mensagens secretas com matrizes o experimento

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Experimento
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
O experimento
 Números 
e fuNções
licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons 
Mensagens secretas com matrizes
Objetivos da unidade
Introduzir o conceito de criptografia;1. 
Fixar conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes.2. 
O experimento
Sinopse
Neste experimento, seus alunos aprenderão uma das diversas maneiras 
de criptografar mensagens: usando matrizes. Inicialmente, dividindo 
a classe em grupos, o professor deve explicar como isso pode ser feito 
e fornecer uma mensagem codificada, pedindo para que eles tentem 
decifrá-la. Depois, cada grupo deve criar sua própria mensagem cripto-
grafada e trocá-la com os outros. O desafio é tentar decifrar o que o outro 
grupo quis dizer sabendo a matriz chave que usaram.
Conteúdos
Matrizes: Propriedades, Determinantes.
Objetivos da unidade
Introduzir o conceito de criptografia;1. 
Fixar conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes.2. 
Duração
Uma aula simples.
Mensagens 
secretas 
com matrizes
Mensagens secretas com matrizes O Experimento 2 / 8
Introdução
A palavra “criptografia” tem origem grega 
(kripto = oculto; grapho = grafia) e diz 
respeito à arte ou ciência de escrever 
mensagens em códigos, de forma que 
somente certas pessoas possam decifrá-las.
 Existem métodos criptográficos tão 
antigos quanto a própria escrita. Eles já 
estavam presentes no sistema de escrita 
hieroglífica dos egípcios, e também os 
romanos utilizavam códigos secretos para 
comunicar planos de batalha. Atualmente, 
utilizamos criptografia em transações 
eletrônicas, como movimentações bancárias 
e alguns serviços disponíveis na Internet, 
os quais necessitam de uma comunicação 
confidencial de dados.
 Há várias técnicas de criptografia. 
Uma delas, que é a que utilizaremos neste 
experimento, é feita encontrando-se uma 
transformação (função) injetiva f entre 
um conjunto de mensagens originais (não 
codificadas) e um conjunto de mensagens 
codificadas. A função f deve ser inversível 
para garantir que o processo seja reversível 
e que as mensagens possam ser reveladas 
pelos receptores. Portanto, para que um 
certo método criptográfico seja considerado 
eficiente, deve-se ocultar muito bem a função 
f e os mecanismos para sua inversão, de 
modo que somente pessoas autorizadas 
possam decifrar a mensagem. Em um 
esquema destes, f é chamada chave de 
codificação e sua inversa, f−1, é a chave 
de decodificação.
 Neste experimento abordaremos apenas 
um método de criptografia, o qual utiliza 
matrizes como chaves, isto é, como peça 
fundamental para codificar e decodificar 
as mensagens.[?]
C[diW][di�i[Yh[jWi�Yec�cWjh_p[i�
E�;nf[h_c[dje
Material necessário
Apenas papel e lápis; �
Comentários iniciais
Como já mencionado, neste experimento 
usaremos um método criptográfico que 
utiliza matrizes como chave. Porém, existem 
alguns métodos que utilizam funções mais 
simples como, por exemplo, a função afim 
de uma variável.
 Se julgar necessário, desenvolva 
uma atividade de familiarização com seus 
alunos, usando funções afim como chave 
de um método criptográfico. No material 
Explorando o Ensino de Matemática, 
volume 3, parte 2, publicado no site do MEC, 
pode-se encontrar mais detalhes sobre 
criptografia com esse tipo de função.
Seguem as etapas do experimento proposto.
Esse material pode ser �
encontrado no site: http://
portal.mec.gov.br/seb/
arquivos/pdf/EnsMed/
expensmat_3_2.pdf
E�;nf[h_c[dje� )� %� .
Preparação
Divida a classe em grupos de dois alunos. 
Inicialmente, cada dupla buscará métodos 
para tentar decifrar uma mensagem sua. 
Depois, eles criarão suas próprias mensagens 
secretas e irão enviá-las para outra dupla 
tentar decifrar.
Mensagem do professor
Nesta etapa, use sua criatividade para 
inventar uma mensagem e depois 
criptografá-la, usando uma matriz �� � 
como chave. Transmita sua mensagem 
codificada e desafie seus alunos para 
decifrá-la apenas sabendo como você a 
codificou. Ou seja, não diga a eles, de início, 
como decodificar a mensagem.
Como criptografar usando matrizes?
 Para codificar uma mensagem usando este 
método é necessário que, primeiramente, 
cada letra do nosso alfabeto e símbolos 
Professor, os grupos não �
devem ser muito grandes, 
pois não há muitas 
tarefas neste experimento 
e alguns integrantes 
poderiam ficar sem 
função. 
Neste experimento �
usaremos a palavra vetor 
para nos referir a matriz 
coluna.
etapa
'
C[diW][di�i[Yh[jWi�Yec�cWjh_p[i�
desejados sejam associados a vetores �� � . 
A seguir, apresentamos uma tabela com um 
exemplo para essa associação.
Observação
Podemos representar esses vetores como 
pontos de um plano, como mostra a figura 1 
a seguir:
A B C D E F G H I J
�
�
�
� �
�
�
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�
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�
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� �
�
�
� �
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�
K L M N O P Q R S T
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U V W X Y Z espaço . , ?
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�
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� �
�
�
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�
� �
�
�
�
tabela 1 Exemplo de uma associação entre letras e vetores que o professor 
pode fazer.
E�;nf[h_c[dje� *� %� .
 Decidido qual associação usar, construa 
uma matriz � de apenas 2 linhas e codifi que 
uma mensagem. Para isso, basta colocar 
os vetores que representam as letras da 
mensagem um na frente do outro. Vamos, 
por exemplo, colocar a mensagem Boa aula. 
em uma matriz, usando a associação da 
tabela 1:
� �
�
� � � � � � � � �
� � � � � � � � �
�
 Agora, crie uma matriz �� � para 
usar como chave. Ela deve ser inversível 
para garantir que a mensagem poderá ser 
decodifi cada. Você pode usar, por exemplo, 
a matriz � mostrada a seguir:
� �
�
� �
� �
�
Professor, o ideal é �
que sua mensagem 
tenha no máximo 20 
caracteres, para não 
exigir muitas contas por 
parte dos alunos na hora 
de decifrá-la.
Professor, lembre-se que !
uma matriz é inversível 
se e somente se seu 
determinante for diferente 
de zero.
/
/
.
-
,
+
*
)
- , + * ).
� � � � �
� � � 	 
� � 
 � �
� � � � �
� � � � �
� �#!�' � �$ �("�%�� 	�$�"" ��'& 
fig. 1 
C[diW][di�i[Yh[jWi�Yec�cWjh_p[i�
 Por fim, criptografe sua mensagem, 
transformando-a em uma matriz � � . 
Para isso, deve-se fazer a multiplicação 
� ��. Usando o exemplo de mensagem, 
temos:
� � � � �� �
�
� �
� �
�
�
�
� � � � � � � � �
� � � � � � � � �
�
� � 
�
� � � � � � � � �
� 	 � �� � 	 � � ��
�
 Agora, transmita aos alunos a tabela com 
a associação entre as letras e os vetores, 
a matriz chave � e a matriz com a mensagem 
codificada � �. Explique o processo descrito 
anteriormente para criptografar sua 
mensagem original � e peça para que eles 
tentem decifrar sua frase.
 Se perceber que alguns alunos 
conseguiram decodificar a mensagem, peça 
para que eles compartilhem com a classe 
a maneira que eles usaram para descobrir. 
Mas lembre-se: inicialmente, não conte a 
eles como decifrar a mensagem. Deixe-os 
pensar bastante antes de dizer que para 
decodificá-la basta encontrar a matriz inversa 
de � e multiplicar por � � pois
� � ���� � �� ��
 � ��� � �� ���
� ��� �� �
Professor, observe �
que, na multiplicação 
� �� , algumas letras 
de � podem não ser 
transformados em outras 
letras. Por exemplo, 
o vetor �
�
�
�
 
 
não representa nenhuma 
letra da tabela inicial.
Professor, tome cuidado !
para que seus alunos não 
vejam sua mensagem 
original.
Professor, pode ser que !
seus alunosconsigam 
descobrir a mensagem 
original sem o uso da 
inversa, através de vários 
sistemas lineares �� �. 
Tente descobrir como!
E�;nf[h_c[dje� +� %� .
Troca de mensagens
Agora que seus alunos já sabem criptografar 
uma mensagem, deixe-os praticar.
 Nesta etapa, cada grupo deverá inventar 
uma frase com no máximo 20 caracteres 
e codificá-la. Em seguida, eles trocarão 
mensagens com outro grupo, sempre 
fornecendo apenas a matriz codificada (� �) 
e a chave (� ). O desafio é decifrar a 
mensagem do outro grupo. Fazendo isso, 
eles estarão fixando conteúdos como 
multiplicação e inversão de matrizes de 
um modo divertido.
etapa
(
Professor, provavelmente !
alguns grupos usarão 
matrizes não inversíveis 
como chave. Isso fará 
com que a mensagem 
eventualmente não seja 
decifrável. Se achar que 
deve, alerte-os para 
o uso apenas de matrizes 
inversíveis como chave.
C[diW][di�i[Yh[jWi�Yec�cWjh_p[i�
<[Y^Wc[dje
Relembre seus alunos sobre os requisitos 
para existência de inversa de uma matriz 
(determinante diferente de zero), e o modo 
de calculá-la. Caso o conceito de matriz 
inversa ainda não seja conhecido pelos 
seus alunos, este experimento pode servir 
como uma aula introdutória do tema.
 Se achar interessante, comente com seus 
alunos sobre o fato de que, ao criptografar 
uma mensagem pelo método descrito 
neste experimento, estamos aplicando 
uma função que leva pontos do plano 
a outros pontos do plano. Por exemplo, 
as letras da mensagem Boa aula. podem 
ser representadas da seguinte forma:
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � ��
� �
� �
�
�����
 �
	
fig. 2
E�;nf[h_c[dje� ,� %� .
 E, plotando cada letra dessa frase depois 
de multiplicadas pela matriz � do nosso 
exemplo, temos:
 Observe o que acontece com cada vetor 
letra na transformação:
� �
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� � �
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�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 Outro fato interessante é o efeito da 
multiplicação de um bloco de pontos, 
que representam letras, pela matriz chave � . 
�
�
�
�
�
�
��
��
� � � �� ���
��
��
��
��
���
��
��
�
�	���
fig. 3
C[diW][di�i[Yh[jWi�Yec�cWjh_p[i�
A fi gura abaixo mostra um bloco de quatro 
letras do alfabeto representado por 
pontos (não preenchido) e o efeito que a 
multiplicação por � causou (preenchido):
 Mais detalhes sobre a representação 
das letras por pontos no plano podem ser 
encontrados no Guia do Professor.
 Por fi m, comente com seus alunos que 
com o conhecimento das transformações 
de apenas duas letras no nosso método 
criptográfi co, já é possível que um “espião” 
descubra a matriz chave. Assim, se, por 
exemplo, ele souber que
� �
�
�
�
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 e � �
�
�
�
�
são levados em
�
�
�
�
 e 
�
�
�
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,
�
�
�
	
�
�
�
 	 � � ��
�
�
��
��
��
��
�
�
fig. 4
E�;nf[h_c[dje� -� %� .
respectivamente, ele saberia que, se a matriz 
chave � for igual a�
� �
� �
�
,
então: �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
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�
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�
e�
� �
� �
�
�
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�
�
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�
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�
E daí, �
����
����
� � �� � � � � �
� � �� � � � � �
� � �� � � � � �
� � �� � � � � �
 Resolvendo o sistema, ele encontraria que 
� � �, � � �, � � � e � � � e portanto, 
� �
�
� �
� �
�
. 
Daí vem a importância de se guardar todas 
as transformações em segredo.
Se usássemos uma !
associação das letras 
à vetores �� �, com a 
matriz chave sendo �� � , 
a determinação de � 
seria difi cultada, pois 
precisaríamos de mais 
uma informação para tal. 
Comente isto com seus 
alunos!
Ficha técnica
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
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Educação a Distância
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática, 
Estatística e Computação 
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual 
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor 
de Projetos Educacionais 
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
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Leonardo Barichello
Coordenação de Redação
Rita Santos Guimarães
Redação
Felipe M. Bittencourt Lima
Revisores
Matemática
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Pedagogia
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Projeto gráfico 
e ilustrações técnicas
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira