Apostila FT 1 - Roberaldo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
 
Engenharia Ambiental 
Engenharia Civil 
Engenharia Química 
 
 
NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA 
(EAMB023); (ECI026); (EQUI 031) 
 
FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE I 
 
 
Organização: Manuella Suellen Vieira Galindo (PET/Eng. Civil) 
 Marianna Luna Sousa Rivetti (Monitora/Eng. Civil) 
 Prof. Roberaldo Carvalho de Souza 
 
 
 
 Maceió, fevereiro/2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse  material  corresponde  às  atividades 
realizadas  durante  a  monitoria  de 
Fenômenos  de  Transporte  I  referente  aos 
semestres 2008.1 e 2008.2. 
 
Ele foi elaborado com o objetivo de facilitar 
a  didática  entre  os  alunos  e  a  matéria, 
através de uma apostila  contendo notas de 
aula  e  alguns  exercícios  para  uma  melhor 
aprimoramento  do  conhecimento  acerca 
desta disciplina. 
 
 
 
 
Sumário 
 
1.  PROPRIEDADES DO FLUIDO ............................................................................................................. 1 
2.  ESTÁTICA DOS FLUÍDOS ................................................................................................................. 12 
3.  CINEMÁTICA DOS FLUÍDOS ........................................................................................................... 22 
4.  DINÂMICA DOS FLUÍDOS ............................................................................................................... 33 
 
4
1. PROPRIEDADES DO FLUIDO 
 
Referencias bibliográfica: 
 
1) Introdução à Mecânica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara Koogan, 
4a. edição (1995). Capítulos 1 e 2. 
2) Mecânica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973). Capitulo 
1. 
3) Fenômenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois (1979). 
Capítulos 1 e 2. 
4) Mecânica dos Fluidos, Victor L.Streeter e E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil, 
7a.edição (1982). Capítulo 1. 
5) Mecânica dos Fluidos – Franco Brunetti – Pearson Education (2005). Capítulo 1. 
6) Fenômenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora RIMA 
(2003). Capítulo 1. 
7) Fundamentos de Fenômenos de Transporte – Celso P. Livi, LTC (2004). Capítulo 1. 
8) Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, B. R.Munson, D.F.Young and T.H.Okiishi, Edgard 
Blucher Ltda, (2008). Capítulo 1. 
 
♦ MASSA ESPECÍFICA OU DENSIDADE (ABSOLUTA): 
 
 
 
- Análise dimensional: 
 
 
- Unidades: 
→ 
→ 
→ 
♦ PESO ESPECÍFICO: 
 
 
 
- Análise dimensional: 
 
- Unidades: 
→ 
→ 
→ 
♦ DENSIDADE RELATIVA: 
 
 
 
 
5
 
♦ PESO ESPECÍFICO RELATIVO: 
 
 
 
♦ VOLUME ESPECÍFICO: 
 
 
♦ VISCOSIDADE ABSOLUTA OU DINÂMICA: 
 
 
 
- Análise dimensional: 
 
- Unidades: 
→ 
→ 
→ 
 
♦ VISCOSIDADE CINEMÁTICA: 
 
- Análise dimensional: 
 
- Unidades: 
→ 
→ 
→ 
 
♦ MÓDULO DE ELASTICIDADE: 
 
 
♦ COEFICIENTE DE COMPRESSIBILIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
 
1. Exercícios resolvidos 
 
1º. Um líquido tem viscosidade 0,005 kg/m.s e massa específica de 850 kg/m³. Calcule: a) A 
viscosidade cinemática em unidades do S.I. 
b) A viscosidade dinâmica em unidades do CGS. 
Solução: 
a) 
b) 
 
2º. A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m²/s e o seu peso específico relativo é 0,85. 
Determinar a viscosidade dinâmica em unidades dos sistemas MK*S, CGS e SI. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
No MK*S: 
 
No SI: 
 
No CGS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
7
3º. A viscosidade dinâmica de um óleo é 5x10-4 kgf.s/m² e o peso específico relativo é 
0,82. Determinar a viscosidade cinemática nos sistemas MK*S, SI e CGS. (g=10m/s²; 
γH2O=1000 kgf/m³). 
 
Solução: 
 
 
No MK*S e no SI: 
 
No CGS: 
 
 
4º. O peso de 3 dm³ de uma substância é 23,5 N. A viscosidade cinemática é 10-5 m²/s. Se 
g=10m/s², qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas MK*S e SI. 
 
Solução: 
 
 
No SI: 
 
No MK*S: 
 
 
5º. São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2mm. A placa superior move-se 
com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as placas for 
preenchido com óleo (υ=0,1 St; ρ=830 kg/m³), qual será a tensão de cisalhamento que agirá 
no óleo? 
 
 
 
 
8
Solução: 
Obs: υ=0,1 St= 10-5 m²/s 
 
 
 
6º Uma placa quadrada de 1,0m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 
30º, sobre uma fina película de óleo. A velocidade da placa tem um valor constante de 2 m/s. 
Qual é a viscosidade dinâmica do óleo se a espessura da película é 2 mm? 
 
 
Solução: 
De acordo com a 2ª Lei de Newton: Fresultante = m.a . Onde a= 
Assim: Px - *Área = m. 
 20.sen 30º - * 12 = 0, pois a velocidade é constante, ou seja, = 0. 
 Assim, = 10 N/m² 
Sabemos que: 
 
7º. Assumindo o diagrama de velocidades indicado na figura, em que a parábola tem seu 
vértice a 10cm do fundo, calcular o gradiente de velocidade e a tensão de cisalhamento para 
y= 10cm. Adotar centipoises. 
 
 
Solução: 
Obs.: 400 centipoises= 4 poises= 4 dina.s/cm² 
 
• Como o perfil de velocidade é parabólico: 
 
V(y)= a1+ a2y + a3 y² 
• Condições de contorno: 
1ª V y=yo =Vmáx = 2,5 m/s a1+ a2y0 + a3 y0²=2,5 
 
9
2ª Vy=0 = 0 a1=0 
3ª y=yo =0 a2 + 2y0 a3=0 
Assim: a2y0 + a3 y0²=2,5. Para y0= 10 cm= 0,1m. 0,1 a2 + 0,01 a3=2,5. Daí, 
 
 a3= -250 e a2=50. 
 
• Perfil parabólico obtido: 
 
V(y)= 50 y – 250 y² 
 
• Gradiente de velocidade, para y= 10cm= 0,1m: 
 
= 50-250y y=yo = 25 
 
• Tensão de cisalhamento: y=yo= 
 
8º. Uma pequena esfera sólida, com 4,02 mm de diâmetro e uma densidade relativa de 0,91, é 
colocada em repouso num recipiente contendo um líquido cuja densidade relativa é de 0,8. 
Sabendo que a esfera está submetida à força gravitacional (calculada através do produto da 
massa pela aceleração da gravidade), ao empuxo (que é representado pelo peso do volume 
deslocado = fluido Volume da esfera) e a força de arrasto (representada pelo produto do 
coeficiente de arrasto vezes a área frontal de contato entre o sólido e o fluido vezes a metade 
do produto do peso específico do fluido e o quadrado da velocidade dividido pela aceleração 
da gravidade, no caso de uma esfera: Afrontal= e Cd = 24/Re, onde Re (= é chamado 
de número de Reynolds, Fa = Cd. Afrontal. fluido. ). Calcule o tempo mínimo decorrido para 
a esfera atingir a velocidade terminal. 
 
Solução: 
Figura ilustrativa: Diagrama de Corpo Livre: 
 
 
w = m.g 
 
 
w= esfera. Volume. g 
w= *. H2O .Volume. g 
E= fluido. Volume 
 
E= fluido. 
 
 Fa= Cd. Afrontal. fluido. 
 Fa= . . fluido. 
 Fa= 
 
10
• Sabemos que: Fr=m.a 
 w- Fa- E = esfera. Volume. 
 esfera. . g - - fluido. = esfera. . 
 = g - 
• Sendo a= g - , e b= Teremos: 
 
 = a – bV V = Vmáx (1- e-bt) 
 
• 
 
 
 
• 
 
 Adotando V=99%Vmáx: 
 s 
 
9º. Um bloco de massa M e aresta a cm, partindo do repouso, desliza numa fina película de 
óleo de espessura h mm em um plano inclinado de um ângulo θ. Determine uma expressão 
para o comprimento do plano em função da velocidade máxima e do tempo? Dados: Perfil de 
velocidade no óleo = c y1/3, onde c é uma constante determinada pela condição de contorno 
da velocidade máxima no óleo ser igual à velocidade do bloco e y é a distância do plano no 
óleo, 0 y h. 
 
 
 
Solução: 
 
• Note que temos dois problemas distintos: um que envolve um perfil de velocidade e 
outro associado ao bloco. 
 
 
• Diagrama de corpo livre: 
 
11• Sabemos que: 
• Fr= w.senθ - Fa 
 
• 
• a= 
 
• 
Logo: 
 
• 
 
• Fr=m.a - Fa = 
 
 - (÷m) 
 - 
• Condição de contorno: 
 Se y=h: 
 V(y) = Vbloco= = c y1/3 
 V(y) = 
 Note que: 
• Voltando para a expressão obtida ao analisar a força resultante teremos: 
- 
• Seja e , teremos: 
 
 . Assim, 
 
 
 
• Seja : 
 
12
 
 
 
 
2. ESTÁTICA DOS FLUÍDOS 
 
Referencias bibliográfica: 
 
1) Introdução à Mecânica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara Koogan, 
4a. edição (1995). Capítulos 3. 
2) Mecânica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973). Capitulo 
3. 
3) Fenômenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois (1979). 
Capítulos 4. 
4) Mecânica dos Fluidos, Victor L.Streeter e E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil, 
7a.edição (1982). Capítulo 2. 
5) Mecânica dos Fluidos – Franco Brunetti – Pearson Education (2005). Capítulo 2. 
6) Fenômenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora RIMA 
(2003). Capítulo 2. 
7) Fundamentos de Fenômenos de Transporte – Celso P. Livi, LTC (2004). Capítulo 3. 
8) Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, B. R.Munson, D.F.Young and T.H.Okiishi, Edgard 
Blucher Ltda, (2008). Capítulo 2. 
 
• EQUAÇÃO GERAL DA ESTÁTICA DOS FLUÍDOS (1-D) 
 
Líquido em repouso: 
 Princípio de Pascal 
 
 
 
PP
dzdAgW
WdAPdAP
→
=
=−−
1
21
...
0..
ρ 
Expansão em série de Taylor z
dz
dPPP Δ+= .12 
 
 
Assim, 
 0...).( =−+− dzdAgdAdPPPdA ρ 
 dzgdP ..ρ−= 
 
 
 
 
13
APLICAÇÕES: 
 
• FLUÍDO INCOMPRESSÍVEL 
 
 
 
 
 
 
 FORÇAS EM SUPERFÍCIES PLANAS 
 
- Usando 
 
 
 
- Outra forma 
 
 
 
→ Ponto de aplicação desta força (zf) 
 
 
 
 
 
• EQUAÇÃO GERAL DA ESTÁTICA DOS FLUÍDOS (2-D) 
 
 
 
 
 
 
♦ APLICAÇÕES: 
 
14
 
 MOVIMENTO RELATIVO LINEAR 
 
 
 
 
 
Sistema em Repouso Sistema em Movimento 
 
 
 MOVIMENTO RELATIVO CIRCULAR 
 
 
 
 
 
 
2. Exercícios resolvidos 
 
1º. Dada a figura abaixo, onde h1=25 cm, h2=10 cm, h3=25 cm e h4=25 cm, calcule: 
a) A pressão efetiva do Gás 2; 
b) A pressão efetiva do Gás 1, sabendo que o manômetro indica uma pressão de 15000 
N/m3 ; 
c) A pressão absoluta do Gás 1, considerando a pressão atmosférica local igual a 730 
mmHg. 
Dados: γ óleo = 8000 N/m3 , γ Hg = 133280 N/m3 , γ água = 9800 N/m3 
 
 
 
 
 
 
15
Solução: 
a) P1 = Póleo + Pgás e P2 = PHg + Págua 
 P1 = P2 
γ óleo . ( h1 + h2 ) + Pgás = γ Hg . h4 + γ água . h3 
8000 . (35 . 10-2) + Pgás = 133280 . 25 . 10-2 + 9800 . 25 . 10-2 
 Pgás = 32970 N/m3 
b) Pgás 1 = Pgás 2 – Pmanômetro 
Pgás 1 = 17970 N/m3 
c) P2 = PHg + Págua + Patm e P1 = Pgás 2 + Póleo + Pgás 1 
PHg + Págua + Patm – Pgás 2 – Póleo = Pgás 1 
133280 . 25 . 10-2 + 9800 . 25 . 10-2 + 0,73 . 133280 – 32970 -8000 . 35 . 10-2 = Pgás 1 
 Pgás 1 = 97294,4 N/m3 
 P abs gás 1 = 115265 N/m3 
 
2º. O tanque mostrado no esquema da figura contém um óleo com massa específica ρ. 
Determine o módulo da força resultante exercida pelo óleo sobre a janela retangular 
localizada na parede vertical do tanque. 
 
 
 
Solução: 
 , onde 
 
 
 
2) 
 
 
 
3º. A figura mostra um esquema de uma janela circular de diâmetro D=2 m, localizada na 
parede vertical de um tanque com água e aberto para a atmosfera. Determine: 
a) a forca resultante exercida pela água sobre a janela 
b) a profundidade do ponto de aplicação desta forca (zf) 
 
16
 
Solução: 
 
a) Em coordenadas polares: dA=r.dθ.dr e, considerando D=a temos: z=a/2-r.senθ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
          
                         
                       
                                
 
Substituindo, 
 
 
Temos , 
 
 
 
 
17
4º. A figura mostra um esquema de uma janela triangular de base B=2m e altura H=2m, 
localizada na parede vertical de um tanque com água e aberto para a atmosfera. Determine: 
a) a forca resultante exercida pela água sobre a janela 
b) a profundidade do ponto de aplicação desta forca (zf) 
 
Solução: 
a) Temos e 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo, 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
Substituindo,  
 
Temos, . 
 
 
18
5º A figura mostra um esquema de um reservatório com água. A comporta retangular de 
altura L e largura B está articulada no eixo O, na base, e o bloco de volume V, constituído de 
um material com massa específica ρB, está imerso em água. O cabo possui massa desprezível. 
Estando a comporta na posição vertical, determine: 
a) A forca resultante exercida pela água sobre a comporta; 
b) O momento de forca, em relação ao ponto O, devido à distribuição de pressões 
exercida pela água; 
c) O volume mínimo V do bloco necessário para manter a comporta na posição 
vertical. 
 
 
Solução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Deve-se achar zf: 
 
 
 
Temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19
Substituindo, 
 
Temos, 
 
Em relação ao ponto O temos a distância D, que é igual a : D=H-zf 
 
 Calculando o momento, 
 
 
 
c) Temos em relação ao ponto O, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo Diagrama do Corpo Livre: 
 
 
 
 
 
Sendo, 
 
 
 
Então fica assim, 
 
 
 
 
Isolando V, 
 
 
20
6º. Deve-se transportar um aquário que mede 60cm X 60cm de base e 40 cm de altura. 
Quanto em volume de água você pode deixar no aquário de modo a ficar razoavelmente certo 
de que não transbordará no transporte? 
 
 
 
 
Solução: 
• Equação da superfície livre: dP=0 
 
 
                                                
                                                   
                                              
                                                   
 
• Se não houver transbordamento: 
 
 
 
 
 
• Não há transbordamento: Vi=Vf 
 
 
 
 
 
• Achando a altura da água h: (1) = (2) 
 
 
 
Sabe-se que 
Substituindo os valores, 
 
21
 
 
 
• Calculando o volume: 
 
 
 
 
 
7º. Um vaso cilíndrico de raio (R=1,0m) e de altura (H=2,2m), parcialmente cheio com 
líquido a uma altura h=1,2 m, e girando a uma velocidade angular constante (ω) em torno do 
seu eixo central. Após um curto período, não há movimento relativo (o líquido gira com o 
cilindro como se o sistema fosse um corpo rígido). Qual o valor de ω (rpm) para não haver 
transbordamento? 
 
 
Solução: 
 
• Equação da superfície livre: dP=0 
 
 
 
 
 
• Se não houver transbordamento: 
 
 
 
 
 
22
Substituindo os valores, (1) 
• Não há transbordamento: Vi=Vf 
 
 
 
 
Substituindo valores, 
 
 . 
 
 
. 
Igualando os volumes: 
• Achando o valor de ω: Equação (1) = Equação (2). Daí, 
 
 
 
 
3. CINEMÁTICA DOS FLUÍDOS 
 
Referencias bibliográfica: 
 
1) Introdução à Mecânica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara Koogan, 
4a. edição (1995). Capítulo 5 e 6. 
2) Mecânica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973). Capitulos 
9 e 11. 
3) Fenômenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois (1979). 
Capítulos 9, 10 e 11. 
4) Mecânica dos Fluidos, Victor L.Streetere E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil, 
7a.edição (1982). Capítulo 7. 
5) Mecânica dos Fluidos – Franco Brunetti – Pearson Education (2005). Capítulo 3. 
6) Fenômenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora RIMA 
(2003). Capítulo 3. 
7) Fundamentos de Fenômenos de Transporte – Celso P. Livi, LTC (2004). Capítulos 4, 5 e 6. 
8) Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, B. R.Munson, D.F.Young and T.H.Okiishi, Edgard 
Blucher Ltda, (2008). Capítulos 4 e 6. 
 
 
 
 
 
23
 
♦ OPERADOR NABLA ( ): 
 
♦ Coordenadas retangulares: 
 
♦ Coordenadas cilíndricas: 
 
♦ OPERADOR LAPLACE ( ): 
 
♦ Coordenadas retangulares: 
 
♦ Coordenadas cilíndricas: 
 
 
♦ VELOCIDADE: 
 
♦ Coordenadas cartesianas: 
 
♦ Coordenadas polares: 
 
♦ ACELERAÇÃO: 
 
- Sistema Euleriano 
 
♦ Coordenadas polares: 
 
 
 
♦ VAZÃO 
 
→ Vazão em volume: 
 
V=velocidade 
A=área 
 
→ Vazão em massa: 
 
→ Vazão em peso: 
 
 
♦ EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
 
- Regime permanente (independe do tempo) 
 
24
 
- Fluído incompressível (ρ=constante): 
 
 
 
 
→ Velocidade maior nas seções de menor área 
 
♦ Coordenadas cartesianas 
 
 
♦ Coordenadas polares 
 
♦ EQUAÇÃO DA IRROTACIONALIDADE 
 
♦ Coordenadas cartesianas 
 
♦ Coordenadas polares 
 
♦ EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA: 
 
♦ FUNÇÃO CORRENTE (ψ) 
 
- Satisfaz a equação da continuidade 
 
♦ FUNÇÃO POTENCIAL (φ) 
 
- Satisfaz a equação da irrotacionalidade 
 
♦ RELAÇÕES DE CAUCHY-RIEMMAN 
 
♦ Coordenadas cartesianas 
 
 
♦ Coordenadas polares 
 
 
 
♦ EQUAÇÃO LAPLACE 
 
 
 
 
25
 
♦ TIPOS DE ESCOAMENTO 
 
♦ FONTE 
 
 
- Q = Constante 
- Vr≠0 
- Vθ=0 
 
 
 
 
 
 
♦ VÓRTICE 
 
 
- circulação é constante 
- Vθ≠0 
- Vr=0 
 
 
 
 
♦ TIPO CANTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
♦ UNIFORME 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26
 
♦ UNIFORME+FONTE 
 
 
 
 
 
- Ponto de estagnação: velocidade é nula 
- Equação do semi-corpo de Rankine : 
 
 
 
 
♦ FONTE+SUMIDOURO 
 
 
 
 
 
 
 
 
♦ DIPOLO 
 
 
 
 
27
 
 
♦ FONTE+SUMIDOURO+UNIFORME 
 
 
 
 
 
 
♦ UNIFORME+DIPOLO (AO REDOR DE UM CILINDRO) 
 
 
 
 
 
- ψ=0 , r=a 
- 
 
 
 
♦ UNIFORME+DIPOLO+VÓRTICE(CILINDRO COM CIRCULAÇÃO) 
 
 
 
 
 
28
Exercícios resolvidos 
 
1º. Considere um campo de escoamento incompressível bidimensional dado pela função 
corrente (x,y) = ax²-ay², com a=3s-1 e x e y em metros. 
a) Mostre que o escoamento é irrotacional. 
b) Determine o potencial de velocidade para este escoamento. 
c) Qual a vazão que passa entre uma assíntota e a linha de corrente dada por =cte=2? 
 
Solução: 
 
a) Um escoamento é irrotacional quando xV=0 
 
Sabemos que: 
 
• ; 
 
• xV = x = 0. 
 
-2a+2a=0 
0=0 O escoamento é irrotacional. 
 
b) 
 
c) Sabemos que a vazão é dada pela diferença entre dois psis, ou seja, Q= 1- 2. Se 1= 
assíntota e 2=2, teremos: Q= 2m³/s. 
 
2º. Demonstre a Equação da Continuidade a partir de um elemento infinitesimal de controle 
com a forma cilíndrica plana. 
 
 
 
• 
 
 
 
 ; 
Logo: = 
• 
 
 
 
 
 
29
Solução: 
 
 
 
• Sabemos que: Taxa que entra – Taxa que sai = Variação interna 
 
+ - - = 
 + - - 
 
+ - - - - - -
= 
 
 
= - - - 
 
=- - - 
Obs.: De acordo com a Regra do produto: 
 = = + 
Logo: 
 + + + = 0 
 
 + + = 0 
 
Desta forma, provamos que: + = 0 
 
 
3º. Demonstre a Equação da Continuidade e a Equação da Irrotacionalidade em 
coordenadas polares para duas dimensões. 
 
 
 
  
 
Desprezível 
“Equação da continuidade 
em coordenadas polar” 
 
30
Solução: 
Devemos lembrar que: 
• îr=cos î + sen j 
• = -sen î + cos j 
• îr. îr=1 ; îr . =0 
• . =1 ; îr x = k 
• = -sen î + cos j= 
• = - cos î - sen j= 
 
De acordo com a Equação da Continuidade: = 0, ou seja: 
 . = 0 
 + = 0 
=0 
=0 
=0 
=0 + = 0 
De acordo com a Equação da Irrotacionalidade: = 0, ou seja: 
 x = 0 
 + = 0 
 + = 0 
 
=0, ou seja, - = 0 
 
4º. Qual o valor da aceleração de um escoamento cujo campo de velocidade é dado por 
? Esse escoamento é real ? 
Solução: 
• Por não depender do tempo podemos definir tal escoamento como permanente. Não dá 
para dizer se o fluido é compressível ou não, pois não temos informações suficientes. Temos 
apenas um escoamento plano em duas dimensões. 
 
• a local= =0 
a convectiva= 
a convectiva= 
a convectiva= 
• Componentes da aceleração: ax= 
 ay= 
 
31
 
• O escoamento só existirá se a equação da Continuidade for obedecida. Desta forma, 
deveremos provar que: + = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5º. Seja . Veja se o escoamento desse fluido é real. Em caso afirmativo, defina 
a equação de sua trajetória. 
 
Solução: 
• O escoamento só existirá se a equação da Continuidade for obedecida. Desta forma, 
deveremos provar que: + = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Encontrando a Equação da trajetória: 
 
 
 
 
Tende a zero, pois o escoamento  
não depende do tempo. 
O escoamento não é real. 
O escoamento é real. 
Tende a zero, pois o 
escoamento  
Equação da trajetória. 
 
32
6º. A superfície matemática do sólido chamada de semi-corpo de Rankine no plano, pode ser 
representada por linhas de corrente geradas pela superposição de um escoamento uniforme 
horizontal e uma fonte. Um pequeno monte, de altura h=100m, tem a forma geométrica que 
pode ser representada como a parte superior do semi-corpo de Rankine. Para um vento de 20 
km/h em direção ao monte, pergunta-se: 
 
 
 
a) Qual a velocidade do vento na superfície do monte em um ponto verticalmente acima 
da origem? 
b) Qual o valor da vazão do escoamento do vento entre duas superfícies que passam 
pelos pontos de estagnação e (x=50; y=90)? 
 
Solução: 
 
a) Sabemos que o semi-corpo de Rankine é formado pela superposição de um 
escoamento uniforme e um escoamento tipo fonte. Como tais escoamentos satisfazem a 
Equação de Laplace podemos dizer que: 
ΨU/F = ΨU + ΨF = 
• Para Ψ=0: 
 
• Para θ=π: 
 
 
Logo: 
Ψ0= 
• 
 
• 
 
• Para Ψ=0: 
• 
 
 
• Para θ=π/2: 
 
 
 
 
 
33
Logo: V= 3,54 îr + 5,56 îθ e V = 6,59 m/s 
 
b) Sabemos que: 
 
• x= r cosθ=50 r=130m 
 y= r senθ=120 
• tgθ= =1,18 rad 
• 
• Na linha de corrente Ψo =0 quando θ=0 e r=h=100: 
Ψ0= 
 
 
• Sabemos que a vazão pode ser calculada através da diferença entre dois psis, Q= Ψo - 
Ψa, sendo Ψo o ponto de estagnação teremos Ψo =0. 
 
Q= Ψo - Ψa= 
Q= 319 m³/s 
 
 
4. DINÂMICA DOS FLUÍDOS 
 
Referencias bibliográfica: 
 
1) Introdução à Mecânica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara Koogan, 
4a. edição (1995). Capítulos 5 e 8. 
2) Mecânica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973). Capitulos 
5 e 6. 
3) Fenômenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois (1979). 
Capítulos 10 e 12. 
4) Mecânica dos Fluidos, Victor L.Streeter e E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil, 
7a.edição (1982). Capítulos 3 e 5. 
5) Mecânica dos Fluidos – Franco Brunetti – Pearson Education (2005). Capítulo 4 e 9. 
6) Fenômenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora RIMA 
(2003). Capítulo 5. 
7) Fundamentos de Fenômenos de Transporte – Celso P. Livi, LTC (2004). Capítulo 5. 
8) Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, B. R.Munson, D.F.Young and T.H.Okiishi, Edgard 
Blucher Ltda, (2008). Capítulo 6. 
 
 
♦ TEOREMA DE BERNOULLI 
 
 
 
 
 
 
34
- Conservação de energia 
- Válido na mesma linha de corrente 
- Escoamento em regime permanente 
- Fluído ideal 
→Viscosidade nula 
→Fluído incompressível 
- Usamos para determinar força de arraste (FA) e força de sustentação (Fs) 
 
 
 
- Aplicações:♦ TUBO DE VENTURI 
 
 
 - serve para monitorar vazões 
 - para achar o valor da vazão: 
1) aplica Bernoulli 
2) usa equação da continuidade 
3) leitura manométrica 
 
♦ TUBO DE PITOT 
 
 
 
 
 
 - serve para medir o valor da velocidade em um ponto 
 1) aplica Bernoulli 
 2) leitura manométrica 
 
 
 
 
 
35
♦ RESERVATÓRIO IDEAL 
 
 
- Nível do reservatório constante 
 
Achar o valor da velocidade de saída: 
 
1. Aplica Bernoulli 
 
 
Para achar o valor da vazão de saída: 
 
2. Aplica equação da continuidade 
 
 
 
FLUÍDOS REAIS 
 
• Coeficiente de Descarga: 
 
 
 
• Coeficiente de Velocidade: 
 
 
• Coeficiente de Contração: 
 
 
RESERVATÓRIO 
• Tempo para o reservatório encher: 
 
- Considerar fluído real 
- Fazer balanço de massa 
 Taxa que entra - taxa que sai = taxa de variação interna 
 
• Tempo para o reservatório esvaziar: 
- Considerar fluído real 
- Fazer balanço de massa (taxa que entra=0) 
0 - taxa que sai = taxa de variação interna 
 
36
 
• Tempo para o nível do reservatório permanecer constante : 
- fluído ideal 
- fazer balanço de massa (taxa de variação interna=0) 
- encontra zeq 
- calcula o tempo para z=0,99zeq, pois tcte>t 
 
FLUÍDOS VISCOSOS 
 
• EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES: 
 
- Idealizações: 
1) escoamento permanente 
2) escoamento laminar 
3) escoamento completamente desenvolvido 
4) fluído incompressível 
5) 
 
♦ Problema de COUETTE 
 
- Condições: 
 
1) velocidade só tem componente na direção do escoamento e está em função da outra 
direção. 
 
, na direção de x e em função de y 
 
2) escoamento só ocorre devido a diferença de pressão e a pressão depende de x. 
 
 → se o escoamento só ocorrer devido a gravidade : 
 
Para resolver o problema aplicamos as idealizações e condições na equação de NAVIER-
STOKES e encontramos: 
 
 
 
Com as condições de contorno achamos c1 e c2 
 
 
 
37
♦ Problema de HAGEN-POISEUILLE: 
 
 
- Condições: 
1) velocidade só tem componente na direção do escoamento e está em função da outra 
direção. 
 
, na direção de z e em função de r 
 
2) escoamento só ocorre devido a diferença de pressão e a pressão depende de z. 
 
 →se o escoamento só ocorrer devido a gravidade : 
 
Para resolver o problema aplicamos as idealizações e condições na equação de NAVIER-
STOKES e encontramos: 
 
Com as condições de contorno achamos c1 e c2 . 
 
 
4. Exercícios resolvidos 
 
1º. O escoamento sobre uma cabana pode ser aproximado pelo escoamento permanente, sem 
atrito, incompreensível e da esquerda para direita sobre um cilindro circular estacionário, de 
raio a, que pode ser representado pelo campo velocidade. 
 
Com Durante uma tempestade, a velocidade do vento (ρ*=10-3) atinge 180 km/h; 
a temperatura externa é 7,00C. Um barômetro dentro da cabana dá uma leitura de 720mm de 
mercúrio; a pressão atmosférica fora é também de 720 mmHg. A cabana tem um diâmetro de 
6,0m e um comprimento de 24m. Determine a força que tende a levantar a cabana das suas 
fundações. Sabendo que 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
38
cilindro: r=a 
 
 
Sendo, 
D=6m 
 L=24m 
 a=3m 
 h=720mm =720.10-3m 
• Achar P1: 
P=ρ.g.h 
P1= ρ*Hg.ρágua.g.h 
Substituindo os valores, 
P1=9,6 Pa 
V1=180 km/h=50m/s e U0=50m/s 
• Achar V2: 
Vr=0 
Vθ=-2.U0.senθ 
|V|=2.U0.senθ 
 ρ*=10-3 então, ρ=1 kg/m3 
• Achar γ: 
γ= ρ.g 
γ=9,8 N/m3 
• Aplicando Bernoulli: H1=H2 
 
z1=0 z2=a.senθ 
V1=U0 V2=2.U0.senθ 
P1=9,6 Pa P2 
Teremos então, 
 
 
 Fica assim, 
 
• Achar Fa: 
 
Calculando, 
 
Obtém-se, 
• Achar Fs: 
 
 
 
 
39
Calculando, 
 
Obtém-se, 
 
 
Substituindo os valores, 
 
 
 
 
 
2º. Dado o perfil de velocidade e sabendo que foi medido com tubo de 
pitot uma velocidade V=0,3 m/s no ponto r=0,3a, calcule a vazão, sendo a=0,1m e 0≤r≤a. 
 
Solução: 
 
 
 
 r=0,3ª 
 
 
 Teremos, 
 
 
 Então, 
 
 
 
 
 
 
3º. Dado um reservatório com uma saída lateral,achar a vazão que sai quando o nível do 
reservatório não muda.(vazão ideal) 
 
Solução: 
• Aplicando Bernoulli: H1=H2 
z1=z z2=0 
V1=0 V2 
P1=Patm P2=Patm 
Videal= 
 
40
• Pela continuidade: 
 
 
4º. Um grande reservatório, com 4,0m de altura de água, em forma cilíndrica com diâmetro 
de 3,2m, possui um pequeno orifício lateralmente na sua base com diâmetro de 6,0 cm. O 
reservatório encontra-se a 1,8m do solo e quando o orifício está aberto jorra água a 2,0m de 
distância do orifício. O coeficiente de contração do jato medido foi de 0,90. Pergunta-se: 
a) Qual o coeficiente de descarga do reservatório, assumindo que o nível do reservatório 
não varia por um tempo de 1,5 horas? 
b) Quanto tempo leva para o nível do reservatório diminua de 1,0m? 
c) Para o caso do item (b) a idealização do item (a) é válida? 
 
Solução: 
H=4m; D=3,2m; Cc=0,9; t=1,5 horas=5,4 seg; d=6cm; 
 r=3cm=3.10-2m 
Ab=área do bocal; AR=área do reservatório 
-considera-se o reservatório cheio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Cd=Cv.Cc 
 Cd=Cv.0,9 
• achar Cv: 
temos que e que 
 substituindo os valores,temos 
 
 Então, 
• achar Cd: 
Cd=Cv.0,9 
 
 
• achar Ab: 
 
 
41
 
• achar AR: 
 
 
 
- t>1,5 horas: o nível do reservatório varia, vamos considerar Q0=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa que entra - taxa que sai = taxa de variação interna 
 
 0 - . = 
 - . = 
Desenvolvendo, 
 
Então, 
 (1) 
• achar a: 
 
 
• achar zeq: 
-considerar t=1,01.(1,5horas) e z=0,99zeq 
 t=1,01.5,4 seg 
 t=5,45 s 
Então, utilizando a equação (1) 
 
Teremos, 
 
 
42
• Substituindo os valores, 
 
 
 
 
c) Utilizando a equação, 
 
 Obtemos, 
 
 
 
 
 
4º. Para o escoamento de um fluido com propriedades físicas constantes entre duas placas 
paralelas fixas, na horizontal, distantes 2ª uma da outra, responda o que se segue assumindo 
que o escoamento é devido a um gradiente de pressão constante na direção X (dP/dX). 
a) Para y*=y/a e u=v/Ua, mostre que a equação de Navier-Stokes para o problema, 
depois de assumidas as idealizações de COUETTE,pode ser escrita como: 
onde B é uma constante que depende do gradiente de pressão,a,Uo e da viscosidade. 
 b) Ache uma expressão adimensional u, levando-se em conta as condições de 
contorno impostas ao problema. 
 c) Um tubo de Pitot, colocado no centro das placas, indica uma leitura manométrica de 20 
mmHg (ρ*=13,6) para o fluido do problema anterior escoando entre as placas. Qual a vazão 
desse escoamento, sabendo-se que a=10 cm e U0 é a velocidade medida no tubo de Pitot. 
 
Solução: 
- Condições: 
 
 
 
- Analisando equação de NAVIER-STOKES: 
 
 
 Como, 
 
Substituindo temos, 
 
 
 
43
 
 Então, 
 
a) Adimensionando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo, 
 
 
 
 
Derivando, 
 
 
Derivando novamente, 
 
 
 
 
 
 
 
44
b) Condições de contorno: 
 
1) U|y*=1=0 
 
 
 
 
 
2) V|y*=-1=0 
 
 
 
 
Então, 
 
 
c) achar U0: 
• manometria: 
 
 
 
• achar : 
 
 
 
 
• Aplicando Bernoulli: H1=H2 
 
z1=0z2=0 
U0 V2=0 
P1 P2 
 
 
 
Substituindo os valores, 
 
 
45
 
 
 
 
 
Para y=0 a velocidade é máxima 
- dimensionando: 
y*=y/a e u=v/Ua 
 
Substituindo em 
 
Temos, 
 
• achar Vmáx: 
 
 Como já foi dito Vmáx ocorre quando y=0, então 
 
 
 
-achar Q: 
 
 
 
Substituindo valores, 
 
 
 
 
5º. Usando o princípio da conservação de energia, determine o sentido do escoamento no 
interior do tubo mostrado na figura abaixo para o qual γ=8500 N/m3 e μ=0,05 kg/m.s e ache 
a vazão deste escoamento em litros por segundos. 
 
 
 
 
 
46
 Dado: 
 PA=20 kPa; PB=30 kPa; L=40 m; D=10 cm 
 Inclinação da tubulação: 300 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
• Para analisar o sentido do escoamento é preciso verificar em qual seção há maior 
energia, então aplicaremos Bernoulli : 
 
 
-pela equação da continuidade : 
 e 
Então, 
 
Considerando , 
 
-analisando a energia no ponto A: 
 
 
 
-analisando a energia no ponto B: 
 
 
A energia em A é maior que em B, o fluído escoa de A para B. 
• Calculando a vazão: 
-condições: 
 
 
 
 
-analisando equação de NAVIER-STOKES: 
 
 
 
 
47
Como, 
 
Substituindo temos, 
 
 
 Então, 
 
 -condições de contorno: 
3) V|r=0=Vmáx 
c1=0 
4) V|r=a=0 
 
 
Então , 
 
-achar Q: 
 
 
 
 
-achar K: 
 
 
 
 
-achar Vmáx: 
 
 
 
 
Substituindo os valores, 
 
 
48
 
 
 
6º. Uma correia larga se movimenta num tanque que contém um líquido viscoso do modo 
indicado na Figura. O movimento da correia é vertical e ascendente e a velocidade da 
correia é Vo. As forças viscosas provocam o arrastamento de um filme de líquido que 
apresenta espessura h. Note que a aceleração da gravidade força o líquido a escoar, para 
baixo, no filme. Obtenha uma equação para a velocidade média do filme de líquido a partir 
das equações de Navier Stokes. Admita que o escoamento é laminar, unidimensional e que o 
regime de escoamento seja o permanente. 
 
 
 
Solução: 
 
 Nós só consideraremos o componente na direção y do vetor velocidade porque a 
formulação do problema estabelece que o escoamento é unidimensional (assim, u=w=0). A 
equação da continuidade indica que . O regime do escoamento é o permanente e então 
. Nestas condições nós encontramos que v= v(x). A aplicação da equação de Navier 
Stokes na direção x e na direção z resulta em: e . 
 Este resultado indica que a pressão não varia em qualquer plano horizontal. Ainda é 
possível concluir que a pressão no filme é constante e igual a pressão atmosférica porque a 
pressão na superfície do filme (x=h) é a atmosférica. Nestas condições, a equação do 
movimento na direção y fica reduzida a: 
 
 
 
• Integrando a equação acima chegaremos a: 
• Condições de contorno: 
1ª x=h=0: 
 
• A segunda integração da equação, , fornece: 
 
 2ª V x=0=V0: 
 
49
Desta forma: 
 
• A vazão em volume na correia pode ser calculada com este perfil de velocidade: 
 
 
• A velocidade média do filme pode ser definida como . Assim: 
 
 
 
7º. A água escoa em um canal aberto, conforme indicado na figura abaixo. Dois tubos de 
Pitot estão em um manômetro diferencial contendo um líquido com ρ*=0,82. Achar uA e uB. 
Dados: A=3 ft; B=2 ft; g=32,17 ft/s². 
 
 
 
 
• 
 
 
 
•