Eletrônica de potencia Aula 03 - Revisão de potências e harmônicos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
EEN502.1
FUNDAMENTOS DE 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA
AULA 03 – POTÊNCIA E HARMÔNICOS
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POTÊNCIA
Prof. Robson Bauwelz Gonzatti 2
• A potência instantânea para um dispositivo 
qualquer é calculada pela tensão aplicada 
nele e pela corrente que por ele circula.
• Esta relação é válida para qualquer dispositivo 
ou circuito.
𝑝 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑖(𝑡)
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DEFINIÇÕES DE POTÊNCIA ATIVA E 
REATIVA 
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𝑣(𝑡) = 2𝑉𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝑖(𝑡) = 2𝐼𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜙)
𝑝 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑖(𝑡)
• Considerando um sistema em que:
• A potência instantânea será:
𝑝 𝑡 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠 𝜙 1 − cos(2𝜔𝑡) − 𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠𝑒𝑛(2𝜔𝑡)
1 - Potência Ativa (P) 2 - Potência Reativa (Q)
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POTÊNCIA INSTANTÂNEA EM UM 
CIRCUITO CA RESISTIVO
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POTÊNCIA EM CIRCUITOS LINEARES
COM FONTE SENOIDAL
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• Potência Aparente:
• Fator de Potência:
onde Φ é o ângulo de fase entre os sinais de 
tensão e corrente.
𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠
𝐹𝑃 =
𝑃
𝑆
=
𝑃
𝑉𝑅𝑀𝑆𝐼𝑅𝑀𝑆
= cos(𝜙)
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POTÊNCIA EM CIRCUITOS LINEARES
COM FONTE SENOIDAL
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• É importante observar que o fator de 
potência apresentado até aqui é um 
caso especial para circuitos lineares com 
fonte CA senoidais e não se aplica para 
tensões e correntes não senoidais!
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POTÊNCIA EM CIRCUITOS NÃO
LINEARES
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• Qual o fator de potência do circuito com 
estas ondas de tensão em corrente?

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POTÊNCIA EM CIRCUITOS NÃO
LINEARES
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• Um erro comum cometido nos cálculos de 
potência é o de aplicar algumas relações 
especiais para ondas senoidais em formas de 
ondas que não são senoides.
• As séries de Fourier podem ser usadas para 
descrever formas de ondas periódicas não 
senoidais em termos de uma série de 
senoides. As relações de potências para estes 
circuitos podem ser expressas em termos das 
componentes da série de Fourier. 
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SÉRIE DE FOURIER
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• A série de Fourier para uma função periódica f(t) pode 
ser expressa em forma trigonométrica como
    
 
 












2/
2/
0
2/
2/
0
2/
2/
0
1
000
)(
2
cos)(
2
)(
1
cos)(
T
T
n
T
T
n
T
T
n
nn
dttnsentf
T
b
dttntf
T
a
dttf
T
a
onde
tnsenbtnaatf



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SÉRIE DE FOURIER
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• Combinando senos e cossenos de mesma 
frequência, temos uma expressão alternativa 
a série de Fourier:
 







 






n
n
nnnn
n
nn
a
b
tgebaC
onde
tnCatf
122
1
00 cos)(

  














n
n
nnnn
n
nn
b
a
tgebaC
onde
tnsenCatf
122
1
00)(


ou
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SÉRIE DE FOURIER
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• O termo a0 é uma constante que é o valor 
médio de f(t) e representa uma tensão ou 
corrente CC em aplicações elétricas. 
• O coeficiente C1 é a amplitude do termo da 
frequência fundamental ω0. 
• Os coeficientes C2, C3, ... são as amplitudes 
das harmônicas que têm frequências 2ω0, 
3ω0, ... 
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SÉRIE DE FOURIER
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• Série de Fourier para uma onda quadrada
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SÉRIE DE FOURIER
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• Série de Fourier para uma onda quadrada
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HARMÔNICAS
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Componentes harmônicas da corrente de um retificador monofásico com carga RL
𝐼𝑠1 =
2
𝜋
2𝐼𝑂 = 0,9𝐼𝑂
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SÉRIE DE FOURIER
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• O valor RMS de f(t) pode também ser 
calculado utilizando a série de Fourier:
• O valor RMS de uma corrente alternada pode 
ser calculado utilizando as harmônicas:
𝐹𝑟𝑚𝑠 = 
𝑛=0
∞
𝐹𝑛,𝑟𝑚𝑠
2 = 𝑎0
2 + 
𝑛=1
∞
𝐶𝑛
2
2
𝐼𝑟𝑚𝑠 = 
𝑛=1
∞
𝐼𝑛,𝑟𝑚𝑠
2 = 𝐼1,𝑟𝑚𝑠
2 + 𝐼2,𝑟𝑚𝑠
2 + 𝐼3,𝑟𝑚𝑠
2 +⋯
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DISTORÇÃO HARMÔNICA TOTAL (THD)
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• A Distorção Harmônica Total (DHT) ou THD 
(Total Harmonic Distortion) é definida como:
𝑇𝐻𝐷 =
 𝑛≠1
∞ 𝐼𝑛,𝑟𝑚𝑠
2
𝐼1,𝑟𝑚𝑠
2 =
 𝑛≠1
∞ 𝐼𝑛,𝑟𝑚𝑠
2
𝐼1,𝑟𝑚𝑠
𝑇𝐻𝐷 =
𝐼𝑟𝑚𝑠
2 − 𝐼1,𝑟𝑚𝑠
2
𝐼1,𝑟𝑚𝑠
2
ou
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EXEMPLO 1
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• Para o retificador a seguir, com VS=127 V, L = 200 mH 
e R = 10 Ω calcular:
a. Valor RMS da corrente da fonte (Is) utilizando 
suas componentes harmônicas.
b. Calcular o THD da corrente Is.
R
D1
D2
D3
D4
Vs
+ -
IR
L
Is1 Is3 Is5 Is7 Is9 Is11 Is13
10,1 2,96 2,0 1,2 1,09 0,91 0,7
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POTÊNCIA EM CIRCUITOS NÃO
LINEARES
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• Considerando que:
• A potência aparente será dada por:
• Considere que
𝑣(𝑡) = 
𝑛=1
∞
2𝑉𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔0𝑡 + 𝛾𝑛) 𝑖(𝑡) = 
𝑛=1
∞
2𝐼𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔0𝑡 + 𝜃𝑛)
𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠 = 𝑉1
2 + 𝑉2
2 +⋯ ∙ 𝐼1
2 + 𝐼2
2 +⋯
𝜙𝑛 = 𝛾𝑛 − 𝜃𝑛
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POTÊNCIA EM CIRCUITOS NÃO
LINEARES
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𝑆2 = 𝑉1
2 + 𝑉2
2 +⋯ ∙ 𝐼1
2 + 𝐼2
2 +⋯
𝑆2 = 𝑉1
2𝐼1
2 + 𝑉2
2𝐼2
2 + 𝑉1
2𝐼2
2 + 𝑉2
2𝐼1
2 +⋯
𝑉1𝐼1cos(𝜙1)
2 + 𝑉1𝐼1𝑠𝑒𝑛(𝜙1)
2 + 𝑉2𝐼2cos(𝜙2)
2 + 𝑉2𝐼2𝑠𝑒𝑛(𝜙2)
2 +⋯
𝑃1 𝑃2𝑄1 𝑄2
𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2 +⋯ 𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 +⋯
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POTÊNCIA EM CIRCUITOS NÃO
LINEARES
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• Potência Ativa:
• Potência Reativa:
𝑃 = 
𝑛=1
∞
𝑃𝑛 = 𝑉1,𝑟𝑚𝑠𝐼1,𝑟𝑚𝑠 cos 𝜙1 + 
𝑛=2
∞
𝑉𝑛,𝑟𝑚𝑠𝐼𝑛,𝑟𝑚𝑠𝑐𝑜𝑠(𝜙𝑛)
𝑄 = 
𝑛=1
∞
𝑄𝑛 = 𝑉1,𝑟𝑚𝑠𝐼1,𝑟𝑚𝑠 sen 𝜙1 + 
𝑛=2
∞
𝑉𝑛,𝑟𝑚𝑠𝐼𝑛,𝑟𝑚𝑠𝑠𝑒𝑛(𝜙𝑛)
≈0
Na prática*
Na prática*
≈0
*Normalmente as tensões são praticamente senoidais
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POTÊNCIA EM CIRCUITOS NÃO
LINEARES
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𝑆2 = 𝑉1
2𝐼1
2 + 𝑉2
2𝐼2
2 + 𝑉1
2𝐼2
2 + 𝑉2
2𝐼1
2 +⋯
• Potência de Distorção
• Estas componentes (D) apresentam valor 
médio nulo, mas como são resultado da 
relação entre tensão e corrente com 
frequências diferentes, não são “Q”
𝐷2𝑃
2 + 𝑄2
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• Potência aparente
• Potência de Distorção
• Se a tensão for senoidal
POTÊNCIA EM CIRCUITOS NÃO
LINEARES
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𝑆2 = 𝑃2 + 𝑄2 + 𝐷2 𝑆 = 𝑃2 + 𝑄2 + 𝐷2
𝐷 = 𝑆2 − 𝑃2 − 𝑄2
𝐷 = 𝑉1,𝑟𝑚𝑠 
𝑛≠1
∞
𝐼𝑛,𝑟𝑚𝑠
2
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• Fator de potência
• Fator de potência de 
deslocamento
POTÊNCIA EM CIRCUITOS NÃO
LINEARES
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𝐹𝑃 =
𝑃
𝑆
≠ cos𝜙
𝐷𝑃𝐹 =
𝑃1
𝑆1
= cos𝜙1
D
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POTÊNCIA EM CIRCUITOS NÃO LINEARES
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𝑃 = 𝑉1𝐼1 cos 𝜙1
𝑄 = 𝑉1𝐼1 𝑠𝑒𝑛 𝜙1
𝐷𝑃𝐹 =
𝑃1
𝑆1
= cos𝜙1
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EXEMPLO 2
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• Para o retificador do exemplo 1, sabendo que:
• A tensão da fonte é livre de harmônicos.
• Não há defasagem entre tensão e corrente.
a. Calcule a potência ativa, reativa e de 
distorção.
b. Calcule o fator de potência total.
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REFERÊNCIAS
• Watanabe, E. H.; Stephan, R. M.; “Potência Ativa e 
Reativa Instantâneas em Sistemas Elétricos com 
Fontes e Cargas Genéricas”. Revista da SBA: 
Controle e Automação, Vol. 3, N°1, março/abril, 1991. 
• Muhammad H. Rashid. “Eletrônica de Potência: 
Dispositivos, circuitos e aplicações”, 4ª Ed., 2015, 
Pearson. Capítulo 3.
• Kazuo Nakashima, “Valor médio e eficaz”, UNIFEI, 
2013. 
• Mohan, N.,Undeland, T. M. e Robbins, W. P., “Power 
Electronics – Converters, Applications and Design”, 
Wiley, 2013. 
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