Material Complementar 1 - EME

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Elementos de Matemática e Estatística 
Material Complementar 1 – Princípio Multiplicativo, Permutação, Arranjos e Combinações. 
 
Existem algumas contas que são frequentemente utilizadas em problemas de matemática. Foi 
observado também que o conhecimento de alguns “esquemas” de contagem poderia facilitar a resolução 
de tais problemas. Isso não significa, no entanto, que os problemas não possam ser resolvidos de forma 
diferente. Apenas o processo de resolução fica agilizado. 
 
● No Princípio Multiplicativo parte-se do princípio, por exemplo, que existe um número 
determinado de tarefas (ou situações) que devam realizadas, onde para cada uma delas somente uma das 
alternativas de execução deva ser escolhida. 
Exemplo: 
Considere uma situação onde em um biotério existem 8 camundongos e 5 coelhos para 
participarem das experiências. Um pesquisador realizará o seguinte experimento: selecionará um 
camundongo para verificar a frequência cardíaca dele após injetar uma droga e depois selecionará um 
coelho para avaliar o tempo de execução de uma tarefa após a ingestão de um estimulante. Quantos 
grupos distintos de cobaias o pesquisador teria a disposição para seu experimento? 
Repare que neste problema das 13 cobaias disponíveis somente duas serão utilizadas. Como será 
selecionado um animal de cada espécie, o pesquisador terá 8 opções de camundongo e 5 opções de 
coelho. Assim o total de grupos distintos será: 
8 × 5 = 40 
 
● A Permutação considera que iremos dispor em fila, por exemplo, um número determinado de 
objetos, animais ou pessoas. 
Exemplo: 
Considere uma situação onde em um laboratório há 5 lâminas com amostras de sangue, 
identificadas pelos números 1, 2, 3, 4 e 5. Cada lâmina será avaliada por um técnico distinto. De quantas 
formas as lâminas podem ser dispostas para serem avaliadas? 
Neste problema, todas as lâminas serão utilizadas. Temos que pensar então que devemos 
considerar todas as sequências diferentes de números 1 a 5. Portanto, a ordem do número é importante 
(1 2 3 4 5 ≠ 5 4 3 2 1 e assim por diante). Isso configura um problema de permutação das 5 lâminas. 
Permutação de 5 é representada por: 
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 sequências distintas 
 
● O Arranjo considera que iremos selecionar de um grupo de várias pessoas (ou objetos) apenas 
algumas delas, mas a ordem que elas serão selecionadas é considerada importante. 
Exemplo: 
Considere uma situação onde em um biotério existem 10 cobaias para participarem dos 
experimentos. Um pesquisador selecionará 3 cobaias para realizar uma experiência. A 1ª cobaia tomará 
uma droga X, a 2ª cobaia a droga Y e a 3ª cobaia uma substância placebo. De quantas maneiras isso pode 
ser feito? 
Repare que neste problema das 10 cobaias disponíveis apenas 3 serão utilizadas e para tomarem 
drogas distintas. Assim o total de maneiras distintas será dada por: 
𝐴(10, 3) = 
10!
(10 − 3)!
=
10!
7!
= 10 × 9 × 8 = 720 
 
● A Combinação também considera que iremos selecionar de um grupo de várias pessoas (ou 
objetos) apenas algumas delas, mas a ordem que elas serão selecionadas não tem a menor importância. 
Exemplo: 
Considere uma situação onde em um biotério existem 10 cobaias para participarem dos 
experimentos. Um pesquisador selecionará 3 cobaias para realizar uma experiência. De quantas maneiras 
isso pode ser feito? 
Repare que neste problema das 10 cobaias disponíveis apenas três serão. Assim o total de 
maneiras distintas será dada por: 
𝐶(10, 3) = 
10!
(10 − 3)! × 3!
=
10!
7! × 3!
=
10 × 9 × 8
3 × 2 × 1
= 120 
 
Tanto no Arranjo como na Combinação é permitido que a seleção seja de todas as pessoas (ou 
objetos) que participam do grupo. 
 
Observação: Leia o módulo atentamente para conhecer melhor a formalização destes conceitos.