 -2pq + q2). 
Resolução: Podemos escrever:
(4p2 + 2pq + q2 )(4p2 - 2pq + q2) = (2p)4 + (2p)2 ■ q: 
=> (4p2 +2pq + q2)(4p2 -2pq + q2) = 16p4 +4p2q2 +q4 .
+ b4n
■b2n+ b4n+ a2m
-am
a4m
I2 +q4
a2m + a2m)(>“
Demonstração:
(a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2 j = a4 -a3b + a2b2 + a3b - a2b2 + ab3 + a2b2 - ab3 + b4
(a2 + ab + bZ)(a2 - ab + t>2)= a4 + a2b2 + b4 .
Demonstração: 
(a2m + am -bn +b2n)(a2m
+ am ■ bn + b2n
i2m - a'i2m + a'
bn+b2n) = a'
- +a2mb2n->t< + b4n
-am-bn + b2n) =
182 5
Exemplo Resolvido 211: Efetue (49t2
(3z)2n]
y
Exemplo Resolvido 213: Desenvolva (x + 2y + 2z + 1)2 .
Agora veremos a identidade para quatro variáveis ao quadrado, ou seja, o 
quadrado da soma de quatro termos.
-7t + l).+ 7t + l)(49t2
5.31) Quadrado da Soma de Quatro Termos:
O quadrado de quatro termos é igual á soma dos quadrados de cada termo 
mais o dobro dos produtos tomados dois a dois.
I(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
-(xy)m-(3z)n
Resolução: Podemos escrever: 
(49t2 + 7t +1)(49t2 -7t + ij = (7t)4 + (7t)2 +1 
=> (49t2 + 7t + l)(49t2 -7t +1) = 2401t4 + 49t2 +1.
Produtos Notáveis
Resolução: Podemos escrever:
E=[(xy)2m+(xy)m.(3z)n+(3z)2n][(xy)2m
=> E = (xy)4m+ (xy)2m (3z)2n+(3z)4n
. c v4m..4m , 2oi,.2oi n2n_2n , o4n 4n tz — a y ta y z + o z
Demonstração:
2
(a + b + c + d) = (a + b + c + d)-(a + b + c + d)
(a + b + c + d)2 = a2 + ab + ac + ad + ab + b2 +bc + bd + ac + bc + c2 +
+ cd + ad + bd + cd + d2
(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd 
.-. (a + b + c + d)2 = a2+b2+c2 + d2+2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) .
Exemplo Resolvido 212: Efetue
[(xy)2m +(xy)m .(3z)n +(3z)2n][(xy)2m -(xy)m .(3z)n + (3z)2n]
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 183
O caso seguinte é a soma de três termos elevado ao cubo, ou seja (a 
vamos desenvolvé-lo!
5.32) Cubo da Soma de Três Termos:
O cubo da soma de três termos é dado por:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2 + 6abc(
Demonstração:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2 + 6abc
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2 (b + c) + 3b2 (a + c) + 3c2 (a + b) + 6abc .
b) Como soma dos quadrados da soma dos três termos:
(a + b + c)3 = 3 (a + b + c)(a2 + b2 + c2 j- 2 (a3 + b3 +c3) + 6abc
b + c)3,
Demonstração:
(a + b + c)3 = (a + b + c)2(a + b + c)
<=> (a + b + c)3 = (a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bcj (a + b + c)
<=> (a + b + c)3 = a3 + ab2 + ac2 + 2a2b + 2a2c + 2abc + a2b + b3 + bc2 +
+ 2ab2 + 2abc + 2b2c + a2c + b2c + c3 + 2abc + 2ac2 + 2bc2
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2 + 6abc .
Podemos escrever essa soma de outras quatro formas, a saber:
a) Forma de soma dois a dois
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2 (b + c) + 3b2 (a + c) + 3c2 (a + b) + 6abc
Resolução: Podemos escrever.
(x + 2y+2z + 1)2 = x2 +(2y)2 + (2z)2 +12 +
+ 2[(x • 2y) + (x • 2z) +(x ■ 1) + (2y • 2z) + (2y ■ 1) + (2z-1)J 
(x + 2y+ 2z + 1)2 = x2 +4y2 +4z2 + 1 +2(2xy + 2xz+ x + 4yz + 2y+ 2z).
184 5
c) Como produto dois a dois:
(a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc)-3abc
Demonstração:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2 + 6abc
(a + b + c )3 = a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2 + 3abc + 3abc
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab (a + b) + 3ac (a + c) + 3bc (a + c) + 3bc (a + b)
d) Como produto da soma dois a dois:
(a + b-i-c)3 =a3+b3+c3 + 3(a-rb)(a + c)(b + c)
Demonstração:
(a + b + c)3 = a3 + b3 +c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2 + 6abc
(a + b + c)3 = 3a3 + 3b3 + 3c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2 +
+ 6abc - 2^a3 + b3 +c3)
(a + b + c)3 = 3a3 + 3b3 + 3c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2 -
-2^a3 + b3 + c3) + 6abc
(a + b + c)3 = 3a2 (a + b + c) + 3b2 (a + b + c) + 3c2 (a + b + c) - 2 (a3 + b3 + c3) 
+ 6abc
(a + b -r c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2)-2(a3 +b3 + c3) + 6abc .
Demonstração:
E = (a + b + c)3
E = a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2 + 6abc
E = a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2 + 3abc + 3abc
E = a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2 + 3abc + 3abc +
+ 3abc - 3abc
E = a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b + c) + 3ac(a + b + c) + 3bc(a + b + c) - 3abc 
|(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc .
Produtos Notáveis
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 185
a3 + b3 +c3 -3abc =
Demonstração:
(a + b + c)3 =a3 + b3 +c3 + 3b(a + b)(a + c) + 3c(a + c)(a + b) 
|(a + b + c)3 = a3* b3T c3-r 3(a + b)(a + c)(b -r ç)[.
Consequências (Identidade de Gauss):
Podemos escrever a identidade de Gauss de duas formas:
a) Como soma de quadrados simples:
a3 +b3 +c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 -ab-ac -bcj
Demonstração:
a3 + b3 + c3 + 3 (a + b + c)(ab + ac + bc)-3abc = (a + b + c)3 
a3+b3+c3+3(a+b + c)(ab + ac + bc)-3abc = (a + b + c)2(a + b-rc) 
a3 + b3 + c3 = (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac - 2bc)(a + b + c)-
- 3(a + b + c)(ab + ac + bc) + 3abc
a3 + b3 + c3 = (a + b + c) •
•|^a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc -3(ab + ac +bc)”| + 3abc 
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2+b2+c2-ab-ac-bcj .
b) Como soma de quadrados da diferença:
(a + b + c)- (a -b)2 + (a-c)2
——— 2 ~
(b-c)2
 (a + b + c) 2 Ía2+b2+c2-ab-ac-bc)
a3 + b3 + c3 - 3abc = - ------------ ------1’
2
(a + b + c)-Í2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc)
a3 + b3 + c3 - 3abc =---------------- ---------------------------------------------------- -
2
„ „ (a+ b + c)ía2 - 2ab+ b2 + a2 - 2ac + c2+b2 - 2bc + c2
a3 + b3 + c3 - 3abc =---------------------------------------------------------------------------------- -
2
186 5
a3 + b3 + c3 - 3abc =
Veremos agora a soma de quatro termos elevada ao cubo! É interessante a 
forma com que podemos escrevè-la, você notará quando estiver nas 
identidades condicionais lá na frente, vamos lá!
Demonstração:
(a-b + c + d)3 = (a +b +c +d)2 (a+ b + c +d) cs
(a + b + c + d)3 = (a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) •
(a + b + c + d)
(a + b + c + d)3 = a3 + ba2 + ca2 + da2 + ab2 + b3 + cb2 + db2 + ac2 + bc2 + c3 + 
+dc2 + ad2 + bd2 + cd2 + d3 + 2a2b + 2ab2 + 2abc + 2abd + 2a2c + 2abc + 2ac2 + 
+2acd + 2a2d + 2abd + 2acd + 2ad2 +2abc + 2b2c + 2bc2 +2bcd + 2abd +
+2b2d + 2bcd + 2bd2 + 2acd + 2bcd + 2c2d + 2cd2
cs (a + b + c -í- d)3 = a3 + b3 + c3 + d3 + 3a2b + 3a2c + 3a2d + 3ab2 + 3b2c + 3b2d + 
+3ac2 + 3bc2 + 3czd + 3ad2 + 3bd2 + 3cd2 + 6abc + 6abd + 6acd + 6bcd + 3abc - 
-3abc + 3abd - 3abd + 3acd - 3acd + 3bcd - 3bcd
o (a + b + c + d)3 = a3 + b3 + c3 + d3 + 3ab (a + b + c + d) +
+ 3ac(a + b + c + d) + 3ad(a + b + c + d) + 3bc(a + b + c + d) +
+ 3bd (a + b + c + d) + 3cd (a + b + c + d) - 3abc - 3abd - 3acd - 3bcd
(a + b + c + d)3 = a3 + b3 +c3 +d3 -3ab(c + d)-3cd(a + b) +
+ 3(a + b + c + d) ■ (ab + ac + ad + bc + bd + cd)
5.33) Soma de quatro termos elevado ao cubo:
A soma de quatro termos elevada ao cubo é dada por:
(a + b + c + d)3 = a3 +b3 +c3 +d3 -3ab(c + d)-3cd(a + b) +
+ 3 (a + b + c + d)-(ab + ac + ad +bc + bd + cd)
(a + b + c)- (a-b)2 +(a-c)2 +(b-c)2
2 ~
Produtos Notáveis
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 187
.2
+ ac + bc)-
Veremos agora a quarta potência de três termos! Observe como podemos 
escrevê-la, você notará quando estiver na parte de identidades condicionais, 
vamos lá!
5.34) Quarta Potência de Três Termos:
A quarta potência de três termos é dada por:
(a + b + c)4 = a4 + b4 + c4 +4(a + b + c)2 (ab
-2(ab + ac + bc)2 -2abc(a + b + c)
Demonstração:
(a + b + c)4 =[ja + b + c)2j
=> (a + b + c)4 = |ja2 +b2 +c2j + 2(ab + ac + bc)j
=> (a + b + c)4 = a4+b4+c4+2(ab)2+2(ac)2+ 2(bc)2 +
+ 4(ab + ac + bc)2 + 4^(a + b + c)2 -2(ab + ac + bc)l(ab + ac + bc) 
=> (a + b + c)4 = a4 +b4 +c4 + 2(ab)2 + 2(ac)2 + 2(bc)2-
-8(ab + ac + bc)2 +4 (a + b + c)2 (ab + ac + bc) + 4(ab + ac + bc)' 
=> (a + b + c)4 = a4 +b4 +c4 + 2(ab)2 +2(ac)2 + 2(bc)2 -
-4(ab + ac + bc) +4(a + b + c) (ab + ac + bc) 
=> (a + b + c)4 = a4 +b4 + c4 +2(ab)2 + 2(ac)2 +2(bc)2 + 
+4(a + b + c)2(ab + ac + bc)-4^(ab)2 + (ac)2 + (bc)2 + 2abc(a + b + c)j 
=> (a + b + c)4 = a4 +b4 + c4 -2(ab)2 -2(ac)2 -2(bc)2 -
-8abc(a + b + c) + 4(a + b + c) (ab + ac + bc) 
=> (a + b + c)4 = a4 +b4 + c4 + 4(a +b + c)2 (ab + ac + bc)-
-2abc(a + b + c)-2^(ab)2 +(ac)2 +(bc)2 + 2abc(a + b + c)^j
(a + b + c)4 = a4 +b4 +c4 +4(a + b + c)2(ab + ac + bc)~ 
-2(ab + ac + bc)2 -2abc(a + b + c)
Notáveis188 Produtos5
Problemas Propostos
x - 2 = 0, então
d) 5 e) NDAc) 3
Questão 5.73
Sabendo que A =
x2 -i- yz + z2 = 206. Determine o valor de
(24 + 22 +l)(44 + 42 +l)(64 +62 +l)...(324 +322 +l) 
(l4 +12 +l)(34 +32 +l)(54 +52 +l)...(314 + 312 + l)
determine o valor de A-1053.
Questão 5.74
Mostre que (xy + yz + xz)3 = (xy)3 + (yz)3 + (xz)3 + 3xyz(x + y)(x + z)(y + z).
Questão 5.72 (Stanford-2007)________________________________________
As raizes de x3 -7x2 -6x + 5 = 0 são a, b e c. Calcule (a + b)(a + c)(b + c).
Questão 5.71 (Stanford-2007)
Se r + s +1 = 3, r2 +s2 + t2 =1 e r3 +s3 +13 = 3, calcule r • s ■ t.
Questão 5.75 (Noruega-1996-Modificada)
Sejam x, y e z números naturais com x < y < z, tais que xyz = 78 e 
x3 + y3 + z3 
xy + xz + yz
Questão 5.70 (AIME-2008)
Sejam r, s e t as très raizes da equação 8x3 +1001x + 2008 = 0 . Determine 
(r + s)3+(s + t)3+ (t + r)3.
+ y3.
Questão 5.69 (Putnam-1939-Modificada)
As raizes de x3 + ax2 + bx + c = 0 são a, P e y . Determine a3 + p3
< y
. ..3
Questão 5.68 (IMO-Longlist-1988 / AHSME-1975)
Se p, q e r são as raizes distintas da equação x3 - x2 
p3 +q3 +r3 é igual a: 
a) -1 b) 1
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 189
Questão 5.76
, para a * ±b.Efetue
Agora veremos uma importante identidade que relaciona produtos notáveis 
com equações do terceiro grau. Nos exercícios veremos uma resolução usando 
essa identidade!
5.35) Identidade de Stevin Para Três Termos:
A identidade de Stevin para três termos tem relação com as equações do 3° 
grau, veremos as raizes positivas e as negativas.
a) Todas as Raizes Positivas
|(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abcl
b) Todas as Raizes Negativas
nx-a) (x - b)-(x -c) = x3 - (a + b + c)x2 +(ab + ac + bc)x -abc
c) Quatro Raízes Positivas
(x-a)(x-b')(x-c)-(x-d) = x4-(a + b + c + d)x3 +
+ (ab + ac + ad + bc + bd + cd)x2 - (abc-r abd + acd -bcd)x + abcd
Demonstração:
(x-a)-(x-b)(x-c) = (x2 - ax - bx + abj- (x - c)
(x - a) (x - b) (x- c) = x3 - ax2 - bx2 + abx -cx2 + acx + bcx - abc
.-. (x-a)(x-b)-(x-c) = x3-(a + b + c)x2+(ab + ac + bc)x - abc
(a2 - ab + b2)(a4-a2b2 + b4)...[a2n-a2n’1b2' + b2"
Demonstração:
(x + a)-(x + b)(x + c) = (x2+ax + bx + abj-(x + c)
(x + a) (x + b) (x + c) = x3 + ax2 + bx2 + abx + cx2 + acx + bcx + abc
■■■ |(x + a)(x + bM x + c) = x3+(a + b + c)x2 +(ab + ac + bc)x + abc .
190 5
Consequência 02 (identidade de Gauss):
Para a, b e c, temos:
|(a + b)(a + c)(b
Demonstração:
(x-a)(x-b){x-c)(x-d) = (x2-ax-bx + abj (x2 -cx-dx + cd) 
(x-a)(x-b)(x - c)(x - d) = x4 -ax3 -bx3 + abx2 -cx3 + acx2 + 
-rbcx2 - abcx - dx3 + adx2 + bdx2 - abdx + cdx2 - acdx - bcdx + abcd
(x-a)(x-b)(x-c)-(x-d) = x4-(a + b + c + d)x3 +
+(ab + ac + ad + bc + bd + cd)x2 -(abc + abd + acd + bcd)x + abcd
+ c) = (ab + ac + bc)(a + b + c) - abc
Consequência 01:
Para x = 1, temos:
a) (1 + a) • (1 + b) ■ (1 + c) = 13 + (a + b + c) • 12 + (ab + ac + bc) ■ 1 + abc 
|(1 -r a) (1-rb)-(1-^c) = a + b + c -t-ab -i- ac + bc + abc +1|.
b) (1-a)(1-b)(1-c) = 13-(a + b + c)-12 + (ab + ac + bc) -1-abc 
1(1 -a)(1-b)(1-c) = ab + ac + bc - a - b-c-abc + ll.
c) (1 — a)-(1 — b)-(1 — c)-(1 —d) = 14 - (a + b + c + d)-13 +
+ (ab + ac + ad + bc + bd <-cd)-12 - (abc + abd + acd + bcd)1 + abcd 
(1-a) (1-b) (1-c) (1-d) = 1-a- b- c-d + ab + ac + ad + bc + 
+bd + cd - abc - abd - acd - bcd + abcd
Produtos Notáveis
Demonstração:
(a +b)(a + c)(b + c) = (a2 +ac + ab + bcj(b + c)
(a + b)(a + c)(b + c) = a2b + abc + ab2 + b2c + a2c + ac2 + abc + bc2
(a-rb)(a + c)(b + c) = ab(a + c) + ac(a + c) + bc(a + c) + ab2+b2c + abc-abc
(a + b)(a + c)(b + c) = (a + c)(ab + ac +bc) + b(ab + ac + bc)-abc
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 191
.. + bc)(a + b + c) - abcl.
Exemplo Resolvido 215: Efetue (x-4)-(x-5)(x-11).
Exemplo Resolvido 216: Efetue (x-1)(x-2)(x-3)(x-4).
Exemplo Resolvido 214: Efetue (x + 3) (x + 6)-(x + 7).
Resolução: Podemos escrever:
(x + 3)• (x + 6)• (x + 7) = x3 + (3 + 6 + 7)x2 + (3 6 + 3-7 + 6• 7)x+ 3■ 6■ 7
=> (x + 3) ■ (x + 6) ■ (x + 7) = x3 + 16x2 + (18 + 21 + 42)x +126
=> (x + 3) • (x + 6) ■ (x + 7) = X3 +16x2 +81X + 126.
Resolução: Podemos escrever:
(x -4)(x - 5)(x-11) = x3 -(4 + 5 +11)x2 + (4 5 + 4 ■ 11 + 5 11)x -4 • 5-11
=> (x - 4) ■ (x-5) • (x -11) = X3 -20x2 + (20 + 44 + 55)x- 220
=> (x - 4) ■ (x - 5) ■ (x -11) = x3 - 20x2 +119x - 220 .
Resolução: Podemos escrever:
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = x4 - (1 + 2 + 3 + 4)x3 +
+ (1-2 + 1- 3 + 1- 4 + 2- 3 + 2- 4 + 3-4)x2-
-(1-2-3+1-2-4 + 1-3-4 + 2-3-4)x + 1-2-3-4
=> (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = x4-10x3 + (2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12)x2 -
- (6 + 8 +12 + 24)x + 24
=> (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = x4 -10x3 +35x2 -50X + 24 .
b)(a + c)(b + c) = (ab + ac
5.36) Identidade de Sophie-Germain:
A identidade de Sophie-Germain é um produto notável muito útil em olimpíadas 
internacionais,tem até aplicação em congruência modular. Ela se parece muito 
com o quadrado da soma e é dada por:
a4+ 4b4 = (a2+ 2ab + 2b2)(a2- 2ab + 2b2)
192 5
2~ 2
a4 + 4 •
a +
2a-1)
-2(5m) + 2^ 
-10m + 2).
+ a + iVa2-
2
Exemplo Resolvido 217: Efetue 16p4 + 324q4 .
Resolução: Podemos escrever:
16p4 + 324q4 = (2p)4 + 4 ■ (3q)4 =>
16p4 + 324q4 = [(2p)2 +2(3q)2 + 2(2p)(3q)] ■ [(2p)2 + 2(3q)2 -2(2p)(3q)] 
=> 16p4 + 324q4 = ^4p2 + 18q2 +12pqj^4p2 +18q2 -12pq .̂
a4 +4b4 = (a2 +2b2) ~(2ab)2 
a4 + 4b4 = (a2 + 2b2 + 2abj(a2+ 2b2- 2ab) .
b) Para b = -:
2
(A) ° [a2+a+2’
Exemplo Resolvido 218: Efetue 625m4 +4 .
Resolução: Podemos escrever:
E = 625m4+4 => E = (5m)4+4 
=> E = [(5m)2 + 2(5m ) + 2][(5m)2
625m4+4 = (25m2+10m + 2)(25m2
Demonstração:
a4 + 4b4 = a4 + 4b4 + 4a2b2 -(2ab)2
Consequências:
a) Para b = 1:
a4 + 4 14 = (a2+ 2 12+ 2a-l)(a2+ 2-12- 
a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2 - 2a + 2) .
Produtos Notáveis
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 193
4
Exemplo Resolvido 220: Efetue 81x4 +1 = ^9x2 + 3x72 + lj^9x2 -3x72 + lj.
+ l)(a2 - a 72
Resolução: Podemos escrever:
81x4+1 = (3x)4+1 => 81x4+1 = ^(3x)2+(3x)-72+1^(3x)2-(3x)-72+l"| 
81x4 +1 = (9x2 +3x72+ íj(9x2 -3x72+l).
+ 1)
Demonstração:
a4 + 1 = a4 + 1 + 2a2 - 2a2
Demonstração:
a4 + b4 = a4 + b4 + 2a2b2-2a2b2 => a4 + b4 = (a2+b2 j -(ab72) 
a4 + b4 = (a2 + ab72 +b2)(a2 -ab72 +b2 j .
= [(2a)2-
4a2 - 2a + —
2
Resolução: Podemos escrever: 
16a4 + —= (2a)4 + - =>16a4 +- 
4 ' ' 4 4
16a4 +- = f4a2 + 2a + - 
4
Exemplo Resolvido 219: Prove que 16a4 + = ^4a2 + 2a + 4a2 - 2a i)
5.37) Uma Identidade Interessante _____________________________________
Existe uma identidade muito parecida com a identidade de Sophie-Germain, 
podemos dizer que é um caso particular, o seu raciocínio é o mesmo, mas 
apenas um detalhe chama atenção. É dada por:
a4 + b4 = (a2 + ab72 + b4)(a2- ab72 + b2)
Consequência:_____________________
Para b = 1, temos:
a4 + 1 = (a2 + a72
a4 + 1 = (a2 + 1)2 - (a72)2 
a4 + 1 = (a2 + a72 + l)(a2 - a 72 + ij .
+ (2a) + lJ(3x)2-(2a)+l]
1
2
194 5
=> E =
,2
Exemplo Resolvido 221: Calcule
2 1
1 2 1
= (x-1)2+(x2-l) + (x + 1)2'
1 2 1
(b-c)2 (b2-c2) (b + c)2
1 2 1
(b-c)2 (b2-c2) (b + c)2
5.38) Identidade de Chrystal:
Uma identidade diferente, que tem algumas aplicações em olimpíadas e é dada 
por:
(x-1)2+(x + 1)2 + 2(x2-12) 
x4 -2x2 +1
(b-c)2 +(b + c)2 + 2^b2 -c2) 
b4-2b2c2+c4
(x-1)2+(x + 1)2+2(x2-12j 
x4 -2x2+1
(b-c)2 +(b + c)2 + 2^b2 — c2 i 
F4
Resolução: Podemos escrever: 
(x-1)2 +(x + 1)2 +2(x2 -12) 
x4 - 2 x2 -12+14
- 1 .
(x-1)2+(x2-12) + (x + 1)2
Produtos Notáveis
Demonstração:
(b - c)2 + (b + c)2 + 2^b2 - c2) 
E =-------------------------------------- => E =
b4-2b2c2+c4
E; (b~c)2 I (b + c)2 , 2(b2 c2)
(b2-c2)2 (b2-c2)2 (b2-c2)2
(b-c)2 | (b + c)2 [ 2
[(b + c)(b-c)]2 [(b + c)(b-c)]2 (b2-C2)
=> E. (b~c)2 , (b+c)2 , 2
(b + c)2(b-c)2 (b + c)2 (b-c)2 (b2-c2)
(b - c)2 + (b + c)2 + 2^b2 - c2 j
b4-2b2c2+c4
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 195
,2
Problemas Propostos
b)
c)
d)
= 1.
1 1 1
(a-b)(a-c) + (b-a)(b-c) (c-a)(c-b) 
a b c__
(a -b)(a -c) + (b-aj(b-c) + (c-a)(c -b) 
a2 b2 < c2
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b) 
a3 b3 . c3
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
(2x + 3)2 + 2(4xz -9) 
16x4 -72x2 -81
Questão 5.79___________________________________________
Sejam a, b e c números reais distintos dois a dois. Prove que 
a2+b + c a + b2+c a + b + c2 
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
 2 1
|2+[(2x)2-32) + (2x + 3):
Questão 5.77_________________________
Determine o valor das expressões abaixo: 
a)
1
(2x-3f
Resolução: Podemos escrever: 
(2x -3)2 + (2x + 3)2 + 2((2x)2 -32) 
(2x)4 — 2-(2x)2 • 32 + 34 
4x2 9
(2x - 3)2 + (2x + 3)2 + 2(4x2 - 9) 
16x4-72x2+81
Questão 5.78__________________________________________
Sejam a, b e c números reais distintos dois a dois. Prove que 
b+c a+c a+b 
------------------------ 1---------------------------1----------------------- = u.
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
2 , 1
(4x2-9) (2x + 3)2
1 
-----------7 + (2x-3)2
(2x-3)2
Exemplo Resolvido 222: Determine
Notáveis196 Produtos5
a)
b)
c)
d)
Questão 5.81
, com os
1
,desde
1 
b
_1_ 
cn
4b 4
b2 — 4a2 2a + b
_1_ 
bn
1 
an + bn + cn
1 1
c a+b+c 
1 1 1
denominadores diferentes de zero. Prove que -5 + -
Questão 5.83
2
Simplifique -------- +
2a - b
Sejam a, b e c números reais, tais que - + 
a
1
, então — + 
an
Questão 5.80__________________________________________________
Determine o valor das expressões abaixo:
________ 1________ __________ 1________ ________ 1________ +
(a-b)(a-c)(a-d) (b - a) (b - c) (b - d) (c-a)(c-b)(c - d)
________1________
(d-a)(d-b)(d-c)
a b ________ c________
(a-b)(a-c)(a-d) + (b -a)(b - c)(b -d) (c - a)(c-b)(c-d)
________d________
(d-a)(d-b)(d-c)
_______ a^_______ _______ b^_______ +________o2_______ +
(a-b)(a-c)(a-d) + (b-a)(b-c)(b-d) (c-a)(c-b)(c - d)
_______ d2_______
(d-a)(d-b)(d-c)
a3 + b3 +_______ c3_______ +
(a-b)(a-c)(a-d) + (b-a)(b-c)(b-d) (c -a)(c-b)(c - d)
d3
(d-a)(d-b)(d-c)
(a + b + c)5
Questão 5.82 (Finlândia 2002)
, 111 1
Mostre que se - + - + - =------------ ,
abc a+b+c
que n seja um inteiro positivo impar.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 197
Simplifique
Efetue e simplifique 2
Simplificando , para b # ±a ,
obtemos:
a) 11
xy(x + y) ’
Questão 5.88
Mostre que o valor de = 0.
Determine o valor de
e
Questão 5.90 (AIME-1987)
Seja m = (l04 + 324)(224 + 324)(344 +324)(464 +324)(584 +324)
Questão 5.86 (CN-1978)__________________________
a4 -b4 2ab
(a2+b2 + 2ab)(a2+b2-2ab) a2 -b2
+ 324^. Determine —.
' n
c) - 
a
Questão 5.84
a + b
(a-b)2
Questão 5.85 (CN-1961)
2x y ------------<—+ -
x + y y - x y
, • 1 + x 
-x2J |_x + y x2-y:
d)^
a -rb
b)^È 
a -b ■’5
_y2
.2
(n + 1)4+4n4 (n-1)4 + 4n4 
n2+(2n + 1)2 n2+(2n-1)2
Questão 5.87__________________________
a2 b2 (a + b)2 (ay-bx)2 
Mostre que — +------ - -------— = ——------—
x y x + y ;
Questão 5.89 (Grã-Bretânia-2014)
20144 + 4-20134 20124 + 4-20134 
20132+4027z 20132+40252
2a a - b 
a2-b2 +(a + b)2 ’
n = (44 + 324) (l 64 + 324) (284 + 324) )404 + 324) (524
Notáveis198 5 Produtos
Determine o valor de
Questão 5.91 (Moscou-Modificada)
HWH
4A 4J
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 199
>2
(bc)2 + (ac)2 ■
5.39) Identidades Condicionais:
Sea + b + c = 0, então temos:
a) Soma de Quadrados:
|a2 + b2 + c2 = -2(ab + ac + bc)|
b) Quadrado da Soma Dois a Dois:
(ab + ac + bc)2 = (ab)'
c) Soma de Cubos Simples:
|a3 + b3 + c3 = 3abc]
Demonstração:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc
=> (O)3 = a3 + b3 + c3 + 3(0)(ab + ac + bc) - 3abc
|a3 -r b3 + c3 = 3abc|.
+ ac + bc) 
ac + bc)
+ ac + bc) .
Agora chegou o momento das identidades condicionais, identidades 
importantíssimas e muito frequentes em olimpíadas. Veremos as identidades 
mais importantes nas competições, elas aparecem como exercícios para prová- 
las, então preste bastante atenção nas demonstrações!
(ac)2 + 2abc - (a + b + c) 
(bc)2 +(ac)2 +2abc(0)
(ab + ac + bc)2 = (ab)2
(bc)2 (ac)2
Demonstração:
(ab + bc + ac)2 = (ab)2
(ab + bc + ac)2 = (ab)2
(bc)2
Demonstração:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab
=> (O)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab
.-. [a2 + b2 + c2 = -2(ab
200 5
3(a-b)(b-c)(c-a)
(ac)3 + 3(ab + bc)(ab + ac)(bc + ac)
,2
Demonstração:
(a + b + c)4 = a4 + b4 + c4 +4 (a + b + c)2 (ab + ac + bc) - 2(ab + ac +
- 2abc(a + b + c)
Demonstração:
a-b+b-c+c-a=0; x3 + y3 + z3 = 3xyz
=> x = a-b;y = b-c; z = c-a
.. (a - b)3 + (b -c)3 + (c-a)3 =3(a-b)(b-c)(c-a) .
g) Soma das Quartas Potências: (Stanford-2013)
a4 + b4 + c4 = 2(ab + ac + bc)'
e) Cubo da Soma Dois a Dois:
(ab + bc - ac)3 = (ab)3 + (bc)3
bc)2
d) Soma de Três Cubos da Diferença:
(a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3
Demonstração:
(ab + bc + ac)3 = (ab)3 + (bc)3 + (ac)3 + 3(ab + bc)(ab + ac)(bc + ac) 
=> (ab + bc + ac)3 = (ab)3 + (bc)3 + (ac)3 + 3abc(a + c)(b + c)(b + a) 
=> (ab + bc + ac)3 = (ab)3 + (bc)3 + (ac)3 + 3abc(-b)(-a)(-c)
(ab + bc + ac)3 = (ab)3 + (bc)3 + (ac)3- 3a2b2c2 .
Demonstração:
(a + b + c)3= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)
(ab + bc + ac)3 = (ab)3 + (bc)3 + (ac)3 + 3(ab +bc)(ab + ac)(bc + ac)
Produtos Notáveis
f) Cubo da Soma Dois a Dois em Função do Produto dos Três:
(ab + bc + ac)3 = (ab)3 + (bc)3 + (ac)3 - 3a2b2c2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 201
bc)
+ c + a) + b2c2 (a
Demonstração:
(a2 +b2 + c2)(a3 + b3 +c3) = -2(ab + bc + ac)-3abc 
a5 + a2b3 + a2c3 + a3b2 + b5 + b2c3 + a3c2 + b3c2 + c5 =
= -6a2b2c - 6a2bc2 - 6ab2c2 
a5 + b5 + c5 = -5a2b2c - 5a2bc2 - 5ab2c2 -
- (a2b2c + a2bc2 + ab2c2 + a2b3 + a2c3 + a3b2 + b2c3 + a3c2 + b3c2 j 
a5 + b5 + c5 = - 5abc (ab + ac + bc) -
- [a2b2(c + b + a) + a2c2(b + c + b)"l
h) Quadrado da Soma de Três Quadrados:
(a2 + b2 + c2)2= 2(a4+ b4 + c4)
Demonstração:
(a2 + b2 + c2 )2 = a4 + b4 + c4 + 2[(ab)2 + (bc)2 + (ac)2 ] 
[a2+b2+c2j = a4+b4+c4+2^(ab + bc + ac)2-2abc(a + b + c)J 
(a2 +b2 +c2) = a4 + b4 + c4 + 2(ab + bc + ac)2 - 4abc(a + b + c)
a4 +b4 +c4
(a2 + b2 + c2) = a4 + b4 + c4 + a4 + b4 + c4 - 4abc(0)
(a2 + b2 + c2j = 2 (a4 + b4 + c4' .
i) Soma das Quintas Potências:
a5 + b5 + c5 = - 5abc(ab + ac +
(O)4 = a4 +b4 +c4 +4 - (O)2 • (ab + ac + bc) - 2(ab + ac + bc)2 - 2abc -(0) 
=> 0 = a4 + b4 + c4 - 2(ab + ac+ bc)2
a4 + b4 + c4 = 2(ab + ac + bc)2 .
202 5
a7+b7+c7
ou
a7 + b7 + c7 = 7abc(ab + ac + bc)2 .
= (ab)2[l0abc-
a5 + b5 + c5 = - 5abc (ab + ac + bc) - (a + b + c) • (a2b2 + a2c2 + b2c2) 
a5 + b5 + c5 = - 5abc(ab + ac + bc)-(0)(a2b2 +a2c2 +b2c2)
|as + bs + c5 = - 5abc(ab + ac + bc)|.
a7 + b7 + c7 = 10abc (ab + ac + bc)2 -
- (a5b2 + a5c2 + a2b5 + b2c5 + a2c5 + b2c5 ) 
a7 + b7 + c7 = 10abc[(ab)2 + (ac)2 + (bc)2J-
" [(ab)2 (a3 + b3) + (ac)2 (a3 + c3) + (bc)2 (b3 + c3)] 
(a3 + b3 + (ac)2 [l Oabc - (a3 + c3 + 
(b3-3)]
a5 + b5 + c5
5
+ ac + bc)J
+ (bc)2 [lOabc - 
a7 + b7 + c7 = (ab)2 [7abc] + (ac)2 [7abc] + (bc)2 [7abc] 
a7+b7+c7 = 7abc (ab)2 + (ac)2 + (bc)2
Demonstração:
(a2 +b2 + c2 j(a5 +b5 +c5) = [-2(ab + bc + ac)][-5abc(ab 
a7 + a5b2 + a5c2 + a2b5 + b7 + b2c5 + a2c5 + b2c5 + c7 =
= 10abc(ab + ac + bc)2
Concluímos que:
(a2+b2+c2) (a3 + b3+c3)
-------- -------- - - -------- - ------- - = -(ab + bc + ac) ■ abc =
. (a2+b2 + c2) (a3+b3+c3) a5+b5 + cs
2 ' 3 5 '
Produtos Notáveis
j) Soma das Sétimas Potências:
a7 +b7 +c7 = 7abc[(ab)2 + (ac)2 + (bc)2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 203
2
2
2 2
22
2 2
k) Produto de Potências Consecutivas:
2
a3+b3 + c3
3
a3+b3+c3
3
a3tb3rc3
3
a3 + b3+c3
3
a4+b4 + c4
2
a4+b4+c4
2
a4+b4+c4
2
a4+b4+c4
2
a4+b4+c4
2
a4+b4+c4
2
a5+b5+c5
5
a5+b5+c5
5
as+b5+c5
5
a7+b7+c7
7
a5+bs+cs
5
a5+b5 + c5
5
Concluímos que:
(a2+b2 + c2) (a5+b5+c5)
2 5
. (a2+b2 + c2) (a5 + b5+c5)_a7 + b7+c7
2 ' 5 7
Concluímos que: 
ía3 + b3+c3f 
3
Demonstração: 
ía3+b3+c3^2 
3
= abc ■ (ab + bc + ac)2 =
ja3+b3+c3
= [(abc)(ab + bc + ac)]2
(a4 + b4 + c4) = (abc)2 • 2(ab-s-bc+ ac)2
|2 ía4+b4+c4]
- ------- - --------- = [(abc)(ab + bc + ac)]2a3+b3+c3
3
,2 ,
204 5
Vejamos algumas aplicações interessantes!
Exemplo Resolvido 223: Calcule Vlô-eV? + >/l6 + 6>/7 .
a
X +
- Vl6-6>/7 - 6 + 6>/7 = 0 
0, x > 0.
Resolução: Podemos escrever: 
x = Vl6-6%/7 + 7l6 + 6>/7 => x 
=• x + (-x/l6-6%/7j + (->/l6 + 6>/7j = 
_____ b_____ _____ c_____ 
(-V16-6V7 J + (->/l6 + 6V7 j = 0 => a + b + c = 0
Outra maneira:
a + b + c + d = 0 => a + b = -(c + d) => (a + b)3 = [-(c + d)]3 
=> a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = -Fc3 + 3c2d + 2cd2 + d3 ] 
=> a3+3ab(a+ b) +b3 =-c3 - 3cd(c + d)-d3 
=> a3+b3+c3+d3= -3ab(a + b)-3cd(c + d) 
=> a3 + b3 +c3 +d3 = -3ab[-(c + d)]-3cd[-(a + b)J 
a3 t- b3 + c3 + d3 = 3ab(c + d) + 3cd(a + b) .
Produtos Notáveis
Demonstração:
(a + b + c + d)3 = a3+b3+c3+d3- 3ab (c + d) - 3cd (a + b) +
+ 3(a + b + c + d)- (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 
(O)3 = a3 +b3 + c3 +d3 +3(0)-(ab + ac + ad + bc + bd + cd)-
-3ab(c + d) -3cd(a + b) 
=> a3 +b3 +c3 +d3 -3ab(c + d)-3cd(a + b) = 0
a3 + b3 + c3 + d3 = 3ab(c + d) + 3cd(a + b) .
I) Cubo de Quatro Termos:
[a3 +b3 +c3 + d3 = 3ab(c + d) + 3cd(a + b)|
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 205
= —2
=> x2+32 = -2 -x2 +
Exemplo Resolvido 222: Calcule 744-1876 + 744 + 1876 .
x
=> x +
0 => a + b + c = 0
Observação: Encontramos x = 4 pelo teorema do fator. Teorema que será 
estudado em detalhes no capitulo de Fatoração.
a
X +
Resolução: Podemos escrever:
 
= ^44-1876+^44 + 1876
(-744-1876 ) +(-744 + 18 
b
=> X2 +32 =-2[-x2 +(7256-252)] => x2 + 32 =-2[-x2 + 2]
=> x2+32 = 2x2-4 => 4 + 32 = 2x2-x2 => x2 = 36 x = 6.
x3 -88 = 3■ x-(7-8)
= 0 x = 4.
=> a2 +b2 + c2 = -2(ab + ac + bc) => a2 + b2 + c2 = -2[a(b + c) + bc] 
=> x2 +16-677 + 16 + 677 =
__________ x__________ 
(716-677 + 716 + 677] + (-7l6 -677)(-Jl6 + 677)
162 -(ô77)2
=> x - 744 -1876 - 744 + 1876 = 0 
;7ê) = 0, x e R. 
c_____
(-744-1876) + (-744 +1876 ) =
=> a3 + b3 + c3 = 3abc
=> x3 - 44 +1876 - 44 -1876 = 3 ■ X ■ (-744 -1876 )• (-744 + 1876) 
=> X3 - 88 = 3 • X-^442 -(1876)2}
=> X3 - 88 = 3 ■ X • (7l 936 -1944) =>
=> x3 - 88 = 3 ■ x ■ (-2) => X3 - 88 = -6x =0 x3 + 6x - 88
206 5
= 3
Problemas Propostos
Questão 5.92 (IME-06/07)
Questão 5.93
Questão 5.94
Se a + b + c = 0, determine o valor de
1 
a + c
a + c
1
5
b + c
a
2abc
(a2 + ac + bc + ab)(b + c)
+ —!- = 6 . 
a + b
a + b
Sejam a. b e c números reais não nulos. Sabendo que —=
a + b 
determine o valor numérico de ------- .
c
Exemplo Resolvido 223: Se a + b + c = 3, determine o valor de 
(a-1)3+(b-1)3+(C-1)3
15(a-1)(b-1)(c-1) '
1
Seja a. b e c, números reais tais que a + b + c = 5 e-------- h
b + c
, abc 
Determine o valor de ----- +------- + —-.
b+c a+c a+b
Resolução: Podemos escrever:
a + b + c = 3 => (a-1)+(b-1) +(c-1) = 0
=> (a-1)3+(b-1)3+(c-1)3 = 3(a-1)(b-1)(c-1)
(a -1)3 + (b -1)3 + (c-1)3
(a-1)(b-1)(c-1)
_1_ (a-1)3+(b-1)3+(c-1)3 = _1_ 3
15 (a-l)(b-1)(c-1) 15
(a-1)3+(b~1)3+(c-1)3
15(a-1)(b-1)(c-1)
Produtos Notáveis
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 207
Questão 5.95
Se a + b + c = 0 , determine o valor de
Determine o valor de
Questão 5.99
Se a + b + c = 6 , determine o valor de
Determine o valor de
Determine o valor de
Questão 5.102
= 3 . Determine o valor de r3Seja r um número real, tal que 3VF
_1_ 
r3 '
Questão 5.100 (BMO-2007)
14 + 20074 + 20084
12 +20072 +20082 '
Questão 5.96 (Moscou 1949)
Prove que x2 + y2 + z2 = 2xyz para inteiros x, y, z, somente se x = y = z = O.
Questão 5.98
Sejam a, b e c inteiros positivos, tais que a = b + c. Prove que a4 + b4 + c4 é o 
dobro do quadrado de um inteiro positivo.
Questão 5.101 (Singapura-2014)
20143 -20133 -1 
2013-2014
Questão 5.97 (lrã-1985)
Sejam x, y e z três números reais positivos, tais que x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx.
Vx + ,/y + Vz
(a + c-2b)2 
a2+b2+c2
(a + b - 2c)2 (b-rc-2a)2
(a - 2)3 + (b-2)3+(c - 2)3 
7(a-2)(b-2)(c-2)
208 5 Produtos Notáveis
a) 372 b) 276 d) 3j3 e) 6
d) 7ê e) 2V2
d) 4 e) 5
c)
e)1
1/3 + 2
a)1
Questão 5.110
Qual o valor de ^20 + 14^2 + ^20-14^2 ?
Questão 5.108 (IMO-Longlist-1973)
O número 775 + 2 + 775 - 2 é racional ou irracional?
Questão 5.107
Qual o valor de 7^72+7 -7õ72 -7 ?
Questão 5.104 (Princeton-2006)
Simplifique yj7 + 4y/3 + 7?-473 .
Questão 5.106 (CN-1984)
72>/2 -1/3-2^272 é igual a: 
b) 2 c) 3
Questão 5.105 (AHSME-1970)
O número 1/3+ 272 - 73-272 é igual a:
a) 2 b) 273 c) 472
Questão 5.109 (AHSME-1980)
A soma 7s + 2i/Í3 + 75 - 27Í3 , é igual a:
765 1+^3
4 '2
Questão 5.103 (AMC-2011)
Qual dos valores abaixo é igual a yJ9- 672 + y/9 + 672 ?
. 7yÍ2 
c) —
1 3 
a)2
d) 72
Os Segredos da Álgebra para IME/lTA/OLIMPlADAS 209
Questão 5.115
(b - 2c + a)4 + (c - 2a + b)4.
Questão 5.116
Se a2 + b2 + c2 = 5 , ache o valor de
Questão 5.117
0, determine o valor deSe a + b + c
Questão 5.119
= abc.
Questão 5.112 (Malásia-2010)
Mostre que existem inteiros m e n, tais que — = 375Õ + 7 - 7750 - 7 . 
n
a6+b6+c6
a3+b3+c3
Questão 5.118
Se a + b + c = 0 , determine o valor de a6 + b6 + c6.
as + b5+c5 
abc(ac + bc + ab)
Questão 5.113(Turquia-2007-Modificada)
Determinando o valor de x = ^11 + TsõT + x/l 1 — 7337, então x3 + 18x vale?
Questão 5.111 (Suécia-2001) 
i 1
Mostre que (752+5)3 +(752-5)3 é irracional.
Simplifique (a-2b + c)4
1 1 1
Sejam a, b e c números reais, tais que a + b + c = - + - + - = 0. Prove que 
abc
Questão 5.114 (Harvard/MIT-2008)______________________________________
Sejam a, b, c são números reais não nulos, tais que a + b + c = 0, 
a3 + b3 + c3 = a5 + bs + c5 . Determine a2 + b2 + c2.
(a + b + c)2 + (a - b - c)2 
2(5 + 2bc)
210 Produtos Notáveis5
Questão 5.120 (Croàcia-2001)
Se a + b + c = 0, determine o valor de
Questão 5.121
Se a + b + c = 0, determine
Questão 5.124
a -bb b-ca c c-aSe a + b + c = 0, mostre que = 9.
a -b b ca
Questão 5.125 (Rússia)
Sejam a. b e c números reais distintos dois a dois. Mostre que 
a2 (c-b)-b2 (a-c) + c2 (b-a) é diferente de zero.
Questão 5.123 (Peru 2009)
Mostre que, se a + b + c + d = 0, então 
(ac-bd)(bc-ad)(cd-ab) = (a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c-t-d).
Questão 5.122 (IME-00/99)_____________________________________________
Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o produto: 
(a-b)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b) é divisível por 12.
a7 + b7 + c7 
abc (a4 + b4 + c4 j
(ab)3 (bc)3 + (ac)3 - (ab + bc + ac)3 
6abc-(a3 +b3 +c3 j
b-c c-a
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 211
a)
(a2 + k b2 )(a2 + k - b2 j = (a, a2 + k b, b2 )2 + k(a, b2 -a2 b, )2 .b)
(a2 + k-b2j(a2 + k b2 ) = (a, a2 -k b, b2)2 + k(a-, b2 +a2 b^2 .c)
Veremos agora tópicos avançados em produtos notáveis. 
Observação: Essas identidades não serão demonstradas.
E (ai bj - aj bi)(ci dj - Cj d^ 
1<i<j<n
TA3. Identidade de Binet-Cauchy (Generalização da Identidade de 
Laqranqe):
Aqui temos a generalização da identidade de Lagrange.
n ")
TA4. Identidade de Lebesque:
A identidade de Lebesgue é pouco conhecida, relaciona o quadrado da soma 
de quatro termos com o produto dois a dois. É dada por:
(a2 + b2 + c2 + d2 )2 = (a2 + b2 - c2 - d2 )2 + (2ac + 2bd)2 + (2ad - 2bc)2
' n
Xai di XbiCi = 
ví=i A 1=1
' n V n
Eaící EM 
ki=1 Aí=1
5.40) Tópicos Avançados.
Os tópicos avançados são identidades diferentes que serão úteis em algumas 
questões, são identidades rebuscadas que muitos não conhecem. São elas- 
TA1. Uma Identidade Interessante:
As identidades a seguir são binômios que podem aparecer facilmente em 
questões de olimpíadas, bem como em escolas militares.
(a2 -k b2)(a2 - k- b2) = (a.| a2 + k b2)2 -k(a1 b2 +a2 b,)2 .
TA2, Identidade de Euler:
A identidade de Euler para quatro termos é uma identidade interessante, revela 
a astúcia de um grande gênio. Essa identidade é dada por:
(a,2 + a| + a3 +a^)(b? + b2 + b| + b^) = (a1b5 - a2b2 a3b3 -a4b4)2 +
+ (aib2 + a2b-| + a3b4 - a4b3 )2 + (a-|b3 - a2b4 + a3b-| + a4b2 )2 +
2 
+ (a1b4 + a2b3 - a3b2 + a4b-|)
212 5 Produtos Notáveis
,4
= 7(a + b)(a + c)(b
Observação: A identidade da Potência de 7 será demonstrada no capitulo de 
polinõmios simétricos!
ib2)\
ib2)3
+ c2 + ab + ac + bc) +abc(a + b + c)^|
TA9. Identidade da Potência de 7:
Uma identidade bastante interessante que relaciona as potências de sete com 
quadrado e produto da soma de binômios.
(a + b + c)7 - (a7 + b7 +c7) =
+ c)^(a2 + b2
TA8. Identidade de Ferrari:
Essa é a identidade das quartas potências, uma belissima identidade. 
(a2 + 2ac - 2bc - b2j + (b2 - 2ab-2ac - c2) + (c2 + 2ab + 2bc-a2) = 
= 2 (a2 + b2 + c2 -ab + ac + bc(
TA5. Identidade de Liouville:
Essa é uma interessante identidade, que relaciona a soma das quartas 
potências, permutadas em soma e diferença.
6 (a2 + b2 + c2 + d2 j = (a + b)4 +(a -b)4 +(a + c)4 +(a-c)4 + (a + d)4 +
(a-d)4+(b +c)4+(b-c)4 + (b + d)4 + (b-d)4 + (c + d)4 + (c - d)4
TA7. Identidade Cúbica:
Essa é uma interessante identidade com cubos.
(6a2 -4ab + 4b2j = (3a2 + 5ab-5b2 j +(4a3-4ab + 6l
+ (5a2 - 5ab-3l
TA6. Identidade Trinomial:
Essa é a "identidade da equação do 2o grau”, relaciona o produto de equações 
do 2° grau com seus coeficientes.
(x2 + axy + by2 )(m2 + amn + bn2) = (xm - byn)2 +
+ a(xm- byn)(ym+ xn + ayn) + b(ym + xn +- ayn)2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 213
Capítulo 06 - Fatoração
b)(x + y)l ■
2x + 4x2-2x4-x3
O primeiro critério que estudaremos será a fatoração por agrupamento ou 
“colocando em evidência". É um método que consiste em agrupar os termos 
semelhantes buscando colocar a expressão em forma de produto.
Exemplo Resolvido 224: Fatore ax + by + bx + ay.
Resolução: Agrupando os termos semelhantes:
ax + by + bx + ay = x(a + b) + y(a + b)lax + by + bx +ay = (a +
6.2) Agrupamento ou “Evidência”:
Esse critério consiste em agrupar termos semelhantes até termos um produto.
Introdução
Fatorar é colocar em produto de fatores primos. Por exemplo, fatorar 15 é 
colocá-lo como um produto de fatores primos, no caso o 3 e o 5. Vamos fazer 
isso com polinõmios agora, divirta-se!
Veremos os critérios de fatoração. vamos lá!
Exemplo Resolvido 225: Fatore 2x + 4x2 - 2x4 - x3 .
Resolução: Podemos fazer quantos agrupamentos forem necessários:
E = 2x + 4x2 - 2x4 - x3 => E = 2x(1 + 2x) - x3 (1 + 2x) => E = (1 + 2x)(2x - x3)
= x (1 + 2x)^2- x2 j .
Nosso segundo critério tem ligação com os produtos notáveis, são os 
chamados quocientes notáveis, são muitas as aplicações desse critério 
principalmente em simplificações.
6.1) Critérios de Fatoração
Veremos os critérios mais interessantes para se fatorar polinõmios, 
aprenderemos essas técnicas maravilhosas que ajudam o leitor a encontrar 
raizes de polinõmios rapidamente. Divirtam-se!
214 6 F a t o r a ç ã o
a) = a + b ou
b)
c)
= (a -b)(a2 + b2 j= (a + b)(a2 + b2jd)
= a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4 .e)
f)
g)
h)
i)
= a6 - a5b + a4b2 - a3b3 + a2b4 - ab5 + b6 .j)
= (a + b)(a2 + b2)(a4 + b4j ■k)
I)
m)
n)
= a8 - a6b2 + a4b4 - a2b6 + b8 .o)
= (a + b) (a2 + ab + b2)(a2 -ab + b2).
= (a2 + ab + b2)(a6 + a3b3 + b6 j.
a4-b4 
ou ----------
a + b
6.3) Quocientes Notáveis:
Esse critério consiste em usar os produtos notáveis para fazer a fatoraçâo. 
Usaremos os mais comuns:
a2 -b2 a2 -b2
---------- = a + b ou ----------- = a - b .
a-b a+b
a3~b3 = a2+ab + b2.
a-b
5-tbÍ = a2-ab + b2.
a + b
a4-b4
a-b
a5-b5
a-b
-—-5- = a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4.
a + b
a6 - b6
a-b
4^ = a4-a2b2+b4.
a2+b2
- -----— = a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6 .
a-b
a7+b7
a + b
a8-b8
a-b
a9-b9
a-b
- = (a2 -ab + b2 )(a6 -a3b3 +b6 j.
5-^—= (a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4)(a4 + a3b + a2b2 +ab3 + b4).
a10+b10
a2+b2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 215
bn-2 + bn-1
Exemplo Resolvido 226: Fatore
= (x + 3)(x2+32)
= (x + 3)(x2 +9) .
Exemplo Resolvido 227: Fatore
=> E =
Exemplo Resolvido 228: Fatore
x4 -81 
x-3
32x5 -1 
2x-1
x4 -81 
x-3
lm(n-2) +bm|n‘1>.
-abn-2+bn-1.
Resolução: Note que podemos usar o quociente notável: 
a ~ b = (a + b)(a2 +b2). Então temos: 
x4 -81 x4 -34 
x-3 x-3
x4 -81 
x-3
64xs +729y6 
4x2 +9y2
Para n par, temos: 
amn_bmn 
am-bm
Generalização:
Podemos generalizar a soma e a diferença das enésimas potências.
?2sÈ2 = an-1+an-2b + ... + a- 
a -b
?n+bn = an~1-an~2-b + ... 
a + b
■bm + ... + amb'm (n-2) + a k ’= am(n-1)
Resolução: Note que podemos usar o quociente notável:
a ~b = a4 -i a3b + a2b2 + ab3 + b4. Então temos: 
a -b
E=aêr =* => e=(2x)4+(2x)3-i+(2x)2-i2+(2x)-i3+i4
=> E = 16x4 + 8x3-1 + 4x2-1 + (2x)• 1 + 1 |e = 16x4 + 8x3 + 4x2 + 2x + l|.
216 6 Fatoração
= a4 - a2b2 + b4 . Então temos:
.6 >6
E =
=> E = 16x4-4x2-9y2+81y4 .-. = 16x4 -36x2y2+81y4 .
Exemplo Resolvido 230: Fatore 8x3 -27 .
Exemplo Resolvido 229: Fatore x2 - 4 .
Resolução: Note que podemos usar o produto notável: 
a2 -b2 = (a + b)(a -b). Então temos:
x2-4 = x2-22 X2 - 4 = (x + 2)(x -2) .
6.4) Completando o Produto Notável:
Esse critério consiste em adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir por termos 
que completem um produto notável conhecido, esse critério é pouco usado, 
devido à criatividade que o leitor deve ter para "enxergar" o produto notável. 
Então, vamos conhecê-lo.
E = (2x-3)(4x2 +6x+ 9)
=> E =
(2x)'
O terceiro critério é "completando o produto notável", esse método consiste em 
chegar aos produtos notáveis conhecidos, é um método bem avançado e pouco 
usado devido à criatividade que o leitor deve ter para “enxergá-lo”.
Resolução: Note que podemos usar o quociente notável: 
a6+b6 
a2+b2
64x6 +729y6
4x2 +9y2
E = (2x)4-(2x)2-(3y)2 + (3y)4
Resolução: Note que podemos usar o produto notável: 
a3 -b3 = (a -b)(a2 +ab + b2 j. Então temos:
E = 8x3-27 => E = 23x3-32 => E = (2x)3-32
=> E = (2x - 3)£(2x)2 + (2x) ■ 3 + 32 J =.
.-. 8x3 - 27 = (2x - 3)(4x2 + 6x + 9) .
(2x)0+(3y)'
l2 + (3y)2
64x6 +729y6 
4x2 + 9y2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 217
x4 +16 = (x2)2 + 42
Exemplo Resolvido 231: Fatore x3-3x2+3x-1.
Resolução: Note que podemos usar o produto notável:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 -b3. Então temos:
E = x3-3x2+3x-1 => E = x3-3x2-1 + 3x-12-13 E = (x-1)3 .
=> x4 +16 = (x2)2 +
x4 +16 = (x2 + 4j2 - (2xV2)2 => x4 +16 = (x2
t42 -[ãx2] => x4+16 = (x2+4) - |8x2 | =>
+ 4 + 2Xv/2)(x2 + 4-2x72)
Observação: Poderiamos usar a identidade de Sophie-Germain para 
a = x e b = V2 .
Exemplo Resolvido 233: Fatore x4 +16 .
Resolução: Vamos resolver completando um trinômio quadrado perfeito, 
lembrando que poderiamos usar o critério 2.
Note que podemos usar os produtos notáveis: (a + b)2 = a2+2ab + b2 e 
a2 -b2 = (a + b)(a-b). Então temos:
=> x4 +16 = (x2)2 +42 +[8x2]-|8x2|
2x4
8x2
Exemplo Resolvido 232: Fatore x3 +6x2 -16 .
Resolução: Note que podemos usar o produto notável:
(a -b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 -b3. Então temos:
E = x3 + 6x2 -16 => E = x3 + 3x2 • 2 + 8 - 24 => E = x3 + 3x2 • 2 + 23 - 24 
=> E = x3 +3x2-2 + 23 -24 + |12x|-[Í2x1 =>
E = x3+3x2 2 + |3x- 4 | + 23 - [Í2x] - 24 => E = (x + 2)3-12(x + 2)
=> E = (x + 2)^(x + 2)2-12 => E = (x + 2)[x2+4X + 4-12]
x3 + 6x2-16 = (x + 2)(x2+4x-8j .
218 6 Fatoração
Problemas Propostos
- 4x
Questão 6.9
Questão 6. 7
Fatore 16x4y6 -81a6b4 .
Questão 6.4
Fatore 5ax + 3by-5ay-3bx.
Questão 6.1 (Harvard-MIT-2012)_______________________________
Determine a soma de todos os fatores primos distintos de 253 -272 .
Questão 6.8
Fatore (2a - 3)4 - (a - 5)4.
Questão 6.5 (CN-1951)
Fatore x2 - 2xy + y2 - a2 .
Questão 6.6 (CN-1952)
Fatore 8x2 - 8xy - 3x + 3y .
Questão 6.2 (CN-1954)_____________
Decomponha 16x4 -1 em três fatores.
Questão 6.3 (AHSME-1954) 
Os fatores de x4 + 64 são: 
2
-8X + 16)
-4x + 8)
b) (x2 +8)(x2 -8}
d) (x2-4x + 8)(x2-4x-8j
a2 b2 c2
Se a + b + c = 0, qual o valor de — + — + — ? 
bc ac ab
a)(x2+8j
c) íx2 + 2x + 4)(x2
e) (x2 + 4x + 8)(x2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 219
Questão 6.10
a)
c) d)
é igual a:
d) a2 + b2 e) a2 - b2b) a + b' c) a -b'
Simplifique
Questão 6.16
Fatore
27c2
5ab
c - a 
ca
a -b 
ab
Questão 6.17
Fatore a2c + 2abc + b2c + a2d + 2abd + b2d .
Questão 6.15
Fatore ax(b2 -
-b-4
-b’2
Questão 6.14
 . b-c Fatore ------ +
bc
(a2 - 3a -r ab - 3b) - (a + b)2
A fração 
a--
-b~s
Questão 6.12 (AHSME-1955)
T7
a) a 6
+ y2) + by(a2 + x2)
Questão 6.11 (AHSME-1952)
A expressão a3 - a’3 , é igual a:
Ía--Ya2 +1 + -!•']
V a A a2J
fa_lYa2_2 + jJ
k a A a2)
Se a + b + c = 0, determine o valor de - - + 2,0
5bc 5ac
Questão 6.13 (AHSME-1950) 
a2-b2 ab-b2 
ab ab — a2
220 6 Fatoração
Simplifique
Simplifique
Simplifique
Simplifique
Fatore
Questão 6.27
Fatore
a6-b6 a6 + b6 
a2-b2 a2+b2
(a4~b4)
(a2+b2)(a-b)
Questão 6.18__________________________________________
Fatore a2b + a2c + ab2 + b2c + ac2 + bc2 - a3 - b3 - c3 - 2abc.
Questão 6.19___________________
Fatore a2 - 8ab - 2ac +16b2 + 8bc -15c2.
Questão 6.21_____________________
Fatore 2a4 +17a2b2 + 21 b4 + 8a2 + b2 -10 .
Questão 6.23 (AHSME-1960) 
a2 + b2 -c2 + 2ab 
a2 + cz - bz + 2ac
Questão 6.20___________________
Fatore a4 + 5bc2 - a2b - a2c2 - 2b2 - 2c4 .
Questão 6.25
(a5+a3b2)(a3-b3)(a2-b2)
(a4-b4)(a3 + a2b-ab2-b3)’
Questão 6.22_______________
a2 -bc-b2 -t-ac 
a2 +b2 -c2 + 2ab
Questão 6.24
(a2-b2)3+(b2-c2)3 + (c2-a2)3
(a-b)3 +(b-c)3 +(c-a)3
Questão 6.26______________
(a+ b)4 - (a - b)4 
(a2+b2)2-(a2-b2)2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 221
Simplifique
Simplifique
d) Vãa)1 c) 3
b2c2)-(a4 + b4 +c4 j.a2c2
,2
Questão 6.31
Se a * b # c, simplifique
Questão 6.35 (Putnam-1938-Modificada)
Fatore (y2 - 3y + 2^ - 3(y:
a2 -b2 ) 
a2 + ab J
Questão 6.29
(a-b)4 -ab(a-b)2 -2a2b2 
(a-b)(a3-b3) + 2a2b2
-3y + 2) + 2-y.
Questão 6.34 (A1ME-1986)
Calcule (Vê + Vê + V7)(>?5 + Vê - V7)( Võ - Vê + -fi)(-Vê + Vê + V7)
Questão 6.32
Fatore 4b2c2 - (a2-b2 - c2) .
Questão 6.33
Fatore 2(a2b2
«3
Questão 6.30
Sejam a, b e c números reais não nulos, tais que a + b + c = 0, Prove que 
a2+b2 , b2+c2 , c2+a2 a3^3^3 
a + b b + c c + a bc ca ab
Questão 6.28
a3-b3 
a2 -2ab + b2
M = _ a 
i/V(a“b)(b-c)+V(a"b)(c“a)+V(b-c)(c-a)
222 Fatoração6
,3 ,3
A expressão é equivalente a:
a) 4x3 b) 4yx3 .3 d) 4yzx3 e) 4xyz
e) 1
Questão 6.38 (CN-1983)
Fatorando e simplificando a expressão
-------+ 20, -------=--------+ 14 e
, é um número inteiro.que
a) z(x + y) 
d) zx - y
b) z(x-y) 
e) y + z
x
Fatore e simplifique a expressão —
Questão 6.39 (Harvard-MIT-2012)
Sejam a e b números complexos, tais que 2a + 3b = 10 e 4a2+9b2 =20, 
determine o valor de ab.
Questão 6.41 (Kürschár-1959)
Se a, b e c são três números inteiros distintos e n é um inteiro positivo, mostre 
an bn cn
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
Questão 6.36 (CN-1998)
(x3 +y3 +z3)2 -(x3 -y'
c) 4zx'
b) — 
x-1
a)^
x-2
Questão 6.37 (CN -1981-Modificada)
(x4 -5x2 + 4)-2(x4 — 5x2 +4)
(x3 -6x2 +12x-8)(x2 -l)
. x +1 ..x-2c) ------ d) -------
x-2 x+2
’2)
—, tem-se:
Questão 6.40 (Harvard-MIT-2014)
Sejam a, b, c e x, números reais com
a2 b2 b2 c2
------ =-------+ 20, ------- =--------+ 14 e 
a + b a + c b + c b + a
(a + b)(b + c)(c+ a) * 0 que satisfaz
c2 a2
-------=--------+ x , qual o valor de x?c+a c+b
(zx2 + zy2 + 2xyz)(x2 - y' 
x3 +3x2y + 3xy2 + y3
c) zx + y
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 223
b)
C)
d)
Fatore
Fatore
2
a - b
2 
b-c
2 
c - a
Questão 6.43 (Stanford-2013)
Sejam a = -~J3 + 75 + 77, b = 73 - 75 - 77, 
a4 b4 c4
(a -b)(a -c) + (b-c)(b-a) T (c -a)(c -b) '
Questão 6.47___________________________________
a2bc ab2c abc2
(a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b)
, 0 = 73 + 75 - 77. Determine
Questão 6.42
Determine o valor das expressões abaixo: 
a)
Questão 6.45___________________________________
(x-b)(x-c) (x-c)(x-a) (x-a)(x-b)
(a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b)
1 1 1
(a-bj(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
_____ a_____ _____ b_____ _____ c_____
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
a2 ! b2 + c2
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
a3 ; b3 c3
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
Questão 6.46________________________________
- . a + 1 b + 1 c + 1Fatore------------------ +--------------------+-------------------
(a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b)
Questão 6.44
Fatore -___ _______ +____ _______ +____ _______
(a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b)
224 F a t o r a ç ã o6
c)
d)
Fatore
a2 +_______ b2_______ +________ c2_______ +
(a-b)(a-c)(a-d) (b-a)(b-c)(b-d) (c-a)(c-b)(c - d)
+ d2
+ (d - a)(d - b)(d-c)
a3 ; b3 c3
(a - b)(a-c)(a-d) (b-a)(b-c)(b-d) (c-a)(c-b)(c - d) 
d3
(d-a)(d-b)(d-c)
Questão 6.49
Sabendo que a + b + c + d = 10, determine o valor de
_______ a4_______ +________b4_______ +________ c4________+
(a-b)(a-c)(a-d) (b-a)(b-c)(b-d) (c -a)(c - b)(c-d)
+_____ dj______
(d - a)(d- b)(d -c)
Questão 6.50
a5 - 2a4b + a3b2 - a2b3 - 2ab4 + b5 
a3 +a2b-ab2 -b3
Questão 6.48
Determine o valor das expressões abaixo:
(a - b)(a-c)(a-d) h (b - a)(b - c)(b - d) (c - a)(c - b)(c - d)
_________ 1_________
(d-a)(d-b)(d-c)
b. ________ a__________________ b________+________ c________ +
(a-b)(a-c)(a-d) (b - a)(b - c)(b - d) (c-a)(c-b)(c-d)
________d________
(d-a)(d-b)(d-c)
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 225
Questão 6.52
= abc.
Questão 6.57
2 
b
Questão 6.51
Sejam a, b e c números inteiros, tais que ab + bc + ca = 1. Prove que 
(a2 +1)(b2 +l)(c2 +1) é umquadrado perfeito.
a6+b6+c6
a3+b3+c3
Questão 6.54
Se a + b + c = 0, determine o valor de
a2 + b2 c2
(a + b - c)(a - b + c) (c + b - a)(a + b-c) (c + b-a)(a-b + c)
Questão 6.53
Fatore (ab + bc + ca)3 - abc(a + b + c)3 .
Questão 6.56
Se a + b + c = 0, Mostre que
2(ab + bc + ca)4 = a4 (b-c)4 + b4 (c-a)4 +c4 (a-b)4 .
Questão 6.55
Se a + b + c = O, determine o valor de
a4 [ b4 c4
a4 - (b2 - c2 )2 + b4 - (c2 - a2 )2 * c4 - (a2 - b2 )2 '
+ — = 0 . Prove que 
c
Sejam a, b e c números reais, tais que a+b+c=-+ 
a
Sejam a e b dois números reais, tais que —5—+ —— = 1. Mostre que 
1+a 1 + b
a b
------7-------- 7 = a ~ b •1 + b2 1 + a2
6 F a t o r a ç ã o226
a)
= 1.b)
Passo 03: Cada linha forma um fator.
A forma geral, para que tenhamos uma "cruzadinha simples”, é:
1 variável simples : f (x) = Ax2 + Bx + C.
1 variável generalizada : f (x) = Ax2m + Bxm + C.
2 variáveis simples : f (x) = Ax2 +Bx ■ y + Cy2.
2 variáveis generalizada : f (x) = Ax2m + Bxm yn +CyZn.
Para fatorar esse polinõmio, vamos realizar 3 passos, a saber:
Passo 01: Decompõem-se as duas extremidades em monómios, cujos 
coeficientes são os divisores naturais dos coeficientes extremos.
Passo 02: Multiplicam-se em cruz os monómios decompostos de modo que o 
resultado seja o termo central.
No quarto critério, veremos a chamada “cruzadinha simples", uma ferramenta 
fortíssima da fatoração que tem inúmeras aplicações nos polinômios e 
simplificações, dentre outras. Vamos conhecê-lo.
6.5) Cruzadinha Simples___________________________
Esse quarto critério, denominado “cruzadinha simples", é uma ferramenta 
fortíssima que usa soma e produto para encontrar os binômios que serão os 
fatores. Não se esqueça das regras de sinais:
“(+).(+) = + : (-)■(-) = + ; (+)■(-) = -“.
Questão 6.58
Sejam a. b e c números reais não nulos tais que (a+ b +c)2 = a2+b2+c2.
Prove que:
a2 b2 c2--------4--------- i--------- = 1 •a2-s-2bc b2 + 2ca c2+2ab
bc .ca + ab
a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab
Observação: Sempre colocar o polinõmio a ser fatorado em ordem 
decrescente de expoente.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 227
A operação (a1•x)•(c2)+ (a2 ■ x)• (c-j) deve resultar no termo central.
1 Variável Generalizada:
(a2 • xm j ■ c-j deve resultar no termo central.
2 Variáveis Simples:
A operação (a-, • x) ■ (c2 ■ y) + (a2 ■ x) • (c-| ■ y) deve resultar no termo central.
2 Variáveis Generalizada:
deve resultar no termoA
Veja o esquema abaixo:
1 Variável Simples:
Exemplo Resolvido 234: Fatore 6x2+7x + 2.
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Note que os divisores naturais de 2 são 1 e 2, então eles serão os 
extremos da direita, colocaremos os divisores positivos, caso não dê o termo 
central, colocaremos o negativo. Para os extremos da esquerda temos as 
combinações (1 e 6); (2 e 3); (3 e 2); (6 e 1).
Ax2 + Bx + C
■ x c-,
82 ■ x C2
^•(ciV)
A operação (a, ■ xm j ■ c2 +
operação (a, •xmj ^c2 -yn) + (a2 x' 
central.
Ax2m + Bxm yn + Cy2n 
a, • xm c, • yn
a2•xm c2yn
Ax2 + Bxy + Cy2 
a, • x c, • y
a2 • x c2■y
Ax2m + Bxm + C 
a, ■ xm c,
a2xm c2
228 6 Fatoração
Observação: Note que não foi necessário usar os divisores negativos.
Exemplo Resolvido 235: Fatore x2 + x-2 .
-5xn +6.
Note que essa combinação dá o termo central, logo temos:
Passo 03: linha ”1 e- 1" e "1 e 2", ou seja, x2 + x-2 = (x-1)(x + 2).
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Note que os divisores naturais de 2 são 1 e 2, então eles serão os 
extremos da direita. Para os extremos da esquerda temos somente a 
combinação (1 e 1).
Passos 02: Vamos efetuar o produto, notando que ele é negativo, e somar os 
resultados:
Note que a segunda combinação dá o termo central, assim, temos: 
Passo 03: linha "2 e 1" e "3 e 2", ou seja, 6x2 +7x + 2 = (2x + 1)(3x + 2).
x 
x
6x2 +7x + 2
3x
2x ^'>"'i'2
3x 2 = 6x e 2x -1 = 2x 
s = 6x + 2x = 8x
6x2 +7x + 2
6x 1
x '"‘■2
6x2 = 12xex-1 = x 
s = 12x + x = 13x
6x2 +7x + 2
X'^xTr 1
6x2
x 2 = 2x e 6x1 = 6x 
s = 2x + 6x = 8x
x2 + x - 2
-1 <= linha ”1 e -1" 
2 <= linha "1 e 2" 
x-2 = 2x e X-(-1) = -x 
s = 2x - x = x
Passo 02: Vamos efetuar os produtos e somar os resultados: 
6x2 +7x + 2 
2x-~^>v1 <= linha "2 e 1" 
3x-^><*2 <= linha "3 e 2" 
2x-2 = 4x e 3x -1 = 3x 
s = 4x + 3x = 7x
Exemplo Resolvido 236: Fatore x2n
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 229
X'
+ 11.
+ 12x' + 1
x' 
xn 
xn
+ 11).
Note que a combinação que dá o termo central éo — 2 e o-3.
Passo 03: Os fatores são os da linha "1 e - 2" e “1 e - 3", ou seja, 
:2n - 5xn + 6 = (xn - 2^xn - 3).
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Note que os divisores naturais de 6 são 1,2, 3 e 6, então temos as 
combinações da direita (1 e 6); (2 e 3); (3 e 2); (6 e 1). Para a esquerda só 
temos (1 e 1).
Passo 02: Vamos efetuar o produto, notando que ele é positivo, e somar os 
resultados, veja que é conveniente usar os termos negativos devido ao fato de 
o termo central ser negativo:
:2n - 5xn + 6
-2 «= linha "1 e-2"
-3 <= linha "1 e -3"
+ 11
I <= linha "1 e 1”
II <= linha "1 e 11"
X^x
X3x
Exemplo Resolvido 238: Fatore x2m -2xmyn -15y2n .
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Note que os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15, então temos as 
combinações da direita (1 e 15); (3 e 5); (5 e 3); (15 e 1). Para a esquerda só 
temos (1 e 1).
x3x x3x
Passo 03: Assim, as linhas "1 e 1" e "1 e 11" formam os fatores, ou seja, 
x6x+12x3x+11 = (:
+12x3x
Exemplo Resolvido 237: Fatore x6x +12x3x
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Note que os divisores naturais de 11 são 1 e 11, então temos uma 
combinação da direita (1 e 11). Para a esquerda só temos (1 e 1).
Passo 02: Vamos efetuar o produto, notando que ele é positivo, e somar os 
resultados, veja que é conveniente usar os termos positivos devido ao fato de 
o termo central ser positivo:
x6x
F a t o r a ç ã o230 6
b) Se P(a) = 0 , então x - a é fator de P(x). (Volta),
Passos 02: Vamos efetuar o produto, notando que ele é negativo, e somar os 
resultados:
(*) Observação: Para mais detalhes, consulte um livro sobre divisão de 
polinômios.
No quinto critério veremos como fatorar polinômios do 3o grau. Usaremos o 
teorema do fator ou das raízes racionais e a cruzadinha simples.
Observação: Para mais detalhes, consulte um livro sobre divisão de 
polinômios.
xm
xm
+ 3yn).
Demonstração (opcional):
Note que, se x - a é fator, então podemos escrever: 
0
P(x) = (x-a)-q(x) => P(a) = (a-a)-q(a) => P(a) = 0.
Seja P(x) = an xn+an_1x' 
temos:
a) Se x - a é fator de P(x), então P(a) = 0 . (Ida).
6.6) Teorema do Fator ou das Raizes Racionais
:n-1 +---+a1 ■ x + a0 um polinômio de grau n. Então
-2xmyn -15y2n
—5yn <= linha "1 e-5" 
3yn <= linha "1 e 3"
-2xmyn-15y2n =(xm-5yn)(xm
Passo 03: Logo, as linhas "1 e - 5" e "1 e 3” formam os fatores, ou seja, 
x2m
x2m
Demonstração (opcional):
Pelo algoritmo da divisão (*), temos:
0
P(x) = (x - a) q(x) +r(x) => P(a) = (a - a) • q(a) +r(a) r(a) = 0.
Assim, se o resto é ZERO, então P(x) é divisível por q(x) e portanto x - a é fator 
de P(x), ou seja, P(x) = (x - a) q(x).
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 231
Note quede a, então temos: a =
1)
2)
3)
Passo 03: Usamos a cruzadinha simples.
Exemplo Resolvido 239: Fatore 3x3 -2x2 -7x-2.
Seguiremos os seguintes passos:
Passo 01: Usar o teorema do fator ou das raizes racionais.
Passo 02: Como x - a é um fator e o polinômio é do 3o grau, então o outro fator 
é do 2o grau. Para encontrá-lo podemos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para 
divisão de polinômios ou usar o artificio abaixo.
Artificio: Utilizamos a identidade de polinômios para obter o outro fator, veja 
os exemplos para ficar mais claro.
Observação: Como o dispositivo de Briot-Rufinni é usado para divisão de 
polinômios e esse assunto foge aos objetivos desse livro, então iremos usar o 
artificio em todas as fatorações de polinômios de 3o grau por esse critério.
qualquer divisor de a0 
qualquer divisor de an
Teorema das Raizes Racionais
Considere ainda P(x) = an• xn +3,^ -xn'1 + •■• + a1 • x + a0 .
O Teorema das Raizes Racionais garante que, se essa equação admite o 
como raiz (com p e Z, qe7/ e mdc(p,q) = 1, então a0 é
Observações:
O teorema das raízes racionais não garante que o polinômio tenha raizes 
racionais, mas caso existam, o teorema permite identificar todas as 
raizes da equação;
Se an =1 e os outros coeficientes são todos inteiros, o polinômio possui 
apenas raizes inteiras.
Se q = 1 e o polinômio admite raizes racionais, estas são inteiras e 
divisoras de a0 .
6.7) Fatorando Polinômios do 3o grau
Vamos fatorar polinômios do 3o grau, usando o teorema do fator e a cruzadinha 
simples de uma variável.
número racional -
q
divisível por p e an é divisível por q.
Se chamarmos -
q
esse "a" é o mesmo do x - a acima.
6 F a t o r a ç ã o232
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
a =
2x3 +3x2 -4x-6
Passo 03: Usando a cruzadinha simples, para fatorar o termo do segundo grau, 
temos: 3x3 -2x2 -7x-2 = (x + 1)(x-2)(3x + 1).
ax2 + bx
Exemplo Resolvido 240: Fatore 2x3 + 3x2 -4x - 6
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Usando o teorema das raízes racionais, temos que
±1, i 2, ± 3, ± 6
±1, ± 2
Passo 02: Por identidade de polinômios, encontramos facilmente os valores de 
a, b e c:
3x3 -2x2 -7x-2 = ax3 +(a + b)x2 +(b + c)x + c
|a - 3|, a + b = -2 => 3 + b = — 2 => |b = —5|, |c — —2|.
Logo, temos: 3x3 -2x2 -7x-2 = (x + 1)^3x2 -5x-2).
3
Assim, por inspeção, temos que -- é raiz, logo podemos escrever:
i1, i 2
Passo 01: Usando o teorema das raizes racionais, temos que a = $
1 2Portanto, podemos ter como raizes: ±1, ±2, ±- e ± - . Assim, por inspeção,
temos que -1 é raiz, logo podemos escrever:
3x3 -2x2 -7x-2 = [x-(-1)](ax2 +bx + cj
=> 3x3 - 2x2-7x-2 = (x + 1)(ax2+bx+ c)
=> 3x3 - 2x2 - 7x - 2 = ax3 + bx2 + cx + ax2 + bx + c
=> 3x3 -2x2 - 7x-2 = ax3 +(a + b)x2 + (b + c)x + c .
1 3
Portanto, podemos ter como raízes: ±1, ± 2, ± 3, ± 6, ± - e ± - .
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 233
E
,2m ,m
Logo, temos:
E = 2x3 + 3x2 - 4x - 6
Passo 03: Usamos a cruzadinha simples, para fatorar o termo do segundo 
grau.
Passo 02: Por identidade de polinômios, encontramos facilmente os valores de 
a, b e c:
2x3 +3x2 - 4x-6 = ax3 + 3c
2
3c
2
3c
2
-2)
= ^x + |](2x2-4)
. 2x3 + 3x2-4x-6 = (2x + 3)íx2-2j
+ bx + c)
3b
2 + ~
2x3 +3x2 -4x-6 = ^x + |j(ax2
2x3 + 3x2 - 4x - 6 = ax3 + bx2
=> E = ^x + |V(x2
|a = 2|, — + b = 3 => 3 + b = 3 => |b = o|, ------ 2 ------
xm + bxm
3a 2 3b + cx + — x + — x + — 
2 2 ~
2x3 + 3x2-4x-6 = ax3 + + b^x2 + + c^
-9xm-9.
+ 3^ax2m +bxm +c) => 
bx2m + cxm + 3ax2m + 3bxm
+ (3a + b)x2m +(3b + c)x'
3c 
:m + 3c.
Exemplo Resolvido 241: Fatore 8x3m +22x2m
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Usando o teorema das raizes racionais, temos que
±1, ± 3, ± 9 a =---------------
+1,i2, + 4,±8
Portanto, podemos ter como raizes:
±1, ±3, ±9, ± —, ± —, ± — ± i, ± —, + —+ —,+ — e ±—.
22244488 8
Assim, por inspeção, temos que 3 é raiz, logo podemos escrever: 
8x3m+22x2m-9xm-9 = í:
8x3m + 22x2m - 9xm - 9 = ax3m +
=> 8x3m + 22x2m - 9xm - 9 = ax3m
Fatoração234 6
!m
-2x
Passo 04: Cada linha forma um fator.
Passo 02: Aplica-se cruzadinha simples para o trinômio Cy2 +Ey+ F .
Passo 03: Aplica-se cruzadinha simples para os extremos, para a verificação 
do termo Dx, não utilizado.
Observação: Sempre se deve colocar o polinómio a ser fatorado em ordem 
decrescente de expoente, e, se faltar algum termo, completar com zeros.
Para fatorá-la, vamos realizar 4 passos, a saber:
Passo 01: Aplica-se cruzadinha simples para o trinômio Ax2 + Bxy + Cy2.
No sexto critério, veremos a chamada "cruzadinha dupla", é como se fosse uma 
generalização da cruzadinha simples, é muito eficaz para fatorar expressões 
com duas variáveis.
-3)(2x2m +lj(4x'
6.8) Cruzadinha Dupla
Esse quinto critério, denominado "cruzadinha dupla", é uma ferramenta 
fortíssima que usa soma e produto para encontrar os trinômios que serão os 
fatores Não se esqueça das regras de sinais:
“(+)•(+)=+; (-)■(-) = + ; (+)(-)=-"•
= (xm
Passo 03: Usando a cruzadinha simples, para fatorar o termo do segundo grau, 
temos.
8x3m + 22x2m
Logo, temos: 8x3m + 22x2m
Passo 02: Por identidade de polinômios, encontramos facilmente os valores de 
a, b e c:
8x3m +22x2m -9xm - 9 = ax3m +(3a +b)x2m +(3b + c)xm +3c
|a = 8|, 3a+b = 22 => 24 + b = 22 => |b = -2|, 3c = -9 => |c = -3|.
= íxm-3](8x2m-2xm-3).
:m-3).
-9xm -9
-9xm -9
A forma geral, para que tenhamos uma "cruzadinha dupla”, é.
2 variáveis simples: f (x) = Ax2 + Bx -y + Cy2 +Dx + Ey + F
2 variáveis generalizada: f (x) = Ax2m + Bxm • yn + Cy2n + Dxm + Eyn + F
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 235
A operação (a, x)(c2 -y) + (a2 •x)(c1 -y) deve resultar no termo xy.
As operação (c2 •y)-(f1) + (c1-y)-(f2) deve resultar no termo y.
As operação (arx)-(f2)+(a2 x)-(f1) deve resultar no termo x.
Veja o esquema abaixo:
2 Variáveis Simples
Exemplo Resolvido 242: Fatore x2 -4xy + 4y2 + 3x-6y .
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Aplica-se cruzadinha simples para o trinômio xz -4xy + 4y2 .
Í1
f2
Ax2 + |Bxy| + Cy2 + Dx + [Êy] + F
cvy 
a2 • x c2 • y f2
Ax2 + Bx ■ y + Cy2 + [Px] + Ey + F 
a1 • x 
a2 ■ x
2 Variáveis Generalizada
Ax2m + |Bxm ■ yn| + Cy2n + Dxm + |Ê/] + F 
an xm c, • yn fi
a2 ■ xm c2 • yn f2
Ax2m + Bxm ■ yn + Cy2n + |pxm| + Eyn + F 
aixm f,
a2-xm f2
A operação (a, xm)(c2 yn) + (a2 xmyn) deve resultar no termo xm • yn. 
A operação (c2 ■ynj (f1) + (c1 yn) (f2) deve resultar no termo yn .
A operação (a1 ■ xm j (f2) +^a2 ■ xm j (f,) deve resultar no termo xm.
236 6 Fatoração
x
Ou seja, x2 -4xy + 4y2 +3x-6y = (x-2y)(x-2y + 3).
Exemplo Resolvido 243: Fatore x2 +xy-12y2 + 8x + 11 y + 15 .
Passo 02: Aplica-se cruzadinha simples para o trinômio -12y2 +11y +15.
Passo 03: Aplica-se cruzadinha simples para os extremos, para a verificação 
do termo 3x , não utilizado.
Passo 04: Cada linha forma um fator:
x2 - 4xy + 4y2 + 3x - 6y + 0
x -2y 0 «= linha
x -2y 3 e= linha
x2 +3x + 0
x 0
x 3
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Aplica-se cruzadinha simples para o trinômio x2 + xy -12y2 .
x2 +xy-12y2
x 4y
X -3y
Passo 02: Aplica-se cruzadinha simples para o trinômio 4y2 - 6y + 0 .
4y2 - 6y + 0
-2y 0
-2y 3
x2 -4xy+ 4y2
x -2y
-2y
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 237
Ou seja, x2 + xy-12y2 + 8x + 1 1 y + 15 = (x + 4y + 3)(x-3y + 5).
Passo 03: Aplica-se cruzadinha simples para os extremos para, a verificação 
do termo 8x , não utilizado.
Passo 03: Aplica-se cruzadinha simples para os extremos, para a verificação 
do termo 8x2, não utilizado.
Passo 04: Cada linha forma um fator:
x2 + xy -12y2 + 8x +11 y +15
x 4y 3 «= linha
x -3y 5 <= linha
x2 + 8x + 15
x 3
x 5
Exemplo Resolvido 244: Fatore 2x4 +17x2y2 +21 y4 + 8x2 + y'
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Aplica-se cruzadinha simples no trinômio 2x4 +17x2y2 +21 y4.
2x4 +17x2y2 +21y4
2x2 3y2
x2 7y2
-12y2 +11y +15
4y 3
-3y 5
Passo 02: Aplica-se cruzadinha simples para o trinômio 21 y4 +y2 -10 .
21y4+y2-10
3y2 -2
7y2 5
’2 -10.
238 6 Fatoração
Para fatorá-la, vamos realizar 4 passos, a saber:
Passo 04: Cada linha forma um fator.
Passo 03: Aplica-se cruzadinha simples com o resultado do passo 02, para a 
verificação dos termos ainda não utilizados.
Passo 02: Fazemos a diferença entre o termo central e o resultado já 
contabilizado do passo 01.
O próximo critério é a chamada “cruzadinha dupla especial”, uma interessante 
ferramenta para fatorar polinõmios do quarto grau.
Passo 01: Aplica-se cruzadinha simples para os coeficientes extremos. Nessa 
aplicação já iremos contabilizar uma parte do termo central.
2x4 + 8x2 -10
2x2 -2
x2''' *' 5
Ou seja,
2x4 + 17x2y2 +21 y4 +8x2 +y2 -10 = (2x2+ 3y2 -2)(x2 +7y2 +õ).
+ 8x2-10
-2 <= linha
■*. 5 <= linha
Passo 04: Cada linha forma um fator: 
2x4 +17x2y2 +21 y4 
2x2 3y2
x2 7y2 '■
6.9) Cruzadinha Dupla Especial:________________________________________
Nesse critério, denominado“cruzadinha dupla especial", aprenderemos a 
fatorar polinõmios de quarto grau e usaremos as fatorações anteriores também, 
mas com uma pequena diferença. Não se esqueça das regras de sinais:
“(+)•(+)=+; (-)■(-)=+; (+)(-)=-”■
+y2
A forma geral, para que tenhamos uma "cruzadinha dupla especial”, é: 
1 variável simples : f (x) = Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
1 variável generalizada : f (x) = Ax4m + Bx3m + Cx2m + Dxm + E
Observação: Sempre colocar o polinômio a ser fatorado em ordem 
decrescente de expoente e, se faltar algum termo, completar com zeros.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 239
Cx2 + Dx + E
será o termo central de
+ Dxm + E
Dxm + E
,2m
= Cx' será o termo central dee2 + a2 ■ x'
rvx 
r2x
el 
e2
ei
e2
-(a, -x'
ei)
Veja o esquema abaixo: 
1 Variável Simples
Ax4 + Bx3 - 
a, • x2 ——— 
a2 ■ X2 —--------
:2m).(e2) + (a2-x: 
A operação Rx2m = Cx2m - (a-, 
referência para a cruzadinha simples.
+ Bx' 
a,■x2m 
a2 x2m
x2 e2 + a2 • x2
Rx2m 
l 
+ Rx2m 
q ■ xm 
r2 ■ xm
•* e, 
e2
Rx2 = Cx2 - (a, 
I
Ax4 + Bx3 + Rx2 + Dx + E 
a, ■ X2 
a2 -x2
+ Bx3m 
a,x2m 
a2 X2m
Ax4m
1 Variável Generalizada
Ax4m
ei
e2
= Cx2m
A operação (ad x'
,2m
2m o j.a y 
•C2 ~ Q2 ' *
:2mj (e1) será parte do termo x' 
■x2m e2+a2 x2m e1)
A operação (a! ■ x2 j-(e2) + (a2 • x2 j ■ (e,) será parte do termo x2 .
A operação Rx2 = Cx2-(a! • x2 ■ e2 + a2 • x2 ■ e^ 
referência para a cruzadinha simples.
Aoperação -x2)(r2 • x) + (a2 ■ x2)(rt ■ x) deve resultar no termo x3.
A operação (r2 ■ x) ■ e, + • x) ■ e2 deve resultar no termo x.
240 F a t o r a ç ã o6
,2m,2m
x2
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Aplica-se cruzadinha simples para os coeficientes extremos. Nessa 
aplicação já iremos contabilizar uma parte do termo central.
Passo 02: Fazemos a diferença entre o termo central e o resultado já 
contabilizado do passo 01.
Exemplo Resolvido 246: (IME - Modificada) Fatore 
x4 - 2x3 -11 x2 +18x +18 .
Exemplo Resolvido 245: Fatore x4 - 6x3 + 5x2 + 4x -4 .
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Aplica-se cruzadinha simples para os coeficientes extremos. Nessa 
aplicação já iremos contabilizar uma parte do termo central.
Passo 02: Fazemos a diferença entre o termo central e o resultado já 
contabilizado do passo 01.
Passo 03: Aplica-se cruzadinha simples com o resultado do passo 02, para a 
verificação dos termos ainda não utilizados.
x4 -6x3 +5x2 +4x-4
Passo 04: Cada linha forma um fator, ou seja, 
x4 -6x3 +5x2 + 4x-4 = (x2 -4x-4)(x2 -2x + lj.
A operação (a, • x'
A operação (r2 • xm > ■ e-| +
1
—>Rx2 =5x2-(x2-1 + x2(-4)J
=> Rx2=5x2+3x2 => Rx2 = 8x2
l
x4 -6x3 + 8x2 +4X-4
x2 _4x -4 <= linha
x2 -2x 1 <= linha
)(r2 xm) + (a2 x2m)(ri xm) deve resultar no termo x3m 
(rd ■ xm) ■ e2 deve resultar no termo xm.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 241
=> Rx2 = -11 x2 +11 x2
Exemplo Resolvido 247: (IME - Modificada) Fatore 
x4 -12x3 +44x2 -32X-52.
<= linha
<= linha
Passo 03: Aplica-se cruzadinha simples com o resultado do passo 02, para a 
verificação dos termos ainda não utilizados.
x4 - 2x3 -11 x2 +18X+18
x2
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Aplica-se cruzadinha simples para os coeficientes extremos. Nessa 
aplicação já iremos contabilizar uma parte do termo central.
Passo 02: Fazemos a diferença entre o termo central e o resultado já 
contabilizado do passo 01.
Passo 03: Aplica-se cruzadinha simples com o resultado do passo 02. para a 
verificação dos termos ainda não utilizados.
X4 -12x3 +44x2 -32X-52
X2
x2
———* -9
--------*. -2
Rx2 = -11 x2 - (x2 ■ (-2) + x2 ■ (-9)]
Rx2 = Ox2
l
x4 - 2x3 + Ox2 +18x +18
x2 Ox -9
x2 -2x-^><^ -2
-2
26
Rx2 = 44x2 - (x2 (-2) + x2 ■ 26)
24 x2
Passo 04: Cada linha forma um fator, ou seja. 
x4 - 2x3 -11 x2 +18x +18 = (x2 - 9)(x2 - 2x - 2).
6 Fatoração242
=> Rx2 = 44x2 — 24x2
No próximo critério iremos fatorar polinômios do 5° grau. Usaremos o teorema 
do fator ou das raizes racionais e a cruzadinha dupla especial.
<= linha
<= linha
Exemplo Resolvido 248: Fatore x4 -4x3 +16x2 + 40x + 52 .
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Aplica-se cruzadinha simples para os coeficientes extremos. Nessa 
aplicação já iremos contabilizar uma parte do termo central.
Passo 02: Fazemos a diferença entre o termo central e o resultado já 
contabilizado do passo 01.
Passo 03: Aplica-se cruzadinha simples com o resultado do passo 02, para a 
verificação dos termos ainda não utilizados.
x4 -4x3 +16x2 +40X + 52
x2
Rx2 =20x2
X4 -12x3 l-20x2 -32x -52
x2 f -2x t »• -2 <= linha
x2 -10x26 <= linha
____ —► 2
26
Rx2 =16x2 -(x2 -2 + x2 -26)
28x2
Rx2 = -12x2
l
x4 -4x3 -12x2 +40X + 52
x2 2x 2
x2 -6x 26
Passo 04: Cada linha forma um fator, ou seja, 
x4 - 4x3 +16x2 + 40x + 52 = (x2 + 2x + 2)(x2 - 6x + 26).
Passo 04: Cada linha forma um fator, ou seja, 
x4 -12x3 + 44x2 - 32x - 52 = (x2 - 2x - 2)(x2 -1 Ox + 2ô).
=> Rx2 =16x2-28x2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 243
Passo 03: Usamos a cruzadinha dupla especial.
Exemplo Resolvido 249: Fatore 2x5 + x4 -16x3 - 8x2 + 30x + 15.
. Portanto, podermos ter como raizes:a =
:x2 + dx + ej
Seguiremos os seguintes passos:
Passo 01: Usamos o teorema do fator ou das raizes racionais.
Passo 02: Como x - a é um fator e o polinômio é do 5o grau, então o outro fator 
é do 4o grau. Para encontrá-lo podemos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para 
divisão de polinômios ou usar o artificio abaixo.
Artificio: Utilizamos a identidade de polinômios para obter o outro fator, 
vejamos os exemplos para ficar mais claro.
Observação: Como o dispositivo de Briot-Rufinni é usado para divisão de 
polinômios e esse assunto foge aos objetivos desse livro, então iremos usar o 
artificio em todas as fatorações de polinômios de 5o grau por esse critério.
e
2
e
2
= ax5+bx4
= ax5
6.10) Fatorando Polinômios do 5o grau
Vamos fatorar polinômios do 5o grau, usando o teorema do fator e a cruzadinha 
dupla especial.
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Usando o teorema das raizes racionais, temos que 
±1, ± 3, ± 5, ± 15 
±1,±2
:x3 + dx2 + ex + - x4 + - x3 + - x2 + -
2 2 2 2
=> 2x5 + x4 -16x3 -8x2 +30X + 15
Í£ + bV+fÈ + c
12 J V2
= (x + ? j(ax4 +bx3
=> 2x5+ x4-16x3-8x2+30X + 15 =
±1, + 3,±5±15,±-1,±|,±| e . Assim, por inspeção, temos que é 
raiz, logo podemos escrever: 
2x5 + x4 -16x3 -8x2 + 30X + 15
244 Fatoração6
:x2 +dx + e)
Passo 03: Usamos a cruzadinha dupla especial, para fatorar o termo do quarto 
grau.
2x5 + x4 -16x3 -8x2 +30X + 15
:x2 + dx + e
= (x + £)(2x4 -16x2 +3o) 
2x5 + x4 -16x3 - 8x2 + 30x + 15 = íx + ^2 • (x4 - 8x2 +1 õ) 
2x5 + x4 -16x3 - 8x2 + 30x +15 = (2x + 1)(x4 - 8x2 +15).
Passo 02: Por identidade de polinõmios, encontramos facilmente os valores de 
a, b, c, d e e:
I---------- g ._ K ___ ____ .
a = 2, - + b = 1 => |b = 0|. => - + c = -16 => |c = -16.----- 2 ------ 2 ---------
— + d = —8 => —----- + d = —8 => |d = 01, => — — 15 => |e = 30 [.
2 2 1-------- 1 2 '----------
Logo, temos:
2x5 + x4 -16x3 -8x2 +30x + 15 = ^x + ^(2x4 -16x2 +30) 
2x5 + x4 -16x3 - 8x2 + 30x +15 = ^x + ^2 • (x4 - 8x2 +1 õ) 
2x5 + x4 -16x3 -8x2 + 30x + 15 = (2x + 1)(x4 -8x2 +15).
2 4±- e ±- . Assim, por inspeção, temos que -1 é±1,±2,±3,±4,±6,±12,±i,
raiz, logo podemos escrever:
3x5 - 5x4 -13x3 +19x2 +12x -12 = (x + 1)(ax4 + bx3
=> 3x5-5x4-13x3+19x2 + 12x-12 =
= ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + ax4 + bx3 + c:
3x5-5x4-13x3 +19x2 +12X-12
= ax5+(a+ b)x4 +(b+ c)x3 + (c + d)x2 + (d+ e) x + e.
Exemplo Resolvido 250: Fatore 3x5 -5x4 -13x3 +19x2 +12X-12.
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Usando o teorema das raizes racionais, temos que
±1 ±2 ±3 ±4+6 ±12a = —-———j. Portanto, podermos ter como raizes:
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 245
. Portanto, podermos ter como
raizes:
-2dx
-2e
Passo 02: Por identidade de polinômios, encontramos facilmente os valores de 
a, b, c, d e e:
|a = 3|, a + b = -5 => |b = —8|, => b + c = -13 => |c = —5|.
c + d = 19 =5 -5+d=19 => |d = 24|, |e = -12lLogo, temos:
2xs + x4 -16x3 - 8x2 + 30x +15 = (x + 1)(3x4 - 8x3 - 5x2 + 24x -12).
Passo 03: Usamos a cruzadinha dupla especial, para fatorar o termo do quarto 
grau.
Passo 02: Por identidade de polinômios, encontramos facilmente os valores de 
a, b, c, d e e:
|a = 6|, b-2a = -29 => b-12 = -29 => |b = -17|, c - 2b = 12
=> c-2 (-17) = 12 => c + 34 = 12 => |c = -22|.
d-2c = 107 => d-2 (-22) = 107 => d + 44 = 107 => |d = 63|,
-2e = 36 => |e = -18|.
+ dxm+ cx2m
=> 6x5m
3 4 9
±—,±— e ±- . Assim, 
2 3 2
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Usando o teorema das raízes racionais, temos que
3_±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
±1, ± 2, ±3, ±6
Exemplo Resolvido 251: Fatore
6x5m - 29x4m +12x3rn +107x2m -144xm + 36 .
1112 3±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 9, ± 12, ± 18, ± 36, ±—,±—,±—,±—,± —
2 3 6 3 2
por inspeção, temos que 2 é raiz, logo podemos escrever: 
6x5m - 29x4m +12x3m +107x2m -144xm + 36 =
= (xm -2j(ax4m +bx3m +cx2m +dxm +e) 
-29x4m +12x3m +107x2m -144xm + 36 = ax5m + bx4m + 
+ cx3m + dx2m + exm - 2ax4m - 2bx3m - 2cx2m - 2dxm - 2e 
=> 6x5m - 29x4m +12x3m +107x2m - 144xm + 36 =
= ax5m + (b - 2a) x4m + (c - 2b) x3m + (d - 2c) x2m + (e - 2d) xm
246 Fatoração6
A forma geral, para que tenhamos uma "cruzadinha tripla”, é:
Passo 02: Aplica-se cruzadinha simples para o trinômio Cy2 + Eyz + Fz2.
Passo 03: Aplica-se cruzadinha simples para o trinômio Fz2 + Pz + Q .
Passo 04: Verificam-se os termos que não foram usados.
Passo 05: Cada linha forma um fator.
Para fatorá-la, vamos realizar 5 passos, a saber:
Passo 01: Aplica-se cruzadinha simples para o trinômio Ax2 + Bxy + Cy2.
3 Variáveis Simples:
f (x) = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dxz + Eyz + Fz2 + Mx + Ny + Pz + Q
Passo 03: Usamos a cruzadinha dupla especial, para fatorar o termo do quarto 
grau.
3 Variáveis Generalizada:
f (x) = Ax2r + Bxrys + Cy2s + Dxrz‘ + Eysz‘ + Fz21 + Mxr + Nys + Pz‘ + Q
Agora veremos a chamada “cruzadinha tripla", uma fatoração para três 
variáveis fortíssima que segue o mesmo raciocínio das fatorações anteriores, 
vamos conhece-la!
6.11) Cruzadinha Tripla __________________
Esse sétimo critério, denominado "cruzadinha tripla”, é uma fatoração pouco 
usada, veremos como utilizá-la. Não esqueça das regras de sinais:
“(+)•(+)=+; (-)■(-)=+; (+)■(-)=-"•
-17x3m
Logo, temos: 
6x5m -29x4m + 12x3m 
= (xm - 2)(6x‘,m
Observação: Sempre colocar o polinômio a ser fatorado em ordem 
decrescente de expoente e, se faltar algum termo, completar com zeros.
+107x2m - 144xm + 36 = 
-22x2m + 63xm -18 )
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 247
A operação (a, ■ x) ■ (c2 ■ y) + (a2 • x) ■ (c, ■ y) deve resultar no 2o termo.
A operação (c2 • y) ■ (t, ■ z) + (c-] ■ y) ■ (f2 ■ z) deve resultar no 5° termo.
A operação z)-(q2) + (f2 ■z) (q1) deve resultar no 9o termo.
Verifique se a operação (a! • x) (f2 z) + (a2 - x) - (f, z) resulta no 4o termo.
Verifique se a operação (c2 ■ y) ■ (q4) + (c1 ■ y) • (q2) resulta no 8o termo.
Verifique se a operação (a-j ■ x) ■ (q2) + (a2 ■ x) ■ (q1) resulta no 7° termo.
f,-z 
f2 z.
92
+ 9i
► 92
♦ 9i
* 92
cvy
C2 y
3! • x
32- X
a,x
32 X
Passo 02: Aplica cruzadinha simples para o trinômio -2y2 + 7yz-6z2 .
-2y2 +7yz-6z2
-2y 3z
Exemplo Resolvido 252: Fatore 
x2 - xy - 2y2 + xz + 7yz - 6z2 - x + 5y - 8z - 2. 
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Aplica cruzadinha simples para o trinômio x2 - xy - 2y2 .
x2 - xy - 2y2
X^t>r -2y 
x-' -* y
Veja o esquema abaixo:
Axz +{Bxy)-r Cy2 + Dxy i{Eyz)+ Fz2 + Mx 4 Ny +(P^- Q
cry f,z
C2y f2 Z
Ax2 + Bxy -r Cy2 +(Dxy)- Eyz 4- Fz2 y\ Pz - Q
a1 -x
32- x
Fatoração248 6
Passo 04: Verifica-se os termos que não foram usados.
Passo 04: Verificam-se os termos que não foram usados.
Passo 05: Cada linha forma um fator, ou seja, 
15x2 + 14xy - 49y2 - 46xz + 42yz +16z2 + 32x + 56y - 74z + 9 = 
= (3x + 7y - 8z + 1)(5x-7y-2z + 9).
Passo 05: Cada linha forma um fator, ou seja, 
xz - xy-2y2 + xz + 7yz-6z2 - x + 5y-8z-2 = (x + y-2z-2)(x-2y + 3z + 1)
Passo 03: Aplica-se cruzadinha simples no trinômio 16z2 -74z + 9 .
16z2 -74z + 9
-8z^t>r 1
-2z 9
Passo 02: Aplica-se cruzadinha simples no trinômio -49y2 + 42yz + 16z2.
-49y2 +42yz + 16z2
7y -....j.,,»' -8z
-7y -2z
Passo 03: Aplica cruzadinha simples para o trinômio -6z2 - 8z-2 .
-6z2 -8z-2
3z 1
-2z -2
Exemplo Resolvido 253: Fatore
15x2 +14xy-49y2 -46xz + 42yz +16z2 +32x + 56y-74z + 9 .
Resolução: Vamos resolver passo a passo:
Passo 01: Aplica-se cruzadinha simples no trinômio 15x2 +14xy - 49y2 .
15x2 +14xy -49y2
3x 7y
5x -7y
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍAOAS 249
Problemas Propostos
Questão 6.59 (Turquia-2005-Modificada)
Fatore x3 - 6x2 + 5 .
Questão 6.60 (Turquia-2009-Modificada)
Fatore x3 + 4x2 - x -10 .
Questão 6.62_________
Fatore x3 +4x2 + x + 4.
Questão 6.63_______
Fatore 3x3 + 7x2 - 4.
Questão 6.65 (Canadá-1996-IVlodificada)
Fatore 2x3 + 9x2 - 6x - 5.
Questão 6.61_________
Fatore x3 + 4x2 - x - 4 .
Questão 6.64__________
Fatore x3 + 2x2 - 5x - 6 .
Questão 6.66_______________
Fatore 4x3 - 24x2 + 35x -12.
Questão 6.67 (AHSME--|954-Modificada) 
Fatore x3 + 6x2 +11x + 6 .
Questão 6.68 (AHSIVIE-1954-IVIodificada) 
Fatore 4x3 - 8x2 - 63x - 9 .
250 6 Fatoração
Questão 6.80
Fatore x2 + 2xy + y2 - 3x - 3y - 4 .
Questão 6.79______________________
Fatore 8x2 +10xy + 3y2-9y-14x + 6 .
Questão 6.69 (AHSME-1980-IVIodificada)
Fatore 8x3 - 4x2 - 42x + 45.
Questão 6.78_____________________
Fatore -3x2 - 7xy - 2x - 2y2 - 9y + 5.
Questão 6.77
Fatore 2x2 - xy - 5x - 3y2 + 20y - 25.
Questão 6.72
Fatore 6x3 +7x2 +13x + 2 .
Questão 6.76 (Espanha-2003-Modificada)
Se a é uma raiz de x3 + 2x2 +10x + 20 = 0. Mostre que a2 é um número par.
Questão 6.73
Fatore x3 + 3x2 + 3x - 7.
Questão 6.75
Fatore x3 + 4x2 -15x -18 .
Questão 6.70 (Stanford-2008-Modificada)
Fatore x3 - 2x2 - 2x + 4 .
Questão 6.71
Fatore x3 -2x2 -x + 2 .
Questão 6.74
Fatore x3 + x2 - 2 .
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 251
Questão 6.83
Fatore 3x2 -22xy -17x-16y2 -20y-6 .
Questão 6.81
Fatore 4x2 + 4xy -15y2 - 8x + 76y - 96 .
Questão 6.88 (Bósnia-2004-Modificada) 
Fatore x4 - 56x +15 .
Questão 6.89 (Putnam-2001-Modificada)
Fatore x4-(2n-4)x2 +(n-2)2.
Questão 6.85
Fatore 7x2 + 22xy +13x + 3y2 - y - 2 .
Questão 6.84
Fatore 7x2 - 22xy + 41x + 3y2 - 23y + 30 .
Questão 6.86
Fatore -3x2 - xy + 5x + y-2 .
Questão 6.82
Fatore 10x2 + xy - 33x - 2y2 +15y - 7 .
Questão 6.87
Fatore 18x2 + 43xy + 24y2 +27x + 24y .
Questão 6.90 (Turquia-2001-Modificada) 
Fatore x4 + 3x3 + 5x2 + 21 x -14 .
Questão 6.91 (Turquia-2004-Modificada)
Fatore x4 - 4x3 + 5x2 - 4x +1.
252 6 F a t o r a ç ã o
Questão 6.102 (Harvard/MIT-2006-Modificada)
Fatore x4 - 6x3 + 26x2 - 46x + 65 .
Questão 6.93
Fatore x4 + 2x3 -16x2 - 2x +15 .
Questão 6.92 (Turquia-2009-Modificada)
Fatore x4 + 2x3 - 8x2 - 6x +15 .
Questão 6.94 (Turquia-2009-Modificada)
Fatore n4 + 4n3 + 3n2 - 2n + 7.
Questão 6.95 (Turquia-2012-Modificada)
Fatore x4-7x3 + 14x2-14x + 4 .
Questão 6.97 (Turquia-2013-IVIodificada)
Fatore n4 + 2n3 - 20n2 + 2n - 21.
Questão 6.103 (Stanford-2013-Modificada)
Fatore x4 - x3 - 5x2 + 2x + 6 .
Questão 6.101
Fatore 3x4 + 4x2 + 28x + 5.
Questão 6.100
Fatore x4 + 6x2 + 25 .
Questão 6.99 (AHSME-1955-Modificada)
Fatore x4 + 2x2 + 9 .
Questão 6.98 (AHSME-1950-Modificada)
Fatore x4 - 7x3 + 14x2 - 8x .
Questão 6.96 (Turquia-2013-Modificada)
Fatore x4 -8x3 + 13x2 - 24x + 9 .
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 253
Fatore
- x'
Questão 6.108
Fatore 3x4 - 8x3 + 3x2 + 22x - 24 .
Questão 6.105
Fatore 6x4 - x3 +17x2 - 3x - 3 .
Questão 6.104 (Stanford-2010)
Determine as raizes de 6x4 +17x3+7x2-8x-4 = 0.
Questão 6.109
Fatore 15x4 + 44x3 + 7x-6.
Questão 6.106 (Stanford-2002)
Fatore o polinômio x4 - x3 - 5x2 + 3x + 6 .
Questão 6.110
Fatore x4 -27x2 -14x + 120 .
Questão 6.112
Fatore x4 + x3 + 2x2 + x +1.
Questão 6.113
Fatore x4 - 5nx3 + 4n2x2 + 7n3x - 3n4 .
Questão 6.114
Fatore 2x4 -3nx3 -7n2x2 -5n3x-3n4 .
Questão 6.115
Fatore 2x4 - 9x3 + 6x2+ 20x - 24 .
Questão 6.107 (CN - 2004 - Modificada) 
x2(x2 +13)-6x(x2 +2) + 4.
Questão 6.111
Fatore x12n-''9n + 2x6n - x3n +1.
254 6 Fatoração
Questão 6.125 (Turquia-2002-Modificada) 
Fatore a5 + 5a4 +1Oa3 + 2a2 -11a - 7 .
Questão 6.122 (Brasil-1995-Modificada)
Fatore x5 - x4 - 2x3 + 2x2 - 8x + 8.
Questão 6.119
Fatore 2x4 +5x3-41 x2-149X-105.
Questão 6.121 (CN-2002 - Modificada) 
Fatore as - 5a3 + 4a .
Questão 6.120
Fatore 4x4 - 23x3 + 30x2 - 207x - 54 .
Questão 6.127 (Princeton-2006-Modificada) 
Fatore x5 +5x4 -79x3 +64x2 +60x + 144 .
Questão 6.126
Fatore -x5 - x3 + x2 +1.
Questão 6.123
Fatore x7 + x6 - 9x5 -13x4 + 8x3 +12x2 .
Questão 6.116
Fatore 2x4 - x3 + 3x2 - x +1.
Questão 6.117 (Harvard/MIT-2009 - Modificada)
Fatore x4 + 2x3 + 2x2 + 2x +1.
Questão 6.118
Fatore x4 + 2x3-13x2-14x + 24 .
Questão 6.124 (Turquia-2001-Modificada)
Fatore x5 + x4 - x3 - x2 - 2x - 2 .
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 255
Questão 6.130
Fatore 3x5 + 5x4 + 3x3 + 3x2 + 5x + 3 .
Questão 6.128 (Turquia-2011-Modificada)
Fatore x5 + x4 - 4x3 - 7x2 - 7x - 2.
Questão 6.131
Fatore x5 + 5x4 + 7x3 - x2 - 8x - 4 .
Questão 6.132
Fatore x5 - 6x4 +16x3 - 32x2 + 48x - 32 .
Questão 6.133
Fatore x5 - 6x4 + 8x3 -16x2 - 48x - 32.
Questão 6.129
Fatore 12xs - 26x4 + 6x3 +13x2 - 3x - 2 .
Questão 6.134
Fatore x2 + 3xz + 6x - 4y2 - 2yz + 8y + 2z2 +11 z + 5 .
Questão 6.135
Fatore 2x2 -5xy + 11 xz-3x + 3y2 -16yz + 6y + 5z2 +12z-9 .
Questão 6.136
Fatore -2x2 + xy + 4xz - 7x + y2 - yz - 5y - 2z2 + 7z + 4.
Questão 6.137
Fatore 2x2 + 5xz + 5x - 2y2 - 3yz - 3y + 2zz + 4z + 2.
Questão 6.138
Fatore 3x2 - xy + 8xz +4x-10y2 +17yz + 3y-3z2 +2z + 1.
256 6 Fatoração
Observação: Essas fatorações não serão demonstradas.
+ 1
+ 1
21992 _1 = (2996j2 12
-1
-1
=> 2
,249
2
-2332-1 + -Í2+ 1
1
2n+1+l).
+ 2n + l).
4
-4
Passo 02: Note que 2996 +1 é da forma: a3 + b3 .
Assim, podemos escrever:
= (2332)3 +13 => 2996 +1 = (2332
6.12) Tópicos Avançados em Fatoração
Essa parte de fatorações é bem avançada, são as chamadas Fatorações de 
Aurifeuillean. Há uma aplicação dela numa questão de olimpíada que 
certamente poucos candidatos fizeram. Vejamos então essas fatorações!
+ 1)[(2332):2996
FA1) Potências de 2.
Fatoração para a potência de 2, um pequeno detalhe diferencia uma da outra, 
confira!
24n+2
24n-2
_2332. 2996
-2n+1+l)(22n+1+
-2n+l)(22n-1
+ 1)[(2'
+ 1)(2498
+ 1)(2498 +1)[(2249):
+ l)(2498 +l)(2249 +lj(2;
= (2"8
,1992
=(2996
=(2996
= ^22n+1
= (22n’1
21992 _1 _ (2996
=(2332
_> 21992
21992
+ lV2664
Aplicação da fatoração para potência de 2.
Prove que o número 21992 -1 pode ser escrito como produto de seis inteiros 
maiores que 2248.
Resolução: Vamos resolver passo a passo.
Passo 01: Vamos usar o produto da soma pela diferença, então temos: 
21992 _1 = (2996 +^2996 _1j 
,498^
+ 1)(2498 -1)
|2-121
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 257
In = 124
+ 1
,249 -1+ 1
+ 1
3n+l).+ 13'+ 1
+ 3-5nOnde : A = 5'
e n = 2k -1.
Aplicação da fatoração para potência de 5.
(IMO-Longlist_1985) Fatore 51985 -1, como produto de três termos inteiros, 
cada um maior que 5100 .
= ^5n -l)-A B
i2n + 3 • 5n -5k (5n +l) + 5k (õn +lj + 1
Passo 03: Usando a fatoração de Aurifeuilean para o 2498 +1, temos: 
496 
4n + 2 = 498 => 4n = 498-2 => n =-----
4 
k = 2n +1 => k = 2 • 124 +1 => k = 248 +1 |k = 249|. 
24n+2
FA2) Potência de 3.
Na fatoração para a potência de 3, note que obtemos o produto de três fatores, 
bastante interessante!
j6n-3
-2125 +l)(2249
,664 _ 2332
Resolução: Usando a fatoração de Aurifeuilean, temos:
l age _______ _
5n = 1985 => n = —-— |n = 397|,
,2n-1 +3n +1)(32n-1
+ 212S+l)(2:
+ 1).
=(32n-1
= (22n+1 
24124+2 + 1 = (22' 
2498 +1 = (2249 -
Portanto temos: 
21992 _1 = (2996 
Com 2996
+ 1, B = 52n
l)(2249
,332
+ 1)(2249
' - 2n+1 + l)(22n+1 + 2n+1 +1), com n = 124 
124+1 _ 2124+1 + 1 , (22124+1 + 2124+1 + 1 j 
-2125+l)(2249 + 2125+l).
FA3) Potência de 5.
Na fatoração para a potência de 5, note que obtemos o produto de três fatores, 
abaixo temos a aplicação dela, confira!
55n-1
258 6 F a t o r a ç ã o
n = 2k-1 => 2k-1 397
+ 3-5n
A = 5'
■794-1
+
Observação: Há outras fatorações com potências maiores que 5, porém não 
serão citadas.
+ l) + 1 
+ l) + 1.
+ l) + 1 
+ l) + 1.
+ 1) + 1]’
+ 1) + 1]'
+ 5k (5n +l) + 1
-5199
= (5n
Onde : A = 52n + 3 ■ 5n - 5k (õn +1) +1,
= (5n-l)-AB => 
-1 = Í539751895
_5199
(5397
51"(5397
2k = 397 + 1 => k = — |k = 199|.
2 ----------
+ 3 5397
+ 3 - 5397
=> A = 5794 + 3 - 5397
B = 52n
B = 52n + 3 • 5n + 5k (5n +1) 
=> B = 52-397 + 3-5397 + 5199(5397 
=> B = 5794 + 3 ■ 5397 + 5199 (5397
55n-1
55n-1
i).[5
■[õ794
e n = 2k - 1.
i2n +3-5n-5k(5n+l) + 1
=> A = 52397 + 3-5397 - 5199(5397 
(5397
+ 1
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 259
Capítulo 07 - Polinômios Simétricos
Vejamos como são os casos genéricos dos polinômios simétricos.
Grau 2 e 2 Variáveis: P(x,y)
Exemplo: P(x,y) = x2 + xy + y2 é um polinômio simétrico, pois, ao trocarmos 
x por y e y por x, obteremos P(y,x) = y2 + yx + x2 =P(x,y).
Introdução
Podemos fatorar polinômios usando os polinômios simétricos ou alternados. E 
uma ferramenta bastante útil que facilita a fatoração. Vejamos como usar essa 
ferramenta.
7.1) Polinômios Simétricos
Os polinômios simétricos são aqueles que não se alteram quando trocamos 
simultaneamente qualquer par de variáveis.
Grau 4 e 3 Variáveis:
P(x,y,z) = a(x4 + y4 +z4j+b(x3y+ x3z+ xy3 + y3z + xz' 
+ c(x2y2 +
+ y2
,3) + b(x2y1 +x1y2j.
7.2) Forma de um Polinômio Simétrico
Vejamos como se comportam alguns polinômios simétrico dependendo do grau 
e da quantidade de variáveis.
Grau 1 e 2 Variáveis: P(x,y) = a(x1 +y1 j.
Grau 1 e 3 Variáveis: P(x,y,z) = a[x1 +y1 + z1 j.
= a(x2 + y2) + b(x1y1).
Grau 2 e 3 Variáveis: P(x,y,z) = a(x2 +y2 + z2) + b(x1y1 +x1z1 +y1z1].
Grau 3 e 2 Variáveis: P(x,y) = a(x3 + y
Grau 3 e 3 Variáveis:
P(x,y, z) = a(x3 +y3 + z3) + b(x2y + x2z + y2x + y2z + z2x + z2yj + c(xyz)
:3+yz3)- 
x2z2 + y2z2) + d( x2yz + xy2z + xyz2j.
260 7
,5
P7) (Volta) Se um polinômio simétrico for divisível pela soma de duas variáveis, 
então será divisível por todas as combinações das outras, ou seja, se anulará 
para a igualdade entre uma variável e o oposto de outra.
Os demais fatores serão determinados de acordo com as expressões (formas) 
cíclicas (fechadas) no sentido horário, como veremos nos exemplos.
P6) (Ida) Se um polinômio simétrico se anula para a igualdade entre uma 
variável e o oposto de outra, então se anulará para todas as combinações 
delas, ou seja, será divisível pela soma delas (x = - y => x + y = 0). Além disso 
a soma dessas duas variáveis será um fator desse polinômio.
P5) (Volta) Se um polinômio simétrico for divisível pela diferença entre duas de 
suas variáveis, então será divisível por todas as combinações das outras, ou 
seja, se anulará para a igualdade entre duas variáveis.
P4) (Ida) Se um polinômio simétrico se anula para a igualdade entre duas de 
suas variáveis, então se anulará para todas as combinações delas, ou seja, 
será divisível pela diferença entre elas (x = y => x - y = 0). Além disso a 
diferença entre essas duas variáveis será um fator desse polinômio. Os demais 
fatores serão determinados de acordo com as expressões (formas) cíclicas 
(fechadas) no sentido horário, como veremos nos exemplos.
+ xy2z2).
7.3) Propriedades dos Polinômios Simétricos
Vejamos algumas propriedades importantes dos polinômios simétricos.
P1) A soma, o produto e o quociente entre dois polinômios simétricos quaisquer 
resultam num polinômio simétrico.
P2) (Ida) Seja um polinômio simétrico P(x, y, z...) nas variáveis x e y, z Se 
P(x, y, z,...) for anulado para x = 0, então também será anulado para y = 0. 
z = 0.... e vice-versa, ou seja, ele será divisível por x por y, por z,.... Assim, se 
f>(x. y, z) for divisível por x, ele também será divisível por y e z.
P3) (Volta) Se um polinômio simétrico P(x, y, z...) for divisível porx, então será 
divisível por y, z, .. e vice-versa, ou seja, se P(x, y. z) é anulado para x = 0, 
y = 0 e z = 0. então x, y e z serão fatores.
Polinômios Simétricos
Grau 5 e 3 Variáveis:
P(x,y,z) = a(x5 + y5 + z5) + b(x4y + x4z + xy4 +y4z + xz4 + yz4j + 
+ c(x3y2 + x3z2 + x2y3 + y3z2 + x2z3 + y2z3) + 
+ d(x3yz + xy3z + xyz3) + e(x2y2z + x2yz2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 261
Passo 05: Analisamos o grau do polinômio para colocar os fatores que faltam.
,3
Resposta: (x + y)3 -x3 -y3 = 3xy (x + y).
Passo 03: Igualamos duas variáveis quaisquer para saber se a diferença entre 
elas é um fator, ou seja, x = y => x-y = 0.
Passo 04: Igualamos uma variável qualquer ao oposto de outra para saber se 
a soma entre elas é um fator, ou seja, x = - y => x + y = 0.
Para fatorar usando polinômios simétricos, vamos realizar os seguintes passos: 
Passo 01: Verifique se o polinômio é simétrico.
Passo 02: Anulamos qualquer uma das variáveis para saber se haverá 
monômios como fatores.
Passo 06: Damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para encontrar 
os coeficientes que faltam.
7.4) Fatoração por Polinômio Simétrico
Vamos aprender a fatorar polinômios, por meio dos polinômios simétricos, veja 
como é uma ferramenta interessante, bastante simples e eficaz!
Exemplo Resolvido 254: Fatore (x + y)3 - x3 - y3 .
Resolução: Vamos fatorar passo a passo:
Passo 01: Note que o polinômio é simétrico.
Passo 02: Note também que o polinômio se anula para x = 0 e, pela 
propriedade P2, se anula para y = 0, ou seja, terá os monômios x e y como 
fatores.
Passo 03: Veja que o polinômio se anula para x = - y , ou seja, x + y é fator.
Passo 04: Como o grau do polinômio é 3 e o produto também é do 3o grau, 
podemos escrever: (x + y)3 -x3 - y3 = a■ xy(x + y).
Passo 05: Por fim. damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para 
encontrar o coeficiente que falta.
Para x = 1 e y = 2 , temos:
(x + y)3-x3-y3 = a • xy(x+ y) => (1 + 2)3-13-23 =a-1-2(1 + 2) 
=> 33-13-23 = a-2-3 => 6a = 27-1-8 => 6a = 18 a = 3.
Logo (x + y)3 - x3 - y3 = 3xy (x + y).
262 7
4
+ b ■ xy .
|2a-b = 2|.
= (-1)[a-(1 + 1)-b] |2a-b = 2|.
T(-)
4a-2b = 4 => 4-4-2b = 4 => 16-4 = 2b => 2b = 12 => |b = 6|.
Assim, multiplicando a primeira equação por 2, podemos montar o sistema: 
í 2a - b = 2 
(5a - 2b = 8
Portanto, temos: 
(x + y)4_x4_y4
(x + y)4_x4_y4
Para x = 2 e y = -1, temos:
(1.(-1))4 -14 -(-1)4 = 1 ■ (-i)[a• (12 + (-1)2) + b■ 1 ■ (-1)] 
o
=> -1-1
Í4a-2b = 4 
[5a-2b = 8
Exemplo Resolvido 255: Fatore (x + y)4 - x4 - y4 .
(x + y)4-x4-y
Resolução: Vamos fatorar passo a passo:
Passo 01: Note que o polinõmio é simétrico.
Passo 02: Note também que o polinõmio se anula para x = 0 e, pela 
propriedade P2. se anula para y = 0, ou seja, terá os monômios x e y como 
fatores.
Passo 03: Como o grau do polinõmio é 4 e o polinõmio não se anula para os 
passos 01 e 02, temos que o outro fator é do 2o grau, então podemos escrever: 
(x + y)4 -x4 -y4 = xy[a(x2 +y2)
Passo 04: Por fim, damos valores ao polinõmio parcialmente fatorado para 
encontrar os coeficientes que faltam.
Para x = 1 e y = —1, temos:
(jH-1))4 -14 -(-1)4 = 1 • (-1)[a • (l2 + (-1)2) + b • 1 • (-1)] 
ò
=> -1-1 = (-1)[a(1 + 1)-b]
’2) + 6-xy] 
= 2xy(2x2 + 2y2 +3xy).
Polinômios Simétricos
= xy^a ■ (x2 + y2) + b • xy
= xy|^4 -(x2 + y‘
,4
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 263
Resposta: (x + y)4 - x4 -y4 = 2xy ^2x2 + 2y2 + 3xy).
,3 z3 = 3(x + y)(x +z)(y + z).
Resolução: Vamos fatorar passo a passo:
Passo 01: Note que o polinômio é simétrico.
Passo 02: Veja que o polinômio se anula para x = - y, ou seja, x + y é fator.
Passo 03: Pela propriedade P6, x + z e y + z também são fatores.
Passo 04: Como o grau do polinômio é 3 e o produto dos fatores também é do 
3o grau, podemos escrever:
(x + y + z)3 -x3 -y3 ~z3
7.5) Polinômios Alternados
Os polinômios alternados são aqueles cuja mudança simultânea de um par de 
variáveis quaisquer, resulta no oposto do polinômio original.
= a(x + y)(x + z)(y + z).
Exemplo Resolvido 256: Fatore (x + y + z)3 - x3 - y'
Logo (x + y + z)3 - x3 - y
Resposta: (x + y + z)3 - x3 - y'
-3-z3.
Exemplo: P(x, y, z) = x(y-z) + y(z-x) + z(x-y) é um polinômio simétrico, 
pois, ao trocarmos x por y e y por x, obteremos:
P(x, y, z) = y(x-z) + x(z-y) + z(y-x)
=> P(x,y,z) = -y(z-x)-x(y-z)-z(x-y)
=> P(x,y, z) = -[y(z-x) + x(y-z) + z(x-y)] = -P(x,y,z).
Passo 05: Por fim, damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para 
encontrar o coeficiente que falta.
Para x = 0 , y = 1 e z = 2 , temos:
(0 + 1 + 2)3 - O3 -13 -23 =a (0 + 1)(0 + 2)(1 + 2)
=> 33-1-8 = a 1 ■ 2-3 => 6a = 27-9 => 6a = 18 a = 3.
’3 -z3 =3(x + y)(x + z)(y + z).
264 7
P6) (Volta) Se um polinômio alternado for divisível pela diferença entre duas de 
suas variáveis, então será divisível por todas as combinações das outras, ou 
seja, se anulará para a igualdade entre duas variáveis.
P5) (Ida) Se um polinômio alternado se anula para a igualdade entre duas de 
suas variáveis, então se anulará para todas as combinações delas, ou seja, 
será divisível pela diferença entre elas (x = y => x - y = 0). Além disso a 
diferença entre essas duas variáveis será um fator desse polinômio.
Os demais fatores serão determinados de acordo com as expressões (formas) 
cíclicas (fechadas) no sentido horário, como veremos nos exemplos.
P4) (Volta) Se um polinômio alternado P(x, y, z...) for divisível por x, então será 
divisível por y, z em outras palavras, se P(x, y, z) é anulado para x = 0, 
y = 0 e z = 0, então x, y e z serão fatores.
P3) (Ida) Seja um polinômio alternado P(x, y, z...) nas variáveis x e y, z Se 
P(x. y, z,...) for anulado para x = 0, então também será anulado para y = 0, 
z = 0... e vice-versa, ou seja, ele será divisível por x por y, por z Assim, se 
P(x, y, z) for divisível por x, ele também será divisível por y e z.
P2) Geralmente escrevemos os polinômios alternados em forma de diferenças 
e eles são cíclicos (fechados).
7.6) Propriedades dos Polinômios Alternados
Vejamos algumas propriedades importantes dos polinômios alternados.
P1) Não existe polinômio alternado de grau 1 que tenha mais que duas 
variáveis.
Se trocarmos x por z e z por x, obteremos:
P(x. y. z) = z(y-x) + y(x-z) + x(z-y)
=• P(x,y.z) = -z(x-y)-y(z-x)-x(y-z)
=• P(x, y,z) = -[z(x-y) + y(z-x) + x(y-z)] = -P(x,y,z).
Se trocarmos y por z e z por y, obteremos:
P(x, y, z) = x(z-y) + z(y-x) + y(x-z)
=> P(x,y,z) = -x(y-z)-z(x-y)-y(z-x)
=> P(x,y,z) = -[x(y-z) + z(x-y) + y(z-x)] = -P(x, y.z).
Polinômios Simétricos
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 265
Passo 05: Analisamos o grau do polinômio para colocar os fatores que faltam.
(y-z)3+(z-x)3.
Passo 03: Igualamos duas variáveis quaisquer para saber se a diferença entre 
elas é um fator, ou seja, x = y => x-y = 0.
Passo 06: Damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para encontrar 
os coeficientes que faltam.
P7) (Ida) Se um polinômio alternado se anula para a igualdade entre uma 
variável e o oposto de outra, então se anulará para todas as combinações 
delas, ou seja, será divisível pela soma delas (x = - y => x + y = 0). Além disso 
a soma dessas duas variáveis será um fator desse polinômio. Os demais 
fatores serão determinados de acordo com as expressões (formas) ciclicas 
(fechadas) no sentido horário, como veremos nos exemplos.
P8) (Volta) Se um polinômio alternado for divisível pela soma de duas variáveis, 
então será divisível por todas as combinações das outras, ou seja, se anulará 
para a igualdade entre uma variável e o oposto de outra.
P9) O produto entre um polinômio simétrico e um alternado resulta em um 
polinômio alternado.
Para fatorar usando polinõmios alternados, vamos realizar os seguintes 
passos:
Passo 01: Verifique se o polinômio é alternado.
Passo 02: Anulamos qualquer uma das variáveis para saber se haverá 
monômios como fatores.
Passo 04: Igualamos uma variável quaisquer ao oposto de outra para saber se 
a soma entre elas é um fator, ou seja, x = - y => x + y = 0.
7.7) Fatoraçãopor Polinõmios Alternados
Nesta seção vamos aprender a fatorar polinõmios, por meio dos polinõmios 
alternados, é uma abordagem interessante, bastante simples e rápida.
Exemplo Resolvido 257: Fatore (x-y)3
266 7
Resposta: (x-y)3 +(y-z)3 +(z-x)3 =3(x-y)(y-z)(z-x).
:) + z2(x-y).Exemplo Resolvido 258: Fatore x2 (y - z) + y2 (z - x
Resolução: Vamos fatorar passo a passo: 
Passo 01: Note que o polinômio é alternado. 
Passo 02: Veja que o polinômio se anula para x = y, ou seja, x - y é fator. 
Passo 03: Pela propriedade P5, z - x e y - z também são fatores.
Passo 04: Como o grau do polinômio é 3 e o produto dos fatores também é do 
3o grau, podemos escrever:
x2(y-z) + y2(z-x) + z2 (x-y) = a(x-y)(y-z)(z-x).
Passo 05: Por fim, damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para 
encontrar o coeficiente que falta.
Para x = 0, y = 1 e z = 2 , temos: 
x2 (y - z) + y2 (z - x) + z2 (x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) 
=> 02 (1-2) +12 (2-0) + 22 (0-1) = a(0-1)(1 - 2)(2 - 0) => 
1-2 + 4 (-1) = a (-1) (-1)-2 => 2a = 2-4 => 2a =-2 |a = -l|.
Resolução: Vamos fatorar passo a passo:
Passo 01: Note que o polinômio é alternado.
Passo 02: Veja que o polinômio se anula para x = y, ou seja, x - y é fator.
Passo 03: Pela propriedade P5, z - x e y - z também são fatores.
Passo 04: Como o grau do polinômio é 3 e o produto dos fatores também é do 
3o grau, podemos escrever:
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 =a(x-y)(y-z)(z-x).
Passo 05: Por fim, damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para 
encontrar o coeficiente que falta.
Para x = O, y = 1 e z = 2 , temos:
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 =a(x-y)(y-z)(z-x)
=> (0-1)3+(1-2)3 +(2-0)3 =a(0-1)(1-2)(2-0)
=> — 1 — 1 + 8 = a • (—1) • (—1) • 2 =x> 2a = 6 |a = 3|.
Logo, temos:
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 = a(x-y)(y-z)(z-x) 
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 =3(x-y)(y-z)(z-x).
Polinõmios Simétricos
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 267
Resposta: x2 (y-z) + y2 (z -x) + z2 (x- y) = (x-y)(y-z)(x-z).
Exemplo Resolvido 259: Fatore x3(y-z) + y3(:
Resolução: Vamos fatorar passo a passo: 
Passo 01: Note que o polinômio é alternado. 
Passo 02: Veja que o polinômio se anula para x = y, ou seja, x - y é fator. 
Passo 03: Pela propriedade P5, z - x e y - z também são fatores.
Passo 04: Como o grau do polinômio é 4 e o produto dos fatores é do 3o grau, 
podemos escrever:
x3(y-z) + y3(z-x) + z3(x-y) = (x-y)(y-z)(z-x)[a(x + y + z)].
Logo, temos:
x2(y-z) + y2(z-x) + z2(x-y) = (-1)(x-y)(y-z)(z-x) 
x2(y - z) +y2 (z - x) +z2 (x - y) = (x - y)(y-z)(x - z).
’z-x)+z3(x-y).
Logo, temos:
x3 (y - z) + y3 (z - x) + z3 (x - y) = (x - y)(y - z)(z - x)[a(x + y + z)] => 
x3 (y — z) + y3 (z — x) + z3 (x — y) = (x — y )(y — z)(z — x)[(-1)(x + y + z)] 
x3(y-z) + y3(z-x) + z3(x-y) =(x- y)(y-z)(x- z)(x + y + z) .
Passo 05: Por fim, damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para 
encontrar o coeficiente que falta.
Para x = 0, y = 1 e z = 2 , temos:
x3(y-z) + y3(z-x) + z3(x-y) = (x-y)(y-z)(z-x)[a(x+y + z)]
=> O3(1 -2) +13(2-0) + 23(0-1) = a(0-1)(1-2)(2-0)[a(0+ 1 +2)]
=> 1-2 + 8 (-1) = 3a (-1)-(-!)■ 2 => 6a = 2-8 => 6a =-6 |a = -l|.
268 7
Problemas Propostos
Fatore
a)
b)
c)
d)
e)
b)2 
d) 4
Questão 7.1
Fatore (x + y)5 - x5 - y5 .
Questão 7.4 (CMO-2009-Modificada)
(xy + yz + zx)(x + y + z)
(x + y)(y + z)(z + x) + xyz '
Questão 7.2 (CN-1995-IVIodificada)_____________________________________
Se (a + b + c)3 -a3 -b3 -c3 =k(a + b)[c2 + (a + b)c + abj , então o valor de k 
é: 
a)1 
c) 3 
e)5
Questão 7.3 (Rússia) 
Sejam a, b e 
a2 (c-b) + b2 •(;
c números reais distintos dois a 
a-c) + c2 -(b-a) é diferente de zero.
dois. Mostre que
Questão 7.5
Determine o valor das expressões abaixo: 
1 1 1
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b) 
_____ a_____ b_____ _____ c_____ 
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b) 
a2_______b2 + c2
(a-bj(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b) 
a3 + b3 + c3 
(a-bj(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b) 
a4 + b4 c4
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
Polinômios Simétricos
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 269
f)
9)
b)
c)
d)
e)
(x + y)(x-z)(y-z) + 8xyz.
(y + 2z-3x)3 + (z + 2x-3y)3.>3
a5 b5 + c5
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
a6 b6 c6
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
Questão 7.10
Fatore (x + 2y-3z)'
Questão 7.7
Fatore x2y + x2z + xy2 + y2z + xz2 + yz2 + 2xyz .
Questão 7.8
Fatore x2y + x2z + xy2 + y2z + xz2 + yz2 + 3xyz .
Questão 7.6
Determine o valor das expressões abaixo: 
a)
Questão 7.9
Fatore 2z(x-y)2
a - b c - a b - c
(a-b)(a-c) (b - a)(b-c) + (c-a)(c-b) 
(a-b)2 < (c-a)2 | (b-c)2
(c-a)(b-c) (a-b)(b-c) (a-b)(c-a) 
(a-b)3 ' (c-a)3 ' (b-c)3
(c-a)(b-c) (a-b)(b-c) (a-b)(c-a) 
(a-b)4 (c-a)4 (b-c)4
(c -a)(b-c) + (a -b)(b-c) + (a -b)(c-a) 
(a-b)5 (c-a)5 (b-c)5
(c-a)(b-c) (a-b)(b-c) (a-b)(c-a)
270 7
i) + c5 (a-b).
Questão 7.21 (União Soviética-1962)
Dados x, y e z distintos entre si. Prove que (x-y)5 + (y-z)5 +(z-x)5 é 
divisível por 5(x-y)(y - z)(z-x).
Questão 7.20
Fatore (a + b + c)5 - a5 - b5 - c5 .
Questão 7.18
Fatore (x - y)(y + z)(z + x) + (y-z)(z + x)(x + y) + (z-x)(x + y)(y + z)
Questão 7.14
Fatore a(b-c)3 +b(c-a)3 +c(a-b)3 .
Questão 7.11
Fatore a3(b-c) + b3(c-a) + c3(a-b).
Questão 7.12_______________________
Fatore a4 (b-c) + b4 (c-a) + c4 (a-b).
Questão 7.17
Fatore a2 (b - c)5 + b2 (c - a)5 + c2 (a - b)5 .
Questão 7.13___________
Fatore a5(b-c) + b5(c-a'
Questão 7.16
Fatore a2 (b - c)3 + b2 (c - a)3 + c2 (a - b)3 .
Questão 7.19 (BMO-1971)
Fatore (a + b)7 - a7 - b7.
Questão 7.15
Fatore a(b-c)5 +b(c-a)5 +c(a-b)5 .
Polinõmios Simétricos
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 271
Questão 7.22
Fatore (ab + bc + ca)3 -abc(a + b + c)3.
Questão 7.25
Fatore (x + y+ z)5 - (y + z-x)5 - (z + x-y)5 -(x + y-z)5.
Questão 7.24
Fatore (x + y+ z)3 -(y + z-x)3 - (z + x-y)3 - (x + y-z)3.
Questão 7.23
Fatore (a + b + c)7 - a7 - b7 - c7 .
272 8
Capítulo 08 - Somas de Newton
(eq1)
Somando (eq!) com (eq2): a ■ (q2 + l + b ■ (q + r2) + 2c = 0. (eq3)
Então, podemos escrever: a ■ S2 + b ■ S-, + c • So = 0 .
2) Como q +r2 tem grau 1, chamaremos de S.| (soma "1" de Newton). Assim 
S-| = q + r2 S, — q + r2 .
Conclusões:
1) Como q2 + r2 tem grau 2, chamaremos de S2 (soma “2” de Newton). Assim 
S2 = q2 + r2 .
3) Como 2 tem grau 0, chamaremos de s0 (soma "0" de Newton). Assim 
So = q° + r2 => So = 1 +1 => Sq = 2.
Introdução
As famosas somas de Newton são importantíssimas para polinômios, quando 
queremos encontrar as somas das n-ésimas potências. É incrível como elas 
facilitam as contas e tornam a resolução concisa e elegante! Vamos aprender 
com todos os detalhes essa maravilha que pode ser usada nos mais diversos 
problemas, vamos lá!
8.1) Somas de Newton Para Dois Termos
Considere o polinômio P(x) = ax2 + bx + c , cujas raizes são q e r2. Note que, 
se substituirmos q na equação, o resultado será zero, visto que q é raiz de 
P(x). Então, temos: 
P(q) = a ■ q2 + b ■ q + c = 0.
Note também que, se substituirmos r2 na equação, o resultado será zero, visto 
que r2 é raiz de P(x). Então, temos:
P(r2) = a r2 + br2 +c = 0. (eq2)
Somas de Newton
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 273
• (r, + r2) = 0. (eq6)
Então, podemos escrever: a S3+b S2+c S1=0.
,1+n-2
Somando (eq4) com (eq5): 
a-^+r^ + b-^+rfJ + c
Conclusões:
1) Como r" + r2 tem grau n, chamaremos de Sn (soma “n” de Newton). Assim 
= rin + r2 ■
Conclusões:
1) Como r3 +r2 tem grau 3, chamaremos de S3 (soma "3" de Newton). Assim 
S3 = r3 + r3 ■
2) Como r2 + r2 tem grau 2, chamaremos de S2 (soma “2" de Newton). Assim 
S2 = r2 + r2 .
3) Como r3 + r2 tem grau 1. chamaremos de St (soma “1" de Newton). Assim 
S1 = h + r2 => Si = r, + r2 .
Generalização:
Se multiplicarmos (eq1) por r-, , temos: 
ai?+b-if+c-r,=O. (eq4)
Se multiplicarmos (eq2) por r2 , temos: 
ar3 +br2 + cr2 = 0. (eq5)
Assim, seguindo o mesmo raciocínio para r2, r3 r," 2 . temos:
Se multiplicarmos (eq1) por r"-2 , temos:
a■ r2+n-2 + b• ri*"-2 + c • r"-2 = 0 => a■ r" + b• r^1 + c• rj1-2 = 0. (eq7)
Se multiplicarmos (eq2) por r2-2 , temos:
a-r2+n~2+br2+n-2+c-r2-2 = 0 => ar£+br£~1+c-r2“2=0. (eq8) 
Somando (eq7) com (eq8):
a ■ (rf + r2 ) + b ■ (r^1 + r2"’1) + c • (r^2 + r2"~2) = 0. (eq9)
274 8
r2
Então, podemos escrever: a • Sn + b • Sn_-! + c ■ Sn_2 = 0 .
x2
(ri+r2)x + rir2J.
rt+r2=—. (eq3)
Sn - °1 Sn-1 + °2Sn-2 = 0 
Sn = Oi Sn-1 - o2 sn_2 .
Conclusões:
1) Como r-| +r2 tem grau 1, chamaremos de (soma "1" de Girard). Assim 
CT1 = rt + r2 •
2) Como r-i r2 tem grau 2, chamaremos de o2 (soma "2” de Girard). Assim 
°2 =r1 r2-
8.2) A Notação Sigma
Considere o polinômio P(x) = ax2 + bx + c, cujas raizes são r, e r2. Podemos 
escrever:
P(x) = ax2 + bx + c
P(x) = a-
P(x) = a- ~x+j} (eq1)
Então, podemos escrever:
P(x) = a ■ (x2 - ■
Assim, juntando as duas notações, temos a generalização:
ou
(eq6)
rir2=f- (eq4)
2) Como r"-1 +r2*1 tem grau n-1, chamaremos de Sn-1 (soma “n - 1" de 
Newton). Assim Sn_, = rf-1 +r2“1.
3) Como rf^ + rj-2 tem grau n - 2. chamaremos de Sn_2 (soma "n - 2” de 
Newton). Assim Sn_2 = r"-2 + r2~2 .
Somas de Newton
x + a2) = ° => x2 - a1 ■ x + o2 = 0. (eqõ)
b
a
Por outro lado, a forma fatorada de P(x) é:
P(x) = a (x-r1)-(x-r2) => P(x) = a [x2— (r, + r2)x + r1r2|. (eq2) 
issim, igualando (eq1) com (eq2), temos:
x2 +-x + = a -[x2
Por comparação, podemos escrever: 
. . b b . ._(ri+r2) = - => r, .
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 275
|q2 =q|-
,3
Resposta: a4 +b4
,0
Exemplo Resolvido 260: Sabendo que P(x) = x2 + px + q tem raizes a e b, 
calcule a4 +b4 , em função de p e q.
Exemplo Resolvido 261: Seja x + — = 3 , então x5 
x
r "i i Oi = 3, <52 = 1, Sq = X° +1 — I
1
Resolução: Note que do enunciado x + —
=> So = 1 +1 => Sq=2,
=> |O1 =~P|. °2
=> S4 =(-p) (-p3 -pq)-q- 
=> S4 =p4 -2q2
=> S-| = 3 .
+ x5’
1
3 e x — = 1, ou seja: 
x
4 o_2 P -2q .
Assim, podemos escrever para n = 2, n = 3 e n = 4: 
S? = CTj • S2_i — O2 ’ ^2-2 S2 = ’ $1 ~ g2 ’ ^0
=> S2 = (-p) (-p) + q-2 => |s2 =p2 + 2qj.
sn ■= 01 Sn_i-02’^n-2 $3 = °1 ■ S2 - °2 ■ $1
=> s3 =(-P) (p2 +2q)-q (-p) => S3 =-p3-2pq + pq
=> |s3 =-p3-pqj.
Sn = °1 ’Sn-1-o2 Sn-2 S4 = ■ S3 - O2 • S2
(p2 +2q) => S4 =p4 -í-p2q - p2q - 2q2
=> la4+b4 =p4-2q2|.
=> S.| = G-|
Resolução: Do enunciado, temos:
= ~y => |oi =~P|. 02 =+^ =>
S0=a°+b° => So=1 + 1 => [S7~=2|.
S1 = a1 + b1 => S-j = o-j => |S-| = - p| ■
276 8 Somas
3-47-1-18
Resposta: a5 +b5 =123.
(eq1)
(eq2)
(eq3)
(q + r2+r3) + 3d = 0. (eq4)
Vejamos agora para três raizes, ou seja, para um polinômio do terceiro grau. 
Seguiremos o mesmo raciocínio anterior.
Note também que, se substituirmos r2 na equação, o resultado será zero, visto 
que r2 é raiz de P(x). Então, temos: 
P(r2) = a - r2 + b ■ r2 + c • r2 + d = 0.
Somando (eq1) com (eq2) com (eq3), temos: 
a ■ (q3 + r23 + r33) + b • (q2 + r22 + r32 )
8.3) Somas de Newton para Três Termos
bonsidere o polinômio P(x) = ax3 + bx2 +cx + d, cujas raízes são q, r2 e r3. 
Note que, se substituirmos q na equação, o resultado será zero, visto que q é 
raiz de P(x). Então, temos: 
P(q) = a ■ q3 + b ■ q2 + c ■ q + d = 0.
Assim, podemos escrever para n = 2, n = 3, n = 4en = 5:
S2 = rq ■ S2_-| — o2 ■ S2_2 => S2 = <q ■ S1 — g2 ■ Sq S2 = 3 ■ 3 1 - 2 
=> S2 = 9 - 2 => |S2 = 7|.
Sn = CT1'Sn_i -o2 • Sn_2 => S3 = o-, ■ S2 -a2 ■ S-j => S3=3-7-1-3
S3 =21-3 => js3 = 18^.
Sn = o, Sn_i-o2-Sn_2 => S4 = cq-S3-c2 S2 => S4 =3-18-1-7
=> S4 =54-7 => |S4 =47|.
Sn = °1 Sn-1 -o2 -Sn_2 => S5 = <q-S4-a2 ■ S3 => S5
=> S5 =141-18 => |Ss = 123|.
de Newton
Se substituirmos r3 na equação, o resultado será zero, visto que r3 é raiz de 
P(x). Então, temos:
P(r3) = a • q3 + b • q2 + c ■ q + d = 0.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 277
Somando (eq4) com (eq5) com (eq6), teremos a (eq7):
a • (n4 + Í2 + r34) + b • (r,3 + r2 + rf) + c ■ (q2 + rf + r32) + d • (r, + r2 + r3) = 0.
Então, podemos escrever: a ■ S3 + b • S2 + c ■ S! + d • So = 0 .
Generalização:
Se multiplicarmos (eq1) por q , temos: 
a-r* + bq3 +c q2 + d-q = 0. (eq4)
Se multiplicarmos (eq2) por r2 , temos: 
a-r2+b r2+c-r2 +d r2 . (eq5)
Se multiplicarmos (eq2) por r3 , temos: 
ar3+b-r3+cr3+d-r3. (eq6)
Conclusões:
1) Como q3 + r2 +r3 tem grau 3, chamaremos de S3 (soma "3" de Newton). 
Assim S3 = q3 + r2 + r3 .
2) Como q2 +r2 +r2 tem grau 2, chamaremos de S2 (soma "2" de Newton). 
Assim S2 = q2 + r2 + r2 .
3) Como q +r2 +r3 tem grau 1, chamaremos de St (soma "1" de Newton). 
Assim Si = q1 + r2 + r3 => S, = q + r2 + r3 .
4) Como 3 tem grau 0, chamaremos de So (soma “0" de Newton). Assim 
So = q° + r2° + r3° => So = 1 +1 +1 => So = 3 .
Conclusões:
1) Como r4 +r2 +r3 tem grau 4, chamaremos de S4 (soma “4" de Newton). 
Assim S4 = q4 + r2 + r3 .
2) Como q3 +r2 +r3 tem grau 3, chamaremos de S3 (soma "3” de Newton). 
Assim S3 = q3 + r3 + r3 .
3) Como q2 +r2 +r3 tem grau 2, chamaremos de S2 (soma "2" de Newton). 
Assim S2 = q2 + r2 + r3 .
278 8 Somas
Então, podemos escrever: a ■ S4 + b ■ S3 + c ■ S2 + d ■ S-, = 0.
4) Como S, = r,1 + r2 + r3 => S, = r, + r2 + r3 tem grau 1, chamaremos de S, 
(soma "1'' de Newton). Assim S1 = r,1 +r2 + r3 => S-j = +r2 +r3 .
Somando (eq8) com (eq9) com (eq10):
a ■ (rf + r2 + r3") + b • (r?'1 + r2"’1 + r3"-1) + c • (r^2 + r2n'
+ d-(r1n’3 + r2~3 +
'-2+r3"-2) + 
•rJ-3) = 0. (eq11)
3e multiplicarmos (eq3) por r3 3 , temos:
a _3+n-3 , u r2+n-3 , r1+n-3 . r0+n-3 n a • r3 + d • r3 + c • r3 t c • r3 — u
=> a r3+b r3-1+c r3~2+d r3~3 =0. (eq10)
de Newton
Se multiplicarmos (eq2) por r2 3 , temos: 
a • r23+n~3 + b • r2+n-3 + c ■ r^+n‘3 + c • r£+n-3 = 0 
=> a r2+b r2"1+c-r2-2 + d r2-3 = 0. (eq9)
Conclusões:
1) Como r" +r2 +r3 tem grau n, chamaremos de Sn (soma “n” de Newton). 
Assim Sn = r" + r2 + r3 .
2) Como rf1"1 + r2~1 + r3"1 tem grau n - 1, chamaremos de Sn_1 (soma “n - T 
de Newton). Assim Sn_1 = r, + r2 “1 + r3 .
3) Como r"'2 + r2“2 + r3~2 tem grau n - 2, chamaremos de Sn_2 (soma "n-2" 
de Newton). Assim Sn_2 = r"-2 + r2~2 + r3“2 .
Assim, seguindo o mesmo raciocínio para r2, r3,..., r" 3 , temos: 
Se multiplicarmos (eq1) por r"-3 , temos: 
a ■ q3*"’3 + b • rf4"'3 + c ■ r^”’3 + c ■ r10+n-3 = 0 
=> a r" +b-rf*1 + c r"-2 + d rf"3 = 0. (eq8)
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 279
r3 •
i)’ (eq1)c 
a
Por outro lado, a forma fatorada de P(x) é:
P(x) = a (x-r,) (x-r2)-(x-r3) =>
P(x) = a [x3 - (r, + r2 + r3)x2 +(r, r2 + r, r3 + r2 -r3)x-rt -r2 -r3]. (eq2)
P(x) = a-
8.4) A Notação Sigma
Considere o polinõmio P(x) = ax3+bx2 +cx + d. cujas raizes são q, r2 e 
Podemos escrever:
P(x) = ax3 + bx2+cx+ d => P(x) = a íx3 +-x2
Conclusões:
1) Como r,+r2+r3 tem grau 1. chamaremos de o, (soma "1” de Girard). 
Assim a, = q +r2 +r3.
2) Como r, r2+q r3+r2 r3 tem grau 2, chamaremos de o2 (soma “2” de 
Girard). Assim o2 = q ■ r2 + q ■ r3 + r2 ■ r3 .
3) Como q ■ r2 ■ r3 tem grau 3, chamaremos de o3 (soma “3” de Girard). Assim 
o3 = r, ■ r2 ■ r3 .
Por comparação, podemos escrever:
-(q +r2 +r3) = - => q+r2+r3=-—. (eq3)
q r2+q-r3+r2 r3 =-. (eq4) 
a
/ \ d d . cX-(h r2 r3) = - => ri-r2-r3 = --. (eq5)
4) Como qn 3 +r2 3 +r3 3 tem grau n- 3, chamaremos de Sn_3 (soma "n-3" 
de Newton). Assim Sn_3 = r"~3 + r2“3 + r3“3 .
Então, podemos escrever: a • Sn + b ■ Sn_, + c ■ Sn_2 + d ■ Sn_3 = 0 .
Assim, igualando (eq1) com (eq2), temos:
x3 + bx2+£x+dV 
a a a J
= a-[x3 -(q +r2 +r3)x2 + (q r2 + q -r3 +r2 r3)x-q r2 -r3]
b
a
280 8
+ • ■ ■ + a, • x + ag de grau
Assim, juntando as duas notações, temos a generalização:
Sn ~ a1 ■ Sn-1 + °2 ■ Sn-2 _ °3 ■ Sn-3 = 0 ou
Sn = °1 ' Sn-1 - °2 ' Sn-2 + °3 ' Sn-3 • (ecI6)
Onde:
Sn = r,n + r2 + ••• + r"
= r1+r2+-- + rn
°2 = r1 r2 +r1 ’r3 +--- + rn-1 ’rn
(..................)
°n =r1 r2 ••• rn •
-xy(axn + byn)
Generalização para um Polinômio de Grau n.
Para um polinômio qualquer P(x) = an•xn + an_, • xn 
n, temos:
Sn “ ' Sn-1 + °2 ’ Sn-2 + ’ ’' + H)” °n ' S0 = 0 ■
o1 • x2 + a2 ■ x - 03 = 0.
Observações:
1) Se o polinômio tem 2 raízes, então precisamos de duas somas para 
encontrar as demais (nesse caso, precisamos de So e S,). Se o polinômio 
tem 3 raizes, então precisamos de três somas para encontrar asdemais 
(nesse caso, precisamos de s0, St es2). E assim por diante.
2) Note que So sempre será igual à quantidade de raizes, visto que
So = <i° + r2 + + rn =* so = 1+1+--+1 So = n.
"n" vezes
3) Note que S, sempre será igual a cr,, visto que
S, = rj1+r2+... + ç! => S, = r,+r2+ ... + rn S, = a,.
Exemplo Resolvido 262: Prove que 
axn+2+byn+2 =(x + y)(axn+1+byn+1j
Então, podemos escrever a (eqõ):
P(x) = a (x3 - o, x2 + cr2 ■ x-cr3 j = 0 => x3 -
Somas de Newton
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 281
(eq1)= 0.
(eq2)
Como queríamos demonstrar.
t2 +a2t-a3).
Resolução: Considere o polinômio genérico P(t) = A • (t2 - a, • t + a2 I, cujas 
raizes são x e y.
Se multiplicarmos (eq1) por axn , temos:
x2 -o-l • X + a2 = 0 => a xn+2-a arxn+1 + a a2 xn =0. (eq3)
(axn+1 + byn+1 ) + a2 ■ 
= (axn+1 +byn+1)
(axn + byn j = 0
-o2 -(axn +byn) 
= (x + y) (axn+1 + byn’1) - xy (axn + byn).
Resolução: Considere o polinômio genérico P(t) = A (t3 - a-j ■ 
cujas raízes são x, y e z.
Note também que, se substituirmos y na equação, o resultado será zero, visto 
que y é raiz de P(t). Então, temos:
P(y) = A(y2
Somando (eq3) com (eq4): 
axn+2 +byn*2 - a, ■ 
=> axn+2+byn+2
axn+2 + byn+2 :
Se multiplicarmos (eq2) por byn , temos:
y2-o1y + a2=0 => byn+2-b-o1-yn+1 + b-o2-yn =0. (eq4)
crry + cr2l = 0 => y2 - a-, • y + cr2 = 0.
Exemplo Resolvido 263: Prove que 
axn+3 + byn+3 + czn+3 = (x + y + z) (axn+2 + byn+2 + czn+2) - 
-(xy + xz + yz)(axn+1 + byn+1 + czn+1l + xyz(axn + byn + czn).
Note que, se substituirmos x na equação, o resultado será zero, visto que x é 
raiz de P(t). Então, temos:
P(x) = A-(x2 - cr-| ■ X + ü2 j = 0 => X2 - o-j • X + o2
282 8
(eq!)0.
(eq2)
(eq3)
-aar
G)3 • zn = 0. (eq6)
i+2
«2n+3
4-CZ
Note também que, se substituirmos y na equação, o resultado será zero, visto 
que y é raiz de P(t). Então, temos: 
P(y) = 0 => y3-o,-y2+a2-y-a3 =0.
zn+1-c-
X3 - cq •
Note que. se substituirmos x na equação, o resultado será zero, visto que x é 
raiz de P(t). Então, temos:
P(x) = 0 => x3-a1x2 + a2x-a3
)-°3-
(axn'2+byn+2+czni2j-
:n+1 j+a3 (axn+byn+czn j
-aa3 xn =0. (eq4)
;zn+2) +
(axn +byn +czn) = 0
Se multiplicarmos (eq1) por ax11, temos: 
X3 -a, X2 + a2 X-a3 = 0 
=> a • x11*3 - a ■ a, • xn+2
Note também que, se substituirmos z na equação, o resultado será zero, visto 
que z é raiz de P(t). Então, temos: 
P(z) = 0 => z3 -o, z2 + o2 z-a3 = 0.
+ ao2-xn+1
Somando as três últimas equações: 
axn+3 + byn+3 + cz11’3 - a, ■ (axn+2 + byn 
+ a2 (axn+1 + byn+1 +czn+1
=> axn,3+byr"^3+czn+3=a1- 
-a2-(axn+1+byn+1
Se multiplicarmos (eq2) por byn , temos:
3 ?y - a, ■ y + a2 • y - a3 = 0
=> b yn~3-b a, yn+2+b-a2 yn+1-b a3 yn = 0. (eq5)
Somas de Newton
Se multiplicarmos (eq3) por czn , temos: 
z3 - a, • z2 + a2 ■ Z - a3 = 0 
=■ c ■ z”4'3 - c ■ a, • zn+2 + c • a2 ■
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 283
Como queríamos demonstrar.
4 e n = 5 :
Resposta: a5 + b5 + c5 = 9 486 .
Exemplo Resolvido 264: Sabendo que P(x) = 2x3-12x2-4x+ 6 tem raizes 
a, b e c, calcule a5 + b5 + c5 .
6
2
:zn+2)- 
(axn + byn + czn)
Assim, podemos escrever, para n = 3, n
Sn = oi • Sn_.| - cr2 ■ Sn_2 + o3 • Sn_3
S3 = o-| • S3_i - cr2 ' ^3-2 + ct3 ' S3-3
=> S3 = o1 ■ S2 - g2 • St + a3 • So => S3 = 6 ■ 40 — (-2) ■ 6 + (-3) - 3
=> S3 = 240 +12 - 9 => |S3 =243|.
54 = Oi • S4_i - a2 • S4_2 + ct3 • S4-3
=> S4 = a-, ■ S3 - a2 ■ S2 + a3 ■ St => S4 = 6 • 243 -(-2)-40 + (-3) • 6
=> S4 =1458 + 80-18 => |S4 = 1520|.
55 = Gt S5-I _ c2 ' S5-2 + a3 ■ S5-3
=> S5 =arS4 -a2 S3 +o3 S2 => S5 = 6-1 520-(-2)-243 +(-3)-40 
=> S5 = 9 120 + 486-120 => |S5 = 9 486|.
Iot = 6l, a2
Resolução: Do enunciado, temos:
-12
ai=-y-
axn’3 + byn-3 + czn*3 = (x + y + z)(axn’2 + byn>2 
-(xy + xz + yz)(axn+1 +byn+1 + czn+1 j + xyz
(_ 4) _______
-y- => |o2 = -2|, a3 = -
=. |o3 = -3|. So =a°+b0+c° => So =1 + 1 + 1 => |S0 = 3|.
Si=a1+b’+c1 => St = ot =» |St = 6|, S2=a2+b2+c2
=> S2 = (a + b + c)2 - 2(ab + ac + bc) => S2=c2-2o2
=> S2=62-2 (-2) => S2=36 + 4 => |S2 = 40|.
284 8
-2 2 => S2 = —-4 => S2 =
S3 - o1 ■ S2 - o2 ' S, + c3 ■ Sq => S3 2 3
Exemplo Resolvido 266: Se a + b + c = 0 , prove que a3 + b3 +c3 = 3abc.
equação polinomialda
Exemplo Resolvido 265: Sabendo que as raizes de P(x) = 2x3 + 5x2 + 4x-4 
são a. b e c, determine a3 + b3 + c3.
_(-4)
2
Resposta: a3 + b3 + c3 = .
45 45
S3 =------+ 5 + 6 => S3 =-------- f 11 => S3 =
8 8
=> s2 =-2 4
- S3 = ^
3 8
5
°1=~2 => |°3 = 2|.
'Xssim, podemos escrever, para n = 3:
>n = 01 Sn.i - a2 ■ Sn_2 + o3 ■ Sn_3 => S3 = o1 ■ S3_j - o2 S3_2 + c3 ■ S3_3 
f 5^ 9 y f 5^
-45 + 88 
8
=> So =1 + 1 + 1 => |Sq = 3|.
=> |S1 = o|. S2=a2+b2+c2
S2 = — 2n2
Resolução: Sejam a, b e c as raízes 
P(x) = x3 -a, ■ x2 + o2 • x-o3 , então temos:
= a + b + c =5 |o1 = 0|, 
So = a° + b° +c°
S, = a1 +b1 + c1 zx> S1 = o1 
=> S2 = (a + b + c)2 -2(ab + ac + bc) 
=> S2=(0)2-2 a2 =x> |S2 = -20^].
Somas de Newton
Resolução: Do enunciado, temos:
o2 = + - => |g2 = 2|, o3 = 
S0=a°+b° + c° => So =1 + 1 + 1 => |S0 =3|.
S, = a1 + b1 + c^ => S^ = o-, => S1 = — — , S2 = a2 + b2 + c2 
=> S2 = (a+ b + c)2-2(ab + ac +bc) => S2=o2-2o2 
=,s2=Í-5]2-2.2^s2 = ^-4^s2 = ^
2 l 2) 2 4 2 4
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 285
Resposta: a3 + b3 + c3 = 3abc .
Vamos aos problemas propostos. Se você entendeu a resolução de todos os 
exemplos resolvidos, vai conseguir resolver todos os exercícios desta lista. 
Divirta-se com esses problemas e, se não conseguir, veja a resolução lá no 
capitulo de resoluções!
Assim, podemos escrever, para n = 3:
®n = ai ' Sn-1 “ °2 ■ Sn_2 + C3 ■ Sn_3
=> S3 = a-j ■ S3_-| - o2 ' S3-2 + a3 ’ S3-3
S3 ~ <r-| -82 —o2 ■ S-j + 03 • Sq S3 ~ 0■ (— 2o2) — ríQ -0 + 03 3
S3 ~ 303 ^83 = 3abc|.
286 de Newlon8 Somas
Problemas Propostos
Questão 8. 1
Se x2
Questão 8.3
,6
Questão 8.5
,5
Calcule o valor de 
-9
Questão 8.9
Se a + b + c = 0, prove que a4 + b4 + c4 =
1 
Se x + - 
x
_1_
+ x5 '
+ X5'
+ X7'
Questão 8.2 (Stanford-2010)
+ -y = 7 , determine o valor de x5 
x4
Questão 8.8
Se a + b + c = 0, prove que a4 + b4 +c4 = 2(ab -i-bc + ca)2 .
Questão 8.7
Se a + b + c = 0, prove que a3 + b3 + c3 - 3abc .
Questão 8.6
Se x2 - 3x +1 = 0 , determine o valor de x9 + x7
5-721
2
= V2 . determine o valor de x7
Questão 8.4 (Stanford-2006-Modificada) 
Sejam x + y = aexy = b. Calcule x6 + y6 .
Se x + — = 1, determine o valor de 5/x5 
x V
(a2+b2+c2)2
2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 287
Questão 8.12
Se a + b + c = 0, determine o valor de
Questão 8.13
2
a6+b6+c6 =
Questão 8.14 (Harvard/MIT-2008)____________________________
Sejam a, b, c são números reais não nulos, tais que a + b + c = 0, 
a3 + b3 + c3 = a5 + b5 + c5 . Determine a2 + b2 + c2.
Questão 8.11
Sejam a, b e c inteiros positivos, tais que a = b + c . Prove que a4 + b4 + c4 é 
o dobro do quadrado de um inteiro positivo.
Questão 8.16
Se a + b + c = 0, prove que a6 + b6 +c6 = 3a2b2c2 -2(ab + bc + ca)3.
a4+b4 + c4
2
as + b5 + c5
5
a5+b5+cs
3abc(ac + bc + ab) '
Questão 8.15
Se a + b + c = 0, prove que 
^a3+b3 + c3j2
Questão 8.10
Se a + b + c = 0, prove que a5 +b5 +c5 = -5abc(ab + ac + bc).
Questão 8.17
Se a + b + c = 0, prove que
(a3+b3 + c3)2 (a2+b2
3 ’ +
(a2 + b2 + c2) ía3+b3+c3) a5 + b5_5
Se a + b + c = 0, prove que -------- - ------- - ■ - ------- -------- - =------- - -------
4
4
288 8
Se a + b + c
Questão 8.19 (Croácia 2001)
Se a + b + c = 0, determine o valor de
Questão 8.21
2
Se a + b + c = 0, prove que
Questão 8.22
Se a + b + c = 0, prove que
a8+b8+c8 =
Questão 8.25
Se a + b + c = 0, prove que a9 + b9 + c9 = 3abc[a2b2c2 -3(ab + bc + ca)3i
(a3 + b3 + c3j
3
a7+b7+c7
7
a2-rb2+c2
2
a7+b7+c7 (a3+b3 + c3) (a4+b4+c4)
7 " 3 2
+ c2)(a5+b5+c5)
a7+b7+c7 
abc (a4 +b4 +c4 l
Questão 8.24
Se a + b + c = 0, prove que
4^a2+b2+c2j(a3+b3+c3) (a4+b4+c4j
9 + 2
Questão 8.23
Se a + b + c = 0, prove que
a8 +b8 -c8 = 2(ab + bc + ca)[(ab + bc + ca)3 -4a2b2c2] .
Questão 8.18
0, prove que a7 + b7 + c7 = 7abc (ab + bc + ca )2.Questão 8.20
Se a + b + c = 0, prove que
3
Somas de Newton
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 289
c3)(a4 +b4 +c4j
-4abcd.
Questão 8.32
Se a+b+c+d=0, prove que
Questão 8.28
Se a+b+c+d=0, prove que
a4 +b4 +c4 + d4 = 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)2 -4abcd .
Questão 8.27
Se a+b+c+d=0, prove que a3 +b3 +c3 +d3 = 3(abc + abd + acd-i-bcd).
-a4).
Questão 8.31
Se a + b + c + d = 0, prove que
a5+bs+cs+d5 a2+b2+c2+d2 a3+b3.c3 + d3
5 2 3
a6+b6+C6 + d6 ai
-------------------------= a7 - a4 — + -—6 4 4 3 2
Questão 8.33
Se a + b + c + d = 0, prove que a7 + b7 + c7 + d7 = 7a3 (a2
Questão 8.26
Se a + b + c = 0, prove que
,9.b9.:9 (a3 + b3+c3)3[3(a2 + b2 + c2)(a3 + b3
9 4
Questão 8.30
Se a+b+c+d=0, prove que
a5 + b5 + c5 + d5 = -5(ab + ac + ad + bc + bd + cd)(abc + abd + acd + bcd).
Questão 8.29
Se a + b + c + d = 0, prove que
, , , . (a2 + b2 + o2 + d2)2
a4 + b4 + c4 + d4 = ------------------
2
290 8
Questão 8.34
348
-y' -y -y
= x2•rove que x'
,n-1
Questão 8.40
cn~3)bn-3
_1_
+ X2.
Questão 8.36
Mostre que. se x + y = 0 . então 2xn + 2yn = (x2 + y2j (xn“2 + yn-2).
Questão 8.35
Prove que xn + yn = (x + y) (xn-1 + yn-1 j - xy (xn-2 + yn-2 j.
Questão 8.39
Prove que xn + yn + zn = íx' 
-(xy + xz + yz)(xn~2 + yn-2 + zn-2j
j(x + y + z)- 
+ xyz(xn*3 + yn-3 + zn‘3)
,2n-3)
Mostre que, se a + b + c = 0, então an + bn + cn = 
(a2 + b2 + c2 )(an’2 + bn'2 + o"’2) (a3 + b3 + c3 )(an~
2 + 3
Questão 8.41 (AIME-1990)
Determine ax5 +by5 se os números reais a, b, x e y satisfazem as equações 
ax + by = 3. ax2 +by2 = 7, ax3 +by3 = 16 , ax4 +by4 = 42 .
Questão 8.38 (Putnam 1959) 
,2n+1 _ 1
x2n+1
+ yn~1
Questão 8.37
Prove que x2n+1
1 
x2n-3
’2n+1=(x2 + y2)(x2n-1
x2n-1 1 
x2n-1
X2n 3
’2"-1)-x2y2(x2n-3
Se a + b + c + d = 0, prove que a7-±b>c? td-í = + .Éà
Somas de Newton
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 291
Questão 8.44
Se a + b + c = 0, qual o valor de
,3
Questão 8.42
Sejam a e b números reais não nulos tais que x e y satisfazem o sistema 
ax + by = 2 
ax2 +by2 =20 
ax3 + by3 = 56 
ax4 + by4 = 272
Determine o valor de ax5 +by5 .
Questão 8.46 (Putnam-1939-Modificada)
As raízes de x3 + ax2 + bx
Questão 8.45 (IMO-Longlist-1988/AHSME-1975)_________________________
Se p, q e r são as raizes distintas da equação x3-x2 + x- 2 = 0, determine o 
valor de p3 +q3 +r3.
0 são a, p e y. Determine a3 + p3 + y3 .
Questão 8.47 (Singapura-2014)
Se a e p são as raizes da equação 3x2 + x -1 = 0 , onde a > p. determine o
a Pvalor de — + — .P a
(a + c-2b)2 +(brc-2a): 
a2 +b2 +c2
Questão 8.43 (CN-1988)______________________________________
A equação do 2° grau x2 - 2x + m , m < 0 tem raizes x, e x2. Se 
xi'2 + x2-2 = a e x?’1 + x2~1 = b , então x" + x2 é igual a:
a) 2a + mb
b) 2b-ma
c) ma + 2b
d) ma-2b
e) m(a-2b)
(a + b-2c)2
292 8
(t + r)<
é:
a) b2 - 4ac b)
c) d)
Determine o valor de
Questão 8.55 (Singapura-2014)
Questão 8.54 (BMO-2007)
14 + 20074 + 20084
12 +20072 + 20082 '
Questão 8.48 (Turquia-2004)
Qual a soma dos cubos das raizes da equação x3 - 2x2 - x +1 = 0 ?
Questão 8.49 (Turquia-2012)
Sejam a, b e c são as raizes da equação x3 - 3x +1 = 0 . Determine 
a8+b8-c®.
Questão 8.51 (AHSME-1951)
Seres são as raizes da equação ax2 + bx + c = 0 , então o valor de 1 17+?
b2 -4ac
b2 -4ac
2a
b2 - 2ac
Questão 8.50 (AIME-2008)___________________________________________
Sejam r, s e t as três raizes da equação 8x3 +1001 x + 2008 = 0 . Determine 
(r + s)3+(s +1)3 + (t+ r)3.
Questão 8.52 (AHSME-1955)
Se r e s as três raizes da equação x2 - px + q = 0 , então r2 + s2 é: 
a) p2 + 2q b) p2 - 2q c) p2 + q2
d) p2 -q2 e) p2
Questão 8.53 (Harvard/MIT-2008)
A equação x3 - 9x2 + 8x + 2 = 0 , possui três raizes p, q, r. Determine
1 1 _1_
2 + 2 ~ 2 '
p q r
Somas de Newton
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 293
Determine o valor de
Questão 8.60
,10
Determine o valor de
,1997
Sejam x = , oe y
e)5d) 4c) 3
valor de 4x2 -3y2 é: 
a) 1 b) 2
Questão 8.56 (Stanford-2013)
Sejam a e b as soluções de x2 - 7x +17 = 0 . Determine a4 + b4 .
20143 -20133 -1 
2013-2014
Questão 8.59
Sejam a. b e c inteiros positivos, tais que a = b + c. Prove que a4 + b4 + c4 é 
o dobro do quadrado de um inteiro positivo.
Questão 8.57 (Stanford-2007)
Sejam a, b, c as raizes da equação x3 -7x2 - 6x + 5 = 0 . Determine o valor de 
(a + b)(a + c)(b + c).
Questão 8.58 (Stanford-2007)
Se r + s +1 = 3, r2 + s2 +12 = 1 e r3 + s3 +13 = 3 , calcule r • s • t.
+ (2-V3) 
2
Questão 8.61 (CN-1998)
/—J997(2 +Vã)
Questão 8.62 (Áustria Competição Federal-2013)
Para três números a, b e c, seja Sn = an + bn + cn, sabendo que S, = 2, S2 = 6 
e S3 = 14. Prove que, para todo número natural n > 1, temos 
|sn _ Sn-i ■ Sn+i| = 8.
, y—\1997(2 +Vã) ’ , /-\1997
73
294 Respostas e Sugestões9
Capítulo 09 - Respostas e Sugestões
Capítulo 01 - Potenciação
Capítulo 02 - Radiciação
1.18) x
,2nfn^l) 
2
1.13) xx .
f x*~2-x2
5
a 12
1.21) -— .
b
3 _5
1.22) 4 a 4 b 6 .
1.23) D.
1.24) A.
1.25) E.
1.26) mm~1
1.12) 2' 
. ,x*
gb2mm.nn
•b-3
1.19) x‘
n(n+1)(n+2)(n+3)
1.20) X 4
1.1) C.
1.2) 256abcd.
1.3) 4a2 mm n"
1.4) C.
1.5) W40.
1.6) 10n‘1.
1.7) 9.
a79
, ,,nk+m+k
1.8) (x2)
1.9) (ab)a'b.
1.10) ab(a’1’.
1.11) n = 4.
>310 080
•b^"
1.27) a+r|2
n2+n3
1.28) a 2
nn~1-n
1.29) a n"1
1.14) X
o 50 o50
1.15) a3 -b3 .
,100 .1001.16) a3
,4gc2mm nn
(m2+l).
•c<
.b4,UÜ .c5’00 
n(n+1)( 2n+1)
1.17) X 6 .
n(n+1)(n+2)
3
2.1) 7^.
2.2) 1999®.
2.3) D.
2.4) D.
2.5) r = 4 e s = 5.
2.6) 14.
2.7) È. 
a
2.8) | .
2.9) a.
2.10) 18\/
2.11) an.
2-12) Ç.
2.13) 1.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 295
2.18)
2.24)
2.59) - .
2.37) x
(ip.
2.19) 5.
fi-Vã '|
J 3 >2.20) 33
2.21) B.
2.22) am+2.
2.23) 168 ^6-^49.
24/ZÍ7
5 1
2.25) a 6 b6 .
f-Ê]
2.26) 8J.
2.27) x Vx3 .
2.28) B.
2.29) E.
f n+1)
2.30) x 2 >.
2.31) 729.
2.32) 2250.
43
2.33) 260 .
17
2.34) 780 .
2.35) C.
t']
2.36) xl 3 <
Í4n-l'| 
4n I
f ®2*1 i
2.38) x' 6" i
í líz1)
2.39) x 10"
2.40) x(x‘1) x.
M
2.41) x 9 .
2.42) B.
2.43) E.
2.44) 3.
2.45) 7.
2.46) 5.
2.47) 5.
2.48) 1 + VÍ+ã.
2.49) 6.
2.50) 46.
2.51) n + a + x.
2.52) 4.
2.53) ^.
2.54) Demonstração.
2.55) 5.
2.56) 9.
2.57) 49.
2.58) 2.
___ 3
' 8 '
2.60) —.
x
2.61) -lí— .
x
2.62) 2.
2.63) 243.
2.64) 2o1V2O17 .
2.65) ^.
2.14) 8.
2.15) a^aa+b ■ b .
2.16) 2.
2.17) 1.
296 9 Respostas e Sugestões
Capítulo 03 - Racionalização
3.1)
3.2)
3.5)
3.6)
3.7)
3.8)
3.9) 72 + 74 .
3.10) -2-275 .
3.11) -3-275.
2.66) 10.
2 67)243
2.68) C.
2.69) 8.
2.70) 75.
4
2.71) 525 .
5
2.72) 216
^2
2.73) 7 7
5-^2
2.74) 2 4 .
2.75) 77 .
2.76) 1313.
3.12) V5-1 .
3.13) 2.
1 
314)3-
3.15) 1 + 75.
3.16) 272 + 277 + 3 .
3.17) 77 + 7b.
3.18) A.
3.19) B.
3.20) C.
3.21) B.
3.22) E.
3.23) 2V2 + 7Õ + 2 75 + 727 .
3.24) 14.
3.25) 1 + 75.
3.26) 2-75.
3.27) 9 + 475 .
3.28) 75-1.
3.29) 3+275.
3.30) 5-77 .
3.31) 3-77 .
3.32) 75-2.
3.33) 2 + 75.
3.34) 1+275.
3.35) 275-3.
3.36) x = 3.
3.37) M = 2.
3.38) 7.
3.39) B.
3.40) -277 .
3.41) -10 .
3.42) -10 .
3.43) 675-8.
3.44) 10.
cW
b
73-75
6
3.3) B.
3.4) 75 + 75 - 74.
372-275+750
4
75 + 775
9
5 + 2770
30
6(4072-975+3577-12770)
215
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 297
Capitulo 05 - Produtos Notáveis
3.51)
3.52)
5.18)
4.1) x3 -2x2 -6x + 27 .
4.2) 3xjxy .
Capítulo 04 - Expressões 
Algébricas
\2 
n + 2] .
3.45) 4.
3.46) B.
3 47) A.
3.48) A.
3.49) D.
3.50) B.
1+ 75
2
3 + 77
2
3.53) Demonstração.
3.54) Demonstração.
3.55) 1.
3.56) E.
3.57) 2.
3.58) 75.
3.59) B.
3.60) 7Í3 .
3.61) Demonstração.
3.62) Demonstração.
3.63) Demonstração.
3.64) 72 + 73.
3.65) 1 + 72 + 75.
3.66) Demonstração.
3.67) 936
3.68) 1+ 73 .
3.69) 73-1.
3.70) 1 + 72 .
3.71) 828.
3.72) D.
5.1) 711.
5.2) 69.
5.3) 5.
5.5) C.
5.6) 4.
5.7) (x2 -
5.8) X = 9
5.9) B.
5.10)
5.11) D.
1 
5-12) -.
5.13) .
5.14) 1.
5.15) Demonstração.
5.16) 23.
18
5.17) y .
k4 +24k2 +16
4k3+16k
5.19) (4x2 -l](2x + 1)(2x-1).
5.20) 2100.
5.21) 199-197-195-...-3.
5.22) 5 993 002.
5.23) a-b.
5.24) a-b .
5.25) Demonstração.5.26) A.
298 9
5.39) —.
5.40) ----- .
5.41) 5.75) —- .
5.76)5.42) xy = -
5.43)
;5O + 1.
5.77) 
a) 0. 
c)1.
b) 0.
d) a + b + c.
b) 0. 
d)1.
' +a2nb2" +b2"1 
a2 + ab + b2
5.78) Demonstração.
5.79) Demonstração.
5.80)
a) 0.
c) 0.
5.81) Demonstração.
5.82) Demonstração.
5.83) ------—.
2a+ b
+ 525
5.27) A.
5.28) 4d2.
5.29) a18 -b18.
5.30) A.
5.31) -3.
5.32) D.
5.33) B.
5.34) B.
5.35) —.
a2b2
5.36) C.
5.37) (a + b)(a-b)2.
5.38) 3999.
e 43
63 '
91 
136 '
(a + b)4 =k2 +4kx + 4x2 e 
(a-b)4 =k2 -4kx + 4x2
1 
' 6'
k4 +24k2+16 
4k3+16k
5.44) 5100 +57s + 5!
5.45) 992.
5.46) 20.
5.47) 41.
5.48) D.
5.49) C.
5.50) E.
5.51) -123.
71
5.52) D.
5.53) ±123 .
5.54) 1
5.55) 116.
Respostas e Sugestões
5.56) ^2.
5.57) 5778.
5.58) Demonstração.
5.59) E.
5.60) C.
5.61) C.
5.62) 25.
5.63) A.
5.64) C.
5.65) 2525.
5.66) 123.
5.67) D.
5.68) D.
5.69) -a3 +3ab-3c.
5.70) 753.
5.71) 4.
5.72) 5.
5.73) 4.
5.74) Demonstração.
_ 2414
97
on+1 
a
Os Segredos da Álgebra para 1ME/1TA/OLIMPÍADAS 299
,2
5.84)
5.115)
5.92)
Capitulo 06 - Fatoração
'3-r-9a3b2j
.34)
9^(a-b)2 .(b-c)2+(c-a)2)
2
5.116) 1.
5.117) — 5.
5.118) 3a2b2c2 -2(ab + bc + ca)3.
5.119) Demonstração.
5.120) |.
5.121)
O
5.122) Demonstração.
5.123) Demonstração.
5.124) Demonstração.
5.125) Demonstração.
6.1) 28
6.2) (4x2 +l)(2x + 1)(2x-1)
6.3) E.
6.4) (5a-3b)(x-y).
6.5) (x-y-a)(x-y + a).
6.6) (x-y)(8x-3).
6.7) (4x2y3-9a3b2)(4x2y:
6.8) (3a-8)(a + 2)(5a2-22a
6.9) 3.
6.10) Ç.
6.11) A.
6.12) B.
6.13) í? • b
6.14) 0.
8ab2
(a2T^f
5.85) X.
5.86) D.
5.87) Demonstração.
5.88) 0.
5.89) 0.
5.90) 373.
5.91) 313.
2, se a + b + c»0 
-1, se a + b + c = 0
5.93) 27.
5.94) - 2.
5.95) 9.
5.96) Demonstração.
597>5'
5.98) Demonstração.
5.99)
5.100) 4 030 057.
5.101) 3.
5.102) 5778.
5.103) B.
5.104) 4.
5.105) A.
5.106) B.
5.107) 2.
5.108) x/5.
5.109) E.
5.110) 4.
5.111) Demonstração.
5.112) Demonstração.
5.113) B.
e Sugestões300 9 Respostas
6.22)
6.23)
6.25) ,2
6.28)
)(c2 -abj.6.29) 1-
b) 0.
d) 1.
6.43) 30.
6.44) 0.
6.45) 1.
6.46) 0.
6.47) 0.
6.48)
a) 0.
c) 0.
b) 0.
d) a+b+c.
~5)- 
t-5).
6.15) (ay + bx)(ab + xy).
6.16) (a-4)(a-2)(a + b)2.
2
6.17) (a + b) (c+d).
6.18) (a + b-c)(a-b + c)(-a + b-rc)
6.19) (a-4b-5c)(a-4b + 3c).
6.20) (a2 + b - 2c2 )(a2 - 2b + c2).
6.21) (2a2 + 3b2 - 2)(a2 + 7b2 + 5).
a - b 
a + b - c
a + b - c 
a - b + c
6.24) (a + b)(a + c)(b + c).
a3 (a2 +ab + b2j
(a + b)'
6.26) — + — . 
b a
6.27) 2a2b2 -a-b.
a2 +ab + b2
a
4ab
a2 + b2
6.30) Demonstração.
6.31) D.
6.32)
(a + b-c)(a-b + c)(a + b + c)-
(-a + b + c).
6.33)
(a + b + c)(a + b-c)(a-b + c)- 
•(-a + b + c).
6.34) 104.
6.35) (y2 - 2y)(y2 - 4y + 2).
6.36) A.
6.37) A.
6.38) B.
6.39) T'
6.40) -34 .
6.41) Demonstração.
6.42)
a) 0.
c)1.
6.49) 10.
6.50) a2 +ab + b2.
6.51) Demonstração.
6.52) Demonstração.
6.53) (a2 -bc)(b2 - ac
3
6.54) -.
36.55) ^.
6.56) Demostração.
6.57) Demonstração.
6.58) Demonstração.
6.59) (x-1)(x2 -5x-
6.60) (x + 2)(x2 + 2x
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPiADAS 301
-4x + l)(x2
2
6.61) (x-1)(x + 1)(x + 4).
6.62) (x + 4)(x2 +l).
6.63) (3x-2)(x + 1)(x + 2).
6.64) (x + 1)(x-2)(x + 3).
6.65) (x-1)(2x + 1)(x + 5).
6.66) (2x-3)(2x-1)(x-4).
6.67) (x + 1)(x + 2)(x + 3).
6.68) (x + 3)(4x2 -20x-3).
6.69) (2x-3)2(2x + 5).
6.70) (x-2)(x2-2).
6.71) (x-2)(x-1)(x + 1).
6.72) (6x + 1)(x2 +x + 2).
6.73) (x-1)(x2 + 4x + 7) .
6.74) (x — 1)(x2 + 2x + 2) .
6.75) (x + 1)(x-3)(x + 6).
6.76) Demonstração.
6.77) (2x-3y + 5)(x + y-5).
6.78) (1-x-2y)(3x + y + 5) .
6.79) (2x + y-2)(4x + 3y-3).
6.80) (x + y-4)(x + y + 1).
6.81) (2x-3y + 8)(2x + 5y-12).
6.82) (5x-2y + 1)(2x + y-7).
6.83) (x-8y-6)(3x +2y+ 1) .
6.84) (x-3y + 5)(7x-y + 6).
6.85) (7x + y-1)(x + 3y + 2).
6.86) (-x + 1)(3x + y-2).
6.87) (2x + 3y+ 3)(9x-r8y).
6.88) (x2-4x + l)(x2+4x + 15).
6.89) (x2 -n + 2'
6.90) (x2 +7)(x2 +3x-2).
6.91) (x2 -3x + l)(x2 -x + l).
6.92) (x2 -3)(x2 +2x-5).
6.93) (x-1)(x + 1)(x-3)(x + 5).
6.94) (n2 - n+ l)(n2 + 5n + 7).
6.95) (x2-5x + 2)(x2-2x + 2).
6.96) (x2 - 7x + 3)(x2 - x + 3).
6.97) (n2+l)(n2 + 2n-2l).
6.98) x(x-1)(x-2)(x-4).
6.99) (x2-2x + 3)(x2 + 2x + 3).
6.100) (x2-2x + õ)(x2+2x + 5).
6.101) (x2 - 2x + 5)(3x2 + 6x +1).
6.102) (x2-2x + 5)(x2-4x + 13)
6.103) (x2 -2)(x2 -x-3) .
1 26.104) X =-2, x=-1x = --,x = -,
6.105) (3x +1)(2x - 1)(x2 + 3).
6.106) (x + 1)(x-2)[x2 -3).
6.107) (x-2)2(x-1)2.
6.108) (x2 - 3x + 4)(3x2 +x-6).
2
3
302 e Sugestões9 Respostas
6.130) (x + 1)(x2
6.135) (2x-3y + z + 3)(x-y + 5z-3).
6.136) (x-y-z + 4)(-2x-y + 2z + 1).
6.137) (x + y + 2z + 2)(2x-2y + z + 1).
2)(x + 2y + 3z + 1).6.138) (3x + 5y-
Capitulo 07 - Polinômios 
Simétricos
+ 1).
+ x + lj.
-x + lj(3x2 +5x + 3j.
+ nx + n2 j.
6.131) (x- 1)(x +1)2 (x + 2)2.
6.132) (x-2)3(x2 +4).
6.133) (x-2)(x + 2)4.
6.134) (x-2y+ z + 5)(x + 2y + 2z + 1)
7.1) 5xy(x + y)(x2 + xy + y2).
7.2) C.
7.3) Demonstração.
7.4) 1.
7.5) Demonstração.
7.6) Demonstração.
7.7) (x + y)(x + z)(y + z).
7.8) (x + y + z)(xy + xz + yz).
7.9) (x + y)(x + z)(y + z).
7.10) 3(x + 2y-3z)(y + 2z-3x)-
(z + 2x-3y)
7.11) (a-b)(c-a)(b-c)(a + b + c).
7.12) (a-b)(a-c)(b-c)- 
(a2 + b2 +c2 +ab + ac + bc).
6.128) (x + 2)[x2-2x-l)(x2 + x + l)
6.129) (3x-2)(2x + 1)(x-1)(2x-2x-1).
+ 1 x1
6.109) (5x-2)(x + 3)[3x2 +x + l)
6.110) (x-2)(x + 3)(x + 4)(x-5).
6 111) 
(x2n + l)(x‘
6.112) (x2+l)(x2
6.113)
(x + n)(x - 3n)(x2 -3nx + n2).
6.114)
(x + n)(x - 3n)(2x2
6.115) (x-2)3 (2x + 3).
6.116) (x2 +l)(2x2 -x + l).
6.117) (x +1)2 (x2 +1).
6.118) (x-1)(x + 2)(x-3)(x + 4).
6.119) (2x + 7)(x + 1)(x + 3)(x-5).
6.120) (4x + 1)(x2 +9](x-6).
6.121) (a-2)(a-1)a(a+1)(a + 2)
6.122) (x - 2)(x-1)(x + 2)(x2 + 2).
6.123) x2(x-3)(x-1)(x + 1)(x + 2)2.
6.124) (x + 1)(x2 + l)(x2 -2).
6.125) (a-1)(a+ 1)z (a2+4a+ 7).
6.126) (1-x)(x2+l)(x2+x + l).
6.127) (x-2)(x-6)(x + 12)[x2 +x + l).
,6n _ *3n,4n _ x2n
Os Segredos da Álgebra para 1ME/ITA/OLIMPÍADAS 303
Capitulo 08 - Somas de Newton
7.16)(a-b)(c-a)(b-c)(ab + bc + ac)
,2
7.14) (a -b)(c-a)(b -c)(a + b + c).
7.15) (a-b)(c-a)(b-c)-
8.1) 1.
8.2) ±123.
8.3) 2.
8.4) a6 - 6a2b + 7a2b2 - 2a2b3 - a4b - 2b'
7.13) (a-b)(c-a)(b-c)-
■ Xa3 + Xa2b + abc ■ 
ksim sim )
7.17) (a-b)(c-a)(b-c)-
•í X a3b + X a2b2 _3X a2bc'j. 
\sim sim sim )
7.18) (x-y)(x-z)(y-z).
7.19)
• X a3 + X a2b - 9abc ■ 
\sim sim )
7.24) 24xyz.
7.25) 80xyz(x2 + y'
7ab Xa5 +3Xa4b + 5Xa3b2 • 
\sim sim sim )
7.20) (a Ebjfa + cKb + c)-
(a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc)
8.5) 2525.
8.6) 6621.
8.7) Demonstração.
8.8) Demonstração.
8 9) Demonstração.
8.10) Demonstração.
8.11) Demonstração.
8.12) “|-
8.13) Demonstração.
8.14)
b
8.15) Demonstração.
8.16) Demonstração.
8.17) Demonstração.
8.18) Demonstração.
8.19) |.
8.20) Demonstração.
8.21) Demonstração.
8.22) Demonstração.
8.23) Demonstração.
8.24) Demonstração.
8.25) Demonstração.
8.26) Demonstração.
8.27) Demonstração.
8.28) Demonstração.
8.29) Demonstração.
8.30) Demonstração.
8.31) Demonstração.
7.21) Demonstração.
7.22) Xa3b3-zLa4bc- 
sim sim
7.23) 7(a+ b)(a + c)(b + c)-
( A2
• ^a2 + ]Tab +abc(a + b + c) 
k sim sim )
Sugestões9304
8.32) Demonstração.
8.33) Demonstração.
8.34) Demonstração.
8.35) Demonstração.
8.36) Demonstração.
8.37) Demonstração.
8.38) Demonstração.
8.39) Demonstração.
8.40) Demonstração.
8.41) 992.
8.42) 20.
8.43) B.
8.44) 9.
8.45) 4.
8.46) -a3 + 3ab-3c.
8.47) .
8.48) 11.
8.49) 186.
8.50) 753.
8.51) D.
8.52) B.
8.53) 25.
8.54) 4 030 057.
8.55) 3.
8.56) -353.
8.57) 4.
8.58) 4.
8.59) Demonstração.
8.60) 123.
8.61) D.
8.62) Demonstração.
Respostas e
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 305
Capítulo 10 - Resoluções
Capítulo 01 - Potenciação
E = => E ==> E =
2
=> E =
2d
a2-mmnn
,-(2k-1)
=> E = 2: -2
7
8
2^14-4
Questão 1.3_________________________________
Resolução: Chamando a expressão de E, temos: 
,mm nn
2n Í24 -2)
2n -24
24 -2
24
Questão 1.1 (AHSME-1952) - Resposta: Alternativa C
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
2n+4-2-(2n) 2n-24-2-(2n)
(2n+3) 2-(2n-23)
= E = —
16
=>E = 1^
16
1 „\abcd
- E=(28)E = ^22a2 -32b2 -72c2 j
/ 0\a2mm-nn 
=>E = (22)
gb2 ■ rnm. nn
Questão 1.4 (AHSME-1971) - Resposta: Alternativa C_________
Resolução: Seja x = -2k e chamando a expressão de E, então: 
2-(2k+1) _ 2 (2k-1) + --2k _ 2-2k-1 _ 2*2k+1 + 2~2k
!X+1+2X =• E = — -2x-2 + 2x => E = 2XÍ—-2 + 1
2 Í.2
£ _ 2^8000
/ 9\b2 mm-nn
■(32)
^22a2 ,32b2 72c2 ) _4;
/ 9xc2 mm-nn•í72)
= 256abcd
4gc2mmn"
Questão 1.2_________________________________
Resolução: Chamando a expressão de E, temos: 
2d
2^ ' 2b ■ 2c ■ 2d
-2-(2n) 
2-(2n*3)
=> E = 22®2 mm h" .32b2'mm n" ,y2c2 mm nn
1
2
Resoluções306 10
=> E = -2x-2
■2k
E =
E =
E =
,n-1
E = => E = => E =
,n-1
E = E = => E =
E = 2n'1 ■ 5n’1=> E = =. E =
Questão 1.5________________________________
Resolução: Chamando a expressão de E, então:
2n -5n 
5-2n +2-5n
5^ 
5 
5 
5n
£ 
5
5n
2n
2
2
2n
2"
2 
2_ 
2n
■ |54 -316 -[_516 311 -1111 ■ |?171-11________
|520.230.[75õ].240.340.|540 32l28
=> E = — 
2'
240
I17.413-313[z2l
e = -2!_ 
104°
.240.^.^.54°.73tf'.^
• 340
=> E = 2xf--1
. 2“(2k+1) _ 2~(2k-i) + 2~*
104 • 1516 ■ 3311 • 7717 - 8413
520.1430 ■ 3O40 1128
2 ■ 5n + 5 ■ 2n 
2-5
104 -1516 -3311 ■7717 -8413
520 .1430.3O40 -1128
5n~1 + 2'
51‘n +21
_ _2-(2k+1)
5n-1 +2' 
51-n+21
(2-5)4(3-5)16(3-11)11-(7H)17-(4-3-7)13
520 (2-7)30 (2-3-5)40 -1128
= 10~4°
E.Z.
=> E = -2X'1
1
,40 540
Questão 1.6
Resolução: Chamando a expressão de E, temos: 
2 ■ 5n + 5 ■ 2n 
25 
5-2n +2-5n
2n -5n 
25n +5-2n 
2 5 
5■2n + 2 ■ 5n
2n -5n 
2n -5n 
2-5
=> E =----- ------
(2-5)40
q4-t26 
E =
^16+11+13 g4+16 _y17+13 ^^11+17
.520.540.730.^28230
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 307
E = (2.5)' = 10'
X
E ==> E =
- x-x
=> E = => E =
1
xk
■X'
=> E = x
E = aa’b ba*b
■ba'
+ 21
Questão 1.9
Resolução: Chamando a expressão de E, temos: 
bavezes a a vezes
E = ab + ab + .
bavezes
ab-ab '~
5n~1
51-n
Questão 1.10
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
b3vezes abvezes
E = ab • ab •... • a1
(x2 -x + 1) 
| 1- x + x2 | 
X2
-X+1)
=> E = (x2 -x + lj-
E =
x1
,. + ab bb+bb+... + bb => E = ab ba-bb-aa 
aavezes
+... + ab • bb + bbí... + bb = (ab)a+b .
ib-ba ba-... ba
(*2
(x-2
Questão 1.7
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
.nk+2 „nkti , vnk xnk(x2-x + l)
(x“2 -x"1 + lj
2 = X .
E = xnk
E = xnk
xn”
1 - X + X2 J
- xnk
- Xnk
- xnk
- X^"1
+ X
+ Xnk
_(b+1)
■baab ., E = ab'a‘1’
xnk+2
xnk-2
=> E = ab ba
+ xnk
+ xnk
(x2 - x + l) 
G í
Questão 1.8
nk
x vezes xnvezes xkvezes
+ Xnk + ... + x"k -xn + xn +...+ xn ■ xk + xk + ...+
• Xnk • xn ■ xn • xk ■ xk = x2r|k -x2n X2k = x2nk’2n-2k
2^nk+n+kj _ / o\nk-n+k
X
,nk-2
Resoluções308 10
128
2n-7
xxxx-...xx =
XX '
=> E = x=> E = x
E =
= 9 => 2n =16
Questão 1.14
Resolução: Podemos escrever: 
x vezes
Questão 1.11 (Harvard-MIT-2012)
Resolução: Podemos escrever:
Questão 1.12
Resolução: Chamando a expressão de E, temos: 
"2015"vezes
Questão 1.13
Resolução: Podemos escrever:
x vezes x vezes
xx xx ... xx = x'x)X .-.
E= xx^xx-...-(xx)Xj
27
2V,2(224)
£ 
2128 2'
E- (2>‘J
f Xxt2 - X2 
x' X’1
-
.2^
222"
22 28 = 222n'7 229
2n = 24 .-. n = 4 .
xx X
Questão 1.15
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
"50'‘vezes "50" vezes "50" vezes
E = a3b4 a3b4 ... a3b4 => E = a3 a3 • ... a3 b4 b4 ■....b4
xx+i+i_xi+n
x-1 J
E = 2(35r635 2016 .,10080E = 23 E = 23
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 309
=> E = x • X‘ • X' •X ... • X
x-(x2)2.(x3)3.(x4)4.....(xn)n =
Questão 1.18
Sugestão: Use 1-2 + 2- 3 + 3- 4 + ... + n (n + 1) =
■•+n-(n+1)
x2.(x2)3.(x3)4.(x4)5.....(xn)nt1 =
n(n + 1)(n + 2) 
3
Questão 1.16
Resolução: Chamando a expressão de E, temos: 
“100"vezes
E = a3b4c5 a3b4c5 •... a3b4c5
"50“ vezes
=> E = a<3>5° ■ b(4>5° .-. a3b4 ■ a3b4 •...• a3b4 = a3*0
100 vezes
.-. a3b4c5 a3b4c5 ■,.. a3b4c5 = a3™
o50 •b3 .
e100•c°■b4’00
Questão 1.17_______________________________________
Sugestão: Use 12 + 22 +32 + ... + n2 = n^~— .
6
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
E = x - (x2)2 - (x3 )3 ■ (x4 f -... ■ (xnE = x • x22 • x33 • x4 4 .... x"" 
,12 . v22 v32 . v42 . vn2
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
E = x2.(x2)3.(x3)4.(x4)5.....(xn)n+1
=> E = x1 2 x2 3-x3 4.... xn (n+1> => E = x1 2+2'3+3' 
n(n+1)(n-2)
X 3
.b(<)10°
E _ x12+22+32+42+.. .+n2 
n(n+1)(2n-r1)
X 6 .
b<5)100=> E = a(3)10°
"100"vezes "100"vezes "100"vezes
=> E = a3 a3 .... a3 b4 b4 .... b4 c5 c5 .... c5
310 10 Resoluções
Questão 1.19
2
Sugestão: Use 13 + 23 + 33 + ... + n3
3 4 ,n
E = x X X' X
.n
X
.4
E =
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
>5 / \n+2
5
=> E = a12-b‘
21 1
=> E = a3 4 b2
n(n+1)(n+2)(n+3)
X 4
Questão 1.20
Sugestão: Use
~n(n+1)~ 
2
Questão 1.21 
Resolução: Podemos escrever: 
2 1
a3 -b2 
“1 3
a4 -b2
=> E = x1 2 3 • x2 3 4 • x3 4 5 ■ .. • xn ’ <n+1) ’ <n+2> 
 x1 2-3 + 2 3 4 + 3 • 4 • 5+...+n • (n+1) (n+2)
(<!)I((x2)3)4((xT)s-fr"r,r2-
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
E = X.[(x2)2] .[(X3)3] ,((/)^ -.{(xn)n) 
E = x x2 2 2 x3 3 3 x4 4 4 •,.. xn n n
,13 v23 v33 y43 xn3 _ x13+23+33+43+...+n3
1-2-3+ 2-3-4+ 3-4 ■5 + ... + n(n + 1)(n +2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
3 8-3 1-3
2 => E = a 12 -b 2
311Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
E =E = => E =
4
S =
1-2
S = Á
1 Y 
Á. 1+2’32
32
' 1 'l- 64’2 — (32)-5 => E = -^ + 1
_1_' 
1 + 2’16
1 + 2 16
1-2’32
r 
1+2'2
1'
1 + 2 4
5
b '
E = —-a0
16
2 1
a3.b2
1 3
a4-b2
2aY Y2a"3'3 
k b/3
 1 _ 8-1
=> E = 1 — => E =-------
8 8
3-6
4a 4
2^3 
b23
Questão 1.23 (AHSME-1954) 
Resolução: Podemos escrever:
+ ll6j
3 5
= 4 ■ a 4 • b 6 .
E = I
8
-(26)’2 -(25)’5
_3 
c 4a 4 
E = —
b6
3 _ 3 
4a4 2
7" 
b3 + 2
Á b/z
2a" 2
A b/2
1'
1 + 2 2
1/
1 + 2 4
1 '
1 + 2 8
r
1 + 2’8
Questão 1.24 (AHSME-1971)
Resolução: Podemos escrever:
_ 1_'
1 + 2’32
Questão 1.22
Resolução: Podemos escrever.
( 3/ V 
2a 4
< b1'3
1
16
312 Resoluções10
=> S = S = —
1 A
E
r®
a9.
m
E = =>E =
mm
E = + m
=> E =
2 
m
 1
1 + 2 32
J2
m
m2-1
m
1 \m— 
mm-1 
i m
m 
m2-1
2
2
m 
m2-1
m 
m2-1
2 
mm +1
1 + 2'16
£ A 
1-2 321 + 2 4
_i'
1 + 2 8
Questão 1.26
Resolução: Podemos escrever: 
m
m 
m2-1
1-1
2 
1' 
1-2" 32
E = (-a6)-a
+ rnm“1=. E = mm+1
rnm-1
c __m—1 b = m
=5. E = a32
Questão 1.25
Resolução: Podemos escrever:
.a32.a-32.(-a32)
^.^y^yí-a1
=> E = a6-6+32-32+32
nn1 
m m
m+1 
m m
m+1 
m m
m-1 
m m
2
2
_ 1 
1-2 32
r 1 '
1-2'32
m-1'
+ m m
m*1 
m m
m+1 
m m
(m2+l).+ m m
m-nm
+ m m
m-1
+ m m
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 313
■n4
E =
E = z
,2n ,3n
ane = 7 => E = a
Questão 1.28
Resolução: Podemos escrever:
Questão 1.29
Resolução: Podemos escrever:
a-3.a-H4).....a
a-(-n)n
•b-"3
,a-(-2n).a+3n.a-(-4n) a
a"3
n2+n3
.-. E = a 2
...an2
=> E = a+n
■a‘,n
a-2n 
a3n
g an+2n+3n+...+n2
Questão 1.27
Resolução: Podemos escrever:
b"3 '
a'n2
=> E = atn2
=> E = an a:
rn2jn
=> E = a 2
•a'
314 10 Resoluções
Capítulo 02 - Radiciação
'a9
E = => E = => E =
72 E = 7^.=> E = => E =
E =. E = => E = => E =
=> E =
72/ E = 7^.=> E =
___
724a
Resolução 02: Colocando os radicais no mesmo índice e simplificando cada 
operação, temos:
72^
72/
=> E = —
12/Zã
•Jã
2^-24^
E = 7^H)
7iO^ 
=> e = —, => e =
72/ 32-36
2ií^ 7?lE = -^= => E =24/2-3E = J^=
18/a8-9
...-a""■a"4
'a'3*4
•a"3 w _ „n+n2+n3+...+nn
Questão 2,1 (CN-1964)________________________________________________
Resolução 01: Colocando todos os radicais no mesmo índice, ou seja, tirando 
o mmc de todos os índices, temos:
7^Í8
72^-72^
7^ã33
nn+1-
E = a "-1
72Jã^ + 72J
7^24+8
7^a3®'~
=> E = an an2 
n(nM)
=> E = a n-1
. y-
7^
72^.72^
7^32
7277r<T4)
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 315
5/
l4 I4
E => E
i4
=> x = 19999.
=> y = 19998.
=> z = x/l99940
Assim, temos:
1 
(xyz)3 = ^xyz => 
=> ^xyz = x/"l 999'
Resolução 02: Efetuando a multiplicação dos indices e simplificando, temos:
E=[3Mf-[6^]
=> z = 199910.
Questão 2.3 (AHSME-1956) - Resposta: Alternativa D 
Resolução 01: Simplificando os indices com o expoente,temos:
=> E = (^)4-(^)4 => E = a2a2
=> e = ^/n4 n9 => $
Questão 2.4 (AHSME-1998) - Resposta: Alternativa D 
Resolução: Elevando a expressão ao quadrado, temos: 
E = =/n => E = x/x/n N3" => E = x/n tj/tF
'a36,36 18/
=> ^xyz =19999.
Questão 2.2 (CN-2000) - Resposta: Alternativa A 
Resolução: Tirando os valores de x, y e z, temos: 
x/x2 =1999® => x2 = (1999®) 
x/y=19994 => y = (l9994)2 
Ç4 =1999® => z4 =(19998)5
I3 => x = Vl99918
’N WN =
> ^xyz = ^x y z => ^xyz = ^19999-19998-199910 
,9+8-10 3/^ = 3/iggg27
|4 = =>
E = a2 a2 .-. [3/Wj4-|¥W]4 = a4 .c: 18/^ t = ya
Resoluções316 10
2
2
E =
=> E = ^=> E = 3-b
E = 2-7 = 14.
=> E = fe=â
a'
b-a=> E = b^a => E
*7a-b 2a-b
7b-a +2b-a
1_6
25
=> E = a-b
Questão 2.5 (Harvard-MIT-1998)
Resolução: Elevando a expressão ao quadrado, temos: 
r i2
Questão 2.7
Resolução: Podemos escrever:
Questão 2.6
Resolução: Podemos escrever:
:' -jb 7s , 2a 7b
I 2b ■ 7b
aa-ab-bb+ba-bb-aa 
ab -ab -ba + ba -ba -ab
^■b13
ab-ba
(ya—b j 2a~b
7b-a +2b-a
2b -7a + 2a -7b 
2b -7b
2^ • 7b j 2b • 7a
2a 7a
,2a •7a~
2b ,7b
4-4(
25(3 + >/5)
Como r e s são inteiros primos relativos, concluímos que r = 4 e s = 5 .
2a -7a
2^ • 7^ í 2^ ■ 7^
laa+bbb+ba+baa
:2b ba +b2a -ab
aa bb (ab +ba)
Vab-ba-jab +ba) - Vab'a
2(>/2+ >/iÕ) 
5(73 + 5/5) 
2-5/2-5/10 + 10) 
25(3 + 5/5) 
4(12 + 2-2 5/5)
25(3 + 5/5)
(3 + 75) zr
' U=(íí-
=s E = —72a-b -7a-b
4(12 + 2-5/20)
25(3 + 5/5) 
4(12 + 45/5) 
25(3 + 5/5)
< r f 
IsJ 52'
r 2(5/2 1 Tíõ) 
s 5(73 + 5/5) 
= 0’^
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 317
b. b-a
aa'
E =
=> E =
= 2 + 2'
aa
E =
=> E =
=> E
=> E =
4 + 1
2
2 
2
5
2
a^y22b-a’b
Questão 2.9
Resolução: Podemos escrever:
aatb ■ bb + ba*b ■ aa 
i2b ba +b2a -ab
Questão 2.8
Resolução: Podemos escrever:
318 10 Resoluções
4/
3/4/5j3/4/
Resolução 02: Colocando os radicandos "para dentro das raízes", temos:
a64I
,30=> E =
=> E =
■ 3 4 5l
2
=> E =
Questão 2.12
Resolução: Podemos escrever:
Questão 2.11
Resolução: Podemos escrever:
^2n+1 -(2“n)2
3 
Va
4 
va
E = "
E = n+:
=> E = n+7a"2’3n => E = n*7an(n+3) E = an.
=> E = n+?/—
a3n
(n2 +5n gnígn2 »5n
r- n
jan2 
'í 7a3"2
=. E = n‘^an2+6n-3n
^1-Va37 a120
E = 17 => E = ~77“
E = 777
7a
'a yja >/ã => E = 3 4 5 BJã ■
 
=> E =
= E^Ti^a-7?7
=> E = ^ —VT37 =
180 ryK
= Va
l_n2 +6n 
=> E = n‘?
3Ja
3Ja
Va
$
Questão 2.10
Resolução 01: Podemos escrever: 
 
E^/^W.^a^ E = ^-5^-
E = 36C,^-3íí/FW^W => E = ^ 
=> E = 3̂ -—
=> E = ~ E = —7^
=> E = 1^-3^.^ = —7^-—7^ —V?
==> E = —7a1+60+15+3 .'. E = —Tã7®
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 319
2
=. E =
•2n
=> E = n
(*) Observação: Veja essa técnica no capitulo de racionalização!
3E E = 3I => E = 3
=> E = 3=> E = 3 •2
1.
Resolução 02: Colocando os radicandos "para dentro das raizes”, temos.
3=> E = ?E = ? => E =
,20
=> E = => E =3 3
-2n
=> E = 2
1
Ü2
^16^/4 
2V41V2 -
=> E = 2~4
^4-25 -1^2
y 2V4-1^2
^16^4 
2^4-1^2
' ^16^4
2^/4-1^
Questão 2.13
Resolução 01: Podemos escrever:
|3VÍ6 .^4
^¥■^2
=> E = 3-cL=
^^22
j: 20*1-2n j
p — nl
I 1^22 2: 
1^22 -25 j3 -1^2
1^220
-1V2
'^22-(24)5
^4.25'.1V2
I'fâ2
=> E = ?Pi= =1- 
Vx/?2
f92-2n
|4 ±____
V 22
= E = n-1^2^2
4/93
=> E = 2L£_
2
l1^220 22 
!5j221
^2~n ■ x/2n-1'1 _ i/3_ 
i[Ã “2
=> E = \/i 3
I
1^(27 )3 '2
, £ __ 8nJ
320 Resoluções10
,n
=> E => E =
kn
=> E =
=> E = = 8.
= —>/a^aa2-b2ba-b
E = §tb.
= a^a(a+b’b.
f xy i 
_ 2'-2ab-
JAi
■■ l»-2|-
xy 
|ab
h l^x b íl/x a-o I___ . b-a i___
V\/y W
ab(a-b)^X^ ab(b-a)J
Questão 2.16
Resolução: Podemos escrever:
Í8n ■ 8n +(8n -32n) 
8n + 32n
l82n+(23+5)’
8n + 32n
lsn(8n + 32n)
8n +32n
Questão 2.15
Resolução: Podemos escrever:
E = a_bE
V^b
E = "
1
=> xab •
'64n + 162n 
8n + 32n
(xy) =2(2J
^8n .-.
E = ^a^a(3,b)(a^;
xy
= (^)aÈ
+ (23-25)n
8n + 32n
=• xy = 2' 2
64n +162n n___________
V 8n + 32"
i—l 2<2ab)
E = ?
8n'n n
n82,H28)
V 8n +32n
b _ 
xab(b-a)
_ a__ _ b__
xab(a-b)-ab(a-b) (JQL) 
b a Z
yab(a-b) ab(a-b)
a 
yãb(b-Tj
xab(a-b>
yrbFb) 
a-b 
ab(a-b)
Questão 2.14
Resolução: Podemos escrever:
V 8n + 32n
=> E = W
X______
b-a 
yab(a-b)
1
yab =
=> E = f
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 321
E =
J?
=> E = k/ã
75
■2 7572
75=> E
=> E
1
2
(;/
(1-72)72 
1-75
Questão 2.18
Resolução: Podemos escrever:
—]W 
75
f '-^2] E = 2^“^ '
1 1 11
=> E = a2 a 2 => E = a2 2
• 2^
Questão 2.17
Resolução: Podemos escrever:
■a
_ 2f 1—75), 2"
f 1-75 >2) 
= 2l ) .
=> E = 2^
=> E = 2^
_1
■a 2
■JPT
tíí
=> E =
E
3+3V2-V2-2) 
1-2 J ;
Í75 J
75°
_1
•a 2
=> E = 2-(1+2'/5) .-. E =
r (2‘1)
=> E = a° .-. E = 1.
=> E - j■ a
_1 
a 2
^(75-a-TÍ) 1
' (a-1)2 => E = í^a
E =
c í r^a => E = va
( ra a=> E = Ui'
^1-----
E =---------\I2 • 2“' 2 ■ 2-
I21-J2 ,2-72 e = 1-^-J2-2~'^
2J
=> E = rf
E = tó
Resoluções10322
■5^°
E =
-51
E =
5'=5 E ==> E =
848 1,2
5.55 -55 5+5 5—5 5=5 E = 55
4
=> E = 5'=> E = 5
r
E = 55
4
5
541155
4
55
4
55
8
5’5
4
55
5
5 1 2
I 5s-55 
r 52
lf 
'■ 5 5
Questão 2.19
Resolução: Podemos escrever:
sJs
4 4 
5“5+é
(5^-5j25)
•5 25
8
=> E= 55
s'1.^5:
5V5’^3
5" 5 
' 5 
5^
=> E = 5^°) => E = 5(1) E = 5.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 323
JJi)
E =
,2-9 15
32^
32^2
33'3
3'
=> E =
= 33=. E =
= 3
2
33
Questão 2.20
Resolução: Podemos escrever:
=> E = (33)
9^
9 15-2-615 j
9«
K)-«
í 3-j2-l‘j2
! 3
'3^ r-
—V39'
JfJl 
l3^
, ,2-9 V2
3 3
•3_,2-9Í/2
(?)
í 3» 72-3^/2
33
( 3t-/2-3V2 
33
í9^-2-2*72'
3l 3
( 3.72-31/2 11 í 3 1/2-2 1
E = 33 ‘ 3
324 10 Resoluções
E =
c=> E =
c c=0 E =
=> E = E = 1.
3
E = => E
^6^1=> E = => E =
,m+2
a^aa2b~a2
[a\'aa2’b2-b- sF1
[Cc+1]
cc '
=> E = 67a6<m+2’
ÍsLj'1 c=' ‘ '
^am-1
E _ ^a2m+4+3m+9-(m+1)^a2m+4 a3m+9
^am-1
c»
Questão 2.22
Resolução: Podemos escrever:
^(am+2)2 •^am+3J
^am-1
Questão 2.21 - Resposta: Alternativa B 
Resolução: Podemos escrever:
^bba-b
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 325
.3
E =
=> E =
E =
2
3
ro E
=> E
2-75
!b 15
73
60 .
1
2 -b
18o/ f—1-60Í-1-3).6O 
= va'- 2> tí<60> = 18^°
w
Questão 2.25________________
Resolução: Podemos escrever:
Questão 2.24________________
Resolução: Podemos escrever:
a3b-a
4 
va
3/ • 
va
i38b43
i3°b43
=> E = 18^FÍ2°
;3°b43
■ b30
•b-13
Questão 2.23___________________________________________
Resolução: Podemos escrever:
E = • x/72 • 5/ãí => E = 23 ■ IÍ2 ■ 7 ■ x/72 ■ 3 • %3
=> E = 168-5/2 ll?2 1/3 • ?/8Í = 168 • l/ê • 5/49 .
150 3£ 5 1
a 180 .faiao ■ E = a ê - b6.
3= Va 180V?
1^=.^ => E = ?aM 
rrú
■a30b43
1 -7S _______
2b 60 .18Sya30b43
5 -13 
2 b 60 .18^a30b43
E = va3b ■
• 18^3%43
= Va3b .Í-2bÃ’5 .180V^b43
■ 185/a3flb43
2
b15
a2b5
Resoluções326 10
=> E = xE =
=> E = xE = x
=> E = x’
rx7E =
6/
E = x
6
24 5
5_
40
40
40.
5
120
75
120
1 
-+2
3
g
' 5 _ 4 3 _ 2
23-4 5 234 2-3 2
-101)
-101)-10l)
Questão 2.28 Resposta: Alternativa B
Resolução: Podemos escrever:
n 
2-2-...-2 
"n"vezes
^^2
x7’8 +
4-5 
2-3-4-5
V x4
~ X3
X2 
5 
23-4-5
(21OO
■X42 -ex’
f32.3] 
=> E = x'8
3-4-5 23-4-5
+ 23-4-5 23-4-5
=> E = ^V^
S)
Questão 2.26
Resolução: Podemos escrever:
(2wo.
20 60 _120
120+120 120
., E = xH)
l X ‘ _ I
“7 x
-(n~1) ,
2-2-...-2
"n-T* vezes
f_6____ 5 ^4 5
x<2-4-5 2-4 5 + 2 4 5. J__A 245 40 40+ 40
í n + 2(n-1) 22(n-2) + 
I 2n 2^ 2^=> x1-
2n
■■'+2" Í2100
' = X'
E = ^
-71
24 2)
Questão 2.27
Resolução: Podemos escrever:
E = 5Jx2^x4i/7
I Xz
í—1=> E = x7° J
=> E =
Í216-11 
=> E = xl 40 >
E = xH)
=> E = x
w
=> E = x7J
H- X
216 pn
40 \40j .
—-í—l . 5 \40j
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 327
S =
2n’1+l]
=> S = n ■ 2n -
=> n + 1 = 100
E =
Resolução: Podemos escrever: 
"n" radicais
-101)
-101]
•2(n-1)+22(n-2)+...+2n
2n
n-qn’1 +1
?2
•2n-n-
1
a
Sugestão: Use S = —
(n-1)l 2! , 1!
1 ■ 2-... (n-1) + 1-2*1
-nqn“1 +l] 
~2
J
Questão 2.29 - Resposta: Alternativa E
(qn~l) rq(n-1)qn-r
■(nr2)]=x(2’00
(2100-
= X'
Por comparação, temos: 
xS=x(2,00-10l) x[2"*’=> n = 100-1 => n = 99 .
Chamando essa soma de S, temos:
n + 2(n-1) + 22(n-2) + ... + 2n
------- 1------ --------i, coma = n, r = -1 e q = 2 .
2n
a(qn-l) rqr(n-1)-qn
q-1 (q-1)‘
S n(2n~1), (-1)-2[(n-'O
2-1 (2-1)'
n + (-2) ■ (n • 2n - 2n - n • 2n"1 +1)
=> S = n ■ 2n - n - 2n ■ 2n + 2■ 2n + 2n ■ 2n~1 - 2 => S = 2-2n-n-2
S = 2n+1-(n + 2) .
328 10 Resoluções
=> E = x E = x.
=> E =
,18
,2+4+8+16 = 36 E = 729.
,99
E 10/21+3+5+...+99
_ _ 250 3
(3/4/I3I
=5 E = •2'
Questão 2.31
Resolução: Podemos escrever:
E = \/J
E = = ^32 -34 -38 3
Questão 2.30
Resolução: Podemos escrever:
E = \/x tf*? ■ y/x?■ ...■yfx'' = ^x-x2 x3 ... x0
n° impar de "uns"
= x (1-1-.'..-1+1) ...
E = x'<’rl
E = 2250
^*1+2+3+.. ,+n
Questão 2.32
Resolução: Podemos escrever:
E = 1^.1^23.1^.1^7.....1^99 = 1^2 23-2s-....2!
Questão 2.33
Resolução: Podemos escrever:
E = ^2^2^W => E = V2 J
=• E = x^.^.2^.12^2 => E = 12^28° •12^2Õ.12^.120/2 
12^260 220 .25 -2 => E = 12^260’20+5+1 => E = 12\/288
86 43
E = 212° .'. E = 260.
n! _ (n-1)l + _ 21 II 
nl"(n-1)!+" 21*1!
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 329
=>
=> E = •7'
=> E =
x x...
E
22
x
3232
“n" radicais
=> E =
<2 =. E =E =
E =
32n-3-1+2n
3
2
X '
( 3n-1|
=0 E =
. I 3 2" J =
Questão 2.37___________________________________________ ____ _____
Resolução: Da multiplicação de raizes na forma mn , podemos escrever: 
___ radicais
Questão 2.36_____________________________________________________
Resolução: Da multiplicação de raizes na forma mn, podemos escrever: 
"n" radicais
22 
E = '
=> E =
X x/x
ly120
Questão 2.35 Resposta: Alternativa C________________________________
Resolução: Da multiplicação e divisão de radicais em potência de 2. temos: 
"n" radicais
X2"-1
í—'lA 3 J
4(t-2-")
X 3
Z3n-l'
2;
Questão 2.34______________________________________________
Resolução: Podemos escrever:
E = ^7^7^7^7^ =» E = 6V7W -^?7
E = ^73^-12^7.36^.72?/7
=> E = 72^7120 .72^7^. 72^7^. 72^72 ■ 72^7
.24 7S 72 7 => E = 72^7120+24-6+2^1
153 51_ 17
72^7153 => E = 7720 => E = 7240 E = 780.
720l~Í2Õ
330 Resoluções10
"n“ radicais
=> E =
Bn-1
E =
E =
x)=>E = xxE
= xx’<x’1).xl
X
Questão 2.39
Resolução: Da multiplicação de raízes na forma mn , podemos escrever:
"n" radicais 
Questão 2.38
Resolução: Da multiplicação de raízes na forma mn , podemos escrever: 
"n" radicais
10n
=> E= '
10Jx910Jx9
I 9{l0g-1)
X v 7
10Jx9
X/ xx 
vx
^x9-....1^9 =, E =
'X4n-,
r- ? ' E = Vx‘
=> E = ~VZ^ /. E-xt ion J.
' xx 
X
’ xx X
* Xx 
Vx
x/ xx 
Vx
x xx VX
... => E = xx-xx xx-... -
Questão 2.40
Resolução 01: Note que temos x - 1 termos, então, da multiplicação de raízes 
na forma mn, podemos escrever: 
 
:x2 yjxx3 
= ^.x^xx3 í/.....^xxX
=> E = xx xx X^xx4 ....•Vxx7
=> E = xx xx xx-X^ 
"x-r‘vezes
=> E = xx xx xx ... xx
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 331
=> E
xl
=> E =
• X4
=> E
E =
=5 E = E = x
q-1
92-1 
9-1
9n-l'l 
9" JI 9"-1 
X
Questão 2.41
Resolução: Da multiplicação de raízes na forma mn. podemos escrever:
“n" radicais
,(x-1)x
-n-qn"1-s-1
2
xl .
VX'
a
Sugestão: Use S = —
Resolução 01: Podemos escrever:
E = AjxnJxn-1Jx"-2
E = V/7.2^xn~1 7xn’2..Jx2Ví => E = x
2 — x/------------ :--------E = X2.X22 -27xn-2...x/Ã^
X
•X:
... => E = —7x<x-1>xX
(x-1).
=> E = x'
Questão 2.42 Resposta: Alternativa B 
(qn-l) rq[(n-1)-qn 
-+
S2[
=> E =
Resolução 02: Colocando os radicandos “para dentro das raízes”, temos:
_ X x2 x/ x3 x/ x4
E = yx \x yx
X3 
•X
xx ) 
xx-11
x4 
• X
' xx 
X
X/ XX 
VX
X/x/ y3 
yyx
x/ xx 
VX
9° I 8
=> E = V x
x/ xx 
VX
x/ xx yx
=> e=x42x3í/
... 7x2>/x => E = Vx" ■ \J Jxn 17x^”2 ...7x2\/>f 
l2^.22^-2...^
n 
E = X2.X22
=> E = ~i/x2x4 • x'
332 Resoluções10
S =
S = .2
S = 2n-1 + 2-
2n
E =
xn-E =
>n-1
xn-
xn-
E = x<n"1)+2'
E = ^Ã
l(2n-l) 1-2| 
2-1 +
E = —^x1+2-2+3-22+. . +n-2f
n2n-2n*1 n-1+-
=> E = x 2n => E = X
=> E = Vxn-
=> E = J~y/xU2'2+3'22 + +n 2'
n-2 n n-1 n-2
22 • x 23 •2V-... 7x => E = x2.x 22 .x 23 •
-nqn“1
1
Resolução 02: Colocando os radicandos “para dentro das raízes", temos: 
E = ^xnJx^
Logo, temos:
[ n S' E = xL2n -I
n n-1
=> E = x2 X
í-1 ín-2n-1+(n-1)-2n-2
=• E = X l-2n
_1_
...-X2n
Chamando essa soma de S, temos:
S = n ■ 2n"1 + (n -1) ■ 2n"2 + ... + 1 = 1 + 2- 2 + 3-22 + ... + n- 2n"1, 
com a = 1, r = 1 e q = 2 .
a(qn-l) rq[(n-1) qn
Ç-1 (q-1);
:[(n-1)-2n-n-2n-1+l]
(2-1): 
(n-2n-2n-n-2n~1+l)
=> S = 2n-1 + 2n 2n-2-2n-n-2n+2 S = n■ 2n -2n +1.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 333
S
=> S
.2
Logo, temos:
2n
=> X =X =
x =
1+75
X = ------------.
2
n-1+ 
=> E = x 2
l(2n-l) 1-2| 
2-1 +
Questão 2.44 (Harvard-MIT-2000)
Resolução: Da soma com termos em PA, podemos escrever:
^1 + 2^1 + 37i + 4^1 + 5VÍ4^ => x = Jl2+2^12+(1 + 2)/l2+(2-1 + 2) 
=> x = 1 + 2 x = 3.
'1 + 71 + ■■■ => x =
Chamando essa soma de S, temos:
S = 1 + 2-2 +3-22+... + n • 2n-1, com a=1, r = 1eq = 2.
_a(qn-l) rq[(n-1)-qn-n-qn~1+l]
c’-1 (q-1)2
/(n — 1) - 2n -n-2n
(2-1):
=> S = 2n -1 + 2 (n ■ 2" - 2n - n ■ 2n-1 +1)
=> S = 2n -1 + 2n ■ 2n - 2 ■ 2n - n ■ 2n + 2 .-. S = n-2n-2n+1.
n.2n-2n-1
=> E = x 2"
Questão 2.45 (Harvard-MIT-2000) _______________________
Resolução: Da soma com termos em PA, podemos escrever:
x = /l6 + 3^16 + 7^16 + 11>/16 +15716+^ =>
x = j42+3j427(4 + 3)T42'+ (24 + 3)=> x = 4 + 3 .'. x = 7.
E=^
.-. E = x<n-1)+2’n.
Questão 2.43 (AHSME-1954/Stanford-2010) - Resposta: Alternativa E
Resolução: Da soma de radicais simples, podemos escrever: 
f i r f-------------------- 1 + 71 + 4-1 „ 1 + 7T74
\J1 + ->/1 + V1 + v1 + => x =------- - ------- — 2
334 10 Resoluções
=> x = 3 + 2 x = 5.
=> x = 4 + 1 /. x = 5.
=> x =
=> X =
|x = 6|
x = 46.1 + 91=> x =-------
2
2 + ^(1 +a)
2
x = \ia + 2\]a + 2>Jã+...
92 => x = — 
2
X = \/24 + 2^24 + 2>/24+T
Questão 2.46
Resolução: Da soma com termos em PA, podemos escrever: 
x = ^9 +2^9 4-5^9+ 8>^+lW9 + --- =>
x = J32 + 2 ^32 +(3 + 2)^32 +(2-3 + 2)77^
2 + => x = —
1+71 + 8280
=* X- 2
Questão 2.47
Resolução: Da soma com termos em PA, podemos escrever:
x = \|16 + Jl6 +5\jl6+ 9^9 + 13716 + = =>
X = ^4 2 + 1^42 + (4 + 1)^42 +(2 4 + 1)\/...co
1 + 78281 => x =------------
2
Questão 2.48 __________________________ _______
Resolução: Da soma de radicais com termo fora da raiz, podemos escrever:
2 + ^22 + 4 a 2 + 74 +4a
2 => x- 2
2 + 27(1 +a) |------------7=1
=> x =-------|x = 1 + 7l + a|.
Questão 2.49
Resolução: Da soma de radicais com termo fora da raiz, podemos escrever:
V22 + 4-24 2 + 74 + 96
2 X“ 2
2 + 7ÍÕÕ 2 + 10 
=> x =------------- => x = ---------
2 2
Questão 2.50
Resolução: Da soma de radicais simples, podemos escrever: 
x = ^2070 + x/2070 + 72070 +~ — “ - 1 + + 4 2070
2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 335
k
=> x3 =60 + x x3-x-60 = 0.
=> X = => x =
=> x = => x =
Note que, pelo teorema do fator, 4 é raiz dessa equação. Como as outras raizes 
são complexas (verifique!), temos que a resposta é 4.
21
16
-2 + 5
2
2
Questão 2.52
Resolução: Podemos escrever: 
x = ^60 + ^60 + ^60 + ?=
2
=■ x = ^6Õ
3 1=> x =------
2 2
2
5 
+ 2 
2
Questão 2.54 (Rússia/IMO-Longlist-1969)____________
Resolução: Dos radicais alternados, podemos escrever: 
x - Ja - bja + b
V"
2
4 + 21
4
2
a)2 + > 
k = n + a + x .
k = yj(n + a)2 
k = ^(n
3
=> x = —
2
3 
X = —.
Questão 2.53
Resolução: Da diferença de radicais simples, podemos escrever.
' . 21-1 + , 1 + 4----
V 16
a - b\la + ... => x2 = a-b\/a + bx
= a-x2 => b2 (a + bx) = (a - x2)
=> ab2 + b3x = a2-2ax2 + x4 => x4 - 2ax2 + a2 - b3x - ab2 = 0 .
x = . 1-
Questão 2.51
Resolução: Fazendo A = n + aeB = x, na soma com termos em PA, podemos 
escrever:
= y/A2 + B^Ã^ÃTbJ^^T^aTb)^^
+ xj(n + a)2 + (n + a + x)^(n + a)2 +[2(n + a) + x "]>/...oo
yj(n + a)2 + (n + a + x)^(n + a)2 + (2n + 2a
336 Resoluções10
=> x^-ax2 -ax2 + a2 - b3x - ab2 - bx3 + bx3 + b2x2 - b2x2 +
x2 +bx
0
=> x =
x =
+ 4a
=> x =
x =
5b2
4
Somando e subtraindo bx3, b2x2 e abx , temos: 
x4 - j2ax21 + a2 - b3x - ab2 = 0
b
2
3b2'a------4
3b2
'a---------
4
b .
2 '
b2
=> a + — >
4
Do enunciado, note que: 
b^ 
4
-b=> x = — +
2
b2 + 4a
4
~a)-ã(x2
-b=> x = — +
2
=> x2 - bx-a =
A = 4a - 3b2 ;
=> A = b2 -4b2 +4a
+ abx - abx = 0
-a + b2 +bxj = 0
-(-b)± y/b?
2.1
Logo yja-b^t
b2+^
4
Da condição de existência do radical, temos:
a + —>0 => < o => b2 < 0 , absurdo!
4 4
I4a-3b
4
0 => A = (-b)2 -4.1.(-a) .-. A = b2+4a;
-b Vb2 + 4a 
=> x = — +-----------
2 2
x^(x2 - a + bx + b2) -bx(b2
=> (x2+bx + b2-a)(x2-bx-a) =
x2 +bx + b2 -a = 0 OU x2 - bx-a =0
=> x2+bx + b2-a = 0 => A = b2-4.1.(b2-a)
-b±V4a-3b =-b . V4a - 3b
2.1 X“ 2 + 2
ía - — - - aT 4 2
a > b2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 337
=> x =
/. E = 2.
1x =
22
7
=> x ==> X =
=> X = => X =
Questão 2.60
Resolução 01: Sejam a e b, tais que a ...CO e
b
=> a8 = x4a7 = x4a =
=> a =
Logo, temos:
=> E =
'33
64
'33
64
33
64
'33
64
3
2
4 
=■ x = - 
2
4Jx4
Í49
V16 
2
-1 + 5
=> x =--------
2
Questão 2.59
Resolução: Dos radicais alternados simples, para 0 < a < 1, temos:
-1+P
=> x = —1_16
'33 3
------ ...oo = —
64 8
= . . a 33r—-------- 1 + , 1 + 4----
I33 v 64
-------- ...CO => x = 
64
a = Jx|.
E = "
b
4Jx4 Vx4...o=
4
2
ÈÍ = x4 
b
Assim:
a = ^x4+7\^Mx*Mx4+...«>
X = y7 — ^7 + \/7 - ...eo
E = -^- 
x
-1+ /16i~33
V 16
2 
-4 + 7
4
2
.-.E = ^
X
, então temos: E = .
b
= 7JX4+7JX4+Vx4
-1+725
=> X = ---------------
2
=> b3 = x4 => b = => [b = x-^|.
x.^?
Questão 2.58
Resolução: Dos radicais alternados simples, para a > 1, temos:
_1 + 74-7-3 -1 + 728-3
=> x =------------------- — —
2 2
Resoluções338 10
Resolução 02: Da a multiplicação e divisão de radicais infinitos, temos:
=> EE =
Questão 2.61
=> a =
=> a‘
=> b =b =
=> E =E =
=> E =
.00
.OT
Resolução 02: Da a multiplicação e divisão de radicais infinitos, temos:
2&,
277
=>E = ^
77
X9 ...CO
=> E = ’77
26
Resolução 01: Sejam a = \J'x976JxM
=> E =—— 
X
b=i6J7ZF 16Jx9
'x9.27
Wb => b16 = x9.b
E = — 
b 177-177
i27 = x9 => £7^.
77
= 3V7
l1 6b_ = x9 =, b15=x9 =, b = 
b
Logo, temos:
177
X9 -r...CO
Assim: 
a = 26\/x9.2fx9-26^
26=x9-?a => a'
2Vx9 
=> E = -t=
=■ e = -t==
r- 'J* r- 
=x
15/^ 15)
=> E = -LÍ= =0 E =
15V?
E = -í—- 
x
, E.Í2 
X
, então temos: E = — 
b
x9’^
—77
=> E =-----—
-77
x9^26J777 e
17777
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 339
=> E = 35 |E = 243|.
2017 => 2017
Vx =1SyiÕ x = 10.
= 24^243 x = 243 .X =
320
Questão 2.64
Resolução: Podemos escrever:
Questão 2.65
Resolução: Podemos escrever:
Questão 2.62
Resolução: Podemos escrever:
= —x/32 => E = V32 .'. |E = 2|.
X = ^3.
201y2ÕÍ7|.
=> E = (36)W
Questão 2.63
Resolução: Podemos escrever:
V 729
E = 3-?29
X = W
= 27 => x = 2T27 => x
Questão 2.66
Resolução: Podemos escrever:
X2017
xx X
24\/243*
= 27 => x27
Questão 2.67
Resolução: Podemos escrever: 
243/57;'
x = 2W^
xx X
í—] => E = 729^5+1'1
E= O2
=> x=isyrõx
340 10 Resoluções
= ^77 =0 M-^=^
x = 5|.
2-22 x = 8 .
'3 5*
x = 75.=> x =
'625
(A).
'1024= 1024 => x
=> X =
1
'1024
>71024
=> x = 1024 1024= 1024 => x = 1024 
(A).
_4_ 
X = 525 .
_5_ 
X = 216 .
4=> x = 5 ’
Questão 2.72________________
Resolução: Podemos escrever:
Questão 2.70________________
Resolução: Podemos escrever:
x = 5\/3 => x = 573
x = 2>/2 => x = 7s
25
=> X = (54)B25
,7^SV3
Assim, por comparação, temos: 
^7í = 7s => ^ = ^75 .-.
, 32 10'1
(21O)1O24 x = 2 '
fl.JL1 
=> M = 5t'2
Questão 2.71________________
Resolução: Podemos escrever: 
x*x =625 => x
í^)
M = 75
Questão 2.69______________________
Resolução: Podemos escrever:
•§/2
J625 
^25 = 625 625
I-----3-52
_1_
= 625 => x = 625-^25
Questão 2.68________________
Resolução: Podemos escrever:
M = => M = 5^)
.-. |m^ = 751
=> X =
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 341
Capitulo 03 - Racionalização
=> E ==> E =
=o E =
x = 7 7
í23-2
22
1313
= 7 => x^=7 => x = a^ 1^?16-1
=> x = 7 7
Questão 2.73
Resolução: Podemos escrever:
f3/5 v
=> x = 2
c-Vb7^
Questão 2.76
Resolução: Podemos escrever:
x iXn"" x'x = x* 13 ’13
c
Questão 2.75
Resolução: Podemos escrever:
{ÍZ x 7
x’x = xx .-. 7'7 =77 .
5-^2 
x = 2 4
=> x = 25fe)
c-Vb3
Questão 2.74
Resolução: Podemos escrever:
J / _i_
x =32 => x^33 =32 => X = 32^32
Questão 3.1 (CN-1954)
Resolução: Podemos escrever:
E--S- = .
■
C.^ 
b
c-Vb3
342 Resoluções10
• 24+2
E = => E =
E =
=> E =
E = A + 3 + 73Ã.
E = > E =
73 72
6
1
-T^TÍ
1
7s3■24
Questão 3.4 (CN-1999-Modificada)
Resolução: Chamando a expressão de E, podemos escrever:
2 2 2 -J5+J3 2 tf?
75-73 72 ” 75 - 73 75 + 73 72 7?
,6-3.26"4
26-4
E = - 1 ---
7s1’2 -23+1
1 75
7s3■24 756'3
\l?-tf?
73®-26
(A-3](a + 3 + 73Ã)
=> E =-------------------------------
A-3
E___i__ = T^F
7s3 ■ 24 7s3 ■ 22 7s3+3
7?-tf?c =--------------
3 2
Questão 3.3 (CN-1976) - Resposta: Alternativa B 
Resolução: Chamando a expressão de E, podemos escrever:
A7Ã-373 A7Ã-373 7Ã + 73
7Ã-75 ” 7Ã-7ã Tã + 73
2 2A(7Ã) +a7Ã x^-373-7Ã-3(73)
R2-(<
AA +a73Ã-3x/3Ã-3-3
(7ã)2-(73)2
e_ (A - 3)(A + 3) + (A - 3)73Ã
’ Ã^3
Questão 3.2
Resolução: Chamando a expressão de E, podemos escrever:
E 1 = _______ 1_______ = 1
tftftfz-tftfjl 77T23 tf??-tf??
A2 +(A-3)73Ã-32
” Ã^3
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 343
=> E =
E = 75 + 73-^4 .
E =
2-7Í5)
E = E =
=> E
7ã-(75 + 72)
=> E ==> E =
E =
3 
Tã-Tã + Tã
7ã 
2-2-72 + 375-772
75 
4-j2^3</5-7j2
7Í5 + 76
9
Tis + Tê 
3-[5-2]
3(75-7ã-72)(6 +
62 -60
E =
3-2(75-Vã-V2)(3 + VT5) 
-24
2(V5 + V3) 23/4
5-3 2
=>E = -
3
Vã Vs + Tã 
3V5-3V2 V5+V2
Questão 3.24
Resolução 01: Podemos escrever:
73 + 78 => A = 3 e B = 8, C = 732-8 => C = 79=8 .-. |C = 1|
Questão 3.5_____________________________________
Resolução: Usando a forma prática, temos:
N n-(7ã-7b-7c)-(a + b-c + 27ãb)
VÃ-Vb + Vc (A + B-C)2-4AB
2(75 + V3) 2^^ E
(Vã)2-(Vã)2’ 37?
Questão 3.6
Resolução: Podemos escrever:
E = —_
2V8+3V5-7V2
-3VÕ ■»373 + 3V2 - V75 + V45 - Vãõ
4
_ 3V2 -2>^ 4-
4
3(75-Vã-V2)-(5 + 3-
(5 + 3-2)2 - 4-5-3
(-75 + 7ã + 7ã) • (3 + Tis) 
4
-375+3Tã +372-573+ 375 + Vãõ
4
344 Resoluções10
2
73 +Vã = 42 +1.
V2+1>0
|C = 1|
13-1
2
46-4^2 = 2 - 42.
Resolução 02: Podemos escrever:
73+Vã = 72 + 272+1 => ^3 + Vã = )2 + 2 ■ >/2 • 1 +12
=> V3 +Vã = J(V2+1)2 => 73 +Vã = |V2 + 1|, como
7s +Vã = 42+a.
Questão 3.25
Resolução 01: Podemos escrever:
'p-4V2 = V6-72 42 .> 76-472 = 76-732
. = 6 e B = 32, C = 762 -32 => C = 736 - 32 => ,C = 2|.
76 - 472 =
V 2
=> 7^vã = vM 2 v 2=> 7a +Vb = -v 2
76-472 =74-2-272+2 
=> 76 - 472 =^(2-72)2 
76 - 472 = 2 - 72.
Resolução 02: Podemos escrever:
=> 76-472 =^22-2-1 >^ + (72)2
=> 76-472 =|2-^|, como 2-72 >0
Questão 3.26
Resolução 01: Podemos escrever:
7l61 + 72Vã = 7l61 - 72 722 => 7161 + 75^5184 = 7l61-725920
A = 161 e B = 25920, C = 7õ2 -25920 => C = 725921-25920
=> 7ã^ = Jãv2+JãH£
V 2 V 2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 345
1161-1
Resolução 02: Quando os números são grandes, desconfie. Note que: 
7l61 + 72s/5 = ,161 + 236 7õ => 7"! 61+ 7275 = 781 + 2-3675+80
V M(5)
=> 7l61 + 727õ = 781 + 2-9-475+80
=> >/l61 +-72x/5 = yJ9z +2
=> 7l 61+ 7275 = J(l
9 + 475 >0 7l61 + 72y/5 =9 + 475.
2
9-475+(4V5)
9 + 4x/5)2 => Vl61 + 72T5 = |9 + 47s|, como
Questão 3.27
Resolução 01: Podemos escrever:
74-7Í2 => A = 4 e B = 12, C = 7a2-B => C = xM2 -12 
=> 0 = 716-12 => 0 = 7? => |C = 2|.
74-TÍ2 = .
N 2 \
.-. 74-7Í2 = 75-1.
Resolução 02: Podemos escrever:
•^4 - \/l2 = >/l -2x/3 + 3 => ^4 - -2 • 1 ■ >/3 + (■^3)
=> 7á-7Í2 = ^(l-73)2 => 74-7Í2 = |1 - 731, como 1 - 73 < 0
=■ 74-TÍ2 =-(1-73) 74 - 7Í2 =73-1.
7161 + 7275 = 7i 61+ 7275 =
=> 7161 + 7275 = 781 + TãÕ 7l61+ 7275 = 9 + 4^.
346 10 Resoluções
7l7 + 12T7 = 3 + 78
^32-1077 = '32 + 18
2
|C = 1| 
117-1
V 2
700, C = 7322 -700 => C = 71024-700 
Ia-c 
I 2
=> 732-io77 = 725-77 .-. ^32-1077 = 5-77.
288, C = 7l72 -288 => C = 7289-288
EHS 717 + 1272 =
2 V 2
.-. 717+12T2 = 3 + 272.
=> >/32-io77 = ^(5-77)2
Resolução 02: Podemos escrever:
7l7 + 12T2 = 79 + 2-672 + 8 =>
7l7 + 12T2= ^32 + 2-3 -2^+ (2\^)2 => 7l7 + 12T2 = ^3 + 2^2^
=> 717 +1272 = |3 + 2721, como 3 + 272 > 0
7l7 + 12T2 =3 + 277.
Questão 3.28
Resolução 01: Podemos escrever:
7l7 + 12T2 = 7l7 + 72-122 => 7l7 +1277 = 7l7 + 7288
A = 17 e B-
=> TÃ77b = J— 
N 2
Questão 3.29
Resolução 01: Podemos escrever:
732-1077 = 732-77-102 => 732-1077 = 732 - 77ÕÕ 
A = 32 e B =
=> c = 7324 .-. |c = 18| => 7a + 7b = ,+ 
V 2 '
732-1077
Resolução 02: Podemos escrever:
732-1077 = 725 - 2-5^ + 7 =>
------------- / 2 
732-io77 = J52-2-5-77+(77)
=> 732-1077 = |5 - 77|, como 5-77 > o .-. 732-1o77 = 5 - 77.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 347
7l6-6x/7 = ^9 - 2 ■ 377 + 7 
=> Vl6 -6-?7 = 7(3 - 77 )2
Resolução 02: Podemos escrever:
=> 716-677 = ^32
=> 7l 6 — 677 = |3 — 771, como 
3-77>o 7i 6 - 677 = 3-77.
Resolução 02: Podemos escrever:
710 - 476 =^22
/10-476 = |2- Te|, como 2 - 7ê < 0 
0-476 =76-2.
=> TiO-476 = 72-1.
-2-3-77-r(77)2
-2-2-T6+(76)2
Questão 3.30
Resolução 01: Podemos escrever:
7l6-677 = >/l6-77-62 => 7l6-677 = 7l6-7252 
A = 16 e B = 252, C = Ta2 -B => C = 7l62 -252 
=> C = 7256-252 => C = 7Ã => |C = 2|.
=■ 7i6-677 = 70-77 .-. 7i6-e77 = 3 - 77.
TiO-476 = Ta-2-276+ 6 - 
=> Ti 0-476 = ^(2 - Te )2 => 
=> TiO-476 = -(2- Te) .'.
Questão 3.31
Resolução 01: Podemos escrever:
Ti 0-476 = 73 - 72-22 => Ti o - 476 = 73 - 78
A = 3 e B = 8, C = 7a2 -B => C = Ts2 -8 => |C =1|
7ÍFZ776=,^+I-xÍE1
N 2 V 2
348 Resoluções10
,9 + 4x/5 = '9-1
2
2 + 75 > 0 => 79 + 475 =2 + 75.
792 -80 => C = 781-80 
'a+~c
2
Questão 3.32
Resolução 01: Podemos escrever:
79 + 475 = 79 + 7õ-42 => 79 + 475 = 7s+ VsÕ
A = 9 e B = 80, C =
=. 7a-7b =
Questão 3.33
Resolução 01: Podemos escrever:
713 + 748 => A = 13 e B = 48, C = 7l32 -48 => C = 7169-48 
ÍA-C
2
V 2 V 2 V 2 V2
=> 713 + 748 = 7Í2 + 7Í /. 713 + 748 = 273 +1.
=> C = 7Í2Í |C = 11| => 7a-Tb = J---Í - J-
=> 713+748
Resolução 02: Podemos escrever:
79 + 475 = 74 + 2-275 + 5 => 79 + 475 = ^22 + 2 • 2 • Tõ + (Tis)2
79 + 475 = J^2 + Ts)2 => 79 + 475 = |2 + Ts|, como
Resolução 02: Podemos escrever:
7l3+ 748 = 713 + 473 => 7l3 + 748 = 7l + 2-273 +12 =s> 
7l3 + T48 = ^12 +2-1-273 +(2T3)2 => 7l3 + 748 = ^(l + 2^3 'f 
=> 713 + 748 = |1 + 273|, como 1 + 273 > 0 => 7l3 + 748 =1 + 275.
|C = 1|.
'^2 7^7775 = ^ +
2 V 2
79 + 475 = 75 + 2.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 349
.2
X =
=> X =
X =
•2)
+ p■ (-775+2- 775-2 i
275 = -2(75 - 4 + p ■ (-p)] => p2+2^5 =-2(l-p:
=> P2
=> m = (3 + 72)
n = 11-672 => n=9-2-3>/2+2 n = (3-72)2 
p = 445 + 2 + 775 -2 = p - 775+2 - 775 -2 = 0 
=> - 445 + 2 = q; - 445 - 2 - r; => |p + q + r =~Õ]. 
p+q+r=O => p2+q2+r2 =-2(pq + qr + rp). 
 => (p)2 + (-775 + 2)2 + (775-2^ =
= -2((-775+2 )(-775-2 ) + p • (-775 + 2) + p ■ (-775-2)) 
=> p2 + 75 + 2 + 75 - 2 = -2^(75)2 -22
Questão 3.47 (IMO-Longlist-1988 - Modificada)
Resolução: Podemos escrever: 
m = 11 + 672 => 01 = 9 + 2-372 +2
7(3 + T2)-7(3-T2) 
72 
 =>x = l^ 
42
=> P2+
=> p2 + 245 =-2 + 2p2 => p2 =275 + 2 => p2 = 2(75+1)
=> p = ^2(75 +1) 445 +2 + 445 -2 = 42- 445 +1.
(11 + 672)■ 7l 1-672 - (11 - 672) ■ 7l 1 + 672
(775 + 2 + 775 - 2) + (775 + 1)
(3 + 72)2 - J(3-72)2 - (3 - 72)2 - J(3 + 72)2
(72-775+i)+(775+i)
(3 + 72)2-(3-72)-(3-72)2.(3 + 72)
x= 72
(3 + 72).(32-(72)2]-(3-72).[32-(^)2)
4Í
(3+ 72) (9-2)-(3-72) (9-2) 
x= 72
 21 + 772 -21 + 772 
42
350 Resoluções10
=> a2 + 75 + 2+75-2 =-2
- 73 - 2^2 => N = (72-1)N =
0
.3 .3
temos:
-A = 0 => 4m3-3m-^22-õ)-2=
-2 = 0
Questão 3.48 (AHSME-1976) - Resposta: Alternativa A
Resolução: Podemos escrever:
a = 775 r 2 + 775 - 2 => a - 775 + 2 - 775-2 = 0 => -775 + 2 = b;
-775 - 2 = c; => |a + b + c=~Õ].
a + b + c = 0 => a2 + b2 +c2 = -2(ab + bc + ca).
=> (a)2 +(-775 + 2)2 +(775-2)2 = 
= -2^(-775 +2^(-775 - 2j + a-
=> a2 +275 =-2(75-4 + a-
=> a2+275 =-2 +2a2 => a2 = 275+2
Í2(75+1) I775 + 2 + 77F
) + a-(-775-2^
 
(-775 + 2-775-2)
Questão 3.49
Resolução 01: Podemos montara seguinte equação:
72 + 75 => 4m3-3m (7A2-bJ-A = 0 => 4m3
=> 4m3 -3m (74-5)-2 = 0 => 4m3-3m-(7^í) 
=> 4m3 - 3m (-1)- 2 = 0 .’. 4m3 + 3m-2 = 0.
Usando o teorema do fator (*). note que a única raiz real dessa equação 
*1 14m3 + 3m-2 = 0 é-,ou seja m = - . Assim, substituindo na outra expressão, 
2 2
(-775 + 2 
\|(75)2 - 22+a-
• (-a)] => a2 +275 =-2(l-a2) 
=5 a2 =2(75+1) 
- 2 = 72 ■ 775 +11.
 
m = 73 - 272 => m = 72-2-1-72+1 => m = ^(72 -1)2 
=> m = ^72 - 1|, como 72 -1 > 0 .-. |73- 2T2 = 7ã-1| - 
 775 + 2 + 775 - 2 y, _ N 72-775+1 
775 + 1 775 + 1
N = 72 - 72+1 .-. |N = 1|.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 351
2
(*) Veja o teorema do fator no capitulo de Fatoração.
.3
1
2
•2 2
=> (A2 +3B)A + (3A2 + b)7b = 2 + 2-
Por comparação, temos:
B = — => 3A2+B = 2 => 3A2+ —= 2 => 3A2=2-- 
4 44
=> 3A2 = -—— => 3A2 = — => A2 = — => A = +- (eq1) e
4 4 4 2 ' '
(A2+3BjA = 2 =>
n = —+ 14
^27?5=1
V4 2 2
Logo:
Note que A = —i não satisfaz (eq2). Portanto A =
r r—x3
'2 + ^5 = 3 - + -
yl2 ’4J
A2+3-|!a = 2 => 4A3+15A = 8 (eq2)
4m3 - 3m •
Resolução 02: Podemos escrever:
^2 + ^5 = ^2 + ^ = 3^2 + 2 = ^(A-tTb)3
JI-
n = l-(-1)n = m2 -
1 + 4 5=> n =------ n = — .
4 4
Questão 3.50 (CN-1982) - Resposta Alternativa D 
Resolução 01: Podemos montar a seguinte equação: 
x/lO + 6V3 = \/10 + 'fa-62 = |^10 + x/lÕ8 ]
(\/a2-b)-A = 0 => 4m3-3m-
=> 4m3 -3m-(?/l00-108)-
=> 4m3 - 3m- (-2)-10 = 0 => 4m3+6m-10 = 0.
x/lO2 - 10810 = 0
10 = 0 => 4m3 - 3m ■ -10 = 0
Logo: ^A + Vb = m + Vn
Resoluções352 10
V1O + VÍÕ8 = 1 + Vã.
(*) Veja o teorema do fator no capítulo de Fatoração.
10+1
Logo: ^10 + 6^3 = ^(1 +Vã)3
-675 -26 = 0
.3 -26 = 0
Usando o teorema do fator (*), note que a única raiz real dessa equação 
4m3 +6m-10 = 0 é1,ou seja m = 1. Assim, substituindo na outra expressão, 
temos:
+ 3B)A + (3A2 + B) VÊ = 10 + 6 Vã .
=> A2 =1 => A =
=> n = 12 - V(-8) =>3^102 -108)
Logo: ^A-í- Vb = m + Vn
4m3-3m■
=> Vio + sVã = 1 + Vã.
n = m2
n = m2
Questão 3.51 (CN-2011) - Resposta Alternativa B
Resolução 01: Podemos montar a seguinte equação:
V26-15V3 = x/26 - V3 152 = |V26 - V675 |
^Va2-b)-A = 0 => 4m3 - 3m • í x/262
=> 4mJ - 3m • (V676 - 675) - 26 = 0 => 4m3-3m(VÍ) 
=> 4m3 - 3m-1 - 26 = 0 => 4m3-3m-26 = 0.
Usando o teorema do fator (*), note que a única raiz real dessa equação 
4m3 - 3m - 26 = 0 é 2, ou seja m = 2. Assim, substituindo na outra expressão 
temos:
-3^262 -675) => n = 22-Vi => n = 4-1 => n = 3.
Resolução 02: Podemos escrever:
Vio-r6Vã = ^(a + Vb)3 => (a2 
Por comparação, temos:
B = 3 => 3A2+B = 6 => 3A2 + 3 = 6 => 3A2
(eq1) e )a2 +3b)a
=> A3+9A = 10 (eq2)
Note que A = -1 não satisfaz (eq2). Portanto A = 1.
= 6-3 => 3A2 =3
= 10 => (a2+3-3)a
n = 1-(-2) => n = 3.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 353
Logo: ^A-7b
(*) Veja o teorema do fator no capítulo de Fatoração.
2
E = ?
16m-6m-45 = 0 é
expressão temos:
'2023
16
2023
16
+ 3B)A-(3A2 +BpB = 26-1573 .
= m-7n => ^26-1573 = 2-73.
=> £ = 3/— + V 4
C 3 45 => E = 3/---- +
V 4
=> 3A'
(a2 +3B)a = 26 =>
Resolução 02: Podemos escrever:
^26 -1573 = ^(A-7b)3 => (A2 
Por comparação, temos:
B = 3 => 3A2+B = 15 => 3A2+3 = 15 => 3A2=15-3
2 = 12 => A2 = 4 => A = ±2 (eq1) e
(a2+3-3)a = 26 => A3 + 9A = 26 (eq2)
Note que A = -2 não satisfaz (eq2). Portanto A = 2.
^ = 0
4
^ = 0
4
L 289 c ,45I7-------=> E = ?l— +4
,12025
V 16
T = ° = 4m3-3m{3^)-
3
ou seja m = -. Assim, substituindo na outra
Logo: ^26-1573 =^(2-73)3 => ^26-1573 = 2 - 73 .
- A = 0 => 4m3 - 3m •
45
— = 0 => 16m' 
4
Usando o teorema do fator (*), note que a única raiz real dessa equação
16m3-6m-45 = 0 é
2
4m3 -3m■ ^7a2 -B^ 
=> 4m3-3m.^] 
=> 4m3-3m-^j
Questão 3.52 (Stanford-2008)
Resolução 01: Podemos montar a seguinte equação:
'1777^45 J45 , 1777 = 3/45 + L/17Y
4 Y 4 4 V 4 V l 4 J
13 - 6m - 45 = 0.
289
16
354 10 Resoluções
=> n =
(*) Veja o teorema do fator no capítulo de Fatoração.
2
4A3+21A = 45 (eq2)
Note que A = — não satisfaz (eq2). Portanto A = -.
4
45
4
2023
16
7 n = —.
4
34-7
4
(a2+3b)a =
h7^7+45
4
F 3<
J 3 17 ] . 3 17^7+45 _ 3 V7 
^2 Y4J ” V 4 ” 2+ 2 ’Logo: ?/
Logo: 7A + -Jb = m + Vn =>
7312 ,í~2 9 1
— - 3/— => n =------
\2) V16 4 2
9-2=> n =------
4
=> 3A2
n = m2
Resolução 02: Podemos escrever: 
3Í17s/7+45 = Jl7^+45 Í45 + 17 /7=J—
V 4 V 4 4 V 4 2 V4 VV !
=> (a2 + 3B)a + (3A2+B)Vb=^ + Ç.^.
3ll 777 + 45
V 4
45
4
= 3+ /7 . 3ll7^745 = 3^T7 
~2V4 "V 4 “2+ 2 ’
Por comparação, temos:
B = - => 3A2+B = — => 3A2 + - = — => 3A2= —-- 
4 2 4 2 2 4
=> 3A2 = => 3A2 = — => A2 = - => A = ±- (eq1) e
4 4 2 1 1
fA2+3.Z^A = ^
l 4
3
2
3
2
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 355
Capítulo 04 - Expressões Algébricas
Capítulo 05 - Produtos Notáveis
= 777-66
= 711.
Questão 5.2 (Noruega-1999)
(x +y)(6+ 1) = 63
,2 = 81-12
Questão 5.1 (Noruega-1999)
Resolução: Do enunciado, temos:
(777 — 66)(777 + 66)
777 + 66
Questão 4.2 (CN-1952)______________________________________
Resolução: Do enunciado, temos:
>/l6x3y - ^25xy3 -(x-5y)• Jxy = 4x,/xy -5yyxy - x^/xy + 5y,/xy
.-. 7l6x3y-725xy3 -(x-5y)-7*y = 3x,/xy •
7772 -662 I
777 + 66
7772 - 662
777 + 66
7772 -662
777 + 66
x2+y'
Resolução: Do enunciado, temos:
x2y + xy2+x + y = 63 => xy(x + y) + (x + y) = 63 => (x + y)(xy+ 1) = 63 
=> 7(x + y) = 63 => x + y = — |x + y = 9|.
Então, podemos escrever:
x2+y2 = (x + y)2-2xy => x2+y2=92-2-6 
.-. |x2 +y2 =69|.
Questão 4.1 (CN-1952)
Resolução: Do enunciado, temos:
(x2 -5x + 9^(x + 3) = x3 -5x2 + 9x + 3x2 -15x + 27
[x2-5x + 9j(x + 3) = x3-2x2-6x + 27.
356 Resoluções10
Questão 5.3 (Noruega-1998)
= a => = a => = a
,2
9991 = 97-103.
Observe que 97 e 103 são primos. Como p é o maior, temos p = 103, assim a 
soma dos algarismos depél + 0 + 3 = 4.
Questão 5.7 (Putnam-2001-Modificada)
Resolução: Note que:
x4 ~(2n-4)x2 + (n-2)2 = (x2)2 -2-(n-2)-x2 +(n-2)2
a2 a
Questão 5.6 (Noruega-1998)
Resolução: Note que:
9991 = 10000-9 => 9991 = 1002 -32 => 9991 = (100 - 3)(100 + 3)
Resolução: Do enunciado, podemos escrever:
(a-b)2 = a2 +b2-2ab => (a-b)2 = 31-2-3 => (a-b)2=31-6 
=. (a-b)2 =25 => a-b = ±>/25 .-. a-b = ±5.
Como a > b => a - b > 0, temos: a — b = 5 .
Questão 5.4 (Harvard-MIT-2012)
Resolução: Elevando 2a + 3b = 10 ao quadrado, temos: 
2a + 3b = 10 => (2a + 3b)2=102 => 4a2 + 12ab + 9b2 = 100 
=> 20 + 12ab = 100 => 12ab = 100-20 => 12ab = 80 
u 80 .20
12 3
Questão 5.5 (AHSME-1958) - Resposta: Alternativa C.
Resolução: Do enunciado, temos:
_L+_L=a => x2^y2 = a => (x+y)2~2xy = a (x+y)2~2b 
x2 y2 x2y2 (xy)2 (b)2
=> (x + y)2 - 2b = ab2 => (x + y)2 = ab2 + 2b .-. (x + y)2 = b(ab +2).
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 357
2
E-f — 7x + 2 + 272x E-j =
E2 =
=> rs = q .
3 + 72 
a b .
7x = 3 
7x + 72 =-3-72
Questão 5.8 
Resolução: Note que:
-|2
7x + 72
a b 
X
!R2
Vx + 2 + 2>/2x =|Vx + >/2|.
E2 = 7l1 + 3\/8 => E2 = Vl1 +3-2^2
+ 2-72-Vx+(V2j2 => E, = 
b a —-
(^)
=> rs = -
1
E2 = 79 +3-2^2+ 2 =>
7l 1 + 3^8 = |3 + 72|.
Resposta: x = 9.
Questão 5.9 (AHSME-1955) - Resposta: Alternativa B.
Resolução: Do enunciado, temos:
b (-p) cr + s = — => r + s = -i—- => r + s = p; rs = -
a 1 a
Então, podemos escrever:
r2 + s2 = (r + s)2 -2rs r2+s2=p2-2q.
9 +2 >/2-3 + (^)2 => E2 = 
1(3)2 b 3 
 
Vx + 2 + 2V2x = Vl1 + 3>/8 => |Vx + >/2| = |3 + ^| 
í Vx + V2 = 3 + V2
|Ví + V2 = -(3 + 72) 
í x = 9
[Vx = -3 - 2x/2 <0 (não serve).
=> x4-(2n-4)x2 + (n-2)2 = x2-(n-2)
. a '~b-'.
x4 -(2n-4)x2 +(n-2)2 =(x2 - n + 2)2.
358 Resoluções10
1
a2
2
3
_1
3
1 1
1 1
1 1
1 1
« j
0 a
Questão 5.10 (Singapura-2014)
Resolução: Do enunciado, temos:
a+0=~- => a + 0 = -—;a0 = — => a0 = — => a0 
a 3 a 3
Então, podemos escrever:
b2
a2
c^
a2
-2C 
a
(r + s)2 - 2rs 
(^)2
til
CJ 
b2 -2ac zzz 
c2
b2 - 2ac
1 2 
“ , P . 9 + 3 
0 a _2 
3 
a^0=_21 f3'| 
0+a 9\lJ
-2-f^VaJ
,2
Questão 5.11 (AHSME-1951) - Resposta: Alternativa D.
Resolução: Do enunciado, temos: 
b c
r + s = —; rs = -. 
a a
Então, podemos escrever: 
1 1 r2 + s2
r2+s2 = r2s2
“+P=Z.f_3'| 
0 a 9 l ij
a 0 a2 +02 a 0 (a + 0)2 -2a0
P a aP p a aP
1 + 6
“ + P=_9_ - 
0 a _1
3
• “+0=_Z
"0a 3
1 1
=> -j+-2 =
r s
b2 - 2ac a2
Z2
1
~2+~2 = r s
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 359
=>
1 
ad-bc = —
2
Questão 5.12 (Hungria)
Resolução: Do enunciado, temos:
(ac + bd)2 + (ad -bc)2 = (a2 + b2 )(c2 + d2)
=o + (ad-bc)2 =(1)(1) => (ad-bc)2=1-|
=> (ad-bc)2=l => ad-bc = ^
Questão 5,13 (Harvard/MIT-2008)
Resolução: Do enunciado, temos:
(ac + bd)2 + (ab - cd)2 = (ac)2 + 2acbd + (bd)2 + (ab)2 - 2abcd + (cd)2
(ac + bd)2 + (ab - cd)2 = (ac)2 + (bd)2 + (ab)2 + (cd)2
(ac -t- bd)2 + (ab - cd)2 = c2(a2 + d2) + b2 (d2 +a2)
(ac + bd)2 +(ab - cd)2 = (a2 + d2 )(c2 + b2 j
(j) +(ab-cd)2 =(1)(1) => (ab-cd)2 = 1-1
=> (ab-cd)2 = — => ab-cd = ,p .-. ab - cd = .
v ' 9 V9 3
Questão 5.14 (Eõtvõs-1933)_______________________________
Resolução: Do enunciado, temos:
(ac + bd)2 + (ab - cd)2 = (a2 + d2 )(c2 + b2 j
=> O2 +(ab-cd)2 = (1)(1) => (ab-cd)2 =1 ab-cd = 1.
Questão 5.15 (Índia-1998-Modificada)______________________
Resolução: Do enunciado, temos:
E = (ac + 3bd)2 + 3(ad-bc)2
=> E = (ac)2 + 2ac • 3bd + (3bd)2 + 3^(ad)2 -2ad■ bc + (bc)2^|
=> E = (ac)2 + 6acbd + 9(bd)2 + 3(ad)2 -6adbc + 3(bc)2
=> E = (ac)2 + 9(bd)2 + 3(ad)2 + 3(bc)2
360 10 Resoluções
105+125
= 3= 2 =>= 6 =>
=> E = => E =
=. E = => E =
a3-b3 a3+b3
= k= k =>
18
7
2(a2+b2)
2(8b6 +b6) 
8b6 - b6
2(a6+b6) 
a6-b6
Questão 5.16 (Hong Kong-2002)
Resolução: Podemos escrever:
(ac + 5bd)2 + 5(ad -bc)2 = ^a2 + 5b2 )(c2 +5d2)
(xlYl + 5x2y2)2 +5(x2y-| -xiY2)2 =(x,2 +5x|)(yf +5y^)
=> (VlÕ5)2+5(5)2 =(10)(y2+5y2)
=> io(y2 + 5y2) = 230 => y2+5yl=^y
=> E = a2 (c2 + 3d2) + 3b2 (3d2 + c2)
(ac + 3bd)2+ 3(ad-bc)2 = (a2 + 3b2)(c2 + 3d2)
2(x4 +y4) 
x4-y4
Questão 5.18 (Júnior Balkan-1997)
Resolução: Tirando o MMC, temos que:
(x2+y2) +(x2-y2)
(x2-y2)(x2 + y2)
=> 10(y2+5y2) =
.-. y2+5y2=23.
-y2
,2
c a3+b3 a3-b3
tz = ------------ +-------------
a3-b3 a3+b3
x2 + y2 x2 
x2-y2 x2 + y'
Questão 5.17 (Eslovênia-2010/ Kosovo-2013)
Resolução: Tirando o MMC, temos que:
a^b = 6 (a + b)2+(a-b)2 2(a2+b2] a2 +b2
a-b^a + b (a-b)(a + b) a2-b2 a2-b2
=• a2+b2 = 3^a2-b2) => a2+b2 = 3a2-3b2 => 3b2+b2 = 3a2-a2 
=> 4b2 = 2a2 => 2b2 = a2 => |sb6 =a6|.
Assim, chamando a expressão de E, temos:
(a3+b3)2+(a3-b3)2
(a3-b3)(a3+b3)
2 (9b6) . |a3+b3 . a3 - b3
7b6 " ’ ’ + " "
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 361
k
k2 +4=>
E = E ==> E =
=> E =
2 
k
x4
2 x4
Questão 5.20 (Harvard-MIT-2009)_____________________________
Resolução: Usando o produto da soma pela diferença, temos que: 
E = 112 -12 +122 - 22 +132 - 32 +... + 202 -102
=> E = (11 +1)(11 - 1) + (12 + 2)(12 - 2) +... + (20 + 10)(20 - 10)
=> E = (12) (10) + (14) (10) + ... + (30) (10)
=> E = 120 + 140 + 160 + ... + 300 E = 2100.
k4 +8k2 +16 + 16k2
4k3+16k
(k2+4)2+(4k)2
4k(k2+4) 
k4 +24k2 +16 
4k3+16k
k2 +4
2k
4k 
k2 + 4 '
Questão 5.21 (Turquia-2007-IVIodificada)
Resolução: Usando o produto da soma pela diferença, temos que:
E = (l002 -992)(992 -982)...(32 -22)(22 -12)
=> E = (100 +99)(100-99)(99 + 98)(99-98)...(2+ 1)(2-1)
=> E = (199)-(1) (197) (1)-...-(3) (1) .-. E = 199-197-195-...-3.
!-y8 
x8 + y8
-y4
k + 2 (x4+y
2 + k (x4
k2 + 4
4k
x8 + y8 x8 
x8-y8+i°
x8-y8 
x8 + y8
x8 + ya 
x8-y8
x4+y4
" x4-y4
-4)2+(x4-y4)2
-y4Xx4+y4)
x8 + y8
k2+4 4k
4k "k2+4
x4 + y4 x4 - y4
x4-y4 ' x4 + y4
2(x8 +y8)
x8-y8 2k
Assim, chamando a expressão de E, temos: 
x8 + y8 
Ãv
Questão 5.19 (CN-1954)_____________________________________ ___
Resolução: Usando o produto da soma pela diferença, temos que.
E = 16x4-1 => E = (4x2)2-12 => E = (4x2+l)(4x2-1)
=> E = (4x2 + l]((2x)2 -ij .-. 16x4-1 = (4x2 +l}(2x + 1)(2x-1)
362 10 Resoluções
E = 12
-b'a'
= |a-b|.
,6
= (a-
= |a - b|.
E x X
E x
,99
Questão 5.22 (OCM-1998-Modificada)_____________________________
Resolução: Usando o produto da soma pela diferença, temos que:
E = 12-22+32 -42 + ...-19982 +19992
+ (-22 +32) + (-42 +52)-62 + ... + (-19982 +19992) => 
E = 12 + (3 + 2)(3 - 2) + (5 + 4)(5 -4)+ ... + (1999 + 1998)(1999-1998) 
=> E= 1 + (5) (1) + (9)-(1) + ... + (3997)-(1) => E = 1 + 5 + 9 + ... +3997 
.-. E = 5993002.
x3... + X=> E = Í1 + x2+...+
-b2k
Questão 5.24 (Moscou 1945)_____________________________________
Resolução: Usando a generalização do produto pela soma, temos que: 
b)(a + b)(a2 + b2j(a4 + b4)-...(a2 +b2 |
,2k h2k 
Questão 5.23 (Moscou 1945)______________________________________
Resolução: Usando a generalização do produto da soma pela diferença, 
temos que:
,2?-h2? =(a-
+ b2k'1
x100
+b26
+b26
a2k
_________________ a" -b‘__________
(a + b)(a2 +b2^a4 +b4)-...(a2k 1
:" + x100).(l + x + x2 +... + x99 + x100)
:")].[(l + x2+...+ x10°)+(:
:")]-[(l + x2+... + x100) + (x
,2
Questão 2.25 (Moscou 1946)
Resolução: Podemos escrever de modo a obtermos o produto da soma pela 
diferença, logo:
E = (l- x + x2 - x3 +... • -x
= [(l + x2+... + x1°°) + (-x...-x‘
= [(l + x2+... + x10°)-(x + ...+
x100)2-(x +
:")]
... + x")]
b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4 )■...• (a2 
a2?-b2?
b)(a2 +b2j(a4 +b4)-...^a‘
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 363
2 -i2
=>E = => E =
22 01
=> E =
=> E =
1) + (x-1)]
=> E
.101
E = =>E ==> E =
= a2 -b2 -2ab .
11 +
x4 -1 
2x2
1
2
E =
12)
Questão 5.26 (CN-2005) - Resposta: Alternativa A.
Resolução: Podemos escrever:
Questão 5.27 (AHSME-1951 / CN-1998) - Resposta: Alternativa A.
Resolução: Podemos escrever:
~2
x8-2x4+1 x2
4x4 2
(*
-)■
7777],
X2 — 1
:202 -l) 
x2 -1
|)2 (x101
2
(a2 -b2 j -(2ab)2 
a2 - b2 2ab
E = -*'
+ x198
(x101
02-1
x101-x) 
x2-1
E (x2-1)[(x2),00+(x2)"+... + (x2)1] 
X2 -1
(x102
’l-(x102
X2 -1
--i)]2 rx(xi°°-i)7 
X2 -1
(x2^)2
.j(x102_1_xW1
(x2-1)2
[x101 (x + 1)-(x + 1)][x101 (x-
= H
:101-l][x101
.2
a4 +b4 -6a2b2 E a4 + b4 - 2a2b2 - 4a2b2
a2 - b2 + 2ab a2 - b2 + 2ab
(a2-b2 +2ab)(a2-b2-2ab) a4+b4 6a2b2
a2-b2+2ab a2-b2+2ab
'(x102-1
x2-1
= E.l
(x2-1)'
;102_1 + x101_x
„ (x + 1)(x-1)[x 
=> E =-----------------
(x2-t)'
x2-1
=> E = ,1 +
364 10 Resoluções
=> E = => E =
=> E = => E =
E = 4d2 .
,18
=>E
E |E = 1|.
x4 +1 
2x2
 (a + b + c)(a -b - c) 
(a+ b+ c)(a-c-b)
2
x8+2x4+1 x2
4? T
x4 +1-x4 
2x2
|^a2 -(b2 +c2 -r-2bc^(a + b-c) 
(a + b + c) (a -c)2 - b2 j
-a-b)2 -dzJ
Mx4+x8-2x4+1 x2
4? T 
T
=> E = (a + b-c + d)2 
=> E = (a + b-c + d)2 
=> E = [(a + b-
=> E = [2d]2
+ ab + b2)(a2 - 
=> E = (a3 + b3)(a3-b3)[(a6)2 
E = (a6-b6)[(a6)2+asb6+(b6)2]
c x4 +1 x2
= E-^“
Questão 5.28
Resolução: Podemos escrever:
E = (a + b-c + d)2 + (a + b- c-d)2-2^(c
(a + b- c-d)2-2[c-a-b + d][c-a-b-d]
(a + b-c-d)2-2(a + b-c-d)(a + b-c + d)
d) - (a + b-c -d)]Z
E = [a + b- c + d- a- b + c + d]2
Questão 5.30 (CN-1991) - Resposta: Alternativa A.
Resolução: Podemos escrever:
(a2 -b2 -c2 -2bcj(a + b - c)
(a + b + c)(a2 + c2 -2ac - b2 j
|^a2 -(b + c)2J(a + b-c)
(a + b + c)(a - c + b)(a - c - b)
Questão 5.29
Resolução: Note que:
(a-b)(a2 +ab + b2) = a3-b3 e (a+ b)(a2-ab+ b2) = a3 + b3
E = (a + b)(a -b)(a2 + ab + b2)(a2 -ab + b2)(a12 +a6b6 +b12) 
a6b6 + (b6)2]
=> E = (a6)3-(b6)3 .-. E = a18-b18.
■E = è-
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 365
,2
42
E = => E =
E =
E = x + y +1.
=> E =E =
2)
=> E =
E = =>E =
-2x + 4j(x-2)(x + 2)
■72 x3 +8^2 
prz^2K+4^(x- 2)
2(x2
) = 28) = 28 => 4(x2 
>2 = 7 - xy].
z(x + y)2(x-y)(x + y).E = z(x_y) 
(x + y)3
Questão 5.31 (Harvard-MIT-2007)
Resolução: Podemos escrever: 
x3-y3=28 => (x - y)(x2 + xy + y
=> x2 + xy + y2 = 7 |x2 + y:
Assim, elevando a primeira equação ao quadrado, temos:
(x-y)2 = 42 => x2 -2xy + y2 =16 => 7-xy-2xy = 16 => 7-16 = 3xy
9 i----------- 1=> 3xy = -9 => xy = ~3 ■ lxy = ~3I•
2 + xy + y
) + x2 - xy + y2 
x2 + y2 - xy
Questão 5.33 (CN-1980) - Resposta: Alternativa B.
Resolução: Podemos escrever:
(2x2 -4x + 8)(x2 -4)
V2-x3 + VÍ28
2(x2 -2x + 4j(x-2)(x +
V2.(x3+8) 
.. E = 72 (x-2).
Questão 5.34 (CN-1983) - Resposta: Alternativa B.
Resolução: Podemos escrever:
(x2z + zy2 +2xyz)(x2 -y2)
x3 +3x2y + 3xy2 +y3
Questão 5.32 (CN-2006) - Resposta: Alternativa D.
Resolução: Podemos escrever:
x^x2 + x - yj + y2 (y +1)
x2+y2-xy
(x + y)(x2 - xy+ y2
Ml
E = -|=- 
V2
-xy + y2][(x + y) + l] 
x2 + y2 - xy
x3 + x2 - xy + y3 + y2 
x2 +y2 - xy
(x2
E = ^—
366 Resoluções10
E = => E =
=> E = => E =
=> E =
2
E =
22
=> E
2
=> E =
\2 
-X + 1I
(>3-f
(x3+1f_
(x + 1)2-(x2
(x3+1)2
(x + 1)-(x2 -x + 1
(x3+l)2
2
Questão 5.36 (AHSME-1951) - Resposta: Alternativa C. 
Resolução: Podemos escrever:
2
Questão 5.37
Resolução: Podemos escrever:
E = a3-a2b-ab2+ b3 = a(a2-b2)-b(a2-b2) =
= (a-b)(a2-b2) = (a-b)(a-b)(a + b) E = (a + b)(a-b)2.
Questão 5.35
Resolução: Podemos escrever: 
(a + b)2 -4^a2 + b2) 
(a3 + b3)2_(a2+b2)3 
2ab-3a2 -3b2 
2a3b3 -3a“b2 -3a2b4 
2ab-3a2 -3b2 
a2b2 )2ab-3a2 -3b2)
Questão 5.38 (Harvard/MIT-2000)
Resolução: Usando o resultado anterior para a = 2000 e b = 1999, temos: 
20003 - 1999 ■ 20002 -19992 • 2000 + 19993 = (2000 + 1999) • (2000 - 1999)2 
= 3999-12 = 3999.
(x-1)2 -)x2 + X + l)
(M
(x3+lf (x3-l)4
______ a2 + 2ab + b2 - 4a2 - 4b2______ 
a6 + 2a3b3 + bs-)a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6)
2ab-3a2 -3b2
2a3b3 -3a4b2 -3a2b4
a2b2
)]_ [<»-<) R
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 367
23 +1 33 +1 43 +1 53 +1 63 +1
(2-1)(22 
(2 + 1)(22-
Questâo 5.39 (Harvard/MIT-2007)
Resolução: Podemos escrever:
a3-1 (a-1)(a2+a + l) 23 -1 33-1 43 -1 53 -1 63 -1 
a3 +1
___________ 163 -1
23 +1 33 +1 43 +1 163 +1
____ K
(a + 1)(a2 - a +1)
+ 2 + l) (3-1){32
2 + l) (3 + 1){32
(5~1)(52
(5 + 1)(52
23 -1 33-1 43 -1 53 -1 63 -1 EX M M tf* 43
23 +1 33 +1 43 +1 53 +1 63 +1 [U 3 J/f-X ^X 0'X
Note que esses primeiros termos (destacados) se cancelam, sobrando o 3 e o 
7 no denominador.
Por outro lado, os termos não destacados também se cancelam, sobrando o 43 
no numerador e o 3 no denominador. Assim, temos:
23 -1 33-1 43 -1 53 -1 63 -1 43 Í431
23+1 33 +1 43 + 1 53 + 1 63+1 3-3-7 [63]’
+ 3 + l) (4-1)[42+4 + l)
-3 + l) (4 + 1)(42-4 + l)
+ 5 + l) (6-1)(62+6 + 1)
-5 + l) (6 + 1)(62-6 + 1)
E-x M x M X 0-x m
Questão 5.40 (Stanford-2012)___________________
Resolução: Podemos escrever:
a3 ~1 _ (a-1)(a2+a + l) 23 -1 33 -1 43-1 
a3+1 (a + 1)(a2-a + lj
(2-1){22 +2 + l) (3-1)(32 +3 + l) (4-1)(42 +4+l)
(2 + 1)(22-2 + l) (3 + 1)(32-3 + l) (4 + 1)(42-4 + l)
(14-1)(142 +14 + l) (15-1)(l52+15 + l) (16-1)(l62+16 + 1) 
(14 + 1)(142-14 + l) (15 + 1)(l52-15 + lj (16 + 1)(l62 -16 +1) 
23 -1 33 -1 43 -1 163 -1 
23 +1 33 +1 43 +1 163 +1
368 Resoluções10
2
= k =>= k =>
.4
y
B X 2-X 
Jãí-3 g-x IsJ-X
=fMX4 lk + 2j
’4)
.16 fk-2Y
lk + 2j
,2
= k =>
4=1 => 2x2y2+ —= 1 => 2x2y2=1- —
18 18
1 
xy = -
(k + 2)y4 = (k-2)x4 => y'
,4
Questão 5.41
Resolução: Do trinómio quadrado perfeito, temos:
(a+ b)2 = a2 + 2ab + b2 => (a+ b)2 = k + 2x => (a+b)4 = (k + 2x)2 
.-. (a-r b)4 = k2+4kx + 4x2 .
(a-b)2 = a2 - 2ab +b2 => (a-b)Z=k-2x => (a - b)4 = (k - 2x)2 
(a-b)4 = k2 - 4kx+ 4x2 .
+ y4
x2-y:
x2+y2
) = k(x4-/
fx16
2(x4
x4 — y
'4 => ky4 + 2y4 = kx4 -2x4
x4 +2x2y2 +y'
■X X M■ 273
■X. ELzbX'
Note que esses primeiros termos (destacados) se cancelam, sobrando o 2 no 
numerador e o produto 16-17 no denominador.
Por outro lado, os termos não destacados também se cancelam, sobrando o 
273 no numerador e o 3 no denominador. Assim, temos:
1 , _ 91
23 -1 33 -1 43 -1 163 -1 1-X X’ [~9Í~|
23-r1 33 +1 43 +1 163 +1 X-17 X h36r
"a T”
Questão 5.42
Resolução: Elevando ao quadrado, temos:
(x2 + y2)2=12
=> 2x2y2 = — => x2y2= —
18 36
x2 + y2
2(x4
Questão 5.43
Resolução: Tirando o MMC, temos que:
(x2 + y2)2+(x2-y2)' 
(x2-yz)(x2 + y2)
=> 2x4 + 2y4 = kx4 - ky'
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 369
Assim, chamando a expressão de E, temos:
E = => E = => E =
2
=> E = => E =
=> E => E
=> E => E
=> E =
E = => E = => E =
= x4 + x3 + x2 + x + 1
+ 1
= 51°° + 575 + 550 + 525 +1.
x8
+ x8
,8
J +
4-|jl6 + 8k2 +k4) + 16k2J 
16k-(4 + k2)
k4 + 24k2 +16 
4k3 +16k
2 x16+f^Y 
lk + 2j
x^-ffS^fxie 
Vk + 2 J
(x8 + yl
(x8
 2-[(k + 2)4 +(k-2)4] 
[(k + 2)4-(k-2)4]
2 |^2-(4 + k2)2 + 32k2 
16k(4+k2)
16 + 8k2+k4 +16k2 
4k(4 + k2)
=> E-—— 
x-1
x8+y'
" x8-yl
5125-1
525 -1
(x-1)(x4+x3
x-1
E = (525)4 +(525)3 +(525)2
5125-1
" 525 -1
2(x16+y16) 
x16-y16
-y8
+ y8
525 5 -1
525 -1
+ x2 + x + 1)
x8-y8 
x8 + y8
Questão 5.44 (IMO-Longlist-1992-Adaptada)
Resolução: Fazendo 525 = x , temos:
n5-1 
52S-1
+ 525
(4 
X16
'8)2+(x8-y8)2
-y8)(x8+y8)
(k + 2)4 x16 + (k - 2)4 x16 
(k^)4
(k + 2)4 x16 - (k - 2)4 x16
(k + 2)4
2 |V(22 +k2)2 +8-22 -k2J 
8-2-k-(22 +k2)
x8 + y8 
x8-y8
370 Resoluções10
Questão 5.45_____________________________________________ ___
Resolução: Multiplicando cada equação por x + y. temos:
ax + by = 2 => (ax + by)(x + y) = 2(x+ y)
=> ax2 + axy + bxy+ by2 = 2(x + y) => 20+ (a+ b)xy = 2(x + y).
ax2+by2=20 => (ax2+by2 j(x + y) = 20(x + y) =>
ax3+ax2y + bxy2+by3 = 20(x + y) => 56 + (ax+ by)xy = 20(x + y)
=> 56 + 2xy = 20(x + y) => |28 + xy = 10(x + y)|. (eq1)
ax3+by3=56 => (ax3+by3 j(x+ y) = 56(x + y) =>
ax4 +ax3y+ bxy3 + by4 =56(x + y) => 272 + (ax2 +by2 jxy = 56(x + y) 
=> 272 + 20xy = 56(x + y) => |68 + 5xy = 14(x + y)|. (eq2)
Resolvendo o sistema formado por (eq1) e (eq2), temos: 
x + y = 2exy = -8.
ax4+by4 =272 => (ax4+by4 j(x + y) = 272(x + y)
ax5+ax4y + bxy4+by5 =272-(x + y)
=> ax5 + by5 + (ax3+by3 jxy = 272-(x +y)
=> ax5 + by5 + 56 (-8) = 272-2 => ax5+by5 -448 = 544
=> ax5 + by5 = 544 + 448 |ax5 +by5 = 992|.
Questão 5.46 (AIME-1990/Harvard-MIT-2009)______________________
Resolução: Multiplicando cada equação por x + y, temos: 
ax + by = 3 => (ax + by)(x + y) = 3(x + y)
ax2 + axy + bxy+ by2 = 3(x + y) => 7 +(a+ b)xy = 3(x + y).
ax2+by2=7 => (ax2 + by2j(x + y) = 7(x + y)
=> ax3 + ax2y+ bxy2 + by3 = 7(x + y) => 16 + (ax + by)xy = 7(x + y)
=> |l 6-r 3xy = 7(x + y)|. (eq1)
ax3+by3=16 => (ax3 + by3j(x + y) = 16(x + y) =>
ax4+ax3y+ bxy3+by4 = 16(x +y) => 42 + (ax2 + by2jxy = 16(x + y)
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 371
by)xy = 2(x + y)
Resolvendo o sistema formado por (eq1) e (eq2), temos: 
x + y = -4 e xy = -13.
ax4+by4=6 => (ax4 + by4 j(x + y) = 6(x + y)
=> ax5 + ax4y + bxy4 +by5 =6 (x + y) =>
ax5 + by5 + (ax3 + by3)xy = 6 ■ (x + y) => ax5 +by5 + 5 ■ (-13) = 6 • (-4)
=> ax5+by5-65 =-24 => ax5 + by5 =-24+ 65 |axs +by5 = 4l|.
=> |42 + 7xy = 16(x + y)|. (eq2)
Resolvendo o sistema formado por (eq1) e (eq2), temos: 
x + y = -14 e xy = -38.
ax4+by4=42 => (ax4 +by4)(x + y) = 42(x + y)
=> ax5+ax4y + bxy4 +by5 =42-(x + y)
=> ax5+by5 + (ax3+by3 jxy = 42-(x + y)
=> ax5 +by5 + 16 (-38) = 42 (-14) => ax5+by5 -608 =-588
=> ax5 + by5 = -544 + 608 |ax5 +by5 = 2o|.
Questão 5.47 (OBM XXXI - 2a Fase - Nível 2)__________
Resolução: Multiplicando cada equação por x + y, temos: 
ax + by = 1 => (ax+ by)(x + y) = x + y
=> ax2+axy + bxy + by2 = x + y => 2 + (a+ b)xy = x + y.
ax2+by2=2 => (ax2 + by2j(x + y) = 2(x + y)
=> ax3 + ax2y + bxy2 + by3 = 2(x + y) => 5 +(a:
=> |5 + xy = 2(x Zyj]. (eq1)
ax3+by3=5 => (ax3+by3j(x + y) = 5(x + y)
=> ax4+ax3y+ bxy3 + by4 = 5(x + y) => 6 + (ax2 + by2)xy = 5(x + y) 
=> |6 + 2xy = 5(x + y)|. (eq2)
372 10 Resoluções
= 16-2a + a‘ + a‘
= 14 => = 196+ a‘
.3
3x/3
m = 64 -12 m = 52.x m =
3 
x- 
X
1 
X + — 
X
r2)2=142 :
= 194.
a4 + 2a2 a'
+ 4- = 81 => x2 
x2
r°
=» x3+3x2.i+3x.m 
x <X J
x + - = 9 => 
x
a4 +a
Questão 5.49 (AHSME-1952-1954 / CN-1986) - Resposta: Alternativa C.
Resolução: Do enunciado, temos:
,2 1 1
= 3 => x 4— = x/3, x -i— >0 =>
I x x
x3+-^ + 3-73=373 /. x3
x3
Questão 5.50 (CN-2014) - Resposta: Alternativa E 
Resolução: Do enunciado, temos:
ÍX + Í=92 
x2+4t = 75.
Questão 5.51
Resolução: Usando a forma prática, temos:
- = k => x3 +-1-= k3 -3k => m = 43-3-4
x x3
a2 +a
=> x2 +2
( 3>2
I X — — I =75-6 => 
v x J
A = 81-6 
x2
Questão 5.48 (AMC-2007) - Resposta: Alternativa D.
Resolução: Elevando ao quadrado duas vezes, temos:
= 4 =>(a + a~1) =42 => a2 + 2a a"1 + a"2 =16 => a2 + a
(a2 +a'
= 196-2 a4+a'
.2 .
+ 4- = 3v^
1 xJ
=> x2+4- = 75.
x2
Então, podemos escrever:
r 3r 2 9 _ 3x — = x +—--2x • —
l xJ x2 x
x---- = ±x/69 .
x
Assim, a soma dos algarismos dea = 6 + 9 = 15.
1
+ x3
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 373
= k4 -4k2 + 2
X’
= X5 = 1.
x2-4x + 1 = 0 => x2+1 = 4x =>
246 
-142
m + n 
m-n
123
71
Então, podemos escrever:
m + n 52 + 194 m + n ----- =---------------------- 
m-n 52-194 m-n
52 + 194 
52-194
=>x5
x + - = 4 . 
x
1 + 4 = 194.
a4
+ 4 = ±123. 
x5
Questão 5.55 (Singapura)
Resolução: Usando a forma prática, temos: 
x2 +1 . 
--------- = 4 
x
Questão 5.52 (AMC-2007) - Resposta: Alternativa D.
Resolução: Usando a forma prática, temos:
x + i = k => X4 + 4 = k4 -4k2 +2 => a4 +-Jr = 44 - 4 ■ 42 + 2 
x x4 a4
=> a4+4-= 256-64+ 2 .-. a4
a4
x + - = k=> x4
X
/. n = 194.
+ —= k4-4k2+2 => n = 44 -4-42 +2 => n = 256-64 + 2 
X4
Questão 5.54 
Resolução: Usando a forma prática, temos:
x5 + 4 = k5-5k3 + 5k => x5 +-1-= (1)5 - 5 ■ (1)3 +-5 ■ (1) => x5+4 = 1"5+ 5 
xb xs X
T
7
+ 4=1 => 5 X5 
x5 V
Questão 5.53 (Stanford-2010)
Resolução: Usando a forma prática, temos:
x2+4 = k2-2 => 7 = k2-2 => k2 = 9 => k = ±v/9 k = ±3. 
x2
x5+4 = k5-5k3+5k => x5
4 = 5/í 5 x5 
x5 V
. _ - J+4 = (±3)5-5-(±3)3+5(±3)
xü xb
x5+-4r = ±243 + 5-27±15 x5
xb
374 10 Resoluções
.-. x6
=> E = 2k3-3k=> E =
x3
x3
Questão 5.56
Resolução: Usando a forma prática, temos:
x3 + -L = (^)3-3.^
- = -j2.
-6k4 + 9k2
-3k
+ x6
1
X3
X6
E = —
\’.2
= 116.
,3
= k3-3k-k3
= x6+4 x6
-x4+A = (72)4
=> x3 + ^-= k3 - 3k => x3 
x3
3
| = —3k.
Então, podemos escrever:
í n6lx+xj +2
( n3lX+xJ
+ 4 = "2 ■ 
x4
x6
=> E = 2 43-3-4 => E = 128-12 —
x + - = k => x3+4- = k3-3k => : 
x x3
=> x3+4 = 272-3^2 .-. x3 + 4
x3 x3
x + - = k => x4 +4 = k4-4k2 +2 
x x4
=> x4 + 4 = 4- 8 + 2 .-. x4
x4
-4(^)2+2
• x3+ —-
X3
x + - = k => x6
X
2
X
+ 4 = k6-6k4+9k2-2 
x6
(x + ^j +2 = k6-6k4+9k2-2-kB+2
1 ( 1V
x6 l xj
_1 _
+ X6
x3+i-
X3
6
+ 2 = -6k4 +9k2.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 375
■ x7
= k3-3k => r3
Questão 5.58
= 14= 14
67F = 6. (Prove)
= 6 => x2
tf
r + - = 27 —9 
r
r3 +
Fazendo 1\/r = x , podemos escrever:
tf = 14 => (W-----í- = 14 => x3-A = 141
(12<
1
(W
4- = 6 . (Prove) 
xz
1
J_
R2
= 6 => (1^)2
Resolução: Tirando o MMC dos Índices, temos:
1^3-4==14 => m3-1 1 i
1 
r + - = 18 .
r
Repetindo o procedimento, temos que:
x3+4-=k3-3k => r3+4 = 183-3-18 
x3 r3
r3 + 1 = 5778.
x7+1 + x + A = 2V2
X X7
+Í=6~
tf
Então, podemos escrever:
=> X7+ 72+4- = 2^2 => x7+4- = 2V2-^
X7 x
+ 4 = 72.
X
4 = 5832 - 54
Questão 5.57
Resolução: Usando a forma prática, temos:
x + - = k => x3+4- = k3-3k => (?/r)3+—!—= 33-3-3 =>
x x3
376 Resoluções10
k3 + 3k-14 = 0.k3 +3k = 14
Como queríamos provar.
Observação: Veja o teorema do fator no capítulo de Fatoração!
,2zX
3x
xyz = 96.
256 
xyz
8
3
m 
np
8
3
n 
mp
P 
mn
Então, podemos escrever:
2 2 2 x y z 8
Usando a forma prática, temos:
x — — = k => x3—— = k3+3k
x x3
+ —
xy
+4=6. 
x2
Questão 5.59 (CN-1984) - Resposta: Alternativa E.
Resolução: Do enunciado, temos:
x+y+z=16 => (x + y + z)2=162 |x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) = 256|.
+ _y_
yz xz
2xy + 2xz + 2yz + x2 + y2 + z2 
xyz
Por inspeção (teorema do fator), temos que k = 2, assim: 
x-- = k => x2+^- = k2+2 => x2+^- = 22+2 .-. x2
x x2 x2
Então, podemos escrever:
m n p m2 + n2 + p2 m
np mp mn mnp np
n p 14
mp mn 2
Questão 5.60 (CN-1999) - Resposta: Alternativa C.
Resolução: Do enunciado, temos:
m+n+p=6 => (m + n + p)2 = 62
=> m2 + n2 +p2 +2(mn + mp + np) = 36 
=. m2+n2 + p2 =36-22 [
=> 8xyz = 768 => xyz =
=> m2+n2+p2+2(11) = 36 . 
jm2 +n2 +p2 — 14|.
y z
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 377
bb ac+ — = p =>
ba
ba
bc c
= q + 3
=> p + q + r = -
3 =
E =
E =
yz + xz) 1[(xy) 1 + (yz) 1 + (xz)+ y' + z'
c 
c
c 
b
b 
c
)(*yz)~1(x
Questão 5.63 (AHSME-1981) - Resposta: Alternativa A.
Resolução: Podemos escrever: 
E = (x + y
ab - ac + bc 
abc
64-36
4
|pqr =d pqr = — 
a
100=> E =-----
4
c 
= q
Então, podemos escrever:
E= 1 1 p = P2q2 + P2r2 +q2r2
~P2 q2 r2 ’ p2q2r2
(pq + pr + qr)2 -2pqr(p + q + r)
(PAr)2• — + — + — = 25. 
P2 q2 r2
2
=> pqr = --
a 
= p;
2 2■ (ab + ac + bc) = q +3 => pr=q+3 => (pr) =(q + 3)
=> |pq + pr + gr = 8|;
a
aq + —
a
Questão 5.62 (Harvard/MIT-2008)
Resolução: Do enunciado, temos:
b (-9)
p + q + r = — => p+q+r=--—- 
a 1
c 8
pq + pr + qr = - => pq + pr + qr = - 
a 1
=> |p + q + r = 9|;
Questão 5.61 (CN-2011) - Resposta: Alternativa C.
Resolução: Do enunciado, temos:
111 a+b+c----- 1-------f — — p => 
ab bc ac abc
=>- + l- + l— + - - — Ia b [a |_a c c b [a
=> - (a + b + c) + i- (a + b + c) + - (a + b + c) = q + 1 + 1 + 1
<a + b+^ lã+b
( a + b + c 
l abc
=> q2 + 6q + 9 = p2r2 q2 + 6q = p2r2 - 9 .
82-2(-2)-9 
=> E =---------- - => E =
(-2)2
b c
1 .
c '
+ — l = q + 3=>(a + b + c)l
378 10 Resoluções
=> E =
z=> E =
=• E = • z■y
=> a + a = 20 => 2a = 20 => a = 10.
x2 -1 = 102 -20x + x2 => 20x = 100 + 1
=> E = x2 x4 -1 + x2 -Vx4 -1
Questão 5.65
Resolução: Fazendo = x, podemos escrever:
x5
2525
10 
2
2 
x
2 
x
2 
x
2 
x
2
X
2
X
_1_ 
xz
1 
x5 "
2
5 + 721
5 + 721
2
1 
xy + yz + xz
I í 1I xy + yz + xz
ou |x =5,05|.
2(5-721)
52-(72Í)2
1U + A.
Mxy yz
'j ("x + y + 
xyz
Questão 5.64 (AHSME-1991) - Resposta: Alternativa C.
Resolução: Fazendo a = x + 7x2 -1 e b = x - 7x2 -1, temos:
a + - = 20 
b| ab = 1
X7HK 
) f xy + yz + xz) 
J l xyz J
x 
5-721 
2
2(5-721)
4
x + -
X
x2-1=10-x => x2-1 = (10-x)2 
icrT 
X =-------
20
=> E = 2(25,5025) .'. |E = 51,005|.
x5 +4-= 3125-625+ 25 .-. x5 + 
x5
1
5 + 721
2
2(5-721)
25-21
5 + ^1 
=----------------- F
2
+ 4- = 55-5-53 +5-5 
xb
Usando a forma prática, temos:
x + - = k => x5+4-= k5-5k3 + 5k
x x5
x + \/x2-1 = 10 =.
E = x2 + 7x4 -1 +------1=^
x2 + 7x4-1
=. E = 2x2 => E = 2(5,05)2 :
1 2 5-721
x ~ 5 + 721 5-721
í 1
V x + y + z
f 1
x + y + z
??? A E = X
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 379
Questão 5.66
Resolução: Fazendo = x , podemos escrever:
+ x5
- X5 = 125
= 2-75
x
2
X
X5.
1
X10
2 
X
2 
X
2 
X
1 => —
X
1
X + —=
X
1 + 75
2
1-75
2
1
2 + ^3
2 
1 + 75
2(1-75)
Questão 5.67 (CN-1998) - Resposta: Alternativa D.
Resolução: Note que: 
1 = 1 2-75 1
2+75 ~ 2 + 75 2-75 2 + 75"
2-75
4-3
-5-(75)3 + 5-\Í5
+ (2-75)
2
^2 + 73)
, y-s1997= (2-75)
= k , podemos escrever:
1
1 + 75 
2
_ 2(1-75) 1
1-5 x
1+75 1-75 
2 2
= 125-2 .'. x10+—— = 123 
x10
2(1-75)
= (75)5
=> x10
2-75
22-(73)2 ”
f"7 . -.1997
= (2-73)
Usando a forma prática, temos:
x + - = k => x5+-^L = k5-5k3+5k => x5+^-
x x5 x^
=> x5+4-= 2575-2575+ 575 x5+4- = õ75
x3 xs
Fazendo (2 + 73 )1997
, <-..1997
_(2+^)
1
2 + 75
r
" / /—\1997(2 + 75)
j =(575)2
1 _ 2 1-^5
x - 1 + 75 1-75
=> 2x = k + -. 
k
1;; 275
X+ X “ 2
380 Resoluções10
y =
,4x2 -3y2 =4].
|p + q + r = 1|;=> p + q + r = -
|pq + pr + qr = 1|;
|pqr = 2|=> pqr = -
3
ap + ay + Py = — => ap + ay + py = — => |ap + ay + py = b|;
R7
H) 
1
/ 2
4x2 -3y2 = (2k) l-
yVã = k-i .
Então, podemos escrever:
(a + b + c)3 = a3 + b3 +c3 + 3(a + b + c)(ab -ac + bc) -3abc 
=> (p + q + r)3 = p3 + q3 + r3 + 3(p + q + r)(pq + pr + qr)-3pqr 
=> 13 = p3 + q3+r3+3-1-1-3-2 => 1 = p3 + q3 + r3 + 3-6
k-1
y = 7F
4x2 - 3y2 = (2x + y 73 )(2x - y73)
,1.1k + — k + - 
k k
DPqr = -_
/ r~\1997(2+^)
’ / /—\1997
73
4x2-3y2=(2x)2-(y73)2
=■ 4x2-3y2 = fk +- +k--Yl 
l k k A
3 3
=> p +q +
Questão 5.69 (Putnam-1939-Modificada)
Resolução: Do enunciado, temos:
n B „ a 
a + P + r = -— => a + p + y = --
° ...
D c
aPy = -~ => apy = --
r3 = 1 + 3 |p3 +q3 +r3 = 4|.
Questão 68 (IMO-Longlist-1988 / AHSME) - Resposta: Alternativa D.
Resolução: Do enunciado, temos:
B (~1)
p + q + r = -- => p + q + r = --í—4
A 1
D 1
pq + pr + qr = — => pq + pr + qr = -
b
1
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 381
|rst = -251|.=> rst = -
,3
2008
8
. 1001 
rs + rt + st =-------
8
Questão 5.71 (Stanford-2007)____________________________
Resolução: Podemos escrever:
(a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 +b2 + c2)-2^a3 + b3 + c3j- 6abc 
=> (r + s + t)3 = 3(r + s + t)ír2+ s2+t2j-2^r3+s3+ t3j + 6rst
=> 33 = 3-31-2-3 + 6rst => 27 = 9-6 + 6rst => 6rst = 27-3 
=> rst = — |rst = 4|.
rst = -°
A
Então, podemos escrever:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc)-3abc
(a + P + y)3 = a3 + p3 + y3 + 3(a + p +y)(ap +ay + Py)-3aPy
(-a)3 =a3+p3+y3+3(-a)(b)-3(-c) => -a3 = a3+p3+ y3-3ab + 3c 
|a3 + p3 + y3 = -a3 + 3ab - 3c|.
Questão 5.70 (AIME-2008)___________________
Resolução: Do enunciado, temos:
B Q __________
r + s +1 =-----=> r + s +1 = — => Ir + s + t = 0|;
A 1
_ . Drs + rt + st = —
A
Questão 5.72 (Stanford-2007)____________________
Resolução: Do enunciado, temos:
B (~ 7) í------------------ 1
a + b + c =-----=> a + b + c = ---- ----- => a + b - c = 7r,
A 1 -----------------
Então, podemos escrever:
r + s + t = O => r + s = -t; => r +1 = -s ; => s +1 = -r ;
r + s +1 = 0 => r3 + s3 +13 = 3rst.
E = (r + s)3+(s +1)3+(t+ r)3 => E = (-t)3 + (-r)3 + (-s)3
=> E = -(t3 + r3+s3) => E = -(3rst) => E = -3(-251) .-. |E = 753|.
382 Resoluções10
lab + ac + bc = —6|;
abc = -
A =
=> A =
=> A = 1057.
Assim, temos: A-1053 = 1057-1053 = 4.
(a + b
(-6)
1
. D
ab + ac + bc = — => ab + ac + bc = 
A
(xy + yz + xz)3 = (xy)3
Questão 5.74
Resolução: Podemos escrever:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (ab2 + ac2 + a2b + a2c + b2c + bc2 j + 6abc
)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3a2b + 3a2c + 3b2c + 3bc2
+ 3abc + 3abc
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3ac(a + c) + 3bc(a + c) + 3bc(a + b)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3b(a + b)(a + c) + 3c(a + c)(a + b)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c) 
Fazendo: a = xy, b = yz e c = xz, temos :
■ (yZ)3 + (xz)3 + 3(xy + yz)(xy + xz)(yz +xz).
Questão 5.73
Resolução: Da identidade de Argand, podemos escrever:
a4 + a2 +1 = (a2 - a + l)(a2 + a + l)
(24 + 22 +l)(44 +42 +l)(64 +62 +l)...(324 +322 +l)
(l4 +12 +l)(34 +32 +l)(54 +52 +l)...(314 +312 + l)
(22 -2 + l)(2z +2 + l)...(322 -32 + l)(322 +32 + 1)
(l2-1 + l)(l2 +1 + i)...(312-31 + i)(312 +31 + 1)
_ 3-7-13-21...993-1057
” 1-3-7-13-21...931-993
— => abc = -- => |abc = -51.
A 1
Então, podemos escrever:
a + b + c = 0 => a + b = -c; => a + c = -b; => b + c = -a;
E = (a + b)(a+ c)(b+ c) => E = (-c)(-b)(-a) => E = -(abc) => E = -(-5) 
|(a + b)(a + c)(b + c) = 5|.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 383
=. E-=> E =
a4 - a2b2 + b4 ==> a4-a2b2+b4 =
=> a8-a4b4+b8 =
,2-a2"V + b2'a‘
a32+b32 
a2+b2 •
2414 , 
97
; a4-a2b2+b4 = (a2)2-a2b2-í-(b2)2
" .3 ---------------------------------------
•jn nH—1 on-1
i2 -a2 b2 + b2"
Questão 5.75 (Noruega-1996-Modificada)
Resolução: Decompondo o 78 e usando os dados do enunciado, temos por 
comparação: 
xyz = 78 => xyz = 2-3-13 => |x = 2|; |y = 3|; |z = 13|.
Verificando na segunda equação:
x2+y2+z2 = 22 + 32 +132 => x2 + y2+z2 = 4+ 9 + 169 
x2 + y2+z2 =182.
Questão 5.76
Resolução: Note que: 
a2 - ab + b2 = a3 + b3 
a + b 
 
a2+b2
a8-a4b4+b8=(a4)2-a4b4+(b4)2
 
a4+b4
a322 +b322 
?2 + b2*
a8-a4b4+b8 = 
a;
Observe que não condiz com o resultado dado, o que leva o leitor a pensar em 
erro de digitação, mas CUIDADO! Note que a questão é sutil, ela diz que x, y e 
z são números naturais, mas não diz que eles são primos, fazendo uma nova 
inspeção, encontramos: 
xyz = 78 => xyz = 1-6-13 => |x = 1|; |y = 6|; |z = 13|.
Verificando na segunda equação:
x2+y2+z2 =12 + 62 +132 => x2+y2+ z2 =1 + 36 + 169
x2 + y2 + z2 = 206 .
Agora sim, temos o resultado esperado, assim o valor pedido é:
E X3 + y3 + z3 13 + 63 +133 E 1 + 216 + 2197
xy +xz + yz=> 1-6 + 1-13 + 6-13 6 + 13 + 78
384
,3
,2”
=> E =
E =
.2
E =
,2n
E =
a3-b3
a3-b3
-ab + b2j(a4 -a2b2 + b4)...^
ía3+b3
I a + b
-b2"] (a20)' 
(a2 +ab + b2^a'
rV-^b2"}
=> E =---------------
(a2 +ab +
/ n (a2"
=>E =------
on-1
(b3)
on-i \
+ b2
on-1
+(b3)2
+b2"
10 Resoluções
^2"'iy+^a2n'1J 
a2”1 tb2"-1 
a3-2n'1 + b3 2n-1 
on-1 on-1 
a2 +b2
Assim, podemos escrever:
E = (a2
=. E =
=. a2" -a2"'^2"'1
a2"-a^b2"'1+b2n
a2" -a2n'1b2"'1 +b:
a3 2n’1 + b3 2n‘1 '
on-1 on-1a2 +b2 J
on-1 on-1
i +M
a32 + b32 
a2+b2
(a3+b3).[(a3)2+ (b3)2]....|(a3);
(a+ b)-(a2+b2)-...ía2 +b2 j
(a + b)(a2+b2j-...^a2 +b2
(a3-b3j(a + b)(a2 +b2)-...-(a2n 1
__ Pf-(<__
b2j(a-b)(a + b)-(a2 +b2 j'...-(a2'
[a2nJ-(b2ny
(a2+ab +b2)^a2 -b'
>n-1 or
+ b2
2
-a:
,2”
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 385
2^*1
=> E = E = (a2
=> E =
=> E ==> E =
= 0.
E =
=> E =
= 1.=> E
(b - c)[a2 - a(b + c) + bc i 
(a -b)(a -c)(b -c)
^a2'2"
(b- c) -(a - c) + (a -b) 
(a - b)(a -c)(b - c)
a2 (b - c) - b2 (a - c) + c2 (a - b) 
(a-b)(a-c)(b-c)
ab - ac - ab + bc + ac - bc 
(a-b)(a-c)(b-c)
b-c-a+c+a-b 
(a -b)(a -c)(b -c)
+ ab + b2 j
c) resolução: Tirando o MMC, temos:
a2 + b2 ! c2 
(a-b)(a-c) + (b-a)(b-c) + (c-a)(c-b)
a b , c
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
a2"*'
a(b-c)-b(a-c) + c(a-b) 
(a -b)(a -c)(b-c)
b) resolução: Tirando o MMC, temos:
 a b ct —------------------- +--------------------- r-------------------
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
-a^b2"+b2'2")
+ ab + b2j
Questão 5.77_______________________ _
a) resolução: Tirando o MMC. temos:
E =___ 1___ +____ 1-___ +____1___
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
a2"b2" + b:
1 1 1. .------------------------------------- F 1 ■ ■ -f- ---------------------------------- “ Q#
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
r (b-c)(a-b)(a-c)
(a -b)(a -c)(b -c)
a2(b-c)-a(b2 -c2) + bc(b-c)
=> E =-------------------------------------------------
(a-b)(a-c)(b-c)
386 Resoluções10
x-a =
= 0.
= 0
= 0.
=■ E - (a + b + c)
(ab + ac + bc)
=0+0+0-abc
Chamando a expressão pedida de E e somando as três equações 
encontradas, membro a membro:
a b c
(a -b)(a-c) + (b -a)(b -c) + (c -a)(c -b)
a2 + b2 ! c2 
(a-b)(a-c) + (b — a)(b -c) + (c -a)(c -b)
abc 
(b-a)(b-c)
abc 
(c-a)(c-b)
abc
(a-b)(a-c)
abc
(a-b)(a-c)
1 . 1 1
(a-b)(a -c) + (b-a)(b-c)+ (c-a)(c -b)
=> E - (a + b + c)[1] + (ab + ac + bc)[0]-abc[0] = 0 => E-(a + b + c) = 0 
|E = a + b +~c].
d) resolução: Da identidade de Stevin, temos: 
(x-a)(x-b)-(x-c) = x3 -(a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x - abc 
x3 (a + b + c)x2 (ab + ac + bc)x abc 
(x-b)(x-c) (x-b)(x-c)+ (x-b)(x-c) (x-b)(x-c)
Fazendo o mesmo para x = b e x = c, obtemos: 
b3 (a + b + c)b2 (ab + ac + bc)b
(b-a)(b-c) (b-a)(b-c) (b-a)(b-c) 
c3 (a + b + c)c2 (ab + ac + bc)c 
(c-a)(c-b) (c-a)(c-b) (c-a)(c-b)
Para x = a, temos:
a3 (a + b + c)a2 (ab + ac + bc)a 
(a-b)(a-c) (a-b)(a-c) (a-b)(a-c)
a3 (a + b + c)a2 (ab + ac + bc)a 
(a-b)(a-c) (a-b)(a-c) (a-b)(a-c)
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 387
E = => E = E = 0.
Como queríamos provar.
E =
=> E =
b2_c2_a2+c2^a2_b2
(a-b)(a-c)(b-c)
1 1
+ b5+c5
1 1 _1_
A as+b5+c5~
=> E = _± + A + _L 
b5 b5 c5
1
(a + b + c)S
=> E = —L.
(-b)5
1
(0 + c)5
Questão 5.79
Resolução: Tirando o MMC, temos:
a2 + b + c a + b2 rc a + b + c2
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
(a2 + b + cj(b-c) ~(b2 + a + c)(a -c) + (c2 + a + bj(a-b)
(a -b)(a - c)(b -c)
a2 (b -c) + (b2 -c2)-b2 (a -c)-(a2 -c2) + c2(a -b) + (a2 -b2)
(a -b)(a - c)(b - c)
E a2 (b-c)-b2 (a-c) + c2 (a-b) .
(a-b)(a-c)(b-c)
Questão 5.81
Resolução: Tirando o MMC e usando a identidade de Gauss, temos:
1 1 1 1 ab + bc + ca 1
a b c a+b+c abc a+b+c
=> (ab + bc + ca)(a + b + c) = abc => (a + b)(a +c)(b + c) +abc = abc
=> (a + b)(a + c)(b +c) = 0 => a + b = 0 => a = -b ou
a + c = 0 => a = -c ou b + c = 0 => b = -c.
Assim, podemos escrever:
,.111 t =------ 1------- 1------
a5 b5 c5
^e = A=>e.
Questão 5.78
Resolução: Tirando o MMC, temos:
E b + c a + c a + b
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) + (c-a)(c-b)
E (b + c)(b-c)-(a + c)(a-c) + (a + b)(a-b) 
(a-b)(a-c)(b-c)
b2-c2-(a2-c2) + a2-b2 
(a-b)(a-c)(b-c)
388 10 Resoluções
a
Assim, podemos escrever:
1
11
,n
=> E =
=> E = => E ==> E =
=> E =
E
4 
2a+ b
2
2a + b
1
cn
1
7"
1 
cn
1
cn
1
cn
1 
b"
1
bn
_1_ 
bn
1 
bn
Questão 5.84
Resolução: Tirando o MMC, temos:
4a + 2b - 4b - 8a + 4b
4a2-b2
2 4b
2a - b b2 - 4a2
2b-4a
4a2 - b2
2(2a + b)-4b-4(2a-b)
4a2 -b2
a - b (a + b)3 - 2a(a2 - b2 j + (a - b)3
a-b
E =
(a-b)'
2a(a2 +3b2)-2a(a2 -b2)
=> E =----+
(-b)"
E = A + 
an
(a + b + c)n
a + b 
(a-b)2
-2(2a-b) 
(2a-b)(2a + b)
2a3 + 6ab2 - 2a3 + 2ab2
2a 
a2 -b2 "(a + b)'
Questão 5.82 (Finlândia 2002)
Resolução: Tirando o MMC, temos:
111 1 ab + bc + ca 1
--- r — = ------------ => = 
b c a + b + c---------------abc---------- a + b + c
(ab + bc + ca)(a + b + c) = abc => (a + b)(a + c)(b + c) + abc = abc
(a + b)(a + c)(b + c) = 0 => a + b = 0 => a =-b ou
a + c = 0 => a = —c ou b + c = 0 => b = -c.
=> E = — => E = 
cn (0 + c)'
a + b__ 2a
|2 a2-b2+(a + b)'
8ab2
n ímpar
=> e = -A 
bn
Questão 5.83
Resolução: Tirando o MMC, temos:
2 4b 4 r~ =---------- 1--------------------------
2a - b b2 4a2 2a + b
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 389
E =
=> E =
=> E =
y-2x=> E = E =
= x.,2
E =
=>E =
=> E ==> E = => E =
Questão 5.87
=> E =
a - b 
a + b
2x 
x + y
y2 1 t x
+ y2 -x2_ x + y + x2 -y2
y- x - x 
y2 - x2
x(y-2x)
Questão 5.86 (CN-1978) - Resposta: Alternativa D.
Resolução: Tirando o MMC, temos:
_________ a4 - b4__________
(a2 + b2 + 2abj(a2 +b2 - 2abj
2ab 
a2-b2
2ab 
a2-b2
2ab 
a2-b2
x 
. y2 - x2 .
________ y2 - x2 
y2 -x2 J [ y-2x
(*2-b2)(a2+b2)
(a2-b2)2
a2 +b2 -2ab
a2-b2
2ab
a2-b2
1 , x 
-x2J [x + y x2-y:
Resolução: Tirando o MMC, temos:
E_ a2 [ b2 (a + b)2 a2y(x + y) + b2x(x + y)-xy(a + b)2 
x y x + y " xy(x + y)
(a-b)2 
(a + b)(a-b)
a2 + b2 2ab
^b2-?-^2
a4 - b4
[a2 + b2 + 2ab)[a2 + b2 - 2abj
Questão 8.85 (CN-1961)
Resolução: Tirando o MMC, temos: 
2x y y2 
x+y y-x
2x(y-x)-y(x + y) + y2 f(y-x)- 
y2-x2 ' '
2xy - 2x2 - xy - y2 + ' 
y^2 J 
xy-2x2 y-2x 
y2 - x2 y2 - x2 + l.í 
' y-x y2 - „ j L
E-— a4-h4
(a + b)2(a-b)2
390 10 Resoluções
=> E =
=o E = => E =
=> a =
=> E =
 
n2 5n2 - 4n +1 + 5n2 - 4n +1
E
5n2 - 4n +1
5n4 + 4n3 + 6n2 + 4n +1 
5n2 + 4n +1
5n4 - 4n3 + 6n2 - 4n +1 
5n2 -4n + 1
n4 - 4n3 + 6n2 - 4n +1 + 4n4 
n2 +4n2 -4n + 1
4n4
(ay-bx)2 
xy(x + y) '
a2xy + a2y2 + b2x2 + b2xy - xy (a2 + 2ab + b2) 
xy(x + y)
E a2xy + a2y2 + b2x2 + b2xy - xya2 - 2xyab - xyb2 
xy(x + y)
a2y2 + b2x2 -2xyab E (ay)2 -2(ay)(bx) + (bx)2
xy(x + y) xy(x + y)
a2 ' b2 (a + b)2
x y x + y
Questão 5.88
Resolução: Podemos escrever:
(n + 1)4+4n4 n4+4n3+6n2+4n + 1 + 4n4 
a -------- ----------- a =-----------------------------------------
n2+(2n + 1)2 n2+4n2+4n + 1
(n + 1)4 + 4n4 
n2 + (2n + 1)2 
(n-1)4+4n4
b =-----------------—
n2 +(2n-1)2
(n-1)4 +4n4
n2 + (2n-1)2
E (n + 1)4+4n4 (n-1)4
n2 + (2n + 1)2 n2+(2n-1):
5n4 +4n3 -r6n2 +4n + 1 5n4 - 4n3 + 6n2 - 4n +1
5n2 +4n + 1 5n2 -4n + 1 
_ E 5n4+4n3+n2+5n2+4n + 1 5n4-4n3+n2 + 5n2-4n+ 1 
5nz + 4n + 1 5n2 -4n + 1
 
n2 ^5n2 + 4n ++ 5n2 + 4n +1 
5n2 + 4n +1
Os Segredos da Álgebra para 1ME/ITA/OLIMPÍADAS 391
=> E =
= 0
Como queríamos demonstrar.
b + c a + c = 2
ba
c
=> E =
a+b 
c
a + c 
b
5 
a + b
Questão 5.89 (Grã-Bretânia-2014)
Resolução: Esta questão é uma aplicação do resultado da questão anterior, 
para n = 2013.
(n2+l)(5n2
5n2 + 4n + 1
2a + 2b + 2c 
a i b i c
2(a-b + c) 
a + b rc
E = -?- + 
b + c
-4n + l)
=> E = (n2+l)-(n2+l) .-.
Assim, substituindo, temos: 
b 
a + c
=> E = — 
b + c
Questão 5.92 (IME-06/07)
Resolução: Do enunciado, temos duas opções: 
Caso 01: Se a + b + c^0.
b + c a + c a + b + b + c + a + c 
a b c + a + b
a + b--- = 2C
a + b
c
a + b => --c
c E 5-(b + c) | 5-(a + c) , 5-(a + b) 
a+b b+c a+c a+b
 (b + c) 5 (a + c) + 5 (a + b)
b+c a+c a+c a+b a+b
Questão 5.93
Resolução: Do enunciado, temos: 
a + b + c = 5 a = 5-(b + c) 
a + b + c = 5 => b = 5-(a + c) 
a + b + c = 5 => c = 5-(a + b)
+ 4n + l) (n2+l)(5n2
5n2 -4n + 1
(n +1)4 + 4n4 (n -1)4 + 4n4
n2+(2n + 1)2 n2+(2n-1)2
Caso 02: Se a + b + c = 0 => a + b = -c 
a + b 1
c
392 Resoluções10
-1-1-1 => E = 5 (6)-3=> E = 5-
.-. E =-2.=> E = -=> E =
=> E =
=> E =
=> E = => E =
-2a)'
E =
Questão 5.94
Resolução: Usando o dado do enunciado e chamando a expressão de E, 
temos:
9c2 + 9b2 + 9a2 
a2+b2+c2
2abc________
+ c + b) + bc](b + c)
b + c = -a;
-2a)2
Questão 5.96 (Moscou 1949)
Resolução: Do enunciado, temos:x2 + y2 + z2 = 2xyz => x2 - 2xyz + y2 + z2 = 0
=> x2 - 2 • x • yz + (yz)2 - (yz)2 + y2 + z2 = 0
=> (x-yz)2-(yz)2+y2+z2 =0.
—=9.
(a + c-2b)2 +(b 
a2+b2+c2
(-3c)2
(-c-2c)2
1 1 1
b + c a + c a + b
=> E = 30-3 .-. |E = 27|.
luestão 5.95
Resolução: Usando o dado do enunciado e chamando a expressão de E, 
temos: 
a + b + c = 0 => a + b = -c; a + c = -b => ;
(a + b - 2c)2 + (a + c - 2b)2 + (b + c
a2+b2+c2
r(-b-2b)2 +(-a-2a)2
a2+b2+c2
!+(-3b)2+(-3a)2
a2+b2+c2
9(c2+b2+a2) (a + b-2c)2 
a2+b2+c2 '■
=> E = r------[a(a
„ , 2abc
a + b + c = 0 => a + b = -c; => E = +—--------------------- r----------
Ia2 + aç + bc + abl(b + c)
2abc p. 2abc ------------ c = — — 
[bc](-a)-----------------abc
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 393
12
Assim, bc - ab - ac é inteiro já que a, b e c são inteiros.
x = yz = 0 
yz = 0 
y = 0 
z = 0
2
3
Assim, podemos escrever:
_ 'J* Vx \/x -Jx x/x
x/x + x/y + x/z x/x + x/x + x/x x/x + x/y + x/z 3x/x x/x + ,/y + 7z
Questão 5.99
Resolução: Fazendo uma mudança de variável, temos:
a - 2 = x; b - 2 = y; c - 2 = z => x + y + z = a- 2 + b- 2 + c- 2 = 0.
x + y + z = 0 => x3 + y3 + z3 = 3xyz.
.'. (a - 2)3 + (b - 2)3 + (c - 2)3 = 3(a - 2)(b - 2)(c - 2).
Questão 5.98___________________________________
Resolução: Do enunciado, temos:
x + y + z = 0 => x4 + y4 + z4 = 2(xy + xz + yz)2 
a = b + c => a-b-c = 0 => a + (~b) + (-c) = 0 
(a)4 + (-b)4 + (-c)4 = 2[(a)(-b) + (a)(-c) + (-b)(-c)j 
.'. a4 + b4 + c4 = 2(bc - ab - ac)2 .
Note que, para uma soma de "quadrados" ser nula, todos os termos quadráticos 
devem ser nulos, assim:
(x-yz)2 =0
. (yz)2 = o
y2 = 0
z2 =0
Questão 5.97 (lrã-1985)_____________________________________
Resolução: Multiplicando por 2, temos:
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx => 2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx
=> x2 + x2 + y2 + y2 + z2 + z2 = 2xy + 2yz + 2zx
=> x2 - 2xy + y2 + y2 - 2yz + z2 + x2 - 2zx + z2 = 0
= (x - y)2 + (y-z)2 + (x - z)2 = 0
x - y = 0 => |x = y|; y - z = 0 => |y = z|; x - z = 0 => |x = z|.
Resoluções394 10
E =
.2
,2
=> E ==> E =E =
(*2
=> E ==> E =
E =-[-1-4 030 056] = 4 030 057
,3
=> E =E =
= 3=> E =
-3 = 0.x + y
3(a - 2)(b - 2)(c - 2) 
7(a - 2)(b - 2)(c - 2) ”
20143 -20133 -1 
2013-2014
z4
z2
Assim, temos:
(a-2)3+(b-2)3+(c-2):
7(a - 2)(b - 2)(c - 2)
x3+y3+z3 
xyz
(£+y:
2(x2
z = \/r +
=> E = ^ 
xyz
— => e = e = 3
7
Questão 5.101 (Singapura-2014)
Resolução: Seja x = -1, y = -2013 e z = 2014 , temos:
x + y + z =-1-2013 + 2014 => x + y + z = 0 => x3 + y3 + z3 = 3xyz
20143 +(-2013)3 +(-1)3 
(-1) (-2013)-2014
20143 -20133 -1
2013-2014
= y; -3 = z;
+ y2+z2)
x4+y4 
x2 + y2
Questão 5.102
Resolução: Fazendo uma mudança de variável, temos:
^ + -í = 3 => ^ + A-3 = 0 => 377 = x; A
K/r vr W
_1_
Questão 5.100 (BMQ-2007)
Resolução: Seja x = -1, y = -2007 e z = 2008 , temos: 
x + y + z = 0 => (x2+y2+z2) =2^x4+y4+z4j 
x + y + z = 0 => x2 + y2 + z2 =-2(xy + xz+yz) 
2(x4 +y4 +z4) 
2(x2 + y2+z2j
+ y2+z2) -2(xy + xz + yz) .
—- --------<=> E = — ------ — => E =-(xy+xz +yz)
=> E = -[x(y + z) + yz]=>E = -[(-1)(-2007 + 2008) + (-2007)(2008j]
14 + 20074 + 20084
12 + 20072 +20082
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 395
,3
r3
=>
=-9
x2 +18 = 2[V81-72 + x-x]
79 + 6^21
(79-672 +^9+ 672 j"| =>
=> 3x2 =12 => x2 =4 => x = ±2 79-672 +79 + 672 =2.
=> r3
=> r+--27 
r
(-18)3=3.(r3).[A](_18) :
1 
+ -j = 5778.
Questão 5.103 (AMC-2011) - Resposta: Alternativa B.
Resolução: Fazendo uma mudança de variável, temos:
x = 79-672+79+ 672 => X - 79 - 672 - 79 + 672 = 0
=> - 79-672 = y; - 79 + 672 = z;
=> x+y+z=x-79 - 672 - 79 + 672 = 0.
x + y + z = 0 => x2 + y2 + z2 =-2(xy + yz +zx).
(x)2 + (79-672 j2 +(79 + 672^ =
= 2^(79-672^(79 + 672^ + X ■ ^9-6^2 + X ■
=> X2 +9-672 + 9 + 672 = 2 J92 -[672^ + x■
__
x2+18 = 2 79 + xH=> x2+18 = 6 + 2x2
Questão 5.104 (Princeton-2006)_____________________
Resolução: Fazendo uma mudança de variável, temos:
X = 77 + 473 + 77-473 => x-77 + 473 - 77 - 473 =0 
=> - 77 + 473 = y; - 77 - 473 = z;
=> x + y + z = x-77 + 473 - 77 - 473 = 0.
+ -1 - 5832 = -54
x + y + z = 0 => xJ + yJ + z3 = 3xyz.
1 1
=> r + --27 + 9 = 0 r + --18 = 0.
+ -1 = 5832-54 .-. r3
0 => x3 + y:
3
+ ("3)3
Resoluções10396
X2 +3+275 + 3-275 = -2
X = 7 + 2 x/ÍTI - J3 - 2 ^2^2
7 + 2 75 - 73 - 2 75 => X 
7-2 75
x+y+z=0 => x2 + y2 + z2 = -2(xy + yz + zx).
=> (x)2 + (-7?+ 475 )2 + (-77-4V3)2 =
= -2|J-V7 +4,/3 )(->/7-4>/3) + x ■ (-7?+ 475 | + x ■ (-77-475)]
=> x2+7 + 475 + 7-475 =-2 ^72 - (475)2 - X • (7? + 475 +/? - 475 ) => 
x2 +14 = -2[v/49-48-x-x] => x2 + 14 =-2(l-x2) => x2+14 = -2 + 2x2 
=> x2 = 14 + 2 => x2 = 16 => X = +4 y/7 + 4^3 + ^7 - 475 = 4 .
Questão 5.106 (CN-1984) - Resposta: Alternativa B.
Resolução: Fazendo uma mudança de variável, temos:
^3 + 2 ^275 -^3-2 ^275 => x = V3 + 2 x/x/í?2 -
=> X =
=> - 73 + 2 72 = y ;
x + y + z =
=> x = \/3 + 2 -\/3-2V
- 73 + 2 75 + 73-2 V2 = 0 
= z; => |x + y + z = o|.
0 => x2 + y2 + z2 =-2(xy + yz + zx).
Questão 5.105 (AHSME-1970) - Resposta: Alternativa A.
Resolução: Fazendo uma mudança de variável, temos:
x = 73 + 2 72 - 73-2 75 => x- 73 + 2 72 + 73-2 72 = 0
=> - 73 + 2 72 = y ; 73-2 72 = z; => |x + y + z = Õ]
x + y + z = 0 => x2 + y2 + z2 = -2(xy + yz + zx).
=> (x)2 + (-73 + 272 j2 + (73 - 272 j2 =
= -2^(-73 +272^(73 - 272 j + X ■ (-73 +272) + X ■ 73-275] =>
Í32 -(272)2 +x-(-73 +275 + 73 - 275)
=> x2 +6 = -2[-79-8 +x (-x)] => X2+6 = -2(-1-x2)
=> x2 + 6 = 2 + 2x2 => x2 = 4 => X2 = 4 => x = +2
.-. 73 + 275 - J3-2J2 = 2 .
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 397
Assim: ^5-72+7-^5x/2-7 = 2 .
Pelo teorema do fator (veja detalhes no capitulo de fatoração) ou por inspeção, 
temos que 2 é raiz dessa equação.
=> (x)2 + (-73 + 2^2 j2 + (V3- 2^2 )2 =
= -2^-x/3 + 2^jp3-2>^j + x-(-73 + 2V2j 
x2 +3 + 272 + 3-272 = -2
c3)_a5 + b5+c5
5
=> x3 -14 =-3x(\/50- 49
=> x2 + 6 = -2[-79^8
=> x2+6 = 2 + 2x2 =>
V3 + 2\/2v5 -^3-2^2^ = 2.
Questão 5.107
Resolução: Fazendo uma mudança de variável, temos:
x = ^5V2+7-^5>/2-7 => x - ^5>?2 + 7 + ^5-/2 -7=0 
=> - ^5^2 + 7 = y ; ^5^2-7 = z;
=> x+y+z= x - ^5y/2 + 7 + ^5>/2-7 = 0.
x+y+z=0 => x3 + y3 + z3 = 3xyz.
=> (x)3 + (-^/5s/2 + 7)3 + ^5x^-7)3 = 3(x)(-7õx^ + 7)(75x/2-7) 
=> x3 - 5x/2 - 7 + 5V2 - 7 = -3x^(5V2)2 - 72 j
j => x3-14 = -3x => x3+3x-14 = 0.
Questão 5.114 (Harvard/MIT-2008)
Resolução: Da teoria, podemos escrever:
(a2+b2+c2) (a3+b3 +
2 3~
V3-2x/2 j => 
•^32-(2x/2)2 + x ■ (-73 + 272 + 73-272 j 
+ x-(-x)j => x2+6 = -2(-1-x2) 
x2 =4 => x2=4 => x = ±2
398 10 Resoluções
=>
2
=0 E = 2-9
2
=. E = 18
=> E
E =
9
2
2
5
c5)_a5 + b5+c5 (a2 + b2+c2)
5 6
-2ab-2ac-2bcj
•r4ab- 2b2 + c2 - 2ac + bc + bc - 2ab + b2 - 2c2 +4ac-2bc + ac -
=> E = 2^3 (ab + ac + bc-a2-b2-c2j]
(2a2 + 2b2 + 2c2
2
2a2 +abl
r__ = -|2
E = 2 3ab + 3ac + 3bc - 3a2 - 3b2 - 3c2
(a - b)2 + (a - c)2 +(b -c)2
2
Questão 5.115
Resolução: Fazendo uma mudança de variável, temos: 
a - 2b + c = x; b-2c + a = y; c - 2a + b = z;
=> x + y + z = a-2b + c + b-2cí-a + c-2a + b = 0.
x + y + z = O => x4 + y4 +z4 =2(xy + xz + yz)2.
=> E = (a-2b + c)4 +(b-2c + a)4 +(c-2a + b)4
=> E = 2[(a-2b + c)(b-2c + a) + (a-2b + c)(c-2a + b) +
+(b-2c + a)(c-2a + b)]2
E = 2 ab-2ac -ra2 -2b2 + 4bc -2ab + bc -2c2 + ac + ac -2a2 +ab -2bc +
18^(a-b)2 +(a-c)2 +(b-c)2]
" 4 ’
[(a-b)2 + (a-c)2+(b-c)2]
(a2+b2 + c2j (a5 + b5 +
2 3
a2 + b2 + c2 = ?.
5
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 3S9
= 0 => ab + bc + ac = 0.2 
a
Questão 5.119
Resolução: Da teoria, podemos escrever:
a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => (a3 + b3 + c3j = (3abc)2.
l + l = o=> 
b c
=> a6+b6 +
Questão 5.118
Resolução: Da teoria, podemos escrever: 
a3+b3 + c3 = 3abc => (a3+b3 + c3) = (3abc)2
+ b3c3j = 9a2b2c2
c6 + 2^(ab + ac + bc)3 + 3a2b2c2J = 9a2b2c2 
=> a6 + b6 + c6 + 2(ab + ac + bc)3 = 9a2b2c2 - 6a2b2c2 
a6 + b6 +c6 = 3a2b2c2 -2(ab + bc + ca)3 .
=> a6 + b6 + c6 + 2(a3b3 + a3c3
=> a6+b6
ab + bc + ac 
abc
c6+2(a3b3 + a3c3 + b3c3)2 = 9a2b2c2
0
=> a6 + b6 + c6 + 2 (ab + ac + bc)3 + 3a2b2c2 = 9a2b2c2 =>
 (a + b + c)2 + (a -b -c)'2(5 + 2bc) 
E_2[a2 + (b + c)2] 
2(5 + 2bc)
Questão 5.117
Resolução: Da teoria, temos: a5 + b5 + c5 = -5abc (ab + ac + bc). Logo: 
a5 + b5+c5 -5abc(ab + ac + bc) a5+b5 + c5 
abc(ac + bc + ab) abc(ac + bc + ab) " abc(ac + bc + ab)
Questão 5.116
Resolução: Da teoria, podemos escrever:
j2 [a + (b + c)]2+[a-(b + c)]2
2(5 + 2bc)
2^a2 + b2 + 2bc + c2 : 
E 2(5 + 2bc) EJ5-t2bC.] .-. E = 1.5 + 2bc
400 Resoluções10
= abc
bc)2 => a7 + b7 + c7 = 7abc
=> a7 + b7+c7 = — abc(a4+b4+c4)
Questão 5.121 
(ac)3 - 3a2b2c2
=> (ab)3 + (bc)3 + (ac)3 = (ab + bc + ac)3 + 3a2b2c2 .
a + b + c = 0 => a3 + b3+c3 = 3abc.
E =
7
2
(ab)3 + (bc)3 + (ac)3 - (ab + bc + ac)3 1
6abc(a3 + b3 +c3) 6
Questão 5.120 (Croácia-2001)
Observação: Temos abaixo a primeira resolução desta questão, a segunda 
resolução está no capitulo 8, cuja resolução é por somas de Newton.
Resolução: Da teoria, podemos escrever:
bc)2 => (ab + ac + bc)2 =
3a2b2c2
18a2b2c2
a4 +b4+c4
2 
a4+b4+c4
2
a6 + b6 + c6 + 6a2b2c2 = 9a2b2c2 => a6 + b6 + c6 = 9a2b2c2 - 6a2b2c2 =.
a6 + b6 + cs 
3abc
a4 + b4 + c4 = 2(ab + ac +
a7 + b7 + c7 = 7abc (ab + ac +
a7 + b7+c7 
abc(a4 +b4 + c4j
Resolução: Da teoria, podemos escrever: 
a + b + c = 0 => (ab + bc + ac)3 =(ab)3+ (bc)3+
, (ab + bc + ac)3 + 3a2b2c2 - (ab + bc + ac)3
6abc (3abc)
a6 + b6 + c6 = 3a2b2c2 => a6+b6+ c6 = (3abc)abc =>
a6 + b6 + c6
■■ ra^=abc-
 (ab)3 + (bc)3 + (ac)3 - (ab + bc + ac)3 
6abc(a3 + b3 +c3j
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 401
z
Capitulo 06 - Fatoração
Como a, b e c são números reais distintos dois a dois, temos que a diferença 
não é nula, o que conclui a nossa demonstração.
Logo, temos:
E = (ac - bd)(bc - ad)(cd - ab)
=> E = - (a + b)-(a + c)-(a + b)-(b + c)-(a + c)-(b + c)
=> E = -(a + b) ■ (a + c) (-1)(a + d)■ (b + c)• (-1)(b + d)• (-1)(c + d) 
E = (a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d).
Questão 6.1 (Harvard-MIT-2012)________________________________
Resolução: Note que 253 -272 pode ser fatorado da seguinte forma: 
253 - 272 = (52)3 - (33 )2 = (õ3)2 - (33 = (õ3 + 33](õ3 - 33)
=> x = ac + ab + b2 + bc
Questão 5.125 (Rússia)____________________________ ___
Resolução: Podemos escrever:
E = a2 ■ (c - b) + b2 • (a - c) + c2 • (b - a)
=> E = a2 (c - b) + ab2 - b2c + bc2 - ac2
=> E - a2(c-b)-a(c2-b2j + bc(c-b)
=> E = (c-b)(a2-a(b + c) + bc(| E = (c-b)(a-b)(a-c).
Questão 5,123 (Peru 2009)
Resolução: Podemos escrever:
x = ac-bd = ac - b(-a-b-c) :
=> x = a(b + c) + b(b + c) => |x = (a +b)(b + c)|.
y = bc-ad = bc-a(-a-b-c) => y = bc + a2 + ab+ ac
=> y = a(a + b) + c(a + b) => ly = (a + b)(a + cH.
= cd-ab = -c(-a-b-c)-ab => z =-(ab+ ac +bc+ c2 j
=> z = -[a(b + c) + c(b + c)] => |z =-(a + c)(b +c)|.
402 10 Resoluções
Assim, a soma pedida vale: 2 + 7 + 19 = 28.
E
E = 8x(x-y)-3(x-y) E = (x-y)(8x-3).
Questão 6.4__________________________________________________________
Resolução: Agrupando os termos semelhantes e chamando a expressão de E, 
temos:
E = 5ax + 3by - 5ay - 3bx => E = 5a(x-y)-3b(x-y) E = (x-y)(5a-3b).
Questão 6.6 (CN-1952)_________________________________________________
Resolução: Agrupando os termos semelhantes e chamando a expressão de E, 
temos:
E = 8x2 -8xy-3x + 3y
Questão 6.5 (CN-1951)_________________________________________________
Resolução: Fatorando por diferença de quadrados e chamando a expressão 
de E, temos:
E = x2-2xy+ y2-a2 => E = (x-y)2-a2 => E = [(x - y) + a][(x - y) - a]
E = (x-y-a)(x-y + a).
=> 253 -272 = (125 + 27)(5-3)(õ2 + 5.3 + 32)
=. 253 - 272 = (152)(2)(25 +15 + 9) => 253 - 272 =(23 -19) (2)(49) 
=> 253 - 272 =24■72■19 .
J(x2 - 4x + 8).
Questão 6.2 (CN-1954)________________________________________________
Resolução: Fatorando por diferença de quadrados e chamando a expressão 
de E. temos:
E = 16x4-1 => E = (2x)4-14 => E = |j2x)2+12p2x)2-12]
=■ E = [4x2+l][(2x) + l][(2x)-l] .'. E = {4x2+l](2x + 1)(2x-1).
Questão 6.3 (AHSME-1954) - Resposta: Alternativa E.___________________
Resolução: Usando o artificio de somar e subtrair a mesma quantidade e 
chamando a expressão de E, temos:
E = x4 + 64 => E = (x2)2+82 => E = (x2)2 + 82 + 2 • x2 ■ 8 - 2 ■ x2 ■ 8
= (x2 + 8)2-16x2 => E = [x2 + 8]2-(4x)2
=> E = (x2 + 8 + 4x)(x2 + 8-4x) /. E = (x2+4x + 8
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 403
=> E
=> E =
■■■ |E = 3|.
=> E =
=> E =+ E =
lí 
abc
_c^_ 
abc
27(3abc) 
5abc
Questão 6.7
Resolução: Fatorando por diferença de quadrados e chamando a expressão 
de E, temos:
E = 16x4y6 - 81a6b4 => E = (4x2y3)2 -(9a3b2)2
/. E = (4x2y3 + 9a3b2^4x2y3 -9a3b2j.
ac 
a3+b3+c3 
abc
Questão 6.10
Resolução: Usando o artifício de multiplicar e dividir a mesma quantidade e 
chamando a expressão de E, temos: 
 27a2 27b2 27c2 27a2 a
5bc 5ac 5ab 5bca
27
Questão 6.8
Resolução: Fatorando por diferença de quadrados e chamando a expressão 
de E, temos:
E = (2a-3)4 -(a-5)4 => E =[(2a -3)2 + (a-5)2^(2a -3)2 - (a -5)2 J
= (2a-3)2+(a-5)2][(2a-3) + (a-5)][(2a-3)-(a-5)J
4a2 -12a + 9+ a2 - 10a + 2õJ(3a-8)(a + 2)
.-. E = (3a-8)(a + 2)(5a2-22a + 34).
27a2 27b2 27c2 81
-------------1----------- 4--------------= ------
5bc 5ac 5ab 5
27b2-b 27c2 c 
5acb 5ab c 
(a3+b3+c3) 
5abc
 27a3 27b3 27c3
=> E =-------------i--------------- ,
5abc 5abc 5abc
Questão 6.9
Resolução: Usando o artifício de multiplicar e dividir a mesma quantidade e 
chamando a expressão de E, temos:
a2 b2 c2 a2-a b2 b c2 c a3
b =----- 4---------- 1------- => E =-------------- 1---------------1-------------=> E =--------- 4-bc ac ab bca acb abc abc
 3abc
abc
404 10 Resoluções
=> E
=> E
=. E = => E =
a
a
+ b= a
a
E = => E ==> E = +
ab
b
=> E =
Questão 6.14
=> E = => E =
bb 
a b
b - c 
bc
a 
b
a^
ab
Questão 6.11 (AHSME-1952) - Resposta: Alternativa A.
Resolução: Fatorando por diferença de cubos e chamando a expressão de E, 
temos:
c - a 
ca 
ab - ac 
abc
: c - a . +-----
ca
a
~2
Questão 6.13 (AHSME-1950)
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
= (a-a
a2-b2 
ab
ab-b2
ab-a2 
a2-b2 
ab
a2-b2 
ab
-b
i a - b
’+ ab
bc - ab
abc
a - b+-------- = 0 .
ab
E = ^ + 
bc
E = a3 - a
H±í 
a'2-b“2
a2 +aa'
E = 
a
a3-a'
Questão 6.12 (AHSME-1955) - Resposta: Alternativa B.
Resolução: Fatorando por diferença de quadrados e chamando a expressão 
de E, temos:
a2-b2 b(b-a)
^a(b-a)
-b
-b 2
- b-4
-b"2
a’2
Resolução: Usando o artificio de multiplicar e dividir a mesma quantidade e 
chamando a expressão de E, temos:
(b-c)a (c-a)b (a-b)-c 
bca cab abc 
ac-bc ab - ac + bc - ab + ac - bc
■ +--------------- => E -- -------------------------------------------------------
abc abc
+ b'2 -2-b
a2 -b2 + b2 - ab
ab ab-a2 
a2-b2+b2
ab
E =
a
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 405
E
E = => E =
=> E =
=> E =E =
a-b 
a + b-c
Questão 6.16_________________________________________________________
Resolução: Fatorando por diferença de quadrados e chamando a expressão 
de E, temos:
= (a2 -3a + ab-3b)2 -(a + b)2 =>E = [a(a-3) + b(a-3)]2 -(a+ b)2
=> E = |^(a - 3)(a + b)J2 - (a + b)2
=> E=[(a-3)(a + b) + (a + b)][(a-3)(a + b)-(a + b)]
=> E = [(a + b)(a-3 + 1)][(a + b)(a-3-1)J E = (a-4)(a-2)(a + b)2 .
=> E = (c + d)(a2 + 2ab + b2 j
Questão 6.17 
Resolução: Chamando a expressão de E, temos: 
E = a2c + 2abc + b2c + a2d + 2abd + b2d
=> E = c(a2 + 2ab + b2j + d(a2 +2ab + b2í
E = (c + d)(a + b)2 .
Questão 6.22
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
a2 - bc - b2 + ac __ (a - b)(a + b) + c(a-b)
a2+b2-c2 + 2ab (a + b)2-c2
a2 - bc -b2 + ac(a - b)(a + b + c)
(a + b-c)(a + b + c) " |a2 + b2 -c2 + 2ab
(a + b -c)(a + b + c) 
(a + c - b)(a + b + c)
Questão 6.23 (AHSME-1960)_________________
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
E = a2 +b2 -c2 + 2ab _ (a + b)2 -c2 
a2+c2-b2 + 2ac (a + c)2-b2
Questão 6.15
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
E = ax(b2 + y2) + by(a2 + x2) => E = axb2 + axy2 + bya2 + byx2 
=> E = bx(ab + xy) + ay(xy + ab) => E = (ab + xy)(bx + ay) 
ax(b2 + y2 j + by(a2 + x2) = (ay + bx)(ab + xy).
406 Resoluções10
=> E =
E = =o E =
=> E = E =
E =
=> E = E ==>E =
a + b-c 
a-b + c
a3 (a2
(a + b)'
2(a2+b2) 
ab
a3(a3-b3)
(a + b)(a2-b2)]
+ ab + b2 j
1 '
Questão 6.26
Resolução: Podemos escrever: 
(a + b)4 - (a - b)4 
(a2+b2)2-(a2-b2)2 
8ab(az + b2) 
(b2+b2)(a2+a2 j
8ab(a2 +b2)
8ab(a2 +b2 j
4a2b2 ~
! a2 + b2 - c2 + 2ab 
|a2 +c2 -b2 + 2ac
Questão 6.25
Resolução: Podemos escrever:
(a5+a3b2)(a3-b3)(a2-b2)
(a4 - b4 )(a3 + a2b-ab2 -b3 j
a3(a2+b2)(a3-b3)(a2-b2)
(a2-b2)(a2 +b2^a2(a + b)-b2(a + b)J 
a3 (a - b)(a2 + ab + b2) 
[(a + b)(a + b)(a-b)]
Questão 6.24
Resolução: Note que a soma dos termos em parênteses dá zero, então, 
usando o produto condicional e chamando a expressão de E, temos: 
a2 -b2 + b2 -c2 + c2 -a2 = 0 => condicional 
a-b i-b-c + c- a = 0 => condicional
(a2 _ b2 ? + (b2 _c2’)3 + /c2 _a2 j3 3/a2 _ b2 ^2 _ c2 W..2 _ g2 \
E= (a-b)3+(b-c)3+(c-a)3 E= 3(a-b)(b-c)(c-a) 
3(a-b)(a + b)(b-c)(b + c)(c-a)(c + a) .
3(a-b)(b-c)(c-a) \ )
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 407
a6-b6=(a2-b2)(a4+a2b2+b4) =»
=> E = 2a2b2 -
= 2a2b2 - a - b .
E = => E =
E =
2a 
b
2b 
a
a6 +b6 = (a2 + b2)(a4-a2b2 +b4) =>
_E±L_
(a2+b2)(a-b)
a2 + ab + b2 
a
Questão 6.28
Resolução: Chamando a expressão de E, temos: 
a3-b3 
a2 - 2ab + b2
a2-b2 
a2 +ab
(*2-b2)(*2+b2) 
(a2 + b2)(a-b)
(a2 + ab + b2) 
(a^b)2' afã^Q
c 2a2 2b2 
=> E =----- +-------
ab ab
(a + b)4-(a-b)4 
(a2 +b2)2 -(a2 -b2)2
E = (a4 + a2b2 + b4)-(a4-a2b2 +b4)
Questão 6.29
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
E (a-b)4 -ab(a-b)2 -2a2b2
(a-b)[a3 -b3)+2a2b2
c a6-b6 a6+b6 
t ---------------------------------
a2-b2 a2+b2
Questão 6.27
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
4^J = a4+a2b2+b4
a2-b2
4i4 = a4-a2b2+b4 
a2+b2
^---b^a + bl =, E = 2a2b2-(a + b) 
a-b '
a6-b6 _ a6+b6 _ (a4-b4)
a2-b2 a2+b2 (az+b2j(a-b)
408 10 Resoluções
b2)-2a2b2
b2)
=> E =
4ab(a'
2 ^-ab
=> E =
=> E =
E = E =
a3 (-b- c) + b3 (-a -c) + c3 (-a - b) 
abc
-ab(a2 + b2)-bc(b2 +c2)-ca(c2 + a2) 
abc
a2+b2 ' b2+c2 t c2+a2
—c -a -b
4ab
^Tb2 '
Questão 6.30
Resolução: Podemos escrever:
 a2+b2 b2+c2 c2+a2
E =-------------- 1---------------- 1--------------
arb b+c c+a
a3 a +
c a3 b3 c3 
bc ca ab
=> E = =z
Ia'
b3 - b + c3 c 
abc
 a3 a b3 • b c3 -c
=> E = --------- H-------------1----------
abc abc abc
a4 -4a3b + 6a2b2 -4ab3 + b4 -ab(a2 -2ab + 
a4 - ab3 - a3b + b4 + 2a2b2
a4 - 4a3b + 4a2b2 - 4ab3 + b4 - ab(a2 - 2ab + 
(a2+b2) -ab(a2+b2)
a4 - 4a3b + 4a2b2 - 4ab3 + b4 -a3b + 2a2b2 - ab3 
(a2 + b2 )|^a2 + b2 - abj
(a2 + b2 j|^a2 + b2 - abj - 4a3b + 4a2b2 - 4ab3 
(a2 +b2^a2 +b2 -abj
(a2 + b2j ^a^JdsSt^abJ
(a -b)4 - ab(a -b)2 -2a2b2
(a -b)(a3 -b3) + 2a2b2
c -a3b-ab3 -b3c-bc3 -ac3 -a3c 
=> t =------------------------------------------------------------
abc
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 409
=> E
Questão 6.31 - Resposta: Alternativa D.
Resolução: Elevando ao quadrado temos, temos:
■=’)]
, . va — u -r vu — -r vo — a
M = , -...............=77(a-b)(b-c) + V(a-b)(c-a) +
, r------r i-------- i--------\2
Questão 6.33
Resolução: Chamando a expressão de E, temos: 
E = 2^a2b2 + a2c2 + b2c2 j - (a4 + b4 + c4) 
=> E = 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 - a4 - b4 - c4 
=> E = c2(2a2+2b2)-(a2-b2)2-c4
= c2[\a+ b)2+(a-b)2]-(a2-b2) -c4
=> M2 =
=> M2
Questão 6.32
Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
E = 4b2c2 - (a2 - b2 - c2)
=> E = [(2bc) - (a2 - b2 - c2 j^(2bc) + (a2
=> E = |~b2 + 2bc + c2 - a2 j^a2 - (b2 - 2bc +
=> E =^(b + c)2 -a2]^a2 -(b-c)2]
=> E = [(b + c - a)(b + c + a)][ja + b - c)[a - (b - c)]J 
.-. E = (a + b-c)(a-b + c)(a + b + c)(-a + b + c).
=» M2 = _ r. ,
[77(a-b)(b_c)+V(a-b)(c-a)+>/(b"c)íc_a)] 
a-b + b- c + c- a + 27prõdute~2_a__2) 
~ b )(c - ãj
= 2 .-. |M = y/2|.
410 10 Resoluções
= (y2-4y + 2)(y2 - 2y) .
a-b)(a + b)J2]
Questão 6.35 (Putnam-1938-Modificada)
Resolução: Desenvolvendo, temos:
E = (y2
=> E
=> E = y4-3y3+2y2-3y:
=> E = y2(y2
3y + 2)2 - 3(y2 - 3y + 2) + 2-y
= (y2 -3y + 2)(y2 -3y + 2)-3y2 + 9y - 6 +2-y
’3 + 9y2 - 6y + 2y2 - 6y + 4 - 3y2 + 8y - 4
=> E = y4-6y3+10y2-4y => E = y4 - 4y3 - 2y3 + 2y2 + 8y2 - 4y
4y + 2)-2y(y2 - 4y + 2).-. E
=> E = -[c4 + c2[(a + b)2 + (a-b)2] + [(;
=> E = -[c2-(a-b)2][c2-(a + b)2]
=> E = [c2-(a-b)2^(a + b)2-c2]
=> E = [[c-(a-b)](c + a-b)][(a + b-c)[a-(b-c)]J 
E = (a + b - c)(a - b + c)(a + b + c)(-a + b + c).
Questão 6.34 (AIME-1986)
Resolução: Note que a expressão pedida é uma aplicação do resultado da 
questão anterior, então temos:
E = (Vê + Vê + V7)(Vê + Vê - V7)(>/5 - Vê + V7 )(-Vê + Vê + V7)
=> E = (a+ b - c)(a-b + c)(a + b+ c)(-a+ b + c) =>
E = 2(a2b2 + a2c2 + b2c2)-(a4 + b4 + c4), a = Vê; b = Vê; c = V7;
a2b2 + a2c2 + b2c2 = (^)2 (Vê)2 + (Vê)2 (V7)2 + (Vê)2 (V7 )2
=■ a2b2 + a2c2 + b2c2 =30 + 35 + 42 => |a2b2 +a2c2 +b2c2 =10?].
a4 +b4 +c4 = (Vê) +(Vê) +('/7) => a4 + b4 + c4 = 25 + 36 + 49
=• |a4 +b4 + c4 = 11o|.
E = 2(a2b2 + a2c2 +b2c2)-(a4 +b4 +c4)=> E = 2 ■ (107)-(110)
=> E = 214-110 |E = 104|.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPlADAS 411
= 20 + 14 + x
Assim, substituindo, temos:
(a2 + l)(b2 + l)(c2 +1) = (a + c)(a + b)(a + b)(b + c)-(b + c)(a +c) 
(a2 +l)(b2 +l)(c2 +l) = [(a + b)(b + c)(a + c)]2.
Questão 6.39 (Harvard-IVIIT-2012)________________________
Resolução: Elevando ao quadrado, temos:
2a + 3b = 10 => (2a + 3b)2=102 => 4a2+12ab + 9b2 = 100
RO 20=• 20 + 12ab = 100 => 12ab = 80 ab = — ab = — .
12
Questão 6.51
Resolução: Do enunciado, temos:
a2+1 = a2+ab + bc + ca => a2+1 = a^ + ab+ bc+ ça 
=> a2 +1 = a(a + c) +b(a+ c) .-. a2 +1 = (a + c)(a + b) . 
b2+1 = b2+ab + bc + ca => b2 +1 = b2 + ab + bc + ca 
=> b2+1 = b(b + c) + a(b + c) [b2 +1 = (a + b)(b + c)[. 
c2 +1 = c2 + ab + bc + ca => c2 +1 = c2 + ab + bc + ca 
=> c2 + 1 = c(a + c) + b(a + c) .-. c2 + 1 = (b + c)(a+ c) .
Questão 6.40 (Harvard-IVIIT-2014)_________________
Resolução: Somando as equações, temos: 
a2 a2 on b2 b2 „ c2 c2 
a + b a + c b + c b + a c + a c + b
a2 b2 c2 b2 c2 a2 
a + b b + c c + a a + c b + a c + b
a2~b2 , b2-c2 , c2-a2 
a + b b + c c + a
(a-b)(a + b) . (b-c)(b + c) , (c-a)(c+ a) *
a+b b+c c+a
=> a-b + b- c + c- a = 34 + x => 0 = 34 + x |x = —34|.
20
3
412 10 Resoluções
E => E =
c2 = ab
a2 = ab + bc + ca + a2 =>
=> Z =
• o + c2 = ab + bc + ca + c2
x = 4(o + c2)(o + b2)
.2
_ 3abc _ 3=> t =-------- /. t = —
' ‘ 4J
=> y = 4(c + a2)(a + c2)
0
a2 = bc+ a(b+ c + a) o + a2=bc 
y = 4(0 + a2)(a + c2) => y = 4(bc)(ab) b4-(c2-a2) = 4ab2c .
•z = c4-(a2-b2)2 => z = (c2 + a2-b2)(c2-a2+b2)
(-2o-b2-b2^-2o-a2-a2) => z = 4(a +b2)(o + a2) 
=> z = 4(ca)(bc) c4-(a2-b2)2 = 4abc2 .
Questão 6.55
Resolução: Usando a notação sigma (*), temos: 
a = ab +bc + ca ; a + b + c = 0 => a2 + b2+c2=-2o
• x = a4 -(b2 -c2) => x = (a2 + b2 - c2)(a2 -b2 + c2)
=> x = (-2o-c2-c2)(-2o-b2-b2j => x = 4^o + c2^o + b2j
o
c2 = ab + c(b + a + c) 
o
b2 =ab + bc + ca + b2 => o +a2 = ca + b(a + c + b) o + b2=ca
2
=> x = 4(ab)(ca) a4-(b2-c2) = 4a2bc .
• y = b4 -(c2-a2) => y = (b2 + c2-a2)(b2-c2 + a2)
=> y = (-2o-a2-a2^-2a-c2-c2)
Questão 6.54
Resolução: Do enunciado, temos:
a2 b2 c2
t =-------------------------------- 1--------------------------------4---------------------------------
(a + b - c)(a - b + c) (c + b - a)(a + b - c) (c + b - a)(a-b + c)
c a2 b2 c2
(~c-c)(-b-b) (-a-a)(-c-c) (-a-a)(-b-b)
a2 b2 c2 a3+b3+c3 3abc
4bc 4ac 4ab 4abc 4abc
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 413
=> E = => E
= 1 => a(1 + b) + b(1+ a) = (1 + a)(1+ b)
E =
=> E =
Capitulo 07 - Polinômios Simétricos
(*) Veja todos os detalhes da notação sigma no capitulo de Somas de Newton 
(capitulo 8)!
3
4
Questão 7.1
Resolução: Vamos fatorar passo a passo
Passo 01: Note que o polinômio é simétrico.
Passo 02: Veja que o polinômio se anula para a = 0, ou seja, a é fator.
Passo 03: Pela propriedade P2, b também é fator.
Passo 04: Veja que o polinômio se anula para a = — b, ou seja, a + b é fator.
3abc=> E =-------
4abc
a
E = —
a + a3 - b-b3 
1 + a2 +b2 +a2b2
Questão 6.57
Resolução: Podemos escrever: 
a + b a(1 + b) + b(1 + a)
1 + a 1 + b (1 + a)(1 + b) 
=> a + ab + b + ab =1 + a + b + ab .-. |ab = 1|.
(l + a2)-b(l + b2) 
(l + a2)(l + b2)
(a - b) 1 + [ai>-4+V 
E =---------- —
E = —- ----------— =>
1 + b2 1 + a2
(a-b) + (a-b)(a2 + ab + b2j 
1 + a2+b2+12
a b--------- = a — b 1 + b2 1 + a2 '
P a4 b4 c4
a4-(b2-c2)2 b4-(c2-a2)2 c4-(a2-b2)2 
a4 , b4 c4 c_ a3+b3+c3 
4a2bc 4ab2c 4abc2 4abc
~a4 b4 t c4 '
a4 - (b2 - c2 )2 + b4 (c2 - a2 )2 + c4 - (a2 - b2 )2
414 Resoluções10
Resposta: Alternativa C.Questão 7.2 (CN-1995-Modificada)______________________________________
Resolução: Vamos fatorar passo a passo:
Passo 01: Note que o polinômio é simétrico.
Passo 02: Veja que o polinômio se anula para a = -b , ou seja, a + b é fator.
Passo 03: Pela propriedade P6, a + c e b + c também são fatores.
Passo 04: Como o grau do polinômio é 3 e o produto dos fatores também é do
3o grau, podemos escrever:
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = x- (a + b)(a + c)(b + c).
Para a = 1 e b = 2, temos:
(a + b)5 - a5 -b5 = ab(a + b)^x(a2 + b2) + yabj
=> (1 + 2)5 -15-25 = 1-2-(1 + 2)|\(l2 + 22) + y-1-2]
=> 35 -1 - 32 = 2 ■ 3 ■ [5x + 2y] => 243 - 33 = 6(5x + 2y)
=> 6(5x + 2y) = 210 .'. 5x + 2y = 35.
Resolvendo, encontramos x = 5 e y = 5. Logo, temos: 
(a + b)5 - a5 -b5 = ab(a + b)[\(a2 + b2) + y abj 
=> (a + b)5 -a5 -b5 = ab(a + b)[ô(a2 + b2) + 5ab] 
.-. (a + b)5 - a5 - b5 = 5ab (a + b) (a2 + ab + b2).
Passo 05: Como o grau do polinômio é 5 e o produto dos fatores é do 3o grau, 
podemos escrever:
(a + b)5 - a5 - b5 = ab(a + b)i x• (a2 + b2) + y • abj ■
Passo 06: Por fim, damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para 
encontrar o coeficiente que falta.
Para a = 1 e b = 1, temos:
(a + b)5 -a5 -b5 = ab(a + b)|^x(a2 +b2) + yabj
=> (1 + 1)5 -15 -15 =1-1(1 + 1)[x(l2 + 12)
=> 25 — 1 — 1 = 2 ■ [2x + y] => 32-2 = 2(2x + y)
.-. 2x + y = 15.
+ y-1.l]
2(2x + y) = 30
415Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OUMPÍADAS
Comparando com o que foi dado no enunciado, temos: 
(a + b + c)3-a3-b3-c3=3(a-rb)(a + c)(b + c) 
(a + b + c)3-a3-b3-c3 = k(a + b)[^c2 + (a + b)c + abj 
k(a + b)^c2 + (a + b)c + abj = 3(a + b)(a + c)(b + c) 
=> k^c2 + ac + bc + abj = 3(a + c)(b+ c) 
=> k[c(c + a) + b(c + a)] = 3(a + c)(b + c) 
=> k(c + a)(c + b) = 3(a + c)(b + c) .'. |k = 3|.
Para a = 0, b = 1 e c = 2 , temos:
O2 (2 -1) +12 (0-2) + 22 (1 - 0) = x ■ (0-1)(0 - 2)(1 - 2)
— 2 + 4 — X • (—1) (—2) (—1) => 2 =-2 .'. |x = —1|.
Questão 7.3 (Rússia)
Resolução: Vamos fatorar passo a passo:
Passo 01: Note que o polinômio é alternado.
Passo 02: Veja que o polinômio se anula para a = b, ou seja, a - b é fator.
Passo 03: Pela propriedade P6. a - c e b - c também são fatores.
Passo 04: Como o grau do polinômio é 3 e o produto dos fatores também é do 
3o grau, podemos escrever:
a2(c-b) + b2(a-c) + c2(b-a) = x (a-b)(a-c)(b-c).
Passo 05: Por fim, damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para 
encontrar o coeficiente que falta.
Passo 05: Por fim, damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para 
encontrar o coeficiente que falta.
Para a = 0 , b = 1 e c = 2 , temos:
(0 + 1 + 2)3 - O3 -13 -23 =x (0 + 1)(0 + 2)(1 + 2)
=> 33—1 —8 = x-1-2-3 => 6x = 27-9 => 6x = 18 x = 3.
Logo (a + b + c)3-a3-b3-c3 = 3(a + b)(a + c)(b + c).
416 10 Resoluções
Note que esse produto acima é inteiro, pois a, b e c são reais e distintos dois 
a dois.
Logo, temos:
a3 (b-c) + b3 (c-a) + c3 (a-b) = (a - b)(a-c)(b -c) [k(a + b + c)J 
a3 (b - c)-í-b3 (c-a) + c3 (a-b) = (a-b)(a-c)(b-c)(a + b + c) .
Questão 7.14
Resolução: Vamos fatorar passo a passo:
Passo 01: Note que o polinômio é alternado.
Passo 02: Veja que o polinômio se anula para a = b, ou seja, a - b é fator.
Passo 03: Pela propriedade P5, a - c e b - c também são fatores.
Questão 7.11
Resolução: Vamos fatorar passo a passo:
Passo 01: Note que o polinômio é alternado.
Passo 02: Veja que o polinômio se anula para a = b, ou seja, a - b é fator.
Passo 03: Pela propriedade P6, a - c e b - c também são fatores.
Passo 04: Como o grau do polinômio é 3 e o produto dos fatores é do 4o grau, 
podemos escrever:
a3 (b-c) + b3 (c-a) + c3 (a-b) = (a-b)(a -c)(b-c)-[k(a + b + c)].
Passo 05: Por fim, damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para 
encontrar o coeficiente que falta.
Para a = 0, b = 1 e c = 2 , temos:
a3(b-c) + b3(c-a) + c3(a-b) = (a-b)(a-c)(b-c)[k(a + b + c)].
03(1-2) + 13(2-0) + 23(0-1) = (0-1)(0-2)(1-2)-[k(0 + 1 + 2)]
0 + 2-8 = (-2)(3k) => -6 = -k |k = 1|.
Logo:
a2(c-b) + b2(a-c) + c2(b-a) = x- (a-b)(a-c)(b-c)
=> a2(c-b) + b2(a-c) + c2(b-a) = (-l)(a-b)(a-c)(b-c).
.-. a2 (c - b) + b2 (a -c) + c2 (b - a) = (a -b)(c - a)(b - c)
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 417
,3
b(c-a)3 +c(a-b)3 = (a-b)(a-c)(b-c)(a + b-r-c).
Questão 7.16
Passo 04: Como o grau do polinômio é 4 e o produto dos fatores é do 3o grau, 
podemos escrever:
a(b -c)3 + b(c-a)3+c(a-b)3=x(a-b)(a-c)(b-c)(a + b + c).
Passo 05: Por fim, damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para 
encontrar o coeficiente que falta.
Resolução: Vamos fatorar passo a passo:
Passo 01: Note que o polinômio é alternado.
Passo 02: Veja que o polinômio se anula para a = b, ou seja, a - b é fator.
Passo 03: Pela propriedade P5, a - c e b - c também são fatores.
Passo 04: Como o grau do polinômio é 5 e o produto dos fatores é do 3o grau, 
podemos escrever:
a2 (b-c)3 +b2 (c - a)3 + c2 (a-b)3 = (a-b)(a-c)(b-c)-
■|^m(a2 + b2 + c2)+ n(ab + bc + ac)"|
Passo 05: Por fim, damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para 
encontrar o coeficiente que falta.
Logo a(b-c)3
Para a = 0, b = 1 e c = 2, temos:
O2 (1 - 2)3 +12 (2 - O)3 + 22(0 -1)3 = (0 -1)(0 - 2)(1 - 2) ■
|m(o2+12+22) + n(O-1 + 1-2 + O-2)]
1 • 23 + 4 • (-1)3 = (-1) • (-2) ■ (-1) {m(1 + 4) + n(1-2)]
=> (-2)(5m + 2n) = 8- 4 .-. |5m+2n = -2l.
Para a = 0. b = 1 e c = 2, temos:
a(b-c)3 +b(c-a)3 + c(a-b)3=x-(a-b)(a-c)(b-c)(a + b + c) 
=> 0 • (1 - 2)3 +1-(2 - O)3 + 2-(0 -1)3 = x (0-1)(0 - 2)(1-2)(0 +1 +2) 
=> 1-23+2 (-1)3 =x (-1) (-2) (-1)-3 => -6x = 8-2 .-. |x = 1|.
10 Resoluções418
0)]
Passo 06: Resolvendo o sistema encontramos m = 0en = ~1.
Logo a2 (b-c)3 +b2 (c-a)3 + c2 (a-b)3 = (a -b)(c -a)(b -c)(ab + bc + ac).
Questão 7.20____________________________________________________
Resolução: Vamos fatorar passo a passo:
Passo 01: Note que o polinòmio é simétrico.
Passo 02: Veja que o polinòmio se anula para a = - b, ou seja, a + b é fator.
Passo 03: Pela propriedade P6, a + c e b + c também são fatores.
Passo 04: Como o grau do polinòmio é 5 e o produto dos fatores é do 3° grau, 
podemos escrever:
(a + b + c)S -a5 -b5 -c5 -
= (a + b)(a + c)(b + c)|^x(a2 +b2 + c2) + y(ab + bc + ca)J
Passo 05: Damos valores ao polinòmio parcialmente fatorado para encontrar o 
coeficiente que falta.
Para a = 0 , b = 1 e c = 2 , temos:
(0 + 1 + 2)5-O5-15-25 =
= (0 +1)(0 + 2)(1 + 2)[x(o2 + 12 +22j + y(0.1 + 1-2+2-0)]
=> 243-1-32 ==1-2-3[5x + 2y] => 6(5x + 2y) = 210
.-. 5x + 2y = 35 (eq1).
Para a = 0, b = 1 e c = 1, temos:
(0 + 1 + 1)5 -O5 -15 -15 =
= (O + 1)(O + 1)(1 + 1)fx(o2 +12 +12) + y(0-1 + 1-1+ 1-
=> 32-1-1 = 2-1-1[2x + y] => 2(2x + y) = 30
2x + y = 15 (eq2).
Para a = 0, b = -1 e c = 2 , temos:
02(-1-2)3 +(-1)2(2-0)3 +22(0-(-1))3 =(0-(-1))(0-2)(-1-2)-
■ |^m(o2 + (-1)2 + 22) + n(0 ■ (-1) + (-1) ■ 2 + 0 • 2) j 
=> 1 23 + 4-13 =1(-2)-(-3)-[m(1 + 4) + n(-1-2)] => 6(5m-2n) = 8 + 4 
.-. |5m-2n = 2|.
419Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
bc + ca)j•
Para x = 0 , y = 1 e z = 2 , temos:
(0-1)5 + (1-2)5+(2-0)S=(0-1)(1-2)(2-0)-
• pn(o2+12 + 22 j + n(0-1 + 1-2 +0-2)J
=* (-1)5 + (-1)5 + 25 = (-1)• (-1) ■ 2 ■ [m(1 + 4) + n(1 • 2)]
=> 2(5m + 2n) = -1 -1 + 32 |5m+ 2n = 15|.
Observação: Podemos escrever essa fatoração da seguinte forma: 
(a + b + c)5 -a5 -b5 - c5 =
= |(a + b)(a + c)(b + c)^(a + b)2+(b + c)2 + (c + a)2j
Para x = 0, y = -1 e z = 2 , temos: 
(0-(_1))5+(-1-2)5+(2-0)5=(0-(-1))(-1-2)(2-0).
■Jjn^O2+ (-1)2+ 22j + n(0(-1) + (-1)-2 + 0-2
Questão 7.21 (União Soviética-1962)___________________________________
Resolução: Vamos fatorar passo a passo:
Passo 01: Note que o polinômio é alternado.
Passo 02: Vejaque o polinômio se anula para x = y, ou seja, x - y é fator.
Passo 03: Pela propriedade P5, z - x e y - z também são fatores.
Passo 04: Como o grau do polinômio é 5 e o produto dos fatores é do 3o grau, 
podemos escrever:
(x-y)5 + (y-z)5+(z-x)5 =(x-y)(y-z)(z-x)-
• [m(x2 + y2 + z2) + n(xy + yz + zx)j
Passo 05: Por fim, damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para 
encontrar o coeficiente que falta.
Passo 06: Resolvendo o sistema, encontramos: x = 5 e y = 5.
Logo: (a + b + c)5 -a5 -bs -cs =
= (a + b)(a + c)(b + c)^õ(a2 + b2 + c2) + 5(ab +
420 10 Resoluções
Passo 06: Resolvendo o sistema encontramos m = 5en = -5.
Como queríamos provar.
Logo (x-y)s+(y-z)5+(z-x)5=5(x-y)(y-z)(z-x)- 
•[(x2+y2 + z2)-(xy + yz + zx)].
Passo 02: Note que o polinômio simétrico foi fatorado na questão 7.2, usemos 
o seu resultado:
a + b = (y + z-x) + (z + x-y) => a + b = 2z.
b + c = (z + x-y) + (x + y-z) => b + c = 2x.
a + c = (y + z-x) + (x + y-z) => a + c = 2y.
E = (a + b + c)3-a3-b3-c3 => E = 3(a + b)(a + c)(b + c)
=> E = 3 (2z)-(2y) (2x) .-. |E = 24xyz|.
Questão 7.24
Resolução: Vamos fatorar passo a passo:
Passo 01: Fazendo uma mudança de variável, temos: 
y + z- x = a;z + x- y = b;x + y- z = c; => x + y + z = a + b + c.
E = (x + y + z)3 -(y + z-x)3-(z +x-y)3-(x +y-z)3
=> E = (a+ b + c)3-a3 -b3-c3.
=> 15 +(-3)S + 25 = 1-(-3)-2-[m(1 + 4) + n(-1-2)] 
=> - 6(5m - 2n) = 1 - 245 + 32 |5m-2n = 3~5].
Como 5(x-y)(y-z)(z-x) é fator, concluímos que 
(x-y)5 + (y-z)5 +(z-x)5 é divisível por 5(x- y)(y - z)(z- x).
421Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
Capítulo 08 - Somas de Newton
|S2 = -2<t2|.
Questão 7.25
Resolução: Vamos fatorar passo a passo:
Passo 01: Fazendo uma mudança de variável, temos: 
y + z- x = a ; z + x-y = b; x + y- z = c;=> x + y + z = a + b + c.
E = (x + y + z)S -(y + z - x)5 - (z + x - y)5 - (x + y -z)S
=> E = (a + b + c)5-a5-b5-c5.
3 => |Sq — 3[.
Questão 8.7
Resolução: Sejam a, b e c as raizes da equação
3 2X - X +(J2 -X-O3 = 0, então podemos escrever: 
a + b + c = 0 => |S-| = Oi = 0|, So = a° + b° + c° = 
S2=o2-2ct2 => S2=(0)2-2<j2 
Da notação generalizada, temos:
S3 = Gi • S3_-| - a2 ' $3-2 + a3 ' $3-3 $3 = CT1' $2 “ CT2 ' $1 + CT3 ' $0
=> S3 = 0 ■ S2 - o2 • 0 + o3 • 3 => |S3 = 3o31 |S3 = 3abc|.
+ y2 + z2]
Passo 02: Note que o polinõmio simétrico foi fatorado na questão 7.20, usemos 
o resultado da observação:
a + b = (y + z-x) + (z + x-y) => a + b = 2z.
b + c = (z + x - y) +(x + y-z) => b + c = 2x.
a + c = (y + z-x)+ (x + y-z) => a + c = 2y.
E = (x + y + z)5 -(y + z-x)5 -(z + x-y)5-(x + y-z)5
=■ E = j(a + b)(a + c)(b + c)^(a + b)2 + (b + c)2+(c + a)2J
E = |(2z)(2y)(2x)[(2z)2+(2x)2+(2y)2]
=> E = 20xyz|^4x2+4yz+4z2J => E = 20xyz-4^x2
.'. E = 80xyz(x2 + y2+z2j .
422 10 Resoluções
S2 — — 2c>2 c?2 —
S4 — 2o2 —S4
5
3
(a2+b2+c2)2
2
S? S,
=> S4 = 2-^- => S4=-^ S4 =
=> S4 = 0 • S3 - o2 ■ (~2o2) + <33 ■ 0 =>
Questão 8.9
Resolução: Do raciocínio da resolução anterior, podemos escrever:
TS
2
Da notação generalizada, temos:
S4 — Gj ■ S4_-j — o2 ■ S4_2 + 03 ■ S4-3 => S4 — cr-j ■ S3 — o2 ■ S2 + <73 ■ S,
= 2'í--Í k 2 )
Questão 8.12______________________________________________________
Resolução: Aproveitando o resultado da questão 8.10, temos:
a5 + b5+c5 - 5abc(ab + bc + ca) a5+b5+c5
3abc(ac + bc+ ab) 3abc(ac + bc + ab) 3abc(ac + bc+ ab)
Questão 8.10
Resolução: Da notação generalizada, temos:
54 = o-| • S4_-| — a2 • S4_2 +03 • S4_3 => S4 = o-, ■ S3 — o2 ■ S2 +03-81
=> S4 = 0■ S3 — o2 ■ (—2o2) + o3 • 0 => |s4 - 2o||.
55 = C1 ■ S5_1 - o2 ■ S5_2 + o3 • S5_3 =5 S5 = a-j ■ S4 - o2 • S3 + o3 • S2
=> S5 = 0-S4— o2 •(3a3) + a3 (-2a2) => |Ss = - 5■ o2 ■ a31
.-. |S5 = - 5abc(ab + bc + ca)|.
Questão 8.8
Resolução: Aproveitando a resolução anterior e da notação generalizada, 
podemos escrever:
53 = • S3_i - o2 ’ $3-2 + ct3 ‘ $3-3 S3 = o-| • S2 - o2 • S-| a3 - So
=> S3 = 0 • S2 - o2 • 0 + o3 • 3 => |S3 = 3o^]
54 = (J-j ■ S4_-j — o2 • S4_2 + o3 • 84.3 => S4 = CT-| ■ S3 — o2 • S2 + o3 • S-|
=> S4 = 0-S3 -o2 >(-2q2) + a3 0 => |s4 = 2a||
S4 = 2(ab + bc + ca)2 .
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 423
S2 — —2<?2 r?2
2
S3 —2o2 S3 - 3o3 => a3
3
2 2
2 2
°3 ’S3
25
Questão 8.15
Resolução: Dos resultados anteriores, podemos escrever:
Questão 8.13
Resolução: Dos resultados anteriores, podemos escrever:
2
a5+b5-ecs
5
a3+b3+c3
3
Questão 8.16
Resolução: Podemos escrever:
Sg = <*1 ■ S6_-| - o2 ■ S6_2 + a3 • S6_3 => S6 = c-, • S5 - o2 • S4 
=> S6 = 0 ■ S5 - a2 ■ ) + o3 ■ (3a3) => |s6 = 303-202!
S6 = 3a2b2c2 - 2(ab + bc+ ca)3 .
Por outro lado, temos:
S5 — — 5 ■ 02 ■ 03 Sg — 5 • 02 ■ o3 í => S2 -■ 25 • o2 ■ o2
= => =ÍMÍMt 2 J t 3 J V 5 J V 2 H 3 J
a4+b4+c4
2
Sg _ s2 s3 
5 2 3
Ê3 o?=f~ 
3 l 3 J
s3
S3 = 3o3 => g3 = —
S5=-5-O2-o3 => S5=-5-^-^J =>
a5 + b5+c5 _(a2 + b2+c2) (a3+b3+c3) 
5 ~ 2 3 '
S4 = 2o2 =>
424 10 Resoluções
Questão 8.17 
Sg — 3o3 — 2 => S6 = 3 ■ -2-
Questão 8.18
2
Resolução: Aproveitando a resolução anterior, podemos escrever: 
,2
7
2
7
2
$3
3
$1
8
Questão 8.19 (Croácia 2001)
Observação: Temos abaixo a segunda resolução desta questão, a primeira 
resolução está no capitulo 5, cuja resolução é por produtos notáveis.
S7 
°3 ' $4
3
=>S6=3-
Também podemos escrever:
Sy — O, ■ Sy -j — 02 ‘ Sy_2 +03- Sy_3 —> Sy = O-| ■ Sg — O2 ’ Sg + 03 - S4 
=> Sy — 0 ■ Sg — 02 ■ ( — 5 ■ o3 ■ 03 ) + c3 ■ S4
=> Sy = 5 ■ 02 03 + o3 • S4 => Sy = 5 03 + — • o3 • S4
a7+b7+c7
abc(a4 + b4 +c4 j
$3
9
 7
=> Sy - - O3 S4 =>
Resolução: Da notação generalizada, temos:
S3 = 01 ■ S3_i - o2 ■ S3_2 + o3 ■ S3_3 => S3 = o, ■ S2 - o2 ■ S, + o3 ■ So 
=> S3 = 0 • S2 - o2 ■ 0 + o3 • 3 => |S3 = 803],
$4 = a1 ' $4-1 ct2 ' $4-2 + ct3 ' $4-3 $4 = • S3 - O2 • S2 + o3 • Sj
=> S4 = 0 ■ S3 - o2-(-2o2) +o3 ■ 0 => S4 = 2o| | S4 = 2(ab+ bc + ca)2 .
Resolução: Podemos escrever:
Sy = G, S7-1 -o2 S7-2 +03 Sy_3 => Sy = Ot ■ Sg - o2 • S5 + o3 ■ S4 =>
Sy = 0 ■ Sg — O 2 ‘ 5'02 ‘ O3 ) + O3 ■ (2o2 ) —1* Sy = 5 o7 ’O3 + 2o3 ’O3
=> |s7 =7-02 ■o3| .-. S7 = 7abc(ab + bc + ca)2 .
-2-ÍM l 2 J
st . s
T ' •---------- 3------------------- 4--------
o S3 -s6 = ^-
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 425
a2 = —
=> S3
s4
Questão 8.29
Resolução: Sendo a, b, c e d as raizes da equação genérica 
x4 - a-, ■ x3 - o2 • x2 + o3 ■ x - o4, podemos escrever:
s7
2
: — S2 ~ 2o2 —S2 — —2c2 
0
cr3 = S3 + 3 cr-i ■ cr2 - 3a3 
0 o
S4 = Oi ■ S4_1 - a2 ■ S4_2 + a3 ■ S4_3 - ct4 • S4_4
S4 = CT-| ■ S3 — CF2 ‘ CT3 ^1 ~ ^4 " S0 ^4 = ~O"2 ^2 ~ CT4 S0 
0 0
= -^-y-^S2-°4’4 S4=^--4a4.
Questão 8.27
Resolução: Podemos escrever: 
cr2 = S2 4- 2cf2 |~S2 ~ -2cf21.
0
O-j = Sg 4- 3 CF-] • C?2 — ^^3 ^83 — 3cF3 I.
0 0
Questão 8.28
Resolução: Sendo a, b, c e d as raízes da equação genérica 
x4 = o1 • x3 - o2 • x2 + a3 • x - o4 , podemos escrever: 
o2 = S2 + 2o2 |s2 = -2o21-
0
o3 = S3 + 3o-| • o2 ~|s3 = 303]. 
0 0
84=^- S4_.j - o2 • ^4_2 + <73 ■ S4_3 - cf4 • S4_4
—84 = CJ.| • S3 — c?2 ■ 82 4" o3 • S-j — O4 • Sq —> S4 = —o2 ' ^2 — O4 ■ Sq 
0 0
=> S4 = -c2 (-2o2)-a4 -4 |s4 = 2o2 - 4g41.
, S33a3 a3 - —
S2
2
426 10 Resoluções
0
S5 = -5 • o2 • CT3
• $5 _ $2 $3
5 ~ 2 3 '
- 4ct4 | ■
Questão 8.30
Resolução: Sendo a, b. ce d as raízes da equação genérica 
x4 = c-| - x3 - o2 - x2 + o3 • x - , podemos escrever:
c2 = S2 + 2o2 |S2 = -2Õ2].
0
o3 — S3 + 3 o-, • cj2 —■ 3g3 [Sg — 3o3 ]•
0 0
$4 = o-| • S4_-| - o2 • S4_2 + o3 ■ S4_3 - o4 • S4_4
=> S4 = cr-, • S3 — o2 • S2 + 03 • S-| — o4 ■ Sq => S4 = — o2 ■ $2 — g4 • Sq 
0 0
=> S4 = -a2 • (-2g2 ) - 04 • 4 |s4 = 2o2 - 4ct4 |.
85=01- S5-1 - o2 • S5_2 + o3 • S5_3 - o4 • S5_4
S5 = c>i • S4 — o2 • S3 + 03 ■ S2 — o4 ■ S1 => S5 = — o2 ■ $3 + 03 • S2 
'õ "õ w
=> $5 = -o2 (303) —o3 *(-2o2) |S5 = -5 • a2 • g3 |
Questão 8.31
Resolução: Sendo a, b, c e d as raízes da equação genérica 
x4 = o-] • x3 - a2 • x2 + <j3 • x - <j4 , podemos escrever: 
cr2 = S2 2o2 Js2 = -2o~2 [.
0
c?i — S3 3^1 • c?2 — 3g>3 | S3 — 3cy3"|.
0 0
54 = 01 • S4_i - ct2 • S4_2 + ct3 • S4_3 - o4 • S4_4
—> S4 = O1 • S3 C2 • S2 + O3 • S1 — <J4