Lista4_ead

Prévia do material em texto

Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba - DAMAT
MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear - Profa. Dra. Diane Rizzotto Rossetto
LISTA 4 - Cônicas e Quádricas
⇒ Desenvolvidas juntamente com os professores Adriano Verdério e Nara Bobko a partir das referências que
constam no plano de ensino.
Questão 1: Considere a elipse dada pela equação 16x2+25y2 = 400. Encontre seus elementos (foco(s), vértice(s),
medida eixo(s), etc.) e faça um esboço desta cônica.
Questão 2: Considere a hipérbole descrita pela equação 9x2−16y2 = 144. Encontre seus vértices, focos e esboce
seu gráfico.
Questão 3: Considere a parábola que possui vértice V = (0, 0) e foco F = (0, 2). Determine a equação reduzida
desta parábola e faça um esboço da parábola indicando seus elementos (foco, vértice, diretriz e eixo).
Questão 4: Determine a equação da elipse que satisfaz as condições dadas. Esboce o gráfico.
a) eixo maior mede 10 e focos (±4, 0).
b) centro C = (0, 0), focos no eixo x, excentricidade e =
2
3
e passa pelo ponto P =
(
2,−5
3
)
.
c) vértices A = (0,±6) e passa pelo ponto P = (3, 2).
d) vértices A1 = (1,−4) e A2 = (1, 8), excentricidade e =
2
3
.
Questão 5: Determine os elementos da elipses dadas. Esboce o gráfico.
a)
x2
100
+
y2
36
= 1.
b) x2 + 25y2 = 25.
c) 9x2 + 5y2 − 45 = 0.
d) 4x2 + 9y2 = 25.
e) 4x2 + 25y2 = 1.
f) 25x2 + 16y2 + 50x+ 64y − 311 = 0.
g) 16x2 + 9y2 − 96x+ 72y + 144 = 0.
h) 4x2 + 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0.
Questão 6: Determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboce o gráfico e
seus elementos, incluindo as assíntotas.
a) 9x2 − 16y2 = 144.
b) x2 − y2 = 2.
c) y2 − 4x2 = 1.
d) 2y2 − 4x2 = 1.
e) 9x2 − 4y2 − 18x− 16y − 43 = 0.
f) 9x2 − y2 + 36x+ 6y + 63 = 0.
g) 16x2 − 9y2 − 64x− 18y + 199 = 0.
Questão 7: Em cada caso determine a equação reduzida da parábola.
a) vértice V = (0, 0) e diretriz d : y = −2.
b) foco F = (2, 0) e diretriz d : x+ 2 = 0.
c) vértice V = (0, 0), simetria em relação ao eixo y e passando pelo ponto P = (2,−3).
1
d) vértice V = (−4, 3) e foco F = (−4, 1).
e) eixo de simetria paralelo ao eixo y e passa pelos pontos A = (0, 0), B = (1, 1) e C = (3, 1).
Questão 8: Em cada caso determine o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da
parábola de equação dada. Esboce o gráfico.
a) x2 = −12y.
b) y2 = −100x.
c) x2 + 4x+ 8y + 12 = 0.
d) x2 − 2x− 20y − 39 = 0.
e) 8x = 10− 6y + y2.
f) y = 4x2 − 16x+ 15.
Questão 9: Determine que tipo de cônica está sendo descrita pela equação em cada um dos casos abaixo.
a)
x2
9
+
y2
16
− 1 = 0
b) x2 − y2 = 0
c) x2 + y2 + 1 = 0
d)
x2
9
− y
2
4
− 1 = 0
e) x2 − 2y = 0
f) x2 + y2 = 0
g) x2 − 1 = 0
Questão 10: Obtenha a equação resultante de uma translação de eixos, classificar, encontrar os elementos e
representar graficamente as equações.
a) x2 + 4y2 − 4x− 24y + 36 = 0.
b) x2 − y2 − 8x− 4y + 11 = 0.
c) y2 − 8x+ 6y + 17 = 0.
d) 3x2 + 2y2 − 12x+ 8y + 19 = 0.
e) x2 + 2x+ 8y − 15 = 0.
f) 9x2 − 4y2 − 54x+ 45 = 0.
g) 9y2 − 25x2 − 90y − 50x = 25.
Questão 11: Identifique as quádricas representadas pelas equações.
a) x2 + y2 + z2 = 25.
b) 2x2 + 4y2 + z2 − 16 = 0.
c) x2 − 4y2 + 2z2 = 8.
d) z2 − 4x2 − 4y2 = 4.
e) x2 + z2 − 4y = 0.
f) 4x2 − y2 = z.
g) y2 = 4z.
h) x2 − 4y2 = 16.
i) 16x2 + 9y2 − z2 = 144.
j) 16x2 − 9y2 − z2 = 144.
k) 2y2 + 3z2 − x2 = 0.
l) 4x2 + 9y2 = 36z.
Respostas
1. Vértices: (±5, 0) e (0,±4), Focos: (±3, 0), a = 5, b = 4.
2. Vértice: (±4, 0), Focos: F = (±5, 0).
3. x2 = 8y
4.
2
a)
x2
25
+
y2
9
= 1.
b)
x2
9
+
y2
5
= 1.
c)
x2
81
8
+
y2
36
= 1.
d)
(x− 1)2
20
+
(y − 2)2
36
= 1.
5.
a) C = (0, 0), A = (±10, 0), B = (0,±6), F = (±8, 0), e = 4
5
.
b) C = (0, 0), A = (0,±3), B = (±
√
5, 0), F = (0,±2), e = 2
3
.
c) C = (0, 0), A = (±5, 0), B(0,±1), F = (±2
√
6, 0), e =
2
√
6
5
.
d) C = (0, 0), A =
(
±5
2
, 0
)
, B =
(
0,±5
3
)
, F =
(
±5
√
5
6
, 0
)
, e =
√
5
3
.
e) C = (0, 0), A =
(
±1
2
, 0
)
, B =
(
0,± 1
25
)
, F =
(
±
√
21
10
, 0
)
, e =
√
21
5
.
f) C = (−1,−2), A1(−1,−7), A2 = (−1, 3), B1 = (−5,−2), B2 = (3,−2), F1 = (−1,−5), F2 = (−1, 1),
e =
3
5
.
g) C = (3,−4), A1 = (3,−8), A2 = (3, 0), B1 = (0,−4), B2 = (6,−4), F = (3,−4±
√
7), e =
√
7
4
.
h) C = (1, 2), A1 = (−2, 2), A2 = (4, 2), B1 = (1, 0), B2 = (1, 4), F = (1±
√
5, 2), e =
√
5
3
.
6.
a) C = (0, 0), A = (±4, 0), F = (±5, 0), e = 5
4
.
b) C = (0, 0), A = (±
√
2, 0), F = (±2, 0), e =
√
2.
c) C = (0, 0), A = (0,±1), F =
(
0,±
√
5
2
)
, e =
√
5
2
.
d) C = (0, 0), A =
(
0,±
√
2
2
)
, F =
(
0,±
√
3
2
)
, e =
√
6
2
.
e) C = (1,−2), A1 = (−1,−2), A2 = (3,−2), F = (1±
√
13,−2), e =
√
13
2
.
f) C = (−2, 3), A1 = (−2,−3), A2 = (−2, 9), F = (−2, 3± 2
√
10), e =
√
10
3
.
g) C = (2,−1), A1 = (2,−5), A2 = (2, 3), F1 = (2,−6), F2 = (2, 4), e =
5
4
.
7.
a) x2 = 8y.
3
b) y2 = 8x.
c) x2 = −4
3
y.
d) (x+ 4)2 = −8(y − 3).
e) (x− 2)2 = −3
(
y − 4
3
)
.
8.
a) V = (0, 0), F = (0,−3), y = 3, x = 0.
b) V = (0, 0), F = (−25, 0), x = 25, y = 0.
c) V = (−2,−1), F = (−2,−3), y = 1, x = −2.
d) V = (1,−2), F = (1, 3), y = −7, x = 1.
e) V =
(
1
8
, 3
)
, F =
(
17
8
, 3
)
, 8x+ 15 = 0, y = 3.
f) V = (2,−1), F =
(
2,−15
16
)
, y = −17
16
, x = 2.
9a. Elipse
9b. Retas concorrentes
9c. Conjunto vazio
9d. Hipérbole
9e. Parábola
9f. Um ponto
9g. Duas retas paralelas
10.
a) Elipse.
b) Hipérbole.
c) Parábola.
d) Elipse.
e) Parábola.
f) Hipérbole.
g) Hipérbole.
11.
a) Superfície esférica.
b) Elipsóide.
c) Hiperbolóide de uma folha.
d) Hiperbolóide de duas folhas.
e) Parabolóide circular.
f) Parabolóide hiperbólico.
g) Superfície cilíndrica parabólica.
h) Superfície cilíndrica hiperbólica.
i) Hiperbolóide de uma folha.
j) Hiperbolóide de duas folhas.
k) Superfície cônica elíptica.
l) Parabolóide elíptico.
4