Resumo - Variáveis Aleatórias

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
INTRODUÇÃO
	O conceito de VA, entre outras aplicações, permite a construção de probabilidades para eventos associados a um experimento. Ela é uma função que associa cada evento de um espaço amostral a um número.
	A VA é contínua se ela só for possível com números reais (medição) e discreta, quando só existe com números racionais (contagem).
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
	X (resultados do experimento): Ω {x1, x2,...} Z.
	Exemplos, bastando associar um número a cada resultado do experimento:
Jogo de dados X: Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançamento de uma moeda X: Ω {0, 1}
Controle de frequência X: Ω {0, 1, 2, 3,..., 78}
Número de chamadas por dia X: Ω {0, 1, 2, 3,...}
	No último caso percebemos que se trata de um experimento com o espaço amostral infinito e, consequentemente, a VA tem a imagem infinita, porém discreta.
	A função da distribuição de probabilidades trata de atribuir a cada resultado uma fração:
	x
	p
	0
	1/n
	1
	1/n
	2
	1/n
	...
	...
	n
	1/n
	
	Σ = 1
	Alguns tipos de distribuição:
Distribuição geométrica: p (k) = pq; sendo que k (k-ésimo encontro), p (infectado) e q (não-infectado);
Distribuição de Poisson: usada para modelar experimentos em um espaço de tempo. ;
Distribuição binomial: ocorrência de um evento em n ensaios. ;
	Aplicação desses tipos:
Distribuição geométrica
Distribuição de Poisson
Distribuição binomial
MÉDIA E VARIÂNCIA DE VAs DISCRETAS
	Não variam, são os mesmos valores para toda a população.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
	
	São descritas pelas funções de densidade (f): .
	As distribuições podem ser uniformes, exponenciais e normais. O exemplo abaixo apresentado é de uma distribuição uniforme.
	Uma distribuição uniforme continua X~U (a, b) em que (12h45min – 13h15min). Um estudante chega ao ponto de ônibus às 13h, qual a chance do ônibus já ter passado?
	Entre 13h15min e 12h45min temos 30 minutos, logo, tem 100% de chances do ônibus passar, mas se o estudante chegou 15 minutos depois do tempo inicial, as chances do ônibus passar caem para 50%, e as chances dele já ter passado também é 50%. Faz-se uma regra de 3.
	Caso o estudante tenha chegado às 13h10min, as chances do ônibus já ter passado sobem para 83%, pois ele chegou 25 minutos depois do tempo inicial, por regra de 3.
	Abaixo um gráfico que simboliza essa distribuição:
	A distribuição normal (μ, σ2) abrange a teoria dos erros e o controle de qualidade, porque é importante na normatização dos produtos vendidos no varejo e no atacado.
	O procedimento não é enviesado (torto, oblíquo) se a distribuição dos erros segue uma normal com um desvio-padrão estabelecido previamente, com média igual a zero.
	A distribuição normal pode ser representada por dois tipos de função:
Função densidade (f):
No caso contínuo, a probabilidade de um evento que leva a um número particular é nula. Assim, a função densidade precisa ser definida para intervalos conforme a expressão: . Ela não pode ser negativa e a integral de +∞ a -∞ tem de ser igual a 1.
Função de distribuição acumulada (F ou fda):
F(x) = P(X ≤ x). Seu cálculo pode ser feito pela integral da função densidade.
MÉDIA E VARIÂNCIA DE VAs CONTÍNUAS
	
	X~N (0,1), ou seja, X é uma distribuição normal com média 0 e variância 1. A função densidade f é denotada por φ e a de distribuição acumulada fda, por Φ, que só pode ser calculada aproximadamente.
	P (-1 ≤ x ≤ 1) = P (x ≤ 1) – P (x ≤ -1) 
	Esta conversão é imediata no caso contínuo, pois no caso discreto, seria necessário analisar as extremidades do intervalo.
	Exemplo:
	A padronização não transforma uma VA qualquer em normal, ela apenas reserva a normalidade se x já for normal.
	Exemplo: X~N (0,16) P(x ≤ 1) = P (Z ≤ 1 – 0 / 4) = P(Z ≤ 0,25) = 60%.
Exercícios
ANÁLISE DE SOBREVIVÊNCIA
	Tem como variação de interesse o tempo ocorrido até que um “evento” ocorra. Caso não possamos dispor dos instantes inicial e/ou final, dizemos que os dados estão censurados.
	PESSOA
	TEMPO DE SOBREVIVÊNCIA
	TIPO
	A
	5
	1 (censurado)
	B
	12
	0 (colapso)
	C
	3,5
	0 (colapso)
	D
	8
	0 (colapso)
	E
	6
	0 (colapso)
	F
	3,5
	1 (censurado)
T tempo de sobrevivência (variável aleatória).
S(t) f(x) = P(T > t).
h(t) função de colapso (inversamente proporcional às chances de vida).
VETORES ALEATÓRIOS
	Também chamados de VAs multidimensionais, são funções do espaço produto amostral em Rn. Limitaremos n=2, isto é, um vetor aleatório bidimensional.
	(X, Y): A × B (X(A), Y(B))
INDEPENDÊNCIA
	Duas variáveis podem ou não ser independentes. Quando são dependentes, o grau (linear) pode ser medido pela covariância ou coeficiente de correlação.
	O grau ou intensidade de dependência é dado por ρ:
	Variáveis X,Y
	Valor de ρ
	Gráfico
	Independentes
	0 (zero)
	-------------
	Dependentes – associação direta
	0 < ρ ≤ 1
	Crescente
	Dependentes – associação inversa
	-1 ≤ ρ < 0
	Decrescente