Rufino - Elementos da Física Vol 2 (2)

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MARCELO RUFINO DE OLIVEIRA
i-
T
das provas discursivas de física do IME de 1980 a 2015. Na verdade, o autor deste livro sempre ouviu 
que seus alunos gostavam mais de suas aulas de física do que de matemática. Sabe quando você tem 
paiXào por uma coisa, mas seu dom é pra outra coisa? É mais ou menos por aí.
I.
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Apenas em duas livrarias virtuais: 
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Marcelo Rufino
Abril de 2018
J )
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índice
11. Vetores 
1
2
132.
13
13
15
15
17
17
18
19Unidades de Velocidade 
20Velocidade Instantânea 
22Velocidade Relativa 
25
26
27
29Exercícios Resolvidos 
35Exercícios Propostos
50Cinemática: Movimento Acelerado 3.
50Movimento Uniformemente Acelerado 
61Movimento Não Uniforme
66Exercícios Resolvidos 
68Exercícios Propostos
864.
86
86Queda Livre 
87
87
89
C
Segmentos Orientados 
Vetores
Posição
Vetor Posição
Vetor Deslocamento e Deslocamento Escalar 
Distância Percorrida ou Espaço Percorrido 
Unidades de Espaço 
Velocidade Média
Introdução à Cinemática 
Conceitos Fundamentais 
Composição de Movimentos
Classificação do Movimento Quanto à Velocidade 
Movimento Uniforme
Cinemática: Lançamentos 
Conceitos Fundamentais . .
Lançamento Vertical Descendente 
Lançamento Vertical Ascendente .
Lançamento Horizontal
110Exercícios Propostos
127Cinemática: Movimento Circular5.
127
127
132
134
135
136
138
140Exercícios Resolvidos
146Exercícios Propostos
161Estática6.
161
163
165
171
172
173
175
177
191Exercícios Propostos
223
223
223
226Modelo Heliocêntrico
231
Lançamento Oblíquo . . 
Parábola de Segurança 
Exercícios Resolvidos .
Introdução................................................................
Grandezas Angulares............................................
Aceleração Centrípeta..........................................
Movimento Circular Uniforme...............................
Movimento Circular Uniformemente Variado . . . 
Acoplamento de discos, polias e rodas dentadas 
Movimento Circular Não Uniforme........................
Conceito de Equilíbrio.............
Equilíbrio de Translação.........
Equilíbrio de Rotação...............
Condições Gerais de Equilíbrio
Tombamento.............................
Treliças Planas..........................
Princípio dos Trabalhos Virtuais
Exercícios Resolvidos.............
Leis de Kepler .
Lei da Atração Universal
Momento Angular...........
Aceleração Gravitacional
91
96
102
232
234
236
7. Gravitação.............
Introdução...............
Modelo Geocêntrico
239
243
244
247
248
251
254
259
261Exercícios Resolvidos
269Exercícios Propostos
2968. Hidrostática
296
296
297
298
299
307
310
313
331Exercícios Propostos
3649. Hidrodinâmica
364Fluxo de Fluido
364
365
370
37510. Gabaritos
Movimento das Marés....................
Energia Potencial Gravitacional . . .
Casca Esférica.................................
Conservação da Energia Mecânica
Órbita Circular.................................
Efeito Estilingue Gravitacional
Órbita Elíptica..........................
Coordenadas Polares...........
Equação da Continuidade 
Equação de Bernoulli . . . . 
Exercícios Resolvidos . . .
Introdução................................................................................
Densidade e Massa Específica............................................
Pressão ....................................................................................
Variação da Pressão com a Profundidade em um Líquido 
Princípio de Pascal................................................................
O Princípio de Arquimedes...................................................
Translação de Fluidos..........................................................
Exercícios Resolvidos .
ELEMENTOS DA FÍSICA
VETORES
SEGMENTOS ORIENTADOS
A
A A
B
A D
c
A D
B C
1
Afirma-se que um seguimento é nulo quando sua origem coincide com sua extremidade (A 
= B). Dado um segmento AB, segue que o segmento BA é o seu oposto.
Dizemos que dois segmentos sâo equipolentes quando eles possuem 
comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.
Dados dois segmentos orientados AB e CD, como os mostrados na figura seguinte, 
dizemos que eles têm a mesma direção quando os segmentos AB e CD são paralelos ou 
coincidentes. Com relação ao seu sentido, dizemos que dois segmentos possuem o mesmo 
sentido quando, além de terem a mesma direção possuem a mesma orientação. Quando a 
orientação é oposta, dizemos que os segmentos são opostos.
Denomina-se de segmento orientado a um segmento de reta que possui sua origem em 
um ponto e sua extremidade em outro. Na figura abaixo está ilustrado um exemplo de segmento 
orientado, com sua origem no ponto A e sua extremidade no ponto B.
o mesmo
ELEMENTOS DA FÍSICA
VETORES
A
AB, o vetor BA é chamado de oposto de AB e se indica por -AB ou
A A
B
ADIÇÃO DE VETORES (FORMA GEOMÉTRICA)
C
U +V
Vu
A Bu
V
U +Vu ü
V
2
Chama-se de vetor ao segmento de reta orientado que possui sua origem em um ponto e 
extremidade em outro. Na figura, o segmento AB é chamado de vetor AB e indicado por AB .
Assim fica evidente que ü + v = v + ü.
Vejamos agora algumas definições:
(i) Existe um só vetor nulo 0 tal que, v + 0 = 0 + v = v. O vetor nulo tem módulo zero e direção e 
sentido indeterminados.
(ii) Qualquer que seja o vetor v , existe um só vetor -v (vetor oposto de v) tal que v + (-v) = 0.
(iii) A diferença dos vetores ü e v é o vetor ü + (-v).
Dado um vetor v 
por —v.
A soma coincide com a diagonal do paralelogramo determinado por ü e v, quando estes 
vetores são posicionados com o mesmo ponto inicial. Veja:
Sejam ü e v dois vetores quaisquer. A soma de ü com v é o vetor ü + v que pode ser 
determinado da seguinte maneira: escolhemos representantes AB e BC dos vetores ü e v . O 
vetor soma é representado pela flecha que possui origem no ponto A e extremidade no ponto C, 
como mostra a figura:
ELEMENTOS DA FÍSICA
-V
V
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL POR VETOR (FORMA GEOMÉTRICA)
A figura abaixo apresenta o vetor v e alguns produtos kv:
V
-2v
-1,5v -*
AS COMPONENTES DE UM VETOR (FORMA ALGÉBRICA)
Py
v i
+ xV o x
3
I
Dado um vetor v * Õ (vetor nulo) e um número k e IR*, define-se produto de um número 
real k pelo vetor v , o vetor k. v tal que:
a) módulo: | k. v | =| k| | v |, ou seja, o comprimento de k.v é igual ao comprimento de v 
multiplicado por | k|.
b) direção: k. v e v possuem a mesma direção.
c) sentido: k. v e v têm o mesmo sentido se k > 0 e k.v ev têm sentidos contrários se k < 0.
Obs. Se k = 0 ou v = Õ (vetor nulo), então k.v =Õ .
n + (-v) / 
\ / u
Qualquer vetor v = AB considerado no plano cartesiano possui sempre uma 
representação (segmento orientado OP) cujo ponto inicial é a origem. Inicialmente, serão 
considerados os vetores com origem na origem do sistema. Neste caso, o vetor é determinado 
pelo ponto extremo do segmento. Assim, ligando a origem ao ponto P(x, y) tem-se o vetor v =OP 
e escreve-se v = (x, y). As coordenadas de P são identificadas como as componentes do vetor.
Y
z
V = (X, y, z)
y ?/
IGUALDADE DE VETORES (FORMA ALGÉBRICA)
O MÓDULO DE UM VETOR (FORMA ALGÉBRICA)
y
y
I v | = y/x2 + y2 .
XO
A
V
I v 1= 7x2 + y2 + z2X L
Dois vetores são iguais se as respectivas componentes são iguais. Assim, se os vetores 
ü= (x,, y,, z,)e v = (x2, y2, z2) são iguais se e somente se x, = x2, y, = y2 e z, = z2.
Caso o vetor v = (x, y) seja dado em um plano, pode-se 
determinar seu módulo pelo teorema de Pitágoras:
Também é possível representar um vetor no espaço. 
Para tanto, é necessário trabalhar nas três dimensões, 
normalmente denominadas de x, y e z, como indicado na 
figura ao lado. Se O é a origem do sistema de eixos 
tridimensionais e P = (x, y, z) a extremidade de um vetor 
ÕP, o vetor v = OP é representado por
Caso o vetor v = (x, y, z) seja dado no 
espaço, seu módulo é calculado observando que 
|v| é a diagonal de um paralelepípedo de 
dimensões x, y e z, conformeilustrado na figura 
ao lado. Desta forma, o módulo de v=(x, y, z) 
vale:
9^7
/
XZ
z.
4
V = (x;x,z)/
'"?|P 
/ I
I 
I
I 
I
I
I
1
I 
4— 
I ,
r~TELEMENTOS DA FÍSICA
I V I 2 = x2 + y2
Por exemplo, se v = (- 4,3): | v | = 7(-4)2 + (3)2 = V16 + 9 = v25 = 5 .
£ ELEMENTOS DA FÍSICA
SOMA DE VETORES (FORMA ALGÉBRICA)
Sendo u = (x1f y,) e v = (x2, y2), define-se a soma entre os vetores u e v como:
u + v = (xi + x2, yi + y2).
y
p p
y2 D
u+v
V
B LG*1 Vi
u
o o
Por exemplo, se u = (-3, 5,1) e v = (2, - 8, 0) então:
ü + v = (-3 + 2, 5 + (-8), 1 + 0) ü + v = (-1,-3,1)
MÓDULO DA SOMA DE DOIS VETORES (FORMA GEOMÉTRICA)
onde 0 é o ângulo formado entre os vetores u e v.
Por exemplo, se | u |= 2 , | v |= 3 e o ângulo entre os ü e v é 60°:
Considere a figura anterior, onde 0 = ZAÔB é o ângulo formado pelos vetores v = OAe 
ü = OB . Como AOBP é um paralelogramo, sabe-se que ZOÂP = 180° - 0. Aplicando o lei dos 
cossenos em AOAP:
Como OAPB é paralelogramo, tem-se que os triângulos OAF e BPG, da figura 1, são 
congruentes, por LAA0. Assim, OF = BG e então a abscissa de P é Xi + x2. Analogamente, tem- 
se que os triângulos ADP e OEB, da figura 2, são congruentes, por LAAO e assim, PD = BE e 
então a ordenada de P é y2 + y-i. Assim, as coordenadas de P são (x2 + Xi, y2 + yi).
Tudo que foi apresentado para a soma de dois vetores em um plano é válido para a soma 
de dois vetores no espaço. Isto ocorre pois dois vetores não paralelos determinam um único plano. 
A demonstração deste fato é bem simples. Faça coincidir a origem O dos vetores com a origem 
dos sistema de eixos tridimensionais. O ponto O e os extremos A e B dos vetores v e ü 
determinam um único plano, que é o plano que contém o triângulo OAB. Assim, somando os 
vetores u= (x1f y,, z-i) e v = (x2, y2, z2) encontra-se u + v= (x4 + x2, y! + y2, z-, + z2)
+x
Vx2
5
SÜKitaMii
Verifique como a definição algébrica da soma de vetores concorda com a definição 
geométrica apresentada anteriormente.
| Ü + v |2=| Ü |2 +1 v |2 +2.101. | v |,cos0 = 22 + 32 + 2.2.3.cos60°= 4 + 9 + 12.0,5 = 13 + 6 = 18
|ü + v|=3>/2
———^e****—mw—mui m -r---
x2F
------ 2 -------2 ------2--------------
OP =OA +AP -2.AO.AP.cos(18O°-0)
_i----------- x
Xi xd + x2
=> | + v |2=| |2 -+1 v |2 +2. | u |. | v |. cos0,
ELEMENTOS DA FÍSICA
MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR (FORMA ALGÉBRICA)
Sendo u = (xn, yi, z,)ek e IR, a multiplicação de um vetor por um escalar é definido por:
k.u = (k.X!, k.yi, k.z^
z
•►yo
X,
tT
ü = x.i + y.j
6
->
X
É possível associar um vetor de módulo unitário a cada eixo. O vetor unitário 7 será 
associado ao eixo x e o vetor unitário j ao eixo unitário ao eixo y, conforme figura abaixo:
O par ordenado de vetores unitários (i, j) constitui uma base do plano R2, ou seja, base do 
plano cartesiano Oxy. Verifica-se que um vetor ü = (x, y), pode ser escrito univocamente como:
Considere o vetor AB de origem em A(xa, ya, 
za) e extremidade em B(xb, yb, zb). Da figura:
Observação: Sempre que v = ABouv = B- A 
pode-se concluir também que B = A + vouB = A + 
ÃB, isto é, o vetor v transporta o ponto inicial A para 
o ponto extremo B.
Analogamente, no espaço R3, pode-se considerar os vetores unitários 7 , j e k , 
respectivamente, associados aos eixos Ox, Oy e Oz, conforme figura abaixo, e a representação 
do vetor 0 = x.7 + y.j + z.k , no espaço é:
Suponha que os pontos A e B são dados por A(2, - 7, 5) e B(0, 4, - 6). Assim, o vetor AB 
édado por ÃB = B-A = (0, 4, -6)-(2, -7, 5) = (0 -2, 4 - (-7), -6 - 5) = (-2, 11, - 11).
VETOR DEFINIDO PELOS VETORES UNITÁRIOS (FORMA ALGÉBRICA)
1..
j
O"
A definição algébrica do produto por escalar dada acima concorda com a definição 
geométrica vista anteriormente. O módulo de v = (k.x,, k.yi, k.z,) é dado por:
| v | = >/(k-x1)2 + (k.y1)2+(k.z1)2 = 7k2(x,2 + y,2 + z2) = |k|7x,2 + y/ + zf = | k || ü|
Logo, o módulo de k.u é igual ao módulo de u multiplicado por |k|.
VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS (FORMA ALGÉBRICA)
OA +AB = OB => AB=OB—OA
ÃB = (xb, yb, zb) - (xa, ya, za) => 
AB = (xb - xa, yb - ya, zb - za).
r ELEMENTOS DA FÍSICA
Zf
z
P(x.y.z)
PzZ
U
j Y
X
| ü |= 7x2 + y2 + z2
PRODUTO ESCALAR (FORMA ALGÉBRICA)
Ü.V =| Ü I. I V I .COS©
i.i = j.j =k.k = 1.1.cos0°=1.1.1 = 1
Escrevendo os vetores ü e v em termos dos unitários, o produto ü.v fica:
(xj + y1 j + z-JíHxJ + y2 j + z2k) =
7
Caso sejam conhecidas todas as componentes de dois vetores ü(xv y^ z^ e v(x2, y2, z2), 
é mais eficiente calcular produto escalar pela expressão ü.v = x,x2 + y,y2 + z,z2 do que pela 
definição ü.v =|ü|.| v|.cos0, que é mais utilizada para determinar o valor de cos 0. A propósito,
Observe que esse produto é simbolizado por um ponto. Não é permitido utilizar o sinal x, 
pois este será utilizado para outro tipo de produto. Para obter o produto escalar em função das 
coordenadas dos vetores, multipliquemos inicialmente os vetores unitários:
Para demonstração esta fórmula basta verificar que | ü | é a diagonal de um paralelepípedo 
de dimensões x, y e z.
Sejam ü = (xi, y1f e v = (x2, y2, z2) dois vetores, que formam um ângulo 0. Define-se o 
produto escalar de ü por v , que é simbolizado por ü.v como sendo o escalar (número real)
O terno de vetores unitários (i , j , k), será a base do espaço R3. O módulo do vetor 
ü = x.i + y.j +z.k será dado por:
r— 
I 
i 
I 
l 
i 
l 
l 
I 
i
5<
k 
i
“71 
Z I
I
I
I
I
I 
1
I
I
I
I 
—k
= x1x2i.i +x1y2i.j + x1z2i.k + y1x2j.i +yiy2j j + y1z2j.k + z1x2k.i 4-z^k.j 4-z^k.k 
= x1x2.1 + x1y2.0 + x1z2.0 + y1x2.0 + y^.1 + y^.O + z1x2.0 + z1y2.0 + ztz2.1 = 
= + y^ + z^2
i.j = i.k = j.k = 1.1.cos90° = 1.1.0 = 0 e
ELEMENTOS DA FÍSICA
(1).(-3) + (-2).k + (7).(-5) = 0 => -3-2k-35 = 0 => 2k = -38 => k = -19ü.v=0
ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES (FORMA ALGÉBRICA)
COS0 =
Note que cos 9 = 0 se e somente se os vetores u e v são perpendiculares.
um
=> cos 60° =COS0 =
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
8
pela definição ü.v =| u |. | v | .cos0, é fácil verificar que se ü e v são dois vetores perpendiculares, 
o produto escalar é nulo, pois cos 90° = 0.
Por exemplo, considere os vetores ü(2, -4, 3) e v(-1, -2,-4). O produto escalar destes 
vetores vale:
Os casos de perpendicularismo também podem ser analisados por meio do produto 
escalar. Por exemplo, pode-se determinar o valor de k de modo que os vetores 0(1, -2, 7) e 
v(-3, k, -5) sejam perpendiculares. Basta impor que o produto escalar seja igual a zero:
Como - 1 < cos 0 < 1 segue que -1 u |. | v |< ü.v <| ü |. | v |. A igualdade ocorre apenas 
quando 0 = 0, caso em que ü.v =| ü |. | v |, ou 0 = 180°, situação em que ü.v = -1 ü |. | v |.
O ângulo entre dois vetores pode ser calculado a partir do produto escalar entre estes dois 
vetores. Isolando cos 0 na expressão do produto escalar segue que:
Por exemplo, pode-se determinar o valor de k de modo que o vetor v = (-1, -1,-2) forme 
ângulo de 60° com o vetor ü = (k, - 4, - 2):
2
2
Para o produto escalar são válidas as propriedades:
(1) ü.v = v.ü (comutatividade)
(2) ü.v = 0 <=> ü±v .
(3) (ü.v).w é um vetor, pois (ü.v) é um escalar e (ü.v).w é o produto de um escalar por um vetor.
(4) (ü.v).w ^ü.(v.w) pois (ü.v).w é um vetor com a mesma direção de w e ü.(v.w) é um vetor 
com a direção de ü.
(5) k.(ü.v) = (k.ü).v,k e IR
ü.v 
|ü|.|v|
ü.v = (2). (-1) + (—4).(-2) + (3).(—4) = -2 + 8 -12 = -6
-k + 4 + 4ü.v (k)-(-1) + (-4).(-1) + (-2),(-2)
I ü I • I v | 7k2 + (~4)2 + (-2)2 .V(-1)2 + (-1)2 + (-2)2 2 Vk2 +20.V6
Vôk2 +120 =2(8-k) => 6k2 + 120 = 4(64 - 18k + k2) => 3k2 + 60 = 128 - 32k + 2k2 = 
k2 + 32k - 68 = 0 => (k + 34)(k -2) = 0 => k = -34ouk = 2
ELEMENTOS DA FÍSICA
PRODUTO VETORIAL
Üx V
Assim, tem-se que:
ixj k. j -j, jxk
Multiplicando u = xj + y, j + zdk por v = x27 + y2 j + z2k tem-se:
Os dedos indicador, médio e polegar devem estar esticados como indicado na figura, com 
o dedo médio perpendicular à palma da mão e o polegar apontado para cima. O primeiro vetor ü 
do produto vetorial é apontado com o dedo indicador e o segundo vetor v é apontado com o dedomédio. O produto ü x v é apontado com o polegar.
O Produto vetorial üxv é definido como sendo um vetor que apresenta as seguintes 
características:
(x1T + y1j+z1k)x(x2T + y2j+z2k) =
= xdx2i x i +x1y2i x j +x1z2i xk + y1x2j x i +y1y2j x j +y1z2j xk + z1x2kx i + z1y2kx j + z1z2kxk =
= x1x2.0 + x1y2.k+ x1z2.j-y1x2.k + y1y2.0 + y1z2.i -z^.j-z1y2.i +z1z2.0 =
= (Yiz2 - y2zi)i + (x2Zi - x,z2)j + (x1y2 - x2y1 )k
9
O produto vetorial é uma multiplicação entre dois vetores, onde o resultado será também 
um vetor. A simbolização do produto vetorial de 0 por v é üx v ou ü a v.
Os sinais x ou a são usados para o produto vetorial e não podem ser substituído pelo ponto 
(.) que é usado apenas para o produto escalar.
x I = -k, i xk= j, kx i
MÓDULO: üx v =| ü |.| v |.sen0, onde 0 é o ângulo formado pelos dois vetores.
DIREÇÃO: perpendicular ao plano formado por u e v.
SENTIDO: determinado pela REGRA DA MÃO DIREITA, conforme mostra a figura abaixo:
O produto vetorial pode ser calculado a partir das coordenadas dos mesmos. Para isso, 
inicialmente deve-se determinar os produtos de todos os pares de vetores unitários T, j e k, 
utilizando a expressão üxv=|ü|.|v|.senO e lembrando que o ângulo formado entre 7 e j, j e 
k e i e k é 90° e o ângulo entre i e 7, j em j e k e k é 0o.
i, kx j =-i, i x i = jx j =kxk = 0
Dados os vetores u= -i +3j+2k
üxv =
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL
Para o produto escalar são válidas as seguintes propriedades:
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO VETORIAL
CD
S = basexaltura => S =| AB | .h
h
e
BA M
S =| AB |. | AD |. sen 0 =| AB x AD |
üxv =
Como S=|üxv| segue que:
10
Considere o paralelogramo ABCD, abaixo. 
Sabe-se que a área S desse paralelogramo é:
Do triângulo AMD, segue que h=|AD|.senO . 
Deste modo, tem-se que:
T
2
1
j
1
T j 
-1 3 
1
k
-1 = aT-j-2k-k —T-2aj =(a-1)T-(2a + 1)j-3k
a
k
Z1
Z2
O resultado encontrado para üxv, em função das componentes dos vetores pode ser 
interpretado como o determinante de uma matriz 3x3 onde os elementos da 1a linha são os 
vetores unitários em cada eixo, os elementos da 2a linha são as componentes de ü e os 
elementos da 3a linha são as componentes de v :
k
2 =-67 + 2j-5k-3k-10T-2j =-16T + 0j-8k
5 -2
Por exemplo, dados os vetores ü =(2,1,—1) e v =(1,-1,a), é possível calcular o valor de a 
para que a área do paralelogramo determinado por ü e v seja igual a Vô2 unidades de área.
V62 = V(a -1)2 + (2a +1)2 + (-3)2
62 = 5a2 + 2a + 11
=> 62 = a2 - 2a + 1 + 4a2 + 4a + 1 + 9 => 
5a2 + 2a-51=0 => (5a + 17)(a —3) = 0 => a = — 17/5 ou a = 3
(1) üxv=—vxü (anti-comutativa)
(2) k.(üxv) = (k.ü)xv = üx(k.v), k e IR
(3) üxv = 0 <=> ü e v são paralelos
(4) (üxv)xw = üx(vxw) (associativa)
(5) Qx(v + w) = üxv + üxw (distributiva)
e v = T + 5 j - 2k, o produto vetorial ü x v é dado por:
ELEMENTOS DA FÍSICA
í j
üxv = (y1z2-y2z1)i+(x2z1-x1z2)j+(x1y2-x2y1)k= x, y,
x2 y2
ELEMENTOS DA FÍSICA
PRODUTO MISTO
Se ü = x,T + y1 j + z,k, v = x2I + y2 j + z2k
que é um escalar igual ao determinante da matriz
ü.(vxw) =
ALGUMAS OBSERVAÇÕES SOBRE O PRODUTO MISTO
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO
Calculando o módulo do produto misto segue que:
|Ü.(VXW)|=|Ü|.|VXW|.COS0,
V x W
9 l h /
11
Z1
z2
Z3
X! 
x2 
X3
Yi 
y2 
y3
Pela propriedade u.(vxw) = v.(wxu) = w.(üxv), o volume do paralelepípedo independe 
dos vetores que são tomados como base e do vetor que é tomado como altura.
O produto misto de três vetores consiste na combinação de produtos escalares e vetoriais na 
forma ü.(vxw). O resultado vxw será um vetor que multiplicado escalarmente por ü resultará 
em um escalar.
I. ü.(vxw)í(ü.v)xw o primeiro um escalar e o segundo um vetor.
II. ü.(vxw) = (üxv).w
III. Permutações circulares dos três vetores não modifica o produto:
ü.(vxw) = v.(wxü) = w.(üxv)
IV. A troca da ordem de dois vetores modifica o sinal do produto:
ü.(v x w) = v.(w x ü) = w.(ü x v) = -ü.(w x v) = -v.(ü x w) = -w.(v x ü)
W/í
• __Gj
V
e w = x3 i + y3 j + z3k tem-se:
onde 0 é o ângulo formado pelos vetores 
ü e vxw. Lembre que vxw é um vetor 
perpendicular ao plano formado pelos 
vetores v e w . Logo, a expressão 
|ü|cos0 pode ser interpretada como o 
módulo da projeção de ü sobre vxw . 
Como |vxw| é igual à área do 
paralelogramo formado pelos vetores ü e 
v, o produto | vxw|(|ü|cos0) pode ser 
interpretado como o volume do 
paralelepípedo formado por ü , v e w , 
como ilustrado na figura ao lado.
Ü
0/
^paralelepípedo | U. (V X W ) |
v x w = (y2z3 - y3z2)i + (x3z2 - x2z3)j + (x2y3 - x3y2 )k => 
ü.(v x w) = x1y2z3 - x1y3z2 + y1x3z2 - y1x2z3 + z^y., - z1x3y2,
ELEMENTOS DA FÍSICA
V ^tetraedro
-2= 0 + 0 - 3 +1 + 0 + 0
Portanto, o volume do tetraedro ABCD vale:
12
-7
0
ÃB.(ÃCxÃD) = 1
1 
0
|ü.(vx w)|
6
Tome três vetores ü, v e w no espaço 
de modo que as origens coincidem no mesmo 
ponto. Repare que esta configuração sempre é 
possível. A origem comum e as três 
extremidades dos vetores formam um tetraedro, 
conforme indicado na figura. O volume deste 
tetraedro é igual à um sexto do volume do 
paralelepípedo formado pelos vetores ü, v e w . 
Assim:
6
1
-3 0
|AB.(ACxAD)| |-2|_1
vtetraedro g 6 3
Por exemplo, considere no espaço os pontos A(2,1, 3), B(2, 7, 4), C(3, 2, 3) e D(1, - 2, 3). 
Deseja-se calcular o volume do tetraedro que possui A, B, C e D como vértices. Tomando A como 
origem, os vetores definidos pelos pontos são AB = (0, 6,1), AC = (1,1, 0) e AD = (-1, -3, 0). O
IAB (AC x AD) Ivolume do tetraedro ABCD é dado por Vtetraedro =------------------- — . Calculando o produto misto:
6
ELEMENTOS DA FÍSICA
INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
POSIÇÃO
Referencial Unidimensional
|sada| |chegada|
x 100 m
Referencial Bidimensional
13
+ 
o
O referencial unidimensional é o mais adequado para determinar as coordenadas de um 
corpo cujo movimento for ao longo de uma reta. Por exemplo, considere que um atleta está 
treinando para uma corrida de 100 metros, cuja trajetória é retilínea. Assim, basta um referencial 
unidimensional para determinar a posição do atleta em qualquer instante de seu movimento. A 
origem pode estar posicionada em qualquer ponto do eixo x, contudo, por simplicidade, é 
interessante posicionar a origem no ponto de largada do atleta. A direção do eixo x deve ser 
paralela à trajetória do atleta, porém o sentido do eixo x pode ser da largada para a chegada ou 
da chegada para a largada, entretanto, também por simplicidade, é mais adequado adotar o 
sentido do eixo x como sendo da largada para a chegada. Desta forma, o eixo x medirá apenas 
valores não negativos para a coordenada da posição do atleta, sendo a posição inicial dada por Xo 
= 0 e a posição final xf = 100 m.
No estudo do movimento de um corpo é necessário determinar a posição deste corpo. 
Determinar a posição significa determinar as coordenadas deste corpo em determinado instante 
de seu movimento. Porém, para determinar coordenadas é necessário definir sobre qual 
referencial estas coordenadas são medidas. Dependendo da trajetória do corpo, pose-se usar 
referenciais de uma, duas ou três dimensões.
A cinemática é a área da Física que estuda o movimento dos corpos, sem interesse nas 
causas que levaram ao movimento dos corpos. Existe um especial interesse em determinar o que 
será futuramente definida como função horária do espaço, que nada mais é do que a dependência 
que existe entre a posição do elemento e a grandeza tempo.
O referencial bidimensional deve ser adotado quando a trajetória do corpo está contida 
totalmente em um plano. O referencial bidimensional é formado por dois eixos orientados 
perpendiculares, tradicionalmente denominados de eixo x e eixo y. . Assim, as coordenadas de 
cada elemento, em um instante qualquer do movimento, é dado por um par ordenado da forma 
P(a, b), onde a é a coordenada x do ponto P e b é a coordenada y do ponto P. A origem do 
referencial é a interseção destes dois eixos. Apesar de não ser obrigatório, é normal adotar a 
origem do referencial como sendo o único ponto do plano que possui coordenadassimultaneamente nulas, ou seja, o ponto 0(0, 0).
No exemplo seguinte, um corpo está preso a uma corda, cuja outra extremidade está presa 
em um ponto do plano. O corpo então movimenta-se ao longo de uma trajetória circular. Como 
toda circunferência está contida em um plano, pode-se adotar um sistema bidimensional xy para 
determinar as coordenadas do corpo em qualquer instante de seu movimento. Por simplicidade, a 
origem do referencial, ponto 0(0, 0) deve ser colocada no centro da circunferência que é a 
trajetória do corpo.
y-1
,'"b
o a x
Referencial Tridimensional
I P(xP, yp, 4p)
O xP X
zP;
z
14
Note que, para o exemplo citado, a orientação de cada eixo é irrelevante, uma vez que o 
corpo percorrerá coordenadas positivas, negativas e nulas, nos dois eixos, ao percorrer toda a 
circunferência. Quando a orientação é irrelevante, o padrão é adotar o eixo x horizontal com 
valores crescentes da esquerda para a direita e o eixo y vertical com valores crescentes de baixo 
para cima.
Quando a trajetória do corpo não está contida em uma reta ou em um plano é necessário 
utilizar um referencial tridimensional para identificar a posição do corpo. São adotados três eixos, 
normalmente denominados x, y e z, perpendiculares entre si, conforme a figura abaixo. As 
coordenadas de cada ponto P são determinadas pelas projeções de P sobre os planos xy, xz e yz. 
Assim, cada ponto P é identificado da forma P(xP, yP, zP), onde Xp é a coordenada x do ponto P, yP 
é a coordenada y do ponto P e zP é a coordenada z do ponto P.
. P
y-
yp
Analogamente ao caso do referencial bidimensional, a interseção dos eixos é a origem do 
referencial e essa interseção ocorre, de forma geral (mas não obrigatória), nos pontos de cada 
eixo que possuem coordenada nula.
Um exemplo de movimento tridimensional é a trajetória do voo de um avião entre duas 
cidades, onde são feitas curvas em todas as direções, onde não existe nenhum plano que 
contenha a trajetória do avião.
Perceba que os casos de movimento unidimensional e bidimensional são casos 
particulares do movimento tridimensional, onde a posição do objeto em um ou dois dos eixos é 
constante.
ELEMENTOS DA FÍSICA
ELEMENTOS DA FÍSICA
VETOR POSIÇÃO
Zf
c _
P(a, b, c)
P/
r
+-T
J
a
X
VETOR DESLOCAMENTO E DESLOCAMENTO ESCALAR
As = sf - s0
15
Y
Para entender melhor a diferença entre vetor deslocamento (ou deslocamento vetorial) e 
deslocamento escalar, considere o movimento de um automóvel ao longo de uma estrada não 
retilinea, conforme a figura abaixo.
Em cada instante a posição de uma partícula pode ser dada pelas suas coordenadas 
cartesianas a, b e c, ou através do vetor posição, r , cuja origem coincide com a origem do 
referencial e cuja extremidade coincide com a posição da partícula. O vetor posição de um ponto 
P(a, b, c) pode ser escrito em função das componentes escalares e dos respectivos versores 
segundo os eixos x, y e z da forma f = a.T + b. j + c.k . Neste caso, afirma-se que a é a componente 
de r no eixo x, b é a componente de r no eixo y e c é a componente de f no eixo z.
(■---------------------------
I
i
I
I
i
I
I
I
I
k 
üj'
i
“71
' I
I
I
1
I
I
I
I
I
I
I
z^bi
i
Considere que uma partícula inicia seu movimento em um ponto A e termina em um ponto 
B. O vetor deslocamento Ar da partícula é o vetor que liga a posição inicial A à posição final B: 
Ar = fAB. Como vetor, o deslocamento admite módulo, direção e sentido. O vetor deslocamento 
independe da trajetória da partícula. Espaço é uma grandeza que define a posição do móvel sobre 
a trajetória. O deslocamento escalar é medido ao longo da trajetória, sendo igual à subtração 
entre o espaço final e o espaço inicial de um móvel.
A distância entre a posição da partícula e a origem do referencial é determinada a partir do 
módulo do vetor posição r = a.i +b.j + c.k , o que é dado pela expressão | r |= Va2 + b2 + c2 .
r ELEMENTOS DA FÍSICA
20 km30 km *
0BA
li
//
íA
i
16
-4— 
Sf So
Como o deslocamento escalar é medido ao longo da trajetória, sendo o espaço inicial 0 km 
e o final 5 km, o seu valor é As = sf-s0 = 5- 0 = 5 km.
Com relação ao deslocamento escalar é necessário destacar o que ocorre quando o móvel 
inverte o sentido de seu movimento.
Considere quatro trajetos de um móveL Primeiro saindo de A e parando em C, designado 
por A->C. No segundo trajeto o móvel sai de A, passa por C e depois retorna para B, designado 
por A-»C->B. No terceiro trajeto o móvel sai de C e para em B, designado por C->B. No quarto 
trajeto o móvel vai de A para B e depois retorna para A, designado por A->B->A. O deslocamento 
escalar de A->C é sc - sA = 30 + 20 = 50 km. O deslocamento escalar do trajeto A—>C—>B vale 30 
km, uma vez que neste trajeto sB - sA = 30 km. No terceiro trajeto, observe que o móvel se 
deslocou no sentido oposto ao da orientação do eixo. Desta forma, o deslocamento escalar no 
trajeto C-»B vale sB - sc = - 20 km. No trajeto A->B-»A o deslocamento escalar é nulo, uma vez 
que o espaço inicial e o final coincidem, ocorrendo inversão do sentido do movimento ao longo da 
trajetória
Note, pelo exemplo anterior, que o deslocamento escalar pode assumir valor positivo 
(quando sf > s0), negativo (quando Sf < s0) ou nulo (quando sf = s0). Com relação ao deslocamento 
escalar nulo, é necessário destacar que ele ocorre somente quando a posição inicial coincide com 
a posição final e, em algum momento, o móvel inverte o sentido de seu movimento. Caso um 
móvel percorra um circuito fechado, ao passar novamente pela posição inicial o deslocamento 
escalar será igual ao comprimento da trajetória, como pode ser evidenciado na figura abaixo.
Este tipo de situação é bastante comum em corridas de automóveis ou provas de atletismo 
de 400 m a 10.000 m.
O automóvel sai de um ponto A, no km 0 da estrada, e para no ponto B, no km 5. O vetor 
deslocamento é o vetor Ar que liga a posição A à posição B. Perceba que Ar independe da 
origem do referencial. Se rA = xA i + yA j + zAk e rB = xB i + yB j + zBk então:
| Ar |=| rB - rA |= 7(xB - xA )2 + (yB - yA )2 + (zB - zA )2
F ELEMENTOS DA FÍSICA
DISTÂNCIA PERCORRIDA OU ESPAÇO PERCORRIDO
1 m
Asb_j_>g = XG-xB = 3-(-2) = 5m
UNIDADES DE ESPAÇO
17
T 
c
Nos Estados Unidos uma unidade muito utilizada é a a milha. Tem-se que 1 milha 
corresponde a, aproximadamente, 1,609 metros. A polegada é uma unidade de comprimento 
muito usada em países como a Inglaterra, e sua medição possui uma relação com o centímetro, 
de forma que 1 polegada corresponde a 2,54 centímetros. Na aviação verifica-se uma unidade 
usada na determinação de altura, o pé. Quando um avião precisa informar a sua altura ele utiliza 
essa unidade comunicando aos passageiros e informando a torre de comando a sua altitude 
correta. Por exemplo, um avião que se encontra a 10.000 pés de altitude está a 304.800 cm, que 
corresponde a 3048 metros. Dizemos que 1 pé corresponde a 30,48 centímetros.
No sistema internacional de unidades (SI) o espaço é medido em metros, cujo símbolo é m. 
Assim, se um móvel percorreu um espaço d de dezessete metros, simbolicamente, deve-se 
escrever que d = 17 m.
Em alguns casos medir o espaço em metros não é prático. Por exemplo, a distância em 
linha reta entre Belém e Brasília é 1.469.960 m. Neste caso, é adequado adotar um múltiplo do 
metro, que é quilômetro, onde 1 km = 1000 m. Deste modo, a distância entre Belém e Brasília 
pode ser escrita como sendo 1.469,96 km.
Perceba que existe uma sensível diferença entre a distância percorrida e o deslocamento 
escalar para este movimento. O deslocamento escalar leva em consideração apenas o espaço 
inicial e final:
Tome como exemplo o movimento unidimensional abaixo, onde a partícula inicia o 
movimento no ponto B, de posição - 2 m, vai em direção ao ponto J, de posição 6 m, e depois 
finaliza o movimento no ponto G, de posição 3 m.
Quando um corpo descreve um movimento retilíneo, sem inversão de sentido, a distância 
percorrida coincide com o valor do deslocamento.
Enquanto que no deslocamento(escalar ou vetorial) consideramos apenas a posição (ou 
espaço) final e a inicial, para calcularmos a distância percorrida nos preocupamos com a trajetória 
do móvel. Na verdade, a distância percorrida é igual ao comprimento da trajetória da partícula.
T
D
O
E 
1
T 
I 
5
I
A
-3
T
F
2
I
G
3
1 
H 
4
I
J
6
T
K
7
I
L
8
Por outro lado, distâncias muito menores que um metro devem ser descritas usando os 
submúltiplos centímetro (cm) ou milímetro (mm). Por exemplo, é mais prático afirmar que a largura 
de um celular é 5 cm do que 0,05 m. Para feitos de conversão, tem-se que 1 cm = 0,01 m e 1 mm 
= 0,001 m.
I
B 
-2
Deste modo, a distância percorrida pela partícula neste movimento de ir de B ao ponto J e 
depois de J ao ponto G vale:
^percorrida = BJ + JG =| Xj - XB | + | XG - Xj |=| 6 - (-2) | + |3-6|=8 + 3 = 11m
ELEMENTOS DA FÍSICA
VELOCIDADE MÉDIA
GOIÁS
MINAS GERAISRio Verde
f
Ribeirí Pretl
SÃO PAULO
Ca\npii
>ARANÁ
deste movimento é definido como sendo:
18
ESPÍRITO 
SANTO
Ilhéus
Goiânia 
o
*AB
At
A) 
(j/aulo
intos
Porto Segur-
Vitória
Belo Horizonte 
o o 
Belim
São José do 
Rio Preto
Maringá o
° Londrina
Assim, se rA = xA i + yA j + z
Suponha que um carro se desloca de São Paulo a Brasília em 12 horas, utilizando 
estradas que tornem a viagem mais rápida. Suponha que o odômetro do carro indique que o 
mesmo percorreu uma distância de 1005 km. Sabe-se que a distância em linha reta entre São 
Paulo e Brasília é 873 km, como indicado no mapa abaixo.
Suponha que em um determinado referencial, São Paulo seja representada pela posição 
inicial A e Brasília pela posição final B. Assim, rAB é o vetor que liga as posições A e B, também 
denominado de vetor deslocamento. Pelo mapa, fica bem claro que o módulo do deslocamento 
vetorial é de | rAB | = 873 km, enquanto que o deslocamento escalar (que neste caso coincide com 
a distância percorrida) é de As = 1005 km.
RIO DE 
JANEIRO
Rio de Janeiro
o
Vitória da 
Conquista
e rB = xB i + yB j + zBk então::Ak
vm
O vetor velocidade média vm
(B)
Brà/ília
O módulo do vetor velocidade média é | vm |= ' L Desta forma, o módulo da velocidade 
vetorial média da viagem de São Paulo a Brasília é | vm |= =
070
= 72,75 km/h.
vm
Uberlândia
Pres. Prudente
(xB-xA) j , (Ys-Ya)] +
At At J
Sal 
° c, 
Sorocaba sar
(zb ~za) p 
At
ELEMENTOS DA FÍSICA
UNIDADES DE VELOCIDADE
Esquematicamente:
dividir por 3,6
km/h m/s
multiplicar por 3,6
1 mph = 1,609 km/h.
Na navegação a velocidade é normalmente medida em nós, cuja conversão para km/h é
1 nó = 1,852 km/h.
19
As
At
O resultado vm >| vm | já era esperado, uma vez que em qualquer movimento o espaço 
escalar apresenta módulo maior ou igual à variação do vetor posição.
Outras unidades de velocidade, não pertencentes ao SI, são utilizadas em alguns países 
ou áreas específicas. Nos Estados Unidos e na Inglaterra a indicação da velocidade nos 
velocímetros dos automóveis é em milhas por hora (mph), cuja equivalência para km/h é:
No sistema internacional de unidades a velocidade é medida em m/s. Outra unidade muito 
utilizada, principalmente em automóveis, é km/h. Para efeito de conversão:
3600 km
103 ”h~
. m .1 — = 1 
s
A velocidade escalar média é definida como a razão entre o deslocamento escalar e o 
tempo total gasto para percorrer tal espaço. A equação a seguir define essa grandeza:
Deste modo, para a viagem de São Paulo a Brasília, a velocidade média escalar foi de 
As 1005 ..— =-------= 83,75 km / h .
At 12
vm
vm
„ „ km= 3,6— 
h
10'3km
-U 
3600
ELEMENTOS DA FÍSICA
VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Vinst(t)
20
É bastante comum estarmos no interior de um veículo e observarmos um instrumento 
localizado no painel de instrumentos denominado velocímetro. Este instrumento indica a 
velocidade instantânea do veículo. A figura abaixo representa um velocímetro analógico, comum 
em carros, onde a o ponteiro está apontando a velocidade instantânea do veículo. No caso da 
imagem abaixo, o velocímetro está indicando a velocidade de 10 km/h.
Utilizando o operador matemático denominado limite, pode-se escrever a definição de 
velocidade instantânea de outra maneira:
Este tipo de limite é a definição de derivada da função que está no numerador em função 
da variável que está no denominador. Logo, pode-se afirmar que a velocidade instantânea é 
derivada do espaço s(t) no tempo t:
d[s(t)]
dt
Considere agora uma situação problema em que se deseja determinar a velocidade 
instantânea de um móvel em que não se tem acesso ao velocímetro do mesmo. Esta velocidade 
instantânea deve ser determinada usando apenas dados do movimento do móvel, como espaço
As percorrido e tempo. Para tanto, pode-se utilizar a definição de velocidade média:
Suponha que o móvel se movimenta com velocidade variável em um intervalo de tempo At. 
Considere apenas o movimento do móvel desde instante t até o instante t + At' (com t + At' < At), 
quando At' é muito pequeno. Como At' é infinitesimal, a velocidade praticamente não varia no 
intervalo considerado, permitindo que se considere que a velocidade instantânea no instante t é 
igual à velocidade média no intervalo At'. Desta forma, se s(t) é a equação horária do espaça, ou 
seja, como o espaço varia em função do tempo, pode-se escrever que a velocidade no instante t 
vale:
vlnst(t) -
... .. s(t + At)-s(t) 
vinst(t) = Ijm —---- t;---- —At—>0 At
— * 4?)—qUancj0 At é infinitesimal
ELEMENTOS DA FÍSICA
v(t)
v(t) = 3t2 — 4t (SI)v(t) =
v(2) = 3.22 - 4.2 = 12 - 8 = 4 m/s
v(t)
Assim.se r(t) = x.i + y.j+z.k a velocidade vetorial é dada por
v(t) = vx.i + vy.j +vz.k
A velocidade vetorial instantânea vale:
v(t)
Deste modo, o vetor velocidade instantânea para t = 1 s vale:
v(1) = 4.I+ 8.j-1O.k m/s
■MM
21
A expressão da velocidade instantânea, que até agora foi escrita apenas na forma escalar, 
também pode ser escrita de forma vetorial:
Para determinar a velocidade, por exemplo, no instante t = 2 s, basta substituir na 
expressão da velocidade t = 2:
A partir de agora, neste livro, a velocidade instantânea será designada apenas por v, 
bastando apenas indicar o instante em que a velocidade deve ser calculada.
Por exemplo, suponha que o vetor posição é dado em função do tempo t pela expressão: 
r(t) = (2t2 -1)7 + (5t4 - 2t3 +12 - 8t +10)j + (-6t3 -12 +10t + 9).k (SI)
d[r(t)] 
dt
d[s(t)]
dt
d(t3 - 2t2 +1) 
dt
v(t)==d(xT+yi++éz ]+—k
1 ' dt dt dt dt J dt
Por exemplo, suponha que a função horária do espaço, de um movimento unidimensional, 
seja s(t) = t3 - 2t2 + 1 (com todas as unidades no SI). A velocidade, em função do tempo, é 
determinada derivando a expressão do espaço no tempo t:
As parcelas —, — e — são iguais às componentes da velocidade em cada eixo: 
dt dt dt
= d[r(t)] = d(2t2 -1) r + d(5t4 - 2t3 +12 - 8t +10) -r + d(-6t3-t2+10t + 9) 
dt dt '+ dt J + dt
v(t) = (4t)T + (20t3 - 6t2 + 2t - 8)j + (-18t2 - 2t +10)k m/s
Assim.se
ELEMENTOS DA FÍSICA
VELOCIDADE RELATIVA
Movimento Unidimensional
A
C
B
=1 vB | + | vc |
22
Portanto, a velocidade relativa entre dois móveis que se movem ao longo de uma mesma 
reta em sentidos contrários é igual à soma dos módulos das velocidades.
Note que o mesmo resultado seria encontrado se fosse adotado um eixo x" que tivesse 
como origem o carro C, com orientação da esquerda para a direita e se movimentasse com 
velocidade vc. A velocidade que x" mediria de B seria:
O sinal negativo é devido à orientação do eixo x', que é da esquerda para a direita, 
enquanto que o carro C se desloca em sentido dos valores negativos de x'.
É assim que se determina a velocidade relativa entre dois móveis que não estão em 
repouso. Adota-se a posição de um dos móveis, digamos B, como origem e a velocidade do 
referencial x' sendo igual à velocidade do móvel B. A velocidade relativa entre B e C é igual ao 
módulo da velocidade v'c que o referencial x' mede de C.
I Asbc | _ | vB 1 -At+1 vc | .At
At At
Como o observador A está sentado, afirma-se que A é solidário ao solo, ou seja, não se 
movimenta com relaçãoao solo. Deste modo, a pessoa A e o solo medem as mesmas 
velocidades de qualquer móvel, incluindo os carros na estrada. Portanto, um referencial x solidário 
ao solo e com origem em A mede velocidade vB para B e velocidade vc para C, as mesmas 
velocidades indicadas pelos velocímetros dos carros, que é a velocidade dos carros em relação 
ao solo no instante considerado. Devido ao movimento de aproximação, B tem a impressão que a 
velocidade de C possui módulo maior que | vc |. Isso ocorre porque os referenciais x e x' medem 
velocidades diferentes de qualquer móvel.
No item sobre velocidade instantânea verificou-se que se At tende a zero pode-se 
considerar que a velocidade é constante nesse pequeno intervalo de tempo. Desta forma, em um 
certo intervalo de tempo At infinitesimal, o carro B percorre uma distância | vB | .At e o carro C 
percorre uma distância | vc | .At. Como os carros se movimentam em sentidos contrários, a 
distância entre B e C diminuiu em AsBC =| vB |.At+|vc |.At. É exatamente essa distância que o 
carro B mede que o carro C andou no intervalo At. Assim, o referencial x', orientado conforme a 
figura, que se movimenta ao longo da estrada com velocidade vB , medirá que a velocidade de C 
vale:
vc
vB
v"b
Vc
Considere a situação em que uma pessoa A está sentada a beira de uma estrada, em um 
trecho retilíneo, observando os carros se movimentando. A observa o movimento de dois carros, B 
e C, que se movimentam nessa estrada em sentidos contrários.
I x
, | Asbc | | vB | .At+ | vc | .At .._ . ._ ..v c =-k-7e-1 = ---- = -(I vB | +| vc |)
At At
Vbc =|v’c 1=1 VB | + |vc I
vbc=|v"b H vb | + | vc I
c
 VBC =1 VB I + I vc I
B
A
B C
O módulo desta velocidade é a velocidade relativa entre os carros B e C:
v,
23
x’—►
X 
—►
Em resumo, se dois móveis se movem ao longo de uma mesma reta em sentidos 
contrários, a velocidade relativa entre eles é igual à soma dos módulos das velocidades, enquanto 
que se dois móveis se movem ao longo de uma mesma reta no mesmo sentido, a velocidade 
relativa entre eles é igual ao módulo da subtração dos módulos das velocidades
Analogamente ao caso anterior, em um certo intervalo de tempo At infinitesimal, o carro B 
percorre uma distância | vB | .At e o carro C percorre uma distância | vc | .At. Porém a similaridade 
acaba por aí, pois como os carros agora se movimentam no mesmo sentido, a distância entre B e 
C diminuiu em AsBC =| vc | .At-1 vB | .At. É exatamente essa distância que o carro B mede para o 
deslocamento do carro C em um intervalo At. Perceba que se | vc |>| vB | então a distância entre 
os carros aumenta. Se | vc |<| vB | a distância entre os carros diminui. Se | vc |=| vB | a distância 
entre os carros se mantém constante.
Um referencial x' com origem em B, orientado conforme a figura, que se movimenta ao 
longo da estrada com velocidade vB , medirá que a velocidade de C vale:
Assim, a velocidade relativa entre dois móveis que se movem ao longo de uma mesma 
reta no mesmo sentido é igual ao módulo da subtração dos módulos das velocidades.
Suponha agora que os móveis B e C estão se movimentando na estrada em um mesmo 
sentido. A pessoa A continua sentada na beira da estrada.
A velocidade relativa entre os móveis B e C também pode ser definida como o módulo da 
velocidade que o eixo x" mede do móvel B:
Exatamente o mesmo resultado é encontrado caso os móveis estejam com velocidades em 
sentidos contrários, porém se afastando, conforme a figura abaixo.
vB
Vc
vB
bc =|v’c |=|| vB |-| vc ||
vc
vB
. Asnr I Vr I .At-1 Vo I .At , , , , V'c=-C' B' =|VC|-|VB|
87~............. . -......
ELEMENTOS DA FÍSICA
ELEMENTOS DA FÍSICA
Movimentos em mais de uma dimensão
P
f
?z‘ \
r' ' o O
X
y’
0
cDerivando essa expressão no tempo obtém-se:
24
O'
Considere os móveis O e P, que se movimentam no espaço. O referencial O'x'y'z' é 
considerado estático em relação ao solo. Neste referencial, no instante considerado, o vetor 
posição de O é r’0 e o vetor posição de P é r1, conforme indicado na figura.
Como os eixos não possuem movimento de rotação, as derivadas acima são interpretadas 
como as velocidades de translação:
Desta forma, a velocidade relativa entre dois móveis, medida por um referencial estático, é 
a subtração vetorial de suas velocidades. Portanto, se os móveis A e B se movimentam no espaço, 
com posições medidas em relação a um referencial estático Oxyz, a velocidade relativa entre os 
móveis A e B é dada por:
Note que este resultado concorda com a análise realizada sobre a velocidade relativa em 
movimento unidimensional, uma vez que se dois vetores possuem mesma direção e sentido (caso 
de móveis se aproximando) o módulo do vetor subtração é a subtração dos módulo, enquanto se 
os vetores possuem mesma direção e sentidos opostos (caso de móveis se afastando) o módulo 
da subtração dos vetores é a soma dos módulos.
\
Deseja-se determinar a velocidade relativa entre os móveis O e P. Para tanto, suponha 
que o referencial Oxyz possui o ponto O como origem e se desloca no espaço com a mesma 
velocidade v'o do ponto O, medida por O'x’y'z'. Adote também que os eixos Ox, Oy e Oz não 
possuem movimento de rotação em torno de O. Observando os vetores, conclui-se que:
^AB
d(f’) =d(r) t d(f'o) 
dt dt dt
-vB= vA
v = v'-v'ov' = v + v'o
ELEMENTOS DA FÍSICA
COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
em relação ao vento
9/
Lembrando da regra do módulo da soma vetorial, tem-se que:
|.COS0
25
Outras aplicações da composição de movimentos são a travessia de um rio por uma 
pessoa a nado ou sobre um barco motor ou o movimento de uma pessoa dentro de um meio de 
transporte em movimento, como um barco ou um ônibus.
Em determinadas situações um móvel pode estar se movimentando imerso ou apoiado em 
um meio que também esteja se movimentando, ambos os movimentos medidos em relação a 
mesmo referencial. Por exemplo, considere o vôo de um avião entre duas cidades. O avião possui 
uma velocidade em relação ao vento, que por sua vez também está se movimentando em relação 
ao solo. A figura abaixo mostra a vista superior de uma possível configuração das velocidades do 
avião em relação ao vento e do vento em relação ao solo.
Neste tipo de situação, a velocidade resultante do móvel em relação a um referencial 
solidário ao solo é o resultado da soma vetorial da velocidade do móvel em relação ao meio e da 
velocidade do meio em relação ao solo. Desta forma, para determinar a velocidade resultante vR 
é necessário utilizar a regra do paralelogramo, conforme a figura abaixo.
I Vr l-l ^avião I2 + I Vvento
V M v avião
^avião
l -l Vvent0|2 +2| Vaviâo
9" V ventoVr - Vavião
ELEMENTOS DA FÍSICA
CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO QUANTO À VELOCIDADE
No movimento progressivo tem-se a velocidade escalar positiva: v > 0
No movimento retrógrado a velocidade escalar é sempre negativa: v < 0
Vvy
4
Vx
26
>
X
Movimento Retrógrado
Um movimento é classificado como retrógrado quando o móvel se movimenta no sentido 
contrário da orientação da trajetória. No exemplo abaixo, a motocicleta percorre a estrada no 
sentido inverso ao do crescimento da quilometragem.
Os conceitos de movimentos progressivos ou retrógrados também podem ser transferidos 
para os movimentos bi ou tridimensionais.
Por exemplo, no movimento bidimensional da figura acima o móvel se movimenta de modo 
que a componente x de sua velocidade está na mesma orientação do eixo x, enquanto que a 
componente y está no sentido inverso da orientação do eixo y. Assim, para o instante considerado, 
a projeção do movimento no eixo é classificada como progressiva, porém a projeção do 
movimento no eixo y é classificada como retrógrada.
km 
20
km
33
km 
21
km
34
Movimento Progressivo
Um movimento é classificado como progressivo quando o móvel se movimenta no mesmo 
sentido da orientação da trajetória. No exemplo abaixo, a motocicleta percorre a estrada no 
mesmo sentido do crescimento da quilometragem.
ELEMENTOS DA FÍSICA
MOVIMENTO UNIFORME
Equação Horária do Espaço da MU
V VSSo
s = s0 + v.tV =
MU bi ou tridimensional
r = r0 + v.t
27
A equação horária do espaço do movimento uniforme também é válida quando as 
grandezas espaço e velocidade são dadas de forma vetorial. Neste caso, é necessário que o 
movimento seja retilíneo. Essa condição é necessária para garantir que o vetor velocidade se 
mantenha constante, além do módulo, em direção e sentido. Assim, se r0 é a posição inicial do 
móvel e v seu vetor velocidade (assumido constante devido ao movimento ser uniforme) segue 
que o vetor posição r em um instante qualquer t é dado por:
Um movimento é classificado como uniforme quando a velocidade escalar é constante 
durante toda a trajetória. É importante ressaltar que o movimento uniforme independe da trajetória. 
Assim, é possível que um movimento em trajetória retilínea seja uniforme, do mesmo modo que 
um movimento circular também pode ser uniforme, bastando que a velocidade escalar seja 
constante.
As
ÃF
s-s0
t
Determinar uma equação horária é expressar uma variável em função do tempo. Podem 
até surgir outras grandezas físicas na expressão, desde que sejam constantes. No caso da 
equação horária do espaço, a posição s do móvel será determinada em função da variável tempo t.
Suponha que o móvel parta da posição inicial s0 com uma velocidade escalar constante v. 
Pelo fato da velocidade escalar ser constante, então a velocidade média é igual à velocidade 
escalar:
Observações:
1) A grandeza velocidade escalar deve ser substituída na equação horária do espaço levando em 
consideração seu sinal. No exemplo da figura acima o móvel está se movimentando no mesmo 
sentido da orientação do eixo, ou seja, o movimento é progressivo e portanto v > 0. Entretanto, 
caso o móvel estivesse se movimentando no sentido contrário ao da orientação do eixo o 
movimento seria classificado de retrógrado e v < 0.
2) Se o móvel iniciar seu movimento a partir da origem tem-se s0 = 0.
3) As unidades de todas as grandezas devem substituídas da equação dentro de um mesmo 
sistema de unidades. Assim, se a velocidade for dada em metros por segundo, o espaço será 
medido em metros e o tempo em segundos. Caso a velocidade seja medida em quilômetros por 
hora o espaço será medido em quilômetros e o tempo em horas.
4) A equação s = s0 + v.t é válida para qualquer trajetória, bastando que o movimento seja 
uniforme.
vm
Gráficos do MU
s s
So So
e
So
*t *t0 00
Gráfico s x t do MU para v < 0 Gráfico s x t para v = 0Gráfico s x t do MU para v > 0
v
v
*t0
Gráfico v x t do MU
v
velocidade
V
*t0 ti t2
A = As
28
Na cinemática dois gráficos possuem especial importância, que são os gráficos da 
dependência do espaço pelo tempo e o gráfico da dependência da velocidade pelo tempo.
Caso os eixos sejam feitos na mesma escala, ou seja, uma unidade de comprimento 
possua a mesma medida no gráfico que uma unidade de tempo, a tangente da inclinação 0 da 
reta com a horizontal (explicitado no 1a gráfico) é igual à velocidade escalar v: tg 0 = v.
Gráfico v x t
Como a velocidade escalar é constante no MU, o gráfico da dependência da velocidade 
pelo tempo é uma reta horizontal.
numericamente igual ao deslocamento do móvel, 
informação será demonstrada no próximo capítulo, 
especificamente no item sobre movimentos não uniformes.
Gráfico s x t:
Como s = s0 + vt segue que o gráfico de s x t é uma reta, cuja inclinação depende do sinal 
de v. Além disso, o ponto onde a reta intercepta o eixo s é a posição inicial s0 do móvel.
s
ELEMENTOS DA FÍSICA
Em um gráfico velocidade versus tempo, 
independentemente se o movimento é uniforme ou não, a área 
compreendida entre a linha do gráfico e o eixo do tempo é 
Essa 
mais
ELEMENTOS DA FÍSICA
c) 800 m e)1100 m
ii) t2 ^2
c) 08h30 min e 510 km.
x2 = x2
29
X ->
V, 
—►
L
0, para 0 < t < 5h 
720-60(t-5), para 5h<t<12h
b) 15h30 mine 220 km. 
e) 15h30 min e 498 km.
x
40
1 1 1
60 + 40 + 20
Curitiba
720 km
150 + L
50
3
2 + 3 + 6
120
ER1) (Espcex-16) Um trem de 150 m de comprimento se desloca com velocidade escalar 
constante de 16 m/s. Esse trem atravessa um túnel e leva 50 s desde a entrada até a saída 
completa de dentro dele. O comprimento do túnel é de: 
a) 500 m b) 650 m c) 800 m d) 950 m
Solução: Alternativa B
De modo a atravessar todo o túnel, o trem deve percorrer uma distância igual à soma do 
comprimento do trem e do túnel.
v = — => 16 = 150 + L => 800= 150+L => L = 650 m
At
Vm
t3 = —
3 20
— = 32,72 km/h 
11
iii) t3= —
V3
ER3) (ITA-85) Um ônibus parte do Rio de Janeiro para Curitiba às 7 horas da manhã; às 12 horas 
parte outro ônibus de Curitiba para o Rio. Percorrem os 720 km entre as duas cidades em 12 
horas. A hora e a distância do Rio de Janeiro que os ônibus se encontram, são, respectivamente: 
a) 08h30 min e 220 km. 
d) 15h30 min e 510 km.
Solução: Alternativa D
Rio de 
Janeiro 
GMV
A velocidade média de cada ônibus vale vm = — = = 60 km/h
m At 12
Assim, a velocidade escalar de cada ônibus, em função da orientação do eixo da figura, vale Vt = 
60 km/k e v2 = - 60 km/h
A equação horária do espaço do ônibus que vai do Rio de Janeiro à Curitiba é
Xi = X01 + v,t = 0 + 60t = 60t, para 0 < t < 12 h, t contado a partir das 7 h
Como o ônibus que vai de Curitiba ao Rio de Janeiro sai 5 horas depois, sua posição vale:
0, para 0<t<5h
xo2 +v2(t-At), para At<t<12h
No ponto de encontro as posições das partículas são iguais:
Xi = x2 => 60t = 720 - 60(t - 5) => 60t = 720 - 60t + 300 => 120t= 1020 => t = 8,5h => 
t = 8 h 30 min
Desta forma, o ponto de encontro ocorre às 7 h + 8h 30 min = 15 h 30 min
ER2) (Fuvest-16) Um veículo viaja entre dois povoados da Serra da Mantiqueira, percorrendo a 
primeira terça parte do trajeto à velocidade média de 60 km/h, a terça parte seguinte a 40 km/h e o 
restante do percurso a 20 km/h. O valor que melhor aproxima a velocidade média do veículo 
nessa viagem, em km/h, é 
a) 32,5 b) 35 c) 37,5 d) 40 e) 42,5
Solução: Alternativa A
Suponha que a distância entre os dois povoados é 3x. Assim, o tempo decorrido para preencher 
cada terço do trajeto vale:
.. . x . x .... x
"'■-í; ’ *’-6õ
Logo, a velocidade média nessa viagem vale: 
3x 3/ _____ 3
ti + t2+t3 X + X + 2Í 1 • 1 
60 40 20 40
r ELEMENTOS DA FÍSICA
Correnteza
Trajetória do Bote
[E] 14 m/s[C] 8 m/s
30
formam um triângulo 
| = 10 m/s
2
4
A distância do ponto de encontro ao Rio de Janeiro: 
x, = 60.(8,5) = 510 km
ER6) (ITA-09) Na figura, um ciclista percorre o trecho AB com velocidade escalar média de 
22,5km/h e, em seguida, o trecho BC de 3,00km de extensão. No retorno, ao passar em B, verifica 
ser de 20,0 km/h sua velocidade escalar média no percurso então percorrido, ABCB. Finalmente, 
ele chega em A perfazendo todo o percurso de ida e volta em 1,00h, com velocidade escalar 
média de 24,0km/h. Assinale o módulo v do vetor velocidade média referente ao percurso ABCB.
1
10
2 
^3
margem
Desenho Ilustrativo
[D] 10 m/s
2 
^3t2 t.
ER5) (Espcex-10) Um bote de assalto deve atravessar um rio de largura igual a 800m, numa 
trajetória perpendicular à sua margem, num intervalo de tempo de 1 minuto e 40 segundos, com 
velocidade constante. Considerando o bote como uma partícula, desprezando a resistência do ar 
e sendo constante e igual a 6 m/s a velocidade da correnteza do rio em relação à sua margem, o 
módulo da velocidade do bote em relação à água do rio deverá ser de: 
margem
retângulo: |vbote
800 o , ----- = 8 m/s 
100 
e vri0
I ^bote=> I Vbote
[A] 4 m/s [B] 6 m/s
Solução: Alternativa D
ER4) (ITA-09) Um barco leva 10 horas para subir e 4 horas para descer um mesmo trecho do rio 
Amazonas, mantendo constante o módulo de sua velocidade em relação à água. Quanto tempo o 
barco leva para descer esse trecho com os motores desligados?
a) 14 horas e 30 minutos.
b) 13 horas e 20 minutos.
c) 7 horas e 20 minutos.
d) 10 horas.
a) Não é possível resolver porque não foi dada a distância percorrida pelo barco.
Solução: Alternativa B
Sejam vb a velocidade do barco em relação a água e v,a velocidade da correnteza do rio.
Assim,pode-se afirmar que:
Subida: L = (vb — vr).t.
Descida: L = (vb + vr).t2
Motor desligado: L = vr.t3
L L _ 2LLogo: -—- = vb + vr - vb+vr = 2vr = — 
l2 T1 l3
t3= 13,33 h => t3=13he20min
Para determinar a direção em que o bote vai se deslocar em relação à 
margem é necessário fazer a soma vetorial da velocidade do 
correnteza com a velocidade do bote em relação à água, como 
□te indicado na figura ao lado. Inicialmente, vamos calcular o módulo da 
\ velocidade resultante do bote: | vR |= =
Como os módulos dos vetores vR, vbote 
t2=|vR|2+|vri0|2 => | vbote |2=64 + 36 = 100 =>
ELEMENTOS DA FÍSICA
c
A B
c) v= 20,0km/h. d) v= 20,00km/h. e) v = 36,0km/h.
I) No trecho ABCBA: vm = 24 =
II) No trecho ABCB: vm = => AtABCB = 0,75 h20 =
•ABCB
28v,
(!)
(2)
31
A
Considere inicialmente um referencial x'y' que se desloca de A para B com a mesma velocidade 
dos trens. Neste referencial, a velocidade dos trens que estão indo de A para B é zero, fazendo 
com que a distância que o pedestre percorre de A para B, medido por x'y', é 28x (lembre que 
existe um trem em A e outro em B).
ER7) (Escola Naval-87) Duas estações A e B, que distam entre si 6 km, estão ligadas por uma 
estrada de ferro de linha dupla. De cada uma das estações partem trens de 3 em 3 minutos. Os 
trens trafegam uniformemente com velocidade iguais. Um pedestre percorre, com velocidade 
constante a estrada. No momento em que ele passa por A. vê um trem que parte para B e outro 
que chega de B. No momento em que o pedestre passa por B, vê um trem que parte para A e 
outro que chega de A. Contando com esses quatro trens com os quais se encontrou nas duas 
estações, o pedestre passou por 29 trens que seguiram no mesmo sentido que ele e por 33 que 
iam em sentido contrário. A velocidade dos trens, em km/h, era: 
a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
Solução: Alternativa A
Como as velocidades de todos os trens são iguais e os mesmos partem a cada 3 minutos = 1/20 h, 
a distância x entre cada trem é igual e vale x = vt.At = km / h .
32x
Como a velocidade do pedestre em x"y" vale vp + vt: vp + vt =
Como a velocidade do pedestre em x'y’ vale vt - vp: vt - vp =
32vt
20 8v.vp
6 30
vp
28x 2Q 7vtvp
6 30
vp
Suponha agora um outro referencial x"y" que se desloca de B para A com velocidade vt. Neste 
referencial, a velocidade dos trens que estão indo de B para A é zero, fazendo com que a 
distância que o pedestre percorre de A para B, medido por x''y", é 32x (lembre que existe um trem 
em A e outro em B).
a) v= 12,0km/h. b) v = 12,00km/h.
Solução: Alternativa A
ABCBA 2(AB + BC)
At " 1 “■
AB + BC =12 km, que implica que a distância AB vale 9 km.
ÃB + 2.BC 2Q = 15
A1abcb AtABCB
III) Quando se trata do módulo do vetor velocidade média, o que interessa é o deslocamento:
|vm|= - AB = 9 - = 12km/h
AtARCR 0,75
Dividindo (1) e (2): 8vt - 8vp = 7vt + 7vp vt = 15vp (3)
=> vt = 60 km/hvt-vp =
c) 390 m/s
4000 m I
AÍ 3000 m
At + Íqb — tpB + tpQ =>
= 7,125 => vA = 421,05 m/s=> 4,0 + 12,5 = 15,625 +4,0 +
h = 160 mC
h|A
1360 m
BA
t =>x
680x
P
32
T“
I*
B 
i 
*!
7
8
◄--------- ►<
680-x
a) 5,00
b) 4,00
c) 17,5
d) 18,0
e) 14,4
!h^Vv
5000
320
4000
320
7v?
30.15
v.~vp
Vt+Vp
Substituindo (3) em (1): 
7v,vp 
30
ER9) (ITA-91) A figura representa uma vista aérea de um trecho retilíneo de ferrovia. Duas 
locomotivas a vapor, A e B, deslocam-se em sentidos contrários com velocidades constantes de 
50,4 km/h e 72,0 km/h, respectivamente. Uma vez que AC corresponde ao rastro da fumaça do 
trem A, BC ao rastro da fumaça de B e que AC = BC, determine a velocidade (em m/s) do vento. 
Despreze as distâncias entre os trilhos de A e B.
Pelo Teorema de Pitágoras segue que PB = 5000 m 
Sejam:
tpB = tempo que o som percorre a distância PB 
tpQ = tempo que o avião percorre a distância PQ 
íqB = tempo que o som percorre a distância QB 
At = diferença de tempo que B percebe entre os sons 
emitidos em P e Q.
Deste modo, tem-se:
Solução: Alternativa A
vt-A = 
' 15
ER8) (ITA-94) Um avião voando horizontalmente a 4000 m de altura numa trajetória retilínea com 
velocidade constante passou por um ponto A e depois por um ponto B situado a 3000 m do 
primeiro. Um observador no solo, parado no ponto verticalmente abaixo de B, começou a ouvir o 
som do avião, emitido em A, 4,00 segundos antes de ouvir o som proveniente de B. Se a 
velocidade do som no ar era de 320 m/s, a velocidade do avião era de: 
a) 960 m/s b) 750 m/s c) 390 m/s d) 421 m/s e) 292 m/s
Solução: Alternativa D
I) Convertendo de km/h para m/s:
vA = 50,4 Km/h = 14,0 m/s
vB = 72,0 km/h = 20,0 m/s
II) No mesmo tempo em que o trem B percorre a 
distância de 680 + x, o trem A percorre 680 - x:
680-x_680 + x
vA " vB
20,0(680 - x) = 14,0(680 + x) =>
3000 
vA
r ... - .
ELEMENTOS DA FÍSICA
13600 - 20,Ox = 14,Ox + 9520 => x = 120 m
III) Teorema de Pitágoras em ACPM: CP = Vx2 +h2 =Vl202 +1602 = 200,0 m
14v, _ 7v2
15 ”30.15
3000 
+--------
vA
A, QB PB PQ
Vs Vs VA 
3000
VA
ELEMENTOS DA FÍSICA»•
vv = 5,00 m/s=> vv
v
c) V (V — Vs) / (V2S — V2).
(1)
■J4k2v2+(v-vs)2 = 2kvs + (v - vs)
L-x-yyX
33
a) Vs (V - Vs) / (V2 - V2S).
d) Vs (V + Vs) / (V2 - V2S).
Solução: ALTERNATIVA: A
ER11) (ITA-88) Três turistas, reunidos num mesmo local e dispondo de uma bicicleta que pode 
levar somente duas pessoas de cada vez, precisam chegar ao centro turístico o mais rápido 
possível. O turista A leva o turista B, de bicicleta, até um ponto x do percurso e retorna para 
apanhar o turista C que vinha caminhando ao seu encontro. O turista B, a partir de x continua a pé 
sua viagem rumo ao centro turístico. Os três chegam simultaneamente ao centro turístico. A 
velocidade média como pedestre é v-i, enquanto que como ciclista é v2. Com que velocidade 
média os turistas farão o percurso total ?
Solução:
 
1 + —
vs
Z + X 
y
Vs
Z + X 
y
V
2
I +1 4k2v2
vs
IV) Note que a direção da velocidade do vento coincide com direção do segmento que liga o ponto 
P de encontro dos trens ao ponto C. Perceba também que o triângulo CPB é semelhante ao 
triângulo formado por vv e vB : 
vv CP 20,0.200— = = => vv =------------
vB PB 800
ER10) (ITA-07) Considere que um tiro de revólver, a bala percorre trajetória retilínea com 
velocidade V constante, desde o ponto inicial P até o alvo Q. Mostrados na figura, o aparelho M, 
registra simultaneamente o sinal sonoro do disparo e c do impacto da bala no alvo, o mesmo 
ocorrendo com o aparelho M2. Sendo Vs a velocidade do som no ar, então a razão entre as 
respectivas distâncias dos aparelhos M, e M2 em relação ao alvo Q é 
T M2 
i 
I
_ _ jx9°°_
P Ml Q
b) Vs (Vs - V) / (V2 - V2S).
e) Vs (V - Vs) / (V2 + V2S).
A linha pontilhada representa a trajetória do ciclista. Deseja-se determinar vm = —
+ y2
Sejam: x = QM, , y = PM, e z = QM2 . . . xDeseja-se encontrar k = — .
y
Segundo o enunciado, o tempo que o som percorre a distância z é igual à soma do tempo que a
bala percorre z + x e do tempo que o som percorre a distância x:
z z + x x 2xv z + x . 2v ...— =------ + — => z + x =--------- => ------ = k--------- (1)
vs v vs v-vs y v-v5
Também segundo o enunciado, o tempo que o som percorre a distância PM2 é igual à soma do 
tempo que a bala percorre a distância z + x e do tempo que o som percorre a distância y:
___ V~Vs , 1
V Vs
vs(v —vs) 
v2-v2
7(z + x)2 + y" z + x + y 
vs v vs
74k2v2 +(v-vs)2 2k 1
vs(v-vs) ~v-vs vs
Elevando ao quadrado essa última expressão: 
k2v2 + (v - vs)2 = 4k2vs2 + 4kvs(v - vs) + (v - vs)2
ELEMENTOS DA FÍSICA
(3)
=> Lv2 - xv2 - yv2 = Lv, - xv, + yv, =>Isolando y na equação (3):
v.
(4)y(v, + v2) = L(v2 - v,) - x(v2 - v,) => y
(5)
=> 2Lv, - 2xv, = xv, + xv2
(7)(6) => L-x=L-2Lv, = 3xv, + xv2 =>
2 +
v2
34
X 
2^
L
At
L(v,+v2) 
3vi+v2
v, + v2 ] _ L(vi +3v2) 
v2(3v1+v2)
2y =
v2
x(v2-v,) 
v,X
2Lv, 
3v, + v2
Vm
X(V2-V,) 
2v,
Isolando y na equação (1):
L + 2y x L-x L/ [ 2y x !
v2 “ v, + v2 X + vz ~ vi +
Igualando as expressões (4) e (5): 
(L-x)jyy^-<) L-x 
v, + v2 2v, v1 + v2
Assim, no mesmo intervalo de tempo At:
i)o ciclista (turista A) percorreu a distância L + 2y, sempre com velocidade v2;
ii) o turista B percorreu a distância L, sendo x + y com velocidade v2 e L - x - y com velocidade v,;
iii) o turista C percorreu a distância L, sendo x com velocidade v, e L - x com velocidade v2.
 . , , L + 2y x + y L-(x + y) x L-x ...Desta forma: At =------ - =------ +---- ------— = — +------ (1)
v2 v2 v, v, v2
Supondo que os turistas A e B seguem juntos de bicicleta em um tempo At, e o turista B segue a 
pé em um tempo At2 (de modo que At, + At2 = At) tem-se que: 
 Ati=2S±y (2) e At2 = L^±y)=^2£±y 
” V, v2
x + y 
v2
L-(x + y) L-x + y 
v2 
(L-x)(v2-v,) 
Vi+V2
x=-*^- 
3v, + v2
Substituindo (6) e (7) em (1):
At = A + L~x = 2L + Uvi +v2) = L 
vn v2 3v1+v2 v2(3v1+v2) 3v1+v2 
v2(3v,+v2) v v2(3vi+v2) 
v1 + 3v2 m v,+3v2
ELEMENTOS DA FÍSICA
Ccr"alArcoverce
Bosquu
C) 30 min
b
c) 10,8 min.
a
e)18000
35
Terminal
rebcidade
E3) (UFMS-04) Uma viagem é realizada em 
duas etapas. Na primeira, a velocidade média 
é de 80km/h; na segunda é de 60km/h. Sendo 
a distância percorrida, na segunda etapa, o 
triplo daquela percorrida na primeira, é correto
A
a) 100 b) 220 c) 300 d) 10000
I ' 
i 
i 
I 
i 
i 
I 
i 
i 
I 
i 
i 
l tl
I 
I 
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I 
I 
I 
I 
I 
I 
l 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I
A) 20 min
D) 35 min
E4) (Fuvest-07) Um passageiro, viajando de 
metrô, fez o registro de tempo entre duas 
estações e obteve os valores indicados na 
tabela.
afirmar que
01) a distância percorrida na primeira etapa foi 
de 80km.
02) a duração da viagem foi de 4 horas.
04) a distância total percorrida foi de 260km.
08) a velocidade média na viagem toda foi de 
64km/h.
16) a velocidade média na viagem toda foi de 
70km/h.
V ia Mana
B) 25 min
E) 40 min
Chegada 
0:00 min 
5:00 min
Partida 
1:00 min 
6:00 min
Vila Maria 
Felicidade
Supondo que a velocidade média entre duas 
estações consecutivas seja sempre a mesma e 
que o trem pare o mesmo tempo em qualquer 
estação da linha, de 15 km de extensão, é 
possível estimar que um trem, desde a partida 
da Estação Bosque até a chegada à Estação 
Terminal, leva aproximadamente:
S5o José
E1) (UFV-00) Um aluno, sentado na carteira da 
sala, observa os colegas, também sentados 
nas respectivas carteiras, bem como um 
mosquito que voa perseguindo o professor que 
fiscaliza a prova da turma. Das alternativas 
abaixo, a única que retrata uma análise correta 
do aluno é:
a) A velocidade de todos os meus colegas é 
nula para todo observador na superfície da 
Terra.
b) Eu estou em repouso em relação aos meus 
colegas, mas nós estamos em movimento em 
relação a todo observador na superfície da 
Terra.
c) Como não há repouso absoluto, não há 
nenhum referencial em relação ao qual nós, 
estudantes, estejamos em repouso.
d) A velocidade do mosquito é a mesma, tanto 
em relação ao meus colegas, quanto em 
relação ao professor.
e) Mesmo para o professor, que não pára de 
andar pela sala, seria possível achar um 
referencial em relação ao qual ele estivesse 
em repouso.
E6) (UFPR-16) Um sistema amplamente 
utilizado para determinar a velocidade de 
veículos - muitas vezes, chamado 
erroneamente de “radar” - possui dois 
sensores constituídos por laços de fios 
condutores embutidos no asfalto. Cada um dos 
laços corresponde a uma bobina. Quando o 
veículo passa pelo primeiro laço, a indutância 
da bobina é alterada e é detectada a 
passagem do veículo por essa bobina. Nesse 
momento, é acionada a contagem de tempo, 
que é interrompida quando da passagem do 
veículo pela segunda bobina. Com base nesse 
sistema, considere a seguinte situação: em 
uma determinada via, cuja velocidade limite é
E2) (Unisinos-RS) Numa pista atlética 
retangular de lados a = 160 m e b = 60 m, um 
atleta corre com velocidade de módulo 
constante v = 5 m/s, no sentido horário, 
conforme mostrado na figura. Em t = 0 s, o 
atleta encontra-se no ponto A. O módulo do 
deslocamento do atleta, após 60 s de corrida, 
em metros, é:
E5) (UFPR-10) A distância média da Terra ao 
Sol é de 150 milhões de km ou 1 UA (unidade 
astronômica). Supondo que fosse possível se 
desligar a luz proveniente do Sol, ligando-se 
em seguida e considerando-se a velocidade da 
luz como 300 mil km por segundo, o tempo 
que esta luz atingiría a Terra seria 
aproximadamente de: 
a) 12,7 min. b) 6,5 min. 
d) 20 min. e) 8,4 min.
ELEMENTOS DA FÍSICA
C) 0,04 h
e >
L
rio
Dois carros, A e B,E10) (UFPE-09) de
36
B) quarto andar. 
D) sexto andar.
E13) (UFGRS-05) Um caminhão percorre três 
vezes o mesmo trajeto. Na primeira, sua 
velocidade média é de 15 m/s e o tempo de 
viagem é t,. Na segunda, sua velocidade 
média é de 20 m/s e o tempo de viagem t2. Se,
B) 0,02 h
E) 0,0005 h
E8) (UFPE-07) Um barco de comprimento L = 
80 m, navegando no sentido da correnteza de 
um rio, passa sob uma ponte de largura D = 25 
m, como indicado na figura.
D
E12) (ENEM-12) Uma empresa de transporte 
precisa efetuar a entrega de uma encomenda 
o mais breve possível. Para tanto, a equipe de 
logística analisa o trajeto desde a empresa até 
o local da entrega. Ela verifica que o trajeto 
apresenta dois trechos de distâncias diferentes 
e velocidades máximas permitidas diferentes. 
No primeiro trecho, a velocidade máxima 
permitida é de 80 km/h e a distância a ser 
percorrida é de 80 km. No segundo trecho, 
cujo comprimento vale 60 km, a velocidade 
máxima permitida é 120 km/h.
Supondo que as condições de trânsito sejam 
favoráveis para que o veículo da empresa 
ande continuamente na velocidade máxima 
permitida, qual será o tempo necessário, em 
horas, para a realização da entrega?
a) 0,7 b)1,4 c) 1,5 d) 2,0 e) 3,0
<DI
E9) (UFPE-09) Num edifício alto com vários 
pavimentos, um elevador sobe com velocidade 
constante de 0,4 m/s. Sabe-se que cada 
pavimento possui 2,5 metros de altura. No 
instante t = 0, o piso do elevador em 
movimento se encontra a 2,2 m do solo. 
Portanto, em tal altura, o piso do elevador 
passa pelo andar térreo do prédio. No instante 
t = 20 s, o piso do elevador passará pelo: 
A) terceiro andar. 
C) quinto andar. 
E) sétimo andar.
E11) (UFPE-12) Um barco passa sob uma 
ponte no momento em que um carro atravessa 
a ponte, como mostrado na figura a seguir. O 
barco e o carro se movem com velocidades 
constantes, de módulos vB = 30 km/h e vc = 40 
km/h, respectivamente, ambas medidas em 
relação ao solo. Calcule a distância entre eles, 
em km, decorridos 6,0 minutos após o 
cruzamento. Suponha que ambos continuaram 
nas mesmas trajetórias depois do cruzamento.
comprimento 3 m, cada, movem-se com 
velocidades constantes no mesmo sentido de 
uma estrada retilínea, em faixas paralelas. 
Num dado instante, a dianteira do carro A, de 
velocidade 80 km/h, está alinhada com a 
traseira do carro B, de velocidade 68 km/h. A 
partir desse instante, quanto tempo o carro A 
levará para ultrapassar completamente o carro 
B?
A) 0,1 h
D) 0,001 h
Sabendo-se que a velocidade do barco em 
relação ao rio é vB = 14 km/h, e a velocidade 
do rio em relação às margens é vR = 4 km/h, 
determine em quanto tempo o barco passa 
completamente por baixo da ponte, em 
segundos.
E7) (UFPR-17) A utilização de receptores GPS 
é cada vez mais frequente em veículos. O 
princípio de funcionamento desse instrumento 
é baseado no intervalo de tempo de 
propagação de sinais, por meio de ondas 
eletromagnéticas, desde os satélites até os 
receptores GPS. Considerando a velocidade 
de propagação da onda eletromagnética como 
sendo de 300.000 km/s e que, em determinado 
instante, um dos satélites encontra-se a 30.000 
km de distância do receptor, qual é o tempo de 
propagação da onda eletromagnética emitida 
por esse satélite GPS até o receptor?
a) 10 s. b) 1 s. c) 0,1 s.
d) 0,01 ms. e) 1 ms.
60 km/h, a distância entre as bobinas é de 3,0 
m. Ao passar um veículo por esse “radar", foi 
registrado um intervalo de tempo de passagem 
entre as duas bobinas de 200 ms. Assinale a 
alternativa que apresenta a velocidade 
determinada pelo sistema quando da 
passagem do veículo.
a) 15 km/h. b) 23,7 km/h.c) 54 km/h.
d) 58,2 km/h. e) 66,6 km/h.
ELEMENTOS DA FÍSICA
do
E14) (UESPI-12) seu
é progressivo e
o
(C) 8723
E15) (Ciaba-07)
60
40
0
-40
15
E19) (Unicamp-14) O passeio completo no
37
O gráfico acima 
velocidade
B) 12,24 m/s
D) 15,38 m/s
da 
uma
(b) 14,7 
(e)19,4
■S e 
•1
£
-60 L 
0
E18) (Unicamp-92) Um escoteiro está perdido 
no topo de uma montanha em uma floresta. De 
repente ele escuta os rojões da policia florestal 
em sua busca. Com um cronômetro de 
centésimo de segundos ele mede 6 s entre a 
visão do clarão e a chegada do barulho em 
seus ouvidos. A velocidade do som no ar vale 
vs = 340 m/s. Como escoteiro, ele usa a regra 
prática de dividir por 3 o tempo em segundos 
decorrente entre a visão e a escuta, para obter 
a distância em quilômetro que o separe da 
policia florestal.
a) qual a distância entre o escoteiro e a polícia 
florestal, de acordo com a regra prática?
b) qual o erro percentual que o escoteiro 
cometeu ao usar regra prática?
c) sabendo que a velocidade da luz vale 3,0 x 
108 m/s, qual será o erro maior: considerar a 
velocidade da luz infinita ou o erro na 
cronometragem do tempo? Justifique.
E17) (Ciaba-06) Um navegador solitário 
completa certo percurso com velocidade média 
de 9 nós (1 nó = 1 milha/hora = 
aproximadamente 1,852 km/h) em 24 dias; a 
distância percorrida, em km, foi de 
(A) 5401 (B) 6507
(D) 9601 (E) 10202
E16) (Ciaba-05) Um iatista solitário completa 
certa travessia de 4600 milhas náuticas, em 22 
dias. Sua velocidade média, em Km/h, foi de 
(Dado: 1 milha náutica = 1852 m) 
(a) 12,9 ( b ) 14,7 (c)16,1
(d) 17,6
20
I 
~~-20
partícula no tempo que em t = 0 encontrava-se 
na posição x = 20 km. Sobre a descrição do 
movimento da partícula no instante tp, 
referente ao ponto P marcado na curva, 
analise as afirmativas abaixo.
I - A partícula se dirige para a origem das 
posições.
II - A partícula se afasta da origem das 
posições.
III - A aceleração é nula.
IV - O movimento 
desacelerado.
V - O movimento é retrógrado e desacelerado. 
Assinale a alternativa correta.
a) As afirmativas I e II são verdadeiras.
b) As afirmativas I e V são verdadeiras.
c) As afirmativas II e III são verdadeiras.
d) As afirmativas III e IV são verdadeiras.
e) As afirmativas IV e V são verdadeiras.
5 10
Tempo
(min)
mostra a evolução 
escalar instantânea de
C
A) chegará 20 min mais cedo se for pelo 
caminho direto AB.
B) chegará 10 min mais cedo se for pelo 
caminho direto AB.
C) gastará o mesmo tempo para ir pelo 
percurso AB ou pelo percurso ACB.
D) chegará 10 min mais cedo se for pelo 
caminho ACB.
E) chegará 20 min mais cedo se for pelo 
caminho ACB.
Um motorista em 
automóvel deseja ir do ponto A ao ponto B de 
uma grande cidade (ver figura). O triângulo 
ABC é retângulo, com os catetos AC e CB de 
comprimentos 3 km e 4 km, respectivamente. 
O Departamento de Trânsito da cidade informa 
que as respectivas velocidades médias nos 
trechos AB e ACB valem 15 km/h e 21 km/h. 
Nessa situação, podemos concluir que 
motorista:
na terceira, o tempo de viagem for igual a (h + 
t2)/2, qual será a velocidade média 
caminhão nessa vez?
A) 11,12 m/s
C) 13,56 m/s
E) 17,14 m/s
ELEMENTOS DA FÍSICA
50 km/h 40 kmlh
ir.. •— 38
{WJ/A^
E21) (Unicamp-13) Para fins de registros de 
recordes mundiais, nas provas de 100 metros 
rasos não são consideradas as marcas em 
competições em que houver vento favorável 
(mesmo sentido do corredor) com velocidade 
superior a 2m/s. Sabe-se que, com vento 
favorável de 2m/s, o tempo necessário para a 
conclusão da prova é reduzido em 0,1s. Se um 
velocista realiza a prova em 10s sem vento, 
qual seria sua velocidade se o vento fosse 
favorável com velocidade de 2m/s?
a) 8,0m/s . b) 9,9m/s .
c) 10,1 m/s. d)12,0m/s.
b) 300.000 anos.
d) 20.000.000 anos.
complexo do Pão de Açúcar inclui um trecho 
de bondinho de aproximadamente 540 m, da 
Praia Vermelha ao Morro da Urca, uma 
caminhada até a segunda estação no Morro da 
Urca, e um segundo trecho de bondinho de 
cerca de 720 m, do Morro da Urca ao Pão de 
Açúcar. A velocidade escalar média do 
bondinho no primeiro trecho é v, = 10,8 km/h e, 
no segundo, é v2 = 14,4 km/h. Supondo que, 
em certo dia, o tempo gasto na caminhada no 
Morro da Urca somado ao tempo de espera 
nas estações é de 30 minutos, o tempo total do 
passeio completo da Praia Vermelha até o Pão 
de Açúcar será igual a
a) 33 min. b) 36 min.
c) 42 min. d) 50 min.
E20) (Unicamp-12) O transporte fluvial de 
cargas é pouco explorado no Brasil, 
considerando-se nosso vasto conjunto de rios 
navegáveis. Uma embarcação navega a uma 
velocidade de 26nós, medida em relação à 
água do rio (use 1nó = 0,5m/s). A correnteza 
do rio, por sua vez, tem velocidade 
aproximadamente constante de 5,0m/s em 
relação às margens. Qual é o tempo 
aproximado de viagem entre duas cidades 
separadas por uma extensão de 40km de rio, 
se o barco navega rio acima, ou seja, contra a 
correnteza?
a) 2 horas e 13 minutos.
b) 1 hora e 23 minutos.
c) 51 minutos.
d) 37 minutos.
E24) (Fuvest-03) Uma jovem viaja de uma 
cidade A para uma cidade B, dirigindo um 
automóvel por uma estrada muito estreita. Em 
um trecho, em que a estrada é reta e 
horizontal, ela percebe que seu carro está 
entre dois caminhões-tanque bidirecionais e 
iguais, como mostra a figura. A jovem observa 
que os dois camonhões, um visto através do 
espelho retrovisor plano, e o outro, através do 
pará-brisa, parecem aproximar-se dela com a 
mesma velocidade. Como o automóvel e o 
caminhão de trás estão viajando no mesmo 
sentido, com velocidade de 40 km/h e 50 
km/h, respectivamente, pode-se concluir que a 
velocidade do caminhão que está à frente é:
[no km]
E22) (Unicamp-15) Recentemente, uma equipe 
de astrônomos afirmou ter identificado uma 
estrela com dimensões comparáveis às da 
Terra, composta predominantemente de 
diamante. Por ser muito frio, o astro, 
possivelmente uma estrela anã branca, teria 
tido o carbono de sua composição cristalizado 
em forma de um diamante praticamente do
tamanho da Terra. Os astrônomos estimam 
que a estrela estaria situada a uma distância d 
= 9,0 x 1018 m da Terra. Considerando um 
foguete que se desloca a uma velocidade v = 
1,5 x 104 m/s, o tempo de viagem do foguete 
da Terra até essa estrela seria de (1 ano = 3,0 
x 107 s) 
a) 2.000 anos.
c) 6.000.000 anos.
E25) (Fuvest-08) Dirigindo-se a uma cidade 
próxima, por uma auto-estrada plana, um 
motorista estima seu tempo de viagem, 
considerando que consiga manter uma 
velocidade média de 90km/h. Ao ser 
surpreendido pela chuva, decide reduzir sua 
velocidade média para 60km/h, permanecendo 
assim até a chuva parar, quinze minutos mais 
tarde, quando retoma sua velocidade média
E23) (Unicamp-16) Drones são veículos 
voadores não tripulados, controlados 
remotamente e guiados por GPS. Uma de 
suas potenciais aplicações é reduzir o tempo 
da prestação de primeiros socorros, levando 
pequenos equipamentos e instruções ao local 
do socorro, para que qualquer pessoa 
administre os primeiros cuidados até a 
chegada de uma ambulância. Considere um 
caso em que o drone ambulância se deslocou 
9 km em 5 minutos. Nesse caso, o módulo de 
sua velocidade média é de aproximadamente 
a) 1,4 m/s. b) 30 m/s. c) 45 m/s. d) 140 m/s.
??
[l*o km]
a) 50 km/h com sentido de A para B.
b) 50 km/h com sentido de B para A.
c) 40 km/h com sentido de A para B.
d) 30 km/h com sentido de B para A.
e) 30 km/h com sentido de A para B.
ELEMENTOS DA FÍSICA
Sentido da correntezay(km)
e) 80 km/h.
4-
8 103
39
t (min)
0 
-2-
b) 7,5 minutos.
d) 15 minutos.
em 
duas
Gráfico Fora de Escala
Da análise do gráfico, pode-se afirmar que o 
automóvel
[A] está em repouso, no instante 1 min.
a) (1,0; 4,0) e 1,0 
c) (2,0 ; 4,0) e 4,0 
e) (16; 4,0) e 8,0
[B] 110 m
[E] 210 m
( b ) 0,6 km. ( c ) 1 km.
( e ) 5 km.
Margem do rio
b) (1,0 ; 4,0) e 2,0 
d) (16; 4,0) e 4,0
inicial. Essa redução temporária aumenta seu 
tempo de viagem, com relação à estimativa 
inicial, em 
a) 5 minutos.
c) 10 minutos.
e) 30 minutos.
E30)