Métodos de Cálculo em Conformação Plástica

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56
8 Métodos de Cálculo de Tensões e Deformações
8.1 Introdução
O emprego dos métodos de cálculo em conformação plástica tem por objetivo determinar os
esforços, tensões e deformações a que estão submetidas a peça conformada e as ferramentas a
fim de:
• prever possíveis falhas durante o processamento tais como: imperfeições de
escoamento, acúmulo de tensões em regiões críticas, defeitos nos produtos;
• definir o tipo e a capacidade dos equipamentos a empregar;
• definir o número de etapas necessárias ao processamento de uma dada peça metálica.
Um processo de conformação pode ser analisado como um sistema que envolve
parâmetros do material a conformar, do processo propriamente dito, do equipamento, bem
como de características do “tarugo” e do produto conformado. A figura 8.1 apresenta a
relação entre esses diversos parâmetros de processamento.
8.2 Hipóteses simplificadoras
A fim de simplificar os modelos aplicados aos métodos de cálculo, assume-se algumas
hipóteses a respeito do material a conformar, das ferramentas e de algumas variáveis de
processamento.
Sobre o material a conformar, assume-se que sejam:
• isotrópicos, ou seja, apresentam as mesmas propriedades mecânicas em todas as
direções de solicitação;
• incompressíveis, não apresentam variação de volume durante o processo. Na realidade,
ocorre um pequeno aumento de volume devido ao aumento da densidade de
discordâncias;
• contínuos, não apresentam poros ou vazios que compromentam sua continuidade;
• homogêneos e uniformes, apresentam a mesma composição química, morfologia de
grãos e distribuição de partículas ao longo de seu comprimento.
Outras hipóteses sobre o material referem-se ao comportamento mecânico. Na figura 8.2
apresenta-se seis modos de escoamento, relacionados aos campos elástico e plástico e à
ocorrência ou não de encruamento.
Sobre as ferramentas, assume-se que sejam rígidas ou seja, que não sofram
deformações elásticas durante o processo.
Sobre o processo, as hipóteses mais importantes referem-se ao coeficiente de atrito
que é assumido como sendo constante ao longo de todo o processo e à velocidade que
também é assumida constante.
A respeito da quantificação do coeficiente de atrito existente na interface ferramenta-
tarugo, existem dois modelos propostos:
1. Modelo de Coulomb ou Amontons, estabelece que a tensão cisalhante (τ) necessária
para provocar o movimento relativo entre as superfícies em contato, é diretamente
proporcional à pressão aplicada (p):
τ = µ.p
57
O coeficiente de proporcionalidade µ.é constante ao longo do processo, dependendo
apenas das propriedades dos materiais em contato e do lubrificante, sendo
independente da geometria e da velocidade com que se efetua o movimento relativo.
Esse modelo apresenta resultados confiáveis quando aplicado a processos em que a
lubrificação é eficiente e os níveis de pressão na interface são reduzidos. Para níveis de
pressão elevados, onde o contato entre as superfícies é elevado, o valor de τ necessário
para ocorrer o movimento atinge um valor máximo igual à tensão limite de escoamento
sob cisalhamento do material da peça (k).
Assim, a expressão anterior torna-se
p
k=µ
A partir da aderência total, quanto maior a pressão aplicada, menor o coeficiente de
atrito entre as superfícies, o que é fisicamente incorreto.
2. Num segundo modelo, denominado fator de atrito constante, define-se um fator m que
independe da pressão aplicada e que relaciona a tensão cisalhante necessária ao
movimento relativo à tensão limite de escoamento sob cisalhamento do material menos
resistente em contacto (k), geralmente, o material do tarugo.
τ = m.k
O valor de m pode variar de valores próximos de zero (deslizamento quase perfeito) a
valores próximos da unidade (aderência total - cisalhamento sob a interface peça-
ferramenta).
A aplicação de um desses dois modelos depende dos fatores como o nível de pressão
desenvolvido na interface e à maior ou menor eficiência dos lubrificantes.
Figura 8.1 - Inter-relacionamento dos parâmetros de processamento em conformação
58
Figura 8.2 - Comportamento mecânico de materiais conformados plasticamente.
Como exemplo, em processos onde o acesso do lubrificante à interface de contato é
dificultado e os níveis de pressão são elevados (forjamento a quente em matriz fechada), o
uso do modelo do fator de atrito fornece resultados mais confiáveis do que o modelo de
Coulomb. Já em processos onde os níveis de pressão são menores e a presença de lubrificante
na região de deformação é constante, pode-se aplicar o modelo de Coulomb.
8.3 Teoria da plasticidade
A fim de avaliar o início do escoamento plástico de um material metálico durante um
processo de conformação, torna-se necessário relacionar os diversos estados de tensão e
deformação aos esforços externos desenvolvidos. Para tanto algumas definições são feitas:
• Estado de tensão plana, onde as tensões normais atuam num plano em direções
perpendiculares entre si, sendo nula a tensão normal na terceira dimensão, como pode
ser assumido no caso de uma chapa fina submetida a tensões no plano da chapa.
• Estado de deformação plana, onde o escoamento ocorre em planos paralelos a um dado
plano. Na direção normal a esse plano a deformação é desprezível, como é o caso da
torção pura e da laminação de chapas largas em que somente a espessura e o
comprimento são deformados (Figura 8.3).
59
k
-k
σ
τ
τ τ
Figura 8.3 - Representação do estado plano de deformação.
No caso da laminação, como assume-se que não há mudança de volume, a deformação
na espessura é igual à do comprimento porém de sinais contrários. No estado de
deformação plana, existe o componente de tensão normal na terceira dimensão (z),
como mostrado:
( )[ ] 01 =+−= yxzz E σσνσε
assim,
( )yxz σσνσ +=
onde ν : módulo de Poisson.
§ Tensões principais: tensões normais que atuam em planos nos quais não ocorrem
tensões tangenciais. São representadas por σ1, σ2 e σ3, sendo por convenção:
σ1 > σ2 > σ3
§ Estados de tensão presentes nos processos de conformação, representados por círculos
de Mohr. A figura 8.4 apresenta os diversos estados de tensão que representam os
processos de conformação.
60
Figura 8.4 - Representação dos estados de tensão para processos de conformação.
61
8.4 Critérios de escoamento
Os critérios de escoamento foram elaborados a fim de definir o estado limite de
tensão que define o escoamento plástico dos materiais metálicos. Ou seja, a partir de qual
valor de tensão aplicada, dar-se-á o início do processo de deformação plástica.
O primeiro critério foi desenvolvido por TRESCA (1865) e definia que o escoamento
tem início quando a tensão de cisalhamento máxima (τmax) atinge um valor crítico,
característico e constante para um dado material (condições definidas de microestrutura,
velocidade e temperatura de trabalho) independentemente do estado de tensão aplicado.
 Pela análise do círculo de Mohr, verifica-se que
Aminmaxmax =
−=
2
σστ
 Ou seja, τmax = A (A constante para um dado material sob condições específicas de
microestutura e propriedades)
 Assim, no ensaio de tração
22 01 σστ === Amax
onde σ0 é definida como tensão limite de escoamento sob tração, facilmente medida nos
ensaios de tração convencionais.
Já no ensaio de torção, o valor da tensão limite de escoamento sob cisalhamento puro
(k) não é facilmente obtido. Utilizando-se o critério de TRESCA, tem-se
2021 σσστ ===−== Akmax
ou
20σ=k
O critério de TRESCA apresenta como erro o fato de não considerar a tensão
intermediária, a qual apresenta influência significativa no comportamento plástico dos
materiais.
Desta forma, von MISES propôs em 1.913, o critério denominado de critério de
escoamento por energia de distorção, que define que o escoamento tem início quando a
energia de distorção atinge um valor crítico B, constante para um dado material sob
condições definidas e independente do estado de tensões.
Equacionando:
( ) ( ) ( )[ ] B=−+−+− 2312322216
1 σσσσσσ
Assim, como no ensaio de tração:
0 e 3201 === σσσσtem-se:
( ) ( ) ( )[ ] 20230232220 3
1
6
1 σσσσσσσ =−+−+−
62
donde 203
1σ=B
Já no ensaio de torção, como:
σ1 = +k σ2 = 0 e σ3 = -k
 tem-se
( ) ( )( ) ( )( )[ ] 222222 00
6
1
kkkkk =−−++−−+−
donde B = k2
como B foi obtido do ensaio de tração, tem-se que a tensão limite de escoamento sob
cisalhamento puro, pelo critério de von MISES é dada por:
3
0σ=k
 O critério de von MISES apresenta resultados mais confiáveis visto que considera a
tensão intermediária, porém, deve-se destacar que em estados cilíndricos de tensão, a
aplicação de um ou outro critério fornece o mesmo resultado.
A comparação entre os dois critérios de escoamento pode ser feita traçando-se os
mapas de escoamento para um estado bidimensional (figura 8.5), com
0 0 321 =≠≠ σσσ
Figura 8.5 - Comparação entre os critérios de TRESCA e von MISES.
63
Observa-se que:
§ para tensão uniaxial (ou 0 0 312 ==≠ σσσ ) e para tensão biaxial balanceada
( 0 321 == σσσ ) os critérios apresentam o mesmo resultado.
§ para estados de cisalhamento puro ( 0 321 =−= σσσ ) ocorre a maior divergência,
algo em torno de 15%.
Outras formas de comparação entre os dois critérios de escoamento podem
ser observadas em DIETER, pp. 73-76.
8.5 Métodos de cálculo aplicados aos processos de conformação
As hipóteses anteriormente definidas são hipóteses gerais empregadas na quase
totalidade dos métodos desenvolvidos para cálculo de tensões e deformações. As hipóteses
particulares de cada método serão proporcionalmente em menor número quanto maior for a
precisão do método.
Os métodos teóricos e empíricos desenvolvidos para o estudo da conformação são os
seguintes:
§ energia uniforme
§ divisão e equilíbrio de elementos
§ linhas de deslizamento
§ limite superior de energia
§ visioplasticidade
§ simulação
§ elementos finitos
Um método será tão mais preciso quanto mais parcelas de energia forem consideradas
durante o cálculo. Num processo de conformação apresentam-se três parcelas de energia:
§ a energia uniforme ou de deformação homogênea, relacionada com a modificação das
formas e/ou dimensões do corpo metálico;
§ a energia de atrito relativa à interação existente entre as superfícies da peça trabalhada
e das ferramentas e,
§ a energia redundante relacionada às mudanças na direção de escoamento do material
durante sua deformação.
Dessas três parcelas, as duas últimas não contribuem para a qualidade do produto final e
dependem diretamente da qualidade e da geometria das ferramentas empregadas.
Como exemplo, através da figura 8.6 pode-se analisar o processo de trefilação com
matrizes cônicas, mantendo-se a redução de área constante e variando-se o ângulo de
conicidade da matriz.
64
W W
W
W
W
α α
A
T
R
U
ótimo
Figura 8.6 - Variação das parcelas de energia em função do ângulo de conicidade da fieira
de trefilação.
8.5.1 Método da energia uniforme
É o método mais simples e menos preciso de todos, pois assume uma série de
hipóteses simplificadoras:
• coeficiente de atrito é considerado desprezível;
§ a geometria das ferramentas não afeta o escoamento do material.
Essas duas hipóteses fazem com que tanto a parcela de energia de atrito quanto a de
trabalho redundante sejam desprezadas. Isto obviamente acarreta um erro nos resultados de
forma que esse método serve apenas para uma primeira análise, dando uma idéia da ordem de
grandeza dos esforços e tensões.
Um exemplo de aplicação do método é o uso na trefilação de barras cilíndricas com
matrizes de pequeno ângulo de conicidade (α ~ 0) e lubrificação efetiva (µ ~ 0). Assim,
poder-se-ia calcular a força necessária para trefilação pelo seguinte procedimento.
O trabalho externo dispendido para trefilar uma barra de diâmetro ∅ i e comprimento li até
uma barra de diâmetro ∅ f e comprimento lf é dado por:
fte lFW =
dividindo pelo volume
t
f
t
ff
ftfte
A
F
lA
lF
V
lF
V
W σ====
O trabalho interno desenvolvido durante a deformação pode ser definido por:
- com α ~ 0 e µ ~ 0, o estado de tensão na região de deformação apresenta-se como
mostrado na figura 8.7.
65
Figura 8.7 – Estado de tensão na trefilação com atrito e ângulo de trabalho nulos.
Para um aumento de comprimento dl o incremento de energia necessária é dado por
dWi:
dWi = σ.A.dl
dividindo pelo volume V = A.l:
Al
Adl
V
dWi σ=
assim,
l
dl
V
dWi σ=
integrando,
∫∫ =
f
i
i l
l
W
i
l
dl
V
dW σ
0
como dl/l = dε e V é constante,
∫=
f
i
d
V
Wi
ε
ε
εσ
assumindo que o material de partida esteja recozido (εi = 0):
∫=
f
d
V
Wi
ε
εσ
0
onde




=


=
f
i
i
f
f A
A
ln
l
l
lnε
66
e a integral é a área sob a curva σ x ε entre 0 e εf, como
f
f
d
ε
εσ
σ
ε
∫
= 0
assim,




==
f
i
f
i
A
A
ln
V
W σεσ
Igualando Wi a We tem-se:




=
f
i
f
t
A
A
ln
A
F σ
ou ainda,




=
f
i
ft A
A
lnAF σ
que é o resultado da força de trefilação considerando somente a energia de deformação
homogênea.
Como Ft/Af é igual à tensão de trefilação σt, pode-se calcular a redução máxima por
passe rmax para a condição de que σσ <t , obtendo-se rmax < 63%.
8.5.2 Método da divisão e equilíbrio de elementos
Também denominado “slab method” ou método de Sachs, considera o atrito na
interface tarugo-ferramentas, bem como a geometria das ferramentas porém só como fator
geométrico e não como influente na energia de trabalho redundante. O coeficiente de atrito é
assumido constante.
O método consiste na divisão da região de deformação em elementos infinitesimais,
seguindo-se o equilíbrio de esforços nas direções x, y e z.
Do equilíbrio de esforços pode-se determinar as tensões aplicadas em cada ponto do
material deformado.
Como exemplo será analisada a trefilação de barras cilíndricas e empregado o
esquema mostrado na figura 8.8.
Fazendo o equilíbrio de esforços na direção x ( 0=∑ xF ):
( ) ( ) 0
44
22
=−−++−
α
απ
α
απµσσπσπ
cos
dx
Dsinp
cos
dx
cosDpd
dDDD
xxx
dividindo por π, por D e por -1:
67
0
42
=++ αµσσ tanpdxpdxDddD xx
µp
dxx
y
D DD+dD
α σ +dσ
0 Df
σ
µp
x x
x
Figura 8.8 – Parâmetros da trefilação de barras cilíndricas para o MDEE.
como 
αtan
dDdx
2
=
0
2242
=++ pdD
tan
pdDDddD xx
α
µσσ
multiplicando por 4:
( )[ ] 012 =+++ αµσσ cotpdDDd xx (*)
Já o equilíbrio dos esforços em y ( 0=∑ yF ) relativos às tensões radiais, fornece:
( ) α
α
πµα
α
ππσ sin
cos
dx
Dpcos
cos
dx
DpDdxy 


+



−=
com α e µ pequenos tem-se: µtan α → 0
Assim, σ1 = σx e σ2 = σ3 = -p
Pelos critérios de Tresca e von Mises, σ1 - σ2 = σ0
ou σx + p = σ0
ou p = σ0 - σx
substituindo-se na equação (*):
( )[ ]αµσσσσ cotdDDd xxx +−+−= 12 0
68
ou
( ) D
dD
BB
d
x
x 2
10
=
+− σσ
σ
com B = µcot α
Integrando entre D0 e Df, com as condições de contorno:
 σx = 0 para D = D0
σx = σtref para D = Df
tem-se
( )[ ] DlnBBln
B x
211 0 =+− σσ
e finalmente,
( )











−+=
B
ftref
D
D
B
B
2
00
11
1
σ
σ
Definindo r como redução de área:
2
00
11 


−=−=
D
D
A
A
r ff donde r
D
D f −=



1
2
0
obtendo-se
( ) ( )[ ]Btref rB
B
−−+= 1111
0σ
σ
A redução máxima pode ser calculada considerando-se que no limite σtref = σ0, o que
leva à expressão:
( ) ( )[ ] 11111 =−−+ BmaxrBB
Adotando-se como valores adequados para a trefilação de fios µ = 0,05 e α = 10o,
tem-se B = 0,28 e obtém-se rmax ≈ 55%, que é um valor menor que os 63% obtidos pelo
método de energia uniforme que não considera as perdas por atrito nem a geometria da
ferramenta.
69
Um outro exemplo de análise pelo MDEE é a laminação de chapas largas através de
pequenas reduções por passe.
Na figura 8.9 tem-se o esquema do processo, bem como de dois elementos
infinitesimais que caracterizam a região de deformação.
O número 1 representa a situação próxima à entrada do material entre os cilindros.
Nessa região, há a tendência da chapa mover-se para trás, “patinando” à frente dos cilindros.
Assim, a tensão tangencial τ devida ao atrito apresenta-se no sentidode laminação.
Já o número 2 representa a situação próxima à saída da chapa. Nessa região, a tensão
tangencial τ apresenta-se em sentido contrário ao de laminação, contrapondo o movimento
para frente do material laminado.
Na direção axial, os elementos estão submetidos a tensões de compressão devidas à
contínua redução de seção transversal durante a deformação.
Do equilíbrio de esforços em x, tem-se:
∑ = 0xF
( )( ) 022 =±−−++
φ
φτφ
φ
σσσ
cos
dx
cossin
cos
dx
phdhhd xxx
O sinal positivo no último termo representa a região de movimento para trás,
enquanto o sinal negativo representa o movimento para frente.
Figura 8.9 - Representação da laminação de chapas e dos elementos infinitesimais.
022 =±−+ dxtanpdxhddh xx τφσσ
com
φtan
dh
dx
2
=
70
0=±−+
φ
τσσ
tan
dh
pdhhddh xx
dividindo por h:
( ) 0=±−−
φ
τσσ
tanh
dh
h
dh
pd xx (**)
Do equilíbrio de esforços em y, tem-se:
∑ = 0yF
02 =±−−
φ
φτφ
φ
σ
cos
dx
sincos
cos
dx
pdxy
com φ pequeno, tan φ também é pequeno e assim a expressão reduz-se a
σy = -p
Num estado de deformação plana, como é o caso do processo analisado, tem-se a
seguinte condição:
σ1 - σ3 = 2k
 Nesse exemplo, σ1 = p e σ3 = σx, assim: p - σx = 2k
A expressão (**) passa a
02 =


 ±−
h
dh
tan
kd x φ
τσ
ou
h
dh
tan
kd x 


 ±=
φ
τσ 2
As condições de contorno para integração dessa expressão são:
Em x = 0, σx = 0 e p = 2k e,
em x = -l, σx = 0 e p = 2k
Assumindo que na interface ocorra atrito de Coulomb,
τ = µ.p
71
e que o ângulo de contacto é normalmente pequeno nesse tipo de processo (algo em torno de
4o a 8o, pode-se associar a variação da espessura da chapa como uma parábola em função de
x:
h = a.x2 + b
A expressão final para a pressão em função da posição x é:
( ) ( ) ( )





 −−


 −+= − mu
m
emu
m
kp uum 1
2
1
2
12 202
0
para a região de movimento para trás e,
( )


 +−



 += mu
m
e
m
kp mu 1
22
12 22
para a região de movimento para frente.
Nas expressões acima, tem-se:
hh
lm
∆
=
1
2µ
1
1
0 h
h
tanu
∆= − e, 


 ∆= −
l
x
h
h
tanu
1
1
A figura 8.10 apresenta um gráfico da pressão p em função da posição x, onde nota-
se a existência de um pico de pressão no ponto de transição C, em que ocorre a passagem do
movimento para trás ao movimento para frente.
72
1
p/2k
α
L
x
Figura 8.10 - Pressão de laminação ao longo do arco de contato.
BRESCIANI, nas páginas 356 a 371, apresenta a aplicação desse método para os
casos de compressão de placas finas sob condições variadas de atrito e também para o
forjamento em matriz fechada.
8.5.3 Método do limite superior
O cálculo dos esforços é efetuado a partir de um campo de velocidades
cinematicamente admissível, com um modelo de deformação que satisfaça as condições de
contorno para as velocidades e a compatibilidade de velocidades, tensões e deformações.
Tal método considera tanto o trabalho para deformação uniforme, quanto o devido às
perdas por atrito, quanto o trabalho redundante.
É um método que apresenta uma elevada precisão, fornecendo resultados
superestimados em relação aos obtidos experimentalmente.
Um dos modelos desenvolvidos a partir desse método é o de AVITZUR, para o
estudo de processos onde ocorre o escoamento convergente em matrizes cônicas.
(Figura 8.11)
73
σxb
σxf
Τ3
Τ4
Τ1
Τ2
v0
θ
α
v0.cosθ
v0.sinθ vf.sinθvf
v0.cosθ
R0
Rf
Figura 8.11 - Representação da trefilação/extrusão de acordo com o modelo de AVITZUR.
A expressão final para a extrusão direta de barras cilíndricas é a seguinte:
( ) 




−
−



−=
αα
αα
σ
σ
σ
σ
cotsinR
R
lnf
f
ixfxb
2
00 3
2
2
( )











 −+















+−−
f
xf
f
i
f
ixf
R
L
R
R
ln
R
R
lncot
00
112
σ
σ
σ
σ
αµ
onde
µ - coeficiente de atrito;
L - comprimento da região cilíndrica
Com esse método, torna-se possível determinar o ângulo ideal para a ferramenta (α)
para o qual a energia de processo é mínima, bem como a redução máxima possível para
condições definidas de atrito e ângulo de conicidade, como mostrado nas figuras 8.12 e 8.13.
74
Figura 8.12 - Tensão de extrusão em função da redução de seção e do ângulo de
conicidade.
Figura 8.13 - Redução máxima possível em função do coeficiente de atrito e do ângulo de
conicidade.
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