Vetores---Ex-9

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Vetores no R2 e R3, 2017–1, Departamento de Matemática
Manuel Stadlbauer
Lista 9 de exercícios
Questão 1. Estabalece a equação geral em cada um dos seguintes casos.
i) Vértice V(0,0) e diretriz d ∶ x+2 = 0.
ii) Foco F(2,0) e diretriz d ∶ x+2 = 0.
iii) Vértice V(0,0) e foco F(0,−3).
iv) Vértice V(0,0) e foco F(−3,0).
v) Foco F(0,−1) e diretriz d ∶ y−1 = 0.
vi) Vértice V(−2,3) e foco F(−2,1).
vii) Vértice V(0,0), eixo Oy e passando pelo ponto
P(2,−3.)
viii) Vertice V(0,0), eixo y = 0 e passa pelo ponto
P(4,5).
ix) Vértice V(4,1) e diretriz d ∶ x+4 = 0. (x) Foco
F(3,−1) e diretriz d ∶ x = 12 .
x) Eixo de simetria paralelo ao eixo Oy, passa pelos
pontos P1(0,1), P2(1,0) e P3(2,0).
Questão 2. Em cada um dos problemas, determine o vértice, o foco, uma equação geral da diretriz e uma equação
geral do eixo da parábola de equação dada. Esboce o gráfico.
i) y2 =−100x
ii) x2+4x+8y+12 = 0
iii) y2+4y+16x−44 = 0
iv) y = x2−4x+2
v) y = 4x− x2
vi) 6y = x2−8x+4
Questão 3. Em cada um dos problemas, determine os vértices, os focos e esboce a elipse de equação geral dada.
i) x
2
100 +
y2
36 = 1. ii) 9x
2+5y2 = 45. iii) 9x2+25y2 = 25.
Questão 4. Em cada um dos casos, determine a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.
i) eixo maior tem comprimento 10 e os focos são
(±4,0).
ii) centro C(0,0), um foco F1( 34 ,0) e um vértice
A1(1,0).
iii) Vertices A(0,±6) e passando por P(3,2).
iv) centro C(0,0), eixo menor mede 6, focos no eixo
Ox e passa pelo ponto P(−2
√
5,2).
v) vértices A1(−1,2) e A2(−7,2) e o eixo menor
mede 2.
Questão 5. Em cada um dos problemas, determine o centro, os vértices, os focos e esboce a elipse de equação geral
dada.
i) (x−2)
2
16 +
(y+3)2
9 = 1.
ii) 25x2+16y2+50x+64y−311 = 0.
iii) 4x2+9y2−24x+18y+9 = 0.
iv) 16x2+ y2+64x−4y+52 = 0.
Questão 6. Em cada um dos problemas, determine os vértices, os focos, o centro, as equações das assíntotas e
esboce a hipérbole de equação geral dada.
i) x
2
100 −
y2
64 = 1.
ii) 9x2−4y2−18x−16y−43 = 0.
iii) 16x2−9y2−64x−18y+199 = 0.
iv) 4x2− y2−32x+4y+24 = 0.
Questão 7. Em cada um dos casos, determine a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.
i) Focos F(±5,0), vértices A(±3,0).
ii) CentroC(−2,1), eixo real paralelo aOx passando
pelos pontos P1(0,2) e P2(−5,6).
Questão 8. Classificar, dar os elementos e representar graficamente a cônica de equação geral dada.
i) x2+4y2−4x−24y+36 = 0. ii) 9y2−25x2−90y−50x = 25. iii) 6y = x2−8x+14.
Respostas
Solução 1. (i) x2 = 8y (ii) y2 = 8x (iii) x2 =−12y (iv) y2 =−12x (v) x2 =−4y
(vi) x2+4x+8y−20 = 0 (vii) 3x2+4y = 0 (viii) 4y2−25x = 0
(ix) y2−2y−8x+33 = 0 (x) (y+1)2 = 5(x− 74) (xi) 2y = x
2−3x+2.
Solução 2. i) V(0,0), F(−25,0), d ∶ x = 25, eixo:
y = 0.
ii) V(−2,−1), F(−2,−3), d ∶ y = 1, eixo x =−2.
iii) V(3,−2), F(−1,−2), x = 7, eixo y =−2.
iv) V(2,−2), F(2,− 74), y =−
9
4 , eixo x = 2.
v) V(4,− 13), F(4,
7
6), d ∶ x =−
11
6 , eixo x = 4.
Solução 3. i) C(0,0), A(±10,0), B(0,±6), F(±8,0) e e = 45 .
ii) C(0,0), A(0,±3), B(±
√
5,0), F(0,±2) e e = 23 .
iii) C(0,0), A(± 53 ,0), B(0,±1) F(±
4
3 ,0) e e =
4
5 .
Solução 4. (i) 9x2 +25y2 = 225, (ii) 7x2 +16y2 = 7, (iii) 8x
2
81 +
y2
36 = 1, (iv) x
2 +4y2 = 36, (v) 9x2 +5y2 −18x−
20y−151 = 0, (vi) x2+9y2+8x−36y+43 = 0.
Solução 5. i) C(2,−3), A1(−2,−3), A2(6,−3), B1(2,0), B2(2,−6), F(2±
√
7,−3) e e =
√
7
4 .
ii) C(−1,−2), A1(−1,−7), A2(−1,3), B1(−5,−2), B2(3,−2), F(−1,−2±3) e e = 35 .
iii) C(3,−1), A1(6,−1), A2(0,−1), B1(3,1), B2(,3−3), F(3±
√
5,−1) e e =
√
5
3 .
iv) C(−2,2), A1(−2,−2), A2(−2,6), B1(−3,2), B2(−1,2), F(−2,2±
√
15) e e =
√
15
4 .
Solução 6. i) C(0,0), A(±10,0), F(±2
√
41,0) e y =± 45 x.
ii) C(1,−2), A1(−1,−2), A2(3,−2), F(1±
√
13,−2) e y+2 =± 32(x−1).
iii) C(2,−1), A1(2,−5), A2(2,3) F1(2,−6), F2(2,4) e y+1 =± 43(x−2).
iv) C(4,2), A1(1,2), A2(7,2) F(4±3
√
5,2) e y−2 =±2(x−4).
Solução 7. (i) 16x2−9y2 = 144, (ii) 24x2−5y2+96x+10y = 0.
Solução 8. i) elipse: C(2,3), A1(0,3), A2(4,3), B1(2,4), B2(2,2), F(2±
√
3,3) e e =
√
7
4 .
ii) hipérbole: C(1,5), A1(1,10), A2(1,0), F(1,5±34), y−5 =± 53(x−1).
iii) parábola V(4,− 13), F(4,
7
6), d ∶ y =−
11
6 .