CAPITULO-II

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Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos Básicos 
de 
 Mecânica quântica 
 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
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Capítulo II 
 
Noções básicas de mecânica Quântica. 
 
 
Cronologia do desenvolvimento básico da mecânica quântica 
 
1897 - Joseph Thomson descobre o elétron (tubo de raios catódicos). 
 
1899 – Otto Lummer e Ernst Pringsheim levantam a curva da densidade de energia por frequência em função da 
frequência para o corpo negro. 
 
1900 - Max Planck faz a hipótese quântica para explicar a radiação do corpo negro. 
 
1905 - Albert Einstein estende o conceito de "quantum" de energia e explica o efeito fotoelétrico. 
 
1911 - Ernest Rutherford propõe um modelo para o átomo com um núcleo pesado e elétrons gravitando em torno 
dele. 
 
1913 - Niels Bohr apresenta seu modelo quântico para o átomo de hidrogênio. 
 
1913 - Robert Millikan mede a carga do elétron. 
 
1914 - Ernest Rutherford propõe que o núcleo contém prótons. 
 
1924 - Louis de Broglie propõe que elétrons podem ter comportamento ondulatório. 
 
1926 - Erwin Schrödinger chega à equação básica da mecânica quântica. 
 
1927 - Clinton J. Davisson, Lester Germer e George Thomson confirmam o caráter ondulatório do elétron 
experimentalmente. 
 
1927 - Werner Heisenberg estabelece o princípio da incerteza. 
 
 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
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A origem 
 
Maxwell, Hertz, Faraday dentre outros mostraram que a luz é uma onda eletromagnética (o que pode ser 
comprovado por fenômenos tais como interferência, difração, polarização etc.) que se propaga no vácuo com 
velocidade 
sm
8
10x998,2
oo
1
c 

 
[1], onde: 

o= 8,85 x 10
-12 u(SI) [2] (no vácuo) é a constante dielétrica do meio 
o= 12,57 x 10
-7 u(SI) (no vácuo) é a permeabilidade magnética do meio 
 
Ondas eletromagnéticas são geradas por cargas em movimento acelerado. Assim quando uma energia é 
transferida a um elétron para acelera-lo, parte dessa energia será transformada em energia eletromagnética. O 
oposto também é verdadeiro. Se um elétron é freado, parte de sua energia cinética é transformada em energia 
eletromagnética. Este é, aliás, o principal mecanismo para obtenção de raios-x. No caso, um feixe de elétrons 
com alta energia cinética choca-se contra um alvo onde para quase instantaneamente gerando ondas 
eletromagnéticas denominadas raios-x. Este efeito é conhecido como bremsstrahlung do alemão bremsung 
(desaceleração) e strahlung (radiação). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1: Produção de raios-x 
 
A energia eletromagnética emitida por uma carga acelerada pode ser absorvida por outra carga que, em 
condições apropriadas, passará a ter seu movimento induzido pela carga em movimento. É assim os elétrons em 
movimento na antena de uma emissora geram onda eletromagnética que movimenta elétrons na antena de um 
receptor. Também é assim que a luz proveniente do sol é absorvida por átomos e molécula da atmosfera que 
reemitem essa luz em todas as direções, ou seja, espalham a luz, isto é, a luz sofre espalhamento. O 
espalhamento da luz é proporcional à quarta potência de sua frequência e como o azul é a cor de maior 
frequência do espectro solar, é ela que sofre maior espalhamento dando a cor é azul ao céu. 
 
 
[1] Doravante, salvo menção contrária, o valor utilizado para c será 3,0 x 108 m/s. 
[2] u(SI) unidades do Sistema Internacional de unidades. 
Elétrons 
Alvo 
Raios-x 
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Radiação do corpo negro 
 
Vamos imaginar uma cavidade de paredes irregulares com uma única pequena 
saída. A energia eletromagnética que entra na cavidade é absorvida e reemitida 
pelos átomos de suas paredes. No equilíbrio, a energia absorvida é igual à emitida 
e a temperatura da cavidade permanece constante. Em outras palavras, a 
densidade de energia E(f ) (energia por volume ou área) é constante para cada 
frequência. Em 1899, Lummer e Pringsheim levantaram a curva experimental da 
densidade de energia por frequência da radiação emitida pelo corpo negro quando 
está na temperatura T (em Kelvin). 
 
A Figura 3 Mostra o comportamento de E(f ). 
 
 
 
 
Fig. 3: Curva E(f ) (no figura representada por RT(f))em função da frequência da radiação para o corpo negro 
em três diferentes temperaturas: 1000K, 1500K e 2000K.(http://www.infoescola.com/fisica/radiacao-do-corpo-
negro/) 
 
 
É importante observar que: 
1) Para cada temperatura existe um frequência para a qual a densidade de energia é máxima. 
2) O máximo da densidade de energia se desloca para maiores frequências quando a temperatura aumenta. 
 
Muitas vezes essa curva é dada em função do comprimento de onda. Como sabemos, c = f , ou seja = c/f. 
Assim, a curva toma outro aspecto pois maiores frequências correspondem a menores comprimentos de onda. 
Veja e analise a figura abaixo. 
 
Fig. 2: Corpo negro 
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Fig.4: Curva E(na figura representada por E) em função do comprimento de onda  da radiação para o 
corpo negro em três diferentes temperaturas: 5000K, 6000K, 7000K. 
(http://fisica.ufpr.br/grimm/aposmeteo/cap2/cap2-5.html) 
 
 
Até 1900, com a física conhecida na época não se conseguia uma expressão que reproduzisse o comportamento 
experimental da densidade de energia do corpo negro. Neste ano, o físico alemão Max Planck tentou uma 
solução considerando que os átomos das paredes do corpo negro são pequenos osciladores que só emitem e 
absorvem energia em números inteiros de certo valor de emergia Eo, ou seja, a energia absorvida ou emitida por 
cada oscilador só poderia ser 0, Eo, 2Eo, 3Eo, 4Eo,....nEo [3] onde Eo = hf com h sendo uma constante. Usando 
este artifício, Planck chegou à expressão abaixo que reproduz com exatidão a curva experimental. 
 
  
1kT
hf
e
1
 
3
c
3
hf8
f


E 
 
Onde k = 1,38 x 10-23 J/K é a constante de Boltzmann e T a temperatura do corpo negro. A constante h recebeu o 
nome de constante de Planck, uma justa homenagem a Max Planck, e é uma das constantes mais importantes da 
física quântica. 
 h = 6,63 x 10-34 J.s = 4,17 x 10-15 eV.s 
 
 
A equação encontrada por Planck permite ainda a obtenção de expressões algébricas de algumas leis muito 
importantes. A lei de Wien, por exemplo: 
“Para uma dada temperatura T (em Kelvin), é constante produto do comprimento de onda para ao qual a 
densidade de energia é máxima pela temperatura considerada.” 
 
max.T = 2,90 x 10
-3 m.K 
 
Observe que, em princípio, isso permite medir a temperatura de um corpo pela sua cor. Baixa temperatura, 
comprimento de onda grande (vermelho), alta temperatura, comprimento de onda pequeno (azul). 
 
Aplic.1: Determine a temperatura de um corpo negro quando ele emite um comprimento de onda predominante 
de 740nm (vermelho) e quando emite um comprimento de onda predominante de 400nm (violeta). 
 
 
[3] Na verdade a ideia de Planck era fazer Eo tender a zero o obter uma solução para o contínuo de energia. 
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R: 3,92 x 103K e 7,25x103K 
 
Com a equação encontrada por Planck, também se demonstra que a potência por unidade de área (I) da radiação 
emitida pelo Corpo negro é proporcional à quarta potência de sua temperatura absoluta (lei de Stefan-
Boltzmann): 
 
I =  T4 , onde  = 5,67 x 10-8 W/m2K4 é a constante de Stefan-Boltzmann 
 
Todas as equações acima foram obtidas para o Copo Negro. Todavia, qualitativamente o comportamento de 
qualquer corpo é semelhante ao do corpo negro. Para um corpo qualquer existe um fator, denominado 
emissividade que representa a fração de emissão radiativa do corpo em relação ao corpo negro. Claro que a 
emissividade do corpo negro é a maior e vale 1. Em todo caso, pode-sesempre afirmar que se um pedaço de um 
material aquecido está laranja e outro pedaço do mesmo material está vermelho, o de coloração laranja está a 
uma temperatura maior uma vez que o comprimento de onda da radiação laranja é menor do a da vermelha. Pela 
lei de Wien... 
A figura abaixo mostra uma barra metálica muito aquecida. Observe que temos diferentes temperaturas (cores) 
em ao longo da barra. 
 
 
 
Fig.5: Uma barra metálica aquecida Sabendo que a emissividade do metal pode-se até avaliar a temperatura de 
cada ponto. Onde está mais quente? (http://www.manutencaoesuprimentos.com.br/conteudo/6036-fundicao-
centrifuga/) 
 
 
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Efeito fotoelétrico 
 
Ocorre quando a luz incide sobre uma superfície de um metal e arranca elétrons desse metal. A figura 6 mostra 
uma célula fotoelétrica esquematicamente. Imaginemos uma fonte de tensão V ligada entre o eletrodo M1 de 
onde são arrancados os elétrons (ou onde a luz incide) e um segundo eletrodo M2. Na figura 6a a fonte é ligada 
de forma a acelerar os elétrons. Neste caso, todos os elétrons arrancados de M1 chegam a M2 e o amperímetro A 
vai indicar a passagem de uma corrente. Na figura 6b a fonte é ligada de forma a frear os elétrons. Se a tensão 
entre os eletrodos não for suficiente para frear todos os elétrons, haverá uma corrente no circuito medida pelo 
amperímetro A. Aumentando a tensão, haverá um valor para o qual nenhum elétron chegará a M2, mesmo com o 
aumento da intensidade de luz. Para votar a ter corrente elétrica é necessário usar luz de maior frequência (menor 
comprimento de onda). Isto indica que para uma determinada frequência existe um valor máximo da energia do 
elétron e esta energia máxima está ligada à frequência da radiação incidente. Este efeito não pode ser explicado 
pelas teorias clássicas e só foi explicado por A. Einstein, em 1905, usando uma generalização da ideia de Planck 
para o corpo negro. Elétrons numa célula fotoelétrica desse tipo são chamados fotoelétrons. 
 
 
Fig. 6: Célula fotoelétrica (a) Polarizada para acelerar os elétrons e (b) polarizada para frear os elétrons 
(anular a corrente em A). 
 
Outro ponto não explicável pelas teorias clássicas é o tempo de resposta no efeito fotoelétrico. Abaixo são 
apresentadas as características do efeito fotoelétrico. 
Características: 
1) A resposta da célula é imediata, i.é, não é detectável qualquer intervalo de tempo entre a chegada da luz e o 
aparecimento de corrente. 
2) A intensidade de corrente aumenta com a intensidade de luz. 
3) Para a luz com um comprimento de onda (frequência) acima (abaixo) de um certo valor o (fo) dependente do 
material onde ela incide, não há corrente qualquer que seja a intensidade de luz. 
4) A energia máxima do fotoelétron – medida pela ddp que se deve aplicar entre os eletrodos da célula para 
anular a corrente - é diretamente proporcional à frequência da luz incidente 
 
Pela teoria de Einstein: Fótons são “partículas” de massa zero em repouso e energia E = hf, onde h é a constante 
de Planck tal qual no corpo negro. Para arrancar elétrons do metal, a luz, em forma de fótons, precisa de uma 
energia mínima , denominada função de trabalho do metal (cada material tem sua função de trabalho). Se toda 
energia do fóton fosse cedida ao elétron, o elétron poderia sair do metal com energia hf. Todavia, parte da 
energia do fóton é usada para arrancar o elétron () e, portanto, a energia máxima (TMax) que o elétron pode ter 
ao sair do metal é: 
 
 
 
O gráfico dessa energia máxima pode ser representado por 
V 
elétrons 
M1 
 
M2 
A 
V 
elétrons 
 
M1 
 
M2 
A 
0 0 
(a) (b) 
TMax= hf -  
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Fig.7: Gráfico da energia máxima do fotoelétron em função da frequência da radiação incidente na célula. Se 
V é o potencial que anula a corrente para cada f, então eV é a energia máxima do fotoelétron para a frequência 
considerada. fo é chamada frequência de corte. 
 
No Apêndice 1 (última página) apresentamos uma analogia mecânica do efeito fotoelétrico 
 
Aplic.2: O comprimento de onda de corte de uma célula fotoelétrica é 580 nm. Calcule a energia máxima (em 
eV) de um fotoelétron gerado por uma radiação de 480 nm. R: 
0,45 eV 
 
Aplic.3: Uma radiação de 500 nm incide numa célula fotoelétrica. Para anular a corrente na célula é necessário 
uma tensão de 1,20 V. Qual a função de trabalho no metal da célula (em eV)? R: 1,3 
eV 
 
Aplic.4: Num célula fotoelétrica, a tensão de corte (tensão necessária para anular a corrente) é 0,84 V. A função 
de trabalho da placa da célula é 2,16 eV. Qual o comprimento de onda da radiação incidente? R: 417 
nm 
 
 
Momento do fóton 
 
O momento de uma onda eletromagnética é dado por4 p= E/c, E sendo a energia transportada pela onda. Será que 
fóton também tem momento E/c? No caso do fóton, podemos escrever p= hf/c, pois a energia transportada por 
um fóton é hf. Quando há variação de energia do fóton, há necessariamente variação no seu comprimento de 
onda (ou frequência). Portanto, numa interação entre um fóton e um elétron, por exemplo, o comprimento de 
onda do fóton deve mudar refletindo sua variação de energia. Para testar essa ideia, Arthur Holly Compton fez 
incidir um feixe de raios-X (fótons!) sobre um alvo de carbono e, com um detetor de Raios-X, mediu a 
intensidade do feixe em função do comprimento de onda após atravessar o alvo para ângulos de espalhamento 
diferentes; 
 
 
 
 
 
 
 
4 A energia de uma partícula de massa em repouso mo é, pela teoria da relatividade: 
2
p
2
c
2
o
mcU  . Portanto, a 
energia de uma partícula com massa em repouso zero é igual à de uma onda eletromagnética. 
-
f 
fo 
Tmax 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Arthur_Holly_Compton
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Fig.8: Arranjo experimental para medir o 
espalhamento Compton 
 
 
 
 
A relação entre os comprimentos de onda do fóton espalhado e do fóton incidente (ver apêndice 2) é: 
 
)cos1(
c
 , onde C = h/moc = 2,43 x 10
-12 m 
Onde: 
 ’ → Comprimento de onda do fóton espalhado. 
  → Comprimento de onda do fóton incidente. 
 C → Comprimento de onda de Compton para elétron. 
 mo → a massa do elétron em repouso. 
 
Conforme mostra a fig.9, para cada ângulo, são encontrados dois picos de intensidade. Um corresponde a ou 
seja, são os fótons não espalhados ou espalhados sem variação de energia. O outro pico corresponde a ’, i.é, o 
comprimento de onda dos fótons espalhados. Isto é uma prova experimental que fótons têm momento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.9:Medidas do espalhamento Compton para 4 ângulos diferentes. 
(De http://mesonpi.cat.cbpf.br/fisMod/efeito-compton/compton.htm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplic.5: Qual o valor de  para que  seja máximo? 
 
Aplic.6: Calcule  para =135o e compare com o resultado experimental da figura 9. 
 
 
 
Raios X 
Alvo 
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Exercícios de fixação 
 
Caso não saiba fazer algum dos exercícios abaixo, leia o texto anterior tentando achar alguma informação que 
permita solucionar o exercício. Todos são de aplicação direta das equações dadas. Não deixe a preguiça lhe 
vencer! 
 
 
1) Colocar em ordem crescente de energia as radiações abaixo. 
(a)  = 550 nm, (b)  = 7000 Ǻ, (c) f = 7,0 x 1014 Hz, (d) p = 1,8x10-27 kg.m/s 
R: b(1,8 eV), a(2,3 eV), c(2,9 eV), d (3,4 eV) 
 
2) O comprimento de onda de certa radiação é 6000Ǻ. Determine sua frequência e energia em joules e 
eletronvolts. Qual a cor dessa radiação? (Procurar na Internet) 
R: 5,0 x1015Hz , 3,3x10-19J e 2,1 
eV 
 
 
3) A frequência de certa radiação é 7,5x1014Hz. Determine sua energia em eV. R: 
3,1 eV 
 
4) Determine o comprimento de onda de uma radiação de 2,0 eV. R: 
625 nm5) Qual a energia de um elétron com velocidade de 3,0 x 106 m/s? R: 4,1 x 10-18 J ou 
25,6eV 
 
 
6) Um elétron com energia de 20keV choca-se contra um alvo. Qual o menor comprimento de onda possível da 
radiação decorrente do choque? R: 6,2 x 
10-11m 
 
7) Qual o comprimento de onda predominante de um Corpo negro a 1100oC? R: 2,1x103 
nm 
 
8) Determine a temperatura de um corpo negro que emite uma radiação predominante de 600 nm? Dê a resposta 
em graus Célsius. 
 R: 4560oC 
 
9) Qual a temperatura de uma chapa de 1,0 cm2 que emite 40W? Considere a chapa como sendo um corpo negro. 
 R: 1,63 
x103K 
 
10)Considere um corpo negro a 1037oC. Determine o comprimento de onda da radiação predominante e a 
potência por unidade de área emitida. R: 2,2 x 10-6m e 1,67 x 
105 W/m2 
 
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Espectroscopia óptica 
 
Quando a luz branca incide num prisma, ela emerge num feixe multicolorido (dispersão) devido aos diferentes 
índices de refração do material do prisma para cada comprimento de onda. O índice de refração aumenta do 
vermelho para o azul. 
 
 
Fig. 8: A luz branca ao passar por um prisma sofre dispersão, isto é, suas componentes de cor se separam. 
 
Todavia, se a luz é proveniente da ionização de uma gás, a dispersão da luz ocorre, mas somente algumas cores 
aparecem no espectro. Além disso, cada gás ionizado tem um espectro diferente a tal ponto que esse espectro 
serve como uma espécie de impressão digital do elemento. 
 
 
 
Fig.9: A luz proveniente de uma lâmpada de hidrogênio ao passar pelo prisma se divide em duas cores 
somente. 
 
Esse fato experimental não pode ser explicado pela física clássica. A Mecânica quântica veio preencher essa 
lacuna, embora o primeiro modelo proposto por Neils Bohr para o átomo de hidrogênio seja semiclássico e com 
sérias incongruências. Apesar disso, seus resultados para a energia do átomo de hidrogênio são excelentes. 
As figuras 10 e 11 mostram o espectro de emissão de alguns elementos. Na figura 11 observe que no espectro do 
sol existem algumas raias escuras. Sabe por quê? 
 
Luz Branca 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
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Fig.10: Espectro de emissão de 4 elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.11: Espectros de emissão de elementos comuns no dia-
a-dia. 
 
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O átomo de Bohr (hidrogênio) 
 
 
 
Revisão: Momento angular 
 
Fig. 11: No modelo atômico de Bohr para o hidrogênio, o elétron gira em torno do núcleo constituído de um 
próton. O momento angular do elétron é dado pela equação (1) 
______________________________ Fim da revisão _____________________________________________ 
 
Aplic.7: Mostre que h (constante de Planck) tem dimensão de momento angular. 
 
 
Postulado – O momento angular só pode assumir os valores : 
 
L = nħ , onde ħ = h/2 e n é um inteiro (1, 2, 3, 4....) 
 
A força entre um elétron e um próton (lei de Coulomb) é: 
2
ro4π
2
e
F

 onde r é a distância entre eles. 
Pela segunda lei de Newton, a força também é: F = ma = mv2/r, v2/r é a aceleração normal (ou centrípeta). 
 
Portanto: 
ro4π
2
e2
mv
r
2
mv
2
ro4π
2
e
F



 (2) 
 
A energia total do sistema é dada por: 
 
E = Ec+U 
 
onde 
ro8π
2
e2
mv
2
1
Ec

 é a energia cinética do elétron 
ro4π
2
e
U

 é a energia potencial do sistema (acredite!) 
Portanto 
ro8π
2
e
E

 (faça as contas!) (3) 
 
Elevando (1) ao quadrado: 
2
mmv
2
r
2
L  (4) 
Substituindo (2) em (4) : 
ro4π
2
e
m
2
r
2
L

 
2
me
2
Lo4πr

 
Assim, temos 
2
L
2
o
2
32π
4
me
E

 
 
L = r x p 
Considerando que no movimento circular r e p são 
perpendiculares 
L = r mv (1) 
 
A unidade de momento angular no SI é kg.m2/s 
m 
v 
L 
r 
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28 
 
Pelo postulado de Bohr: 
 
2
n
13,6
2
n
22
o
2
32π
4
me
nE 



 em eletronvolt (eV) 
 
Esta equação representa a energia do elétron no nível n do átomo de hidrogênio. n é chamado número quântico 
principal. 
 
Para um átomo de hidrogênio teríamos (energias em eV) 
 
 
 
Fig.12: Esquema de níveis de energia do hidrogênio. As transições mostradas são:: 
E∞- E1 = hfo E3 – E1 = hf3 E2-E1 = hf1 
Também podem ser possíveis as transições de 3→2, 5→3 etc, mas umas são mais prováveis do que outras. 
A transição inversa da apresentada na figura 6 se dá pela absorção de fótons ou outro meio de fornecer energia 
ao elétron (campo elétrico, por exemplo). Para ionizar opticamente o hidrogênio, é necessário um fóton de 13,6 
eV 
 
 
Aplic. 8: Determine a energia do fóton proveniente da transição do nível n=6 para n=2. R: 3,0eV 
 
Aplic. 9: Determine o comprimento de onda máximo de um fóton capaz de ionizar o átomo de hidrogênio. Um 
fóton com comprimento de onda menor ioniza o hidrogênio? E um com comprimento de onda maior? Responda 
explicando a resposta. R: 92 nm; pode ser; não 
 
-13,6 n=1 
-3,4 
0 
-0,8 
-1,5 
elétron livre (átomo 
ionizado) 
n=2 
n=3 
n=4 
hfo 
hf3 
hf2 
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Apesar das incoerências do modelo de Bohr, ele estabeleceu a ideia de níveis estacionários de energia para os 
elétrons no átomo, o que é insustentável classicamente. Como já foi comentado, elétron acelerado emite energia. 
Portanto, um elétron iniciando uma órbita circular irradiaria energia e perderia energia cinética entrado numa 
órbita espiral até chocar-se com o núcleo. Além disso, uma órbita circular plana tem que ter momento angular. A 
experiência mostra que o momento angular do elétron no átomo de hidrogênio é nulo. Todavia, como o modelo 
de Bohr funciona muito bem para o hidrogênio e para os átomos chamados hidrogenóides (1 elétron na órbita 
mais externa), a ideia de estado estacionário foi levada adiante dando origem à mecânica quântica. Outras 
experiências, como a de Franck-Hertz, comprovam essa hipótese. 
 
Onda de probabilidade 
 
O que há de novo até agora? Acabamos de estudar que a luz pode ter um comportamento corpuscular e 
ondulatório. Mas isso, desta forma, não agrada ninguém. Esforços foram e são desenvolvidos para explicar essa 
dualidade onda-partícula. O que se sabe é que a luz sofre difração e ao mesmo tempo se comporta como 
partícula. A explicação mais atual para isso é considerar a onda eletromagnética como uma onda de 
probabilidade para o fóton. A figura 13 ilustra a explicação. 
 
 
 
 
Fig. 13. A interferência da luz proveniente das fendas F1 e F2 gera um padrão luminoso cuja intensidade é 
mostrada no gráfico. 
 
Devido à interferência, forma-se um padrão luminoso sobre o anteparo mostrado à direita da figura 13. A 
intensidade da luz (no gráfico) num ponto do anteparo dá a probabilidade (na verdade a densidade linear de 
probabilidade) de um fóton chegar naquele ponto. A intensidade de uma onda é proporcional ao quadrado de sua 
amplitude. No caso de uma onda eletromagnética a amplitude é proporciona ao campo elétrico e, 
consequentemente, a intensidade é proporcional ao quadrado do campo elétrico. Portanto, a densidade linear de 
probabilidade de um fóton ser encontrado num determinado ponto é proporcional ao quadrado do campo elétrico 
no ponto considerado. Em outras palavras a onda eletromagnética é uma onda cujo quadrado da amplitude num 
determinado ponto dá a densidade de probabilidade de existir um fóton naquele ponto. 
 
 
Partículas e ondas 
Vimos que a luz que até o início do século XX era considera uma onda eletromagnética, mostrou-se como 
partícula em diversas experiências dando origem ao conceito de fóton. Na verdade um fóton é denominado uma 
quasipartícula uma vez que ele não existe em repouso. Ao contrário, elétrons e prótons são partículas que podem 
estar em repouso. Todavia a simetriada natureza nos leva a uma pergunta: “Partículas podem se comportar como 
ondas?” 
F1 
F2 
Anteparo 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
30 
 
Em 1924 Louis De Broglie respondeu “sim” a esta indagação através de sua tese de doutoramento “Recherches 
sur La Théorie des Quanta”. E mais, concluiu que o comprimento de onda associado a uma partícula com 
momento p é dado por5: 
 
p
h
 h é a constante de Planck 
 
Para demonstrar o caráter ondulatório de uma partícula, deve-se observar difração de partículas. A dificuldade 
disso está no fato de que os comprimentos de onda envolvidos são muito pequenos e uma fenda para causar uma 
difração mensurável deve ter dimensões da mesma ordem de grandeza do comprimento de onda. 
 
Aplic.10: Avalie o comprimento de onda associado a um automóvel andando a 36 km/h. Ele pode ser difratado 
ao passar sob um viaduto? 
 
Aplic. 11: Calcule o comprimento de onda associado a: 
(a) Um elétron de 10keV. (b) Um próton de 10 keV 
R: (a) 0,012 nm; (b) 0,28 pm 
 
Esse problema foi superado em 1927 por Clinton J. Davisson e seu assistente Lester Germer meio que 
acidentalmente nos EUA e, simultaneamente, por Georg Paget Thomson e seu assistente Alexander Reid na 
Inglaterra. Davisson, Germer e Thomson receberam o prêmio Nobel de Física em 1937. O interessante dessa 
história é que Joseph Thomson, pai de G.P. Thomson recebeu o prêmio Nobel em 1906 por mostrar que o elétron 
é uma partícula e seu filho, 31 anos depois, recebeu o mesmo prêmio mostrando que o elétron é uma onda. 
A figura 14 mostra as figuras de difração de alumínio cristalino em pó com R-X (b) e com elétrons (c) utilizando 
a montagem experimental (a). Note-se a semelhança entre as figuras de difração. 
 
 
 
 
Fig. 14: No arranjo 
experimental (a) um feixe de 
R-X ou de elétrons é difratado 
por um filme de alumínio 
cristalino em pó. Observa-se 
que as figuras de difração 
para o feixe de elétrons e R-X 
são semelhante evidenciando o 
caráter ondulatório dos 
elétrons. 
(Halliday & Resnick, 
Fundamentos de física, Vol.4, 
Livros Técnicos e Científicos 
Editora Ltda.,2012 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir dessa constatação, a mecânica quântica passa a tratar partícula e onda de probabilidade como foi feito 
para o fóton. O quadrado da amplitude dessa onda num determinado ponto e num determinado instante, dá a 
probabilidade de que a partícula esteja naquele ponto naquele instante. A forma da onda depende do momento e 
da posição da partícula. Uma partícula livre com o momento bem determinado tem como equação: 
 
5 Esse trabalho de De Broglie lhe valeu o prêmio Nobel de física em 1929 
(a) 
(b) (c) 
Alvo 
Feixe incidente 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
31 
 
 
 (x) = A sen(kx) 
 
onde 

p
p
h
22
k 




 com ħ = h/21,05 x 10
-34J.s 
 é chamado função de onda da partícula.
 
 
 
Fig. 15: Gráfico da onda com momento bem determinado. 
 
Observe que 2 não permite dizer onde está a partícula, ou seja, com momento bem determinado a função de 
onda não dá nenhuma informação sobre a posição da partícula. 
Não se pode usar v = f para partículas porque v, neste caso, dá a velocidade de fase da partícula que não 
significa nada em termos físicos (nem se pode medir!). A velocidade de uma partícula é a velocidade de grupo 
que é dada por v = p/m. 
 
Se uma partícula tem sua localização dentro de uma região x e o momento numa faixa p, então ela será 
representada por um pacote de ondas mostrado no gráfico da figura 16. 
 
Fig. 16: Um pacote de ondas onde tanto k como x estão, cada um, dentro de uma faixa de variação. 
 
 
Aqui temos uma situação sem similar na física clássica. Para um pacote de ondas ser localizado no espaço é 
necessária a superposição de várias ondas com diferentes comprimentos de ondas (ou diferentes k). Se, no 
entanto o valor do está bem determinado, o pacote de onda deixa de existir conforme mostra a figura 15. Uma 
análise da formação de pacotes de onda levou Werner Heisenberg a desigualdade mais importante na mecânica 
quântica conhecida como “Princípio da Incerteza”: 

 xp ≥ h 
 
Pode-se demonstrar que o princípio da incerteza também pode ser escrito em termos de energia de uma partícula 
e o tempo que passou com essa energia. 
20
20
 
33 

x 
x 
vg 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
32 
 
Basicamente o que diz o princípio da incerteza é que não podemos medir com precisão absoluta a posição e o 
momento de uma partícula. Isto acontece porque para qualquer medida de posição ou momento de uma partícula 
tem que haver uma interação desta partícula com algum agente. Por exemplo, podemos enviar um fóton para ver 
a posição de um elétron. O fóton deve chocar-se com o elétron e voltar ao olho do experimentador. Acontece que 
a interação fóton-elétron modifica o momento (e a posição) do elétron o que torna impossível o conhecimento de 
ambos. 
 
 Et ≥ h 
 
Nesta forma, o princípio da incerteza mostra que o tempo de vida de um elétron num nível excitado de um 
átomo é tanto menor quanto mais “largo” for o nível, i.é, só podemos medir a energia de um nível atômico com 
grande precisão se o tempo que o elétron nele permanece for grande. Nesse sentido, só os níveis ocupados no 
estado fundamental podem ser medidos com precisão absoluta porque nele os elétrons permanecem um tempo 
infinito.´ 
É consequência também do princípio da incerteza o fato de não se falar em trajetória ou órbita de uma partícula 
em mecânica quântica. Toda informação vem através de sua função de onda. 
 
Aplic.12: Suponha que a posição de um elétron é medida com uma imprecisão de 1 nm. Qual a imprecisão 
mínima do momento do elétron? R: 1,05x10-25kg.m/s 
 
 
Equação de Schrödinger 
 
O fato da função de onda descrever um sistema quântico levou Erwin Schrödinger a estabelecer uma equação 
para a determinação da função de onda. Esta equação é uma equação diferencial e não será resolvida em nenhum 
caso neste curso. E equação na forma estacionária (independente do tempo) e em uma dimensão é: 


 E)x(U
dx
d
m2 2
2 2
 
 
Onde: m é a massa da partícula, U(x) é a sua energia potencial, E sua energia total e  a função de onda que a 
representa. A operação 
2
2
dx
d 
 chama-se segunda derivada de  em relação a x. 
Não vamos resolver esta equação, mas vamos discutir alguns resultados que ela nos dá. 
 
 
1) Partícula presa num poço potencial infinito. Um poço de potencial infinito tem energia potencial zero no seu 
interior e infinito fora dele. 
A função de onda encontrada é: 
 
)
a
xn
(sen
a
2 
 com n=1, 2, 3,...,n 
 
 
E a energia calculada é: 
2
222
n
ma2
n
E

 
 
 
 
Observe que a solução já dá as energias quantizadas e para cada energia existe uma função de onda. Observe 
também que a função de onda é zero em x = 0 e x = a para qualquer n. Isso quer dizer que a probabilidade de se 
encontrar a partícula em x = 0 e x = a é zero. Uma “continha” rápida mostra que a probabilidade de encontrar a 
partícula para n = 1 se dá em x = a/2. 
 
Aplic.13: Mostre que no caso do poço infinito de largura a, a probabilidade por comprimento máxima da 
posição de uma partícula em n=1 se dá no centro do poço. Qual o valor dessa probabilidade? 
 R: 2/a 
 
 
U 
x 
0 a 
  
1 
2 
Fig. 17: Poço de potencial infinito 
 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
33 
 
 
2) Poço de “altura” Uo. É idêntico ao poço infinito, mas o potencial agora tem um valor Uo fora do poço. 
O cálculo matemático da função de onda e energia neste caso é mais 
complicado. O que há de novo neste caso é que as funções de onda  
não se anulam em x = 0 e x = a. Mesmo sob a barreira, região 
proibida na física clássica, é possível encontrar a partícula. 
Evidentemente, quanto maior Uo, menor essa probabilidade (para Uo 
infinitoa probabilidade é zero como vimos anteriormente). 
 
 
 
 
 
 
3)Barreira de potencial de “altura” Uo e largura a. Este é um caso muito interessante em que pode acontecer 
um fenômeno puramente quântico com grande aplicação prática. 
Observe na figura 19 : 
1) A função de onda1 comporta-se como na figura 18, i.é, ela penetra 
um pouco na barreira de potencial. 
 
2) A função de onda 2, para um nível mais alto de energia, não só 
penetra na barreira com passa dela e aparece do lado direito da barreira. 
 
Esse segundo caso é importantíssimo e é chamado tunelamento. A 
partícula atravessa uma região proibida classicamente como se 
houvesse um túnel. 
Todavia existem algumas condições para haver o tunelamento. A energia da barreira não pode ser muito maior 
do que a energia da partícula e a barreira não pode ser muito larga (da ordem de nanômetros para elétrons). A 
probabilidade de tunelamento no numa barreira no tipo mostrado na figura 19 pode ser calculada6: 
 
ba2eT  , com 
2
o )EU(m2b


 
 
 
Dois exemplos práticos e evidentes do uso deste fenômeno são o diodo-túnel e o microscópio de tunelamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 Halliday D., Resnick R., Walker J., Fundamentos de Física, vol. IV, Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 2012 
U 
Uo 
0 a 
x 

Fig. 18: Poço de potencial finito. 
U 
Uo 
0 a 
x 
Fig. 19: Barreira de Potencial. 
2 
1 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
34 
 
 
 
O átomo 
 
Momento angular 
 
Elétrons em movimento em torno de um núcleo positivo têm momento angular. O módulo de momento angular 
total L e sua projeção numa direção (Lz, por exemplo) podem ser calculados e valem, para qualquer átomo: 
 
 
 
 
com l = 0, 1, 2, ... e ml = -l, -(l-1), ...-1, 0, 1, ...(l-1), l 
 
Num sistema quântico o número quântico que define a energia dos elétrons é o número quântico principal, em 
geral representado pela letra n. O número quântico l relacionado ao momento angular é denominado número 
quântico azimutal. O valor de l é, no máximo, igual a n-1. Assim, se estamos falando do nível com n = 3, por 
exemplo, os valores possíveis de l são 0, 1 e 2 e de ml são -2, -1, 0, 1 e 2. Costuma-se representar os valores do 
momento angular por letras: 
 
Símbolo s p d f g h 
No quântico azimutal 0 1 2 3 4 5 
 
Pode-se também calcular as funções de onda relacionadas ao momento angular, mas isso não será estudado neste 
curso. 
 
A representação (parcial) usual de um estado é: nl, l expresso em letra. Assim o nível 3d tem número quântico 
principal n = 3 e número quântico azimutal l = 2 
 
Vimos que a equação de Schrödinger permite, pelo menos formalmente, determinar as funções de onda e os 
níveis de energia de um sistema quântico, em particular de um átomo. 
Claro, que o primeiro átomo a ser estudado foi o de Hidrogênio pela sua aparente simplicidade: Um próton e um 
elétron. Neste caso temos que resolver a equação de Schrödinger em 3 dimensões, pois o elétron pode estar em 
qualquer lugar do espaço em torno do núcleo. Neste caso também não podemos desprezar o momento angular do 
elétron porque ele aparece na equação da energia do sistema elétron-próton. 
O conhecimento das funções de onda relacionadas aos possíveis momentos angulares do elétron e a resolução da 
equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio nos dá as funções de onda completas para o elétron e suas 
possíveis energias. Usualmente a função de onda é escrita como um produto da função radial pela função orbital, 
i.é,  = Rnl(r). Ylm (). 
A figura 20 mostra a parte radial das funções de onda para n = 1, 2 e 3 no átomo de hidrogênio, bem como as 
funções de probabilidade. A função de onda completa é de representação mais difícil devido a seu caráter 
tridimensional. 
 
)1(L  ll e Lz= mlħ 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
35 
 
 
 
Fig. 20: Acima função de onda radial no átomo de hidrogênio para n = 1, 2 e 3 e possíveis valores de l. Abaixo 
respectivas funções de probabilidade (Alonso, M e Finn, Edward J., Fundamental University Physics, Vol.III, 
Addison Wesley Publishing Company, 1969, pag. 126). 
 
 
 
 
Efeito Zeeman 
 
Revisão: O momento magnético de uma espira circular percorrida por uma corrente i é dado, em módulo, por: 
 = r2i 
 
A direção é perpendicular ao plano da espira e o sentido dado pela regra da mão direita, conforme a figura 21. 
 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
36 
 
Uma carga q girando com velocidade angular  numa órbita circular de raio r, é 
idêntica a uma espira circular percorrida por uma corrente: 
 
i = q/2

Portanto uma carga q girando com velocidade angular  numa órbita circular de 
raio r tem momento magnético: 

 = r2i = qr2/2 
 
O momento angular de uma carga q com massa m numa órbita circular de raio r 
é, em módulo: 
 
L = rmv = r2m, pois v = r 
A direção é a mesma do momento magnético e o sentido também é dado pela regra da mão direita com a 
velocidade no lugar de i na figura 20. Quando a carga é negativa, o sentido de  se inverte, mas o de L não, 
ficando L e  com sentidos opostos. Da relação entre L e r, tiramos: r2 = L/mSubstituindo na expressão de , 
temos: 
 
 = qL/2m 
 
Se a carga q é um elétron, lembrando que  e L têm a mesma direção e sentidos opostos, podemos escrever: 
 
 = - (e/2m)L 
 
 
Uma órbita circular com a que tratamos aqui é chamada de Dipolo Magnético. A Interação de um dipolo 
magnético com um campo magnético tem duas importantes consequências. Na presença de um campo 
magnético, aparece um torque na espira que, se estiver livre, passa a apresentar precessão. Precessão é o 
movimento do pião quando perde velocidade angular. 
A segunda consequência é que a energia do dipolo varia de: 
 
U = – .B = - Bcos(e/2m)BLcos , 
 
onde B é o vetor campo magnético e ângulo entre B e . Se 0 ≤ ≤ 90º, U é positivo e se 90o ≤  ≤ 180º U 
é negativo. 
_____________________________________ Fim da revisão _______________________________________ 
 
 
O efeito Zeeman ocorre quando se aplica um campo magnético intenso num gás de um átomo. Se o campo 
magnético está na direção z, Lcos é a projeção de L na direção z, ou seja é Lz, mas como vimos anteriormente, 
Lz = mlħ. Assim a variação da energia do dipolo pode ser escrita na forma: 
U = – .B = - BLcos(e/2m)BLz = (eħ/2m)B.ml 

U = BBml 
 
A constante B é denominada Magneton de Bohr e vale: 5,66 x 10
-5 eV/T = 9,27 x 10-24 J/T, onde T é o símbolo 
de Tesla, unidade de campo magnético no sistema Internacional. 
Portanto, se l = 1, a aplicação do campo magnético faz aparecer esse nível se dividir em três níveis: 
 
En + BB En En-BB 
 
A figura 22 mostra um espectro do Zn para um nível com l = 1 e a representação esquemática dessas transições. 
 
 
 
i 

Fig. 21: Direção e sentido 
do momento magnético . 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
37 
 
 
Fig. 22: Efeito Zeeman para linha l = 1 (de www.daviddarling.info/encyclopedia/Z/Zeeman_effect.html ) e sua 
representação. 
 
A figura 23 mostra a representação espacial do 
momento angular para l = 1. Note que ele está em 
precessão em torno do eixo z (ou do campo magnético). 
Podemos calcular  neste caso. 
 
l = 1
 
cos = mlħ/L
 
Mas 
1)(L  ll 
 
Como l = 1 e ml =1, temos: 
2
2
2
1
cos  
 
Logo: = 45o 
 
 
O Spin 
 
Além do número quântico principal n, e dos números quânticos l e ml, os níveis de energia eletrônicos têm outro 
número quântico que os caracterizam. É o Spin. 
Em física clássica, spin é o momento angular de uma partícula ou corpo que gira em torno de seu eixo. No caso 
do elétron num átomo essa comparação é impossível por não conhecermos a estrutura interna do elétron. 
Todavia, Stern e Gerlach realizaram uma experiência em 1924 que evidenciou o spin S do elétron. Um campo 
magnético atuando sobre um átomo de hidrogênio(ou hidrogenóide) no estado fundamental não deveria causar 
qualquer efeito uma vez que neste estado l = 0 e consequentemente, ml =0 também. Na experiência de Stern-
Gerlach, um feixe de átomos hidrogenóides no estado fundamental passa num campo magnético não uniforme, 
conforme mostra a figura 24. Se o elétron tem spin, terá também momento magnético e sofrerá ação do campo 
não uniforme. Se o momento magnético apontar na direção de campo mais fraco (no caso polo sul), o dipolo, i.é, 
o átomo será atraído pela região de campo mais intenso (no caso polo norte). Se o momento magnético aponta na 
direção de campo mais intenso o elétron será atraído para a 
região de campo mais fraco (polo sul). Na experiência o 
feixe de átomos após passar pelo campo magnético 
impressiona um filme dando o resultado mostrado no 
anteparo de figura. A experiência indica que: 
1) Elétrons num átomo têm spin. 
2) Só existem dois estados para o spin: Um com o 
momento magnético aproximadamente no sentido do 
campo - spin up ou spin para cima - e outra no sentido 
oposto - spin down ou spin para baixo. Se houvessem 
outras direções, a região entre as linhas também seria 
impressionada pelo feixe de átomos. 
 
Tal como no momento angular, deveríamos esperar que o momento magnético de spin (mS) fosse, como no 
momento magnético orbital S = - (e/2m)S. A experiência mostra que na verdade S = - gS.(e/2m)S. O valor de gS 
é 2,004 que é chamo fator giromagnético do elétron. 
 
En 
E1 
En – E1 
En 
E1 
En + BB 
En - BB 
Sem campo magnético Com campo magnético 
N 
S 
Feixe de átomos 
Fig. 24: Experiência de Stern-Gerlach 
ml = 1
ml = -1
ml = 0
 
Z
B
Lz = ħ
Lz = - ħ
U = BB 
U = BB 
Fig. 23: Representação espacial do momento 
angular 
 
http://www.daviddarling.info/encyclopedia/Z/Zeeman_effect.html
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
38 
 
Pode-se demonstrar que o módulo spin do elétron S é dado por: 
.)1s(sS  , com s = 1/2, ou seja 
2
3
.
4
3
S  e Sz = msħ , com ms = ± 1/2 dependendo se o spin está 
para cima ou para baixo. 
Vale mencionar que o spin também é um momento angular como L. Portanto o momento angular total de um 
átomo é dado por: J = L + S , onde J, L e S são vetores. 
Agora podemos dizer que o estado de um átomo é caracterizado por n, l, ml e ms 
 
Princípio de exclusão de Pauli 
 
Num átomo, cada estado contém somente 1 elétron. Como elétrons de spins contrários têm a mesma energia na 
ausência de campo magnético, dizemos que cada nível de energia pode (não necessariamente é) ser ocupado no 
máximo por dois elétrons. 
 
 
 
 
Fig.25: Cada nível pode acomodar 
dois elétrons com spins contrários 
 
 
 
 
Aplic.14:Qual o número máximo de elétrons podem ser acomodados no nível n = 3. 
R: 18 
Na distribuição de elétrons nos níveis de um átomo, cada nível é primeiro preenchido com elétrons de mesmo 
spin. Esse critério é um resultado experimental conhecido como regra de Hund que diz: 
O spin resultante no estado fundamental éo maior possível compatível com o princípio de Pauli 
Como exemplo, a figura 26 mostra o preenchimento do nível p (l=1) do boro, carbono, nitrogênio, oxigênio, 
flúor e neônio. 
 
 
elemento p (l=1) 
elétrons 
no 
último 
nível 
B ↑ 1 
C ↑ ↑ 2 
N ↑ ↑ ↑ 3 
O ↑↓ ↑ ↑ 4 
F ↑↓ ↑↓ ↑ 5 
Ne ↑↓ ↑↓ ↑↓ 6 
 
Fig. 26: Preenchimento do nível p (l=1) para o B, C, N, O, F e Ne 
 
Quando um átomo tem todos os níveis preenchidos se torna muito inerte e com grande energia de ionização. É o 
caso dos gases nobres. Entre os gases nobres a energia de ionização diminui com o aumento do número de 
elétrons (número atômico) 
n=2 
l = -1 
l = 0 
l = +1 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
39 
 
Laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Hoje em dia o laser se popularizou sobretudo 
devido à tecnologia que tornou possível a fabricação de dispositivos laser semicondutores muito baratos. 
Dispositivos mais sofisticados e caros são muito usados em pesquisa. 
O princípio básico da emissão laser é a inversão de população que consiste em popular com elétrons um nível de 
metaestável de maior energia. Ao ser perturbado os elétrons decaem para um nível de menor energia emitindo 
luz. 
 
Fig. 27: (a) Um fóton de energia E2-Eo faz um elétron passar de Eo para E2 . (b) Em seguida esse elétron cai 
para o nível metaestável E1 onde já existem outros elétrons. (c) O nível E1 fica populado enquanto o nível Eo 
está vazio. É o que se chama inversão de população. (d) Um elétron com energia E1-Eo estimula o decaimento 
dos elétrons do nível E1 simultaneamente. A luz emitida é altamente monocromática e coerente 
 
 
Num dispositivo laser, a emissão estimulada ocorre dentro de uma cavidade espelhada nas extremidades. Os 
espelhos (que deixam passar uma fração da luz) realimentam o decaimento estimulado criando uma onda 
estacionária na cavidade (cavidade de Fabry-Pérot), conforme mostra a figura 28. 
excitação 
nível 
metaestável 
E2 
E1 
Eo 
E2 
E1 
Eo 
(a) 
(e) (d) 
(c) (b) 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
40 
 
 
Fig.28: Esquema de um laser de Rubi. 
 
Exercícios 
 
 
1) Calcule o número de fótons por segundo em 1,0 W de um feixe de luz de = 514,5 nm. 
 R: 2,6 x 1018 fótons/s 
 
2) A função de trabalho do sódio é 2,30 eV. (a) Qual o maior comprimento de onda que provoca a emissão de 
fotoelétrons do sódio? (b) Qual a energia máxima dos fotoelétrons emitidos pelo sódio quando iluminado com 
radiação de 200nm? R: (a) 540,8nm (b) 3,9eV 
 
3) A frequência limiar para a emissão fotoelétrica no cobre é 1,1x1015 Hz. Determine a máxima energia dos 
fotoelétrons (em eV) quando uma radiação de 1,5x1015 Hz incide sobre ele. R: 1,65 eV 
 
4) Determine o comprimento de onda de um fóton de 15eV. R: 82nm 
 
5) Determine o comprimento de onda de um elétron com 100keV. R: 3,9pm 
 
6) O comprimento de onda de uma radiação X é 1,0 nm. Determine a energia do elétron que tem esse 
comprimento de onda associado. R: 1,5eV 
 
7) Um aparelho de raios X emite com comprimento de onda mínimo de 0,010 nm. Qual a voltagem aceleradora 
dos elétrons? R:150 kV 
 
8) Um elétron com energia de 30 keV é utilizado num tubo de Raios X com molibdênio como alvo. O 
molibdênio apresenta dois picos de raios x, um de 70pm e outro a 62 pm (1pm=10-12m). Qual o min emitido pelo 
tubo? Com essa energia do elétron é possível obter os dois picos? 
 R: 42pm; sim 
9)Mostre que se considerarmos que a órbita do elétron no átomo de hidrogênio contém um número inteiro de 
comprimentos de onda do elétron, chega-se a mesma expressão que a do átomo de Bohr para a energia. 
 
10) Qual o módulo do momento angular para l = 3. Qual o ângulo entre L e B (campo magnético) quando ml = 
3? 
 R: 3,46ħ e 30o 
11) Qual o aumento de energia (U) do nível l =1 de um átomo num campo magnético de 10 T? 
 R: 0,57 meV 
12) Certo gás tem, no estado fundamental, os níveis de energia distribuídos conforme a figura abaixo. 
espelhos 
Lâmpada de excitação 
Cavidade 
Fabry-Pérot onda 
estacionária 
feixe de luz laser 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
41 
 
a) Qual a energia mínima de ionização do gás? 
 R: 5eV 
 
b) Uma radiação de 400nm é direcionada para o gás. Ela 
pode ser absorvida pelo gás? E uma radiação de 247nm? Se 
uma dessas radiações é absorvida, o que acontece em 
seguida? (obs.: Use só uma casa decimal para a resposta) 
 
R: 247nm: Sim; ela é reemitida quando o elétron volta ao 
estado fundamental; 400nm: não. Ela atravessa o gás 
 
 
 
 
 
nível semi-ocupado 
níveis vazios 
-25 eV 
níveis ocupados -15 eV 
-10 eV 
 
-7 eV 
-5 eV 
-3 eV 
0 eV 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
42 
 
Sólidos 
 
Basicamente os sólidos podem ser covalentes, iônicos, com ligação de hidrogênio, moleculares, metais e 
lamelares. 
 
Covalentes:Neste tipo de sólido os átomos formam ligações localizadas e direcionais dando origem a redes 
cristalinas determinadas pelas direções das ligações. 
As ligações covalentes são rígidas e não têm portadores livres porque os níveis de energia nos quais de dá a 
ligação se completam. Por isso eles são duros e não conduzem bem eletricidade nem calor. A maioria é também 
transparente e, como a energia de excitação para elétrons é relativamente grande, normalmente está no estado 
fundamental. A figura abaixo mostra as ligações do átomo de carbono para formar a rede do diamante. 
 
 
 
 
 
Fig. 29: Rede do diamante 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cristais Iônicos: Os cristais iônicos são formados por íons de sinais opostos, não tendo, portanto, elétrons livres. 
Por isso, são em geral duros e quebradiços e maus condutores de eletricidade e calor. Têm alta temperatura de 
fusão devido à forte ligação entre átomos, mas essa ligação enfraquece muito quando em solução aquosa. Como 
exemplo clássico de cristal iônico temos o NaCl que é o sal de cozinha. 
 
 
Sólidos com ligações de hidrogênio: São cristais formados por moléculas polares que contêm hidrogênio. Um 
caso de grande interesse desse tipo de cristal é a gelo cujas moléculas têm a forma tetraédrica no gelo. Esse 
arranjo é bastante espaçado fazendo com que a água aumente seu volume ao se solidificar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 30: Estrutura cristalina do gelo (de Alonso, M. e Finn, E.J., 
Fundamental University Physics. Addison Wesley Publishing 
Company,Inc.,1969, pag.235). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sólidos Moleculares: Neste tipo de sólido as moléculas não polares se ligam por forças de van der Waals que 
são forças muito fracas resultante de um efeito secundário da interação elétrica que mantem os átomos unidos 
numa molécula, Grosseiramente está relacionado com força entre dipolos elétricos. Apesar de em média as 
moléculas não serem polares suas configurações eletrônicas podem dar origem a uma polarização que gera 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
43 
 
dipolo instantâneo. A interação entre dois desses dipolos é que resulta na força de van der Waals. Por essa razão, 
sólidos moleculares são maus condutores de calor e eletricidade, têm baixo ponto de fusão e são frágeis e 
deformáveis. Como exemplo de solido molecular temos: CH4, Cl2, I2 e CO2 
 
 
Metais: Os metais são formados por átomos com o último nível incompleto e com pequena energia de ionização. 
Os elétrons mais externos são liberados formando um gás de elétrons em todo o cristal com os núcleos dividindo 
esses elétrons que são relativamente livres. Devido à grande concentração de elétron “quase livres”, os metais 
são ótimos condutores de eletricidade calor. Eles são também opacos, pois os elétrons absorvem a energia dos 
fótons ganhando energia cinética (que depois de perde com as interações internas). 
 
 
Lamelares: São sólidos mistos nos constituídos de planos covalentes ligados entre si por forças fracas de van 
der Waals. É o caso do grafite que é formado por um arranjo hexagonal de carbono em planos ligados por foças 
de van der Waals. 
 
 
 
 
 
Fig 31: Estrutura cristalina do grafite. 
(de Alonso, M. e Finn, E.J., 
Fundamental University Physics. 
Addison Wesley Publishing 
Company,Inc.,1969, pag.237.) 
. 
 
 
 
 
 
Bandas: A distribuição das possíveis energias dos elétrons nos sólidos, embora ligada à distribuição eletrônica 
nos átomos que os compõem, não podem ser representadas por linhas de energia bem determinada como no 
átomo porque, pelo princípio de Pauli, não se pode ter mais de dois elétrons em cada nível. Assim , quando N 
átomos se ligam para formar um sólido, cada nível atômico se divide em N níveis tão próximo que podemos 
considerar como um contínuo de energia. Chamamos esse conjunto de N níveis de Banda de Energia. Níveis de 
energia mais baixa também formam bandas que , em geral, estão separadas por uma região “vazia” de níveis de 
energia chamadas bandas proibidas, conforme mostra a figura 32. As bandas onde os elétrons podem conduzir 
são chamadas bandas de condução. A última banda totalmente cheia é chamada banda de valência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 32: Formação das bandas quando átomos se ligam para formar um sólido. 
 
 
 
 
Banda Proibida 
Banda Proibida 
1s 
2s 
2p 
energia 
átomos 
isolados 
átomos 
ligados 
Distância 
entre 
átomos 
Banda de Valencia 
Banda de condução 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
44 
 
 
A figura 33 mostra esquematicamente uma estrutura de banda de um condutor. 
 
 
 
 
 
Fig. 33: Bandas num condutor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso a banda de condução não está totalmente cheia porque os átomos que formam o metal têm o último 
nível incompleto. Acima dos elétrons de maior energia da banda de condução (chamada energia de Fermi), 
existe um contínuo de energia. Assim esses elétrons podem receber qualquer quantidade de energia Que não 
depasse os limites da banda, pois, ao fazê-lo, vão aumentar suas energias cinéticas mas continuarão dentro da 
banda. Na verdade, a fronteira entre a região ocupada e região vazia na banda de condução, não é tão exata como 
na figura porque a temperatura faz alguns elétrons terem uma energia um pouco acima dessa linha. 
 
A figura 34 mostra esquematicamente a estrutura de banda de um isolante ou semicondutor. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 33: Bandas em isolante e semicondutor. 
 
 
 
 
 
 
 
Nos isolantes a banda de valência está totalmente cheia e a de condução totalmente vazia. Sendo assim, não há 
elétron livres para conduzir eletricidade (nem calor). Todavia, se a banda proibida é pequena, o calor absorvido 
por elétrons pode ser suficiente para “jogá-lo” na banda de condução onde está um contínuo de energia que 
permite a condução de eletricidade. Entretanto, mesmo para bandas proibidas pequenas, o número de elétrons na 
banda de condução será sempre pequeno comparado a um metal. Os semicondutores usuais em microeletrônica 
não têm banda proibida pequena. Os elétrons necessários são obtidos com uma concentração controlada de 
impurezas. 
Os isolantes e semicondutores podem ser transparentes ou não dependendo de sua banda proibida e de suas 
impurezas. Se um fóton tem energia menor que a banda proibida, ele não será absorvido e o material será 
transparente para eu comprimento de onda. Para ser absorvido é necessário que o fóton tenha um energia maior 
do que a banda proibida. 
Uma diferença fundamental entre a condução elétrica num metal e num semicondutor é que no metal, um 
aumento de temperatura cria mais dificuldade para os elétrons se deslocarem diminuindo sua condutividade 
(aumenta sua resistência). No semicondutor, o aumento de temperatura faz aumentar o número de portadores 
aumentando sua condutividade (diminuindo sua resistência). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Banda de Valência 
Banda de Condução 
Energia 
Cheia 
Parcialmente
Cheia 
Banda Proibida 
Banda de Valência 
Banda de Condução 
Energia 
Cheia 
Vazia 
Banda Proibida 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
45 
 
 
Apêndice 1: 
Analogia entre o Efeito fotoelétrico e um sistema mecânico 
 
Vamos fazer uma analogia. Considere que você vai tirar bolinhas iguais de um buraco com o auxílio de um 
bastão articulado. Cada bolinha será arremessada contra a parede do buraco pelo bastão conforme mostra a 
figura 3. A parede do buraco forma um ângulo  com a horizontal. Fora do buraco, existe um plano inclinado 
articulado que forma um ângulo  com a horizontal que pode ser variado. A figura 7 mostra esse arranjo. Claro 
que mudando o ângulo  muda também a altura h2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a bolinha é arremessada com energia E < mgh1, não vai sair do buraco. Se for arremessada com energia 
E = mgh1, não subirá o plano. Se for arremessada com uma energia E > mgh1, subirá até uma altura h2 no plano 
tal que mgh1 + mgh2 =E, ou seja, mgh2 = E – mgh1 . Para saber a energia máxima da bolina, basta inclinar o 
plano inclinado até a bolinha não conseguir ultrapassá-lo, Portanto a energia máxima da bolinha será TMax = 
mgh2. Se considerarmos que  = mgh1 é a energia para liberar a bolinha e E a energia que ela recebe do bastão, 
teremos: 
 
TMax = E - 

A analogia com o efeito fotoelétrico é perfeita. O bastão é o fóton que cede energia à bolinha presa no buraco 
que é o elétron preso na superfície do sólido. É preciso uma energia  para liberar a bolinha e o elétron e ela sairá 
do buraco com energia E -  tal como o elétron. 
Note também que se o bastão não ceder uma energia maior que = mgh1, a bolinha não sairá do buraco. Da 
mesma forma, se a energia do fóton for menor que , o elétron não sai do material. 
 
 
h2 (variável) 
h1 
articulação 

Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
46 
 
APÊNDICE 2 
 
Espalhamento de Compton 
 
 
 
 
Seja p (um vetor) o momento do fóton antes do choque com um elétron e p’ (vetor) o momento do fóton após o 
choque. Seja pe (vetor) o momento do elétron após o choque. Pela conservação do momento, temos: 
 
p = p’ + pe (momento antes = momento depois) (1) 
 
Se o choque é elástico, a energia se conserva. Usaremos energia relativista para o elétron devido à grande 
velocidade (c) do fóton e, possivelmente do elétron. 
A energia em repouso do elétron é moc
2, mo sendo a massa do elétron em repouso. A energia do elétron após o 
choque será: 
2
p
2
c
2
omc  . Vamos chamar de E e E’ as energias do fóton antes e depois do choque 
respectivamente. Então, pela conservação da energia: 
 
E + moc
2 = E’ + 
2
p
2
c
2
omc  . (Energia antes = Energia depois) (2) 
 
De (1) , vem: 
 
p – p’ = pe  (p - p’) = (pe)
2  pe
2 = p2 + p’2 – 2E.E’ cosonde  é o ângulo entre p e p'. 
(3) 
 
Para fótons: p = h/ = hf/c (pois  = c/f). Como hf = E, temos p = E/c 
Usando a expressão acima na eq. 3, obremos: 

 cosE.E
2
c
2
E
2
c
2
E2
ep . 
Diminuindo e somando 2 EE’/c2 na expressão acima, podemos escrever: 
 
c2pe
2 = (E - E’)2 + 2EE’(1 – cos) (4) 
A eq.2 também pode ser escrita da seguinte forma: 
 
   2
ep
2
c
2
om2
c
22
comEE


 
(E - E’)2 +2 (E - E’) moc
2+ mo
2c4 = mo
2c4 +c2 pe
2 
Os termos sublinhados se anulam, logo: 
c2 pe
2 = (E - E’)2 +2 (E - E’) moc
2 (5) 
Igualando as eqs, (4) e (5) e eliminando os termos iguais dos dois lados da equação: 
2 (E - E’) moc
2 = 2EE’(1 – cos) 
Raios X 
p p’ Alvo 
Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho 
 
47 
 
Dividindo dos dois lados por 2EE’moc
2, ficamos com: 
)cos1(
2
com
1
E
1
E
1


 (6) 
Mas e energia do fóton é dada por hc/ Substituindo esta expressão na equação (6) chegamos finalmente a 
expressão de Compton: 
)cos1(
com
h
 

C = h/moc = 2,43 x 10
-12 m é chamado comprimento de onda de Compton e a expressão acima é 
frequentemente escrita na forma: 
)cos1(
c
