Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
607901-Fenômenos de transportes - Mecânica dos fluidos Automação Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (PUC-Minas) 68 pag. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 60 MECÂNICA DOS FLUIDOS A Mecânica dos Fluidos estuda o comportamento dos corpos fluidos em repouso (Fluidoestática) e em movimento (Fluidodinâmica) e os efeitos dos fluidos em contato com fronteiras, que podem ser sólidos ou outros fluidos. É natural iniciar o estudo da Mecânica dos Fluidos pela definição de fluido. Um fluido é aquela substância que se deforma continuamente sob a ação de um esforço tangencial, não importando a magnitude deste esforço. Os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas físicas nas quais a matéria existe. A distinção entre um fluido e o estado sólido fica clara ao ser comparado seu comportamento. Aplicando-se uma força tangencial F (Fig. 1) sobre um elemento sólido fixado entre duas placas, o elemento sofre uma deformação e se estabiliza no novo formato. No regime elástico do material, ao cessar a aplicação da força, o sólido retorna à forma original. Repetindo a experiência para um fluido, ele irá se deformar continuamente, enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele. Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante A Hipótese do Contínuo Como o espaço médio entre as moléculas que compõem o fluido é bastante inferior às dimensões físicas dos problemas estudados em engenharia, considera-se o fluido como uma substância que pode ser dividida ao infinito. PROPRIEDADES A seguir, são apresentadas algumas propriedades dos fluidos, que ainda não foram definidas na parte de Termodinâmica. Peso Específico: Peso do fluido contido em uma unidade de volume : Peso específico [N/m3] W W: Peso da substância [N] ][m fluido do Volume: 3 Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 61 O peso específico é relacionado à massa específica através da seguinte equação gg mmg Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: Propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força de cisalhamento ou, em outras palavras, a dificuldade do fluido em escoar. A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por dAy dFx Ay Fx lim 0Ay yx A taxa de deformação é igual a t lim 0t Figura 2 – Deformação de um Elemento de Fluido Se t l u , a distância entre os pontos M e M' (Fig. 2) pode ser dada por tul (a) A deformação do fluido é calculada através da expressão y l tg Para pequenos ângulos, y l Assim, yl (b) Igualando-se (a) e (b), dy du dt d y u t Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 62 Para fluidos Newtonianos, a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação, ou dy du yx dy du yx A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, . No SI, a unidade da viscosidade é kg/m.s (= N.s/m2 = Pa.s). No sistema britânico, utiliza-se slug/ft.s. Uma unidade comum é o Poise, sendo 1 Poise = 0,1 Pa.s. A Tabela A.1 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos. O comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig. A.1. Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura, enquanto que os líquidos apresentam comportamento inverso. Exemplo 1 – Cálculo da tensão de cisalhamento Suponha o escoamento de óleo SAE 10W entre uma placa inferior estacionária e uma placa superior movendo-se em regime permanente com uma velocidade V, como mostrado na figura. A distância entre as placas é h. Calcule a força de atrito na placa superior, se V=3m/s e h=2cm. Considere que a largura da placa é 20 cm e o seu comprimento, 1,2 m. A força de atrito em qualquer posição do fluido pode ser determinada a partir da tensão de cisalhamento, através da relação AF yxat onde A á a área de contato entre o fluido e a superfície, dada pelo produto entre a largura e o comprimento da placa. A tensão de cisalhamento em qualquer posição do fluido é dada pela expressão dy du yx onde dydu é a derivada da velocidade u em relação a y. Para se calcular a tensão de cisalhamento é necessário determinar dydu . Sabendo-se que o perfil de velocidades é linear, são necessários dois pontos para se determinar a equação. Em y = 0, u = 0 e em y = h, u = V. Assim, a equação do perfil de velocidades é h Vy u h V dy du A tensão de cisalhamento é Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 63 h V yx Da Tabela A.1, s.m/kg104,0 m02,0 s/m3 s.m kg 104,0yx Pa6,15yx Assim, )m2,1.m2,0(.Pa6,15AF yxat N744,3Fat ◄ Viscosidade Cinemática: Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica. : Viscosidade cinemática [m2/s] : Viscosidade absoluta [Ns/m2] : massa específica [kg/m3] Uma unidade comum para a viscosidade cinemática é o Stoke, sendo 1 Stoke = 1cm2/s. Número de Reynolds: Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as forças viscosas. Re: Número de Reynolds [adimensional] : massa específica do fluido [kg/m3] **LV Re V*: Velocidade característica do escoamento [m/s] L*: Dimensão característica do escoamento [m] : Viscosidade absoluta do fluido [Ns/m2] O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no interior de tubos, o valor aceito para caracterizar a transição do escoamento laminar para turbulento é 2.300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x105. Para escoamentos no interior de tubos, Se o turbulenté escoamento o 4000,Re transiçãode faixa na está escoamento o 4000,Re2300 laminar é escoamento o 2300,Re Deve-se ressaltar que V* e L* correspondem, respectivamente, à velocidade e à dimensão características do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, V* é a velocidade média no interior do tubo e L*, o seu diâmetro. Para escoamentos sobre placas planas, V* é a velocidade da corrente livre e L*, o comprimento da placa. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 64 Exemplo 2 – Cálculo do número de Reynolds e determinação do regime de escoamento Para o escoamento de óleo SAE 30W (a 20oC) a 2 m/s no interior de um tubo de 20 cm de diâmetro, determine o regime de escoamento. O regime de escoamento é definido pelo número de Reynolds, **LV Re Para escoamento no interior de um tubo, V* é a velocidade média no interior do tubo e L*, o seu diâmetro. e são, respectivamente, a massa específica e a viscosidade absoluta do fluido, nocaso, o óleo. Da Tabela A.1, .s.m/kg29,0em/kg891 3 1229 s.m/kg29,0 m20,0.s/m2.m/kg891 Re 3 Como Re < 2300, o escoamento é laminar. ◄ Campo de Velocidades Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidades. Seja o volume de fluido mostrado na Fig. 3. Figura 3 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto A velocidade instantânea do fluido em um ponto C qualquer do escoamento é definida como a velocidade do centro de gravidade do volume infinitesimal que envolve o ponto C no instante de tempo em questão. O campo de velocidades V é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa representação do campo de velocidades é dada por t,z,y,xVV O vetor velocidade V pode ser expresso em termos de suas três componentes escalares. Chamando as componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e w, o campo de velocidades pode ser escrito como Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 65 k̂wĵvîuV , onde as componentes escalares também dependem das coordenadas cartesianas e do tempo, tz,y,x,wwetz,y,x,vv,tz,y,x,uu Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento, não variam com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é 0 t , onde representa uma propriedade qualquer do escoamento. Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo. Campo Uniforme de Escoamento: O módulo e o sentido do vetor velocidade permanecem constantes em todo o campo de escoamento, podendo, no entanto, variar com o tempo. Escoamentos uni-, bi- e tridimensionais: Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o número de coordenadas necessárias para descrever seu campo de velocidades. Nem todos os escoamentos são tridimensionais. Suponha, por exemplo, o escoamento laminar em regime permanente no interior de um duto de seção transversal constante, como mostrado na Fig. 4. Figura 4 – Exemplo de Escoamento Unidimensional A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela equação 2 max R r 1uu Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é unidimensional. Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 5). Como o canal é considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo de velocidades será idêntico em todos os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de velocidades é função somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é, portanto, bidimensional. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 66 Figura 5 – Exemplo de Escoamento Bidimensional FLUIDOESTÁTICA A fluidoestática é a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso. A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática. Em um problema de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da distribuição de forças ou pressões em um elemento fluido. A EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças de superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o caso das forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força de campo que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é a força gravitacional, ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas fronteiras de um meio, através do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só poderão estar presentes forças normais à superfície (por definição, o fluido é a substância incapaz de resistir a forças de cisalhamento sem se deformar). A única força de superfície a ser considerada é, portanto, a força de pressão. Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig. 6. Figura 6 – Volume de Controle Infinitesimal A força total atuando no elemento é dada por SC FdFdFd Como já foi dito, a única força de campo a ser considerada é a força peso. g.dmFd C Assim, Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 67 SFdg.dmFd A força líquida de pressão SFd é dada pela soma das forças de pressão em cada uma das faces do elemento. Se a pressão atuando na face esquerda do elemento é P, a força de pressão atuando na face esquerda do elemento é dz.dxPdFL A força de pressão na face direita é dada por dz.dxdy y P PdFR A força líquida de pressão é dada pela soma das forças de pressão em todas as faces do elemento, k̂dy.dxdz z P Pk̂dy.dxP jdz.dxdy y P Pjdz.dxPîdz.dydx x P Pîdz.dyPFd S ou dz.dy.dxk̂ z P j y P î x P Fd S A força total é dada, portanto, por dz.dy.dxk̂ z P j y P î x P g.dmFdg.dmFd S Como dz.dy.dx.d.dm , dPgdz.dy.dxk̂ z P j y P î x P g.dz.dy.dx.Fd A 2ª Lei de Newton estabelece que a.dmFd Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas as forças deve ser zero. Assim, 0Pg Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares, 0g x P x 0g y P y 0g z P z Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor gravidade esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z apontando para cima gge0g,0g zyx , as equações podem ser reescritas como Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 68 0 x P 0 y P g z P Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig. 7). Figura 7 – Variação de Pressão em um Fluido Estático ghPP CB Observando as equações anteriores, pode-se concluir que: 1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer, situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à mesma pressão; 2. A pressão varia na direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna fluida (Equação Fundamental da Hidrostática); 3. No limite para z infinitamente pequeno, o elemento tende a um ponto. A pressão passa a não variar, sendo independente da orientação (Lei de Pascal). Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado. Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas. Quandoo nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são denominadas pressões manométricas ou efetivas. O valor padrão adotado para a pressão atmosférica é Patm = 1atm = 101.325 Pa. A pressão absoluta e a pressão manométrica se relacionam por manatmabs PPP ou atmabsman PPP A pressão manométrica pode assumir, portanto, valores positivos, negativos ou nulos (Fig. 8). Se P>Patm, Pman > 0 Se P<Patm, Pman < 0 Se P=Patm, Pman = 0 A pressão a ser utilizada em cálculos envolvendo equações de gás ideal ou outras equações de estado é a pressão absoluta. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 69 Figura 8 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica O Barômetro de Mercúrio A aplicação mais simples da lei da hidrostática é o barômetro, que é um medidor de pressão atmosférica. Neste dispositivo, um tubo é preenchido com um fluido de alto peso específico (geralmente o mercúrio), invertido e mergulhado em um reservatório contendo o mesmo fluido. No processo de inversão do tubo, o fluido desce, criando um vácuo na parte superior do tubo, como mostrado na Fig. 9. Figura 9 – O Barômetro de Mercúrio hghP ghP Vácuo P ghPP repouso em fluido mesmo no altura mesma uma a situadosPontos PP PP atm A E EA AA atmA 0 ' ´ Portanto, a pressão atmosférica pode ser medida a partir da altura de uma coluna líquida de mercúrio. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 70 mmHg760atm1mm760h Se o fluido for a água, a altura da coluna é de 10,332 m. mca332,10atm1m332,10h APLICAÇÃO PARA A MANOMETRIA Da mesma maneira que a pressão atmosférica, uma diferença de pressão pode ser medida a partir de uma diferença de elevação, conhecendo-se as massas específicas dos fluidos. Este é o princípio de funcionamento dos manômetros de líquido (Fig. 10), que são tubos transparentes e curvos, geralmente em forma de U, contendo o líquido manométrico. Para medição de altas pressões, utilizam-se fluidos com altos pesos específicos, como o mercúrio. No caso de menores pressões, utilizam-se fluidos com menores pesos específicos, como a água ou um óleo. Os manômetros metálicos são instrumentos usados para medir as pressões dos fluidos através de um tubo metálico curvo (Tubo de Bourdon – Fig. 11) ou de um diafragma (Fig. 12), que cobre um recipiente metálico. São os manômetros mais utilizados em aplicações industriais. BA BatmB AatmA BA pp ghpp ghpp hh Figura 10 – Manômetro de Líquido Figura 11 – Tubo de Bourdon Figura 12 – Manômetro de Diafragma Exemplo 3 – Variação de pressão em uma coluna de múltiplos fluidos Determine a pressão absoluta no ponto A e a pressão manométrica no ponto B da figura, sendo as dimensões dadas em cm. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 71 A Equação Fundamental da Hidrostática estabelece que a diferença de pressão entre dois pontos de uma massa fluida em equilíbrio é diretamente proporcional à diferença de altura entre eles, ou ghPP 12 Se o ponto na superfície livre do reservatório for chamado de C e os pontos nas interfaces dos líquidos forem chamados de D e E, tem-se que 1oleoCD ghPP (1) 2gliDA ghPP (2) 3gliAE ghPP (3) 32gliDE hhgPP (4) 4mercEB ghPP (5) onde m20,0h1 m12,0h2 m13,0h3 m40,0h4 É necessário conhecer as massas específicas dos fluidos. Da Tabela A.1, 3 oleo m/kg891 3 gli m/kg1260 3 merc m/kg13550 Somando-se as equações (1) e (2), 2gli1oleoatm2gli1oleoCA ghghPghghPP Pa414,566.104m12,0. s m 81,9. m kg 1260m20,0. s m 81,9. m kg 891Pa325.101P 2323A kPa5,104PA ◄ Somando-se as equações (1), (4) e (5), 4merc32gli1oleoatm4merc32gli1oleoCB ghhhgghPghhhgghPP m4,0. s m 81,9. m kg 13550m25,0. s m 81,9. m kg 1260m20,0. s m 81,9. m kg 891Pa325.101P 232323B Pa492,333.159PB Para se obter o valor da pressão manométrica no ponto B, basta subtrair a pressão atmosférica do valor obtido, ou seja, Pa325.101Pa492,333.159PPP atmman,Bman,B kPa58P man,B ◄ Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 72 Exemplo 4 – Manômetros de líquido Na figura, o manômetro A lê uma pressão de 1,5 kPa. Determine as alturas hB e hC dos fluidos nos tubos piezométricos abertos para a atmosfera. Despreze o peso do ar. Se os pontos nas interfaces dos líquidos forem chamados de 1, 2 e 3, tem-se que 1arA1 ghPP (1) 2oleo12 ghPP (2) 3gli23 ghPP (3) onde m2h1 m5,1h2 m1h3 Ao mesmo tempo, as pressões nos pontos 2 e 3 podem ser relacionadas à pressão atmosférica por 3Coleoatm2 hhgPP (4) Bgliatm3 ghPP (5) É necessário conhecer as massas específicas dos fluidos. Da Tabela A.1, 3 oleo m/kg891 3 gli m/kg1260 Somando-se as equações (1), (2) e (3), pode-se determinar a pressão no ponto 3 em relação à pressão lida pelo manômetro. 3gli2oleo1arA3 ghghghPP Como o peso do ar pode ser desprezado, 3gli2oleoA3 ghghPP A pressão manométrica no ponto 3 será Pa7,971.26m1. s m 81,9. m kg 1260m5,1. s m 81,9. m kg 891Pa1500P 23233 Substituindo-se na equação (5), B23Bgliatm3 h. s m 81,9. m kg 12600Pa7,971.26ghPP m18,2hB ◄ Deve ser ressaltado que, como foi utilizada a pressão manométrica no ponto 3, foi utilizado a pressão atmosférica manométrica (0 Pa). Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 73 Da mesma maneira, a altura hC pode ser encontrada igualando-se as equações (2) e (4), 3Coleoatm2oleo12 hhgPghPP m1h. s m 81,9. m kg 8910m5,1. s m 81,9. m kg 891Pa1500 C2323 m67,2hC ◄ EQUILÍBRIO DOS CORPOS FLUTUANTES Se um corpo está imerso ou flutua em um fluido, a força que nele atua (em decorrência da pressão do fluido) é chamada de empuxo de flutuação. Seja o objeto mostrado na Fig. 13, imerso em um fluido em repouso. Figura 13 – Corpo Imerso em um Fluido Estático O empuxo vertical no cilindro elementar de volume d é dado por dAPdAPdE 12 dAghPdAghPdE 1atm2atm gddAhhgdE 12 O empuxo total é obtido integrando-se dE, ou seja, ggddEE Princípio de Arquimedes Todo corpo imerso em um fluido em equilíbrio recebe, por parte do fluido, um empuxo vertical, de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume fluido deslocado pelo corpo. É interessante notar que o “peso” de um corpo pode sofrer variações significativas dependendo do meio em que o corpo estiver imerso. Isto ocorre porque, na verdade, o valor sentido por uma pessoa ou medido por uma balança é a força resultante que atua sobre a pessoaou a balança. Assim, se o corpo estiver imerso no ar, o empuxo é muito pequeno, podendo ser desprezado. Se o corpo estiver imerso na água, o empuxo é significativo e o corpo “pesa” menos. Quando um corpo é colocado em um recipiente contendo um fluido, podem acontecer três situações distintas: Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 74 1) o corpo afunda Na situação inicial, a força peso é superior à força de empuxo. fluidocorpo corpofluidocorpocorpo gg EW Na situação final, o corpo atinge o equilíbrio NEW onde N é a reação normal no contato do corpo com o fundo do reservatório 2) o corpo retorna à superfície Na situação inicial, a força peso é inferior à força de empuxo. fluidocorpo corpofluidocorpocorpo gg EW Na situação final, o corpo atinge o equilíbrio gg EW deslocfluidocorpocorpo 3) o corpo permanece onde foi colocado Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 75 fluidocorpo corpofluidocorpocorpo gg EW O princípio de Arquimedes é de particular importância na prática. Entre suas principais aplicações, destacam-se a navegação de superfície fluvial e marítima, o deslocamento de submarinos a uma dada profundidade, a sustentação hidrostática dos aeróstatos (assim chamados os veículos mais leves que o ar, como balões e dirigíveis – os últimos equipados de hélices propulsoras e de sistemas de direção) e os aparelhos de medição como os densímetros (para medição da massa específica), lactômetros (para medição da massa específica do leite) e alcoômetros (para medição do teor alcoólico de vinhos e licores). Exemplo 5 – Empuxo Um bloco de madeira flutua, mantendo dois terços de seu volume embaixo d’ água a 20oC. Quando flutua no óleo, 90% de seu volume fica submerso. Calcule a massa específica da madeira e do óleo. Para a situação de equilíbrio, a força resultante vertical deve ser nula, ou seja, a força de empuxo e o peso devem se anular. Ou seja, tanto para a água como para o óleo, deve ser obedecida a equação WE gg blocomaddeslocfluido ou blocomaddeslocfluido Da Tabela A.1, 3agua m kg 998 Para a água, blocomadblocoagua 3 2 blocomadbloco3 3 2 m kg 998 3mad m kg 665 ◄ Para o óleo, blocomadblocooleo .90,0. bloco3blocooleo m kg 665.90,0. 3oleo m kg 739 ◄ Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 76 FLUIDODINÂMICA A Fluidodinâmica é a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em movimento, ou seja, estuda os escoamentos de fluidos. Na solução de problemas da fluidodinâmica, é importante definir o tipo de análise a ser feita, ou seja, deve-se escolher entre as abordagens utilizando-se um sistema ou um volume de controle As Leis da Mecânica são escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre quando há uma interação entre o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos problemas de Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizando-se a formulação de Volume de Controle. O Teorema de Transporte de Reynolds permite que as leis da Mecânica, escritas utilizando-se a formulação de sistema, sejam transformadas para a formulação de volume de controle, como já visto anteriormente. A EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA MASSA PARA UM VOLUME DE CONTROLE ARBITRÁRIO A equação de conservação da massa já foi definida anteriormente, no entanto, dada a sua importância no estudo da Mecânica dos Fluidos, ela é repetida aqui. 0AdVd t SCVC onde VC d t é a taxa de variação da massa dentro do volume de controle SC AdV é a taxa líquida de fluxo de massa através da superfície de controle, ou vazão mássica através da superfície de controle. Para uma seção de uma superfície de controle de área A, define-se a vazão mássica ou vazão em massa por: A AdVm Para escoamento em regime permanente com um número finito de entradas e saídas, esta equação é dada por 0mm entradasaída Para uma seção de uma superfície de controle de área A, define-se a vazão volumétrica Q por: A AdVQ , a equação de conservação da massa pode ser escrita, para um número finito de entradas e saídas, como 0QQ entradasaída A velocidade do escoamento varia em uma dada seção. Define-se a velocidade média em uma Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 77 seção como sendo a razão entre a vazão volumétrica Q e a área da seção A, ou AdVA 1 A Q V Observa-se, assim, que a vazão volumétrica através da seção pode ser dada por AVQ De maneira análoga, pode-se calcular a vazão mássica através da seção por: AVm A EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA PARA UM VOLUME DE CONTROLE ARBITRÁRIO Como já visto, a Primeira Lei da Termodinâmica para um volume de controle é dada por: SC 2 VC outrosS AdVgz2 VP ude t WWQ Na equação, SW é a taxa de qualquer trabalho de eixo (potência) realizado sobre ou pelo volume de controle, outrosW é a taxa de qualquer trabalho não considerado (como por exemplo um trabalho produzido por forças eletromagnéticas). É importante ressaltar que a dedução da equação está além do escopo desta disciplina. Para maiores detalhes, recomenda-se consultar os livros texto de Mecânica dos Fluidos sugeridos nas referências bibliográficas. A EQUAÇÃO DE BERNOULLI Muitas vezes, deseja-se aplicar a equação de conservação da energia para o escoamento em regime permanente de um fluido incompressível no interior de uma tubulação, com apenas uma entrada e uma saída de massa. Para esta situação, a equação da energia pode ser simplificada. Adotando-se as hipóteses de escoamento em regime permanente, sem outras formas de trabalho realizadas, a equação se reduz a SC 2 S AdVgz2 VP uWQ Chamando a entrada da tubulação de 1 e a saída da tubulação de 2, e considerando que, em uma dada seção, a energia interna u, a pressão P e a distância vertical z não se alteram, a equação pode ser dada por 1A 11 2 1 2A 22 2 2 22 2 211 1 1S dAV2 V dAV 2 V mgz P umgz P uWQ No entanto, sabe-se que, para escoamento incompressível, a vazão mássica se conserva. mmm 21 Assim, Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 78 1A 11 2 1 2A 22 2 2 12 12 12S dAV2 V dAV 2 V mgzgz PP uuWQ Definindo-se o coeficiente de energia cinética de forma que A 2 A 2 VdA 2 V VdA 2 V , pode-se escrever a equação da energia em uma forma mais compacta mgzgz 2V 2 VPP uuWQ 12 2 1 1 2 2 2 12 12S Para escoamento em regime turbulento, é aproximadamente igual à unidade. Para escoamento em regime laminar, = 2. Dividindo-se a equação pela vazão mássica, tem-se 12 2 1 1 2 2 2 12 12 S gzgz 2 V 2 VPP uu m W m Q Reescrevendo-se a equação, m Q uu m W gz 2 VP gz 2 VP 12 S 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 Os termos entre parênteses do lado esquerdo da equação representam a energia mecânica por unidade de massa em cada seção transversal do escoamento. O termo mWS representa a potência de eixo (por unidade de massa) fornecida ou retirada do fluido (hS) e o termo m Q uu 12 representa a conversão irreversível de energia mecânica na seção 1 em energia térmica não desejada e a perda de energia por transferência de calor. Este último termo é denominado Perda de Carga, hLT. A equação pode ser escrita como LTS2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 hhgz 2 VP gz 2 VP É importante lembrar que hS representa a energia de eixo por unidade de massa fornecida ou retirada do fluido. Pela convenção de sinais adotada, esta energia é positiva quando se trata de energia retirada do fluido (como no caso de uma turbina) e negativa quando fornecida ao fluido (como no caso de uma bomba). Para facilitar a utilização da equação de Bernoulli, pode-se definir a energia de uma bomba (por unidade de massa do fluido) por hB e a energia de uma turbina (por unidade de massa do fluido) por hT e atribuir sinais a elas, de acordo com a convenção adotada. A equação pode ser dada por LTBT2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 hhhgz 2 VP gz 2 VP A potência de uma bomba, ou seja, a potência que a bomba fornece ao fluido é dada por: Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 79 BB QhW onde é a massa específica do fluido Q é a vazão volumétrica através da bomba hB é a energia por unidade de massa do fluido fornecida pela bomba. No entanto, a energia disponível para a bomba é diferente da energia transferida pela bomba para o fluido. Uma parte da energia é perdida por fugas de massa e por dissipação por atrito no interior da bomba. A eficiência da bomba é definida então como sendo a razão entre a energia disponível para o fluido e a energia disponível para a bomba, ou seja, a razão entre a potência real da bomba e a sua potência ideal (ou de acionamento), oAcionamentedPotência RealPotência IdealPotência RealPotência b A potência real é a potência que efetivamente chega ao fluido e a potência ideal ou de acionamento de uma bomba é a potência de entrada (normalmente elétrica) da bomba, ou seja, a potência gasta para acioná-la. A unidade de potência, no SI, é o W (J/s). Outras unidades bastante utilizadas são o cavalo- vapor (cv) e o horse power (hp), sendo 1cv = 736W e 1 hp = 745,7W, ou seja, 1hp = 1,014cv. Da mesma maneira, pode-se definir a potência retirada do escoamento por uma turbina: TT QhW onde é a massa específica do fluido Q é a vazão volumétrica através da turbina hT é a energia por unidade de massa do fluido retirada pela turbina. A energia retirada pela turbina é diferente da energia fornecida para um gerador. Uma parte da energia é perdida por fugas de massa e por dissipação por atrito no interior da turbina. A eficiência da turbina é definida então como sendo a razão entre a potência disponível para o gerador (potência de saída) e a potência retirada pela turbina (potência de entrada), ou seja, a razão entre a potência real da turbina e a sua potência ideal, IdealPotência RealPotência T Cada termo da equação de Bernoulli, na forma apresentada, tem dimensões de energia por unidade de massa, ou m2/s2. Muitas vezes, é conveniente representar o nível de energia de um escoamento por meios gráficos. Para isto, é mais conveniente a apresentação da equação de Bernoulli dividida pela aceleração da gravidade, onde cada termo tem dimensões de comprimento, ou carga do fluido em escoamento. g h g h z g2 V g P z g2 V g P LTS 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 ou LTS2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 HHz g2 V g P z g2 V g P Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 80 A EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS IDEAIS Para escoamentos de fluidos incompressíveis para os quais podem ser desprezados os efeitos de atrito (fluidos ideais), tem-se que m Q uu 12 ou hLT = 0 A equação de Bernoulli pode ser dada então por BT2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 hhgz 2 VP gz 2 VP Quando, além disso, não há nenhuma potência de eixo, toda a energia mecânica se conserva. A equação é dada por 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 gz 2 VP gz 2 VP tetanconsHgz 2 VP 2 Equação de Bernoulli para fluidos ideais A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressível em regime permanente é constante. Exemplo 6 – Equação de Bernoulli para fluidos ideais Gasolina a 20oC escoa através do duto mostrado na figura, com uma vazão de 12kg/s. Assumindo comportamento de fluido ideal, calcule a pressão manométrica na seção 1. A equação de Bernoulli estabelece que LTBT 2 2 22 2 2 1 11 1 hhh 2 V gz P 2 V gz P Se forem desprezadas as perdas de carga, hLT = 0. Além disso, como não existe bomba nem turbina no problema, hT = hB = 0. A equação se reduz a 2 V gz P 2 V gz P 22 22 2 2 1 11 1 É necessário conhecer as velocidades do fluido nos pontos 1 e 2. Elas podem ser determinadas através Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 81 da definição da vazão mássica, lembrando que ela deve se conservar para um escoamento em regime permanente. 2211 AVAVm Da Tabela A.1, .s.m/kg10x92,2em/kg680 43 213 m08,04.V.m kg 68012 s/m51,3V1 223 m05,04.V.m kg 68012 s/m99,8V2 Para se determinar o regime de escoamento, é necessário calcular o número de Reynolds em ambas as seções. dV Re Para a menor velocidade, 5 4 3 10x54,6 s.m/kg10x92,2 m08,0.s/m51,3.m/kg680 Re Para a maior velocidade, 6 4 3 10x05,1 s.m/kg10x92,2 m05,0.s/m99,8.m/kg680 Re Em ambas as seções, o escoamento é turbulento. Pode-se considerar, portanto, 121 Se o plano de referência for passado pela seção 1, z1 = 0 e z2 = 12 m. Como a incógnita do problema é a pressão manométrica, pode-se utilizar o valor manométrico da pressão atmosférica no ponto 2, ou seja, zero. 2 99,8 .181,9.12 680 0 2 51,3 .181,9.0 680 P 22man,1 kPa3,103P man,1 ◄ Visualização gráfica da equação de Bernoulli Muitas vezes, é conveniente visualizar a equação de Bernoulli graficamente. Esta visualização é mais facilmente feita se os termos da equação forem escritos com dimensão de energia por unidade de peso. Para fluidos ideais sem trabalho de eixo, a equação de Bernoulli é dada por: 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 z g2 V g P z g2 V gP Os termos individuais da equação de Bernoulli são Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 82 local dinâmica pressão à devida cargaou fluido do peso de unidadepor Cinética Energia : g2 V elevação de cargaou fluido do peso de unidadepor Posição de Energia :z local estática pressão à devida cargaou fluido do peso de unidadepor Pressão de Energia : g P 2 Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecânica total se conserva. A energia total por unidade de peso do fluido é a carga total do escoamento. A linha energética representa a altura de carga total. Conforme mostrado na equação de Bernoulli, a altura da linha energética permanece constante para o escoamento sem atrito, quando nenhum trabalho é realizado sobre ou pelo fluido. A linha piezométrica representa a soma das alturas de carga devidas à elevação e à pressão estática. A diferença entre as alturas da linha energética e da linha piezométrica representa a altura de carga dinâmica (de velocidade). A Figura 14 apresenta uma representação das linhas de carga para o escoamento de um fluido. Figura 14 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento em um Duto Linha Energética: g2 V g P z 2 Linha Piezométrica: g P z Teorema de Torricelli Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superfície livre constante, contendo um fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orifício lateral (Fig. 15). Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 83 Figura 15 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas A aplicação da equação de Bernoulli para fluidos ideais conduz a g2 V z g P g2 V z g P 21 11 1 2 2 22 2 Para escoamento turbulento, assume-se 121 A equação da continuidade estabelece que a vazão volumétrica é constante, ou seja, 2211 VAVAQ Como 21 AA , pode-se considerar 0V1 Como o jato de saída é livre à pressão atmosférica, atm21 PPP . Além disso, hzz 21 Portanto, g2 u h 2 2 ou gh2V2 Teorema de Torricelli: A velocidade média de um líquido jorrando por um orifício através de uma parede delgada é igual à velocidade que teria um corpo em queda livre de uma altura h. A EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS REAIS – PERDA DE CARGA A perda de carga total hLT é dada pela soma das perdas distribuídas, hd, devidas aos efeitos de atrito no escoamento completamente desenvolvido em tubos de seção reta constante, com as perdas localizadas, hL, devidas a entradas, acessórios, mudanças de área e outros. LdLT hhh A equação de Bernoulli é dada, então, por LdBT2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 hhhhgz 2 VP gz 2 VP Perdas de carga distribuídas A perda de carga distribuída é dada por Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 84 2 V D L fh 2 d onde L é a distância percorrida pelo fluido entre as duas seções consideradas D é o diâmetro do tubo V é a velocidade média do fluido f é o fator de atrito. O principal problema consiste então na determinação do fator de atrito. Basicamente, ele depende da rugosidade e do diâmetro D da tubulação, da velocidade média do escoamento V e das propriedades do fluido ( e ). Através de análise dimensional, obtém-se que o fator de atrito é função de dois adimensionais: a rugosidade relativa /D e o número de Reynolds. O adimensional de Reynolds, ou Re, é definido por DVDV Re Como já visto, o número de Reynolds caracteriza o regime de escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, Se o turbulenté escoamento o 4000,Re transiçãode faixa na está escoamento o 4000,Re2300 laminar é escoamento o 2300,Re O fator de atrito depende do regime de escoamento. Para escoamentos laminares, o fator de atrito pode ser calculado por: Re 64 f Para escoamentos turbulentos, a determinação do fator de atrito é mais complicada. A expressão mais largamente utilizada é a de Colebrook 5,05,0 fRe 51,2 7,3 D/ log2 f 1 A expressão anterior é transcendental, ou seja, deve ser resolvida por um procedimento iterativo. No entanto, as calculadoras científicas atuais possuem recursos para resolver estas equações sem a necessidade de iterações manuais. Os valores do fator de atrito, para escoamentos laminares e turbulentos, foram determinados experimentalmente para uma série de valores de Re e de /D e sumarizados em um ábaco (Fig. 16), denominado Ábaco de Moody. Moody apresenta também uma tabela para determinação da rugosidade absoluta em tubos, para alguns materiais comuns de engenharia, em boas condições (Tabela 2). Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 85 Tabela 2 – Rugosidade para Tubos de Materiais Comuns de Engenharia Material Rugosidade (mm) Aço Rebitado 0,9-9 Concreto 0,3-3 Madeira 0,2-0,9 Ferro Fundido 0,26 Ferro Galvanizado 0,15 Ferro Fundido Asfaltado 0,12 Aço Comercial 0,046 Aço Galvanizado 0,06 a 0,20 Trefilado 0,0015 PVC 0,015 Exemplo 7 – Cálculo do fator de atrito – escoamento laminar Óleo SAE 30W a 20oC escoa no interior de um tubo novo de aço comercial de 2 in de diâmetro. Determine o fator de atrito do escoamento, se a velocidade do óleo é de 3 m/s. Para a determinação do fator de atrito, é necessário conhecer o número de Reynolds e a rugosidade relativa do tubo. dV Re Da Tabela A.1, 3m kg 891 s.m kg 29,0 m0508,0in2d 468 s.m/kg29,0 m0508,0.s/m3.m/kg891 Re 3 Como Re < 2300, o escoamento é laminar. O fator de atrito independe da rugosidade relativa do tubo, sendo dado pela expressão 468 64 Re 64 f 137,0f ◄ Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 86 Figura 16 – Ábaco de Moody Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 87 Exemplo 8 – Cálculo do fator de atrito – escoamento turbulento Determine o fator de atrito do escoamento de água a 15oC, para as mesmas condições do exemplo anterior. As propriedades da água a 15oC são 3m kg 999 s.m kg 10x14,1 3 Assim, pode-se calcular o número de Reynolds dV Re 550.133 s.m/kg10x14,1 m0508,0.s/m3.m/kg999 Re 3 3 Como Re > 2300, o escoamento é turbulento. É necessário, portanto, determinar a rugosidade relativa do tubo. Da Tabela 2, a rugosidade absoluta do aço comercial é 0,046 mm. A rugosidade relativa pode ser obtida dividindo-se a rugosidade absoluta pelo diâmetro do tubo. É importante ressaltar que ambas as grandezas devem estar expressas nas mesmas unidades. 0009,0 mm8,50 mm046,0 d Utilizando-seo ábaco de Moody (Fig. 16) ou a equação de Colebrook, tem-se 021,0f ◄ Perdas de carga localizadas Em um sistema real, muitas vezes o escoamento é obrigado a passar por uma série de acessórios, conexões, curvas ou mudanças abruptas de seção e direção. Ao passar por estes obstáculos, o escoamento perde energia e tem sua pressão diminuída. As perdas de carga locais foram determinadas experimentalmente e modeladas segundo duas equações diferentes 2 V Kh 2 L 2 V D L fh 2 e L onde K é o coeficiente de perda local e Le é o comprimento equivalente da tubulação. Para cada tipo de acessório, existe um coeficiente ou comprimento equivalente. A perda de carga localizada total é dada pela soma das perdas de carga localizadas individuais. 2 V D L f 2 V Kh 2 e 2 L A entrada do escoamento em um tubo pode causar uma perda de carga considerável, se for mal projetada. Na Tabela 3, são apresentadas três geometrias básicas de entradas. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 88 Tabela 3 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada e Saída do Escoamento Tipo K 0,78 0,5 r/D 0,02 0,06 >0,015 K 0,28 0,15 0,04 Saída Submersa Toda a energia cinética do fluido é dissipada pela mistura quando o escoamento descarrega de um tubo em um grande reservatório ou câmara (saída submersa). Assim, para uma saída submersa, o coeficiente de perda é igual a , não importando a geometria (Tabela 3). Deve-se lembrar que o coeficiente de energia cinética é determinado pelo regime de escoamento. Para escoamento laminar, = 2,0 e, para escoamento turbulento, = 1,0. Um escoamento pode ainda sofrer uma expansão ou contração abrupta. Para este caso, a Tabela 4 apresenta os coeficientes de perda de carga, em função da razão de áreas AR (razão entre a menor e a maior área da contração ou expansão). Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Contração e Expansão AR = A2 / A1 Kcontração Kexpansão 0 0,5 1 0,2 0,43 0,64 0,25 0,40 0,58 0,4 0,3 0,39 0,6 0,17 0,17 0,8 0,1 0,06 1,0 0 0 Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 89 Para se obter coeficientes de perda de carga correspondentes a valores de AR intermediários entre os apresentados na Tabela 4, deve-se fazer uma interpolação. Exemplo 9 – Determinação do coeficiente de perda de carga em uma expansão abrupta Um tubo de 15 cm de diâmetro (d) tem a sua seção subitamente alterada para 25 cm (D). Determine o coeficiente de perda de carga correspondente a esta expansão. Em primeiro lugar, deve-se determinar a razão de áreas AR, definida como a razão entre a área menor e a área maior. 2 2 2 D d 4/D 4/d A a AR 36,0 25 15 AR 2 Na aplicação de uma interpolação linear, assume-se que o coeficiente de perda de carga varia linearmente entre os extremos encontrados, como observado na figura a seguir. Para uma expansão com AR = 0,2, o valor de k correspondente é 0,64. Para uma expansão com AR = 0,4, o valor de k correspondente é 0,39. Como os triângulos na figura são semelhantes, pode-se dizer que: 4,036,0 39,0k 4,02,0 39,064,0 Assim, k = 0,44 ◄ As perdas decorrentes da variação de área podem ser reduzidas pela instalação de um bocal ou um difusor entre as duas seções de tubo reto. Um bocal é um dispositivo utilizado para a redução gradual da seção do escoamento (Fig. 17). A Tabela 5 apresenta os coeficientes de Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 90 perda de carga para bocais, para diferentes razões de área e para diferentes ângulos . Figura 17 – Bocal Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Redução Suave da Seção Kcontração A2 / A1 10 o 15o - 40o 50o - 60o 90o 120o 150o 180o 0,50 0,05 0,05 0,06 0,12 0,18 0,24 0,26 0,25 0,05 0,04 0,07 0,17 0,27 0,35 0,41 0,10 0,05 0,05 0,08 0,19 0,29 0,37 0,43 As perdas em difusores (expansão gradual da seção do escoamento) dependem de diversas variáveis geométricas e do escoamento. Como um difusor provoca um aumento da pressão estática do escoamento (redução da velocidade média), o coeficiente de perda é comumente apresentado em termos de um coeficiente de recuperação de pressão, CP 2 1 12 P V21 PP C O coeficiente de perda de carga é dado por P2 C AR 1 1K Definindo-se um coeficiente ideal de recuperação de pressão, CPi, como o coeficiente de recuperação que existiria se os efeitos de atrito fossem desprezados, 2Pi AR 1 1C PPi CCK A Figura 18 apresenta os coeficientes de perda de carga para difusores, em função do ângulo total do difusor. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 91 Figura 18 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor Deve ser observado que as perdas de carga são obtidas ao se multiplicar o coeficiente de perda de carga por 2 V 2 . No entanto, em uma redução ou aumento de seção, há duas velocidades diferentes; a da maior e a da menor seção. Para estes casos, sempre deve ser usado o maior valor de velocidade. As perdas de carga em escoamentos através de válvulas e conexões também podem ser escritas em termos de comprimentos equivalentes de tubos retos. Estes valores, para cada um dos acessórios, são mostrados na Tabela 6. Tabela 6 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões Válvulas são dispositivos destinados a estabelecer, controlar e interromper a descarga de fluidos em tubulações. Algumas garantem a segurança da instalação e outras permitem desmontagens para reparos ou substituições de elementos da instalação. Existe uma grande variedade de tipos de válvulas, cuja escolha depende da natureza da operação a realizar, das propriedades físicas e químicas do fluido considerado, da pressão e da temperatura do escoamento e da forma de acionamento pretendida. As válvulas de gaveta (Figuras 19a e 20a) são as válvulas mais empregadas para escoamento de líquidos. Possuem custo relativamente reduzido e permitem a redução da vazão do Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 92 escoamento através do volante situado na parte superior do corpo da válvula. Quando o volante é girado, a válvula desliza para baixo na seção (Figura 20a). As válvulas de esfera (Figura 19b) são válvulas de uso geral, de fechamento rápido, muito usadas para ar comprimido, vácuo, vapor, gases e líquidos. O controle do fluxo é feito por meio de uma esfera, possuindo uma passagem central e localizada no corpo da válvula. O comando é, em geral, manual, com o auxílio de uma alavanca. Estas válvulas não se aplicam a casos em que se pretende variar a vazão, mas apenas abrir ou fechar totalmente a passagem do fluido. (a) Válvula Gaveta (b) Válvula de Esfera Figura 19 – Exemplos de Válvulas Figura 20 – Geometrias de Válvulas ComerciaisTípicas: (a) Válvula Gaveta; (b) Válvula Globo; (c) Válvula Angular; (d) Válvula de Retenção Basculante; (e) Válvula tipo Disco As válvulas globo (Fig. 20b) possuem uma haste parcialmente rosqueada em cuja extremidade existe um alargamento, tampão ou disco para controlar a passagem do fluido por um orifício. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 93 Servem para regular a vazão, pois podem trabalhar com o tampão da vedação do orifício em qualquer posição, embora acarretem grandes perdas de carga, mesmo com abertura máxima. As válvulas angulares (Fig. 20c) são semelhantes às válvulas globo, porém trabalham com uma mudança de seção de 90. As válvulas de retenção (Fig. 20d) permitem o escoamento em um só sentido. Quando há a tendência de inversão no sentido do escoamento, fecham automaticamente pela diferença de pressão provocada. As válvulas tipo disco (Fig. 20e) fecham a seção com uma comporta circular. Existe um número muito grande de dados experimentais para as perdas de carga localizadas. Os valores apresentados constituem uma compilação dos dados da literatura, proposta por Fox e McDonald (2001). Eles devem ser considerados como dados representativos para algumas situações comumente encontradas. Para válvulas, o projeto irá variar significativamente, dependendo do fabricante. Sempre que possível, os valores fornecidos pelos fabricantes deverão ser utilizados para a obtenção de dados mais precisos. Além disso, como as perdas de carga introduzidas por acessórios e válvulas irão variar consideravelmente, dependendo dos cuidados tomados durante a fabricação da tubulação. Rebarbas do corte de trechos de tubos, por exemplo, poderão causar obstruções locais, com aumento considerável das perdas. Exemplo 10 – Equação de Bernoulli para fluidos reais – perdas de carga Uma tubulação de aço comercial leva 0,15 m3/s de água a 20˚C entre dois reservatórios abertos, como mostrado na figura. Sabendo que o diâmetro da tubulação é reduzido de 28 cm para 14 cm na seção CD (com = 90o), calcule o desnível entre os pontos B e G. Para se resolver o problema, deve-se utilizar a equação de Bernoulli, LTBT 2 2 2 2 2 1 1 1 hhh 2 V gz P 2 V gz P Considerando-se os pontos 1 e 2 na superfície livre do primeiro reservatório e na saída da tubulação, podem ser feitas as seguintes simplificações atm21 PPP 0V1 10hz1 0z2 0hh BT A equação se reduz a dL 2 2 hh 2 V 10hg (2) Como existem dois diâmetros diferentes ao longo da tubulação, devem ser consideradas duas perdas Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 94 de carga distribuídas, uma ao longo da tubulação BC e outra ao longo da tubulação DG. As perdas de carga localizadas que devem ser consideradas são as perdas devido à entrada do escoamento na tubulação (ponto B), à redução gradual de seção (CD) e ao cotovelo de 90o (EF). Indicando as propriedades na seção BC pelo subscrito a e, na seção DG, pelo subscrito b, as perdas de carga são dadas por 2 V d L f 2 V d L fh 2 b b b b 2 a a a ad observando-se que m40La m15hLb 2 V d L f 2 V K 2 V Kh 2 b ovelocot e b 2 b redução 2 a entradaL Deve ser observado que a perda de carga na redução foi dada em função da velocidade da seção DG (maior valor de velocidade). Da Tabela 3, Kentrada = 0,5 (Borda viva). Da Tabela 4, para uma razão de áreas de 0,25 e um ângulo de 90o, Kredução = 0,17 Da Tabela 6, ovelocot e d L = 30 A equação é dada, então, por 2 V d L f 2 V K 2 V K 2 V d L f 2 V d L f 2 V 10hg 2 b ovelocot e b 2 b redução 2 a entrada 2 b b b b 2 a a a a 2 2 ou. lembrando que 2b VV 10 g2 V d L fK d L f1 g2 V K d L fh 2 b ovelocot e bredução b b b 2 a entrada a a a (1) As velocidades devem ser calculadas a partir da vazão volumétrica, que se conserva através de toda a tubulação (a água pode ser considerada incompressível). bbaa AVA.VQ 4 m28,0 .V s m 15,0 2 a 3 s/m44,2Va As propriedades da água a 20oC podem ser obtidas na Tabela A.2. 3m kg 998 s.m kg 10x0,1 3 5 3 3 a 10x81,6s.m/kg10x0,1 m28,0.s/m44,2.m/kg998 Re Da Tabela 2, a rugosidade absoluta do aço comercial é 0,046 mm. A rugosidade relativa na seção BC é dada, portanto, por 00016,0 mm280 mm046,0 d Utilizando-se o ábaco de Moody (Fig. 16) ou a equação de Colebrook, tem-se Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 95 0147,0fa Para a seção BG, 4 m14,0 .V s m 15,0 2 b 3 s/m74,9Vb 6 3 3 b 10x36,1s.m/kg10x0,1 m14,0.s/m74,9.m/kg998 Re 00033,0 mm140 mm046,0 d 0157,0fb Substituindo-se os valores encontrados na equação (1), tem-se m10 s/m81,9.2 s/m74,9 30.0157,017,0 m14,0 m15h 0157,01 s/m81,9.2 s/m44,2 5,0 m28,0 m40 0147,0h 2 2 2 2 m98,14h ◄ Exemplo 11 –Potência de uma bomba Água para resfriamento de perfuratrizes é bombeada de um reservatório para um canteiro de obras usando o sistema de tubulação mostrado. A tubulação tem 10cm de diâmetro e é feita de ferro fundido. Entre a saída da bomba e o canteiro de obras, existem 15 conexões, com K = 1 (cada) e a água percorre um comprimento total de 1 km. A vazão deve ser de 40 litros/s e a água desemboca para a atmosfera. Estime a potência de acionamento requerida pela bomba se a sua eficiência é de 70%. Despreze as perdas de carga nas curvas. Considere as propriedades da água a 15˚C. A potência de acionamento da bomba pode ser calculada pela expressão B B Qh W (1) onde hB é a energia, por unidade de peso, que a bomba fornece para o fluido e é a eficiência da bomba. hB pode ser calculada pela equação de Bernoulli, LdBT 2 2 22 2 2 1 11 1 hhhh 2 V gz P 2 V gz P Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 96 Se os pontos 1 e 2 forem definidos como sendo, respectivamente, a superfície livre do reservatório e o canteiro de obras, podem ser feitas as seguintes simplificações atm21 PPP 0V1 0z1 m120z2 A equação se reduz a Ld 2 2 22B hh2 V gzh (2) onde hL e hd representam, respectivamente, as perdas de carga localizadas e distribuídas. No problema em questão, deve ser considerada apenas uma perda de carga distribuída, ao longo de 1 km de extensão da tubulação e perdas de carga localizadas devido à entrada do escoamento na tubulação, à válvula gaveta e às conexões. As perdas de carga são dadas por 2 V d L fh 2 2 d 2 V K15 2 V d L f 2 V Kh 2 2 con 2 2 válvula e 2 2 entradaL Da Tabela 3, Kentrada = 0,78 (Entrada Reentrante). Da Tabela 6, gavetaválvula e d L = 8 2 V f.878,15 2 V 1.15f.878,0 2 V K15 d L fKh 2 2 2 2 2 2 con válvula e entradaL A equação é dada, então, por 2 V f.878,15 2 V d L f 2 V gzh 2 2 2 2 2 222B É necessário calcular a velocidade do fluido no ponto 2 e o fator de atrito do escoamento. A velocidade é calculada através da vazão volumétrica, 2 2 2 A.VQ 4 m10,0 .V s m 040,0 2 2 2 3 s/m09,5V2 Para se determinar o fator de atrito, é necessário calcular o número de Reynolds e a rugosidade relativa do tubo. As propriedades da água a 15oC podem ser obtidas na Tabela A.2. 3m kg 999 s.m kg 10x14,1 3 5 3 3 10x46,4 s.m/kg10x14,1 m10,0.s/m09,5.m/kg999 Re Como Re > 2300, o escoamento é turbulento. Portanto, 12 . Da Tabela 2, a rugosidade absoluta do ferro fundido é 0,26 mm. A rugosidade relativa é dada por 0026,0 mm100 mm26,0 d Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 97 Utilizando-se o ábaco de Moody (Fig. 16) ou a equação de Colebrook, tem-se 025,0f A energia por unidade de peso fornecida pela bomba é dada pela equação (2) 2 s/m09,5 025,0.878,15 2 s/m09,5 m10,0 m1000 025,0 2 s/m09,5 .1m120.s/m81,9h 222 2 B 2 2 B s m 52,3458h A potência de acionamento da bomba é então calculada através da expressão (1) 70,0 s/m040,0s/m52,3458.m/kg999 W 3223 B hp265kW197WB ◄ MEDIDORES DE VAZÃO Freqüentemente, é necessário medir a vazão que passa por uma tubulação. Existem diferentes dispositivos capazes de efetuar esta medição, divididos principalmente em duas classes: instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos mecânicos medem a vazão real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade de fluido. Os dispositivos de perda de carga obstruem o escoamento, causando a aceleração de uma corrente fluida e a queda da pressão do escoamento, como mostrado na Fig. 21 para um bocal genérico. Figura 21 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formação de uma zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A corrente principal do escoamento continua a se acelerar após a garganta, formando uma vena contracta na seção 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seção do tubo. Na vena contracta, a área de escoamento é mínima e a velocidade é máxima. A vazão teórica pode ser relacionada ao gradiente de pressão através da aplicação da equação de Bernoulli para fluidos ideais e da equação de conservação da massa. A equação de Bernoulli estabelece que 2 V gz P 2 V gz P 22 22 2 2 1 11 1 Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 98 Como z1 = z2, a equação se reduz a 2 VP 2 VP 22 2 2 2 1 1 1 Assim, considerando-se escoamento turbulento, 121 e 212221 VV2PP 2 2 2 1 2 2 21 V V 1 2 V PP As velocidades 21 VeV podem ser relacionadas através da equação de conservação da massa, 2211 AVAV ou 1 2 2 1 A A V V Assim, 2 1 2 2 2 21 A A 1 2 V PP A velocidade teórica (ideal) 2V é, portanto, dada por 212 21 2 AA1 PP2 V A vazão volumétrica teórica é dada, portanto, por 22AVQ 2212 21 A AA1 PP2 Q No entanto, diversos fatores limitam a utilidade da equação anterior para o cálculo da vazão através do medidor. A área do escoamento real na seção 2 é desconhecida quando a vena contracta é pronunciada. Em geral, os perfis de velocidade não podem ser considerados uniformes na seção. Os efeitos de atrito podem se tornar importantes quando os contornos do medidor são abruptos. Finalmente, a localização das tomadas de pressão influencia a leitura da pressão diferencial. A equação teórica é ajustada pela definição de um coeficiente de descarga empírico C. t21t 21 real CA AA1 PP2 Q Deve ser observado que no cálculo da vazão real a área que deve ser utilizada é a área da garganta, e não a área do escoamento na seção 2. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 99 São apresentados na literatura valores para os coeficientes dos medidores de vazão, medidos com distribuições de velocidades turbulentas, completamente desenvolvidas na entrada do medidor. O Tubo de Venturi O tubo de Venturi consiste em uma redução da seção do escoamento, provocando um aumento de velocidade e uma queda na pressão, como mostrado na Fig. 22. Em geral, os medidores são fundidos e usinados com pequenas tolerâncias, de modo a reproduzir o desempenho de projeto. A perda de carga total é baixa. Dados experimentais mostram que os coeficientes de descarga variam de 0,980 a 0,995 para altos números de Reynolds (maiores que 2x105). Por isso, C = 0,99 pode ser usado para medir a vazão em massa com cerca de 1% de erro. Para menores números de Reynolds, a literatura dos fabricantes deve ser consultada. Figura 22 – Tubo de Venturi A Placa de Orifício A placa de orifício é uma placa fina que pode ser colocada entre flanges. Como a sua geometria é simples, é de baixo custo e de fácil instalação e reposição. As principais desvantagens são a sua capacidade limitada e a elevada perda de carga imposta ao sistema. As tomadas de pressão podem ser posicionadas em diversos locais. Como a localização das tomadas influencia o coeficiente de descarga, valores consistentes devem ser selecionados de manuais. Figura 23 – Placa de Orifício A equação de correlação recomendada para um orifício concêntrico com tomadas de canto (Fig. 23) é 5,2 75,0 1D 81,2 1D Dt Re 71,91 1D Dt 184,0 1D Dt 0312,05959,0C Equações de correlação similares estão disponíveis para placas de orifício com tomadas de flange e com tomadas de pressão com D e D/2. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 100 Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 101 LISTA DE EXERCÍCIOS – MECÂNICA DOS FLUIDOS 1) Qual a unidade de viscosidade absoluta no Sistema Gravitacional Britânico? Transforme para unidades do Sistema Internacional. 2) Um cubo oco, de aresta a = 2 cm, é totalmente preenchido com mercúrio a 20oC. Utilizando os valores dados no Apêndice A, determine: a) A densidade relativa; b) o volume específico; c) o peso específico; d) a viscosidade cinemática do mercúrio e e) a pressão exercida pelo mercúrio na face inferior do cubo. 3) O óleo lubrificante SAE 70, a 55oC, tem um peso específico de 55lbf/ft3 e uma viscosidade absoluta de 0,0088slug/(ft.s). Em unidades do SI, quais são: a) A sua viscosidade e b) a sua viscosidade cinemática ? 4) Uma placa infinita move-se sobre outra igual e estacionária. Entre ambas há uma camada líquida de espessura h = 0,3 mm. Admitindo que a distribuição das velocidades seja linear com Vmax = 0,3m/s, que a viscosidade seja 0,65 centipoise e que a densidade relativa valha 0,88,calcule: (a) A viscosidade absoluta do líquido em slug/ft.s, (b) A viscosidade cinemática do líquido em m2/s, (c) A tensão tangencial na placa superior em lbf/ft2 e (d) A tensão tangencial na placa inferior em Pa. Exercício 4 5) Um bloco cúbico uniforme de aresta a = 10 cm é puxado sobre uma superfície horizontal sobre a qual há uma fina película de óleo com viscosidade μ = 0,3 N.s/m2. A película de óleo tem espessura h = 1 mm, como mostrado na figura. Supondo que a distribuição de velocidades na película de óleo seja linear, determine qual deve ser a força necessária para puxar o bloco com velocidade constante V = 0,8 m/s. Exercício 5 6) A distribuição de velocidade para o escoamento laminar completamente desenvolvido Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 102 entre placas paralelas é dada por 2 max h y2 1 u u onde h é a distância separando as placas. A origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 20°C, com maxu = 0,10 m/s e h = 0,25 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior. 7) Petróleo bruto, com densidade relativa SG = 0,85 e viscosidade = 2,15x10-3 lbf.s/ft2, escoa em regime permanente sobre uma superfície inclinada de 30° para baixo em relação à horizontal, em uma película de espessura h = 0,12 in. O perfil de velocidades é dado por sen 2 y hy g u 2 A coordenada x está ao longo da superfície e y é normal a ela. Determine a tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície. 8) Um bloco cúbico pesando 45 N e com aresta de 25 cm é puxado para cima sobre uma superfície inclinada sobre a qual há uma fina película de óleo ( 2m/s.N037,0 ). A velocidade do bloco é de 0,6 m/s e a película de óleo tem 0,001 in de espessura. A superfície está inclinada de 25° em relação à horizontal. Supondo que a distribuição de velocidades na película de óleo seja linear, determine: a) A tensão de cisalhamento sobre a superfície inferior do bloco; b) A força de atrito entre o bloco e a película de óleo; c) A força necessária para puxar o bloco. 9) Um bloco é puxado para cima sobre uma superfície inclinada 25 sobre a qual há uma fina película de óleo, de espessura h = 0,01 in. Para que o bloco se movimente para cima com uma velocidade constante de 1,5 m/s, é necessária uma força F = 130 N. A densidade relativa do material do bloco é SGb = 5,3 e suas dimensões são a = 12 cm, b = 13 cm e c = 15 cm (perpendicular ao plano da folha). Sabendo que a densidade relativa do óleo é 0,85, determine sua viscosidade cinemática. Considere que o perfil de velocidades na película de óleo é linear. Exercício 9 10) Um bloco cúbico de aresta a = 20 cm desliza para baixo sobre uma superfície inclinada sobre a qual há uma fina película de óleo (viscosidade absoluta de 0,3 N.s/m2), de espessura h = 0,01 in. A superfície está inclinada de θ = 20˚ em relação à horizontal, como mostra a figura. Suponha que o perfil de velocidades no óleo é linear. Determine qual deve ser a densidade absoluta do material do bloco para que ele se desloque para baixo com velocidade constante U = 1,2 m/s. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 103 Exercício 10 11) Água a 20oC escoa no interior de um tubo de 20cm de diâmetro com uma velocidade de 1,0 m/s. Calcule o número de Reynolds característico do escoamento. 12) Seja o escoamento laminar em um duto circular. A velocidade u em um ponto qualquer, longe da região de entrada, é dada por 2r25612u , Determine: a) a velocidade máxima do escoamento; b) o raio do duto; c) a velocidade do fluido nos pontos r = 0, r = 0,20 m e r = 0,40 m. d) Sabendo que a velocidade média do escoamento é igual à metade da velocidade máxima, determine qual deve ser a mínima viscosidade cinemática do fluido para garantir que o escoamento seja laminar. 13) O campo de velocidades de um escoamento é dado por kwjviuV ˆˆˆ , onde 54/3,24 ywyxvyxu . Determine se o escoamento é uni, bi ou tridimensional, permanente ou transiente e calcule a velocidade do elemento fluido localizado no ponto P = (0,-1,2). 14) Para os campos de velocidade dados a seguir, determine se o escoamento é uni, bi ou tridimensional e permanente ou transiente. a e b são constantes. a) iaeV bx ˆ b) jeaxV bt ˆ2 c) jbyitaxV ˆˆ 2 15) Para os campos de velocidade dados a seguir, determine se o escoamento é uni, bi ou tridimensional e permanente ou transiente. a) u = 2x + 3y v = 3z b) u = 2x + 3y v = 3zt c) u = 3x2 v = 2xyt w = 2y2 16) Supondo que a água do mar seja incompressível , calcule a diferença de pressão entre um ponto na superfície livre e um ponto localizado na profundidade de 4km. O peso específico médio da água salgada é 10.050N/m3. 17) Calcule a pressão absoluta no fundo de um reservatório aberto de 2m de altura contendo: a) água b) mercúrio 18) Um tanque fechado contém mercúrio, água e óleo SAE 10W30, nas condições indicadas na figura. O peso do ar acima do óleo é desprezível. Sabendo que a pressão no fundo do tanque é 200 kPa, determine a pressão na superfície do óleo. Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 104 Exercício 18 Exercício 19 19) O tanque mostrado na figura está aberto para a atmosfera. Se a pressão absoluta no fundo do tanque é 242 kPa, determine a massa específica do fluido X. O óleo é SAE 50W. 20) Determine a pressão no ponto “o” do mecanismo mostrado na figura, desprezando o atrito entre o bloco (de massa m = 100kg) e a parede. O óleo utilizado é SAE 30W. Exercício 20 Exercício 21 21) A carga de 500 kg do macaco hidráulico mostrado na figura deve ser elevada despejando- se óleo (SG = 0,78) dentro de um tubo fino. Determine a altura h necessária para que o peso comece a ser levantado. Ambos os lados do macaco hidráulico estão abertos para a atmosfera. Considere que os tubos têm seção circular. 22) Na figura, um líquido manométrico tem densidade relativa 0,90 e em A e B existe água. Sendo h1 = 0,40m, h2 = 0,30m e h3 = 0,80m, determine a diferença de pressão entre A e B. Exercício 22 23) Um manômetro é constituído por um tubo de vidro de diâmetro interno uniforme, D = 6,35 mm, como mostrado na figura. O tubo em U formado é preenchido parcialmente com água. Em seguida, um volume de 3,25 cm3 de um óleo (com densidade relativa de 0,827) é adicionado no lado esquerdo do tubo. Calcule a altura de equilíbrio H quando ambas as Document shared on www.docsity.com Downloaded by: junao-xxx (lucianoo.junao@gmail.com) https://www.docsity.com/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia Mecânica dos Fluidos 105 pernas do tubo em U estão abertas para a atmosfera. Exercício 23 Exercício 24 24) Um manômetro é constituído por um tubo de vidro de diâmetro interno D = 1 in, como mostrado na figura. O tubo em U formado é preenchido parcialmente com água. Um volume de óleo (SG = 0,8) é adicionado no lado direito do tubo. Quando ambas as pernas do tubo estão abertas para a atmosfera, H = 2,5 cm. Determine o volume de óleo adicionado. 25) O manômetro de tubo em U mostrado na figura contém água e querosene 3m/kg820Considere . Com
Compartilhar