Prova de Cálculo II - 2º Semestre de 2008

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MA211 - Cálculo II - Turmas A e B - Segundo semestre de 2008
SEGUNDA PROVA
RA: Nome:
1) Seja dada a função f(x, y) = 4x2y + y3 – 2x2 – y2 + 2.
a) [0,5 pontos] Determine a taxa de variação de f no ponto (2,0) na direção do vetor (1, –1).
b) [2 pontos] Determine e classifique os pontos críticos de f.
c) [2 pontos] Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determine os pontos de 
máximo e mínimo da função sujeita à restrição 4x2 + (y – 1/2)2 = 4.
d) [0,5 pontos] Determine os pontos de máximo e mínimo globais de f no domínio D = 
{ (x, y) | 4x2 + (y – 1/2)2 ≤ 4 }.
2) [2,5 pontos] Usando coordenadas polares, determine a área da região interna à curva 
descrita pela equação 2222 22 yxxyx +=++ . A região é mostrada na figura abaixo.
3) [2,5 pontos] Seja dada a integral dydxxy
D∫ ∫ , em que D é a região limitada pelas curvas x = 
y2 e x2 + y2 = 2, para x ≥ 0.
a) Faça um esboço de D.
b) Escreva a integral acima das duas formas possíveis (mudando a ordem de integração).
c) Dentre as formas encontradas no item (b), escolha a mais adequada e calcule a integral.