Matemática3

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Matemática Volume 3
Matemática Volume 3
Matemática III
Introdução aos números complexos
Na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o conjunto universo que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções. Por exemplo, se estivermos trabalhando no conjunto dos números racionais, a equação 2x+7=0, terá uma única solução dada por x=-7/2. Assim, o conjunto solução será:
S = {7/2}
Mas, se estivermos procurando por um número inteiro como resposta, o conjunto solução será o conjunto vazio, isto é:
S = Ø = { }
De forma análoga, ao tentar obter o conjunto solução para a equação x2+1=0 sobre o conjunto dos números reais, obteremos como resposta o conjunto vazio, isto é:
S = Ø = { }
O que significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -1, mas se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns, obteremos:
x = 
Onde é a raiz quadrada do número real -1. Isto parece não ter significado prático e foi por esta razão que este número foi chamado imaginário, mas o simples fato de substituir R[-1] pela letra i (unidade imaginária) e realizar operações como se estes números fossem polinômios, faz com que uma série de situações tanto na Matemática como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e isto nos leva à teoria dos números complexos.
Definição de número complexo
Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma:
z = a + b i
Onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:
a = Re(z)  e  b = Im(z)
Exemplos de tais números são apresentados na tabela.
Número complexo	Parte real	Parte imaginária
2 + 3 i	2	3
2 - 3 i	2	-3
2	2	0
3 i	0	3
-3 i	0	-3
0	0	0
Observação: O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número complexo da forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.
Elementos complexos especiais
Igualdade de números complexos: Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, definimos a igualdade entre z e w, escrevendo
z = w   se, e somente se,   a = c e b = d
Para que os números complexos z=2+yi e w=c+3i sejam iguais, deveremos ter que c=2 e y=3.
Oposto de um número complexo: O oposto do número complexo z=a+bi é o número complexo denotado por -z=-(a+bi), isto é:
-z = Oposto(a+bi) = (-a) + (-b)i
O oposto de z=-2+3i é o número complexo -z=2-3i.
Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de z=a+bi é o número complexo denotado por z*=a-bi, isto é:
z* = conjugado(a+bi) = a + (-b)i
O conjugado de z=2-3i é o número complexo z*=2+3i.
Operações básicas com números complexos
Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir duas operações fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles da seguinte forma:
z+w = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
z.w = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
Observação: Tais operações lembram as operações com expressões polinomiais, pois a adição é realizada de uma forma semelhante, isto é: (a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x e a multiplicação (a+bx).(c+dx), é realizada através de um algoritmo que aparece na forma:
(a + b x) ∙ (c + d x) → ac + bcx→ adx + bdx² → ac + (bc+ad)x + bdx²
de forma que devemos substituir x2 por -1.
Exemplos:
Se z=2+3i e w=4-6i, então z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i.
Se z=2+3i e w=4-6i, então z.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i.
Potências e curiosidade sobre a unidade imaginária
Potências de i: Ao tomar i= temos uma sequência de valores muito simples para as potências de i:
Potência	i2	i3	i4	i5	i6	i7	i8	i9
Valor	-1	-i	1	i	-1	-i	1	i
Pela tabela acima podemos observar que as potências de i cujos expoentes são múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o resto da divisão do expoente por 4.
Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i402, i4033 e i1998. Como exemplo: i402=i400.i2 = 1.(-1) = -1
Curiosidade geométrica sobre i: Ao pensar um número complexo z=a+bi como um vetor z=(a,b) no plano cartesiano, a multiplicação de um número complexo z=a+bi pela unidade imaginária i, resulta em um outro número complexo w=-b+ai, que forma um ângulo reto (90 graus) com o número complexo z=a+bi dado.
Exercício: Tomar um número complexo z, multiplicar por i para obter z1=i.z, depois multiplicar o resultado z1 por i para obter z2=i.z1. Continue multiplicando os resultados obtidos por i até ficar cansado ou então use a inteligência para descobrir algum fato geométrico significativo neste contexto. Após constatar que você é inteligente, faça um desenho no plano cartesiano contendo os resultados das multiplicações.
O inverso de um número complexo
Dado o número complexo z=a+bi, não nulo (a ou b deve ser diferente de zero) definimos o inverso de z como o número z-1=u+iv, tal que
z . z-1 = 1
O produto de z pelo seu inverso z-1 deve ser igual a 1, isto é:
(a+bi).(u+iv) = (au-bv)+(av+bu)i = 1 = 1+0.i
o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas:
a u - b v = 1
b u + a v = 0
Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramér e possui uma única solução (pois a ou b são diferentes de zero), fornecendo:
u = a/(a2+b2)
v = -b/(a2+b2)
assim, o inverso do número complexo z=a+bi é:
Obtenção do inverso de um número complexo: Para obter o inverso de um número complexo, por exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-se:
Escrever o inverso desejado na forma de uma fração
Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z
Lembrar que i2 = -1, simplificar os números complexos pela redução dos termos semelhantes, para obter
Diferença e divisão de números complexos
Diferença de números complexos: A diferença entre os números complexos z=a+bi e w=c+di é o número complexo obtido pela soma entre z e -w, isto é: z-w=z+(-w).
Exemplo: A diferença entre os complexos z=2+3i e w=5+12i é z-w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-9i.
Divisão de números complexos: A divisão entre os números complexos z=a+bi e w=c+di (w não nulo) é definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e w-1, isto é: z/w=z.w-1.
Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i por w=5+12i, basta multiplicar o numerador e o denominador da fração z/w pelo conjugado de w:
Representação geométrica de um número Complexo
Um número complexo da forma z=a+bi, pode ser representado do ponto de vista geométrico no plano cartesiano, como um ponto (par ordenado) tomando-se a abscissa deste ponto como a parte real do número complexo a no eixo OX e a ordenada como a parte imaginária do número complexo z no eixo OY, sendo que o número complexo 0=0+0i é representado pela própria origem (0,0) do sistema.
Módulo e argumento de um número complexo
Módulo de um número complexo: No gráfico anterior observamos que existe um triângulo retângulo cuja medida da hipotenusa é a distância da origem 0 ao número complexo z, normalmente denotada pela letra grega ro nos livros, mas aqui denotada por r, o cateto horizontal tem comprimento igual à parte real a do número complexo e o cateto vertical corresponde à parte imaginária b do número complexo z.
Desse modo, se z=a+bi é um número complexo, então r2=a2+b2 e a medida da hipotenusa será por definição, o módulo do número complexo z, denotado por |z|, isto é:
Argumento de um número complexo: O ângulo ø formado entre o segmento OZ e o eixo OX, é denominado o argumento do número complexo z. Pelas definições da trigonometria circular temos as três relações:
cos(ø)=a/r,  sen(ø)/r,  tan(ø)=b/a
Por experiência, observamos que é melhor usar o cosseno ou o seno do ângulo para definir bem o argumento, uma vez que a tangente apresenta alguns problemas.
Forma polar e sua multiplicação
Forma polar de um número complexo: Das duas primeiras relações trigonométricas apresentadas anteriormente,podemos escrever:
z = a+bi = r cos(ø) + r i sen(ø) = r (cos ø + i sen ø)
e esta última é a forma polar do número complexo z.
Multiplicação de complexos na forma polar: Consideremos os números complexos:
z = r (cos m + i sen m)
w = s (cos n + i sen n)
onde, respectivamente, r e s são os módulos e m e n são os argumentos destes números complexos z e w.
Realizamos o produto entre estes números da forma usual e reescrevemos o produto na forma:
z . w = r s [cos (m+n) + i sen (m+n)]
Este fato é garantido pelas relações:
cos(m+n) = cos(m) cos(n) - sen(m) sen(n)
sen(m+n) = sen(m) cos(n) + sen(n) cos(m)
Potência de um número complexo na forma polar
Seguindo o produto acima, poderemos obter a potência de ordem k de um número complexo. Como
z = r [cos(m) + i sen(m)]
então
zk = rk [cos(km) + i sen(km)]
Exemplo: Consideremos o número complexo z=1+i, cujo módulo é a raiz quadrada de 2 e o argumento é π/4 (45 graus). Para elevar este número à potência 16, basta escrever:
z16 = 28[cos(720o)+isen(720o)]=256
Raiz quarta de um número complexo
Um ponto fundamental que valoriza a existência dos números complexos é a possibilidade de extrair a raiz de ordem 4 de um número complexo, mesmo que ele seja um número real negativo, o que significa, resolver uma equação algébrica do 4o. grau. Por exemplo, para extrair a raiz quarta do número -16, devemos obter as quatro raízes da equação algébrica x4+16=0.
Antes de apresentar o nosso processo para a obtenção da raiz quarta de um número complexo w, necessitamos saber o seu módulo r e o seu argumento t, o que significa poder escrever o número complexo na forma polar:
w = r (cos t + i sen t)
O primeiro passo é realizar um desenho mostrando este número complexo w em um círculo de raio r e observar o argumento t, dado pelo angulo entre o eixo OX e o número complexo w.
O passo seguinte é obter um outro número complexo z(1) cujo módulo seja a raiz quarta de r e cujo argumento seja t/4. Este número complexo é a primeira das quatro raizes complexas procuradas.
z(1) = r1/4 [cos(t/4)+isen(t/4)]
As outras raízes serão:
z(2) = i z(1)
z(3) = i z(2)
z(4) = i z(3)
Todas aparecem no gráfico, mas observamos que este processo para obter as quatro raízes do número complexo w ficou mais fácil pois temos a propriedade geométrica que o número complexo i multiplicado por outro número complexo, roda este último de 90 graus e outro fato interessante é que todas as quatro raízes de w estão localizadas sobre a mesma circunferência e os ângulos formados entre duas raízes consecutivas é de 90 graus.
Se os quatro números complexos forem ligados, aparecerá um quadrado rodado de t/4 radianos em relação ao eixo OX.
Raiz n-ésima de um número complexo
Existe uma importantíssima relação atribuída a Euler:
ei.t = cos(t) + i sen(t)
que é verdadeira para todo argumento real e a constante e tem o valor aproximado 2,71828... Para facilitar a escrita usamos frequentemente:
exp(i t) = cos(t) + i sen(t)
Observação: A partir da relação de Euler, é possível construir uma relação notável envolvendo os mais importantes sinais e constantes da Matemática:
Voltemos agora à exp(it). Se multiplicarmos o número eit por um número complexo z, o resultado será um outro número complexo rodado de t radianos em relação ao número complexo z.
Por exemplo, se multiplicarmos o número complexo z por exp(i/8)=cos(/8)+i sen(/8), obteremos um número complexo z(1) que forma com z um ângulo /8=22,5graus, no sentido anti-horário.
Iremos agora resolver a equação xn=w, onde n é um número natural e w é um número complexo dado. Da mesma forma que antes, podemos escrever o número complexo w=r(cos t + i sen t) e usar a relação de Euler, para obter:
w = r eit
Para extrair a raiz n-ésima, deve-se construir a primeira raiz que é dada pelo número complexo
z(1) = r1/n eit/n
Todas as outras n-1 raízes serão obtidas pela multiplicação recursiva dada por:
z(k) = z(k-1) e2iπ/n
onde k varia de 2 até n.
Exemplo: Para obter a primeira raiz da equação x8=-64, observamos a posição do número complexo w=-64+0i, constatando que o seu módulo é igual a 64 e o argumento é igual a radianos (=180 graus).
Aqui, a raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento da primeira raiz é π/8, então z(1) pode ser escrita na forma polar:
z(1) = 2 ei/8 = 2(cos 22,5o+i sen 22,5o) = R[2](1+i)
onde R[2] é a raiz quadrada de 2. Obtemos as outras raízes pela multiplicação do número complexo abaixo, através de qualquer uma das formas:
e2i/8 = 2(cos 45o + i sen 45o) = R[2](1+i)/2=0,707(1+i)
Assim:
z(2) = z(1) R[2](1+i)/2
z(3) = z(2) R[2](1+i)/2
z(4) = z(3) R[2](1+i)/2
z(5) = z(4) R[2](1+i)/2
z(6) = z(5) R[2](1+i)/2
z(7) = z(6) R[2](1+i)/2
z(8) = z(7) R[2](1+i)/2
Exercício: Construa no sistema cartesiano os 8 números complexos e ligue todas as raízes consecutivas para obter um octógono regular rodado de 22,5 graus em relação ao eixo OX. Tente comparar este método com outros que você conhece e realize exercícios para observar como aconteceu o aprendizado.
Número complexo como matriz
Existe um estudo sobre números complexos, no qual um número complexo z=a+bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma:
e todas as propriedades dos números complexos, podem ser obtidas através de matrizes, resultando em processos que transformam as características geométricas dos números complexos em algo simples.
O sistema ordenado dos números reais
Trabalhar com desigualdades é muito importante em Matemática, mas são necessários alguns conceitos de ordem sobre o conjunto R dos números reais para dar sentido ao estudo de desigualdades. Nosso trabalho admite que você já sabe o que é um número real e que também já conhece as principais propriedades dos reais.
O conjunto R dos números reais pode ser construído a partir dos 11 postulados (afirmações aceitas sem demonstração) listados abaixo:
1. Fecho aditivo: Para quaisquer a R e b R, a soma de a e b, indicada por a+b, também é um elemento de R.
2. Associatividade aditiva: Para quaisquer aR, bR e cR, tem-se que (a+b)+c= a+(b+c).
3. Comutatividade aditiva: Para quaisquer aR e bR, tem-se que a+b=b+a.
4. Elemento neutro aditivo: Existe 0R, denomi-nado zero, tal que 0+a=a, para todo aR.
5. Elemento oposto: Para cada aR, existe -aR tal que a+(-a)=0.
6. Fecho multiplicativo: Para quaisquer aR e bR, o produto (ou multiplicação) de a e b, indicado por a×b, por a.b ou simplesmente por ab, também é um elemento de R.
7. Associatividade multiplicativa: Para quaisquer aR, bR e cR, tem-se que (a.b).c=a.(b.c).
8. Comutatividade multiplicativa: Para quaisquer aR e bR, tem-se que a.b=b.a.
9. Elemento neutro multiplicativo: Existe 1R, denominado um, tal que 1.a=a, qualquer que seja aR.
10. Elemento inverso: Para cada aR, sendo a diferente de zero, existe a-1R tal que a.a-1=1. É bastante comum usar a-1=1/a.
11. Distributividade: Quaisquer que sejam aR, bR e cR, tem-se que a.(b+c)=a.b+a.c.
Exercícios: Usando apenas os postulados acima, é possível demonstrar que:
1. Se a=b então a+c=b+c para todo cR.
2. A equação x+a=b possui uma única solução x=b+(-a).
3. A equação x+a=a possui somente a solução x=0.
4. 0+0=0
5. -(-a)=a para todo aR.
6. Se a=b então a.c=b.c para todo cR.
7. Se a0, a equação a.x=b possui uma única solução, dada por x=a-1.b.
8. Se a0, a equação a.x=a possui somente a solução x=1.
9. 1.1=1
10. Se aR com a0, então (a-1)-1=a.
11. Para todo aR, tem-se que a.0=0.
12. 0.0=0
13. Se a.b=0, então a=0 ou b=0.
14. Para quaisquer aR e bR tem-se que (-a).b=-(a.b).
15. Para quaisquer aR e bR tem-se que (-a).(-b)=a.b.
16. Para quaisquer aR e bR tem-se que a-1.b-1=(b.a)-1.
A reta numerada
Geometricamente, a reta real pode ser vista como uma linha reta horizontal tendo a origem em um ponto O. Ao marcar um outro ponto U, determinamos um segmento de reta OU e assim o sentido de O para U é tomado como positivo e o sentido contrário como negativo.
___________O__________U___________
A origem O recebe o valor zero, que é o elemento neutro da adição. O segmento OU deve medir uma unidade, indicada por 1, que é o elemento neutro da multiplicação.
___________0__________1___________Uma relação de ordem sobre R
Construiremos agora uma relação de ordem. Para dois números reais a e b, escrevemos a<b para entender que "a é menor do que b". Esta mesma relação pode ser escrita na forma b>a para significar que "b é maior do que a". Esta situação ocorre quando o número a está localizado à esquerda do número b na reta numerada.
___________a__________b___________
Dizemos que c é positivo se c>0. Do ponto de vista geométrico, c deve ser marcado à direita de 0.
___________0__________c___________
Esta relação de ordem satisfaz a uma série de axiomas (objetos matemáticos que são aceitos sem demonstração), conhecidos como axiomas de ordem:
1. Tricotomia: Para quaisquer números reais a e b, somente pode valer uma das três situações abaixo:
a<b,  ou  a=b,  ou  a>b
2. Translação: Se a<b então a+c<b+c para todo c em R.
______a______b______a+c____b+c______
3. Positividade: Se a<b e c>0 então a.c<b.c.
______a______b______a.c____b.c______
4. Transitividade: Se a<b e b<c, então a<c.
______a______b______c________
Módulo de um número real
O módulo (ou valor absoluto) de um número real a é definido como o valor máximo entre a e -a, denotado por:
|a|=max{a,-a}
Exemplo:
1. |0|=0, |-7|=|7|=7, |-a|=|a|, |a²|=a²
2. |a+b||a|+|b|
3. |a-b||a|-|b|
4. |a+b|²|a|²+|b|²+2|a||b|
Desigualdades reais
Uma desigualdade em uma variável real x é uma relação matemática de uma das formas abaixo:
f(x)<0,  f(x)>0,  f(x)<0,  f(x)>0
Onde f=f(x) é uma função real de variável real. As duas primeiras desigualdades são estritas e as duas últimas são não-estritas.
A desigualdade do tipo f(x)<0 é não-estrita e equivale a duas relações: uma desigualdade estrita f(x)<0 e uma igualdade f(x)=0.
Exemplos: Dos quatro tipos acima citados.
2x+3<0,  2x+3>0,  2x+3<0,  2x+3>0
Produto de uma desigualdade por um real
Ao multiplicar uma desigualdade por um número real positivo, obtemos outra desigualdade equivalente com o mesmo sinal que a primeira, mas se multiplicarmos a desigualdade por um número real negativo, a nova desigualdade terá o sinal de<trocado por >.
		Desigualdade
	Sinal
	Produto
	f(x)<0
	a>0
	a.f(x)<0
	f(x)>0
	a>0
	a.f(x)>0
	f(x)<0
	a>0
	a.f(x)<0
	f(x)>0
	a>0
	a.f(x)>0
	
		Desigualdade
	Sinal
	Produto
	f(x)<0
	a<0
	a.f(x)>0
	f(x)>0
	a<0
	a.f(x)<0
	f(x)>0
	a<0
	a.f(x)<0
	f(x)>0
	a<0
	a.f(x)<0
	
Conjunto solução de uma desigualdade
Em uma desigualdade, o que interessa é obtermos o conjunto solução, que é o conjunto de todos os números reais para os quais vale a desigualdade. Para a desigualdade f(x)<0, o conjunto solução será dado por
S = {xR: f(x)<0}
As outras três formas são semelhantes.
Desigualdades equivalentes
Duas desigualdades são equivalentes se os seus conjuntos soluções são iguais.
Exemplo: São equivalentes as desigualdades:
2x-4<0   e   2-x>0
pois seus conjuntos soluções coincidem, isto é:
S = {xR: x<2} = (-,2]
Observação: Para construir o conjunto solução de uma desigualdade da forma f(x)<0, devemos garantir que os valores de x só podem pertencer ao conjunto solução se estiverem no domínio de definição da função f=f(x).
Exemplo: Consideremos a desigualdade (x-2)/x<0, que aparece nos livros na forma:
Se cometermos o erro de multiplicar a desigualdade acima por x (sem analisar o sinal de x), obteremos x-2<0 e chegaremos ao conjunto
S = {xR: x<2} = (-,2]
Pois nesse caso, x=0 pertence ao conjunto S mas não pertence ao domínio da função real f(x)=(x-2)/x.
Devemos então assumir que x=0 não pertence ao conjunto solução desta desigualdade. Na sequência, mostraremos como resolver corretamente esta desigualdade.
Sistema de desigualdades
Em sistemas matemáticos aplicados (por exemplo, na área de otimização), é comum a ocorrência de sistemas formados por várias desigualdades e nesse caso, torna-se importante obter o conjunto solução do sistema e não somente de uma das desigualdades do sistema.
Exemplo: O conjunto solução que satisfaz às desigualdades
2x-8>0  e  x>20
é S={xR:x>20}=(20,), que é a interseção dos conjuntos soluções das duas desigualdades.
Desigualdades importantes
Desigualdades triangulares: Para quaisquer números reais a e b, tem-se que:
a. |a+b|<|a|+|b|
b. |a-b|<|a|+|b|
c. |a|-|b|<|a-b|
d. ||a|-|b||<|a-b|
Desigualdades entre médias: Para quaisquer números reais positivos a e b, tem-se que:
sendo que o termo à esquerda é a média harmônica, o termo do meio é a média geométrica e o termo à direita é a média aritmética entre a e b.
Para aprender mais sobre médias e desigualdades, veja nossos links sobre Máximos e mínimos nesta Página Matemática Essencial.
Principais tipos de desigualdades
Existem alguns tipos mais comuns de desigualdades com números reais. Na sequência, apresentaremos as formas possíveis e os seus respectivos conjuntos soluções para os seguintes tipos: Linear, Quadrática, Fração linear, Produto de fatores, Produto e quociente de fatores, uma forma alternativa de Fração linear, Irracional, Modular e Exponencial
Desigualdade Linear
O nome linear provém do fato que a equação da reta no plano, quase sempre pode ser escrita na forma y=ax+b. Existem 8 tipos básicos de desigualdades lineares
ax+b<0,    ax+b>0,    ax+b<0,    ax+b>0
cujos conjuntos soluções dependem fortemente da solução (raiz) de ax+b=0.
	Desigualdade
	Sinal
	Conjunto solução
	ax+b<0
	a>0
	S=(-,-b/a)
	ax+b>0
	a>0
	S=(-b/a,)
	ax+b<0
	a>0
	S=(-,-b/a]
	ax+b>0
	a>0
	S=[-b/a,)
	Desigualdade
	Sinal
	Conjunto solução
	ax+b<0
	a<0
	S=(-b/a,)
	ax+b>0
	a<0
	S=(-,-b/a)
	ax+b<0
	a<0
	S=[-b/a,)
	ax+b>0
	a<0
	S=(-,-b/a]
Desigualdade quadrática
Dependendo dos valores dos coeficientes a, b e c de uma equação quadrática ax2+bx+c=0, poderemos ter duas raízes reais diferentes, apenas uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real. Este fato influencia fortemente na obtenção do conjunto solução de uma desigualdade quadrática. O símbolo  significa infinito e U é o símbolo de reunião de conjuntos. Existem 24 tipos básicos distribuídos em 6 tabelas, quando ax²+bx+c=0
1. possui raízes reais r e s com r<s
	Desigualdade
	Sinal
	Conjunto solução
	ax²+bx+c<0
	a>0
	S=(r,s)
	ax²+bx+c>0
	a>0
	S=(-,r)U(s,)
	ax²+bx+c<0
	a>0
	S=[r,s]
	ax²+bx+c>0
	a>0
	S=(-,r]U[s,)
2. possui somente a raiz real dupla r
	Desigualdade
	Sinal
	Conjunto solução
	ax²+bx+c<0
	a>0
	S={ }=Ø
	ax²+bx+c>0
	a>0
	S=(-,r)U(r,)
	ax²+bx+c<0
	a>0
	S={r}
	ax²+bx+c>0
	a>0
	S=(-,)
3. não possui raízes reais
	Desigualdade
	Sinal
	Conjunto solução
	ax²+bx+c<0
	a>0
	S={ }=Ø
	ax²+bx+c>0
	a>0
	S=(-,)
	ax²+bx+c<0
	a>0
	S={ }=Ø
	ax²+bx+c>0
	a>0
	S=(-,)
4. possui raízes reais r e s com r<s
	Desigualdade
	Sinal
	Conjunto solução
	ax²+bx+c<0
	a<0
	S=(-,r)U(s,)
	ax²+bx+c>0
	a<0
	S=(r,s)
	ax²+bx+c<0
	a<0
	S=(,r]U[s,)
	ax²+bx+c>0
	a<0
	S=[r,s]
5. possui somente a raiz real dupla r
	Desigualdade
	Sinal
	Conjunto solução
	ax²+bx+c<0
	a<0
	S=(-,r) U (r,)
	ax²+bx+c>0
	a<0
	S=Ø
	ax²+bx+c<0
	a<0
	S=(-,)
	ax²+bx+c>0
	a<0
	S={r}
6. não possui raízes reais
	Desigualdade
	Sinal
	Conjunto solução
	ax²+bx+c<0
	a<0
	S=(-,)
	ax²+bx+c>0
	a<0
	S=Ø
	ax²+bx+c<0
	a<0
	S=(-,)
	ax²+bx+c>0
	a<0
	S=Ø
Desigualdade com fração linear (I)
Uma desigualdade tem a forma de fração linear se pode ser escrita em um dos quatro tipos básicos
Se c=0 e d0, estas frações se tornam casos particulares de desigualdades lineares, razão pela qual tomaremos c0. Para obter o conjunto solução, devemos eliminar a fração.
Estudaremos apenas a primeira desigualdade, pois as outras são semelhantes. Consideremos
Sabemos que cx+d>0 ou cx+d<0 ou cx+d=0. Se cx+d=0 então x=-d/c não pertence ao conjunto solução. Para os valores de x tal que cx+d é diferente de zero, temos que (cx+d)²>0. Ao multiplicar a fração linear por (cx+d)²>0, eliminaremos a fração e passaremos a ter
(cx+d)(ax+b)<p(cx+d)²
Passando as expressões algébricas para o primeiro membro, obteremos
(cx+d)[(ax+b)-p(cx+d)]<0
que ainda pode ser escrita na forma
(cx+d)(mx+n)<0
onde m=a-pc e n=b-pd. Após as simplificações possíveis, obtemos uma desigualdade linear ou quadrática, como o produto de dois fatores lineares.
Desigualdade com produtode fatores lineares
Se uma desigualdade possui um produto de fatores lineares, existe o método dos intervalos que facilita a obtenção do conjunto solução. Iremos mostrar com um exemplo como funciona este método.
Exemplo: Seja a desigualdade
2(x+3)(x-5)(x-7) > 0
Decompomos a desigualdade acima em três desigualdades lineares, obter a raiz da expressão algébrica de cada desigualdade linear, analisar o sinal de cada uma delas separadamente e realizar o "produto dos sinais". As raízes das equações associadas às desigualdades lineares são r=-3, s=5 e t=7. A reta R será decomposta em 4 intervalos.
	Desigualdade
	(-,-3)
	(-3,5)
	(5,7)
	(7,)
	x+3
	-
	+
	+
	+
	x-5
	-
	-
	+
	+
	x-7
	-
	-
	-
	+
	Produto
	-
	+
	-
	+
Como o produto dos fatores deve ser positivo, o conjunto solução é S=(-3,5)U(7,).
Desigualdade com produto e quociente de fatores lineares
Quando uma desigualdade possui produtos, divisões de fatores lineares, ou ambos, o método dos intervalos facilita a obtenção do conjunto solução. 
Exemplo: Seja a desigualdade
De novo, decompomos esta desigualdade em três desigualdades lineares, obtemos a raiz de cada expressão algébrica da desigualdade linear, analisamos cada uma delas separadamente e realizamos as operações de produto de sinais ou divisão de sinais ou ambos
	Desigualdade
	(-,-3)
	(-3,5)
	(5,7)
	(7,)
	x+3
	-
	+
	+
	+
	x-5
	-
	-
	+
	+
	x-7
	-
	-
	-
	+
	Produto/Divisão
	-
	+
	-
	+
O conjunto solução é S=(-3,5)U(7,)
Desigualdade com Fração linear (II)
Seja uma desigualdade que é uma fração linear, como por exemplo
que pode ser escrita na forma
(cx+d)(mx+n)<0
onde m=a-pc e n=b-pd. Os zeros da função
f(x) = (cx+d)(mx+n) = c.m.(x+d/c)(x+n/m)
são r=-d/c e s=-n/m. Admitindo que r<s e analisando cada desigualdade separadamente e na sequência realizando o "produto dos sinais"
	Desigualdade
	(-,r)
	(r,s)
	(s,)
	cx+d
	-
	+
	+
	mx+n
	-
	-
	+
	Produto
	+
	-
	+
Se c.m>0 o conjunto solução será S=(r,s), mas se c.m<0 o conjunto solução deverá ser S=(-,r)U(s,).
Exemplo: Seja a desigualdade
Multiplicando a desigualdade acima por (3x+11)², obtemos:
(2x+7)(3x+11)<2(3x+11)²
isto é
(3x+11)[(2x+7)-2(3x+11)]<0
ou seja
(3x+11)(-4x-15)<0
Pondo os números 3 e 4 em evidência, obtemos
-12(x+11/3)(x+15/4)<0
Multiplicando esta última desigualdade por -1/12, obtemos
(x+11/3)(x+15/4) > 0
A função f(x)=(x+11/3)(x+15/4) se anula para r=-11/3 e s=-15/4.
	Desigualdade
	(-,-15/4)
	(-15/4,-11/3)
	(-11/3,)
	x+11/3
	-
	-
	+
	x+15/4
	-
	+
	+
	Produto
	+
	-
	+
O conjunto solução é S=(-,-15/4)U(-11/3,).
Desigualdade Irracional
É um tipo de desigualdade que contém expressões algébricas sob um ou mais radicais. Existem muitas situações possíveis, mas só usaremos o sinal<para apresentar alguns casos
A raiz quadrada de um número real z>0, será indicada por R[z], para reduzir a inserção de gráficos na página.
Exemplo: O conjunto solução da desigualdade +<1 depende de trabalharmos um pouco com os radicais. Passamos um dos radicais para o segundo membro
 < 1-
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos
2x+3 < 1+(x-3)-2
Simplificando, obtemos
x+5 < -2
Elevamos de novo ao quadrado para obter uma desigualdade quadrática (ou linear)
(x+5)² < 4(x-3)
Não continuaremos a análise deste exemplo, pois este tipo já foi tratado antes.
Exemplo: O conjunto solução da desigualdade
deve ser obtido com cuidado. Não basta multiplicar por x-2 e elevar ao quadrado, mas devemos eliminar a fração, multiplicando toda a desigualdade por (x-2)²
(x-2)  < 3 (x-2)²
Elevando os membros ao quadrado, obtemos
(x-2)²(x+6) < 9 (x-2)4
Passando todas as expressões para o primeiro membro, obtemos
(x-2)²[(x+6)- 9(x-2)²] < 0
que pode escrito como
(x-2)²(9x² +37x -30) < 0
Desigualdade Modular
É uma desigualdade com uma ou mais expressões algébricas dentro de módulos. Também aqui existe uma infinidade de situações possíveis, mas só usaremos o sinal < para apresentar alguns casos
|f(x)|<k,    |f(x)| ± |g(x)|<k,    |f(x)| ± g(x)<k
Exemplo: Obteremos o conjunto solução da desigualdade
pela eliminação da fração ao multiplicar a desigualdade por (x-2)²
(x-2)|x+6|<3 (x-2)²
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos
(x-2)²(x+6)²<9 (x-2)4
Passando todas as expressões algébricas para o primeiro membro, obtemos
(x-2)²[(x+6)²- 9(x-2)²]<0
que pode escrito como
(-x)(x-2)²(x-6)<0
Desigualdade Exponencial
São desigualdades onde aparecem funções nos expoentes e as bases das potências devem ser números positivos diferentes de 1, condição importante, pois só podemos definir logaritmos reais com as bases tendo tais valores. Existe uma infinidade de casos, mas apenas apresentaremos dois casos com o sinal >
ax>b,    af(x)>b
Exemplo: Podemos obter o conjunto solução da desigualdade
24x-3<8
primeiro pela simplificação à forma
24x-3<2³
A função f(x)=log2(x), (logaritmo de x na base 2) é crescente para todo x positivo e a sua aplicação a ambos os membros da desigualdade, nos garante que
4x-3<3
que é equivalente a
x < 3/2
Assim, o conjunto solução é
S = {x em R: x<3/2}
Exemplo: Obtemos o conjunto solução da desigualdade
2(x-3)(x-4) > 1
pela aplicação da função logaritmo de base 2 a ambos os membros da desigualdade. Dessa forma
(x-3)(x-4) > 0
O conjunto solução é S={xR: x<3 ou x>4}.
Questão 1
Calcule a expressão: 
                                                   
Questão 2
Resolva a equação do 2º grau: x² – 4x + 5 = 0
Questão 3
(PUC) Na soma S = 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5, onde i = √ –1, o valor de S é:
a) 2 – i
b) 1 – i
c) 2 + i
d) 1 + i
Questão 4
(Cefet – MG) O valor da expressão quando x = i (unidade imaginária) é:
a) (i + 1)
b) – (i – 1)
c) (i + 1)
       2
d) (i – 1)
       2
e) – (i – 1)
        2
Questão 5
Considere os seguintes números complexos z1 = 10 + 2i, z2 = 5 – 3i e z3 = – 9 + 5i e calcule a sua soma:
Questão 6
Calcule a subtração destes dois números complexos: z1 = 12 – 3i e z2 = 15 + 2i.
Questão 7
(Unesp-SP) Se z = (2 + i) ∙ (1 + i) ∙ i, então z, o conjugado de z, será dado por:
a) −3 − i
b) 1 − 3i
c) 3 − i
d) −3 + i
e) 3 + i
Questão 8
(UFSCar-SP) Sejam x, y R e z = x + yi um número complexo.
a) Calcule o produto (x + yi) ∙ (1 + i).
b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi) ∙ (1 + i) = 2 
Questão 9
Determine o valor do quociente dos números complexos z1 e z2, sabendo quez1 = 2 – 3i e z2 = – 1 + 2i.
Questão 10
Escreva, na forma complexa z = a + bi, o número complexo:
z = (5 + 2i) . (2 – i)
  	 3 + i
Questão 11
(Cefet – PR) A expressão, na qual i é a unidade imaginária, é igual a:
a)  1 - i  -     2i   
     1 + i    1 + 3i
b) 3 + i
       2
c) 1 + 2i
d) – 1 – 2i
e) 2 + 4i
        5
Questão 12
(UFRS) A forma a + bi de z = 1 + 2i é:
                                                 1 - i
a) 1 + 3 i
    2    2
b) - 1 + 3 i
       2    2
c) - 1 + 2 i
       2    3
d) - 1 - 2 i
       2   3
e)  1 - 3 i
     2    2
Questão 13
(CESGRANRIO) O maior número que se deve subtrair de cada fator do produto 5x8, para que esse produto diminua de 36 unidades, é:
a)3           
b) 5           
c) 6           
d) 8           
e) 9
Questão 14
(UFPE) Se x é um número real positivo tal que ao adicionarmos 1 ao seu inverso obtemos como resultado o número x, qual é o valor de x?
a) 1 – √5
       2
b) 1 + √5
      2
c) 1
d) 1 + √3
      2
e) 1 – √5
      2 
Questão 15
Resolva a equação de segundo grau completa: x2 + 3x – 10 = 0.
Questão 16
Escreva a equação a seguir de forma reduzida (x – 1)(x + 1) = 2(x – 1).
Respostas
Resposta Questão 1
Através dos produtos notáveis, podemos desenvolver o numerador da fração:
(1 + i)²
 i
1 + 2i + i²
 i
1 + 2i + (– 1)
 i
2i=2
 i
Portanto, o resultado da expressão é 2.
Resposta Questão 2
Utilizaremos a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de x:
Δ = (– 4)² – 4.1.5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Mesmo com o resultado negativo de delta, continuaremos a procura pelo valor de x:
x = – (– 4) ± √– 4
    2.1
x = 4 ± √4.(–1)
    2
x = 4 ± 2√–1
     2
x = 4 ± 2i
     2
x = 2 ± i
x' = 2 + i
x'' = 2 – i
Temos dois valores para x, são eles 2 + i e 2 – i.
RespostaQuestão 3
Vamos calcular o valor de cada uma das potências de i:
i2 = (√–1)2 = –1
i3 = i . i2 = – 1. i = – i
i4 = i2 . i2 = (– 1). (– 1) = 1
i5 = i . I4 = i. 1 = i
Vamos agora calcular o valor de S:
S = 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5
S = 1 + i – 1 – i + 1 + i
S = 1 + i
Portanto, a alternativa correta é a letra d.
Resposta Questão 4
Para resolver essa questão, substituiremos x por i em :
i² – 1
i³ – 1
– 1 – 1
– i – 1
 – 2 .
– 1 – i
Multiplicando a fração pelo conjugado do denominador, temos:
   – 2    .  – 1 + i 
– 1 – i    – 1 + i
2 – 2i
1 – i²
2(1 – i)
1 – (– 1)
2(1 – i)
 2
1 – i
A resposta encontrada pode ser escrita também como – (i – 1), que é igual a1 – i. Portanto, a alternativa correta é a letra b.
Resposta Questão 5
Vamos organizar os números complexos para somar de forma separada as partes reais e as partes imaginárias:
z1 + z2 + z3
(10 + 2i) + (5 – 3i) + (– 9 + 5i)
(10 + 5 – 9) + (2 – 3 + 5)i
6 + 4 i
Portanto, a soma dos complexos z1, z2 e z3 é igual a 6 + 4i.
Resposta Questão 6
Organizando os números complexos para efetuar a subtração entre eles:
z1 – z2
(12 – 3i ) – (15 + 2i)
(12 – 15) + (– 3 – 2)i
– 3 – 5i
A diferença dos complexos z1 e z2 é igual a – 3 – 5i.
Resposta Questão 7
Primeiramente vamos fazer as multiplicações necessárias em z:
z = (2 + i) ∙ (1 + i) ∙ i
z = (2 + 2i + i + i²) ∙ i
z = (2 + 3i – 1) ∙ i
z = (1 + 3i) ∙ i
z = i + 3i²
z = i + 3 ∙ (– 1)
z = – 3 + i
Agora que encontramos a forma mais simples de z, basta alterar o sinal da parte imaginária para termos seu conjugado:
z = – 3 – i
Portanto, a alternativa correta é a letra a.
Resposta Questão 8
a) Realizando a multiplicação pedida, temos:
(x + yi) ∙ (1 + i)
x + yi + xi + yi²
x + yi + xi + y(– 1)
(x – y) + (x + y)∙i
O produto (x + yi) ∙ (1 + i) equivale a (x – y) + (x + y)∙i.
b) Podemos considerar que 2 escrito na forma complexa equivale a 2 + 0i. Como já determinamos o produto (x – y) + (x + y)∙i, basta que na equação abaixo igualemos as partes reais e também as partes imaginárias:
(x – y) + (x + y)∙i = 2 + 0i
Parte Real
x – y = 2
Parte Imaginária
x + y = 0
Podemos montar um sistema com as equações encontradas e resolvê-lo pelo método da adição:
2x = 2
x = 2
2
x = 1
Substituindo o valor encontrado de x na equação da parte imaginária, temos:
x + y = 0
1 + y = 0
y = – 1
Portanto, para que tenhamos (x + yi) ∙ (1 + i) = 2, é necessário que x = 1 e y = – 1.
Resposta Questão 9
Representando esse quociente como fração, temos z1 como numerador e z2como denominador. Para determinar o quociente, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado deste. Temos então:
z1 =   2 – 3i 
z2    – 1 + 2i
z1 =   (2 – 3i ) . (– 1 – 2i)  
  z2      (– 1 + 2i) . (– 1 – 2i)   
z1 = – 2 + 3i – 4i + 6.i²
z2         (– 1)² – (2i)²      
z1 = – 2 + 3i – 4i – 6
z2          1 – (– 4)       
z1 = – 8 – i
z2          5    
Portanto, o quociente entre os complexos z1 e z2 é - 8 - i.
                                                                                      5
Resposta Questão 10
Primeiramente, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação no numerador da fração:
z = 10 + 4i – 5i – 2i²
     3 + i
z = 10 – i – 2.(– 1)
    3 + i
z = 10 – i + 2
     3 + i
z = 12 – i
      3 + i
Para realizar a divisão, vamos multiplicar as duas partes da fração pelo conjugado do denominador:
z = (12 – i).(3 – i)
       (3 + i).(3 – i)
z = 36 – 12i – 3i + i²
      9 – i²
z = 36 – 15i + (– 1)
     9 – (– 1)
z = 36 – 15i – 1
    9 + 1
z = 35 – 15i
     10
z = 7 – 3i
     2
Portanto, na forma complexa, temos z = 7/2 – 3i/2.
Resposta Questão 11
Vamos separar a expressão, logo: A =  e B =  . No fim da resolução, faremos A – B. Agora calculamos a divisão de números complexos que ocorre em A, multiplicando a fração pelo conjugado do denominador:
A = 1 – i . 1 – i
       1 + i   1 – i
A =        (1 – i)²     
       (1 + i).(1 – i)
A = 1 – 2.i – 1
      1 – (– 1)
A = – 2.i
      2
A = – i
Agora que já encontramos o valor de A, vamos utilizar o mesmo processo para determinar o valor de B:
B =      2i    .    1 – 3i  
       1 + 3i       1 – 3i
B =        2i.(1 – 3i)      
       (1 + 3i).(1 – 3i)
B =    2i + 6  
       1 – (– 9)
B = 6 + 2i
       10
B = 3 + i
       5
Agora já podemos resolver a expressão:
A – B = – i – 3 + i
                    5
A – B = – 5i – (3 + i)
             5
A – B = – 5i – 3 – i
           5
A – B = – 3 – 6i
            5
Portanto, a alternativa correta é a letra a.
Resposta Questão 12
Para calcular a divisão de números complexos que ocorre em z, multiplicamos o numerador e o denominador de z pelo conjugado do denominador, isto é:
z = 1 + 2i . 1 + i
       1 – i    1 + i
z = (1 + 2i).(1 + i)
      (1 – i).(1 + i)
z = 1 + 2i + i + 2.i²
        1 – i²
z = 1 + 3i – 2
      1 – (– 1)
z = – 1 + 3i
       2
z = – 1 + 3 i
       2    2
Logo, a alternativa correta é a letra b.
Resposta Questão 13
O produto de 5x8 resulta em 40. Se o novo produto diminuirá 36 unidades, então ele valerá 4 (40 – 36 = 4).
De cada fator de 5x8, vamos retirar x unidades. Sendo assim, o produto que resultará em 4 será:
(5 – x)(8 – x) = 4
Multiplicando os termos à esquerda através da propriedade associativa, temos:
40 – 8x – 5x – x2 = 4
x2 – 13x + 40 – 4 = 0
x2 – 13x + 36 = 0
Utilizando a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação, temos:
x = – b ±√∆
         2.a
Vamos encontrar o valor de ∆:
∆ = b2 – 4.a.c
∆ = (-13)2 – 4.1.36
∆ = 169 – 144
∆ = 25
Vamos encontrar agora o valor de x:
x = – (-13) ±√25
      2.1
x = 13 ± 5
      2
x1 = 13 + 5 = 18 = 9
     2         2
x2 = 13 – 5 = 8 = 4
     ​2       2
Como não temos a alternativa de valor 4, o valor de x1 (x1 = 9) é o resultado mais adequado. Portanto, a alternativa correta é a letra e.
Resposta Questão 14
Interpretando o problema, temos que o inverso de um número real positivo x é1/x. Sendo assim, temos que:
1 + 1 = x
x            
Sendo x o Mínimo Múltiplo Comum dos termos dessa equação, temos:
1 + x = x
 x      
1 + x = x2
x2 – x – 1 = 0
Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x = – b ±√∆
     2.a
Vamos encontrar o valor de ∆:
∆ = b2 – 4.a.c
∆ = (-1)2 – 4.1.(-1)
∆ = 1 + 4
∆ = 5
Portanto, o valor de x é dado por:
x = – (-1) ±√5
     2.1
x = 1 ± √5
     2
Temos duas opções de respostas. Mas como no enunciado foi ressaltado que x é um número real positivo, então a alternativa correta é a letra b:
x = 1 + √5
       2
Resposta Questão 15
Vamos identificar os coeficientes da equação: a = 1, b = 3 e c = – 10. Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolvê-la:
x = – b ±√∆
     2.a
Vamos encontrar o valor de ∆:
∆ = b2 – 4.a.c
∆ = 32 – 4.1.(-10)
∆ = 9 + 40
∆ = 49
Vamos então encontrar o valor de x:
x = – 3 ±√49
       2.1
x = – 3 ± 7
       2
x1 = – 3 + 7 = 4 = 2
        2        2
x2 = – 3 – 7 = – 10 = – 5
    2            2
Portanto, as raízes da equação x2 + 3x – 10 = 0 são 2 e – 5.
Resposta Questão 16
No primeiro membro da equação, há um produto notável, conhecido como Produto da soma pela diferença, que nos garante que (a + b)(a – b) = a2 – b2. No segundo membro da equação, podemos aplicar a propriedade distributiva. Sendo assim:
x2 – 12 = 2x – 2
x2 – 2x + 1 = 0
Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x = – b ±√∆
       2.a
Sendo a = 1, b = – 2 e c = 1 os coeficientes da equação, vamos encontrar o valor de ∆:
∆ = b2 – 4.a.c
∆ = (-2)2 – 4.1.1
∆ = 4 – 4
∆ = 0
Vamos identificar o valor de x através de:
x = – b ±√∆
     2.a
x = – (-2) ±√0
      2.1
x = 2 ± 0
     2
x = 2
      2
x = 1
Portanto, a equação (x – 1)(x + 1) = 2(x – 1) possui uma única raiz x = 1.
Produtos Notáveis
1. Quadrado da soma de dois termos
(a+b)² = a² + b² + 2ab
Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4
2. Quadrado da diferença de dois termos
(a-b)² = a² + b² - 2ab
Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5
3. Diferença de potências (ordem 2)
a² - b² = (a+b)(a-b)
Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5)
4. Cubo da soma de dois termos
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³5. Cubo da soma de dois termos na forma simplificada
(a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²
Exemplo: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)²
6. Cubo da diferença de dois termos
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³
7. Identidade de Fibonacci
(a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)²
Exemplo: (1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)²
8. Identidade de Platão
(a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)²
Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)²
9. Identidade de Lagrange (4 termos)
(a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)²
Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)²
10. Identidade de Lagrange (6 termos)
(a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)²
= (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)²
Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)²
=(1×8-3×7)²+(1×9-5×7)²+(3×9-5×8)²
11. Identidade de Cauchy (n=3)
(a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b)
Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7)
12. Identidade de Cauchy (n=5)
(a+b)5 - a5 - b5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²)
Exemplo: (1+2)5-15-25=5×1×2×(1+2)(1²+1×2+2²)
13. Quadrado da soma de n termos
sendo que i<j.
Exemplos:
(a+b)²=a²+b²+2(ab)
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
14. Cubo da soma de n termos
 
sendo que i<j e i<j<k.
15. Diferença entre os quadrados da soma e diferença
(a+b)² - (a-b)² = 4ab
Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9
16. Soma dos quadrados da soma e da diferença
(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)
Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²)
17. Soma de dois cubos
a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)
Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4)
18. Soma de dois cubos na forma fatorada
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²)
19. Transformação do produto na diferença de quadrados
ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]²
Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]²
20. Diferença de potências (ordem 4)
a4-b4 = (a-b)(a+b)(a²+b²)
Exemplo: 54-14=(5-1)(5+1)(5²+1²)
21. Diferença de potências (ordem 6)
a6-b6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²)
Exemplo: 56-16=(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²)
22. Diferença de potências (ordem 8)
a8 - b8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a4+b4)
Exemplo: 58-18=(5-1)(5+1)(5²+1²)(54+14)
23. Produto de três diferenças
(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)
Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1)
24. Produto de três somas
(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc
Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5
25. Soma de cubos das diferenças de três termos
(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a)
Exemplo: (1-3)³+(3-5)³+(5-1)³=3(1-3)(3-5)(5-1)
26. Cubo da soma de três termos
(a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc
Exemplo: (7+8+9)³=(7+8-9)³+(8+9-7)³+(7+9-8)³+24×7×8×9
27. Soma nula de produtos de cubos por diferenças
a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0
Exemplo: 2³(4-6)+4³(6-2)+6³(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0
28. Soma de produtos de cubos com diferenças
a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc(a-b)(b-c)(a-c)
Exemplo: 7³(8-9)³+8³(9-7)³+9³(7-8)³=3.7.8.9(7-8)(8-9)(7-9)
29. Produto de dois fatores homogêneos de grau dois
(a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a4+a² b²+b4
Exemplo: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=54+5² 7²+74
30. Soma de quadrados de somas de dois termos
(a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=(a+b+c)²+a²+b²+c²
Exemplo: (1+3)²+(3+5)²+(1+5)²=(1+3+5)²+1²+3²+5²
31. Produto de quadrados de fatores especiais
(a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a4-b4)²
Exemplo: (7-3)² (7+3)² (7²+3²)²=(74-34)²
32. Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1
(a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²)
Exemplo:
(7+8+9)²+(7-8)²+(8-9)²+(9-7)²=3(7²+8²+9²)
33. Identidade de interpolação
Exemplo: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos:
Apresentaremos o desenvolvimento teórico do método de Tartaglia, também conhecido como método de Cardano, uma vez que este último tornou público o trabalho de Tartaglia. Detalhes históricos sobre estes assuntos podem ser obtidos na segunda bibliografia no final desta página.
Uma equação geral do terceiro grau na variável x, é dada por:
a x³ + b x² + c x + d = 0
E se o coeficiente a do termo do terceiro grau é não nulo, dividiremos esta equação por a para obter:
x³ + (b/a) x² + (c/a) x + (d/a) = 0
E assim iremos considerar só as equações em que o coeficiente de x³ seja igual a 1, isto é, equações da forma geral:
x³ + A x² + B x + C = 0
Onde A=b/a, B=c/a e C=d/a. Fazendo a substituição de translação:
x = y-A/3
Na equação acima, obteremos:
y³ + (B-A²/3) y + (C-AB/3+2A³/27) = 0
E tomando p=(B-A²/3) e q=C-AB/3+(2/27)A³, poderemos simplificar a equação do terceiro grau na variável y, para:
y³ + p y + q = 0
Como toda equação desta forma possui pelo menos uma raiz real, nós procuraremos esta raiz na forma y=u+v. Substituindo y por u+v, na última equação, obteremos:
(u+v)³ + p(u+v) + q = 0
O que equivale a
u³ + v³ + 3uv(u+v) + p(u+v) + q = 0
Ou seja
u³ + v³ + (3uv+p)(u+v) + q = 0
Usando esta última equação e impondo a condição para que:
p = -3uv   e   q= -(u³+v³)
Obteremos valores de u e v para os quais y=u+v deverá ser uma raiz da equação. Estas últimas condições implicam que:
u³ v³=-p³/27   e   u³+v³ = -q
Considerando u³ e v³ como variáveis, o problema equivale a resolver uma equação do 2o. grau da forma:
z² - S z + P = 0
Onde
S = soma das raízes = u³ + v³
P = produto das raízes = u³ v³
Resolveremos agora a equação do 2o. grau:
z² + q z - p³/27 = 0
Para obter as partes u e v da primeira raiz:
r1 = u + v
Com o discriminante desta última equação, definido por:
D = q²/4 + p³/27
E utilizando a fórmula de Bhaskara obtemos:
u³ = -q/2 + D½
v³ = -q/2 - D½
A primeira raiz r1 da equação original
x³ + A x² + B x + C = 0
Depende da translação realizada no início e será dada por:
r1 = u + v - A/3
Como r1 é uma raiz, utilizaremos a divisão
(x³ + A x² + B x + C)/(x-r1)
Para obter a polinomial de segundo grau:
p(x) = x² + (A+r1)x - C/r1
Com o resto da divisão igual a:
Resto = r1³ + A r1² + B r1 + C
Que será nulo ou muito próximo de zero se o valor for aproximado.
Os zeros desta equação do segundo grau, podem ser obtidos facilmente e as outras duas raízes dependem do valor D que é o discriminante desta última polinomial.
Pela análise destes valores, conheceremos as características das raízes da equação x³+Ax²+Bx+C=0.
	Discriminante
	Detalhes sobre as raízes da equação
	D=0
	3 raízes reais, sendo duas iguais
	D>0
	1 raiz real e 2 raízes complexas conjugadas
	D<0
	3 raízes reais distintas
A construção das raizes não é simples e consideraremos duas possibilidades: D negativo ou D não negativo.
Situação D<0: Calcularemos os valores:
1. E=(-D)½
2. r=(q²/4 +E²)½
3. t =arccos(-q/2r)
Sendo as três raízes reais dadas por:
r1 = 2 r1/3cos(t/3) - A/3          
r2 = 2 r1/3cos((t+2pi)/3)) - A/3
r3 = 2 r1/3cos((t+4pi)/3)) - A/3
Situação D>0: Calcularemos os valores:
1. E = D½
2. u3 = -q/2 + E
3. v3 = -q/2 - E
4. u = (u3)1/3
5. v = (v3)1/3
Sendo que a primeira raiz será:
r1 = u + v - A/3
Para obter as outras raizes, construímos outra constante:
d2 = (A+r1)² + 4C/r1
E consideramos duas possibilidades sobre d2:
a. Se d2 é negativo:
r2 = -(A+r1)/2 + ½(-d2)½
r3 = -(A+r1)/2 - ½(-d2)½
b. Se d2 é não negativo:
r2 = -(A+r1)/2 + ½(d2)½
r3 = -(A+r1)/2 - ½(d2)½
Exercício: Usando os passos acima expostos, resolver as equações:
1. x³-6x-9=0
2. x³-6x-40=0
3. x³+3x+2=0
4. x³-3x-2=0
5. x³-6x-4=0
6. x³+2x²-8x+5=0
A função polinomial
Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:RR definida por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
Onde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é o termo constante.
Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x. Uma das funções polinomiais mais importantes é f:RR definida por:
f(x) = a x² + b x + c
O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros..
O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).
Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:
p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27
Grau de um polinômio
Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominantee o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).
Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:
1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.
2. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico.
3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.
4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.
5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.
6. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.
7. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.
É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.
Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente an0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. Exemplos:
a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.
b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.
c) P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.
Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.
Igualdade de polinômios
Os polinomios p e q em P[x], definidos por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn
são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:
ak=bk
Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos. Assim, um polinômio:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:
ak= 0
O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x].
O polinômio unidade (identidade para o produto) p1=1 em P[x], é o polinômio:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anxn
Tal que ao=1 e ak=0, para todo k=1,2,3,...,n.
Soma de polinômios
Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn
Definimos a soma de p e q, por:
(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xn
A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
(p + q) + r = p + (q + r)
Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p + q = q + p
Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal que
po + p = p
Qualquer que seja p em P[x].
Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que
p + q = 0
Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.
Produto de polinômios
Sejam p, q em P[x], dados por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn
Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:
r(x) = p(x)·q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxn
Tal que:
ck = aobk + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1 b1 + akbo
Para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera ck, a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.
A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades:
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
(p · q) · r = p · (q · r)
Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p · q = q · p
Elemento nulo: Existe um polinômio po(x)=0 tal que
po · p = po
qualquer que seja p em P[x].
Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x)=1 tal que
p1 · p = p
Qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p1=1.
Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios
Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
p · (q + r) = p · q + p · r
Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade.
Espaço vetorial dos polinômios reais
Embora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais, usaremos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.
O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das sequências quase-nulas de números reais, isto é, as sequências da forma:
p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)
Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.
A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
E colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de zeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual tais sequências são denominadas sequências quase-nulas.
Esta forma de notação
p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)
Funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma dos elementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.
Vamos considerar S o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma, multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.
Sejam p e q em S, tal que:
p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,am,0,0,0,...)
q = (bo,b1,b2,b3,b4,...,bn,0,0,0,...)
E vamos supor que m < n.
Definimos a soma de p e q, como:
p+q = (ao+bo,a1+b1,a2+b2,...,an+bn,0,0,0,...)
A multiplicação de p em S por um escalar k, como:
k.p = (kao,ka1,ka2,ka3,ka4,...,kam,0,0,...)
E o produto de p e q em S como:
p·q = (co,c1,c2,c3,c4,...,cn,0,0,0,...)
Sendo que
ck = aobk + a1bk-1 + a2bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1b1+akbo
Para cada ck (k=1,2,3,...,m+n).
O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.
Características do grau de um polinômio
Se gr(p)=m e gr(q)=n então
gr(p.q) = gr(p) + gr(q)
gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)}
Algoritmo da divisão de polinômios
Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que
p(x) = g(x) q(x)
Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m<n, então existe um polinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que:
p(x) = q(x) g(x) + r(x)
Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:
xk-ck = (x-c)( xk-1 + cxk-2 + c²xk-3 +...+ ck-2x+ck-1 )
Então para
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
Temos que
p(c) = ao + a1c + a2c² + a3c³ +...+ ancn
E tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:
p(x)-p(c) = a1(x-c) + a2(x²-c²) + a3(x³-c³) +...+ an(xn-cn)
O que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter
p(x)- p(c)=(x-c) q(x)
Onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever:
p(x)=(x-c) q(x)+p(c)
E é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.
Zeros de um polinômio
Um zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. O zero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.
Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que:
x-c é um fator de p se, e somente se, r(x)=f(c)=0
o que é equivalente a:
c é um zero de p, sse, x-c é um divisor de p=p(x)
Equações Algébricas e Transcendentes
Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.
Exemplos
1. 2x²+3x+7=0
2. 3x²+7x½=2x+3
A função exponencial exp(x)=ex pode ser escrita como um somatório com infinitos termoscontendo potências de x:
ex = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x4/4! + x5/5! +...
Assim, a equação
x²+7x=ex
Não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.
Quando a equação é da forma:
p(x) = 0
Onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.
Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.
Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.
Observação: Uma equação algébrica irracional sempre poderá ser colocada na forma de uma equação polinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízes da nova equação poderão não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta nova equação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.
Exercício: Apresentar uma equação irracional que tenha raízes estranhas.
1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a.
Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.
P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 0
3a = -10 => a=-10/3
Resposta: a=-10/3
2º) Calcular m IR para que o polinômio
P(x)=(m2-1)x3+(m+1)x2-x+4 seja:
a) do 3ºgrau		b) do 2º grau	c) do 1º grau
Resposta:
a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser diferentes de zero. Então:
m2-10 => m21 => m1
m+10 => m-1
Portanto, o polinômio é do 3º grau se m1 e m-1.
b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Então:
m2-1=0 => m2=1 => m=1
m+10 => m-1
Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.
c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser iguais a zero. Então:
m2-1=0 => m2=1 => m=1
m+1=0 => m=-1
Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.
3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x3 é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).
Resolução:
Temos o polinômio: P(x)=x3+ax2+bx+c.
Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).
Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:
P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1
P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8
P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3
Temos um sistema de três variáveis:
Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:
a=9, b=-34, c=24
Portanto o polinômio em questão é P(x)= x3+9x2-34x+24.
O problema pede P(-1):
P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24
P(-1)= 66
Resposta: P(-1)= 66
Métodos de resolução algébrica
Alguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.
Equação do 1o. grau: A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por:
x = -b/a
Equação do 2o. grau: A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos, dadas por:
x1=(-b+ / 2a
x2=(-b- / 2a
Onde R[z] é a raiz quadrada de z.
Equação cúbica: A equação ax³+bx²+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano)..
Equação quártica: A equação ax4+bx³+cx²+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.
Equação quíntica: Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obter todas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações com grande precisão.
Existe uma versão da planilha Kyplot disponível gratuitamente na Internet, que dispõe de um mecanismo capaz de calcular com grande precisão raízes de equações polinomiais de grau n.
Teorema Fundamental da Álgebra
Teorema (Gauss): Toda equação algébrica polinomial com coeficientes reais ou complexos, admite no conjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.
Teorema equivalente: Toda equação algébrica polinomial de grau n, com coeficientes reais ou complexos, admite exatamente n raízes, no conjunto dos números complexos.
Consequência: Toda equação algébrica polinomial real de grau n, admite no máximo n raízes, no conjunto dos números reais.
Algumas desigualdades polinomiais
Algumas desigualdades bastante comuns que podem ser obtidas a partir das identidades polinomiais:
1. a²+b² > 2ab
2. (a+b)/2 > 
3. a²+b²+c² > ab+ac+bc
Onde é a raiz quadrada de x e o símbolo > significa maior ou igual.
Questão 1
Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4? 
Questão 2
Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25.
Questão 3
Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. Calcule o valor de m.
Questão 4
Determine A, B e C na decomposição
 
Questão 5
Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio  p(x) = a(x + c)³ + b(x + d) seja idêntico a p(x) = x³ + 6x² + 15x + 14.
Questão 6
Determine m Є R para que o polinômio p(x) = (m − 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x +4 seja de grau 2.
Questão 7
Calcule os valores de m, n e l para os quais o polinômio p(x) = (2m – 1)x³ – (5n – 2)x² + (3 – 2l) é nulo.
Questão 8
Sendo p(x) = ax4 + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2.
Questão 9
Quais são os valores de a e b considerando p(x) = – 4x³ + ax² + bx –18, onde 2 é raiz de p(x) e p(–1) = –18.
Respostas
Resposta Questão 1
p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k
p(2) = 4
2 * 2³ – k * 2² + 3 * 2 – 2k = 4
16 – 4k + 6 – 2k = 4
– 4k – 2k = – 16 – 6 + 4
– 6k = –18   *(–1)
6k = 18
k = 3
Temos que o valor de k é igual a 3.
 Resposta Questão 2
p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1
Sabendo que 1 é raiz temos:
p(1) = 0
1³ + a * 1² + (b – 18) * 1 + 1 = 0
1 + a + b – 18 + 1 = 0
a + b = 16
Fazendo p(2) = 25
2³ + a * 2² + (b – 18) * 2 + 1 = 25
8 + 4a + 2b – 36 + 1 = 25
4a + 2b = 25 + 36 – 8 – 1
4a + 2b = 52   :(2)
2a + b = 26
a + b = 16
2a + b = 26
a = 16 – b
2 * (16 – b) + b = 26
32 – 2b + b = 26
– b = 26 – 32
– b = – 6
b = 6
a = 16 – b
a = 16 – 6
a = 10
Os valores de a e b são respectivamente 10 e 6.
Resposta Questão 3
p(x) = x² – mx + 6
p(6) = 0
6² – m * 6 + 6 = 0
36 – 6m + 6 = 0
– 6m = – 42  *(–1)
6m = 42
m = 42/6
m = 7
O valor de m que satisfaz as condições informadas é 7.
Resposta Questão 4
Os valores de A, B e C são respectivamente iguais a 1/3, –1/3 e –2/3.
Resposta Questão 5
a(x + c)³ + b(x + d) = x³ + 6x² + 15x + 14
a(x³ + 3x²c + 3xc² + c³) + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 14
ax³ + 3x²ac + 3axc² + ac³ + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 14
ax³ + 3x²ac + x(3ac² + b) + (ac³ + bd) = x³ + 6x² + 15x + 14
a = 1
3ac = 6
3ac² + b = 15
ac³ + bd = 14
Dessa forma:
3ac = 6
3 * 1 * c = 6
3c = 6
c = 2
3ac² + b = 15
3 * 1 * 2² + b = 15
12 + b = 15
b = 3
ac³ + bd = 14
1 * 2³ + 3 * d = 14
8 + 3d = 14
3d = 14 – 8
3d = 6
d = 2
Os números a, b e c são respectivamente 1, 3 e 2.
Resposta Questão 6
P(x) tenha grau 2, devemos respeitar as seguintes condições:
m – 4 = 0
m = 4
m² – 16 ≠ 0
m² ≠ 16
m ≠ + 4 e – 4
Para m = 4, temos:
(4 – 4)x³ + (4² – 16)x² + (4 + 4)x + 4
0x³ + 0x² + 8x + 4
8x +4
Para m = – 4, temos
(–4 –4)x³ + [(–4)² – 16]x² + (–4 + 4)x + 4
–8x³ + 0x² + 0x + 4
–8x³ + 4
Não existe valor para m de modo que o polinômio p(x) seja de grau 2.
Resposta Questão 7
2m – 1 = 0
2m = 1
m = 1/2
5n – 2 = 0
5n = 2
n = 2/5
3 – 2l = 0
–2l = –3
2l = 3
l = 3/2
Resposta Questão 8
p(0) = 0 → a * 04 + b * 03 + c = 0 → c = 0
p(1) = 0 → a * 14 + b * 13 + 0 = 0 → a + b = 0
q(1) = 2 → a * 13 – b * 1 – 0 = 2 → a – b = 2
Temos que a = 1, b = – 1 e c = 0
Resposta Questão 9
p(2) = –4 * (2)³ + a * 2² + b * 2 – 18
0 = –4 * 8 + a * 4 + 2b – 18
0 = –32 + 4a + 2b – 18
4a + 2b = 50
p(–1) = –18
–4 * (–1)³ + a * (–1)² + b * (–1) – 18 = – 18
–4 *(–1) + a * (1) – b – 18 = – 18
4 + a – b – 18 = – 18
a – b = – 18 + 18 – 4
a – b = – 4
  
Os valores de a e b são respectivamente 7 e 11.
 
Divisão de Polinômios
Sejam dois polinômios P(x) eD(x), com D(x) não nulo.
Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo:
1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0
Nessa divisão:
P(x) é o dividendo.
D(x) é o divisor.
Q(x) é o quociente.
R(x) é o resto da divisão.
Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).
Exemplo:
Determinar o quociente de P(x)=x4+x3-7x2+9x-1 por D(x)=x2+3x-2.
Resolução: Aplicando o método da chave, temos:
Verificamos que:
Divisão de um Polinômio por um Binômio da forma ax+b
Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1.
Utilizando o método da chave temos:
Logo: R(x)=3
A raiz do divisor é 2x-1=0 => x=1/2.
Agora calculamos P(x) para x=1/2.
P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3
P(1/2) = 3
Observe que R(x) = 3 = P(1/2)
Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.
Teorema do Resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a).
Note que –b/a é a raiz do divisor.
Exemplo: Calcule o resto da divisão de x2+5x-1 por x+1.
Resolução: Achamos a raiz do divisor:
x+1=0 => x=-1
Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):
P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x)
Resposta: R(x) = -5.
Teorema de D’Alembert
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0
Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x3+5x2-px+2 seja divisível por x-2.
Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0.
P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19
Resposta: p=19.
Divisão de um Polinômio pelo produto (x-a)(x-b)
Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r1 e r2. 
Temos:
a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r1 (eq. 1)
b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r2 (eq. 2)
E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x) (eq. 3)
O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:
R(x)=cx+d
Da eq.3 vem:
P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d
Fazendo:
x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4)
x=b => P(b) = c(b)+d (eq. 5)
Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:
Resolvendo o sistema obtemos:
Observações:
1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:
P(a)= r1 =0
P(b)= r2 =0
Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois:
2ª) Generalizando, temos:
Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a1), (x-a2),..., (x-an) então P(x) é divisível pelo produto (x-a1)(x-a2)...(x-an).
Exemplo:
Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)?
Resolução:
0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6 (eq. 1)
1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8 (eq. 2)
E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x) (eq. 3)
O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:
R(x)=ax+b
Da eq.3 vem:
P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b
Fazendo:
x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b (eq. 4)
x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b (eq. 5)
Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:
Logo, b=6 e a=2.
Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6
Resposta: R(x) = 2x+6.
O dispositivo de Briot - Ruffini
Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b).
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x3-5x2+x-2 por (x-2).
Resolução:
Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.
Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.
Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:
1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”.
2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.
3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.
5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente.
Decomposição de um Polinômio em Fatores
Vamos analisar dois casos:
1º caso: O polinômio é do 2º grau.
De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c que admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma:
ax2+bx+c = a(x-r1)(x-r2)
Exemplos:
1) Fatorar o polinômio P(x)=x2-4.
Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2.
Logo: x2-4 = (x-2)(x+2).
2) Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10.
Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2.
Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).
2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.
Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.
Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3-x2-x.
Resolução:
	2x3-x2-x = x.(2x2-x-1) colocando x em evidência
	Fazendo x.(2x2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x2-x-1=0.
	Uma das raízes já encontramos (x=0).
	As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2.
	Portanto, o polinômio 2x3-x2-x, na forma fatorada é:
	2.x.(x-1).(x+(1/2)).
Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n raízes r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 = an(x-r1)(x-r2)...(x-rn)
Observações:
1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.
2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3.
Estatística
Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e a interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões (Antônio Amot, 2002).
Estatística Dedutiva - é responsável pela coleta, organização e a descrição dos dados.
Estatística Indutiva ou Inferencial - responsável pela análise e a interpretação desses dados. Possibilitam o diagnóstico de um lugar, o conhecimento de seus problemas, a formulação de soluções apropriadas e um planejamento objetivo de ação. 
Amostra: grupo representativo de uma classe, ou melhor, é um subconjunto finito de uma população (Antônio Arnot,2002), deve possuir as mesmas características básicas da população, em relação ao que deseja pesquisar.
Principais técnicas de amostragem:
1º Amostragem casual ou aleatória simples
2º Amostragem proporcional estratificada
3º Amostragem sistemática
Amostra homogenia - mais fácil de obter resultados
Amostra heterogenia - mais difícil de obter resultados.
Dados: informações necessárias para representar a estatística.
Dados brutos: são os primeiros dados obtidos.
Dados seriados: são dados organizados e apurados por uma série para que ele passe por uma análise e por fim a resolução de um problema.
Dados Primários: são os dados obtidos pelo próprio pesquisador.
Dados Secundários: são dados obtidos por outros pesquisadores.
Variável
É considerada como um conjunto de resultados possíveis de um fenômeno, Do ponto de vista da natureza ela pode ser:
1- Qualitativa:  quando seus valores são expressos por atributos;
2- Quantitativa: quando seus valores são expressos em números;
· Variável contínua: qualquer valor entre dois limites, permite divisões, se costuma fazer divisões, são originadas das medições;
· Variável discreta: só pode assumir valores pertencentes a um conjunto de enumerável, toda variável advém de um número, devidosua contagem, é exato, tem origem nas contagens ou enumerações;
Sendo atributo, pode ser:
1- Dicotômicos: permitem apenas 2 alternativas;
2- Policotomicas: com muitas possibilidades de alternativas;
Aproximação dos resultados:
- Fração acima da metade (0,5): aproxima-se o valor para o número seguinte.
Ex: 2,8 → 3,0
- Fração menor da metade (0,5): aproxima-se o valor para o número abaixo.
Ex: 2,3 → 2,0
- Quando a fração for a metade (0,5): aproxima-se o valor para o número par.
Ex: 2,5 → 2,0
1,5 → 2,0
Para atingir uma estatística é necessário:
1. Definir Problema;
2. Planejamento da obtenção de dados;
3. Coleta de dados;
4. Sistematização ou organização;
5. Seriação
6. Análise e interpretação de dados;
7. Resolução de problemas; 
Exemplo aplicado
No 1º semestre de 2003, os estudantes de Psicologia da FTC, iniciaram um Projeto Interdisciplinar na Comunidade da Bananeira, onde a turma foi dividida em 8 equipes e cada uma delas ficou responsável pela coleta de dados de determinadas células ou famílias, buscando conhecer o meio, identificar o número de moradores de cada casa, seu histórico, sexo e idade.
O exemplo aqui apresentado, foi coletado no 1º semestre de 2003, onde procura-se identificar o número de moradores das células e a idade.
Dados Brutos
São os primeiros dados obtidos.
Rol: organização dos dados por ordem de valor, sendo ele crescente ou decrescente.
Amplitude total (AT): dispersão entre o maior e o menor número, no caso a idade.
Quanto maior a amplitude, mais heterogêneo é o grupo.
Número de classes (NC): o pesquisador é quem define, não sendo menor que 4 nem maior que 10.
Amplitude de classe(AC): divide-se a amplitude total pela amplitude de classes.
Aplicação: 
         Dados Brutos:      Rol:          Amplitude Total:
94                   94             94 – 14= 80
68                   72
72                   68          Número de classes:
45                   45             NC=4
22                   34                             
19                   22        Amplitude de Classes:
16                  19               AC=AT    80=20 
13                   16                     NC   4
34                   13
As tabelas e os gráficos fornecem rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em estudo, permitindo determinações administrativas e pedagógicas mais coerentes e científicas.
A Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações.
Classes: serve para reunir grandes massas de dados
Limites de classe - os números externos de uma classe;
14 |-- 34, 14 pertence, 34 |-- 54 34 pertence,14 |--| 94 ambos pertencem à classe.
Frequência: número de valores das variáveis pertencentes a cada uma das classes.
FAC: Frequência acumulada crescente, (5+1+2+1) = (5,6,8,9).
FAD: Frequência acumulada decrescente, (5-1-2-1)=(9,,4,3,1)
FR: Frequência relativa, fazer uma relação entre o número total de moradores e a frequência.
Ponto Médio: número pedido de intervalo entre as classes.
O Histograma é o tipo de gráfico mais amplamente utilizado, é constituído desenhando-se barras, cujas bases são determinadas pelos intervalos de classe e cujas alturas são determinadas pelas correspondentes frequências de classe.
Médias
Média aritmética simples
É o resultado da divisão da soma de n  valores por n. Por exemplo, a média entre 5, 10 e 6 será:
Média aritmética ponderada
Neste tipo de média aritmética, cada número que fará parte da média terá um peso. Este peso será multiplicado pelo número, que serão somados e divididos depois pela soma dos pesos. Veja o exemplo:
Média Geométrica
Entre n valores, é a raiz de índice n do produto desses valores. Veja no exemplo, a média geométrica entre 1, 2 e 4:
Média harmônica
A média harmônica equivale ao inverso da média aritmética dos inversos de n valores. Parece complicado, mas é bastante simples, veja o exemplo:
Média harmônica entre 2, 6 e 8. Primeiramente é necessário calcular a média aritmética dos inversos dos valores dados:
Depois, faz-se o inverso do resultado, tendo finalmente a média harmônica de 2, 6 e 8:
Em todas as médias o resultado estará entre o maior e o menor número dado.
Para os mesmos valores, a média aritmética terá o maior valor, seguida da média geométrica e depois a média harmônica.
Questão 1
Uma avaliação com duas questões foi aplicada a uma classe com quarenta alunos. Quinze alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões? 
Questão 2
Uma população consome 3 marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram- se os resultados tabelados abaixo. 
Determine o número de pessoas consultadas.
Questão 3
Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C, de um determinado produto apresentou os seguintes resultados:
· A: 48%
· B: 45%
· C: 50%
· A e B: 18%
· B e C: 25%
· A e C: 15%
· Nenhuma das três: 5%
Qual a porcentagem de entrevistados que consomem as três marcas?
Questão 4
Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos, A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:
· 210 pessoas compram o produto A
· 210 pessoas compram o produto B
· 250 pessoas compram o produto C
· 20 pessoas compram os três produtos
· 100 pessoas não compram nenhum dos três produtos
· 60 pessoas compram os produtos A e B
· 70 pessoas compram os produtos A e C
· 50 pessoas compram os produtos B e C
· Quantas pessoas foram entrevistadas?
Questão 5
Em um grupo de pessoas, as idades são : 10, 12, 15 e 17 anos. Caso uma pessoa de 16 anos junte-se ao grupo, o que acontece com a média das idades do grupo? 
Questão 6
A distribuição de salários de uma empresa é fornecido pela tabela a seguir:
Calcule a média salarial dessa empresa.
 
Questão 7
Para votar, cinco eleitores demoraram, respectivamente, 3min 38s, 3min 18s, 2min 46s, 2min 57s e 3min 26s. Qual foi a média do tempo de votação (em minutos e segundos) desses eleitores? 
Questão 8
(Unifor-CE)
Em certa eleição municipal foram obtidos os seguintes resultados:
O número de votos obtido pelo candidato vencedor foi:
a) 178
b) 182
c) 184
d) 188
e) 191
Questão 9
(FGV-SP)
A tabela abaixo representa a distribuição de frequência dos salários de um grupo de 50 empregados de uma empresa, em certo mês. O salário médio desses empregados, nesse mês, foi de:
a) R$ 2 637,00
b) R$ 2 520,00
c) R$ 2 500,00
d) R$ 2 420,00
e) R$ 2 400,00
 
Respostas
Resposta Questão 1
· 10 alunos acertaram somente a primeira questão.
· 5 alunos acertaram somente a segunda questão.
· 15 alunos acertaram as duas questões.
· 10 alunos erraram as duas questões. 
Resposta Questão 2
· 60 pessoas consomem somente A
· 140 pessoas consomem somente B
· 100 pessoas consomem somente C
· 20 pessoas consomem A e B
· 20 pessoas consomem A e C
· 35 pessoas consomem B e C
· 05 pessoas consomem A, B e C
· 120 pessoas não consomem nenhuma das marcas
O total de pessoas entrevistadas foi: 60 + 140 + 100 + 20 + 20 + 35 + 05 + 120 = 500. 
Resposta Questão 3
· 15% consomem somente A
· 2% consomem somente B
· 10% consomem somente C
· 18% pessoas consomem A e B
· 15% pessoas consomem A e C
· 25% pessoas consomem B e C
· 05% pessoas não consomem nenhuma das marcas
· 10% pessoas consomem as três marcas.
 
Resposta Questão 4
Total de pessoas entrevistadas: 100 + 120 + 150 + 40 + 20 + 50 + 30 + 100 = 610.
Resposta Questão 5
Resposta Questão 6
Resposta Questão 7
Resposta Questão 8
Calcular o índice percentual de votos nulos e brancos:
x + 26% + 24% + 22% = 100%
x = 100% – 72%
x = 28%
Calcular o total de votos com base nos votos nulos e brancos:
28% de x = 196
0,28x = 196
x = 196/0,28
x = 700
O total de votos é igual a 700, e o candidato vencedor teve 26% desses votos, então:
26% de 700 → 0,26 * 700 → 182 votos
Resposta correta item b.
Resposta Questão 9
Moda
Moda é a medida de tendência central que consiste no valor observado com mais frequência em um conjunto de dados. 
Se um determinado time fez, em dez partidas, a seguinte