teste1-calculo3-2015-2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Matemática
1o Teste de Cálculo III - 2015/02
ASSINATURA:
Questão 1 (0.6 ponto) Seja D a região situada no primeiro quadrante do plano xy
e limitada pelas curvas y = 1
x
, y = x e y = 2. Esboce D e utilize o esboço
para descrever D como região tipo I e como região tipo II, usando conjuntos de
inequações.
Questão 2 (0.8 ponto) Seja Ω o sólido do primeiro octante limitado pelas superf́ıcies
z = x2 + y2, z = 0, y = x2 e y =
√
x. Esboce Ω e utilize o esboço para descrever
o volume de Ω como uma integral dupla e transforme-a em integrais iteradas, jus-
tificando propriedades utilizadas. (NÃO É PARA RESOLVER AS INTEGRAIS
ITERADAS).
Questão 3 (0.6 ponto) Seja C1 a curva com equação cartesiana x
2 + y2 = y+
√
x2 + y2
e C2 a curva com equação polar r = 1. Determine equação polar de C1, esboce
a parte de C1 no primeiro quadrante e esboce a região D do primeiro quadrante
do plano xy limitada pelas curvas C1, C2 e pelos eixos coordenados. Descreva
algebricamente com inequações a região D′ = T−1(D), sendo T a mudança polar
de variáveis.