eliminando-quadrados---o-experimento

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Experimento
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Eliminando quadrados
Objetivos da unidade
1. Estudar um modelo discreto de função exponencial;
2. Construir gráficos de funções exponenciais com os dados obtidos 
no experimento.
O experimento
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números 
e funções
O experimento
Sinopse
Sobre uma mesa, lançamos quadradinhos de papel cujas faces possuem 
cores distintas (uma face pode ser verde e a outra marrom). Em seguida, 
retiramos todos aqueles que caírem sobre a mesa com a cor marrom 
voltada para cima. Repetimos o processo várias vezes até sobrar apenas 
um quadradinho. Com este experimento prático, construímos tabelas 
e gráficos que relacionam o número de jogadas e a quantidade restante 
de pedaços de papel.
Conteúdos
 � Relações e Funções, Produto Cartesiano, Função Decrescente;
 � Função Exponencial.
Objetivos
1. Estudar um modelo discreto de função exponencial;
2. Construir gráficos de funções exponenciais com os dados obtidos 
no experimento.
Duração
Uma aula simples.
Eliminando 
quadrados
Eliminando quadrados O Experimento 2 / 8
Introdução
As funções exponenciais têm muitas aplica-
ções práticas. São funções privilegiadas 
para tratar a modelagem matemática de 
inúmeros problemas reais e fenômenos 
físicos. São alguns exemplos: aplicações 
financeiras (juros compostos), crescimento 
de populações, poluição de rios, resfria-
mento de um corpo, quantidade de drogas 
na corrente sanguínea, decaimento de 
componentes radioativos, entre outros.
 O exemplo nesta atividade é um modelo 
discreto de uma função de decaimento expo-
nencial. Representando a quantidade inicial 
por 240 quadradinhos de papel com faces de 
cores diferentes, lançamos todos eles sobre 
uma mesa. O resultado: 124 quadradinhos 
com a face marrom para cima, quase 50%. 
Retiramos, então, todos esses, restando 116 
quadradinhos com a face verde do primeiro 
lançamento. No segundo momento, somente 
os 116 são lançados sobre a mesa. A quanti-
dade de quadrados com a face verde para 
cima fica reduzida a 57, valor próximo da 
metade da anterior, e assim sucessivamente, 
ficando a quantidade pos terior quase sempre 
reduzida a 50% da quantidade anterior. 
 O decaimento exponencial acontece 
também com alguns analgésicos. Sua quan-
tidade na corrente sanguínea fica reduzida 
à metade depois de 6 horas. Depois de 12 
horas, se não for ingerido outro analgésico, 
restará apenas 25% da quantidade inicial 
no sangue, e assim sucessivamente… 
O aluno terá oportunidade, através da tabela 
obtida na experiência prática, de caracterizar 
uma função exponencial.
Eliminando quadrados O Experimento 3 / 8
O Experimento
Material necessário
 � Papel cartão dupla face, marrom e verde;
 � Tesoura;
 � Régua (de 30cm é mais apropriada);
 � Lápis;
 � Borracha;
 � Calculadora.
Preparação
Em casa
O professor pode solicitar aos alunos para 
trazerem prontos de casa quadradinhos de 
papel cartão. É necessário que os quadra-
dinhos tenham as faces de cores diferentes 
e mesmas medidas, por exemplo, 2 cm por 
2 cm. Uma folha comum deste tipo de papel 
mede 50 cm por 70 cm e rende mais de 800 
quadradinhos, ou seja, é suficiente para 
três grupos confeccionarem 240 quadra-
dinhos cada.
Na classe
Organize a classe em duplas para que, 
durante a execução do experimento, cada 
aluno conte uma das cores dos quadradinhos 
lançados. As duplas devem ter 240 quadra-
dinhos e uma Folha do Aluno.
fig. 1
fig. 2
Eliminando quadrados O Experimento 4 / 8
2. Em seguida, separe todos aqueles com 
a cor marrom virada para cima. Os alunos 
devem contar esses quadradinhos, como 
na figura abaixo:
O problema
Ao lançar 240 quadradinhos aleatoria mente 
sobre uma mesa e retirar todos os que 
ficaram com a face marrom para cima, 
quantos restarão depois do primeiro lance? 
Repetindo o procedimento com os quadra-
dinhos que sobraram, quantos restarão 
depois do segundo lance? E depois do 
quinto? Existe alguma relação entre esses 
valores?
Jogar e separar
1. Os quadradinhos devem cair aleatoriamente. 
Para isso, proponha que os alunos soprem 
todos da palma da mão, como na figura 
a seguir:
 � Pergunte aos alunos qual 
é a cor que predomina 
quando todas as peças 
são jogadas de uma 
só vez.
etapa
1
fig. 3
fig. 4
Eliminando quadrados O Experimento 5 / 8
Construção do gráfi co
Usando os dados da tabela 1, os alunos 
deverão representar esses pontos em 
um gráfi co, da seguinte maneira: no eixo x 
devem estar os lançamentos e o eixo y
deve conter os quadrados restantes corres-
pondentes a cada lançamento.
3. Todos que caíram com o lado marrom para 
cima devem ser retirados;
4. Em seguida, os alunos devem repetir esse 
procedimento 7 vezes e anotar os valores 
obtidos através da experiência na tabela 
da Folha do Aluno, como abaixo:
Lançamento 
(i)
Quadrados 
restantes 
(Qi)
0 24 0
1 1 1 6
2 5 7
3 3 1
4 1 8
5 9
6 4
7 1
tabela 1
etapa
2
240
230
220
210
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
fig. 5
Eliminando quadrados O Experimento 6 / 8
 Neste experimento o quociente Qi/Qi−1 
não é um valor constante para todos os 
lan ça mentos; é sempre menor que 1 e quase 
sempre próximo a 0,5. 
 Quando em algum modelo matemático 
encontramos Qi/Qi−1 igual a uma constante b, 
podemos escrever que Qi=b×Qi−1, para 
todo i.
Fechamento
A seguir, o professor deve guiar os grupos 
para obterem uma função exponencial caso 
o valor encontrado para o quociente Qi/Qi−1 
fosse uma constante igual a b com 0<b< 1.
 O aluno deve encontrar Qi para i= 1, 2, 
3, 4, 5, 6 e 7, mantendo o quociente Qi/Qi−1 
constante e igual a b e Q0= 240. Deve ser 
encontrada a expressão Q1= 240×b1. 
Para isso, sugira a construção das seguintes 
expressões:
Q1= 240×b
Q2=b×Q1= 240×b2
 Usando a expressão obtida para Qi, 
temos: Q3=b×Q2= 240×b3, e assim 
por diante.
Análise do quociente
Depois de preencher a tabela e traçar 
o gráfico, os grupos devem encontrar 
o quociente da divisão das quantidades 
iniciais e finais para cada lançamento. 
Denotaremos por Qi−1 a quantidade inicial 
e por Qi a quantidade final em cada lance, 
onde o índice i representa o número 
do lançamento. Veja o exemplo da tabela 
abaixo:
etapa
3
 � Professor, incentive 
as duplas a usarem cal cu-
ladora nos cálculos.
Lançamento 
(i)
Quadrados 
restantes 
(Qi)
Quociente 
( Qi
Qi−1
)
0 24 0 –
1 1 1 6 0,48
2 5 7 0,49
3 3 1 0,54
4 1 8 0,58
5 9 0,5
6 4 0,44
7 1 0,25
tabela 2
Eliminando quadrados O Experimento 7 / 8
 As funções da forma Q(t) =Q0×bt são 
chamadas funções exponenciais de base b, 
onde Q0 é a quantidade inicial quando t= 0, 
e b é o fator de variação na quantidade Q 
quando t aumenta de uma unidade.
 � Se b> 1, temos crescimento exponencial.
 � Se 0<b< 1, temos decaimento exponencial.
 Para reconhecer que uma tabela de 
valores de t e Q provém de uma função 
exponencial Q(t) =Q0×bt, procure razões 
constantes de valores de Q para valores 
igualmente espaçados de t. 
Apesar de o experimento tratar de um 
caso discreto, o decaimento radioativo, 
a eliminação de drogas pelo corpo etc. são 
exemplos reais cuja função é contínua.
 A tabela 2 e as expressões acima podem 
ser interpretadas como termos de uma pro -
gressão geométrica de razão b. A fórmula do 
termo geral nada mais é do que a expressão 
de uma exponencial de base b, veja:
Qn=b×Qn−1= 240×bn .
Obtenção do gráfi co 
Vamos agora construir o gráfi co da função 
Qn=Q(n) = 240×bn para b= 0,5, 
ou seja, Q(n) = 240×0,5n.
 Fique atento para que os alunos utilizem 
nos eixos escalas diferentes para a cons-
trução dos gráfi cos. 
 Veja o gráfi co abaixo: ele é côncavo para 
cima e a função é decrescente.
20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
40
60
80
100
120
140
fig. 6
 � Professor, seria inte-
ressante discutir com 
os alunos a posologia 
de alguns remédios 
numa aula conjunta de 
Matemática e Biologia.A modelagem de 
substâncias químicas 
na corrente sanguínea 
é representada por uma 
função exponencial 
decrescente.
Ficha técnica
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática, 
Estatística e Computação 
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual 
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira Costa
Vice-Reitor
Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação
Euclides de Mesquita Neto
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons 
Autora
Maria Zoraide C. M. Soares
Redação
Maria Zoraide C. M. Soares
Revisores
Matemática
Antônio Carlos do Patrocínio 
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico 
e ilustrações técnicas 
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
 
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto