Mecânica Quântica: Operador σy e seus autovetores

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Mecânica Quântica I - F 689 A
2o. Teste - 25/10/2004
Aluno: RA:
Em um espaço bidimensional, considere o operador cuja matrix, em uma base
ortonormal {|1〉, |2〉} é escrita como:
σy =
(
0 −i
i 0
)
1. σy é Hermitiana? Calcule seus autovalores e autovetores (dê suas expansões
normalizadas em termos da base {|1〉, |2〉}).
(σy)
∗
ij = (σ)ji ⇒ σ†y = σy
Portanto σy é Hermitiana.∣∣∣∣ −λ −ii −λ
∣∣∣∣ = 0 ⇒ λ2 − 1 = 0 ⇒ λ = ±1
λ = 1 ⇒
(
−1 −i
i −1
)(
c
(+1)
1
c
(+1)
2
)
=
(
0
0
)
⇒ c(+1)2 = ic
(+1)
1
|u1〉 =
(
c
(+1)
1
c
(+1)
2
)
= c
(+1)
1
(
1
i
)
|u1〉 = c(+1)1 (|1〉+ i|2〉) ⇒ 〈u1| =
(
c
(+1)
1
)∗
(〈1| − i〈2|)
〈u1|u2〉 =
∣∣∣c(+1)1 ∣∣∣2 (1 + 1) = 1 ⇒ c(+1)1 = 1√
2
|u1〉 =
1√
2
(|1〉+ i|2〉)
Analogamente:
|u2〉 =
1√
2
(|1〉 − i|2〉)
2. Determine as matrizes que representam os projetores sobre estes autovetores.
Verifique se as relações de ortogonalidade e fechamento são satisfeitas por estes
autovetores.
P1 = |u1〉〈u1|
(P1)ij = 〈i|u1〉〈u1|j〉
(P1)11 = 〈1|u1〉〈u1|1〉 = 1/2 (P1)12 = 〈1|u1〉〈u1|2〉 = −i/2
(P1)21 = 〈2|u1〉〈u1|1〉 = i/2 (P1)22 = 〈2|u1〉〈u1|2〉 = 1/2
P1 =
1
2
(
1 −i
i 1
)
.
Da mesma forma
P2 =
1
2
(
1 i
−i 1
)
PE = P1 + P2 =
(
1 0
0 1
)
= 1
Portanto a relação de fechamento
∑2
i=1 |ui〉〈ui| = 1 é satisfeita.
Na sua determinação, os vetores de estado |u1〉 e |u2〉 foram normalizados.
Podemos calcular diretamente 〈u1|u2〉 e verificar que estes vetores são ortogonais,
〈u1|u2〉 = 0
〈u2|u1〉 = 〈u1|u2〉∗ = 0
Outra maneira de obtermos este resultado é verificar que
P1P2 = 0
o que implica nos dois subespaços E1 e E2 serem expandidos por vetores ortogo-
nais.