TELA-qual-e-a-area-do-quadrilatero---guia-do-professor

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Experimento
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
 Geometria 
e medidas
Guia do professor
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Qual é a área do quadrilátero?
Objetivos da unidade
Apresentar diferentes formas de se calcular ou aproximar a área 1. 
de quadri láteros;
Analisar situações e fazer escolhas coerentes com a realidade.2. 
Guia do professor
Sinopse
Neste experimento, serão apresentadas aos alunos diferentes formas para 
o cálculo, algumas vezes aproximado, da área de um quadrilátero. Em 
seguida, será pedido que construam um quadrilátero para ser estudado 
por alguns colegas de sala. Na etapa final, cada grupo fará aproximações 
para a área do polígono que recebeu, utilizando os métodos apresentados 
e discutirão qual forma foi a mais eficiente.
Conteúdos
Geometria Plana, Áreas e Perímetros.
Objetivos
Apresentar diferentes formas de se calcular ou aproximar a área de quadri­1. 
láteros;
Analisar situações e fazer escolhas coerentes com a realidade.2. 
Duração
Uma aula dupla.
.
Qual é a área 
do 
quadrilátero?
Todos os professores de Matemática já devem ter ouvido alguma história 
sobre a demarcação de terras no antigo Egito como sendo a origem do que 
hoje chamamos de Geometria. A questão era: como restituir as proprie-
dades sobre as áreas plantáveis que ficavam às margens do Rio Nilo após 
suas enchentes? As respostas para esse tipo de pergunta são dadas pelo 
conceito de área.
 Mas será que esse tipo de questão ainda é pertinente, dado o avanço dos 
conhecimentos matemáticos e dos recursos tecnológicos disponíveis?
 Acreditamos que a resposta seja afirmativa. Os governos utilizam 
fotos aéreas para medir a área de terrenos urbanos e rurais e então cal-
cular o imposto que deve ser cobrado do proprietário; os cortadores de 
cana-de-açúcar precisam estimar a área que cortaram ao final de um dia 
de trabalho para calcularem o pagamento; trabalhadores da construção 
civil precisam determinar áreas tanto para fazer as edificações quanto para 
calcular a quantidade de material a ser comprado para uma reforma; mate-
máticos lidam com o conceito de área em contextos abstratos envolvendo 
superfícies quaisquer.
 Cada uma dessas situações possui demandas e condições diferentes, 
e é importante que os alunos tenham afinidade com o conceito de área 
e conheçam diferentes abordagens para situações relacionadas a ele.
O cálculo de áreas não precisa ser encarado, necessariamente, como um 
conjunto de fórmulas específicas para cada figura geométrica conhecida. 
A grande contribuição que este experimento pretende dar aos alunos, muito 
mais do que o domínio de técnicas específicas, é mostrar que existem 
diferentes métodos para calcular áreas, precisos ou aproximados, cada 
qual com suas vantagens e desvantagens, e que a escolha sobre qual deles 
utilizar pode ser feita de maneira inteligente.
 Opções para calcular a área 
do quadrilátero
Nesta primeira etapa, o professor deve apresentar os 3 métodos que serão 
explorados neste experimento. Tanto o método da média dos lados opostos 
quanto o de contar quadrados não apresentam grandes dificuldades, 
porém, o Teorema de Pick é pouco conhecido e receberá mais atenção 
neste Guia.
 O teorema vale para um polígono qualquer construído com seus vérti-
ces sobre os vértices de uma malha quadriculada. Definiremos o número 
de picks ( ) do polígono como sendo , onde 
é o número de vértices do quadriculado nas arestas do polígonos e é 
o número de vértices dentro do polígono.
 O Teorema de Pick nos diz que, se tomarmos a área de cada quadrado 
determinado pela malha como unidade, a área do polígono descrito acima 
é numericamente igual ao seu número de picks.
Demonstração do Teorema de Pick
Para demonstrar esse teorema vamos usar dois resultados: todo polígono 
com vértices nos pontos do quadrado pode ser decomposto em triângulos 
com seus vértices sobre os vértices do quadriculado e que o número 
de picks de uma figura obtida pela justaposição de duas mais simples é 
igual a soma dos números de picks delas.
 Comecemos pelo segundo resultado. Dado dois polígonos, digamos que 
o primeiro possui pontos interiores e pontos na fronteira, portanto, 
seu número de picks é . Analogamente, o número 
de picks no segundo polígono é .
 Ao unir os dois polígonos justapondo uma ou mais de suas arestas, 
os pontos que estavam no interior de cada um dos polígonos vão continuar 
no interior do novo polígono. Já os pontos de fronteira, que estavam nas 
arestas que foram justapostas, passarão a pertencer ao interior do novo 
polígono. Portanto, , onde é o número de pontos nas 
arestas justapostas (os pontos destacados na figura acima não devem ser 
contabilizados em , pois não passaram a fazer parte do interior do novo 
polígono).
fig. 1
 Os pontos de fronteira do novo polígono serão justamente os pontos 
de fronteira dos polígonos anteriores ( ), menos os que perten-
ciam às arestas justapostas ( , pois cada um desses pontos foi contado 
tanto em quanto em ), menos (pois os pontos destacados na figura 
acima também foram contados tanto em quanto em ), portanto, 
.
 Finalmente, temos que o número de picks do polígono resultante da 
justaposição, por definição, é igual a:
 
 
 
 
 Dessa forma, ao unir dois polígonos com seus vértices sobre os vértices 
de um quadriculado, o número de picks do novo polígono será igual à soma 
do número de picks dos polígonos iniciais. 
 Esse resultado nos basta para demonstrar que a fórmula de Pick vale 
para triângulos, uma vez que todo polígono pode ser decomposto como 
triângulos com seus vértices sobre os vértices do quadriculado (essa afir-
mação não será demonstrada aqui, mas pode ser facilmente constatada 
com alguns esboços sobre um papel quadriculado).
 Agora, vamos verificar se o número de picks de fato corresponde à área 
de um triângulo qualquer.
 Dado um triângulo qualquer, podemos completá-lo para um triângulo 
retângulo como foi feito com o triângulo a seguir.
 E dado um triângulo retângulo, podemos obter, por justaposição de 
dois deste, um retângulo. Logo, basta demonstrar a fórmula de Pick para 
retângulos. 
 Os retângulos, por sua vez, podem ser vistos como uma justaposição 
de quadrados unitários, para os quais a verificação de que o número de picks 
é numericamente igual a área é elementar. Sendo assim, a fórmula de Pick 
vale para qualquer polígono que tenha seus vértices sobre os vértices 
de uma malha quadriculada. Particularmente, vale para os quadriláteros!
 Utilização do método
Nesta etapa, os alunos deverão aplicar os métodos apresentados e o 
professor deve ficar atento ao trabalho deles para que não cometam erros, 
especialmente no uso das malhas quadriculadas.
fig. 2
O objetivo deste experimento é confrontar métodos variados, precisos ou 
aproximados, para o cálculo da área de um quadrilátero qualquer. É impor-
tante que os alunos percebam que cada método tem suas vantagens e des-
vantagens, e que a escolha deve se basear nos objetivos de quem calcula 
e nas informações disponíveis e acessíveis. O experimento Qual o prisma 
com maior volume? (disponível no Portal do Professor), por exemplo, 
é feito com diferentes métodos para o cálculo da área de triângulos.
 Note que nenhum dos 3 métodos sugeridos inicialmente funciona com 
precisão para um quadrilátero qualquer, o que pode despertar a seguinte 
pergunta entre os alunos: “há alguma fórmula que calcule a área exata 
de um quadrilátero qualquer?”. A pergunta é extremamente pertinente 
e, de fato, existem fórmulas para isso. Mas não apresentaremos aqui 
nenhuma delas, pois as expressões não costumam ser muito simples 
e o objetivo deste experimento não é que os alunos se prendam a métodos 
específicos. 
 Contudo, há um detalhe sobre essas possíveis fórmulas que deve ser 
lembrado: um quadrilátero não é unicamente determinado pela medida dos 
seus quatro lados (imagine um paralelogramo inclinado sem deformaçãodos seus lados, apenas dos seus ângulos). Isso significa que, nessa possível 
fórmula para o cálculo da área de um quadrilátero, deverão aparecer outros 
elementos, como as medidas das diagonais ou dos ângulos.
 De fato, a fórmula a seguir, cuja expressão se parece muito com a famosa 
fórmula de Heron para o cálculo da área de um triângulo, depende da medida 
de dois ângulos opostos entre si ( e ) e dos quatro lados do quadrilátero 
( , , e e o semi-perímetro ): 
 
Dentre os métodos apresentados, o Teorema de Pick tem uma característica 
muito peculiar: a contagem dos vértices na fronteira e no interior do polí-
gono é discreta, enquanto que a medida da área é uma grandeza contínua. 
Essa contradição aparente deve despertar algum interesse nos alunos.
 Uma das variações que podem ser feitas a partir desse experimento 
é justamente explorar o Teorema de Pick em toda sua plenitude, ou seja, 
com polígonos quaisquer, inclusive os côncavos. Os dois sites apontados 
na bibliografia trazem explorações bastante completas e interessantes 
deste teorema que podem servir inclusive como um roteiro para que os 
alunos possam demonstrá-lo.
http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/pick2.html – acessado em 6/6/2009.
http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1867 – acessado em 6/6/2009 
(em inglês).
http://www.olimpiada.ccet.ufrn.br/treinamento_2006/notas_aula/nota_aula_02.pdf – 
acessado em 3/9/2009.
Lima, E. L. Meu Professor de Matemática e outras histórias. Rio de Janeiro: 
Editora SBM, 1997.
Ficha técnica
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática, 
Estatística e Computação 
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual 
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor 
de Projetos Educacionais 
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons 
Autor
Leonardo Barichello
Projeto gráfico 
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira