Aula-05-F328-1S-2013n

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Aula-5 
 Capacitância 
Curso de Física Geral F-328 
1º semestre, 2013 
F328 – 1S20123 1 
Capacitância 
 Capacitores 
 Dois condutores carregados com cargas +Q e –Q e isolados, de 
formatos arbitrários, formam o que chamamos de um capacitor . 
 A sua principal utilidade é armazenar energia potencial no 
campo elétrico por ele formado. 
História - Garrafa de Leiden e bateria 
 Quatro capacitores carregados formando uma “bateria”. 
Esse sistema foi usado por Daniel Gralath para armazenar energia 
potencial no campo elétrico existente no interior dos capacitores - 
1756. 
 Daniel Bernoulli e Alessandro Volta mediram a força entre placas 
de um capacitor, e Aepinus em 1758 foi quem supôs que ela era uma 
lei de inverso do quadrado. (Em 1785 - Lei de Coulomb). 
Réplica do sistema de 
Gralath existente no 
museu de Ciência da 
Cidade de Leiden 
(Holanda). 
http://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli
http://en.wikipedia.org/wiki/Alessandro_Volta
http://en.wikipedia.org/wiki/Franz_Aepinus
//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/Plattenkondensator_hg.jpg
Capacitância 
Capacitores 
 O capacitor mais convencional é o de placas paralelas . Em 
geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos 
condutores que o compõem, independentemente das suas formas. 
Outros capacitores 
Capacitor de placas paralelas 
Capacitância 
Capacitores 
 Como as placas do capacitor são condutoras, elas formam 
superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à 
diferença de potencial entre elas, ou seja: 
CVQ 
onde C é a chamada capacitância do capacitor. Então: 
 
 
 A constante depende apenas da geometria do capacitor. 
 No SI a capacitância é medida em farads (F). 
1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V 
 Importante: pF/m85,80 
1 farad =  F10
6
, 
V
Q
C 
C
Capacitância 
Carregando o capacitor 
 Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma 
bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , ao 
capacitor. Assim, em função de 
cargas Q e –Q irão se acumular nas placas do 
capacitor estabelecendo entre elas uma 
diferença de potencial –V que se opõe à 
diferença de potencial da bateria e faz cessar o 
movimento de cargas no circuito. 
, CVQ 
Cálculo da Capacitância 
Esquema de cálculo 
 Em geral, os capacitores que usamos gozam de alguma simetria, 
o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior 
através da lei de Gauss: 
0
intˆ)(


q
dAnrE
S
 

 De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de 
potencial entre as duas placas como: 
 
f
i
r
r
if ldrEVVV



)(
 E, finalmente, usamos o resultado anterior em , de onde 
podemos extrair C. 
CVQ 
Capacitância 
Capacitor de placas paralelas 
EdV 
d
A
C 0


0
intˆ)(


q
dAnrE
S
 

 
f
i
r
r
if ldrEVV



)(
 Nota-se que a capacitância é proporcional a um comprimento e 
só depende de fatores geométricos do capacitor. 
CVq
A
q
E
0

Capacitância 







a
b
L
Q
V ln
2 0
CVQ 







a
b
L
C
ln
2
0

 Capacitor cilíndrico 
 
f
i
r
r
if ldrEVV



)(
Lr
Q
E
02 

(L>> b) 
superfície 
gaussiana 
L 
0
intˆ)(


q
dAnrE
S
 

Capacitância 
Capacitor esférico 
ab
abQ
V


04
CVQ 
ab
ab
C


0
4
 
f
i
r
r
if ldrEVV



)(
0
intˆ)(


q
dAnrE
S
 

2
04 r
Q
E


S 
Capacitância 
 Esfera isolada 
b
a
a
ab
ab
C




1
44 00 
b
aC 04
)( aR 
 Exemplo numérico: 
pF/m85,8
0
 F101,1 10C , 
+ 
E

+ 
+ + 
+ 
+ 
+ + 
+ 
+ 
+ 
b
a
m1R
Capacitância 
 Associação de capacitores em paralelo 
VCqVCqVCq
332211
e, 
VCCCqqqqq )( 321321 
321 CCCCeq 

i
ieq
CC
ou 
Como VCq eq
Capacitância 
 Associação de capacitores em série 
332211
e, VCqVCqVCq 







321
321
111
CCC
qVVVV
321
1111
CCCCeq
 
i ieq
CC
11
ou 
Como 
eqC
q
V : 
 Um agente externo deve realizar 
trabalho para carregar um capacitor. 
Este trabalho fica armazenado sob a 
forma de energia potencial na região 
do campo elétrico entre as placas. 
 Energia armazenada no campo elétrico 
 Suponha que haja e – armazenadas nas placas de um 
capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar de uma 
placa para a outra é então: 
qd
C
q
qdVdW 


C
q
qd
C
q
dWW
q
2
2
0


 
2
2
2
1
2
VC
C
q
U 
qd 
q q
E

ld

dq’ 
- - - - - - - - - - 
Energia no capacitor 
 Densidade de energia 
 Em um capacitor de placas paralelas sabemos que: 
d
A
C 0


2202
2
1
2
1
dE
d
A
CVU


EdV e 
2
0
2
1
E
Ad
U
u 
(Apesar de a demonstração 
ter sido feita para o 
capacitor de placas 
paralelas, esta fórmula é 
sempre válida!) 
volume
potencialenergia 
u
d 
x A, εo V=Ax 
Uma nova visão de U 
 a) Qual é o trabalho W necessário para 
aumentar em x a separação das placas? 
 - É a energia adicional que aparece no 
volume Ax, que antes não existia. Então: 
QEx
A
Q
xAE
xAExAuUW
2
1
2
1
2
1
0
0
2
0





A
Q
E
00 


 b) Qual é a força de atração entre as placas? 
 - Como xFW 
E

QEF
2
1

 Ao colocarmos um material dielétrico entre as placas de um 
capacitor, se Q é mantida constante, V diminui e se V é mantido 
constante, a carga das placas aumenta. 
 , ambas as situações são compatíveis com o fato de 
que o dielétrico entre as placas faz a capacitância aumentar. 
L00 CVimos: 
onde tem dimensão de comprimento. 
 Então, na presença de um dielétrico 
preenchendo totalmente o capacitor: 
L
1onde, 00   CCd L
No vácuo, 1
Dielétricos 
 Capacitores com dielétricos 
CVQComo 
Dielétricos 
 Visão atômica 
 Dielétricos são materiais isolantes que 
podem ser polares ou não-polares. 
+ - + - + - + - 
+ - + - + - + - 
+ - + - + - + - 
E0= 
0 
E0 E0 
E
´ 
E 
- 
- 
- 
+ 
+ 
+ 
E

E 

0E

0E

E 

0E

0E

um dielétrico não-polar 
um dielétrico polar: molécula de água 
E

p

 
00

E
 
Dielétricos 
 Material Constante 
dielétrica 
Resistência 
Dielétrica (kV/mm) 
Ar (1 atm) 1,00054 3 
Poliestireno 2,6 24 
Papel 3,5 16 
Pirex 4,7 14 
Porcelana 6,5 5,7 
Silício 12 
Etanol 25 
Água (20º) 80,4 
Água (25º) 78,5 
0
ˆ)(

qq
dAnrE
S



Lei de Gauss com Dielétricos 
 
A
q
E
0
0


A
qq
E
0



A
qE
0
0



q
qq 
qdAnrD
A
 ˆ)(

 é o vetor de deslocamento elétrico. 
 Então, na lei de Gauss expressa com o vetor , aparecem apenas 
as cargas livres (das placas). 
D

)()( 0 rErD


, 
onde 

0
0
ˆ)(

q
dAnrE
S


(a): 
(b): 
E
Em (b): 
0
ˆ)(

q
dAnrE
S


Ou: 
A
qq
0


superfície 
gaussiana 
q
q
(a) 
0E

superfície 
gaussiana 
q
q
q
q
(b) 
E


Mas 
Dielétricos 
 Exemplo 
 Capacitor de placas paralelas com A=115 cm2, d=1,24 cm, 
 V0=85,5 V, b=0,78 cm, . 
a) C0 sem o dielétrico; 
b) a carga livre nas placas; 
c) o campo E0 entre as placas 
 e o dielétrico; 
d) o campo Ed no dielétrico; 
e) a ddp V entre as placas na 
 presença do dielétrico; 
f) A capacitância C com o 
 dielétrico. 
Calcule: 
61,2
superfície 
gaussiana II 
superfície 
gaussiana I 
Os exercícios sobre Lei de Gauss estão na página da disciplina : 
(http://www.ifi.unicamp.br). 
Consultar: Graduação  Disciplinas  F 328-Física Geral III 
Aulas gravadas: 
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)ou 
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) 
Lista de exercícios do Capítulo 25 
F328 – 1S20123 22 
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