FTO-FTS-FRF-6

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Recapitulando:
Solução Geral de uma Equação Diferencial
● Solução da equação homogênea
● Solução da equação particular
● Solução completa
● Função de Transferência Operacional
● Função de Transferência Senoidal
● Função de Resposta em Freqüência
Método alternativo
● Uma alternativa é usar o conceito de função de
transferência senoidal.
● Baseia-se em funções de números complexos.
● Vale para excitações harmônicas.
● Calcula a solução particular (regime permanente)
● Na verdade, são métodos similares, porém as soluções
são mais facilmente encontradas.
Função de Transferência Operacional
A equação geral simplificada pode ser
escrita:
onde L(p) é definida como
Função de Transferência Operacional
y t
u t
L p
N p
D p
( )
( )
( )
( )
( )
= =
upNypD )()( =
Função de Transferência Senoidal
Para uma excitação exponencial
a solução é também exponencial
onde substituiu-se p por jω e portanto
definida como Função de transferência senoidal
tjAetu ω=)(
tjAejLty ωω)()( =
)()()( ωωω Φ= MjL
Função de resposta em freqüência
● Considerando a freqüência angular ω variando,
pode-se descrever o comportamento de um sistema
através de sua FTS, através de seus diagramas
respectivos da função módulo e da função fase.
● A função de transferência senoidal onde a variável
livre é a freqüência é também conhecida como
Função de Resposta em Freqüência ou FRF.
Lembrando Função Complexa
imagreal jGGsG +=)(
função de uma
variável complexa
função
complexa
apresenta parte real e
parte imaginária
ωj
σ
1σ
1ωj 1p
θ
r
ωj
σrealG
imagjG
( )realimag GGatan
G
( )sG
Pólos e Zeros
Define-se como pólos as raízes do polinômio característico, ou seja
do denominador da função de transferência operacional. Este é
um ponto singular da FTO.
Define-se como zeros as raízes do numerador da função de
transferência operacional. Corresponde a um ponto nulo da
FTO.
O comportamento do sistema dependerá portanto da posição dos
pólos e zeros no plano complexo.
Matlab:FTO-FTS
● % Surperficie de resposta a uma excitaçao complexa
● % Sistema: (s)/(s^2+2*zeta*wn+wn^2)
● % Resposta p/ s=sig+j*omg
● wn=1;
● zeta=0.5;
● gw=linspace(-4,4,50); % ou gw=-4:8/49:4;
● gs=linspace(0,-1,50);
● [sig omg]=meshgrid(gs,gw);
● dp=[1 2*zeta*wn wn];
● np=[1 0];
● vd=polyval(dp,sig+j*omg);
● vn=polyval(np,sig+j*omg);
● z=abs(vn./vd);
● figure(1);surf(sig,omg,z);shading interp; view([1,-1,1])
● figure(2);surf(sig,omg,z);shading interp; view([0,0,1])
FTO-FTS
jω
σ
ω
|G|
Funções módulo e fase
● A função módulo e a função fase são representadas pelos seus
diagramas:
1 0
- 1
1 0
0
1 0
1
0
0 . 5
1
1 . 5
D ia g r a m a d a fu n ç ã o m ó d u lo
1 0
- 1
1 0
0
1 0
1
- 2 0 0
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
D ia g r a m a d a fu n ç ã o fa s e
F r e q ü ê n c ia a n g u la r ( r a d / s )
Como resultado
Para uma dada freqüência, a saída é o produto de dois
complexos:
– a entrada
– a FTS
tjAejLty ωω)()( =
( ) ( ) ( ) *
( ) ( ( ) * ) ( ( ))
( ) ( ( ) * ) sin( ( ))
y t M A t
y t M A t
y t M A t
ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
= Φ
= + Φ
= + Φ
Função de Transferência Operacional
Exemplo MMA
Para o sistema ao lado,
m = 1Kg,
 k = 2 N/m e
 c = 0.5 N s/m.
A excitação é senoidal
c/ freq. angular 2 rad/s
e amplitude de 10 N.
m
k c
u t( )
y
Solução da Equação Particular
m
k c
u t( )
y
d y t
dt
c
m
dy t
dt
k
m
y t
m
u t
2
2
1( ) ( )
( ) ( )+ + =
L p m
p
c
m
p
k
m
( ) =
+ +
1
2
L j m
k
m
j
c
m
( )
( ) ( )
ω
ω ω
=
− +
1
2
M m
k
m
c
m
( )
( ) ( )
ω
ω ω
=
− +
1
2 2 2
Φ ( ) arctan ( )ω ω
ω
= −
−
c
k m 2
Solução da Equação Particular
)]arctan(2sen[
)()(
1
)( 2
222 ω
ω
ωω mk
c
tA
m
c
m
k
mty
−
−
+−
=
0 1 2 3 4 5
-1 0
-5
0
5
1 0
R e s p o s ta d e u m s is te m a M M A
A
m
pl
itu
de
 (
m
)
Te m p o (s )
)68,22sen(47,4)( −= tty
Diagrama de blocos
O diagrama de blocos respectivo é:
�
-
�
k/m
y
c/m
u +
1/m
-
∫ ∫
Exemplo 2.2
Desenhar os diagramas
das funções módulo e
fase do exemplo
MMA.
● m=1;
● c=0.5;
● k=2;
● dp=[1 c/m k/m];
● np=1/m;
● w=logspace(-1,1,100);
● [mod fase]=bode(np,dp,w);
● subplot(211)
● semilogx(w,mod,’.’)
● title('Diagrama da função módulo')
● subplot(212)
● semilogx(w,fase,'.')
● title('Diagrama da função fase')
● xlabel('Freqüência angular (rad/s)')
Encontrar a resposta forçada p/ o prob. anterior
● m=1;
● c=0.5;
● k=2;
● w=2;
● A=10;
● t=0:0.1:5;
● u=A*sin(w*t);
Exemplo 2.3
● Ljw=(1/m)/((k/m-w^2)+j*(w*c/m));
● G=abs(Ljw); % Ganho
● Fi=angle(Ljw); % Fase
● y=G*A*sin(w*t+Fi);
● figure(1), plot(t,u,t,y), grid
● title(’Resposta de um sistema MMA’)
● ylabel(’Amplitude (m)’)
● xlabel(’Tempo (s)’)
Exercício Matlab
● Implementar o diagrama de blocos anterior usando o
Simulink e verificar a resposta no tempo encontrada.
● Traçar os diagramas de módulo e fase do exemplo anterior.
● Achar a resposta no tempo p/ uma freqüência angular de
1,4 rad/s e CI(s) y(0)=10 dy/dt(0)=0
● Relacionar os resultados em módulo e fase no tempo com
os diagramas em freqüência.
● Variar o coeficiente de amortecimento diretamente no DB
e observar os seus efeitos.
● Repetir para a constante de mola.
Diagrama de blocos do Simulink Resultado da simulação com CI