teste3-calculo3-2015-p2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Matemática
3o Teste de Cálculo III - 2015/2
ASSINATURA:
Questão:(valor 2,5 pontos) Seja F⃗ (x, y, z) = (a y + ex
2
, b x + sen (y4 + 1) , z2 + z), onde a,b
constantes reais. Sejam S1 a esfera x
2 + (y − 2)2 + z2 = 4 e S2 o plano y + z = 2. Considere a
curva C = S1 ∩ S2 e a superf́ıcie S, que é a parte de S1 situada acima de S2, orientada com a
normal para fora.
(a) Esboce S1, S2, C e S.
(b) Parametrize C e justifique porque C é um ćırculo de raio 2 e centro no ponto(0, 2, 0).
(c) Suponha a = b = 2. Calcule
∫
C
F⃗ .d⃗l. Especifique orientação de C.
(d) Suponha a = 2 e b = 4. Calcule
∫
S
rotF⃗ .d⃗S.
(e) F⃗ é conservativo para algum valor das constantes a e b? Em caso afirmativo, quais? Em
que regiões de IR3?
Atenção: especificar todos os teoremas e propriedades utilizados para resolver os itens e justi-
ficar porque puderam ser usados. Se for usada alguma curva ou superf́ıcie ou algum sólido que
não constem do enunciado, definir de forma clara e escolher notação que não colida com as que
já estão especificadas.