EA513-NotasAula-03

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EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 
 1 
Esta aula: 
! Análise nodal, 
! Análise de malha. 
 
Análise Nodal 
Consideremos o circuito abaixo: 
1R 3R
2R
1I 2I
3
1 2
3
1R 3R
2R
1I 2I
3
1 2
3 
Redesenhando e designando o nó 3 como nó de 
referência, temos: 
1R 3R
2R
Ref
1v 2v
21 vv −
1I 2I
1R 3R
2R
Ref
1v 2v
21 vv −
1I 2I
 
Designamos uma tensão para cada nó, com 
relação ao nó de referência. 
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Usando agora a Lei de Kirchhoff das correntes: 
 
Nó 1: 
1
2
21
1
1 I
R
vv
R
v
=
−
+ ou ( ) 121211 IvvGvG =−+ 
 
Nó 2: 
( ) 232212 vGIvvG +=− 
 
Temos, então, um sistema de duas equações e 
duas incógnitas: 
 
G1 +G2( )v1 −G2v2 = I1
−G2v1 + G2 +G3( )v2 = −I2
"
#
$
%$
 
 
Exemplo numérico: 
 
Para Ω= 21R , Ω= 52R e Ω=13R ; AI 31 = e 
AI 22 −= , teremos: 
Vv 51 = e Vv 5,22 = 
 
 
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Outro exemplo: 
S3
S1
S2
S4
S5A8− A25−
A3−
S3
S1
S2
S4
S5A8− A25−
A3−
 
 
Redesenhando 
A8−
S4
S3
S1
A25−
S5
S2
1v 2v 3v
Ref
A3−
A8−
S4
S3
S1
A25−
S5
S2
1v 2v 3v
Ref
A3−
 
 
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Escrevendo a Lei de Kirchhoff das correntes 
para os três nós, temos o sistema: 
 
!
"
!
#
$
−=−+
−=+−
−=−−
251124
3263
11437
321
321
321
vvv
vvv
vvv
 
 
Resolvendo esse sistema de equações, 
chegamos à 
 
Vv 11 = , Vv 22 = e Vv 33 = 
 
Note que podemos reescrever o sistema da 
seguinte forma: 
 
!
"
!
#
$
=+−−
=−+−
−=−−
251124
3263
11437
321
321
321
vvv
vvv
vvv
 
ou 
!
!
!
"
#
$
$
$
%
&−
=
!
!
!
"
#
$
$
$
%
&
!
!
!
"
#
$
$
$
%
&
−−
−−
−−
25
3
11
1124
263
437
3
2
1
v
v
v
 
 
A matriz é simétrica! Isso pode ser usado na 
verificação das equações. 
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Consideremos agora esse mesmo circuito, mas 
com uma fonte de tensão entre os nós 2 e 3: 
 
A8−
S4
S3
S1
A25−
S5
1v 2v 3v
Ref
V22
Super nó
A3−
A8−
S4
S3
S1
A25−
S5
1v 2v 3v
Ref
V22
Super nó
A3−
 
 
Dificuldade: não podemos associar a corrente 
entre os nós 2 e 3 à tensão do gerador de 22 V 
(a tensão do gerador independe da corrente). 
• Portanto, não podemos aplicar a Lei de 
Kirchhoff das correntes nos nós 2 e 3. 
• No entanto: se a soma algébrica das correntes 
que saem de um nó é nula, então a soma 
algébrica das correntes que saem dos nós 2 e 
3 (dito super-nó) também deve ser nula (Lei 
de Kirchhoff Generalizada) 
 
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Para o nó 1: 
 
11437 321 −=−− vvv . 
 
Para super-nó (nós 2 e 3): 
 
0255)(43)(3 231312 =+−+−+−− vvvvvv 
ou 
28947 321 =++− vvv . 
 
Além disso, sabemos que 
 
2223 =− vv . 
 
Finalmente: 
!
"
!
#
$
=+−
=++−
−=−−
22
28947
11437
32
321
321
vv
vvv
vvv
 
 
Resolvendo, temos 
 
Vv 5,41 −= , Vv 5,152 −= e Vv 5,63 −= . 
 
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Consideremos agora a presença de um gerador 
de tensão dependente: 
A8−
S4
S3
S1
A25−
S5
1v 2v 3v
Ref
8xi
Super nó
A3−
xi
A8−
S4
S3
S1
A25−
S5
1v 2v 3v
Ref
8xi
Super nó
A3−
xi
 
Novamente, como temos um gerador de tensão 
entre os nós 2 e 3, consideraremos este par de 
nós como um super-nó. Aplicando a Lei de 
Kirchhoff, temos, como antes, 
 
Super-nó: 28947 321 =++− vvv 
Nó 1: 11437 321 −=−− vvv 
 
Entre os nós 2 e 3: 
8
)(4
8
13
23
vvi
vv x
−
==− 
Ou 05,05,0 321 =−+− vvv 
 
Resulta: Vv 11 = , Vv 22 = e Vv 33 = 
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Resumo – Análise nodal 
 
Procedimento 
 
• Redesenhe o circuito, escolhendo um nó 
como referência, 
• Atribua uma variável a cada um dos outros 
nós, para indicar a tensão daquele nó com 
relação ao nó de referência, 
• Se o circuito contiver apenas fontes de 
corrente, escreva a Lei de Kirchhoff das 
correntes para cada um dos nós, com exceção 
do nó de referência; resolva o sistema de 
equações para obter as tensões nos nós. 
• Se o circuito contiver fontes de tensão, 
escreva a Lei de Kirchhoff generalizada das 
correntes para os super-nós formados; além 
disso, relacione as tensões dos geradores às 
tensões dos nós; resolva o sistema de 
equações para obter as tensões nos nós. 
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Análise de malhas 
 
Algumas definições: 
Circuito planar: é aquele que pode ser 
desenhado em um plano, sem que um ramo 
cruze outro. 
 
Exemplo de circuito não planar: 
 
 
 
Laço: percurso fechado formado por bipolos e 
que não passe duas ou mais vezes pelo mesmo 
bipolo ou nó. 
 
Malhas: laços em um circuito plano que não 
contém outros laços em seu interior. 
 
Corrente de malha: corrente que circula nos 
perímetro de uma malha 
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Exemplos: 
 
Não é laçoNão é laço Não é laçoNão é laço 
 
 
É laço, mas não é malhaÉ malha É laço, mas não é malhaÉ laço, mas não é malhaÉ malhaÉ malha 
 
 
 
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Análise de malhas: Aplicação da Lei de 
Kirchhoff das tensões nas malhas do circuito, 
para obter as correntes de malha. 
 
Consideremos o circuito abaixo: 
 
2i
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
1i
2i
3i
V6
1i
21 ii −
32 ii −
31 ii −
2i
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
1i
2i
3i
V6
1i
21 ii −
32 ii −
31 ii − 
 
Três malhas = três equações a partir da Lei de 
Kirchhoff das tensões: 
 
Para a malha I: 
( ) ( ) 0267 2121 =−−−−− iiii 
ou 
 123 321 =−− iii 
 
 
 
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Repetindo para as outras malhas, chegamos ao 
sistema: 
!
"
!
#
$
=+−−
=−+−
=−−
6632
036
123
321
321
321
iii
iii
iii
 
 
que resulta em: Ai 31 = , Ai 22 = e Ai 33 = . 
 
Note que podemos escrever o sistema de 
equação por meio de uma equação matricial: 
 
!
!
!
"
#
$
$
$
%
&
=
!
!
!
"
#
$
$
$
%
&
!
!
!
"
#
$
$
$
%
&
−−
−−
−−
6
0
1
632
361
213
3
2
1
i
i
i
 
 
Matriz de resistência 
!
!
!
"
#
$
$
$
%
&
−−
−−
−−
=
632
361
213
R 
 
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Se: 
• O circuito contiver apenas fontes de tensão 
independentes, 
• As correntes de malhas são indicadas no 
sentido horário, 
• As linhas de R contiverem os coeficientes de 
…21,ii , (ordenados), 
• A i-ésima linha corresponde à i-ésima malha, 
 
então, R será uma matriz simétrica. Essa 
propriedade pode ser um teste para verificar a 
correção da matriz. 
 
Consideremos agora a presença de um gerador 
de corrente no circuito anterior, ou seja: 
 
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
1i
2i
3i
A7
31 ii −
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
1i
2i
3i
A7
31 ii − 
 
 
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Não podemos escrever a Lei de Kirchhoff das 
tensões para as malhas 1 e 3 (não sabemos 
relacionar sua tensão à sua corrente.) 
 
Porém, sabemos que 731 =− ii . 
 
Da 2a. malha, temos 036 321 =−+− iii 
 
Precisamos de mais uma equação: obtida pela 
aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões para 
o laço formado pelas malhas 1 e 3: 
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
1i
2i
3i
A7
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
1i
2i
3i
A7
 
 
( ) ( ) 037 33221 =−−+−− iiiii 
 
AiAiAi
ii
iii
iii
2,5,2,9
7
036
744
321
31
321
321
===⇒
"
#
"
$
%
=−
=−+−
=+−
 
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Consideremos, por fim, a presença de um 
gerador dependente: 
 
A15
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
1i
2i
3i9
xv xv
A15
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
1i
2i
3i9
xv xv
 
 
Como antes, precisamos de três equações 
relacionando as correntesde malha. A primeira 
pode ser obtida da malha 2: 
 
0)(32)(1 32212 =−++− iiiii 
 ou 
036 321 =−+− iii 
 
Seguindo o procedimento adotado para o caso 
da presença de gerador de corrente (abrir o 
circuito naquele ponto), resulta em um circuito 
com apenas a malha 2, de onde já extraímos 
uma equação. 
 
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Porém, por inspeção, temos que Ai 151 = e 
 
03
2
3
1
9 32113
=++−→=− iii
v
ii x , 
 
completando o conjunto de equações 
necessário, resultando em: 
 
Ai 151 = , Ai 112 = e Ai 173 = . 
 
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Resumo – Análise de mlaha 
 
Procedimento 
 
Esse método é válido apenas para circuitos 
planos. 
 
• Indique as correntes de malha, 
• Se o circuito contiver apenas geradores de 
tensão, escreva a Lei de Kirchhoff das tensões 
para cada uma das malhas e resolva o sistema 
de equações obtido. 
• Se o circuito contiver geradores de corrente, 
substitua-os por circuitos abertos (o que reduz 
o número de malhas), escreva a Lei de 
Kirchhoff para as malhas restantes e resolva o 
sistema de equações obtido.