TELA-qual-e-o-cone-com-maior-volume---guia-do-professor

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Experimento
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Guia do professor
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 geometria 
e medidas
Qual é o cone com maior volume?
Objetivos da unidade
Dado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone 1. 
com maior volume que se poderia montar;
Explorar a maximização e minimização de funções.2. 
Guia do professor
Sinopse
Reunidos em grupos, os alunos construirão seis cones diferentes usando o 
mesmo material inicial (um círculo de cartolina com 8 cm de raio) e tentarão 
organizá-los em ordem de volume. Feito isso, calcularão seus volumes 
a partir de suas medidas e tentarão descobrir como o cone deveria ser 
montado para que se obtivesse o maior volume possível. 
Conteúdos
Geometria Espacial – Aplicação: Problema de Otimização.
Objetivos
Dado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone com maior volume 1. 
que se poderia montar;
Explorar a maximização e minimização de funções.2. 
Duração
Uma aula dupla.
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Qual é o cone 
com maior 
volume?
A otimização de embalagens, peças e recipientes é um processo frequente 
em indústrias de maneira geral. Normalmente, o que se quer é obter o maior 
volume consumindo uma quantidade fixa de material ou obter um certo 
volume usando a menor quantidade de material possível.
 Do ponto de vista matemático, o foco central é a investigação de 
pontos de máximos e mínimos de funções. Esses pontos podem ser 
extremos locais, denominados pontos críticos (onde a derivada pri-
meira da função é zero ou inexistente), como no caso do ponto de 
mínimo da parábola , ou de máximo da função, como em 
, por exemplo. Em muitas situações, os pontos procurados 
são extremos globais da função dentro de uma determinada região. As 
funções podem, ainda, ter uma, duas ou muitas variáveis. 
 Assim, quando falamos em otimização, podemos estar nos referindo a 
métodos matemáticos, a algoritmos computacionais, a modelagem de um 
problema ou a alguma necessidade prática específica. Ou, na maioria das 
vezes, a tudo isso junto.
 O experimento proposto envolve alguns desses aspectos da otimização. 
Utilizando círculos de cartolina, os alunos vão construir vários cones e, 
a partir de algumas análises, poderão, experimentalmente, levantar 
hipóteses sobre como deve ser a construção do sólido para que ele tenha 
o maior volume possível.
Este experimento apresenta um procedimento completo de modelagem 
matemática com enfoque em otimização. Vários conceitos estudados no 
Ensino Médio, como funções, gráficos, relações métricas no plano e volume 
de sólidos, serão utilizados para o estudo do problema proposto. Durante 
as atividades, os alunos são convidados a tomar decisões, validar suas 
hipóteses ou modelos e, ao final, poderão comparar as respostas que 
obtiveram com as respostas dos diferentes grupos.
Comentários iniciais
Professor, certifique-se de que os alunos entenderam qual é o problema, 
a saber, cortar o círculo de cartolina e depois colar de forma a ter um cone 
que tenha o maior volume interno possível.
 Construção dos cones
Quando os alunos cortarem o círculo (veja figura abaixo), ambas as fatias 
podem ser usadas para construir cones. Desta forma, cada corte pode gerar 
dois cones. Isto não é óbvio para os alunos inicialmente. Deixe-os fazer os 
cortes e peça apenas que eles guardem as fatias cortadas. Oportunamente, 
mostre que eles podem fazer outros cones com as fatias cortadas.
 Cálculo dos volumes
No cálculo dos volumes dos cones, ambas as medidas devem ser feitas 
com cuidado para não ter muito erro ao final. 
 A medida do diâmetro ou raio da base circular usualmente tem menos 
erro sistemático, pois os alunos os medem diretamente. No entanto, 
qualquer erro nesta medida vai aparecer duplamente no cálculo da área 
da base.
 A altura do cone é uma medida que exige um pouco mais de atenção 
porque é indireta, mas com um pouco de zelo não deve gerar muitos erros 
no cálculo do volume.
fig. 1
fig. 2 Medida da altura do cone.
Θ
Na seção “Modelagem do problema” no Fechamento do experimento 
é deduzida a seguinte expressão para o cálculo do volume do cone em 
função do ângulo da fatia retirada do disco inicial:
 Durante o experimento, foi mencionado o fato de que o valor máximo 
para o volume do cone ocorre quando é aproximadamente igual a . 
A seguir, vamos determinar precisamente esse valor utilizando alguns 
conceitos de cálculo diferencial:
 Fazendo a substituição
podemos escrever o volume do cone em função de ,
.
 Pela natureza do problema, devemos ter e, da expressão de 
, 
devemos ter . Logo, o domínio da função são todos os valores 
reais de , tais que .
 Note que o valor de é uma fração que representa a porção do disco que 
será utilizada na construção do cone. Portanto, o raio do cone construído 
será igual ao raio do disco multiplicado por . 
 De fato, conforme deduzimos no experimento,
.
 O mesmo fato pode ser observado para a área lateral do cone ( ) em 
relação à área do disco original ( ):
.
Determinação do cone ótimo utilizando cálculo diferencial
Estamos interessados em encontrar o ponto de máximo da função
.
 Se elevarmos ambos os lados da igualdade acima ao quadrado, pode-
mos nos livrar da raiz quadrada que aparece na equação. Assim,
,
ou ainda,
.
 Vamos denotar por a função que representa o quadrado do volume 
do cone, isto é, .
 Do ponto de vista da otimização, maximizar um volume é equivalente a 
maximizar o seu quadrado. Ou seja, podemos considerar a função ao 
invés da função . De fato, se um ponto é um ponto de máximo (ou 
de mínimo) para a função , também será um ponto de máximo (ou 
de mínimo) para . Obviamente, os valores das imagens e 
são diferentes.
 Expandindo a multiplicação em , podemos escrever
.
 Sabemos que os extremos locais de função diferenciável ocorre onde a 
derivada primeira é nula ou inexistente.
 Derivando em relação a , obtemos,
,
ou ainda,
.
 Para encontrar seus pontos críticos, devemos resolver a equação 
.
ou
 Como a derivada está definida para todos os valores de ( 
é uma função polinomial), temos que os únicos pontos críticos de são 
, e . Como não pertence ao domínio 
que nos interessa, simplesmente vamos descartar esse valor. Um ponto 
crítico pode ser um máximo local, um mínimo local ou ainda um ponto de 
inflexão da função.
 Para classificarmos os pontos críticos de , vamos analisar sua deri-
vada segunda:
.
 Avaliando os pontos críticos na segunda derivada, obtemos:
<
 O teste da derivada segunda não é conclusivo para o ponto . Mas, 
claramente, implica , isto é, o volume do cone é igual 
a zero. Como o volume do cone é um número não negativo, o valor é, 
certamente, mínimo absoluto para .
 Como < , o ponto é um ponto de máximo local da 
função .
 O ângulo que deve ser retirado para obtenção do cone ótimo é encon-
trado após desfazermos a substituição 
.
 Assim,
, .
 Portanto, o valor máximo para o volume do cone será obtido quando o 
ângulo da fatia retirada for igual a 
, . 
 Isso equivale a um volume aproximado de 
, cm .
Interpretação geométrica para o cone ótimo
Já dissemos que o valor de 
representa a fração do disco que será retirada para a construção do cone. 
Deduzimos que, para obter o maior volume possível, , é neces-
sário que a altura deste cone seja igual a . Portanto, o cone 
de maior volume que pode ser construído retirando uma fatia de um disco 
circular possui raio da base igual a e altura igual a . 
Note que , ou seja, a relação entre o raio e a altura do cone ótimo 
é a mesma relação existente entre o lado de um quadrado e sua diagonal 
interna.
 Isso signifi ca que um cone ótimo pode ser construído com régua e 
compasso, conforme ilustrado na figura 3: baixando a diagonal para 
formar o raio da base do cone e mantendo o lado do quadrado como altura 
do cone.Considerações fi nais
Conforme sugerido no experimento, o fechamento da atividade será feito 
com um desafi o proposto aos alunos:
Quem consegue obter o cone de maior volume?
 Esperamos que os alunos utilizem os resultados de seus experimentos 
para estimar valores de cada vez mais próximos de , , obtendo 
cones com volumes que convirjam para , cm . O professor pode 
ainda propor um desafi o adicional:
fig. 3
 Questão para os alunos
Quantos cones com 1. cm de volume podem ser construídos?
Se houver mais de um desses cones, calcule qual possui a menor área 2. 
lateral.
 A resposta exata da questão 1. envolve a resolução da equação
,
que, mesmo escrita na forma
,
ainda não tem solução analítica trivial.
 No entanto, uma análise do gráfi co construído através do experimento 
permite concluir que existem dois cones com volumes iguais a cm . 
Um deles tomando , e outro tomando .
 Questão para os alunos
0
30
60
90
120
150
180
210
0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
fig. 4
 Da relação 
, 
concluímos que, para , , a fatia de disco utilizada para formar o 
cone terá área igual a 
,
, cm .
De forma análoga, para , a fatia de disco utilizada para formar o 
cone terá área igual a 
, cm .
 Portanto, o cone formado a partir da retirada da fatia de disco com 
ângulo possui a menor área lateral. Finalmente, uma embalagem 
com volume igual a cm , em forma de cone, produzida a partir de um 
disco circular de raio cm, seria a opção mais econômica em termos 
de área lateral.
Uma variação deste experimento pode ser encontrada no software “Cone 
de volume máximo”, no qual os alunos modelam o problema e desenham 
o gráfi co da função no computador.
Lima, Elon Lages; Carvalho, Paulo Cezar Pinto; Wagner, Eduardo; 
Morgado, Augusto César. A matemática do Ensino Médio. Coleção do 
professor de matemática. Vol. 2. Sociedade Brasileira de Matemática. Impa. 
Rio de Janeiro – RJ, 2003.
Ficha técnica
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática, 
Estatística e Computação 
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual 
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor 
de Projetos Educacionais 
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons 
Autor
Cristiano Torezzan
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi 
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico 
e ilustrações técnicas
Preface Design
 
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto