ANEST: Programa Educacional para Análise de Estruturas Reticuladas

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ANEST- Programa Educacional para Análise de 
Estruturas Reticuladas 
 
Henriette Lebre La Rovere1, Alizeu Francisco Schneider1 
 
Laboratório de Análise de Estruturas – Departamento de Engenharia Civil 
Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), Campus Trindade, CTC 
Caixa Postal 476 – Florianópolis, SC 88040-900 – Brasil 
 
henriette@ecv.ufsc.br, alizeu@intercorp.com.br 
 
 
Resumo. Neste artigo apresenta-se o programa ANEST, um programa educacional 
para análise estática de estruturas reticuladas, desenvolvido no Laboratório de Análise de 
Estruturas do Departamento de Engenharia Civil da UFSC, visando principalmente a 
utilização por alunos de graduação. ANEST resolve, pelo método dos deslocamentos, 
estruturas reticuladas planas e espaciais tais como como pórticos, treliças e vigas, 
submetidas a carregamentos externos. Trata-se de um programa estruturado em módulos, na 
linguagem FORTRAN90, para uso em micro-computadores. A entrada de dados é feita 
através de janelas padrão Windows e os resultados podem ser visualizados graficamente, o 
que auxilia muito ao aprendizado dos alunos. Apresentam-se no artigo alguns exemplos de 
utilização do ANEST e quais as extensões e aperfeiçoamentos que ainda devem ser realizados. 
 
Palavras-chave: estruturas reticuladas, análise estrutural, software educacional. 
 
 
Abstract. In this work, an educational computer program named ANEST, developed 
at the Structural Analysis Laboratory in the Civil Engineering Department of Federal 
University of Santa Catarina, is presented. ANEST is based on the Direct Stiffness Method 
and allows for static analysis of framed structures, such as frames, trusses and beams, 
subjected to external loading. The program is composed of several subprograms, written in 
FORTRAN 90 language for use in microcomputers. All input data is entered via Windows and 
the results can be graphically visualized, which helps the students to understand the structure 
behavior. A few examples of structures analyzed by ANEST are also presented and future 
extensions to be implemented in the program are described at the end of the work. 
 
 Key words: framed structures, structural analysis, educational software. 
 
 
 
 
XIV Simpósio Brasileiro de Informática na Educação - NCE - IM/UFRJ 2003 
mailto:henriette@ecv.ufsc.br
mailto:alizeu@intercorp.com.br
1. Introdução 
O avanço computacional das últimas décadas possibilitou o desenvolvimento de programas 
computacionais para análise estrutural de estruturas contínuas e reticuladas. Diversos programas 
comerciais como ANSYS, SAP, ABAQUS e NASTRAM, foram desenvolvidos inicialmente e, mais 
recentemente, programas pré e pós-processadores para geração automática de malhas e contorno de 
tensões vem sendo incorporados. 
Existe no entanto uma carência de programas educacionais para análise estrutural. O aluno de 
graduação deve passar diretamente dos fundamentos teóricos para a utilização destes programas 
comerciais, na maioria das vezes sem conhecer sua estrutura interna. Apenas recentemente, graças à 
Internet, alguns programas educacionais estão surgindo na área de Estruturas. Pode-se citar como um dos 
poucos exemplos de programa educacional para análise estrutural no Brasil o programa FTOOL [Martha 
2002], para estruturas reticuladas planas. 
Visando suprir a carência citada acima, foi desenvolvido no Laboratório de Análise de Estruturas 
(LAE) da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) o programa educacional ANEST para análise 
estática de estruturas reticuladas em micro-computadores. O programa baseia-se no Método dos 
Deslocamentos com formulação matricial e permite a análise de estruturas reticuladas planas (viga, treliça 
e pórtico) e espaciais (grelha, treliça e pórtico). ANEST foi baseado no programa CALSD [Seib, Lath and 
Kurk 1987], também educacional, desenvolvido na University of California, San Diego (UCSD) para 
utilização em micro-computadores, que tem uma estrutura similar à do programa SAP [Wilson 1996]. 
ANEST foi inicialmente desenvolvido na linguagem FORTRAN 77, sendo depois estendido para 
FORTRAN 90 [Elli, Phil and Lahe 1990] pelos autores e outros alunos de iniciação científica [Chim, 
Gonc, Pign, Schn e LaRo 1996-2002]. O programa é composto de subprogramas ou módulos que se 
identificam com a estrutura do programa, ou seja, traduzem as etapas da formulação matricial do Método 
dos Deslocamentos. Atualmente a entrada de dados da estrutura a ser analisada é feita através de janelas 
padrão Windows, utilizando-se as subrotinas QuickWin do compilador FORTRAN [MPS 1996], o que 
veio a facilitar a utilização do programa. Também foram desenvolvidos módulos pós-processadores para 
visualização gráfica dos resultados, utilizando-se as subrotinas gráficas do compilador FORTRAN [MPS 
1996], o que auxilia muito ao entendimento do funcionamento das estruturas e ao aprendizado dos alunos. 
ANEST está disponível para download no site do Departamento de Engenharia Civil da UFSC 
[ECV 2003] e vem sendo utilizado principalmente pelos alunos do curso de graduação em Engenharia 
Civil. O programa também tem servido de apoio aos professores de Engenharia Civil na preparação de 
material didático e por alunos de pós-graduação como base para outros programas de suas pesquisas. 
A seguir apresenta-se uma breve revisão do Método dos Deslocamentos e uma descrição dos 
módulos que compõem o programa ANEST. Em seguida são mostrados alguns exemplos de utilização do 
programa e ao final do trabalho apresentam-se as considerações finais. 
 
2. Método dos Deslocamentos 
No Método dos Deslocamentos para estruturas reticuladas, o único sistema principal possível é obtido 
pela fixação de todos os nós da estrutura. Adotando-se este sistema principal “único” desaparece o 
problema da escolha de um sistema principal que existe no Método das Forças, por isso o Método dos 
Deslocamentos foi o escolhido para o desenvolvimento do programa ANEST. 
As estruturas são divididas em elementos (ou barras) em que as relações Ações × Deslocamentos 
são discretizadas nos nós da estrutura. As equações de equilíbrio da estrutura no sistema global de 
referência podem ser escritas então, sob a forma matricial [Gere e Weaver 1987]: 
[S].{D} = {A} (1) 
onde [S] ⇒ Matriz de Rigidez da estrutura não restringida; 
{D} ⇒ Vetor de Deslocamentos nodais da estrutura; 
{A} ⇒ Vetor de Ações nodais da estrutura. 
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A Matriz de Rigidez da estrutura não restringida [S] é formada a partir da matriz de rigidez de 
cada elemento, no sistema global, somando-se os coeficientes correspondentes aos mesmos graus de 
liberdade: 
[S] = “Σ”[SG] (2) 
onde [SG] ⇒ Matriz de Rigidez do elemento no sistema global, sendo que a matriz de cada 
elemento no sistema global é obtida da seguinte forma: 
[SG] = [R]T.[SL].[R] (3) 
onde [R] ⇒ Matriz de Rotação do elemento, que depende de sua orientação; 
[R]T ⇒ Matriz de Rotação transposta do elemento; 
[SL] ⇒ Matriz de Rigidez do elemento no sistema local. 
O vetor de ações {A} é formado a partir do vetor de ações aplicadas diretamente nos nós, {Anó} e 
do vetor de ações nodais equivalente a ações aplicadas nos elementos (= - vetor de reações de 
engastamento perfeito): 
{A} = {Anó} – {Aep}; sendo {Aep} = “Σ”{Ag} e {Ag} = [R]T.{Al} 
onde {Ag} ⇒ Vetor de reações de engastamento perfeito do elemento no sistema global; 
{Al} ⇒ Vetor de reações de engastamento perfeito do elemento no sistema local; 
[R] T ⇒ Matriz de rotação transposta do elemento. 
No programa ANEST utiliza-se a técnica de armazenamento em perfil [Soriano e Lima 1997] 
para a matriz de rigidez da estrutura e alocação dinâmica de memória. Os nós da estrutura são 
reordenados internamente, através de um algoritmo frontal, para minimizar a largura de banda da matriz 
de rigidez. Após a montagem da matriz de rigidez e do vetor de ações da estrutura, reordena-se o sistema 
de equações (1), deixando as direções restringidaspor apoios para o final: 






rrrl
lrll
SS
SS . 
 = 
 - (4) 



 r
l
D
D



 r,nó
l,nó
A
A






r,ep
l,ep
A
A
onde l corresponde às direções livres e r corresponde às direções restringidas pelos apoios. 
Para apoios fixos, sem recalques, tem-se que {Dr} = 0 permitindo portanto reescrever o sistema 
de equações (4): 
[Sll] {Dl} = {Anó,l} – {Aep,l} (5) 
[Srl] {Dl} = {Anó,r} – {Aep,r} (6) 
Resolvendo-se o sistema de equações (5) obtém-se o vetor deslocamento nodais {Dl} obtendo-se 
o vetor de deslocamentos nodais da estrutura, {D}. Adota-se em ANEST o Método de Eliminação de 
Gauss para a resolução do sistema de equações com partição em blocos, o que permite a análise de 
grandes estruturas, com número ilimitado de graus de liberdade. No entanto a versão disponível para 
download [ECV 2003] é limitada a 1000 nós e 1000 elementos. 
Inserindo-se o vetor de deslocamentos nodais {Dl} em (6) obtém-se as reações de apoio, {Re}: 
{Re} = {Anó,r} = [Srl].{Dl} + {Aep,r} (7) 
A partir de {Dl} obtém-se para cada elemento o vetor de deslocamentos nodais do elemento no 
sistema global, {ug} e os esforços no elemento no sistema local, {El}: 
{El} = [Sl].{ul} + {Al} (8) 
sendo {ul} = [R].{ug} o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema local. 
Quando existirem diversos casos de carregamento, {A} passa a ser uma matriz de ações e {D} 
uma matriz de deslocamentos nodais, em que cada coluna corresponde a um caso de carregamento. 
 
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3. Módulos do Programa ANEST 
Cada módulo de ANEST gera um arquivo de saída formatado e diversos arquivos binários que 
possibilitam a comunicação interna entre os diversos módulos. O nome dos arquivos é formado pelo 
nome do arquivo de dados da estrutura, acrescido de uma extensão apropriada. A organização em 
módulos facilita a modificação e a implementação de novos tipos de elemento. No quadro abaixo 
descreve-se cada módulo e qual a extensão colocada no arquivo de saída correspondente. Os diversos 
módulos são interligados por bibliotecas (“runtime libraries”) que otimizam o processamento. 
 
Tabela 1. Descrição dos módulos do programa ANEST 
Módulo Descrição do programa Extensão 
ESTRU 
 
Lê a definição da geometria e vinculação da estrutura e renumera 
internamente os seus nós, para otimizar a largura de banda da matriz de 
rigidez. Lê e gera as coordenadas dos nós, condições de contorno e 
restrições e numera as equações de equilíbrio da estrutura. 
.EST 
RET2D 
 
Calcula a matriz de rigidez dos elementos e o vetor (ou matriz) de cargas 
nodais equivalentes a cargas atuantes nos elementos de estruturas 
reticuladas planas. 
.R2D 
RET3D 
 
Calcula a matriz de rigidez dos elementos e o vetor (ou matriz) de cargas 
nodais equivalentes a cargas atuantes nos elementos de estruturas 
reticuladas espaciais. 
.R3D 
RESOL 
 
Forma a matriz de rigidez e e o vetor (ou matriz) de cargas nodais da 
estrutura. Resolve o sistema de equações de equilíbrio, obtendo o vetor (ou 
matriz) de deslocamentos nodais da estrutura. 
.RES 
ESF2D 
 
Calcula os esforços nos elementos de estruturas reticuladas planas. .E2D 
ESF3D 
 
Calcula os esforços nos elementos de estruturas reticuladas espaciais. .E3D 
REAC 
 
Calcula as reações vinculares para todos os apoios da estrutura e verifica o 
equilíbrio da estrutura. .REA 
VISUEST 
 
Desenha as estruturas reticuladas planas indeformadas (viga, treliça plana, 
pórtico plano) e as cargas aplicadas na estrutura. 
- 
 
VISUDEF 
 
Desenha as estruturas reticuladas planas e suas deformadas (viga, treliça 
plana, pórtico plano). 
- 
 
VISUESF 
Desenha os esforços nas estruturas reticuladas planas (esforço axial, 
cortante e momento fletor) e as reações nos apoios. 
- 
 
 
4. Exemplos 
Como ANEST é um programa educacional utilizado majoritariamente por graduandos em Engenharia 
Civil, sua concepção de entrada de dados foi feita visando minimizar as dificuldades que outros 
programas comerciais oferecem a usuários principiantes. Para analisar a estrutura informa-se inicialmente 
qual o tipo de estrutura e todos os dados que definem a sua geometria, suas vinculações e as propriedades 
dos elementos, tanto geométricas como as mecânicas dos materiais. Em seguida informa-se os dados de 
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carregamentos nos elementos, as incidências dos nós nos elementos e ao final os carregamentos aplicados 
nos nós. Toda a entrada de dados é feita através de janelas padrão Windows, utilizando-se unidades de 
força e de comprimento consistentes. A vantagem de ANEST é que é necessário informar apenas os 
dados referentes ao tipo de elemento, por exemplo, para uma treliça plana os vínculos podem restringir 
apenas movimentos de translação na horizontal e na vertical (as ligações entre barras são rotuladas 
automaticamente) e basta informar a área da seção transversal e o módulo de elasticidade do material nas 
propriedades dos elementos. O programa leva em conta o peso próprio da estrutura no caso de 
carregamento 1, quando informa-se o peso dos elementos por unidade de comprimento. A Figura 1 ilustra 
uma das janelas de entrada de dados de propriedades dos elementos para o elemento tipo pórtico plano. 
O programa tem como arquivos de saída os resultados das análises, que podem ser visualizados 
em forma de texto (ver Tabela 1) ou através dos módulos gráficos VISUEST, VISUDEF e VISUESF para 
o caso apenas de estruturas planas. O módulo VISUEST apresenta ao usuário a estrutura que será 
analisada e os carregamentos a que está submetida, de acordo com as informações fornecidas 
previamente. O módulo VISUDEF desenha a estrutura indeformada juntamente com a sua deformada, 
possibilitando a visualização dos deslocamentos sofridos pelos eixos das barras. O módulo VISUESF 
possibilita que o usuário visualize os esforços internos na estrutura. Podem ser visualizados os esforços 
axiais, cortantes e de momento fletor, de acordo com o tipo de estrutura analisada. Para facilitar a 
visualização gráfica dos resultados, todos os módulos oferecem ao usuário a possibilidade de alterar a 
escala do desenho e as cores além de salvar como arquivo bitmap para ser utilizado em outras aplicações. 
A seguir apresentam-se alguns exemplos dos resultados de saída de estruturas reticuladas planas 
analisadas pelo programa ANEST. Mostra-se inicialmente o exemplo de uma viga contínua nas Figuras 2 
a 5, em seguida o exemplo de uma treliça plana nas Figuras 6 e 7 e por fim o exemplo de um pórtico 
plano nas Figuras 8 e 9. 
 
 
Figura 1. Janela em que são fornecidas as propriedades do elemento. 
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Figura 2. Visualização de estrutura tipo viga com carregamento aplicado. 
 
 
Figura 3. Visualização de estrutura tipo viga deformada e indeformada. 
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Figura 4. Visualização do diagrama de esforço cortante em estrutura tipo viga. 
 
 
Figura 5. Visualização do diagrama de momento fletor em estrutura tipo viga. 
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Figura 6. Visualização de estrutura tipo treliça plana com cargas aplicadas. 
 
 
Figura 7. Visualização do diagrama de esforço axial em estrutura tipo treliça plana. 
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Figura 8. Visualização de estrutura tipo pórtico plano com carregamento aplicado. 
 
 
 
Figura 9. Visualização do diagrama de momento fletor em estrutura tipo pórtico plano. 
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O programa ANEST permite que uma estrutura seja analisada com diversos casos de carregamento (por 
exemplo: peso próprio, vento, sobrecarga acidental) eque sejam feitas combinações entre estes casos. O 
programa VISUESF também calcula em cada elemento o momento fletor máximo e a posição onde este 
ocorre, indicando no desenho, conforme pode ser observado nas Figuras 5 e 9. 
 
5. Considerações Finais 
O programa ANEST é uma ferramenta computacional desenvolvida para utilização por alunos de 
graduação em Engenharia Civil, que proporciona um melhor entendimento dos conteúdos das disciplinas 
de Análise Estrutural ministrados em sala de aula. A sua concepção em módulos simula as etapas da 
formulação matricial do método dos deslocamentos para a resolução de estruturas planas e espaciais. Isto 
torna o programa didático, sendo esta uma característica inexistente nos programas comerciais. 
O programa ANEST vem sendo desenvolvido pelos autores e por outros alunos de iniciação 
científica, fazendo com que estes aprofundem seus conhecimentos na área de Estruturas e tenham contato 
com linguagens de programação, o que é um diferencial entre os alunos do curso de graduação da UFSC. 
O programa também vem sendo utilizado por diversos alunos de pós-graduação da área de Estruturas, 
como base para novos programas desenvolvidos em suas dissertações de mestrado e teses de doutorado. 
Pretende-se dar continuidade ao desenvolvimento de ANEST, para possibilitar a análise de 
estruturas submetidas a variação de temperatura e deslocamentos prescritos (recalques de apoio) e 
também a inclusão de rótulas nas ligações entre elementos de vigas e pórticos. Além disto deve-se 
estender os módulos de visualização gráfica para estruturas espaciais. Posteriormente o programa pode 
ser estendido também para a análise de estruturas laminares e para a análise dinâmica de estruturas. 
 
6. Referências 
Chimello, A. A.; Gonchorovski, G.; Pignolo, G.; Schneider, A. e LaRovere, H.L. (1996-2002) “ANEST – 
Desenvolvimento de programas computacionais para Análise Estrutural”, Relatórios de Projeto 
PIBIC/UFSC, Florianópolis, S.C.. 
Ellis, T.M.R.; Philips, I.R. and Lahey, T.M. (1990) “FORTRAN 90 – Programing”, Ed. Addison-Wesley, 
England. 
ECV (2003), Endereço da página na Internet: http://www.ecv.ufsc.br/secdepto, Plano de Ensino, 
ECV5220, Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa Catarina. 
Gere, J. M. e Weaver, W. (1987) “Análise de Estruturas Reticuladas”, Editora Guanabara S.A. 
Martha, L.F. (2002) “FTOOL - Um Programa Gráfico-Interativo para Ensino de Comportamento de 
Estruturas”, Versão Educacional 2.11 para Windows, Tecgraf, PUC-Rio, Rio de Janeiro, RJ. 
Microsoft Power Station (1996) “Compilador FORTRAN 90”, Professional Edition, Versão 4.0. 
Seible, F.; Latham, C.T. and Kurkchubasche, A. (1987) “CALSD – Instructional Computer Programs for 
Structural Engineering – User Information Manual”, A.M.E.S. Department, University of California, 
San Diego, USA. 
Soriano, H.L. e Lima, S.S. (1997) “Análise de Estruturas em Computadores: Estruturas Reticuladas, Vol. 
I, 2a ed., Cadernos Didáticos UFRJ, Rio de Janeiro, RJ. 
Wilson, E.L. (1996) “SAP2000 PLUS - Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures”, 
Version 6.11, Computers & Structures, Inc., Berkeley, California, U.S.A. 
 
Agradecimentos 
Os autores gostariam de agradecer o apoio do CNPq, através do fornecimento de bolsas de iniciação 
científica do programa PIBIC/UFSC. 
http://www.ecv.ufsc.br/secdepto
	Agradecimentos