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Controle de Sistemas MecânicosControle de Sistemas Mecânicos
IntroduçãoIntrodução
Sistemas de controle
Malha aberta
Malha fechada
Realimentação
Visão histórica
Controle hoje
Sistemas de ControleSistemas de Controle
Controlar é atuar sobre um dado sistema de modo a atingir
resultados de acordo com objetivos previamente
estabelecidos.
O sistema controlado é chamado de planta ou processo.
Há um atuador transformando os objetivos em esforço de
atuação
Os resultados obtidos na saída da planta, devem se
aproximar dos objetivos desejados.
Métodos BásicosMétodos Básicos
● Controle em malha aberta
– disparo de uma flecha
– chuveiro elétrico comum
– máquina de lavar
● Controle em malha fechada
– nível do tanque/pressão d’água
– míssil teleguiado
– ar-condicionado
Controle em malha abertaControle em malha aberta
● Esquema geral
PlantaControlador
atuaçãoobjetivos resultados
Controle em malha fechadaControle em malha fechada
● Esquema geral
PlantaControlador
atuação resultados
-
objetivos erro
medição
RealimentaçãoRealimentação negativa negativa
● Sistemas de controle
– Controle de temperatura
– Controle de nível
● Sistemas naturais
– relação predador/presas
– temperatura do corpo/evaporação do suor
Visão históricaVisão histórica
● Interação leme/vela em embarcações
● Controle de nível
● Fontes decorativas
● Relógios mecânicos
● Caixas de música
● Controle de temperatura e pressão
● Controle de rotação de máquina a vapor
Visão históricaVisão histórica
● Controle de nível
Visão históricaVisão histórica
● Controle de rotação de máquina a vapor
Modelagem de Sistemas LinearesModelagem de Sistemas Lineares
Equação Diferencial Geral
Solução da Equação Homogênea
Solução da Equação Particular
Solução Completa
Diagrama de Blocos
Resposta ao Impulso e Convolução
Modelagem matemáticaModelagem matemática
● Linearidade
– obedece aos princípios da superposição e
homogeneidade
● Parâmetros concentrados
– equações diferenciais ordinárias no tempo contínuo
● Invariância no tempo
– coeficientes da equação constantes
● Causalidade
– sistemas só respondem após a excitação
LinearizaçãoLinearização
Quando o modelo matemático de um dado sistema é não
linear, adota-se um método de linearização.
O método mais comum é a linearização pela expansão da
função em série de Taylor em torno do ponto de operação
da planta.
Trunca-se a série de Taylor respectiva, desprezando-se os
termos de derivadas de segunda ordem e acima.
Os resultados são bons apenas para pequenas variações em
torno do ponto de operação.
Expansão em serie de TaylorExpansão em serie de Taylor
�+−′′+−′+=
!2
)(
)(
!1
)(
)()()(
2
0
0
0
00
xx
xf
xx
xfxfxf
Equação Diferencial GeralEquação Diferencial Geral
● Sistemas Lineares
● Parâmetros concentrados
● Invariantes no tempo
● Mônico (an = 1)
u t( ) y t( )
)(...
)(
)(
)(
...
)()(
0
011
1
1
tub
dt
tud
b
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
m
m
m
n
n
nn
n
++
=++++ −
−
−
R
nm ≤● Admite-se sempre
Operador derivativoOperador derivativo
)(...
)(
)(
)(
...
)()(
0
011
1
1
tub
dt
tud
b
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
m
m
m
n
n
nn
n
++
=++++ −
−
−
)()...(
)()...(
01
01
1
1
tubpbpb
tyapapap
m
m
n
n
n
+++
=++++ −−
Definindo o operador
derivativo dt
dp =
Equação Geral SimplificadaEquação Geral Simplificada
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=
)()...()()...( 0101
1
1 tubpbpbtyapapap
m
m
n
n
n +++=++++ −−
)( pD )( pN
O resultado fica
Operador do SistemaOperador do Sistema
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=
)(
)(
)(
)( tu
pD
pN
ty =
)()()( tupLty =
)( pL Operador do Sistema
Sistema próprionm ≤
Sistema bi-próprionm =
Sistema estritamente próprionm <
Comportamento do sistemaComportamento do sistema
● Excitação nula
– Equação homogênea
– Condições iniciais nulas: permanece em repouso
– Condições iniciais não nulas: resposta natural
● Excitação não nula
– Integral particular
– Resposta forçada
– Resposta completa: natural+forçada
Solução da Equação DiferencialSolução da Equação Diferencial
● Solução da equação homogênea
● Solução da equação particular
● Solução completa
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=
Equação HomogêneaEquação Homogênea
● Equação diferencial
● Equação característica
● Polinômio característico
D p y t( ) ( ) = 0
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=
0... 01
1
1 =++++
−
− apapap
n
n
n
Sistema mecânico deSistema mecânico de translacão translacão
A figura abaixo apresenta um sistema
massa/mola/amortecedor, para o qual é aplicada
uma força u(t) e obtido como resposta o
deslocamento y(t).
c
K
m
y
u
Exemplo Lei de Exemplo Lei de NewtonNewton
Aplicando-se a 2ª Lei de Newton, obtém-se a equação
diferencial do sistema
Aplicando o operador derivativo a equação fica
ukyycym =++ ���
uykcpmp =++ )( 2
Polinômio característicoPolinômio característico
Dividindo-se pela massa (para a eq. ficar mônica)
os seguintes polinômios são obtidos
m
k
p
m
c
ppD ++= 2)(
u
m
y
m
k
p
m
c
p
12 =



 ++
m
pN
1
)( =
)(
)(
)(
pD
pN
pL =
Visualização do operadorVisualização do operador
● Esquema geral
PlantaControlador
atuação resultados
-
objetivos erro
medição
2
1
( ) mL p
c k
p p
m m
=
+ +
c
K
m
y
u
Circuitos elétricosCircuitos elétricos
Aplica-se as leis de Kirchhoff: das malhas e dos nós;
Aplica-se a lei de cada elemento: resistência,
capacitor e indutância.
Circuito RC:
+
-
C
R
v(t) vC(t)
+
-
Solução do circuito RCSolução do circuito RC
Aplicando a Lei de Kirchhoff das malhas, obtém-se a
equação
considerando a lei de Ohm
e do capacitor
e notando que estão em série
CR vvv +=
dt
dv
Ci
Riv
C
C
RR
=
=
CR ii =
Continuação circuito RCContinuação circuito RC
Levando em conta o operador derivativo
a segunda equação fica
Substituindo na lei das malhas, obtém-se
CC Cpvi =
CC vRCpvv +=
Continuação RCContinuação RC
Conduzindo à seguinte EDG
e respectivo operador do sistema
u
RC
y
RC
p
11 =



 +
RCp
RC
pD
pN
pL
1
1
)(
)(
)(
+
==
●
2
1
( ) mL p
c k
p p
m m
=
+ +
Visualização do operadorVisualização do operador
PlantaControlador
atuação resultados
-
objetivos erro
medição
c
K
m
y
u
+
-
C
R
v(t) vC(t)
+
-
1
( )
1
RCL p
p RC
=
+
Sistemas Mecânicos RotativosSistemas Mecânicos Rotativos
Modelo de um pêndulo torcional
Considerando uma inércia associada a uma mola
torcional e um amortecimento viscoso
c
J
K
Exemplo RotativoExemplo Rotativo
Aplicando-se a 2ª Lei de Newton, obtém-se a
equação diferencial do sistema
Aplicando o operador derivativo a equação fica
τθ =++ )( 2 kcpJp
τθθθ =++ kcJ ���
Polinômio característicoPolinômio característico
Dividindo-se pela inércia
os seguintes polinômios são obtidos
J
k
p
J
c
ppD ++= 2)(
u
J
y
J
k
p
J
c
p
12 =



 ++
J
pN
1
)( =
)(
)(
)(
pD
pN
pL =
Circuitos RLCCircuitos RLC
Aplicando-se a lei das malhas para o circuito abaixo
obtém-se
+
-
C
R
v(t)
+
-
vC(t)
L
 CLR vvvv ++=
Solução do circuito RLCSolução do circuito RLC
Considerando a lei de Ohm, do capacitor
e do indutor
e notando que estão em série
L
L
L
C
C
C
RR
Lpi
dt
di
Lv
Cpv
dt
dv
Ci
Riv
==
==
=
LCR iii ==
Continuação RLCContinuação RLC
Substituindo na lei das malhas, obtém-se
com a EDG
e o operador
CCC vvLCpRCpvv ++=
2
u
LC
y
LC
p
L
R
p
112 =



 ++
( ) ( )( )
LCpR
Lp
LC
pD
pN
pL
1)(
1
2 ++
==
Uso do MatlabUso do Matlab
● Definição de vetor e matriz
– usar exemplo MMA: m=1, c=1, k=25
– pc=[1 1 25]; t=0:0.05:4; rz=[-1 -2];
● Processamento de raízes de polinômio
– r=roots(pc); pol=poly(rz);
● Determinação da função seno e cosseno
– y=sin(t); z=cos(t);
● Traçar gráficos de função
– plot(t, y,’r’, t, z,’b’)
– usar help comando