Geometria Analítica - Distâncias

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Exerćıcio I
1. Resolva as questões 6, 9.a, 10.a, 11.a, 12.a, 13.a,b, 14.b, 15.b, 16.b, 17.b,d,f,h, 18.b.
6. Escreva uma equação geral e um sistema de quações paramétricas do plano determinado pelos pontos
A(1, 0, 2), B(−1, 2,−1) e C(1, 1,−1).
Resolução:
A equação geral de um plano é da forma : aX + bY + cZ + d = 0 ,
onde (a, b, c) é um vetor não nulo normal (forma 90 graus) com o plano !
Como: A(1, 0, 2), B(−1, 2,−1) e C(1, 1,−1). são pontos do plano
os vetores: ~AB = B −A = (−1.2.− 1)− (1, 0, 2) = (−2, , 2,−3) e ~AC = C −A = (1.1.− 1)− (1, 0, 2) = (0, , 1,−3)
são vetores paralelos ao plano !
E o vetor ~AB × ~AC é um vetor não nulo normal ao plano procurado !
~AB × ~AC =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
−2 2 −3
0 1 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −6~i+ 0~j − 2~k − 0~k + 3~i− 6~j = −3~i− 6~j − 2~k
~AB × ~AC = (−3,−6,−2).
Assim, o plno procurado tem equação: −3x− 6y − 2z + d = 0.
Falta apenas encontrar ”d” ”
Para encontrar ”d” vamos usar o ponto A(1, 0, 2);
Vamos substituir as coordenadas do ponto na equação do plan, como o ponto pertence ao plano,, teremos uma
equação verdadeira !
−3x− 6y − 2z + d = 0 ⇒ −3(1)− 6(0)− 2(2) + d = 0 ⇒ −3− 0− 4 + d = 0 ⇒
⇒ −7 + d = 0 ⇒ d = 7
Assim, o plano procurado tem equação: −3x− 6y − 2z + 7 = 0.
Podemos também usar: 3x+ 6y + z − 7 = 0.
Equação: 3x+ 6y + z − 7 = 0 ,
9(a). Calcule a distância entre P1 e P2, nos casos:
(a) P1(−2, 0, 1) e P2(1,−3, 2)
Resolução:
A distância entre os pontos A(xa, ya, za) e B(xb, yb, zb) é: d(A,B) =
√
(xb − xa)2 + (yb − ya)2 + (zb − za)2;
Assim: d(P1, P2) =
√
[(1)− (−2)]2 + [(−3)− (0)]2 + [(2)− (1)]2 =
√
[1 + 2]2 + [−3− 0]2 + [2− 1]2
d(P1, P2) =
√
[1 + 2]2 + [−3− 0]2 + [2− 1]2 =
√
32 + (−3)2 + 11 =
√
9 + 9 + 1 =
√
19
d(P1, P2) =
√
9 + 9 + 1 =
√
19 .
10 (a) Calcule a disttância do ponto P à reta r, nos casos:
(a) P (2, 3,−1) e r :

x = 3 + t
y = −2t
z = 1− 2t
Resoluçâo:
Dada a reta r com equação (X,Y, Z) = (Xa, Ya, Za) + λ(xr, yr, zr), onde P (Xa, Ya, Za) é um ponto A da reta ,
e ~vr = (xr, yr, zr) é um vetor não nulo paralelo à reta e dado P (Xp, Yp, .Zp) um ponto,
a distancia do ponto P até a reta r é d(P, r) =
|~vr × ~PA|
|~vr|
.
Nosso ponto P (Xp, Yp, .Zp) = (2, 3,−1)
e nossa reta r :

x = 3 + t
y = −2t
z = 1− 2t
⇒ r :

x = 3 + t
y = 0− 2t
z = 1− 2t
⇒ A(3, 0, 1) e ~vr = (1,−2,−2),
~PA = P −A = (2, 3,−1)− (3, 0, 1) = (−1, 3,−2)
d(P, r) =
|~vr × ~PA|
|~vr|
=
|(1,−2,−2)× (−1, 3,−2)|
|(1,−2,−2)|
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 −2 −2
−1 3 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣√
(1)2 + (−2)2 + (−2)2
d(P, r) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 −2 −2
−1 3 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣√
(1)2 + (−2)2 + (−2)2
=
|4~i+ 2~j + 3~k − 2~k + 6~i+ 2~j|√
1 + 4 + 4
d(P, r) =
|4~i+ 2~j + 3~k − 2~k + 6~i+ 2~j|√
1 + 4 + 4
=
|10~i+ 4~j + ~k|√
9
=
√
(10)2 + (4)2 + (1)2
3
d(P, r) =
√
(10)2 + (4)2 + (1)2
3
=
√
(10)2 + (4)2 + (1)2
3
=
√
117
3
d(P, r) =
√
117
3
.
11 (a) Calcule a disttância do ponto P ao plano π, nos casos:
(a) P (2,−1, 2) e π : 2X − 2Y − Z + 3 = 0.
Resoluçâo:
Dado o ponto P (Xp, Yp, Zp) e o plano π : aX+bY+cZ+d = 0, a distância entre P e π é: d(P, π) =
|aXp + bYP + cZp + d|√
a2 + b2 + c2
.
Temos: P (2,−1, 2) e π : 2X − 2Y − Z + 3 = 0.
d(P, π) =
|2(2)− 2(−1)− 1(2) + 3|√
(2)2 + (−2)2 + (−1)2
=
|4 + 2− 2 + 3|√
4 + 4 + 1
=
|7|√
9
=
7
3
d(P, π) =
7
3
.
12 (a) Calcule a disttância entre r1 e r2, nos casos:
(a) r1 :

x = 2− t
y = 3 + t
z = 1− 2t
e r2 :

x = t
y = −1− 3t
z = 2t
Resoluçâo:
Dadas duas retas R1 e r2 a distância entre as retas é: d(r1, r2) =
| [~v1, ~v2. ~AB] |
|~v1 × ~v2|
onde ~v1 é o vetor diretor da reta r1, ~v2 é o vetor diretor da reta r2, A é o ponto da reta r1
e B é o ponto da reta r2 .
(a) r1 :

x = 2− t
y = 3 + t
z = 1− 2t
e r2 :

x = t
y = −1− 3t
z = 2t
~v1 = (−1, 1,−2), A(2, 3, 1) e ~v2 = (1,−3, 2), B(0,−1, 0) ⇒ ~AB = B −A = (−2,−4,−1)
[~v1, ~v2, ~AB] =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 1 −2
1 −3 2
−2 −4 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −3− 4 + 8 + 12− 8 + 1 = 6
~v1 × ~v2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
−1 1 −2
1 −3 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 2~i− 2~j + 3~k − 1~k − 6~i+ 2~j = −4~i+ 0~j + 2~k = (−4, 0, 2)
|~v1 × ~v2| = |(−4, 0, 2)| =
√
(−4)2 + (0)2 + (2)2 =
√
16 + 0 + 4 =
√
20 = 2
√
5
d(r1, r2) =
| [~v1, ~v2. ~AB] |
|~v1 × ~v2|
=
6
2
√
5
=
3√
5
=
3
√
5
5
.
d(r1, r2) =
3
√
5
5
.