Estatistica Básica, Probabilidade e Inferência (2) (2)

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D 
VOLUME 
ÚNICO 
© 2010 by Luiz Gonzaga Morettin 
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Capa: Alexandre Mieda 
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
Morettin, Luiz Gonzaga 
Estatística básica : probabilidade e inferência, 
volume único I Luiz Gonzaga Morettin. -- São Paulo : 
Pearson Prentice Hall, 201 O. 
Bibliografia 
ISBN 978-85-7605-370-5 
1. Estatística - Estudo e ensino 1. Título. 
09-09445 CDD-519.507 
Índ ice para catálogo sistemático: 
1. Estatistica : Estudo e ensino 519 .507 
I ª reimpressão - julho 20 1 O 
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Sumário 
Parte 1 - Probabilidade .............................................................. . 1 
1. Espaço amostral ..................................................................................................... 3 
1 . 1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
l nt1·odt1ção .................. .......................................................................................................... ·3 
Espaço an1os11·al .................... ......................................................................... .............. ........ 4 
eve11tos aleat61·ios ............................................................................................... 6 
co1n eventos aleat61·ios .. ............ ...................... ........ .... ..... ........ ............. ........ ..... 6 
1.6 Partição de um espaço amostral .. .... .... .... ........ ..... ............. ........ .... ..................... ............. ... 1 O 
Exercícios propostos ............................... ..... .... .......................... ............ .... ...................... ........... 1 O 
2. 
2. l 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
Probabilidade ................................................................................................ ........ 12 
Função de probabi 1 idade ............. ... ......... ........ ..... ........ ..... .... ........ ..... ... ..... ..... ... ..... ........... 12 
Teore1n.as ....... .... ............. ... ..... ..... ................ ......... ........ ............. ......... ............. ........ ........ ... J 2 
Eventos equiprováveis ................... ..... .... ................. ............ .............................................. 15 
Probabilidade condicional. ................. ................................................................ ......... ....... 19 
Eventos independentes ............................................................................................ ........... 22 
Exe.rcíc.ic.) 1·esolvido .......................................................................................................... ........... 23 
2.6 Teorerna de Bayes .............................................................................................................. 24 
Exercícios 1·esol vi dos ......... ........ ...... .... ............ ........ ......... .... .... ..... ........ ..... ........ ..... ... ..... ..... ... ... 28 
Exercícios propostos .. .. .. ......... ............. ................ ......... ........ ................. .. ... ............. ... ......... ....... 38 
3. 
3. l 
3.2 
3.3 
3.4 
3.5 
·variáveis aleatórias discretas ............................................................................... 45 
Definições .................................. .......................... ..... ........................ ......... ..... .... ............ ... 45 
Esperança 111aten1ática ................. ....................................................................................... 48 
Vai·iânci<.1 ........ ... ..... ......... ............. ........ ........ ................. ..... ................. ... ......... .... ......... ....... 52 
Distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias ...... ... .. ........ .... ..... ........ ..... ... ..... ........ ... 57 
Função de distribuição ........... .. ... ........ .. .. ........ .............. .. .. ... ..... ............ ..... .... .... .. ... .. .. .... ... 70 
Exe1·cícios 1·esol vi dos ................. ................................... .............................................................. 73 
Exercícios propostos .. ..................... ................. ........ .................. ............ .......................... ........ ... 86 
4. 
4. 1 
4.2 
4.3 
Distribuições teóricas de probabilidades de variáveis aleatórias discretas ...... 92 
Distribuição de Bernoulli .. .......... ....... .................. ........ .... .... ..... ............. ......... ........ .. ... ...... 92 
Disr.r·i bL1ição geo1nétJ·ica ..................................................................................................... 93 
Distribuição de Pascal ........................................................................................................ 96 
v 111 Estatística Básica 
4. 4 Distribuição h i pergeotnétrica ... ..... ... .. .... .... .... ..................... .. .................... .... .... ............. .... 97 
4.5 Dist1·ibuição binomial ....... ..... ... ... .. ..... .... .. .. .. .. .......................... .... .. ... ......... ... .. .. .... .. ... .. .. .. .. 99 
4.6 Distribuição polinon1ial ou multinomial .... .... .... ......... .. .. .... ..... ......... ........ .... ................. .. 103 
4.7 Distribuição de Poisson ........................... .......................................................... ............... 105 
Exercícios resolvidos .................................. ........................................................................... ... 109 
Exercícios p.ro·postos ..... .... .... ......... ........ ... ...... ................ .............................. ..... .... ............. .. .... l20 
5. Variáveis aleatórias contínuas ...................................... ..................................... 125 
5 .1 Definições ........................................................................................................................ 125 
5.2 Principais distribuições teóricas de probabilidades de variáveis aleatórias contínuas ..... 131 
Exercícios resolvidos ................................ ....................................... .................................. ..... .. 146 
Exercícios p1·opostos ......... ................................................................................................ ........ 157 
6. Aplicações da d.istribuição normal ........................................................ ............ 161 
6.1 Distribuições de funções de variáveis aleatórias nonnais ................................................ 161 
6.2 Aproxitnação da distribuição bino1njal pela distribuição normal .................................. .. 166 
Exercícios resolvidos ............................. ..... ......................... .. .. .... .............................. ......... .... .. 169 
Exercícios propostos ......... .............................. .... .... ..... ... ..... .... .... ... .. .... ........ ..... .... ................. .. 177 
Parte 2 - Inferência ................................................................. 181 
7. Amostragem ........................................................................................................183 
7.1 Co11ceitos .......................................................................................................................... l83 
7 .2 Tipos de amostragetn .. .................. ................................................................................... 185 
8. Análise exploratória dos dados de uma amostra ............................................. 189 
8.1 Conceitos ....................................... ..... ............................. .... ........................... .. .......... ...... 189 
Exercício resolvido ........................ .............................................. .... ........... .. ............................ 200 
Exercícios p1·opostos .............................................................................................. ................... 204 
9. Distribuição amostral dos estimadores ............................................................. 206 
9 .1 Distribuição an1ostral da 1nédia ........................................................................................ 206 
9 .2 Distribuição amostral das proporções ........................ ...................................................... 215 
Exercícios resolvidos ........................................................................ ........................................ 217 
Exercíci.os p1·opostos ......... .... .... .............................. ........ ..... .. ... ... ... .................................... ...... 218 
1 O. E.stimação .. ........................................................................................................ 219 
10.1 I11 l:erê11cja estatística ....................................................................................................... 219 
10.2 Estin1ação de parâtnetros ......... ........ ............ .................. ........ ....... ................................. 219 
10.3 Tipos de estimação ...................... ..... .. .. ............ ......... .. .. .... ... ..... .................. .... ... ...... .. .. .. 220 
11. Intervalos de confiança para médias e proporções ........................................ 225 
11. L Inlervalos de confiança (IC) para a médiaµ de u1na população nom1al com 
''at·iância d conl1ecida ......... .. ...... ... .. .... .... ................. ........ ..... ......................... ..... ........ .. 225 
11.2 Intervalos de confiança para grandes amostras ........... .. .... ..... ......................... ............. .. 229 
Exercícios resoJ vi dos ........ ........ ..... ........ ................. ...................................... ...................... ...... 234 
Exerc_íc.i<.)S prop<.)Stos ................................................................ .... ............................................. 237 
12. Testes de hipóteses para médias e proporções ............................................... 240 
12. l I nt1·odução ..... ................................................................................................................. 240 
12.2 Testes de hipóteses para a n1édia de populações nonnais cotn variâncias (a2) conhecidas ... 241 
12.3 Testes de hipóteses para proporções ............................. .... ......... ......................... ..... .. .. .. 245 
Sumário 1x 
Exercícios r·esol vi dos .............. ........ .... ......... ........ ......... ............. ........ .... ............. ............. ..... ... . 247 
Exe1·cícios propostos ............... ........ ..... ................ ... ... ... .. .... .. ... .. ........ ......... ........ ............. ..... ... . 253 
13. Erros de decisão ................................................................................................ 25 5 
13 .1 Probabilidade de con1eter os etTOS dos tipos 1 e n ........................................................................... 255 
13.2 Função poder de u1n teste ou potência de u1n teste ................. ......................... .. ... ......... 257 
Exercícios p1,opostos .. .... .... ..... ........ ..... ........ ..... ... ......... ..................... ................. ........ ............. . 265 
14. Distribuição de t de student IC e TH para a média de população normal com 
variância desconhecida .................................................................................... 266 
14. l Distribuição de t de Studenl. ..... ........ .... ............. ........ ........ ..... ............................. .......... 266 
14.2 IC e TH para a médiaµ de uma população norn1al com cl desconhecida .... ............ ..... 268 
Exe1·cícios p1·opc.)sto.s 1 ............ ... ..... .. ... ... ..... .... ... ..... ..... ..... ... ..... ... ..... .... ..... ... ..... ....... ...... .... .... . 273 
14.3 Rest1mo: IC e TH pa.ra µ ................................................................................................ 214 
Exer·cícios p1·oposLos 2 .............. ...... .... ......... ........ ................. ..... ................. ........ .... .... ..... ......... 275 
15. Comparação de duas médias: TH para a diferença de duas médias ........... 277 
15.1 Dados e1nparelhados ............ ..... .. ....................... ......................... ................. ......... ........ . 277 
15.2 Dados não empa1·eJhados ..... ..... ................ ......... ........ ..... ........ ......... ........ ............. ..... ... . 279 
Exe1·cícios pr·opostos .. ............. ........................................................... .... ..... ........ .................. ... . 2.87 
16. Distribuição deX2 (qui-quadrado), IC e TH para a variância de populações 
ll()flllélÍ~ .......... .. ............................................................ . ..................................... ~5)() 
16.l Distribuição deX2 (qui-quadrado) ......... .... .... ............................................... .... ..... ........ . 290 
16.2 IC e TH para a variância cl de un1a população normal com rnédia µ conhecida ...... ... .. 297 
16.3 IC e TH para a a2 de população no1mal comµ desconhecida .................. ..... ....... ......... . 300 
Exe.rcíc.ios 1·esolvidos ......... ...................... .............................................................. ............ .. .... . 302 
Exe1·cícios p1·op·ost.os .. ........ ..... ........ ..... ................ ......... ........ .... .................. .......................... .... 306 
16.4 Resu·mo ............... ................. ..... ........ .... ................. .... .... ......... .... ..... ........ ........ ..... ..... ... . 307 
17. Testes de aderência e tabelas de contingência ................................................ 308 
17 .1 Testes de aderência ............... ........ ......... ...................................... ................................... 308 
17 .2 Tabelas de contingência ....... .... ..... .................................. ........ ........ ...................... ........ . 311 
Exercícios re,sol vi dos .............. ........ ..... ................ .............................. .... ..... ........ ........ ..... ..... ... . 313 
Exercícios propostos .. ..................... .... ......... .... ............. .............................. ........ ......... .... ........ . 320 
18. Distribuição de F de Fisher-Snedecor, IC e TH para quociente de variâncias ...... 323 
L8.J Distribuição F de Fisher-Snedecor ... .... .......................... ........ ......... ............. ... ..... ........ . 323 
1.8.2 Intervalos de confiança para um quociente de variâncias ........... ..................... ..... .... .... . 326 
18.3 Testes de hipóteses para quociente de variâncias .. ...................... ................................... 330 
Exercícios propostos ............... ... .......... ... ......... ............. ........ ..... ... ...................... .... .... ..... ........ . 332 
18.4 Resum.o ................... ..... ..................... .............................. ....... ...................... .................. 333 
Tabelas .................................................................................335 
Tabelas de distribuiçõe.s .......................................................................... .................. 337 
~~SJJC>~télS . . ....... . ... . ........ .... . ... .... .... . ... . ... . .... .... .... . ... . .... ... .... . .... . .. .. ... . ..... .. . ... . .... ... . ... .. .. ~~'7 
Referências bibliográ.ficas ......................................................................................... 374 
Sobre o autor ,,,,, .... ,.,, ........ , ............ .. , .. , .................. , .. , ......................... , ...................... 376 
Prefácio 
Este livro é resultado de experiências vividas a partir de 1967, priineiro no Colé-
gio de Aplicação Fidelino de Figueiredo da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras 
(FFCL-USP), depois no Departamento de Estatística do instituto de Matemática e Esta-
tística (CME-USP), na Faculdade de Econornia São Luís, na Escola de Admin istração de 
En1presas de São Paulo da Fundação Getulio Vargas (FGV), na Faculdade de Engenha-
ria Industrial (FEI) e, por fim, na Pontificia Universidade Católica de São .Paulo (PUC-
SP). Além disso, seu conteúdo foi testado em cursos de especialização para professores 
de 1natemática, sendo apresentado como un1 modo didático de ensinar estatística. 
Essa so1na de cursos e experiências mostrou que a rnelhor fonna de apresentar a 
n1atéria consiste em expor os assuntos para o caso discreto, em que os conceitos são 
mais facihnente assimiláveis pelos alunos, passando a seguir para o caso contínuo, en1 
que esses mesmos conceitos ficam sedirnentados. 
Nesta edição, essa fór1nula pode ser vista e comprovada, ben1 con10 é reforçada 
pelo fato de o livro agora reunir os dois volun1es anteriores. De fato, con1 essa rnudança, 
a obra ganha não apenas em aspectos gráficos, mas principalrnente em didática. 
O sistema de ensino/aprendizagem 
En1 grande parte do livro, os conceitos são apresentados por nleio de problemas e 
so1nente depois são definidos. São apresentados também exemplos de aplicação, be1n 
co1no exercícios resolvidos e propostos para cada assunto abordado. No final do livro, 
pode1n ser encontradas as tabelas das distribuições normal, de Poisson, binon1ial, t de 
Student, X2 de qui-quadrado e .F de Fisher-Snedecor. 
xu Estatlstica Básica 
U1n ponto importante: por todo o livro, são usados os 1nais diversos recursos para 
apoiar o processo de ensino/aprendizagen1, ajudando o professor en1 sala de aula e o 
estudante e1n sua busca por conhecimento. Esses recursos podem ser vistos nas seções 
. 
a seguir. 
Destaques 
As principais definições CD da área da estatística e os exemplos-chave @ para 
ilustrar a teoria estão destacados ao longo do texto para aumentar o entenditnento do 
estudante e contribuir para a didática do livro. 
CD ~-
@--
2.5 Eventos independentes 
Sejam A C fieB C fi. 
Intuitivamente, se A e B são independentes, P(AIB) = P(A) e P( BIA) = P(B). 
OEFINIÇÁO 
A ê 13 s.~o eventos indêpêndentc.s se P(A f"l 8) = P(A)' P(8). 
L.1nça111-se 3 moedas. Yeri6c.1r se são independentes os evelllos: 
A: s.1ícL1 de cara na I" moe<L1; 
B: saí<L1 de coroa 11a 2 ~ e 3" n1oed1s. 
As fórmulas@ rnais irnportantes estão en1 destaque para auxi liar na aprendizagem 
do estudante. 
Distribuição de Poisson 
Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intcn'31o. 
A probabilidade da ocon·ência de um sucesso no intervalo é proporcional ao inter-
''ª'º· J\ probabilidade de 111ais de unJ sucesso nesse inten.1alo é bastante pequena co1n 
relação à probabilidade de um sucesso. 
Seja X o 1r1ín1ero <fe s11cessos 110 i111en·alo. en1<1o: 
@-·1------ P(X=k)= e-' ·)! 
k! 
Prefácio xiii 
Exercícios resolvidos 
São apresentados diversos exercícios resolvidos dos 1nais variados níveis de dificuldade, 
co1n sua resolução passo a passo, para auxiliar no desenvolvimento lógico do estudante. 
Exercícios resolvidos 
1. De wna população nonnal com o'= 16, levantou-se uma ainosu·a, obtend<>-se as obser-
\raç.ões: 10, 5, JO, 7. Deten11inar ao nível de 13% u111 JC _para a tllédia cL1 popt1laçâo. 
Resolução: 
Dados: 11 = 4 o'= 16 a = 13% 
x = .!. (10 + 5 + 10 + 7)=> x = 8 
4 
-.Z. 
: ,, ;;;;; :1),S'(> ;;;;; I, 5 J 
87% 
: . 1'(8 - 1,51 ·2 < 1< < 8 + 1,5 1 · 2) • 0.87 
/>(8 - 3,02 <1t < 8 + 3,02) = 0,87 
P(4,98 <11 < 11 ,02) = 0,87 
ou 
IC(/1, 87%) = (4,98; ll,02) 
Exercícios propostos 
.z. z 
Q = 2 , 
Vários exercícios propostos, ta1nbém de diferentes níveis de dificuldade, são apre-
sentados para que o estuda11te aplique a teoria na prática, aprofundando seu conbeci-
n1ento e desenvolvendo seu raciocínio. 
RC °"' P(x :s; 1.576,48 ou x 2: 1.623.52) = 0,05 
Como x = 1.570, x e RC :. rejeita-se H,, 
Exercícios propostos 
{
H,>:µ = 50 
1. Tcstnr H . 
50 ,.,, > 
Dados: 
o' = 4 a = 5% 11 = 100 e .\' = 52 
{
H. :µ =36 
2. Testar H,:/t < 36 
x1v Estatística Básica 
Material adicional 
No site de apoio do Jivro (\.V\.VW.prenhall.com/morettin _ br), professores e es-
~:S~~n tudantes pode1n acessar 1nateriais adicionais e1n qualquer dia, durante 24 horas. 
Para professores 
• Apresentações ern PowerPoint para utilização ein sala de aula 
• Manual de soluções com a resolução de todos os exercícios do livro 
Esse n1aterial é de uso exclusivo para professores e está protegido por senha. Para ter 
acesso a eles, os professores que adotam o livro deve1n entrar em conta/o co111 seu representante 
Pearson ou enviar e-rnail para universitarios@pearsoned.co1n.br. 
Para estudantes 
• Exercícios adicionais com respostas 
Todos esses recursos e ferramentas de aprendizage1n torna1n a nova edição de Es-
tatística básica ainda 1nais co1npleto e eficaz, contribu indo direta1nente para o bo1n en-
tenditnento do estudante nesta disciplina muito importante para as 1nais diversas áreas 
de ensino e pesquisa. 
L11iz Gonzllgt1 Morettin 
1. Espaço amostral 
2. Probabi 1 idade 
~ 3. Variáveis aleatórias discretas 
4. Distribuições teóricas de probabilidades de variáveis aleatórias 
discretas 
5. Variáveis aleatórias contínuas 
6. Aplicações da distribuição normal 
Espaço amostral 
1.1 lntroducão 
I 
Encontra1nos na natureza dois tipos de fenô1nenos: determinísticos e aleatórios. 
Os fenômenos detenn inísticos são aqueles ern que os resultados são sempre os 
n1es.mos, qualquer que s~ja o número de ocorrências verificadas. 
Se to1narmos un1 detenninado sólido, sabe1nos que a uma certa ternperatura haverá a 
passagen1 para o estado líquido. Este exemplo caracteriza um fenômeno determinístico. 
Nos fenô1nenos aleatórios, os resultados nã.o serão previsíveis, mesmo que haja u1n 
grande número de repetições do 1nes1no fenôrneno. 
Por exemplo: se considerarmos um pornar com centenas de laranjeiras, as produ-
ções de cada planta serão diferentes e não previsíveis, 1nesmo que as condições de ten1-
peratura, pressão, umidade, solo etc. sejarn as 1nes1nas para todas as árvores. 
Pode1nos considerar os experirnentos aleatórios como fenômenos produzidos pelo 
homem. 
Nos experimentos aleatórios, mesmo que as condições iniciais sejam sempre as mesn1as, 
os resultados finais de cada tentativa do experi1nento serão diferentes e não previsíveis. 
Exemplos 
a) lançamento de uma moeda honesta; 
b) lançamento de u1n dado; 
c) lançamento de duas inoedas; 
d) retirada de un1a carta de u1n baralho completo de 52 ca1tas; 
e) determinação da vida útil de un1 con1ponente eletrônico. 
A cada experimento aleatório está associado o resultado obtido, que não é previsí-
vel, cha1nado evento aleatório. 
No exe1nplo a os eventos associados são cara (e) e coroa (r); no exemplo b poderá 
ocorrer u1na das faces 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. 
4 Estatística básica 
1.2 Espaço amostral 
Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto dos resultados do experi-
1nento. Os elementos do espaço a1nostral serão cha1nados també1n de pontos aniostrais. 
Representaremos o espaço amostral por ü. 
Nos exe1nplos dados na seção anterior, os espaços a1nostraissão: 
a) n = {e, r} 
b) n={l ,2,3,4, 5, 6} 
c) Q ={(e, r), (e, e), (r, e), (r, r)} 
d) Q = {A0 •.. K0, A1,. •. KP, Ae .. KE, Ac ... Kc} 
e) n = {t E IR 1 t ;;:: O} 
O evento aleatório pode ser utn único ponto amostral ou uma reunião deles, como 
vere1nos no exemplo a seguir: 
Lança1n-se dois dados. Enumerar os seguintes eventos: 
A: saída de faces iguais; 
B: saída de faces cuja soma seja igual a 10; 
C: saída de faces cuja son1a seja menor que 2; 
D: saída de faces cuja son1a seja menor que 15; 
E: saída de faces onde u1na face é o dobro da outra. 
Detenninação do espaço an1ostral: pode1nos deter111iná-lo por un1a tabela de dupla 
entrada (produto ca1tesiano ). 
D2 
1 2 3 
Dl 
1 ( 1, 1) ( 1, 2) ( 1, 3) 
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) 
3 (3, l) (3, 2) (3, 3) 
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) 
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) 
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) 
Os eventos pedidos são: 
A= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 
B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} 
e=<!> (evento i1npossível) 
4 5 6 
(1 , 4) ( 1, 5) ( 1, 6) 
(2, 4) (2, 5) (2, 6) 
(3, 4) (3, 5) (3, 6) 
(4, 4) (4, 5) (4, 6) 
(5, 4) (5, 5) (5, 6) 
(6, 4) (6, 5) (6, 6) 
Capitulo 1 - Espaço amostral 5 
D = D. (evento certo) 
E= {(l, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 6), (4, 2), (6, 3)} 
U111a outra 1naneira de determinar o espaço amostral desse experimento é usar o 
diagrama ern árvore, que será útil para a resolução de problemas futura111ente. 
Eis o processo: 
1 
2 
3 
• 
4 
5 
6 
t 
1° dado 
1 ( l , 1) 
2 (1, 2) 
"' .) ( 1, 3) 
4 ( 1, 4) 
5 (1, 5) 
6 (1 , 6) 
1 (2, 1) 
2 (2, 2) 
3 (2, 3) 
4 (2, 4) 
5 (2, 5) 
6 (2, 6) 
1 (3, 1) 
2 (3, 2) 
3 (3, 3) 
4 (3, 4) 
5 (3, 5) 
6 (3, 6) 
1 (4, 1) 
2 (4, 2) 
3 (4, 3) 
4 (4, 4) 
5 (4, 5) 
6 (4, 6) 
1------. (5, 1) 
2 ------. (5, 2) 
3 ------+ (5, 3) 
4 (5,4) 
5 (5, 5) 
6 (5, 6) 
1 (6, 1) 
2 (6, 2) 
3 (6, 3) 
4 (6, 4) 
5 (6, 5) 
6 (6, 6) 
t t 
2Q dado Pontos amostrais 
6 Estatística básica 
1.3 Classe dos eventos aleatórios 
DEFINIÇÃO 
, 
E o conjunto formado de todos os eventos (subconjuntos) do espaço amostral. 
Para efeito de exen1plo, consideren1os um espaço a1nostral finito: 
Q = {e"e2 ,e3 ,e4 } 
A classe dos eventos aleatórios é: 
<!> 
{e1},{e2},{e3},{e4 } 
F(Q)= {e1, e2}, {e., e3 } , {e., e4}, {e2, e3}, {e2, e4 }, {e3 , e4} 
{e., e2, e3}, {e., e2, e4} , {e1, e3, e4}, {e2, e3, e4} 
{e., e2, e3, e4} 
Para detenninannos o nún1ero de ele1nentos (eventos) de F(O), observa1nos que: 
<!> corresponde a ~) 
{e,}, ... , {e4 } con·esponde a ( ~) 
4 
{e., e2, e3, e4 } corresponde a 4 
Portanto, n( F) = ( ~ + ~ ) + ( ~ + (; + (:) = 16 
Generica1nente, se o nú1nero de pontos an1ostrais de um espaço an1ostral fin ito é 
n, então o número de eventos de Fé 2", pois 
n n n n 
n(F ) = + + + · · · + = 2" 
O 1 2 n 
1.4 Operações com eventos aleatórios 
Consideremos urn espaço amostral finito Q = {e1, e2, e3, ... , e,,}. 
Sejam A e B dois eventos de F(ü). 
As seguintes operações são definidas: 
a) Reunião 
DEFINIÇAO 
Capítulo 1 - Espaço amoslral 7 
A U B = {e; E .Q 1 e; E A ou e; E B} , i = 1, 2, ... , n. O evento reunião é formado 
pelos pontos an1ostrais que pertencen1 a pelo n1enos um dos eventos. 
A B 
Q 
b) lntersecção 
DEFINIÇÃO 
A n B ={e; E .Q 1 e; E A e e; E B}, i = l, .. . ,n. O evento intersecção é formado pelos 
pontos a1nostrais que pertencem si1nultanean1ente aos eventos A e B. 
Obs. Se A n B = <j>, A e B são eventos 1nutuc1mente exc/'usivos. 
A B 
e) Comple1nentação 
DEFINIÇAO 
A 
8 Estatística básica 
EXEMPLO 
1 
Lançam-se duas n1oedas. Sejam A: saída de faces iguais; e B: saída de cara na 
prin1eira 111oeda. 
Determinar os eventos: 
-- - -- - - -
A u B, A n B, A, B, (A u B), (A n B), A n B, A u B, B - A, A - B, A n B e B n A. 
Resolução: 
.Q ={(e, c),(c, r) ,(r, c),(r, r)} 
A= {(c, c),(r, r)} 
B={(c,c),(c, r)} 
AUB={(c, c) ,(c, r),(r, r)} 
An B ={(e, e)} 
A={(c,r),(r,c)} 
B = {(r, e ),(r, r )} 
(AuB)={(r,c)} 
(AnB)= {(c, r) ,(r,c),(r,r)} 
AnB={(r,c)} 
AUB={(c, r),(r, c),(r, r)} 
B-A={(c, r)} 
A-B={(r, r)} 
AnB={(c, r)} 
BnA={(r, r)} 
1.5 Propriedades das operações 
• 
Seja1u A, B e C eventos associados a um espaço amostral O. As segui11tes proprie-
dades são válidas: 
a) Ide1npotentes 
AnA=A 
AUA=A 
b) Comutativas 
AUB=BUA 
AnB=BnA 
e) Associativas 
An(BnC)=(AnB)nc 
A U(B UC)= (A UB) UC 
d) Distributivas 
A U(B nC)= (A UB) n(AU C) 
A n(B UC)= (A nB) U(An e) 
e) Absorções 
AU(AnB)=A 
An(AUB)=A 
f) Identidades 
Ann=A 
AUQ=Q 
AnQ> = <j> 
AUQ>=A 
g) Complementares 
-
Q = <l> 
-
<1> = Q 
-
AnA = <I> 
-
AUA=Q 
(A)=A 
h) "Leis das dualidades" ou "Leis de Morga11" 
(AnB)=AUB 
(AuB)=AnB 
Essas propriedades são facilinente verificadas. 
Capítulo 1 - Espaço amostral 9 
1 O Estatíslica básica 
1.6 Partição de um espaço amostral 
A1 
A" 
DEFINIÇÃO 
Dize1nos que os eventos Ai, A2, ••• , A,, fonnan1 uma partição do espaço amostral 
n se: 
a) A;* <j>, i = 1, ... , n 
11 
c) UA.=Q 
• 1 
1= 1 
Exercícios propostos 
1. Lança1n-se três moedas. Enun1erar o espaço a1nostral e os eventos: 
a) faces iguais; 
b) cara na 1 ª moeda; 
c) coroa na 2ª e 3ª moedas. 
2. Considere a experiência que consiste en1 pesquisar frunílias com três crianças, en1 
relação ao sexo delas, segundo a ordem do nascin1ento. Enumerar os eventos: 
a) ocorrência de dois filhos do sexo masculino; 
b) ocorrência de pelo menos um filho do sexo tnasculino; 
c) ocorrência de no n1áxi1no duas crianças do sexo feminino. 
3. U1n lote contém peças de 5, 10, 15, ... , 30 mm de diâ1netro. Suponha que 2 peças 
seja1n selecionadas no lote. Se x e y indicam respectivamente os diâ.n1etros da 1 ª e 
2ª peças selecionadas, o par (x, y) representa u1n ponto a111ostral. Usando o plano 
cartesiano, indicar os seguintes eventos: 
a) A= {x= y} 
b) B= {y<x} 
Respostas
Capítulo 1 - Espaço amoslral 11 
c) C={x=y - 10} 
4. Sejam A, B e C três eventos de um espaço an1ostral. Exprin1ir os eventos abaixo 
usando as operações reunião, intersecção e complementação: 
a) somente A ocorre; 
b) A e C ocorrem, 1nas B não; 
c) A, B e C ocorre1n; 
d) pelo menos um ocorre; 
e) exatamente u1n ocorre; 
f) neo.bum ocorre; 
g) exatamente dois ocorre1n; 
h) pelo 1nenos dois ocorre1n; 
i) no 1náximo dois ocorre1n. 
Respostas
R
Probabilidade 
2.1 Função de probabilidade 
DEFINIÇÃO 
' E a função P que associa a cada evento de F un1 nún1ero real pe1tencente ao inter-
valo [O, l ], satisfazendo os axiomas: 
l)P(0) =1 
li) P(A U B) = P(A) + P(B ), se A e B forem 1nutuamente exclusivos. 
Ili) P( Q, A;)= ~ P (A;). se A 1, A2, ... , A,, fore111, dois a dois, eventos n1utuamente 
exclusivos. 
Observamos pela definição que O< P( A) < 1 para todo evento A,A e Q . 
2.2 Teoremas 
Teorema 1 "Se os eventos A 1, A2, ... ,A,, forn1an1 uma partição do espaço amostral, 
então: 
11 
L P(A;) = 1." 
i = 1 
Detnonstração: Pela definiçã.o de partição, os eventos A1, A2, ... , A,, sã.o 111utuamente 
exclusivos e 
li 
U A; =Q. 
i = 1 
Capítulo 2- Probabilidade 13 
(
// ) li Logo P };)
1 
A; = P(Q.). Usando os axiomas I e III da definição, te1nos: t; P( A;) = 1. 
Teorema 2 "Se<!> é o evento iinpossível, então P(<j>) = O." 
De111onstração: Co1no <1> n Q. = <!>e<!> U Q. = Q., te1nos 
P(<j> U Q.) = P(Q.) 
P(<j>) + P(Q.) = P(Q.) 
P(<j>) =O 
Obs: A recíproca não é verdadeira, pois o fato de P(A) = O não i1nplica que A seja irn-
possível. 
Teorema 3 Teorema do evento complementar: ''Para todo evento A e n , 
P(A)+P(Ã)=l." 
De111onstração: Con10 
ten1os: 
A nA =<j>e 
A U A= n, 
P(A) + P(A) = P(Q.) 
P(A) + P(A ) = 1 
Teorema 4 Teoremadasoma: "Seja1n Ac Q. eBcQ. Então, P(AUB)= 
P(A) + P(B)-P(A n B)." 
A B 
De111onstração: Escreveremos os eventos (A U B) e A como reuniões de eventos mutua-
1nente exclusivos, como segue: 
A UB = (A-B) UB 
A=(A-B) U (AnB) 
14 Estatística básica 
e 
Usando o axioma, temos: 
P(A UB)= .P(A-B)+P(B) 
P(A)= P(A-B)+ P(AnB) 
De 2 tiratnos: P(A -B) = P(A) - P(A n B) . 
Substituindo-se esse resultado em 1, cbega1nosa: 
P(A U B) = P(A) + P(B)-P(A n B). 
Se A n B = <I>, então P(A n B) = O => vale o axion1a li. 
1 
2 
Teorema 5 "Para A e .Q e .B e .Q, ternos: P(A UB) < P(A)+ P(B) ." 
(A detnonstração fica a cargo do leitor.) 
Te o rema 6 " Dado o espaço a1nostral .Q e os eventos A 1, A2, .. . ,A,,, então: 
p( Q, À;)= t.P(A;)- ~P( A; n Aj ) + i ~ k P(A; n Aj n Ak )- ... + 
+(-l)n-i · P(A, n ... n A,, )." 
Den1onstração: Por indução finita. 
(
// ) li 
Teorema 7 "Dados os eventos A1,A2 , ... ,A,, , então:P ;l.d,A; <BP(A;)-" 
Exemplos de aplicação 
1. Sendo P(A) = x, P(B) = y e P(A n B) = z , calcular: 
a) P(AUB) ; 
c) P(AnB) ; 
Resolução: 
- -
a) P(A UB) =P(A nB) =1 - P(A n B)= 1- z 
b) P( A n B) = P(.A U B) = 1- P( A U B) = 
b) P(AnB); 
-
d) P(A UB ). 
1 - {P(A)+P(B)-P(A . nB)}=l -.~ - J' +z 
Capitulo 2 - Probabilidade 15 
-
c) P(A n B) = P(B - A) = P( B) - P( A n B) = y - z 
- - -
d) P(A U B) =P(A)+ P(B)- .P(A nB) =(1 - x) + y - (y - z) = 1-x+ z 
2. De1nonstrar que P(A U B UC) = P(A)+ P(B)+ P( C) - P(A n B)-
-P(A nc) -P(B n C)+ P(A nB nc). 
De111onstração: 
P(A UB U C)= P[(A UB) uc]= P(A UB)+P(C)-
-P[(A u B) n e]= P(A)+ P(.B)-P(A n B)+ 
+P(C)-P[(A n c)u(B nc)]=P(A)+P(B)+ 
+P(C) -P(A nB)-{P(A nc)+P(B n c)-P[(A nc) n(B nc)J} :. 
P(A u B U C)= P(A)+P(B)+P(C)-P(A nB)-P(A nc)-
-P(B n c )+P(A nB nc) 
3. Sejam A, B e C eventos tais que 
1 1 
P(A)=P(B)=P(C)=-, AnB=<!>, AnC=<!> eP(BnC)=-. 
5 7 
Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorra. 
A 
B 
e 
Resolução: Pelo diagrama vemos que A n B n C =<!>, logo P(A n B n C) = 0. Aplican-
do o resultado do proble1na anterior, temos: 
P( A U B U C) =.!._+.!_+.!__O - O _ _!_+ O= _!i 
5 5 5 7 35 
2.3 Eventos equiprováveis 
Consideremos o espaço a1nostral .Q = {e1, e2 , e3 , •• ., en} associado a un:i experimento 
a leatório. 
16 Estatística básica 
Chatnemosp(e.)=p. i·=l n t ,, , • •• , . 
n 11 
Ternos I.P(e,) =I. P; = 1. 1 
i= 1 I= 1 
DEFINIÇÃO 
Os eventos e1 , i = 1, .. ., n são equiprováveis quando P( e1) = P( e2 ) = ... = P( e11 ) = p, 
isto é, quando todos tên1 a 1nesrna probabilidade de ocorrer. 
" 1 fica: I. P = 1:::} np = 1 :. 
i= 1 
Logo, se os n pontos an1ostrais (eventos) são equiprováveis, a probabilidade de 
d d 
. . 1 
ca a utn os pontos a1nostra1s e - . 
n 
Van1os calcular a probabilidade de urn evento A e n. Suponharnos que A tenha K 
pontos arnostrais: 
A={e1,€1, ... ,ek}, 1< k< n:. 
k k 1 
:. P( A) = L P( e1 ) = L p = K · p = K · - :. 
l = I i = I 11 
K 
:. P(A)= -
n 
Exemplos de aplicação 
1. Retira-se urna carta de u1n baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de 
sair u1n rei ou uma carta de e5padas? 
Seja A: saída de un1 rei; e B: saída de urna ca1ta de espada. 
Então: 
Observan1os que A n B = {Re} :. 
1 
:.P(AnB)= -
52 
Logo: 
P(A UB)= P(A)+ P(B)-P(A n B) 
4 13 1 
P(AUB)= 52 +51-52:. 
:.P(AUB)=_!i 
52 
Capitulo 2 - Probabilidade 17 
2. O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 rapazes com mais de 21 anos, 4 rapazes 
co1n menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças co1n n1enos de 21 anos. 
Uma pessoa é escolhida ao acaso entre as 18. Os seguintes eventos são definidos: 
A: a pessoa ten1 1nais de 2 1 anos; 
B: a pessoa tem menos de 21 anos; 
C: a pessoa é um rapaz; 
D: a pessoa é uma moça. 
Calcular: 
a) P(B U D); 
- -
b) P(A n C). 
Resolução: 
1 
Q = {5R, 4r, 6M, 3ni} :. p = -
18 
11 
A= {5R, 6M} ~ P(A) = -
18 
7 
B ={4r, 3m}~P(B)=ii 
9 
C = {5R, 4r} ~ P(C) = 
18 
9 
D= {6M, 3m}~P(D)=­
I8 
a) P(BUD)=P(B)+P(D)-P(BnD) 
3 
Como B nD ={3m}, te1nos que P(B nD)=-· 
18 
Logo: 
. 7 9 3 13 
P(.BUD)=-+---=-
18 18 18 18 
18 Estatística básica 
b) P(Ã n c)= P(A u e)= 1- P(A UC)= 1- {P(A)+ P(C)-P(A nc)} 
5 
Como A n C ={SR} e P(A nC) = 18' ten1os que: 
p (A n e)= 1 -{ H + fs-fs} = fs = ~ ou 
Co1no A= B e C = D, te1nos: 
AnC = BnD={31n} :. 
Ne1n se1npre é possível enumerar o espaço a1nostra1. Nesses casos, devere1nos usar 
a análise combinatória como processo de contagen1. Veremos isso nos próximos 
exemplos. 
3. Em un1 congresso científico existe1n 15 maten1áticos e 12 estatísticos. Qual a proba-
bilidade de se formar u1na comissão com 5 me1nbros, na qual figure111 3 1naten1áticos 
e 2 estatísticos? 
Resolução: A: comissão de 3 matemáticos e 2 estatísticos. 
n = (
2
5
7
): comissões 
k= 15 (12 
3 
· 
2 
: co1n is sões com 3 matemáticos e 2 estatísticos 
'1 5' . '12) 
3 2 
P( A) = -'---"''- 27 -;--~ --'-
5 
4. Qual a probabilidade de, num baralho com 52 cartas, ao se retirarem 4 cartas, ao 
acaso, se1n reposição, se obter uma quadra? 
Resolução: A: saída de u1na quadra. 
52 
n= 
4 
~ n(11nero de quádruplas 
K = 13 ~ nún1ero de quadras : . P(A)= 13 
(5:) 
Capitulo 2- Probabilidade 19 
5. Calcular a probabilidade de se obter exatamente 3 caras e 2 coroas en1 5 lances de 
u1na moeda. 
Resolução: A: saída de 3 caras e 2 coroas. 
n = 25 = 32 : número de quíntuplas 
5 
k = = 10 : nún1eros de quíntuplas co1n 3 caras e 2 coroas 
3 
P(A)=~=.2_ 
32 16 
6. U1na urna contén1 as letras A, A, A, R, R, S. Retira-se letra por letra. Qual a probabi-
lidade de sair a palavra araras? 
Resolução: A: saída de palavra araras. 
6 6! 
n =(PR), 2 1 = = 60 
J , • 3 ! 2! 1 ! 
1, = 1 . /\, . . 
1 
:. P(A)= -
60 
Obs. : 
n l 
(p'R) ll • = , com + n, + ... + n = n 
111·''? ·'13, .... 1111 ' ' 1 n, - '' n1 .n2 •••• n,,. 
2.4 Probabilidade condicional 
Introduziremos a noção de probabilidade condicional através do seguinte exemplo: 
Considere1nos 250 alunos que cursam o pri1neiro ciclo de un1a facu ldade. Destes 
alunos, 100 são ho1nens (H) e 150 são 1nulheres (1\1); 11 O cursam fís ica (F) e 140 cursa1n 
quí1nica (Q). A distribuição dos alunos é a seguinte: 
Disciplina 
F Q Total Sexo 
H 40 60 100 
M 70 80 150 
Total 110 140 250 
Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando qu ími-
ca, dado que é n1ttlher? 
20 Estatística básica 
Pelo quadro vemos que esta probabi lidade é de 80 e representan1os: 
150 
P(QIJ'vf) = 80 (probabilidade de que o aluno curse quírnica, condicionado ao fato 
150 
de ser 1nu lher). 
Observainos, porén1, que P(1\1 n Q) = 
8º 
250 
150 
e P(M) = . Para obterrnos o resul-
250 
tado do problema, basta considerar que: 
Logo: 
80 
P(O llvf) = 25º = SO 
~ 150 150 
250 
P(Q/M) = P(M nQ) 
P(lvf) 
Sejam A e Q e B e Q. Definimos a probabilidade condicional de A , dado que B 
ocorre (A/ B) como segue: 
Tatnbém: 
EXEMPLO 
P(A nB) 
P(AIB) = se P(B) =t O 
P(B) ' 
P(B/A) = P(B n A) e P(A) *o 
P(A) 's 
1 3 11 
Sendo P(A) = 
3
, P(B) = 
4 
e P(A U B) =u, calcular P(AIB). 
Resolução: 
P(A nB) 
Co1110P(A!B) = P(B) , devemoscalcularP(AnB). 
Co1no P(A U B) = P(A)+ P(B) - P(A nB), te1nos: 
:~=~+! - P(AnB) :. P(AnB)=l~= ~ 
Capitulo 2 - Probabilidade 21 
Lo o P(AIB) = 
116 
= 
2 
g ' 3/4 9 
Tiramos da definição da probabilidade condicional o chamado TEORE'Jv!A DO 
PRODUTO: Seja1n A C n e B C fl .. Então, P(A n B) = P(B) · P(AIB) ou P(A n B) = I 
P(A) · P(BI A). m 
EXEMPLO 
Duas bolas vão ser retiradas de tnna un1a que contérn 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 
verdes. Qual a probabilidade de que arnbas 
a) sejam verdes? 
b) sejam da 1nesn1a cor? 
Resolução: 
2B 
3P 
4V 
4 3 1 
a) P(V n V) = P(V). P(V IV)= 9 . 8 = 6 
b) P(MC)=P(BnB)+P(PnP)+P(Vn V) 
2 1 3 2 4 3 
P(MC) = 9 . 8 + 9 . 8 + 9 . S 
P(MC)= 
20 =~ 
72 18 
A generalização do teoren1a do produto é: 
li 
PCf], A; )= P(A,). P(A.i IA,). P(A3IA, n Ai) .. . P(A/1 IA, n Ai n ... n A11-I) 
Resolvendo o Proble111a 6 da Seção 2.3, usando essa generalização, temos: 
P(A n R ()A nR n A nS) = P(A)· P(RIA) ·P(AIA n R) . 
. P(RIAn RnA)· P(AIAn Rn AnR)· P(SIAn Rn An 
3 2 2 1 1 l n R n A) = - . - . - . - . - . 1 = -
6 5 4 3 2 60 • 
22 Estatística básica 
2.5 Eventos independentes 
Sejam A C O e B C O. 
Intuitiva1nente, se A e 'B são independentes, P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B). 
DEFINIÇÃO 
A e B são eventos independentes se P(A n B) = P(A). P(B). 
EXEMPLO 
Lançan1-se 3 1noedas.Verificar se são independentes os eventos: 
A: saída de cara na l ª n1oeda; 
B: saída de coroa na 2ª e 3ª moedas. 
e 
e 
r 
e 
r 
r 
n = {(ccc), (ccr), (crc), (crr), (rcc), (rcr), (rrc), (rrr)} 
4 1 
A ={(ccc), (ccr), (crc), (crr)} :. P(A) = - = -
2 l 
B ={(crr), (rrr)} :. P(B) = 8 = 4 
Logo: 
l 1 1 
P( A) · P( B) = - · - = -
2 4 8 
Con10 
1 
A n B = { ( CYfJ} e P( A n B) = - ' 
8 
8 2 
e 
r 
e 
,. 
e 
,. 
e 
,. 
temos que A e B são eventos independentes, pois P(A n B) = P(A) · P(B) . 
Obs. 1: Para verificarn1os se 3 eventos A, B e C, são independentes, deven1os verificar 
se as 4 proposições são satisfeitas: 
Capitulo 2 - Probabilidade 23 
1: P(A n B nc) = P(A). P(B). P(C) 
2: P(A n B) = P(A) · P(B) 
3: P(A n C) = P(A) · P(C) 
4: P(B n C) = P(B) · P(C) 
Se apenas u1na não for satisfeita, os eventos 11ão são independentes. 
Obs. 2: Se A e B são n?utuanzente exclusivos, então A e B são de1Jendentes, pois se A 
ocorre, B não ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não ocorrência 
do outro. 
Resolveren1os um problen1a que mostrará bem a distinção entre eventos mutua-
mente exclusivos e independentes. • 
Exercício resolvido 
Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2, P(B) = P, P(A U B) = 0,6. Calcular P 
considerando A e B: 
a) mutua1nente exclusivos; 
b) independentes. 
Resolução: 
a) A e B mutuan1ente exclusivos => P(A n B) = O, como 
P(A U B) =P(A) + P(B)-P(A nB) ven1 0,6 = 0,2 + P- O :. 
b) A e B independentes => P( A n .B) = P( A)· P( B) = O, 2 · P, co1no 
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) vem 0,6 = 0,2 + P - 0,2P :. 
: . 0,4 = 0,8P P=O 5 
' 
Obs. 3: Se os eventos A1, A2, .. . ,A,, são independentes, então: 
li 
onde 1t P(A;)=P(A1)·P(Àz) ... P(A,,). 
1= 1 
EXEMPLO 
P = 04 
' 
A probabi lidade de que um homen1 esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a de sua 
rnulher é de 2/3. Deter1ninar a probabilidade de que daqui a 30 anos: 
24 Estatística básica 
a) an1bos estejam vivos; 
b) somente o hon1en1 esteja vivo; 
e) somente a mulher esteja viva; 
d) nenhurn esteja vivo; 
e) pelo menos urn esteja vivo. 
Resolução: Chamaremos de H: o home1n estará vivo daqui a 30 anos; 
M· a mulher estará viva daqui a 30 anos. 
2 - 3 
P(H) = S :. P(J-T) = S 
2 - 1 
P(M)= 3:.P(M)= 3 
2 2 4 
a) P(J-I n 1\11) = P(H). P(M) = 5. 3 = i5 
- - 2 l 2 
b) P(H n J\1) =P(H)·P(M)=s· 
3 
=i5 
- - 3 2 2 
e) P(Hn1Vf)=P(H)·P(M)= 5·3=5 
- - - - 31 l 
d) P(H n 1\1) =P(H)· P(M) = 5.?, = S 
. 2 2 4 12 4 
e) P(H U 1\1) =P(H)+P(M)-P(H nM) =- +- - - =- =-
. 5 3 15 15 5 
ou X: pelo menos u1n vivo 
- 1 4 
P( X) = 1 - P( X) = 1 - - = -
5 5 
2.6 Teorema de Bayes 
Teorema da probabilidade total 
"Sejan1 A" A2, ••• ,A,, eventos que formatn un1a partição do espaço arnostral. 
Seja B u1n evento desse espaço. Então 
li 
.P(B)= °LP(A;)·P(BIA;)." 
i= 1 
• 
Capitulo 2 - Probabilidade 25 
A, 
A., 
Den1onstração: Os eventos (B n A1) e (B nA1), parai* j, i = 1, 2, ... , n ej = 1, 2, .. . , n, 
são mutuamente exclusivos, pois: 
O evento B ocorre con10 segue: 
:. P(B) = P(B n A,) +P(B n Ai) +P(B n A3) + ... + P(B n A,,) 
E usando o teorerna do produto, vem: 
P(B) = P(A,) · P(BIA,) + P(A2 ) · P(B/Ai) + ... + P(A,, ) · P(BIA11 ) 
,, 
ou P(B) = LP(A1) • P(BIA1) . 
i = l 
EXEMPLO 
Uma urna contérn 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda uma contém 4 bo-
las brancas e 2 arnarelas. Escolhe-se, ao acaso, u1na urna e dela retira-se, tarnbém ao 
acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? 
Resolução: 
P(l) = _!_ 
2 
P(Il) = _!_ 
2 
3B 
2A 
I 
P(BII) = ~ 
5 
P(B!Il) = ~ = 3_ 
6 3 
4B 
2A 
II 
26 Estatística básica 
Logo, a bola branca pode ocorrer: 
B = (B n I) u ( B n II) 
P(B) = P(B n I) + P(B n II) 
P(B) = P(I) · P(BII) + P(II) · P(Bfil) :. 
:. P(B) = _!. · ~ + _!. · 2 = .!2_ 
2 5 2 3 30 
O problema também pode ser resolvido usando-se o diagrama ern árvore: 
(1 nB) 3 
B -10 
1 
1/2 (I nA) 1 3 l 19 
A - 10 + 3= 30 5 
(Il n B) 1 
B -3 
li 
l (IInA) -
A 6 • 
Teorema de Bayes 
"Seja1n A,, A2, •• • ,A,, eventos que formarn uma partição do n. Seja B e n. Sejam 
conhecidas P(A1) e P(B/A;), i = l, 2, ... , n. Então: 
Den1onstração: 
P(A.)·P(BIA .) . ,, 
P(A ./B)= 1 .1 ,;=1, ... ,n. 
J li 
L P(A;) . P(BIA;) 
i = 1 
P(A . n B) 
P(A ./B) = - -'-1--
1 P(B) 
Usando-se o teorema do produto e o teoren1a da probabilidade total, ternos: 
. P(A1) ·P(BIA1) . . P(A1/B) = 11 ,; = 1, . . .,n. 
L P(A;) · P(BIA; ) 
i= 1 
O teorema de Bayes é tarnbém charnado de teoren1a da probabilidade a posteriori. 
Ele relaciona u1na das parcelas da probabilidade total corn a própria probabilidade total. 
Capitulo 2 - Probabilidade 27 
EXEMPLO 
A un1a A contén1 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a urna B contén1 2 vermelhas e 
8 azuis. Joga-se uma moeda "honesta". Se a 1noeda der cara, extrai-se uma ficha da 
urna A; se der coroa, extrai-se uma ficha da un1a B. U1na ficha vern1elha é extraída. 
Qual a probabilidade de ter saído cara no lança1nento? 
Resolução: 
Quere1nos: P(C/ V) 
P(C) = _!_ 
2 
1 
P(r)= 2 
Co1no: 
ternos: 
3 V 
2A 
A 
P(VIC)= '}_ 
5 
P(V/r) = _3__ 
10 
2V 
8A 
B 
P(V) = P(C n V)+ P(r n V) , 
P(V) = P( C) · P(V IC) + P(r) · .P(V Ir) 
1 3 1 2 4 
P(V) = 2 . S + 2 · w = W 
Calculamos agora P(C/V): 
3 
P(CI V) = P(V nC) = 1õ = ~ 
P(V) 4 4 
10 
O problema também pode ser resolvido pelo diagrama em árvore, como segue: 
e 
1/2 ,. 
V (CnV) 3 -
10 
A 
V (Vnr) 2 
20 
A 
P(C! V) = 3/ 10 = l 
4/10 4 
• 
28 Estatística básica 
Exercícios resolvidos 
1. U1na urna contérn 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraern-se simultanea-
mente 3 bolas. Achar a probabilidade de que: 
a) nenhu1na seja vennelha; 
b) exatamente un1a seja vennelha; 
c) todas sejam da n1esrna cor. 
Resolução: 
5B 
4V 
3A 
. - - - 8 7 6 14 
a) P( N.S .V) = P(V n V n V) = 12 . 11. 1 o = 5 5 
- - 3 4 8 7 28 
b) P(E.U.S.V)=P(V nv nV) ·(PR) =-·-·-·3=-
2·1 12 11 1 o 55 
e) P(T.S.lvf.C.) = P(B n B n B) + P(V n v n V)+ P(A n A n A)= 
5 4 3 4 3 2 3 2 1 3 
=-·-·-+-·-·-+-·-·-= -
12 11 10 12 11 10 12 11 10 44 
2. As probabilidades de 3 jogadores, A, B e C, marcarem um gol quando cobram um 
pênalti são 2 4 e l_, respectiva1nente. Se cada utn cobrar uma única vez, qual a 
3 ' 5 10 
probabilidade de que pelo menos um marque un1 gol? 
Resolução: 
2 4 7 
P(A) = 3,P(B) = S e P(C) = lO 
- - -
P(A UB UC)= 1- P(A UBU C)=l-P(A nB nC)= 
- ,... - l 1 3 . 1 49 
= 1-P(A)· P(B)· P(C) = 1-3· s·lõ = 1-Sõ = 5õ 
3. Em urna indústria há l O pessoas que ganham n1ais de 20 salários 1níni1nos (s.m.), 
20 que ganham entre 10 e 20 s.m., e 70 que ganham .menos de 10 s.1u. Três pessoas 
desta indústria são selecionadas. Determinar a probabi lidade de que pelo menos 
u1na ganhe rnenos de 1 O s.n1. 
Resolução: 
A: a pessoa ganha 1nais de 20 s.m. ~ 
B: a pessoa ganJ1a entre 1 O e 20 s.m. ~ 
C: a pessoa ganha 1nenos de 1 O s.rn. ~ 
P(CUC UC)= 1-P(CUC UC)= 
- - -
= 1-P(C)· P(C) · P(C) = 
= 1 - o 30. o 30. o 30 = 
' ' ' 
= 1 - o 027 = o 973 
' ' 
Capitulo 2 - Probabilidade 29 
P(A) = 0,10 
P(B) = 0,20 
P(C) = 0,70 
4. A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminan1 
en1patadas. A e B concordam e1n jogar 3 partidas. Deterrninar a probabilidade de: 
a) A ganhar todas as três; 
b) duas partidas terrninarem empatadas; 
c) A e B ganharen1 alternadamente. 
J~esolução: 
P(A) = 60 = _!_ 
120 2 
P(B) = 40 = .!_ 
120 3 
P(E) = 20 = _!_ 
120 6 
1 1 1 1 
a) P( A n A n A) = 2 . 2 . 2 = 8 
- • 1 1 5 5 
b) P(2E)=P(EnEnE)·(PR) ~ .1 =6·6·6·3 = 72 
c) P(A e B alte1nadamente) = P(A n B n A)+ P(B n A nB) = 
1111111 1 5 
= - ·- · - + - ·-·- = - + - = -
2 3 2 3 2 3 12 18 36 
5. São retiradas un1a a uma, aleatoriamente, bolas de uma urna até obter-se a primeira 
bola branca. Mas a cada tentativa dobra-se a quantidade de bolas azuis colocadas na 
un1a. Sabendo que inicialn1ente a uma conté1n 4 bolas azuis e 6 brancas, calcular a 
probabilidade de obter-se a primeira bola branca no máximo na 3ª tentativa. 
30 Estatística básica 
Resolução:4A 
1 A tentativa 
6B 
2ª tentativa 
3ª tentativa 
8A 
6B 
16A 
6B 
P(Priineira Branca no 1náxiino na 3ª tentativa)= 
= P(B1•) + P(A1• n B2•) + P(Â1• n  2• n B;•) = 
6 4 6 4 8 6 
- +- ·- + - ·- ·- =o 8338 
1 o 1 o 14 1 o 14 22 ' 
6. U1n lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma fi1ma. O responsável 
pelo setor seleciona 5 peças. O lote será aceito se foren1 observadas O ou 1 defeituosas. 
Há 20 defeituosas no lote. a) Qual a probabilidade de o lote ser aceito? b) Admitindo-
se que o lote seja aceito, qual a probabilidade de ter sido observado só urn defeito? 
Resolução: 
P(d) = 20 = .!_ 
120 6 
- -
P(d)=~ 
6 
a) P(A) = P(Od ou ld) = P(5d) + P(ld e 4d) = 
=P(d d d d d)+P(d d d d d)·PR1
5
4 = • 
(5)
5 1 (5)4 = - + - . - . 5 = o 4019 + o 4019 
6 6 6 ' ' 
P(A) = 0,8038 
P(Id!A)= P(ldnA) = 0,4019 =O 5 
b) P(A) 0,8038 ' 
7. A caixa A te1n 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas numeradas de 1 a 
5. U1na caixa é escolhida ao acaso e uma ca1ia é retirada. Se o nún1ero é par, qual a 
probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de A? 
Resolução: 
l 4 
P(A) = l ~ P(PIA) = 9 
1 2 
P(B) = - ~ P(P/B) = -
2 5 
Capítulo 2 - Probabilidade 31 
P(P)= P(A nP)+P(B nP) 
P(P) = P(A) · P(PIA) + P(B) · P(P/B) 
1 4 1 2 19 
P(P) = 2. 9 + 2. S = 45 :. 
:. P(AIP) P(A n P) = 219 _ 10 
P(P) 19/ 45 19 
8. Nun1 certo colégio, 4% dos hon1ens e 1% das mulheres têm mais de 1,75 de altura. 
60o/o dos estudantes são 111ulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem rnais de 
1,75 1n. Qual a probabilidade de que seja homem? 
l~esolução: 
A: o estudante tem mais de 1,75 m 
A P(HnA) 0,016 
H 
0,4 -
A 
A P(MnA) 0,006 
M 
-
A 
Logo: 
P(HIA)= P(H nA) = 0,016 = 8 
P(A) O, 022 11 
P(A) = 0,016 + 0,006 
P(A) = 0,022 
9. Uma caixa tem 3 moedas: uma não viciada, outra com 2 caras e uma terceira vicia-
da, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta rnoeda é de 1/5. Uma rnoeda 
é selecionada ao acaso na caixa. Saiu cara. Qual a probabilidade de que a 3A moeda 
tenha sido a selecionada? 
Resolução: 
A: pri1neira moeda 
B: segunda moeda 
C: terceira moeda 
32 Estatística básica 
e 
P(A n e) 1 -
6 
A 
1/3 r 
P(c) =1 +1+1 :. 
6 3 15 
1/3 B l e 
P(Bnc) 1 
:. P(c) = j6 -P(Cn c) 3 
1 
113 
e 
15 
e 
r 
Logo: 
P(Clc) = P(C n c) = 1/15 = 2 
P(c) 17/30 17 
1 O. Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas vermelhas; outra urna contém 3 bolas 
brancas e 6 vermelhas. Passa-se uma bola, escolhida ao acaso, da prin1eira para a 
segunda urna, e, ern seguida, retiram-se 5 bolas desta última, corn reposição. Qual a 
probabilidade de que ocorra111 2 vermelhas e 3 brancas nessa ordern? 
Resolução: 
(0,6)2 (0,4)3 P [B e (2 V e 38)] 
B (2Ve3B) 0,009216 
0,4 
P(2Ve3B) = 0,011862 
0,6 
V 
(O 7)' (O 3)' 
' . ' . (2 V e 3B) p [ Ve (2 V e 3B)] 0,002646 
11 . A probabilidade de u111 indivíduo da classe A comprar um carro é de 3/4, da B é de 
1/5 e da C é de l /20. As probabilidades de os indivíduos cornprarem um carro da 
marca x são 1/1 O, 315 e 3/1 O, dado que seja111 de A, B e C, respectivamente. Certa 
loj a vendeu um carro da rnarca x. Qual a probabilidade de que o indivíduo que o 
co1nprou seja da classe B? 
Resolução: 
X 
P(A n x) 3 -
40 
A 
3/4 -X P(Bnx) 
X 
3 42 21 - P(x) = 200 = 100 
1/5 
25 (+) 
B 
-
X P(Cn x) ~ 
X 
.) -
1/20 200 
e 
-X 
Capitulo 2 - Probabilidade 33 
:. P(Blx) = P(B nx) = 3125 = 4 
P(x) 21/100 7 
12. U1n certo progra1na pode ser usado con1 u1na entre duas sub-rotinas A e B, depen-
dendo do problema. A experiência ten1 n1ostrado que a sub-rotina A é usada 40% 
das vezes e B é usada 60% das vezes. Se A é usada, existe 75% de chance de que o 
progran1a chegue a un1 resultado dentro do limite de tempo. Se B é usada, a chance é de 
50o/o. Se o progra1na foi realizado dentro do limite de tempo, qual a probabilidade 
de que a sub-rotina A tenha sido a escolhida? 
Resolução: 
P(A) = 0,4 ~ P(RIA) =O, 75 ~ P(A n R) = 0, 300 
P(B) = 0,6 ~ P(RIB) = 0,50 ~P(B nR) =0,300 
Logo: P(R) = 0,300 + 0,300 = 0,600 
P(AIR) = P(A n R) = 0,3 = 0,5 ou 50% 
P(R) 0,6 
13. A urna X contém 2 bolas azuis, 2 brancas e 1 cinza, e a urna Y contém 2 bolas azuis, 
1 branca e l ci_nza. R.etira-se u.ma bola de cada urna. Calcule a probabilidade de 
saírem 2 bolas brancas sabendo que são bolas de mesma cor. 
Resolução: 
P(1nesma cor)= P(A n A)+ P(B n B) + P(C n C) 
222111 7 
= - ·- + - ·- + - ·- = -
5 4 5 4 5 4 20 
7 
P(mesma cor)= -
20 
. P(B nB) 
P(B n .Bimesma cor)= P( ) = 
2 
P(B n B)/1nesn1a cor) = -
7 
mesma cor 
2/20 2 
7/20 7 
14. Nu1n período de u1n n1ês, 100 pacientes sofrendo de detern1inada doença fora1n 
internados em utn hospital. Infonnações sobre o método de trata1nento aplicado em 
cada paciente e o resultado final obtido estão no quadro a seguir. 
34 Estatística básica 
Tratamento 
A B Soma 
Resultado 
Cura total 24 16 40 
Cura parcial 24 16 40 
Morte 12 8 20 
Soma 60 40 100 
a) So11eando aleatorian1ente u1n desses pacientes, deter1ninar a probabilidade de o 
paciente escolhido: 
a1) ter sido sub1netido ao tratamento A; 
a2) ter sido totaln1ente curado; 
a3) ter sido sub1netido ao tratamento A e ter sido parcialmente curado; 
ai) ter sido sub1uetido ao trata.mento A ou ter sido parcialmente curado. 
b) Os eventos "1norte" e "tratamento A" são independentes? Justificar. 
c) Sorteando dois dos pacientes, qual a probabilidade de que: 
c1) tenhan1 recebido trata1nentos diferentes? 
C2) pelo menos un1 deles tenha sido curado totalmente? 
Resolução: 
60 
a) a1) P(A)=
100
= 0,6 
40 
ai) P(TC) = lOO = 0,4 
24 
a3) P(A nPC) = = 0,24 
100 
a4) P(A UPC) =P(A)+ P(PC)-P(A n PC) =0,6+ 0,4-0, 24 = 0,76 
b) P(M)-
2
0 -O 2 
- 100 - ' P(M) · P(A) = 0,2 x 0,6 = 0,12 
P(A) = 0,6 
Co1no: 
te1nos: 
P(M n A)= 
12 
= 0,12, 
100 
P(M n A)= P(M) · P(A) . 
Logo, os eventos "1norte" e "tratamento A" são independentes. 
Capitulo 2 - Probabilidade 35 
e) c,) x = tratan1entos diferentes 
P(.x) = P(A nB)+ P(B n A)= 2x0,6 X 0,4= 0,48 
C2) z = curado totahnente 
= 1- O, 6 ·O, 6 = 1- O, 36 = 0,64 
15. A probabilidade de que u1n atleta A ultrapasse 17,30 1n nLnn único salto triplo é de 
0,7. O atleta dá 4 saltos. Qual a probabilidade de que em pelo menos nu1n dos saltos 
ultrapasse 17,30 1n? 
Resolução: 
P(u) = 0,7 
e P(ü)= 0,3 
= 1-0,3. 0,3. 0,3. 0,3=1-0,0081 = 0,9919 
16. Um dado A tem 3 faces brancas e 3 pretas; un1 dado B possui 2 faces brancas, 2 
pretas e 2 ver1nelhas; um dado C possui 2 faces brancas e 4 pretas, e u1n dado D, 3 
brancas e 3 pretas. Lança111-se os quatro dados. Qual a probabilidade de que: 
a) pelo menos u1na face seja branca? 
b) três sejam pretas? 
e 2B 3B D 
4P 3P 
Cuidado: as probabilidades das cores não sã.o as mes1nas nos quatro dados. 
- - - -
a) P(B1 UB2 U B3 UB4 ) =I-P(B1)·P(B2 )·P(B3 )·P(B4)= 
=1-3·4·4 · ~=1-.!.= 8 
6 6 6 6 9 9 
36 Estatística básica 
- -
b) P(3 Pretas) = P(f; nPi n ~ n P.i) + P(f; n Pi n ~ n P.i) + 
- -
+P(J:; nPi n~ nP.i)+P(J:; nPi n~ n?.i)= 
3 2 4 3 3 2 2 3 3 4 4 3 
= -·-· - · -+ - · - . -· -+- · - · - · - + 
6666 6666 6666 
3243 l 1 1 1 9 1 
+- ·-·-·-=-+-+-+-=-= 
6 6 6 6 18 36 9 18 36 4 
17. A urna I te1n 3 bolas brancas e 2 pretas, a urna II tem 4 bolas brancas e 5 pretas, a. 
urna III tem 3 bolas brancas e 4 pretas. Passa-se un1a bola, escolhida aleatorian1ente, 
de 1 para II. Feito isto, retira-se uma bola de II e retiram-se 2 bolas de 111. Qual a 
probabilidade de sairem 3 bolas da mesu1a cor? 
Resolução: 
Ill 
315 
3 2 
P(B nB) = - ·-
7 6 
4 3 
P(PnP) =-·-
7 6 
B 
p 
P(MC) = P(B e 2B) + P(P e 2P) 
23 3 2 27 4 3 11 
P(lvfC) = - ·- ·- + - ·-·- = -
50 7 6 50 7 6 50 
P(BnB) 15 
B -50 
P(BnP) p 15 -
50 
B 
P(PnB) 8 
50 
p P(PnP) 12 
50 
P(B) = ~ 
50 
P(P) = ']]_ 
50 
18. Un1a urna x tem 8 bolas pretas e 2 verdes. A urna J' tem 4 pretas e 5 verdes, e a urna z 
te1n 2 verdes e 7 pretas. Passa-se uma bola de x para y. Feito isto, passa-se u1na bola 
de y para z. A seguir, retira1n-se 2 bolas dez, co1n reposição. Qual a probabilidadede que ocorram duas bolas verdes? 
Capitulo 2 - Probabilidade 37 
Resolução: 
p 
0,2 . 0,2 vv 0,016 
p 
V 
0,3 . 0,3 vv 0,036 
p 
0,2 . 0,2 vv -----. 0,0032 
V 
V 
0,3 . 0,3 vv-----. 0,0108 
P(V n V)= 0,016 + 0,036 + 0,0032 + 0,0108 = 0, 066 
19. Um aluno responde a utn teste de múltipla escolha con1 4 alte1nativas com uma só 
correta. A probabilidade de que ele saiba a resposta certa de u1na questão é de 30%. 
Se ele não sabe a resposta, existe a possibilidade de acertar "no chute". Não existe a 
possibilidade de ele obter a resposta certa por "cola". Se ele acertou a questão, qual 
a probabilidade de ele realmente saber a resposta? 
Resolução: 
- 55,79 - 2,37 o z 
P(SIA)=P(Sn A) = 0,3 = 0,6316 
P(A) 0,475 
20. Um analista de uma empresa fotográfica estitna que a probabilidade de que uma fir-
1na concorrente planeje fabricar equipan1entos para fotografias instantâneas dentro 
dos próximos 3 anos é 0,30. Se a firma concorrente te1n tais planos, será certamente 
construída uma nova fábrica. Se não tem tais p lanos, há ainda u1na probabilidade 
de 0,60 de que, por outras razões, construa u1na nova fabrica. Se iniciou os traba-
lhos de construção de uma nova fábrica, qual a probabilidade de que tenha decidido 
entrar para o campo da fotografia instantânea? 
38 Estatística básica 
Resolução: 
FJ--1--NF P(FinJ.lF) 0,3 
(+) P(NF) = 0,72 
P(FlnNF) 
NF 0,42 
FI 
1VF 
P(Fl/NF) = P(FI n JVF) 0,3 = 2_ = 0,4167 
P(NF) O, 72 12 
21. U1na urna X tetn 6 bolas brancas e 4 azuis. A urna Y tem 3 bolas brancas e 5 azuis. 
Passam-se duas bolas de X para Y e a seguir retira1n-se duas bolas de Y, co1n repo-
sição. Sabendo-se que ocorrera1n duas bolas azuis, qual a probabilidade que duas 
azuis tenha1n sido transferidas de X para Y? 
Resolução: 
5 5 - · - P(2B e2A) 10 10 750 
6 5 
88 2A 9.000 - ·-
10 9 
4 3 7 7 -·- -·- P(2A e 2A) 10 9 
AA 
10 10 
2A 
588 P(2A) = 3·º66 = 0 3407 
9.000 (+). 9.000 ' 
6 4 6 6 - · - . 2 - ·- P(CD e2A) BA 10 10 1728 10 9 2A 
AB 9.000 
• 
P(2A/2A) = p (2Ae2A) = 588/9.000 = 588 _ O,l918 
P(2A) 3.06619.000 3.066 
Exercícios propostos 
l. A seguinte afirmação trata da probabilidade de que exatamente un1 dos eventos, A ou 
B, ocorra. Prove que: 
- -
P{(A n B) U(A. nB)} = P(A) + P(B) - 2P(A n B) 
Respostas
Capitulo 2 - Probabilidade 39 
2. En1 un1a prova caíran1 dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertara1n o primei-
ro, 86 erraram o segundo, 120 acertararn os dois e 54 ace1tara1n apenas tun proble-
1na. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso: 
a) não tenha aceitado nenJ1um problema? 
b) tenha aceitado apenas o segundo problen1a? 
3. E1n u111a cidade onde se publica1n três jon1ais, A, B e e·, constatou-se que, entre 1.000 
fan1ílias, assinarn: A: 470; B: 420; C: 315; Ae B: 110; Ae C: 220; B e C: 140; e 75 assi-
nan1 os três. Escolhendo-se ao acaso u1na fan1ília, qual a probabil idade de que ela: 
a) não assine nenhu1n dos três jornais? 
b) assine apenas urn dos três jornais? 
c) assine pelo 1nenos dois jornais? 
4. A tabela abaixo dá a distribuição das probabilidades dos quatro tipos sanguíneos, 
nu1na certa comunidade. 
Tipo sanguíneo A B AB o 
Probabi 1 idade de ter 
0,2 
o tipo especificado 
Probabi 1 idade 
de não ter o tipo 0,9 0,95 
especificado 
Calcular a probabilidade de que: 
a) u1n indivíduo, sorteado ao acaso nessa co1nunidade, tenha o tipo O; 
b) dois indivíduos, sorteados ao acaso nessa comunidade, tenha111 tipo A e tipo B, 
nessa ordem; 
c) un1 indivíduo, sorteado ao acaso nessa co111unidade, não tenha o tipo B ou não 
tenha o tipo AB. 
5. Quinze pessoas en1 uma sala estão usando insígnias numeradas de 1 a 15. Três pessoas 
são escolhidas ao acaso e são retiradas da sala. Os números de suas insígnias são 
anotados. Qual a probabilidade de que: 
a) o 1nenor número seja 7? 
b) o maior núrnero seja 7? 
6. Un1a urna contém bolas numeradas: 1, 2, 3, 4, ... , n. Duas bolas são escolhidas ao 
acaso . . Encontre a probabi lidade de que os nú1neros das bolas sejarn inteiros conse-
cutivos se a extração é feita: 
a) sem reposição; 
b) co1n reposição. 
7. Colocam-se 4 nú1neros positivos e 6 negativos em l O memórias de urna máquina de 
calcular (um em cada 1ne1nória). Efetua-se o produto dos conteúdos de 4 memórias 
selecionadas ao acaso. Qual a probabilidade de que seja positivo? 
Respostas
40 Estatística básica 
8. Três cartas vão ser retiradas de utn baralho de 52 cartas. Calcular a probabilidade 
de que: 
a) todas as três sejan1 espadas; 
b) as três ca11as sejan1 do mesmo naipe; 
c) as três cartas sejan1 de naipes diferentes. 
9. Un1a urna contém l O bolas verdes e 6 azuis. Tira111-se 2 bolas ao acaso. Qual a pro-
babilidade de que as duas bolas: 
a) sejam verdes? 
b) sejam da mes111a cor? 
c) sejam de cores diferentes? 
1 O. De uma caixa co1n 1 O lâ1npadas, das quais 6 estão boas, retiratn-se 3 lân1padas ao 
acaso e que são testadas a seguir. Qual a probabilidade de que: 
a) todas acendam? 
b) pelo menos uma lârnpada acenda? 
11. Un1a urna contém 5 bolas pretas, 3 vern1elhas, 3 azuis e 2 a1narelas. Extraetn-se 
si1nultaneamente 5 bolas. Qual a probabilidade de que saiam 2 bolas pretas, 2 azuis 
e u1na a1narela? 
12. Un1a urna contém 4 bolas brancas, 4 vermelhas e 2 pretas. Outra urna contém 5 
bolas brancas, 3 vem1elhas e 3 pretas. Extrai-se u1na bola de cada urna. Qual a pro-
babilidade de que sejan1da1nesn1a cor? 
13. U1na caixa contém 6 lâ1npadas de 40 W, 3 de 60 W e 1 de l 00 W. Retiratn-se 5 lâm-
padas cotn reposição. Qual a probabilidade de que: 
a) saiam 3 de 40 W, 1 de 60 W e 1 de 100 W? 
b) saiam 4 de 40 W e 1 de 60 W? 
c) não saia nenhu1ua de 60 W? 
14. Numa sala há 4 casais. De cada casal un1 dos cotnponentes é escolhido. Qual a pro-
babilidade de sere1n escolhidos 3 homens ou 4 nlulheres? 
15. As probabilidades de u1n estudante do curso básico de uma tàculdade escolher entre 
matetnática, física e estatística são 0,5, 0,3 e 0,2, respectivan1ente. Selecionam-se 
ao acaso 3 estudantes do ciclo básico desta faculdade. Qual a probabilidade de que 
pelo 1nenos um escolha estatística? 
16. Duas pessoas lançam, cada uma, 3 rnoedas. Qual a probabilidade de que tirem o 
n1esmo número de caras? 
.17. De u1n grupo de 12 homens e 8 mulheres, retiran1-se 4 pessoas para fonnar uma 
cotnissão. Qual a probabilidade de: 
a) pelo tnenos uma 1nulher fazer parte da co1nissão? 
b) uma 1nulher fazer patte da cotnissão? 
c) haver pessoas dos dois sexos na co1nissão? 
Respostas
Resp
Capitulo 2 - Probabilidade 41 
18. A e B alternadamente e nessa ordem, lança1n independente1nente 3 1noedas. Ganha 
o pri1nejro que tirar faces iguais. O jogo tertn ina cotu a vitória de um deles. Qual a 
probabilidade de A ganhar? Qual a probabilidade de B ganhar? 
19. ·urn tabuleiro quadrado contérn 9 orifícios dispostos e1n 3 linhas e 3 colunas. En1 
cada buraco cabe un1a única bola. Jogam-se 3 bolas sobre o tabuleiro. Qual a proba-
bilidade de que os orifícios ocupados não estejam alinhados? 
20. Uma urna conté1n 1 bola azul e 9 brancas. Un1a segunda urna contém x bolas azuis 
e as restantes brancas, r1un1 total de l O bolas. Realizan1-se 2 experin1entos, separa-
damente e independentes entre si: 
a) retirar ao acaso u1na bola de cada urna; 
b) reunir as bolas das 2 urnas e em seguida retirar 2 bolas ao acaso. 
Calcular o valor 1nínin10 de x, a fim de que a probabilidade de saíren1 2 bolas azuis 
seja maior no 22 que no l 2 experi1nento. 
21. Duas lâtnpadas ruins são misturadas com 2 lâmpadas boas. As lâ1npadas são testa-
das u1na a uma, até que as 2 ruins seja1n encontradas. Qual a probabilidade de que a 
última rui1n seja encontrada no: 
a) segundo teste; 
b) terceiro teste; 
c) quarto teste. 
22. Da produção diária de peças de un1a determinada máquina, 10% são defeituosas. 
Retira1n-se 5 peças da produção dessa máquina num detenninado dia. Qual a proba-
bilidade de que: 
a) no n1áximo duas seja1n boas? 
b) pelo menos quatro sejam boas? 
c) exatamente três sejatn boas? 
d) pelo 1nenosu1na seja defeituosa? 
23. Quatro bolsas de estudo serão sorteadas entre 30 estudantes: 12 do pri1neiro ciclo e 18 
do segundo ciclo. Qual a probabilidade de que haja entre os sorteados: 
a) u1n do prin1eiro ciclo; 
b) no máximo um do segundo ciclo; 
c) pelo menos u1n de cada ciclo. 
24. A probabil idade de que a porta de uma casa esteja trancada à chave é de 3/5. Há 1 O 
chaves em un1 chaveiro. Qual a probabilidade de que u1n indivíduo entre na casa po-
dendo utilizar, se necessário, apenas u1na das chaves, to1nada ao acaso do chaveiro? 
25. E1n uma uma estão colocadas 5 bolas azuis e 1 O bolas brancas. 
a) Retirando-se 5 bolas, sem reposição, calcular a probabilidade; 
a,) de as três prin1eiras sere1n azuis e as duas últimas brancas; 
a2) de ocorrer 3 bolas azuis e duas brancas. 
Respostas
R
42 Estatística básica 
b) Retirando-se 2 bolas, sen1 reposição, calcular a probabilidade: 
b1) de a segunda ser azul; 
b2) de ter sido retirada a primeira branca, sabendo-se que a segunda é azul. 
26. Num super1nercado há 2000 lâ1npadas, provenientes de 3 fábricas distintas, X, Y e 
z. X produziu 500, das quais 400 são boas. Y produziu 700, das quais 600 são boas, 
e Z as restantes, das quais 500 são boas. Se sortearmos ao acaso uma das lâ1npadas 
nesse supermercado, qual a probabilidade de que: 
a) seja boa? 
b) sendo defeituosa, tenJ1a sido fabricada por X? 
27. Un1a e1n cada dez n1oedas apresenta o defeito de ser viciada, isto é, a probabilidade 
de obtermos cara nessa 1noeda é 0,8. Sortea1nos ao acaso u1na 1noeda e a lançan1os 
5 vezes, obtendo-se 3 caras e 2 coroas. Qual a probabilidade de tennos escolh ido a 
1noeda viciada? 
28. U1na urna contém 3 bolas brancas e 4 azuis. Uma outra conté1n 4 brancas e 5 azuis. 
Passa-se uma bola da pri1neira para a segunda urna e, em seguida, extrai-se uma 
bola da segunda urna. Qual a probabilidade de ser branca? 
29. Un1a pessoa joga u1n dado. Se sair 6, ganha a partida. Se sair 3, 4 ou 5, perde. Se sair 
1 ou 2, tem o direito de jogar novamente. Desta vez, se sair 4, ganha, e se sair outro 
número, perde. Qual a probabilidade de ganhar? 
30. A urna A tem 3 bolas pretas e 4 brancas. A urna B tem 4 bolas brancas e 5 pretas. 
Un1a bola é retirada ao acaso da urna A e colocada na un1a B. Retiran1-se ao acaso 2 
bolas da urna B. Qual a probabilidade de que: 
a) a111bas seja1n da 1nes1na cor? 
b) a1ubas sejam de cores diferentes? 
31. A fábrica A produziu 4000 lâmpadas, e a fábrica B, 6000 lâmpadas. 80% das lârn-
padas de A são boas, e 60% das de B são boas ta1nbé1n. Escolhe-se uma lâmpada ao 
acaso das 10000 lâtnpadas. Qual a probabilidade que: 
a) seja boa, sabendo-se que é da 1narca A? 
b) seja boa? 
e) seja defeituosa e da marca B? 
d) sendo defeituosa, tenha sido fabricada por B? 
32. A porcentagem de can·os con1 defeito entregue no mercado por ce11a montadora 
é historicamente esti1nada e1n 6%. A produção da 1nontadora ven1 de três fábricas 
distintas, da 1natriz, A, e das filiais, B e C, nas seguintes proporções: 60%, 30% e 
l 0%, respectivamente. Sabe-se que a proporção de defeitos na 111atriz é o dobro 
da filial B e, a da filial B é o quádruplo da filial C. Detenninar a porcentagem de 
defeito de cada fábrica. 
Respostas
Capitulo 2 - Probabilidade 43 
33. Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 pretas. Duas bolas são retiradas ao acaso dessa 
urJ1a e substituídas por 2 bolas verdes. Depois disto, retira1n-se 2 bolas. Qual a pro-
babilidade de saírem bolas brancas? 
34. A urna 1 tem 3 bolas brancas e 2 pretas. A urna II tern 4 bolas brancas e 5 pretas, e a 
urna III tem 3 bolas brancas e 4 pretas. Passa-se uma bola, escolhida aleatoriamente, 
de I para li. Depois disso, passa-se uma bola da urna li para a urna III e, e1n seguida, 
retiram-se 2 bolas de UI. Qual a probabilidade de saírem 2 bolas brancas? 
35. Un1a urna tem 5 bolas verdes, 4 azuis e 5 brancas. Retira1n-se 3 bolas com reposi-
ção. Qual a probabilidade de que no máxitno duas sejam brancas? 
36. Nu1n congresso científico, a cornposição de 4 comissões, A, B, C e D, é a seguinte: 
5 hotnens (h) e 5 rnulheres (11'1); 3 h e 7 11i; 4 h e 6 m; e 6 h e 4 1n, respectivamente. 
Uma pessoa é escolhida ao acaso de cada co111issão e é forn1ada uma nova comissão, 
E. Qual a probabi lidade de que E seja co1nposta por: 
a) 2 mulheres; 
b) pessoas do mes1no sexo; 
c) sarnente por ho1nens. 
37. A experiência mostra que detenninado aluno, A, te1n probabilidade 0,9 de resolver 
e acertar um exercício novo que lhe é proposto. Se.is novos exercícios são apresen-
tados ao aluno A para sere1n resolvidos. Qual a probabilidade de que ele resolva e 
acerte: 
a) no máximo 2 exercícios; 
b) pelo menos um exercício; 
c) os seis exercícios. 
38. A urna l tem 3 bolas brancas e 4 pretas. A urna II tem 4 bolas bran.cas e 5 pretas. A 
un1a III tem 3 bolas brancas e 2 pretas, e a urna IV tem 4 bolas brancas e 3 pretas. 
Passa-se uma bola, escolhida ao acaso, de I para li, e també1n passa-se uma bola, 
escolhida ao acaso, de III para IV. Feito isto, retira-se uma bolada urna II e uma bola 
da urna IV. Qual a probabilidade de saíren1 bolas da mesma cor? 
39. Uma urna tem 3 bolas brancas, 3 pretas e 4 azuis. Duas bolas são retiradas ao acaso 
dessa urna e substituídas por 5 ver1nelhas. Depois disso, retira-se 1 bola. Qual a 
probabilidade de sair bola azul? 
40. Uma caixa, A, contén1 6 bolas azuis e 4 vermelhas, e outra, B, contém 4 bolas azuis e 6 
vern1elhas. Uma pessoa extrai ao acaso u1na bola de uma das caixas. A probabilidade 
de que seja azul é 0,44. Qual a preferência (probabilidade) da pessoa pela caixa A? 
41. São dadas as urnas A, B e C. Da urna A é retirada uma bola e colocada na urna B. 
Da urna B retira-se u1na bola, que é colocada na urna C. Retira-se então uma bola 
da urna C. A probabilidade de ocorrer bola de cor vermelha é de 0,537. Determinar 
o valor de x sabendo que as urnas têm as seguintes composições: 
Respostas
R
44 Estatística básica 
A{7 vermelhas 
3 brancas {
3 vermelhas 
B 6 brancas 
c{(9- x) vem1elhas 
x brancas 
42. U1na e1npresa produz o produto X e1n 3 fábricas distintas, A, B e e, COITIO segue: a 
produção de A é 2 vezes a de B, e a de C é 2 vezes a de B. O produto X é armazenado 
em u1n depósito central. As proporções de produção defeituosa são: 5% de A, 3% de 
B e 4% de C. Retira-se uma unidade de X do depósito e verifica-se que é defeituoso. 
Qual a probabilidade de que tenha sido fabricado por B? 
43. Três máquinas, A, B e C, produzem, respectivamente, 40%, 50% e 10% da produção 
da en1presa X Historican1ente as porcentagens de peças defeituosas produzidas em 
cada 1náquina são: 5%, 3% e 3%, respectiva1nente. A e1npresa X contratou u1n enge-
nheiro para fazer u1na revisão nas 1náquinas e no processo de produção. Tal engenhei-
ro conseguiu reduzir pela 1netade a probabilidade de peças defeituosas da empresa 
e, ainda, igualou as porcentagens de defeitos das 1náquinas A e B, e a porcentagem 
de defeitos em C ficou na metade da conseguida para B. Quais são as novas porcen-
tagens de defeitos de cada máquina? 
Respostas
Variáveis aleatórias discretas 
3.1 Definicões 
I 
Na prática é, nluitas vezes, n1ais interessante associannos um nú1nero a un1 evento 
aleatório e calcularrnos a probabilidade da ocorrência desse nú1nero do que a probabi-
lidade do evento. 
lntroduziremos o conceito de variáveis al.eatórias discretas con1 o seguinte problen1a: 
Lançam-se três rnoedas. Seja X o número de ocorrências da face cara. Determinar a 
distribuição de probabilidade de X. 
O espaço amostral do experin1ento é: 
a ={(e, e, e), (e, e, r), (e, r, e), (e, r , r), (r, e, e), (r, e, r), (r, r , e), (r, r, r)} 
Se X é o nú1nero de caras, X assume os valores O, l, 2 e 3. Podemos associar a esses 
nún1eros eventos que con·espondatn à ocorrência de nenhuma, un1a, duas ou três caras 
respectivamente, como segue: 
X Evento correspondente 
o A, ={(r, r, r)} 
1 A2 ={(e, r, r), (r, e, r), (r, r, e)} 1 
2 Â3 ={(e, e, r), (e, r, e), (r, e, e)} 
.., 
J A4 ={(e,e, e)} 
Poden1os tambétn associar, às probabilidades de X assu1nir un1 dos valores, as proba-
bilidades dos eventos correspondentes: 
1 
P(X =O)= P(A1) = -8 
3 
P(X = 1) = P(A,) = - 2 - 8 
46 Estatística básica 
Esque1naticamente: 
X P(X) 
o 1/8 
l 3/8 
2 3/8 
3 1/ 8 
1 
3 
P(X = 2) = P(A3) = S 
1 
P(X = 3) = P(A4 ) = 8 
3 
Grafica1nente: 
3 
8 
l -
8 
P(X) 
• 
o 1 
• 
' ' 1 
1 
' ' 
2 3 
Observan1os que e1n 1 fizemos o seguinte tipo de associação: 
A. 
o 
1 
2 
3 
4 
X 
Então pode1nos dar a seguinte definição: variável alec1tória é a função que associa a 
todo evento pertencente a un1a partição do espaço amostral um único nú1nero real. 
Notamos que a variável aleatória para ser discreta deve assumir valores em um con-
junto finito ou e1n um conjunto infinito, porém enu1nerável. 
Jndicare1nos, no caso finito: 
X: X1, X".!, ... , x,, 
Por 2 podemos definirfanção de probabilidade. 
DEFINIÇÃO 
Função de probabilidade é a função que associa a cada valor assumido pela variá-
vel aleatória a probabilidade do evento correspondente, isto é: 
P(X=x1) = P(A,), i = l , 2, ... , n 
Capitulo 3 - Variáveis aleatórias discretas 47 
Ao conjunto { (x;, p(x;), i = 1, ... , n} damos o no1ne de distribuição de probabili-
dades da variável a leatória X como no quadro 3 e gráfico 4 . 
' E impor1ante verificar que, para que haja luna distribuição de probabilidades de 
u1na variável aleatóriaX, é necessário que: 
li 
L P(X;) =l 
í = I 
Exemplos de aplicação 
1. Lança1n-se 2 dados. Seja X a son1a das faces, detenninar a distribuição de probabi-
1 idades de X. 
X P(X) P(X) 
2 l /36 
3 2/36 
6 - • 36 
5 
4 3/36 - ' ' 36 
5 4/36 
6 5/36 
7 6136 
4 - • • 36 1 1 
3 
1 
1 - • 1 • 36 1 1 1 1 
1 1 1 
8 5136 
9 4/36 
10 3/36 
2 1 1 1 1 1 1 -
' 
1 1 1 
' 36 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - • 1 1 1 1 1 • 36 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 1 2/36 
1 1 1 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 1 1 
12 1/36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 
1 
2. Suponhamos que a variável aleatória X tenha função de probabilidade dada por: 
Calcular: 
a) P(X ser par); 
b) P(X > 3); 
P( X = j) = ~ , j = 1, 2, 3, .. ., n, ... 
21 
c) P(X ser múltiplo de 3). 
Resolução: 
X 1 2 3 4 5 
P(X) 1/2 1/4 1/8 1/ 16 1/32 
... 
... 1 
X 
48 Estatística básica 
~ 1 1 l 1/2 1/2 
LP(X =X;)=-+-+-+ ... = = = 1 
i=I 2 4 8 1- 1/2 1/2 
a) P(Xser par) = P(X= 2) + P(X= 4) + P(X= 6) + ... = 
1 1 1 114 l / 4 1 
= - + - + - + ... = - - -
4 16 64 1-1/ 4 3 / 4 3 
b) P(X> 3) = P(X= 3) + P(X= 4) + P(X= 5) + ... = 
1 1 1 l / 8 1/8 1 
=-+-+-+ ... = - - ou - -
8 16 32 1-1/ 2 112 4 
P(X> 3) = 1-P(X < 3) = 1- {P(X= I) + P(X= 2)} = 
=1-{~+ ~}=1-! = ~ 
c) P(Xser múltiplo de 3) = P(X= 3) + P(X = 6) + ... = 
1 1 1/8 1/8 1 
= - +- + = - -
8 64 . . . l - l / 8 7 / 8 7 
3.2 Esperança matemática 
Existem características nu1néricas que são mu.ito i1nportantes em uma distribuição de 
probabilidades de uma variável aleatória discreta. Sã.o os parâmetros das distribuições. 
U1n pri1neiro parâ1netro é a esperança ntate111ática (ou si1nples1nente niédia) de tuna 
variável aleatória. 
Introduzimos o conceito com o seguinte problema: 
U1na seguradora paga R$ 30.000,00 em caso de acidente de ca1To e cobra u1na taxa 
de R$ 1.000,00. Sabe-se que a probabilidade de que u1n carro sofra acidente é de 3%. 
Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado? 
Resolução: Suponha1nos que entre 100 carros segurados, 97 dão lucro de R$ I .000,00 
e 3 dão prejuízo de R$ 29 .000,00 (R$ 30.000,00 - R$ 1.000,00). 
Lucro total= 97 · R$ 1.000,00 - 3 · R$ 29.000,00 = R$ 10.000,00 
Lucro 1nédio por carro= R$ 10.000,00 : 100 = R$ 100,00 
Se cha1narmos de X o lucro por carro, e o lucro médio por carro de E(X), tere1nos: 
E(X)= 97 ·1.000,00-3·29.000,00 = 
100 
97 3 
= · l.000,00 - . 29.000,00 = 
100 100 
= 0,97 · l.000,00-0,03. 29.000, 00 
Capitulo 3 - Variáveis aleatórias discretas 49 
Onde 
x, = 1.000,00 e p(x,) = 0,97 
x2 = -29.000,00 e p(x2) = 0,03 
Seja X: x,, .'72, ••. , x,, e P(X = x,) = p(x1), i = 1, ... , n. 
DEFINIÇÃO 
li 
E(X) = I x1 • p(x1) 
i=I 
' A esperança matetnática é u1n número real. E também urna média aritmética pon-
derada, con10 foi visto no exen1plo. Notação: E(X), µ(x), µ,, µ .. 
Exemplos de aplicação 
1. Resolução do problema pela definição. 
X: " lucro" por carro. Fazendo uma tabela, temos: 
X P(X) X· P(X) 
1.000 0,97 970,00 
- 29.000 0,03 - 870,00 
1 100,00 
:. E(X) = R$ 100,00 
Isto é, o lucro médio por carro é de R$ 100,00. 
2. No problema da página 44, calcular E(X). 
Resolução: 
X P(X) X• P(X) 
o 1/8 o 
l 3/8 3/8 
2 318 618 
3 1/8 318 
l 12/8 = 1,5 
:. E(X) = 1,5 
Ou o nú1nero médio de caras no lança1nento de 3 moedas é 1,5 cara. 
50 Estatística básica 
3. Suponha1nos que un1 número seja sorteado de l a 1 O, inteiros positivos. Seja X o 
núrnero de divisores do nú1nero sorteado. Calcular o número 111édio de divisores do 
número sorteado. 
Resolução: 
X: número de divisores, logo: 
Nll Nll de divisores 
1 1 
2 2 
... 
.) 2 X P(X) X •P(X) 
4 3 1 Ili O 1/ 1 o 
5 2 2 4/10 8/ 10 
6 4 3 2/10 6/ 10 
7 2 4 3/ 10 12/ 10 
8 4 1 2,7 
9 
,., 
.) 
10 4 
. 
• • E(X) = 2,7 Número médio de divisores do nún1ero sorteado . 
4. Nu1n jogo de dados, A paga R$ 20,00 a B e lança 3 dados. Se sair face 1 en1 u1n dos da-
dos apenas, A ganha R$ 20,00. Se sair face 1 e1n dois dados apenas, A ganha R$ 50,00, 
e se sair l nos três dados, A ganha R$ 80,00. Calcular o lucro líquido médio de A em 
u1ua jogada. 
Resolu,ção: 
A: apenas un1a face 1 
B: apenas duas faces 1 
C: três faces 1 
D: nenhuma face 1 
:. X: -20, O, 30, 60 
Observa1nos que: 
1 5 5 75 
P( A) = -6 . -6 . -6 . 3 = -21-6 
1 1 1 1 
P( C) = 6 . 6 . 6 = 216 
Recebe 
20 
50 
80 
o 
Paga L ucro líquido 
20 o 
20 30 
20 60 
20 - 20 
1 l 5 15 
P(B)= -6 ·-6 ·-6 ·J= -21-6 
P(D)=~·~·~= 125 
6 6 6 216 
Capitulo 3 - Variáveis aleatórias discretas 51 
Fazendo o dispositivo prático: 
X P(X) X • P(X) 
- 20 125/216 - 2.500/2 16 
o 75/216 o 
30 15/216 450/216 
60 1/216 60/216 
1 - 1.990/216 
E(X) = -9,21 
Propriedades da esperança matemática 
1. E(k) = k, k: constante. 
Demonstração: 
li li 
E(k) = L'.. k· p(x;) = k· L P(X;) = k·l = k 
i = I i = I 
2. E(k · X) = k · E(X) 
Denionstração: 
li li 
E(k · X) = L k ·X; · p(x;) = k · L X;· p(x;) = k· E(X) 
i = 1 i = 1 
3. E(X + Y) = E(X) + E(Y) 
Essa propriedade será demonstrada posteriorn1ente (página 62). 
11 l i 
4. E I.. xi = I.. {E(X;)} 
i=I i =I 
5. E(aX + b) = c1E(X) + b, a e b constantes. 
Denionstração: 
E(aX + b) = E(ciX) + E(b) = aE(X) + b 
6. E(X- µ") = O 
Demonstração: 
E(X - µx) = E(X) -E(µx) = E(X) - µt = o 
52 Estatística básica 
3.3 Variância 
O fato de conhecermos a média de uma distribuição de probabilidades já nos ajuda 
bastante, porém não temos uma medida que nos dê o grau de dispersão de probabilidade 
em torno dessa média. 
Vin1os que o desvio 1nédio, E{X - µ,} é nulo, logo não serve con10 n1edida de 
dispersão. 
A n1edida que dá o grau de dispersão (ou de concentração) de probabilidade e1n torno 
da rnédia é a variância. 
Para efetuarmos o estudo da variância, considerare1nos as distribuições das variáveis 
aleatórias X e Y com as suas respectivas médias. 
X P(X) X • P(X) y P(I') y . P(I') 
o 1/8 o - 2 115 - 215 
1 6/8 6/8 - 1 1/5 - 1/5 
2 1/8 2/8 o 115 o 
1 µ.. = 1 
,., 
..) 115 3/5 
5 115 515 
1 µ)" = 1 
Fare1nos os gráficos das duas distribuições para ter1nos uma ideia n1elhor da concen-
tração ou dispersão de probabil idades em torno da 1nédia, que é 1. 
6 -
8 
1 -
8 
o 
P(X) 
• 1 
1 
l 
µX 
' ' 1 1 1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
2 X - 2 
P(Y) 
l 
' - ' ' 1 5 1 1 1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
- l o l 3 5 y 
µy 
Notan1os que há uma grande concentração de probabi lidades en1 X e un1a grande 
di5persão eni Y, com relaçã.o à média. 
Definire1nos, agora, variância. 
VAR(X) =E{[X-E(X)]2 } 
No caso discreto, seja X: x,, X2, ... , x" e P(X =X;)= p(x;), i = 1, 2, ... , 11. 
DEFINIÇÃO 
. . Notação 
VAR(X), 
Capitulo