Quadrados Mínimos e Aproximação de Dados

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Quadrados Mínimos
Cristina Ota Guilherme Aguiar
Análise Numérica II, 1o Semestre 2013
Ota, Aguiar Quadrados Mínimos
Quadrados Mínimos
Muito usado para aproximação de dados vindos de
experimentos físicos
Inicialmente foi usado em cálculos de astronomia
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Quadrados Mínimos
Aproximar uma função f (x) conhecida em um polinômio
g(x) no intervalo [a,b].
Queremos minimizar o erro E(x) da aproximação.
Caso discreto:
E(x) =
n∑
i=0
[f (x) − g(x)]2
Caso contínuo:
E(x) =
∫ b
a
[f (x) − g(x)]2dx
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Quadrados Mínimos
Há algumas formas de resolver o problema de quadrados
mínimos:
Equações Normais
Fatoração QR
Decomposição de Valores Singulares
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Equações Normais
A solução de quadrados mínimos satisfaz as equações
normais.
É o método mais rápido, mas menos preciso, adequado
quando o número de condição é pequeno.
AT Ax = AT b
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Fatoração QR
É o método mais usado. O custo é o dobro do primeiro.
A = QR
Figure : Fatoração QR
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SVD
Utilizado quando o problema é mal condicionado, isto é,
quando a matriz A não é de posto completo . Muitas vezes
mais caro.
An×p = Un×nΣn×pV Tp×p
onde:
σ1 ≥ σ2 · · · ≥ σn > 0
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Um exemplo simples
Vamos considerar a equação da onda sonora do tipo serra,
com uma frequência básica de 5000 Hz:
p(t) =
(
2A
T
)(
T
2
− t
)
onde:
T é o período básico da onda: T (s) = 15000
A é a amplitude da onda: A = 5.
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Um exemplo simples
Para resolvermos esse problema usamos os coeficientes de
Fourier que trazem a melhor aproximação para um polinômio
trigonométrico. A seguir enunciamos um Teorema.
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Um exemplo simples
Teorema
Se f(x) é contínua em [0,T], então a função trigonométrica g(x)
dada por:
g(x) =
1
2
a0 +
n∑
i=1
ai cos(
2iπ
T
)x +
n∑
i=1
bi sin(
2iπ
T
)x
que minimiza o erro da média quadrática :
E(x) =
∫ T
0
[f (x) − g(x)]2dx
tem coeficientes dados por:
ak =
∫ T
0 f (x) cos(
2kπ
T )dx , k = 0,1,2 . . . n
bk =
∫ T
0 f (x) sin(
2kπ
T )dx , k = 1,2 . . . n
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Um exemplo simples
O resultado do Teorema anterior é provado usando alguns
conceitos de Álegra Linear , como a projeção ortogonal relativa
ao produto interno da integral.
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Um exemplo simples
Voltando ao nosso problema, usando o teorema teremos:
a0 = 0
ak = 0, k = 1,2,3 . . .
bk =
2T
kπ
, k = 1,2,3 . . .
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Um exemplo simples
A tabela abaixo tras a frequência audível nas variadas
espécies animais.
Espécie Frequência Mínima (Hz) Frequência Máxima (Hz)
Homem 20 20 000
Morcego 10 000 120 000
Golfinho 10 000 240 000
Cachorro 15 50 000
Gato 60 65 000
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Um exemplo simples
Como a onda sonora é percebida até a frequência de 20.000
Hz para o ouvido humano, teremos que o valor de k no
exemplo vai até 4.Assim:
q(t) =
2A
π
(
4∑
k=1
1
k
sin
2kπ
T
t
)
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Um exemplo simples
considerando k = 1 teremos :
q(t) =
2A
π
sin
2π
T
t
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Um exemplo simples
considerando k = 2 teremos :
q(t) =
2A
π
(
sin
2π
T
t + sin
4π
T
t
)
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Um exemplo simples
considerando k = 3 teremos :
q(t) =
2A
π
(
sin
2π
T
t + sin
4π
T
t + sin
6π
T
t
)
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Um exemplo simples
considerando k = 4 teremos :
q(t) =
2A
π
(
sin
2π
T
t + sin
4π
T
t + sin
6π
T
t + sin
8π
T
t
)
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Um exemplo simples
Tabela comparativa
n Erro
1 0,35
2 0,23
3 0,17
4 0,14
A aproximação melhora à medida que aumenta o número de
termos do polinômio
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Outros exemplos
Outros exemplos de uso são:
Energia de deformação de uma barra.
Energia elétrica transferida ao resistor durante um período
T.
Energia potencial elástica do deslocamento vertical de
uma corda.
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Complicando o problema
O Exemplo sugerido para o projeto foi sobre a audição
humana. O som é uma onda sonora. A equação geral de uma
onda é dada por:
y(x , t) = A sin(kx − ωt)
k =
2π
λ
e ω =
2π
T
= 2πf .
A equação acima é bidimensional, e trabalha com as variáveis
posição e tempo.
No exemplo dado anteriormente usamos uma equação para o
período da onda.
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Complicando o problema
Para facilitarmos o problema , vamos tomar um t fixo e
trabalharmos apenas com a variação da posição.Então
teremos a seguinte equação:
y(x) = A sin(kx)
k =
2π
λ
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Chebfun
Para resolvermos o problemas vamos utilizar o Chebfun.
O Chebfun é uma coleção de algoritimos open-source
Usa Matlab orientado à objeto
Desenvolvido pelo gurpo do professor Nick Trefethen da
University of Oxford
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Bibliografia I
A. Bjork.
Numerical methods for least squares problems.
SIAM, Philadelphia, 1996.
M. C. C. Cunha.
Métodos Númericos.2a edição revista e ampliada.
Editora Unicamp, Campinas, 2000.
J. W. Demmel.
Applied Numerical Linear Algebra.
SIAM, Philadelphia, 1997.
M. A. G. Ruggiero & V. L. R. Lopes.
Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e
Computacionais.2a edição.
Pearson, 1997.
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Bibliografia II
H. Anton & C. Rorres.
Álgebra Linear com Aplicações. 8aEdição.
Bookman, Porto Alegre, 2001.
L. N. Trefethen.
Householder triangularization of a quasimatrix.
IMA Journal of Numerical Analysis, (30):887–897, 2010.
L. N. Trefethen et al.
Chebfun Version 4.2.
The Chebfun Development Team, 2011.
http://www.maths.ox.ac.uk/chebfun/.
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