Exercícios prontos com sumário (2)

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SUMÁRIO
1) Dados os pontos A(2,-4), B(-2,2) e C(0,6):	2
a) Construa o triângulo de vértices A, B e C.	2
b) Calcule os comprimentos das 3 medianas desse triângulo.	3
2) Dados os pontos A(2,-4) e B(5,2), responda o que se pede:	5
a)	Qual é a equação da reta, na forma y=ax+b, que contém os pontos A e B? Identifique os coeficientes angular e linear.	5
b)	A reta obtida no item “a” é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta.	6
c)	Esboce o gráfico da reta.	6
3) Determinar a equação da circunferência de centro e raio .	7
4) Determine o centro e o raio da circunferência Após inserir a equação no Geogebra, utilizou-se as funções de centro e raio para determinar automaticamente os dados pedidos.	8
5) Para cada uma das parábolas a seguir, determine o foco, a diretriz e construa o gráfico.	9
a)=-6y	9
b)	11
6) Obtenha uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas:	13
a) Vértice: V(0,0) e diretriz d:y=-3	13
b) Foco: F(2,0) e diretriz d:x+2=0	15
c) Vértice: V(0,0) e foco F(0,-2)	16
7) Dada a equação da elipse , determine a medida dos semieixos maior e menor, os focos, a excentricidade e realize um esboço do gráfico.	18
8) Calcule a equação reduzida da elipse de centro , com eixo menor , contido no eixo e distância focal .	20
9) Dada a equação da hipérbole , determine a medida dos semieixos maior e menor, vértice, focos, a excentricidade e realize um esboço do gráfico.	21
10) Calcule a equação reduzida da hipérbole de centro , com eixo real , contido no eixo e distância focal 	23
1) Dados os pontos A(2,-4), B(-2,2) e C(0,6):
a) Construa o triângulo de vértices A, B e C.
Para criar o triângulo em questão, vamos inicialmente definir os pontos, A, B e C, inserindo-os no campo de entrada. A seguir com o uso da ferramenta polígono, ligar os pontos.
b) Calcule os comprimentos das 3 medianas desse triângulo.
Para descobrir os segmentos das medianas, utilizou-se inicialmente a ferramenta “Ponto médio ou centro” para descobrir o ponto médio dos lados dos triângulos. Em seguida, utilizou-se a ferramenta “semirreta” para ligar os pontos A, B e C aos pontos médios opostos, resultando assim nas medianas. A seguir, utilizando as configurações do aplicativo, foi possível pedir que o valor dos segmentos fosse mostrado, resultando nas medidas que podem ser vistas na figura abaixo.
2) Dados os pontos A(2,-4) e B(5,2), responda o que se pede:
a) Qual é a equação da reta, na forma y=ax+b, que contém os pontos A e B? Identifique os coeficientes angular e linear.
Para esboçar o gráfico, e descobrir a equação da reta, bastou inserir os pontos A e B, e em seguida, ligá-los com a ferramenta reta. A seguir, o Geogebra fornece a equação da reta cujo coeficiente angular é 2 e o coeficiente linear é 8.
b) A reta obtida no item “a” é crescente ou decrescente? Justifique sua resposta.
Como a reta é crescente.
c) Esboce o gráfico da reta.
3) Determinar a equação da circunferência de centro e raio .
A equação da circunferência de centro e raio , com , é . Logo, a equação da circunferência com coordenados do centro e raio medindo 5 é dada por: .
4) Determine o centro e o raio da circunferência Após inserir a equação no Geogebra, utilizou-se as funções de centro e raio para determinar automaticamente os dados pedidos.
5) Para cada uma das parábolas a seguir, determine o foco, a diretriz e construa o gráfico.
a)=-6y
Após inserir a parábola no Geogebra. Utilizou-se os recuso de foco e diretriz, digitando-se os termos no campo de entrada.
Para obter o foco e a diretriz, podemos também utilizar a definição geral de parábola, onde:
Comparando com a equação da parábola dada, temos:
Logo, 
A diretriz, por sua vez, é uma reta paralela a x dada por 
Logo, a diretriz será dada por: 
 o ponto do foco é Ponto ,  onde p é a distância entre o foco e a diretriz. Logo, o foco será dado pelo ponto 
b)
Após inserir a parábola no Geogebra. Utilizou-se os recuso de foco e diretriz, digitando os mesmos no campo de entrada.
considerando o vértice V um ponto do eixo das abscissas, então sua equação será do tipo:
Comparando com a equação da parábola dada, temos:
Logo, 
A diretriz, por sua vez, é uma reta paralela a y dada por 
Logo, a diretriz será dada por: 
 o ponto do foco é Ponto ,  onde p é a distância entre o foco e a diretriz. Logo, o foco será dado pelo ponto 
6) Obtenha uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas:
a) Vértice: V(0,0) e diretriz d:y=-3
Dado o vértice: V(0,0) e a diretriz d: y = -3
b) Foco: F(2,0) e diretriz d:x+2=0
Seja o ponto genérico, a sua distancia a reta é igual a sua distância ao ponto .
Logo, 
Elevando ambos os termos ao quadrado, temos
c) Vértice: V(0,0) e foco F(0,-2)
Dado o vértice: V(0,0) e foco (0,-2), logo d: x+2=0
7) Dada a equação da elipse , determine a medida dos semieixos maior e menor, os focos, a excentricidade e realize um esboço do gráfico.
Após inserir a equação no Geogebra, foram pedidas as informações dos focos e da excentricidade. Em relação aos eixos, o maior mede 8 e o menor mede 6. Logo, os semieixos maior e menor, mede 4 e 3 respectivamente.
8) Calcule a equação reduzida da elipse de centro , com eixo menor , contido no eixo e distância focal .
Dados: ; eixo menor 6, logo b = 3; dist. focal 8, logo c = 4; cont. no eixo y
Portanto, a equação reduzida da elipse será,
9) Dada a equação da hipérbole , determine a medida dos semieixos maior e menor, vértice, focos, a excentricidade e realize um esboço do gráfico.
Dividindo ambos os lados por 16, teremos:
Eixos:
Semieixo maior: 4
Semieixo menor: 2
Vértices:
 e , logo os vértices são e 
Focos:
Logo, os focos são: 
Excentricidade:
10) Calcule a equação reduzida da hipérbole de centro , com eixo real , contido no eixo e distância focal 
Dados: ; eixo real , logo ; distância Focal , logo ; 
Logo, a equação reduzida da hipérbole será dada por: