Mecânica Estatística e Ensemble Estatístico

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO – UEMA
NÚCLEO DE TECNOLOGIA PARA EDUCAÇÃO
CURSO: FÍSICA LICENCIATURA
MILAN DE JESUS COELHO GOMES
ATIVIDADE 1 – SÍNTESE – MECÂNICA ESTATÍSICA
BACABAL-MA
2022
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO – UEMA
NÚCLEO DE TECNOLOGIAS PARA A EDUCAÇÃO – UEMAnet
CURSO DE LICENCIATURA EM FÍSICA
MILAN DE JESUS COELHO GOMES
SÍNTESE – MECÂNICA ESTATÍSICA
Atividade desenvolvida durante a disciplina Mecânica estatística como parte da avaliação referente a disciplina. 
Bacabal
2022
INTRODUÇÃO
A mecânica estatística ou física estatística é o ramo da física que, utiliza a teoria das probabilidades e estuda o comportamento de sistemas mecânicos microscópicos. Considerando esse universo microscópico, é preciso trabalhar com sistemas que possuem um número muito grande de constituintes físicas, logo será preciso utilizar os conceitos de probabilidade e estatística para poder ser possível descrever suas propriedades. Os constituintes podem ser átomos, moléculas, íons, entre outros. É uma teoria que relaciona um nível de descrição macroscópico (Termodinâmica) com um nível microscópico (Mecânica). Diante disso, as leis mecânicas microscópicas não contêm conceitos tais como a temperatura, o calor, ou a entropia. Em termos de aplicações, a mecânica estatística é útil na descrição das propriedades de gases, sistemas magnéticos, biológicos, entre outros.
PROBLEMA DO CAMINHO ALEATÓRIO
Todos os passos são aleatórios, nem sempre seguem uma sequência constante, e sempre os veremos em mais de uma dimensão. Todos os deslocamentos no esimo passo é caracterizado pelo comprimento aleatório tomado de uma variável continua. Nunca temos uma certeza do que vai acontecer, por isso, que cada passo ocorre com uma dada probabilidade que por simplicidade será tomada de igual para cada passo. Portanto, o que se pode afirmar é que estamos diante de uma probabilidade, ou seja, um passo que pode ser dado tanto para direita quanto para a esquerda. Para entendermos melhor há passeios com uma trajetória que se chama tamanho 1 e outros de tamanhos 2, a diferença é que no tamanho 1 é um passo e no tamanho 2 são dois passos e será sempre uma quantidade aleatória de trajetórias.
VALOR MÉDIO E DESVIO PADRÃO
O desvio médio é uma medida de pouco valor, pois não considera os sinais dos desvios. Uma tentativa de superar esta dificuldade reside na possibilidade de se elevar ao quadrado os desvios, tornando-os, dessa forma, positivos. 
É dado o nome de variância a média dos quadrados dos desvios tomados a partir do conjunto. 
 V= variância 
= desvios ao quadrado 
N= número total de casos
 A raiz quadrada positiva da variância é o que se chama desvio ou afastamento quadrático ou simplesmente desvio-padrão.
S= + 
S= desvio-padrão 
xi 2 = desvios ao quadrado
 N= número total de casos
 ETAPAS DA ANÁLISE ESTATÍSTICO-MECÂNICA DE UM SISTEMA FÍSICO EM EQUILÍBRIO
Um sistema físico de partículas é caracterizado essencialmente pelas leis da mecânica (clássica ou quântica) que determinam sua dinâmica e pelas forças atuando nas partículas, internas ou externas. De posse desse conhecimento, podemos determinar os seus estados microscópicos.
1. Identificar as grandezas físicas macroscópicas (grandezas termodinâmicas) que caracterizam o sistema físico. 
2. Especificar os estados microscópicos do sistema físico. O conjunto completo desses estados é chamado de ensemble estatístico. (ensemble significa conjunto em francês). 
3. Estabelecer um postulado estatístico básico que permita utilizar a teoria das probabilidades. Por exemplo, para um sistema físico que tem a energia total fixa, utilizaremos a hipótese que maximiza a incerteza, e assumimos que todos os estados microscópicos são igualmente prováveis. Esse é o que dene o ensemble microcanônico. 
4. Finalmente, estabelecer a conexão com a termodinâmica, isto é, relacionar os estados microscópicos com as variáveis macroscópicas ou termodinâmicas que caracterizam o sistema físico macroscópico.
ENSEMBLE ESTÁTISTICO 
Um conjunto estatístico é uma distribuição de probabilidade para o estado do sistema, ou uma idealização que consiste em considerar um grande número de cópias virtuais do sistema, cada uma representando o estado físico possível em que o sistema pode estar. 
O ensemble canônico é usado na descrição de um sistema que não está isolado, mas em contato térmico com um reservatório térmico. atua como um reservatório térmico: ensemble de sistemas em contacto com um reservatório de calor a uma temperatura bem definida 
Essência da teoria de ensemble de Gibbs, nessa teoria de ensemble as propriedades termodinâmicas não são calculadas partir da evolução temporal do sistema no espaço.
Estas propriedades são calculadas a partir do ensemble de estados equivalentes descritos pela densidade de pontos ρ(q, p).
Cada ensemble e caracterizado por um conjunto de ´ propriedades macroscópicas 
Ensemble Microcanonico ˆ → N, V, E
Ensemble Canônico ˆ → N, V, T
Ensemble Grande-Canônico ˆ → µ, V,
Cada ensemble e definido por um densidade de pontos ´ ρ(q, p), definida pelas propriedades macroscópicas. 
Cada ensemble terá um conjunto de equações relacionando a Mecânica Estatística com a Termodinâmica.
POSTULADOS DA TERMODINÂMICA DE EQUILÍBRIO
Sistemas termodinâmicos simples são macroscopicamente homogêneos, isotrópicos, sem carga elétrica, quimicamente inertes e suficientemente grandes. Um fluido puro é um sistema simples com um ´único componente, e na ausência de campos eletromagnéticos e/ou gravitacionais externos. Um exemplo de fluido puro é um gás de partículas eletricamente neutras. Por simplicidade, neste trabalho limitaremos nossa análise a fluidos puros e suas misturas. 
O estado termodinâmico de um fluido puro ´e caracterizado por um número reduzido de variáveis macroscópicas: 
• energia interna total E; 
• volume V; 
• número total de partículas N
As variáveis E, V e N são extensivas, pois seus valores aumentam proporcionalmente ao tamanho do sistema. Veremos nos três tipo de Postulados a seguir: 
Postulado I: existem estados de equilíbrio para um fluido puro, caracterizados completamente por valores constantes das variáveis E, V e N.
Postulado II: existe uma função das variáveis macroscópicas extensivas, chamada entropia S, cujo valor ´e máximo quando uma restrição ´e removida do sistema...
Postulado III: a entropia S ´e aditiva em relação aos subsistemas; S ´e uma função contínua e diferençável dos seus argumentos; S ´e uma função monotonamente crescente da energia interna total E.
PARÂMETROS INTENSIVOS DA TERMODINÂMICA
As propriedades termodinâmicas de um fluido isotrópico confinado num recipiente, envolvem diversas grandezas termodinâmicas tais como a pressão, a temperatura, o volume, a energia interna e a entropia. Essas grandezas não são todas independentes. Estamos preocupados com a forma diferencial da equação fundamental. Não dependem da extensão do sistema e não são, portanto, aditivas. O valor pode ser o mesmo em todos os pontos de extensão do sistema ou pode variar de um ponto a outro, mas nunca se altera quando se divide o sistema em subsistemas. Temos alguns exemplos Intensivas propriamente ditas que nos ajudam entender um pouco mais sobre esses parâmetros: temperatura, pressão, tensão superficial, viscosidade, índice de refração, constante dielétrica, potencial químico, etc. 
EQUILÍBRIO ENTRE DOIS SISTEMAS TERMODINÂMICOS
Um sistema termodinâmico tem um equilíbrio térmico e mecânico e uma reação de equilíbrio. O estado de equilíbrio termodinâmico é determinado por variáveis intensivas. Os parâmetros intensivos são variáveis termodinâmicas que não dependem do tamanho do sistema. 
Como exemplo de equilíbrio térmico, vamos considerar um sistema composto constituído por dois fluidos puros. O sistema global está fechado. Inicialmente os fluidos estão separados por uma parede adiabática, fixa e impermeável. Em um determinado instante é alterado um vínculo interno: a parede se torna diatérmica, mas permanece fixa e impermeável. Passado algum tempo, atingese novo estado termodinâmico de equilíbrio. Esse novo estado de equilíbrio será dado pela maximização da entropia, que pode ser escrita na forma
S = S1(U1, V1, N1)+S2(U2, V2, N2)
onde V₁, V2, N1 e N2 são parâmetros fixos
U1+U₂ = Uo= constante, 
e onde U, é a energia total do sistema (que também está fixa). Então, temos
Portanto, no equilíbrio, T1=T2, correspondendo à expectativa comum de equalização das temperaturas dos dois subsistemas.
DERIVADAS TERMODINÂMICAS DE INTERESSE
Há determinadas derivadas termodinâmicas de fácil acesso experimental c, portanto, de grande interesse físico. Muitas vezes, é conveniente exprimir as grandezas termodinâmicas que estão sendo estudadas em termos dessas derivadas mais importantes (que, em geral, são tabeladas em compêndios sobre dados termodinâmicos) 
No caso de um fluido puro, as seguintes derivadas apresentam maior interesse:
I. Coeficiente térmico
II. Compressibilidade isotérmica
III. Calor especifico e pressão constante 
IV. Calor especifico e volume constante
Cada um segue uma derivada diferente da outra, isso sugere a utilidade de construir representações alternativas da termodinâmica.
POTENCIAIS TERMODINÂMICOS
Em vez de trabalhar na representação da energia, em que S, V e N são as variáveis independentes, ou na representação da entropia, em que II, V e N são independentes, pode ser muito mais conveniente trabalhar com variáveis independentes de acesso experimental mais fácil, como a temperatura T ou a pressão p. Para resolver esse tipo de problema, vamos considerar uma função y= y(x), com derivada p = dy/dx. Teríamos de encontrar uma outra função, da forma = (p), que fosse equivalente a y = y(x). Isso é conseguido por meio de uma transformação de Legendre.
Uma função y = y(x) pode ser construída mediante uma tabela dos pares de valores (y, x). Consideremos agora uma tabela de pares (y, p). Cada par desse tipo corresponde a uma família de retas paralelas no plano x-y, sem qualquer possibilidade de definir a função y = y(x). Na realidade, a relação y = y(p), que pode ser escrita na forma y = y(dy/dx), não passa de uma equação diferencial cuja solução pode ser encontrada a menos de uma constante. 
No entanto, podemos construir uma tabela diferente, envolvendo o valor da tangente (p) e da intersecção da reta tangente a curva y=y (x) com o eixo y (que será chamada de)
CONCLUSÃO
 Portanto toda essa unidade nos leva a compreender que a mecânica estatística tem vários caminhos que certamente nunca conseguiremos chegar ao fim e nem aprender tudo. Por fim a síntese presente, mostra a gama de conhecimento que que há nessa disciplina em um vasto campo que ela nos possibilita adentrar.