AD1_EME_2022_1

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 - Elementos de Matemática e Estat́ıstica - 1/2022
Código da disciplina EAD02010 (antigo) ou EAD01081 (novo)
GABARITO
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Todas as respostas devem estar devidamente justificadas e com todos os cálculos.
• Em todos os exerćıcios de probabilidade defina os eventos e transcreva a pergunta do problema em probabilidades
de eventos ou operações de eventos.
Questão 1 [1,0 pt] Uma pesquisa sobre os grupos sangúıneos ABO, na qual foram testadas 6 000
pessoas de uma mesma raça, revelou que 2 527 têm o ant́ıgeno A, 2 234 o ant́ıgeno B e 1 846
não têm nenhum ant́ıgeno. Nessas condições, qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas,
escolhida aleatoriamente, tenha os dois ant́ıgenos?
Seja XA o evento “pessoa possui o ant́ıgeno A”e seja XB o evento “pessoa possui o ant́ıgeno B”.
Estamos interassados na probabilidade do evento XA∩XB. Tal probabilidade pode ser escrita como
P (XA ∩XB) =
# de pessoas com os ant́ıgenos A e B
# total de pessoas
.
Seja A o conjuntos de pessoas com ant́ıgeno A e seja B o conjunto de pessoas com ant́ıgeno B.
Começamos observando que
|A ∪B| = 6000− 1846 = 4154.
Além disso, como |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|, temos que
|A ∩B| = 2527 + 2234− 4154 = 607.
Portanto, P (XA ∩XB) = 607/6000 ' 10, 11%
Questão 2 [1,0 pt] A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é 0,25. Determine
a probabilidade de um casal ter dois filhos de sexos diferentes.
Seja F o evento “criança do sexo feminino”e seja M o evento “criança do sexo masculino”.
O enunciado nos diz que
P (M) = 0, 25.
Elementos de Matemática e Estat́ıstica AD1 2021/2
Portanto,
P (F ) = 1− 0, 25 = 0, 75.
Estamos interessados no evento “duas crianças de sexo diferentes”. Observe que podemos escrever
“duas crianças de sexo diferentes”como “primeira criança do sexo feminino e segunda criança do sexo
masculino”representado pelo par (Feminino, Masculino), ou “primeira criança do sexo masculino e
segunda criança do sexo feminino”, representado pelo par (Masculino, Feminino). Ou ainda podemos
ver como o complemento do evento “duas crianças do mesmo sexo.”
Filhos de sexos diferentes:
P ((Masculino, Feminino)) = 0, 25× 0, 75 = 0, 1875
P ((Feminino, Masculino)) = 0, 75× 0, 25 = 0, 1875
A chance de ter dois filhos de sexos diferentes é:
P ((Masculino, Feminino) ou (Feminino, Masculino)) =
P ((Masculino, Feminino)) + P ((Feminino, Masculino))= 2 * 0,1875 = 0,375 = 37,5%.
Questão 3 [1,0 pt] Se lançarmos 3 dados ao mesmo tempo, qual a probabilidade de pelo menos 2
números iguais ficarem voltados para cima?
Começamos observando que o complemento do evento “pelo menos 2 números iguais voltados para
cima”é “todos os números voltados para cima são diferentes entre si”. Portanto, estamos interessados
no evento “todos os números voltados para cima são diferentes entre si”.
O número de triplas de números formadas apenas por número diferentes é igual a 6×5×4 enquanto
que o número total de triplas é 63. Dessa forma, temos que
P (todos os números voltados para cima são diferentes entre si ) = 6× 5× 463 = 5/9.
Portanto, a probabilidade de pelo menos 2 números iguais ficarem voltados para cima é igual a
1− 5/9.
Questão 4 [1,0 pt] 10% dos adultos com mais de 50 anos de uma comunidade têm diabetes. Um
exame laboratorial indica que 90% das pessoas com diabetes são portadoras da doença X e 95%
das pessoas que não têm diabetes não são portadoras de X. Se uma pessoa é selecionada ao acaso,
qual a probabilidade de um adulto com mais de 50 anos dessa comunidade ser diagnosticado como
portador da doença X?
Considere os seguintes eventos:
• X : pessoa com a doença X;
• D : pessoa com diabetes.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Elementos de Matemática e Estat́ıstica AD1 2021/2
O enunciado nos diz que P (X|D) = 0, 9 e P (X|D) = 0, 95. Além disso, o caso considereado de
uma pessoa com mais de 50 anos, temos que P (D) = 0, 1. O enunciado nos pede então para calcular
P (X) no caso de uma pessoa com mais de 50 anos. Temos então que:
P (X) = P (D ∩X) + P (D ∩X)
= P (X|D)P (D) + P (X|D)P (D)
= P (X|D)P (D) + (1− P (X|D))(1− P (D))
= 0, 9× 0, 1 + (1− 0, 95)× (1− 0, 1) = 0, 135.
Questão 5 [1,0 pt] Uma caixa tem 5 bolas azuis, 3 bolas vermelhas, 8 bolas verdes e 4 bolas
brancas. Se alguém retirar 3 bolas de forma aleatória de dentro da caixa e sem reposição, qual a
probabilidade de nenhuma ser verde?
Vamos olhar para as posśıveis triplas (b1, b2, b3) de bolas retiradas em que bi é a cor da i-ésima bola
reitrada. O número de triplas sem a cor verde é igual a:
12× 11× 10
uma vez que para a primeira bola temos 12 opções de bolas que não são verdes, para a segunda
bola temos 11 opções de bolas que não são verdes (pois uma já foi usada na primeira bola) e para a
terceira bola temos 10 opções de bolas que não são verdes.
O total de posśıveis triplas são 20× 19× 18. Logo, a probabilidade de nenhuma bola ser verde é
12× 11× 10
20× 19× 18 = 11/57.
Questão 6 [1,0 pt] Um laboratório farmacêutico desenvolveu um novo medicamento X para trata-
mento de uma determinada doença Y. Em seus estudos, o laboratório demonstrou que esse medica-
mento é capaz de curar completamente 30% dos pacientes em estágio avançado; 62% dos pacientes
em estágio intermediário; e 100% dos pacientes em estágio inicial da doença Y. Estima-se que, na
população de pacientes com a doença Y, 30% encontram-se em estágio avançado; 50% em estágio
intermediário; e 20% em estágio inicial. Dado que um paciente foi completamente curado após o
uso da droga X, qual a probabilidade de ele ter apresentado a doença Y em estágio avançado antes
do ińıcio do tratamento?
Conseidere os eventos:
• C: paciente com a doença Y é curado;
• A: paciente com a doença Y em estágio avançado;
• M : paciente com a doença Y em estágio intermediário;
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Elementos de Matemática e Estat́ıstica AD1 2021/2
• I: paciente com a doença Y em estágio inicial.
O enunciado nos diz que: P (C|A) = 0, 3; P (C|M) = 0, 62; P (C|I) = 1; P (A) = 0, 3; P (M) =
0, 5; e P (I) = 0, 2. Além disso, é pedido P (A|C).
Começamos observando que
P (C) = P (C|A)P (A) + P (C|M)P (M) + P (C|I)P (I).
Portanto, P (C) = 0, 6.
Para encontrar P (A|C) aplicamos o teorema de Bayes:
P (A|C) = P (C|A)P (A)
P (C)
Logo, P (A|C) = 0, 15.
Questão 7 [0,5 pt] Maria escreve uma carta para Pedro com probabilidade 1/3. Sabe-se que tendo
escrito alguma carta, Maria a envia com probabilidade 1/2. No correio local, a probabilidade de uma
carta se extraviar é de 1/4. Quando recebe carta de Maria, Pedro escreve carta-resposta a Maria
com probabilidade 1/3. Pedro sempre entrega pessoalmente as cartas que escreve.
Qual a probabilidade de Maria escrever uma carta para Pedro e Pedro responder a carta de Maria?
Para Maria escrever uma carta para Pedro e Pedro responder a carta de Maria precisamos que os
seguintes eventos ocorram:
1. Maria escreve uma carta para Pedro ( ocorre com prob. 1/3);
2. Maria envia a carta escrita ( ocorre com prob. 1/2);
3. A carta de Maria para Pedro não é extraviada ( ocorre com prob. 1-1/4);
4. Pedro escreve carta-resposta a Maria ( ocorre com prob. 1/3).
Portanto, a probabilidade de Maria escrever uma carta para Pedro e Pedro responder a carta de
Maria é 13 ×
1
2 ×
3
4 ×
1
3 .
Questão 8 [1,0 pt] Considerando-se os eventos aleatórios A e B, em que P (A|B) = P (B|A), é
correto afirmar que esses eventos são mutuamente independentes? Justifique.
Não. Dois eventos A e B são independentes se P (A∩B) = P (A)P (B). Sabemos que P (A|B)P (B) =
P (A ∩B) = P (B|A)P (A).
Se, por exemplo, P (A|B) = P (B|A) = 0.3 e P (A) = P (B) = 0.2, teŕıamos que P (A ∩B) = 0.06
e P (A)P (B) = 0.04. Ou seja, teŕıamos P (A|B) = P (B|A), porém P (A ∩B) 6= P (A)P (B)
implicando que os eventos não são mutuamente independentes.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Elementos de Matemática e Estat́ıstica AD1 2021/2
Questão 9 [0,5 pt] ) Dois eventos independentes A e B têm probabilidades respectivas iguais a
0, 4 e 0, 5. Qual a probabilidade de A ∪B ocorrer? Explique todos os passos do seu racioćınio.
Começamos observando que
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
Como os eventos são independentes temos que
P (A ∩B) = P (A)P (B) = 0, 4× 0, 5 = 0, 2.
Portanto, P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0, 4 + 0, 5− 0, 2 = 0, 7.
Questão 10 [1,0 pt] Dois eventos A e B são tais que P (A) = 0, 8, P (B) = 0, 5 e P (A|B) = 0, 4.
Calcule P (B|A).
Usando o teorema de Bayes temos que
P (B|A) = P (A|B)P (B)
P (A) =
0, 4× 0, 5
0, 8 .
Questão 11 [1,0 pt] Considere a variável aleatória X representando o valor da face em um
lançamento de um dado, cuja probabilidade de sair uma face ı́mpar é duas vezes maior que a pro-
babilidade de sair uma face par (faces ı́mpares possuem probabilidades iguais; faces pares possuem
probabilidades iguais). Qual o valor esperado de X?
Seja P (x) a probabilidade de sair o número x no lançamento de um dado. Temos que
P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) + P (6) = 1.
Além disso, o enunciado nos diz que P (1) = P (3) = P (5), P (2) = P (4) = P (6) e P (1) + P (3) +
P (5) = 2(P (2) + P (4) + P (6)). Portanto, P (1) = P (3) = P (5) = 2/9 e P (2) = P (4) = P (6) =
1/9.
Calculando o valor esperado E(X), obtemos
E(X) = 1P (1) + 2P (2) + 3P (3) + 4P (4) + 5P (5) + 6P (6) = 3, 3.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ