Aplicações de funções

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19/12/2022 13:46 Aplicações de funções
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Aplicações de funções
Prof.º André Luís Corte Brochi
Descrição
Cálculo das taxas de variação média entre duas grandezas e interpretá-las. Interpretação de gráficos que representem a variação das funções custo,
receita e lucro em relação à quantidade produzida de certa utilidade com o intuito de analisar o comportamento de cada uma delas quanto ao seu
crescimento e decrescimento.
Propósito
Habituar o aluno ao uso de funções matemáticas, ilustrando com exemplos que frequentemente surgem no dia a dia profissional.
Preparação
Ao longo deste estudo, você precisará de uma calculadora.
Objetivos
Módulo 1
Taxas de variação médias
Calcular taxas de variação médias entre duas grandezas.
Módulo 2
Taxas de variação em grá�cos
Relacionar as taxas de variação em gráficos com períodos de crescimento e decrescimento.
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Módulo 3
Funções custo, receita e lucro
Analisar as funções custo, receita e lucro, bem como seus gráficos.
Módulo 4
Demanda e a oferta de produtos
Analisar, por meio de funções, a demanda e a oferta de produtos a partir do preço praticado.
Introdução
A Matemática é uma das áreas mais amplas do conhecimento. Ela vai desde análises abstratas até as aplicações mais corriqueiras do nosso
cotidiano. Praticamente qualquer fenômeno ao nosso redor pode ser representado matematicamente, e muitas vezes essa representação nos ajuda
a aprender algo importante, ou a solucionar um problema concreto.
Neste estudo, veremos algumas aplicações, com ilustrações tanto teóricas quanto práticas. Desse modo, você vai se habituar com uma linguagem
que poderá encontrar e usar ao longo dos seus estudos e da sua vida profissional.
1 - Taxas de variação médias

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Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular taxas de variação médias entre duas grandezas.
Vamos começar!
Os diversos usos das variáveis
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre os diversos usos das variáveis. Vamos lá!
Taxa de variação média de em relação a 
No estudo da relação entre variáveis, quando conseguimos quantificá-las, utilizamos as funções matemáticas, como aquelas que você estudou no
ensino médio, em que, geralmente, expressamos o valor de uma variável em relação à outra, que costumamos denotar por .
Variável dependente
A variável é comumente chamada de variável dependente.
Variável independente
A variável é comumente chamada de variável independente.
Para compreender melhor o comportamento da variável dependente em relação à variável independente, muitas vezes, utilizamos o cálculo da taxa
de variação da primeira em relação à segunda, isto é, quanto que varia para cada unidade de .
Vamos considerar uma variável dada em função de , ou seja:

y x
y x
y
x
y x
y x
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Rotacione a tela. 
A taxa de variação média de em relação a , em um intervalo (para variando de até ), é dada por:
Rotacione a tela. 
Essa expressão indica o quanto a variável dependente varia para cada unidade aumentada na variável independente .
É comum representarmos a variação ocorrida em uma variável inserindo a letra grega ("delta" maiúscula) antes da sua indicação. Por exemplo, a
variação da variável será notada por . Sendo assim, a taxa de variação de em relação a poderá ser expressa por:
Rotacione a tela. 
Algumas vezes, para facilitar representação, os valores e das fórmulas acima são indicados por e , respectivamente. De forma semelhante,
escrevemos:
Rotacione a tela. 
Utilizando esse tipo de notação, podemos escrever:
Rotacione a tela. 
Exemplo 1
Dada a função , em que , vamos calcular, inicialmente, a taxa de variação média de para variando de 2 a 
.
Nesse caso, consideramos:
 e 
Rotacione a tela. 
Assim:
 
Rotacione a tela. 
Consequentemente:
 
Rotacione a tela. 
A taxa de variação média, portanto, será dada por:
y = f(x)
y x a ≤ x ≤ b x a b
f(b)−f(a)
b−a
y x
Δ
x Δx y x
Δy
Δx =
f(b)−f(a)
b−a
a b x2 x1
y2 = f(b) e y1 = f(a)
Δy
Δx =
y2−y1
x2−x1
y = f(x) f(x) = 3 + 2x y = f(x) x
5(2 ≤ x ≤ 5)
x1 = 2 x2 = 5
y1 = f (x1) = f(2) = 3 + 2.2 = 3 + 4 = 7
y2 = f (x2) = f(5) = 3 + 2.5 = 3 + 10 = 13
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Rotacione a tela. 
Esse resultado nos diz que há um aumento de 2 unidades na variável para cada aumento de uma unidade em .
Agora, vamos determinar a taxa de variação média para , variando de 2 a 4.
Nesse caso, temos:
 e 
Rotacione a tela. 
Já vimos que:
Rotacione a tela. 
Já o valor de será dado por:
 
Rotacione a tela. 
A taxa de variação média, portanto, será dada por:
 
Rotacione a tela. 
Observe que não houve alteração na taxa média de variação de em relação a . É que o tipo de relação entre tais variáveis é linear, pois é descrita
por uma função de primeiro grau. Nesse caso, a variação de em relação a é uma constante. Experimente calcular as taxas médias para outros
intervalos de e note que o resultado será sempre o mesmo.
Exemplo 2
Vamos calcular algumas taxas médias de variação considerando a função:
Rotacione a tela. 
Taxa média de variação de em relação a no intervalo .
Comecemos determinando a taxa média de variação de em relação a no intervalo .
Temos, portanto, e . Assim,
Rotacione a tela. 
e
Δy
Δx =
y2−y1
x2−x1
= 13−75−2 =
6
2 = 2
y x
x
x1 = 2 x2 = 4
y1 = f (x1) = f(2) = 7
y2
y2 = f (x2) = f(4) = 3 + 2.4 = 3 + 8 = 11
Δy
Δx =
y2−y1
x2−x1
= 11−74−2 =
4
2 = 2
y x
y x
x
y = f(x) = x2 + 2x
y x 0 ≤ x ≤ 3
y x 0 ≤ x ≤ 3
x1 = 0 x2 = 3
y1 = f (x1) = f(0) = 0
2 + 2 ⋅ 0 = 0
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Rotacione a tela. 
A taxa que queremos determinar, então, será dada por:
Rotacione a tela. 
O que acontece se considerarmos o intervalo ?
Vamos calcular a taxa de variação média nesse caso.
Consideraremos e . Já vimos que e, além disso, teremos:
Rotacione a tela. 
Nesse caso, a taxa que queremos determinar será dada por:
Rotacione a tela. 
O resultado, como vemos, não é o mesmo. Esse tipo de função não apresenta a taxa de variação constante como a do exemplo anterior.
Exemplo 3
Uma função pode apresentar decrescimento em um trecho e, no outro, crescimento. Considere a função:
Rotacione a tela. 
Vamos calcular as taxas de variação média em diferentes intervalos.
Crescimento de em relação a no intervalo .
Vamos calcular a sua taxa de variação média no intervalo . Temos que: е .
Daí:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
y2 = f (x2) = f(3) =
32 + 2 ⋅ 3 = 9 + 6 = 15
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
15 − 0
3 − 0
=
15
3
= 5
0 ≤ x ≤ 2
x1 = 0 x2 = 2 y1 = f (x1) = f(0) = 0
y2 = f (x2) = f(2) =
22 + 2 ⋅ 2 = 4 + 4 = 8
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
8 − 0
2 − 0
=
8
2
= 4
f(x) = x3 − 3x2 + x + 3
y x 1 ≤ x ≤ 3
1 ≤ x ≤ 3 x1 = 1 x2 = 3
y1 = f (x1) = f(1) =
13 − 3 ⋅ 12 + 1 + 3 =
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
Rotacione a tela. 
e
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
Rotacione a tela. 
Aqui, observa-se um crescimento de em relação a .
O que acontece se considerarmos o intervalo ?
Nesse caso, teremos: , .
E:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
Rotacione a tela. 
Isso indica que houve, em média, decréscimo de uma unidade em quando aumentouuma unidade.
Exemplo 4
Vejamos mais um exemplo que mostra o cálculo de taxas de variação média, mas considerando também valores negativos para .
1 − 3 + 1 + 3 = 2
y3 = f (x2) = f(3) =
33 − 3 ⋅ 32 + 3 + 3 =
27 − 27 + 3 + 3 = 6
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
6 − 2
3 − 1
=
4
2
= 2
y x
1 ≤ x ≤ 2
x1 = 1, x2 = 2 y1 = f (x1) = f(1) = 2
y2 = f (x2) = f(2) =
23 − 3 ⋅ 22 + 2 + 3 =
8 − 12 + 2 + 3 = 1
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
1 − 2
2 − 1
=
−1
1
= −1
y x
x
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Considere a função:
Rotacione a tela. 
Vamos determinar a taxa de variação média dessa função no intervalo .
Temos e . Daí:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
e
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Portanto, a taxa média de variação será dada por:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Como é possível constatar, não há alteração no processo, porém será preciso atentar-se aos sinais.
Mão na massa
Questão 1
Dada a função , a sua taxa de variação no intervalo é:
f(x) = x2 − 3x − 4
−3 ≤ x ≤ −1
x1 = −3 x2 = −1
y1 = f(−3) =
(−3)2 − 3(−3) − 4 =
9 + 9 − 4 = 14
y2 = f(−1) =
(−1)2 − 3(−1) − 4 =
1 + 3 − 4 = 0
Δy
Δx =
y2−y1
x2−x1
= 0−14−1−(−3)
= −142 = −7

f(x) = 5 − 3x 2 ≤ x ≤ 7
A -3
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EConsiderando%20%5C(x%20_%7B1%7D%3D2%5C)%20e%20%5C(x%20_%7B2%7D%3D7%5C)%2C%20temos%3A%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A
3%20%5Ccdot%202%3D5-6%3D-
1%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20e%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2
3%20%5Ccdot%207%3D5-21%3D-
16%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20u-
centered'%3EDa%C3%AD%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'u-
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20f%7D%7B%5CDelta%20f%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x_%7B2%7D%5Cright)-
f%5Cleft(x_%7B1%7D%5Cright)%7D%7Bx_%7B2%7D-
x_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B-
16-(-1)%7D%7B7-2%7D%3D%5Cfrac%7B-
16%2B1%7D%7B5%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7
15%7D%7B5%7D%3D-3%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
Dada a função , sua taxa de variação no intervalo é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EConsiderando%20%5C(x%20_%7B1%7D%3D-
1%5C)%20e%20%5C(x%20_%7B2%7D%3D2%5C)%2C%20temos%3A%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
3%20%5Ccdot(-1)%5E%7B2%7D%2B(-1)-4%3D-3-1-4%3D-
8%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20e%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
3%20%5Ccdot%202%5E%7B2%7D%2B2-4%3D-12%2B2-4%3D-
14%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20u-
centered'%3EDa%C3%AD%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'u-
B 5
C -0,6
D -5
E -7
f(x) = −3x2 + x − 4 −1 ≤ x ≤ 2
A -3
B -2
C -4
D 0
E 1
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medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20f%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x_%7B2%7D%5Cright)-
f%5Cleft(x_%7B1%7D%5Cright)%7D%7Bx_%7B2%7D-
x_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B-14-
(-8)%7D%7B2-(-1)%7D%3D%5Cfrac%7B-
14%2B8%7D%7B2%2B1%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B-
6%7D%7B3%7D%3D-2%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 3
Se a demanda de certo produto, em milhares de unidades, é dada em função de seu preço unitário , a taxa de variação
média de para o intervalo é:
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EConsidere%20%5C(p%20_%7B1%7D%3D500%5C)%20e%20%5C(p%20_%7B2%7D%3D1.000%5C)%20reais.%20Assim%2C%20temos%3A%
5.500%3D8.500-
2.500%3D6.000%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
5%20%5Ccdot%201.000%3D8.500-
5.000%3D3.500%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Portanto%2C%20a%20taxa%20m%C
medium%20c-table%20u-centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20D%7D%7B%5CDelta%20p%7D%3D%5Cfrac%7BD_%7B2%7D-
D_%7B1%7D%7D%7Bp_%7B2%7D-
p_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B3.500-
6.000%7D%7B1.000-500%7D%3D%5C)%5C(%5Cfrac%7B-
2.500%7D%7B500%7D%3D%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-centered'%3E-5%20unidades%2Freal.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 4
Se a quantidade ofertada de certo bem, em toneladas, pode ser expressa em função do seu preço unitário , em reais, na forma 
, o quanto essa quantidade varia, em média, quando o preço sobe de R$150,00 para R$180,00?
D D = 8.500 − 5p
D 500 ≤ p ≤ 1.000
A -8 unidades/real.
B 2 unidades/real.
C 5 unidades/real.
D -5 unidades/real.
E -2 unidades/real.
S p
S = 2p − 240
A 240 unidades/real.
B 20 unidades/real.
C 2 unidades/real.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EConsidere%20%5C(p%20_%7B1%7D%3D150%5C)%20e%20%5C(p%20_%7B2%7D%3D180%5C)%20reais.%20Assim%2C%20temos%3A%3
240%3D300-
240%3D60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A
240%3D360-
240%3D120%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Portanto%2C%20a%20taxa%20m%C3%A9dia%2
medium%20c-table%20u-centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20S%7D%7B%5CDelta%20p%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B2%7D-
S_%7B1%7D%7D%7Bp_%7B2%7D-
p_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B120-
60%7D%7B180-
150%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B60%7D%7B30%7D%3D%5C%2
Questão 5
Quando uma função associa o custo de produção de certa utilidade à sua quantidade produzida q, ela é denominada função custo total
dessa utilidade. A taxa de variação do custo total em relação à quantidade produzida, isto é, considerando uma variação de 0 a quantidades
produzidas, é denominada custo variável médio de produção e é dada por , em que é o custo
total para a produção de unidades dessa utilidade.
Se a função custo total de uma utilidade é dada por , qual será o custo variável médio para a produção de 200
unidades? Considere em unidades e em reais.
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EO%20custo%20vari%C3%A1vel%20m%C3%A9dio%20para%20%5C(q%3D200%5C)%20%C3%A9%20a%20taxa%20de%20varia%C3%A7%C3
paragraph%20c-table%20u-centered'%3E%5C(C%20V%20M(200)%3D%5Cfrac%7BC_%7BT%7D(200)-
C(0)%7D%7B200%7D%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20u-
centered'%3Ecomo%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-medium%20u-centered%20text-
center-
last'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C(200)%3D2.000%2B200%2B0%2C1%20%5Ccdot%20200%5E%7B2%7D%3D2.0
medium%20u-centered'%3Ee%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-medium%20u-
centered%20text-center-last'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C(0)%3D2.000%2B0%2B0%2C1%20%5Ccdot%200%5E%7B2%7D%3D2.000%20
medium%20u-centered%20text-center-
last'%3E%5C(C%20V%20M(200)%3D%5C)%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
medium%20u-centered%20text-center-
last'%3E%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B6.200-
2.000%7D%7B200%7D%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bequation%7D%20%3C%2Fp%3E%20%20%20%20%20%2
D 12 unidades/real.
E 31 reais/unidade.
CT
CV M(q) =
CT(q)−C(0)
q−0 =
CT(q)−C(0)
q CT(q)
q
CT(q) = 2.000 + q + 0, 1q
2
q CT
A 20 reais/unidade.
B 21 reais/unidade.
C 18 reais/unidade.
D 16 reais/unidade.
E 56 reais/unidade.
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medium%20u-centered%20text-center-
last'%3E%24%24%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B4.200%7D%7B200%7D%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%
medium%20u-centered'%3E%3Cb%3E21%20unidades%2Freal%3C%2Fb%3E.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 6
A população de uma cidade cresce ao ano. Em 2010, eram 40 mil habitantes. O seu tamanho, anos após 2010, pode ser calculado pela
expressão .
A taxa média de crescimento (aproximada) dessa população entre os anos de 2012 e 2019 é:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EPara%202012%2C%20temos%20%5C(x%20_%7B1%7D%3D2%5C)%20e%2C%20em%202019%2C%20%5C(x%20_%7B2%7D%3D9%5C)%20
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
44.100%7D%7B9-
2%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B17.952%7D%7B7%7D%20%5Ccong%5C)%3C%2Fp
paragraph%20u-centered'%3E%3Cb%3E2565%20hab%2Fano%3C%2Fb%3E.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
Teoria na prática
Uma taxa de variação média à qual você certamente já se referiu diversas vezes é a velocidade média. Ela corresponde à taxa média de variação da
posição de um objeto em relação ao tempo. Considere, por exemplo, um objeto que se desloca de acordo com a equação (função horária) em que s
corresponde à sua posição, em metros, no instante segundos.
Para determinar sua velocidade média em determinado intervalo de tempo , basta calcular a variação média de sua posição nesse intervalo.
Veja como é o movimento desse objeto no vídeo a seguir, no qual vamos calcular sua velocidade média entre os instantes 1 e 5 segundos.
y 5% x
y = 40.000 ⋅ (1 + 0, 05)x
A 1.875 hab/ano.
B 2.125 hab/ano.
C 2.565 hab/ano.
D 2.955 hab/ano.
E 3.150 hab/ano.
_black
t
s(t) = −t2 + 10t
(Δt)

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Carro em movimento
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A taxa de variação média de em relação a , em determinado intervalo, representa:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20taxa%20de%20varia%C3%A7%C3%A3o%20de%20uma%20vari%C3%A1vel%20%5C(y%5C)%20em%20rela%C3%A7%C3%A3o%20%
Questão 2
Se a taxa de variação média de uma função com variando de 1 a 6 é igual a 10, então é correto concluir que:
Mostrar solução
y x
A Quantas unidades varia, em média, para cada aumento de uma unidade em nesse intervalo.y x
B Quantas unidades variou no intervalo considerado.x
C Qual o percentual de aumento de nesse intervalo.y
D Qual o percentual de aumento de nesse intervalo.x
E Quantas unidades varia, em média, para cada aumento de uma unidade em nesse intervalo.x x
f(x) x
A f(1) = 10
B
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'u-medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7Bf(6)-f(1)%7D%7B6-
1%7D%3D10%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-table%20u-centered'%3EEnt%C3%A3o%2C%20%5C(f%20(6)-%20f%20(1)%3D10%20%5Ccdot(6-
1)%3D50%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
2 - Taxas de variação em grá�cos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de relacionar as taxas de variação em grá�cos com períodos de crescimento e
decrescimento.
Vamos começar!
Representando Funções em Grá�cos
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre a representação de funções em gráficos. Vamos lá!
B f(6) = f(1) + 10
C f(6) − f(1) = 10
D f(6) − f(1) = 50
E f(6) = 10

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Análises grá�cas e representações geométricas
Já vimos, no módulo anterior, como determinar a taxa de variação, isto é, de crescimento ou decrescimento de uma variável em relação à outra por
meio dos valores calculados a partir das funções que as relacionam. No entanto, toda função matemática pode ser representada graficamente e,
por conseguinte, a análise da taxa de variação também.
Veremos como é possível examinar a variação de uma variável em relação à outra com base em análises gráficas e como representá-la
geometricamente.
Considere uma função e um intervalo no qual ela está definida.
A próxima imagem mostra a variação de e a variação de para o intervalo dado.
Os pontos A e B têm coordenadas e , respectivamente.
A reta que passa por esses pontos tem inclinação que muda de acordo com a taxa de variação média da função em relação a no intervalo
.
Seu coeficiente angular corresponde a essa taxa de variação. Se a taxa de variação aumentar, por exemplo, a reta apresentará inclinação mais
acentuada.
Taxa de variação média: interpretação gráfica.
Para determinar se um gráfico apresenta tendência de crescimento ou decrescimento em um intervalo dado, basta calcular a taxa de variação média
nesse intervalo ou verificar se a reta que une os dois pontos correspondentes ao intervalo é crescente (coeficiente angular positivo) ou decrescente
(coeficiente angular negativo).
Exemplo 1
Considere o gráfico abaixo.
Vamos determinar a taxa de variação média de em relação a , inicialmente, para o intervalo Temos, nesse caso, e 
y = f(x) a ≤ x ≤ b
y(Δy) x(Δx)
(a, f(a)) (b, f(b))
f(x) x
a ≤ x ≤ b
y x 2 ≤ x ≤ 6. Δx = 6 − 2 = 4
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.
Logo, a taxa de variação média é:
Rotacione a tela. 
Observe que, se considerarmos outro intervalo qualquer, como, por exemplo, , a taxa de variação média permanecerá igual, pois se trata
de um gráfico com comportamento linear.
Para esse último intervalo, temos e .
Portanto, a taxa de variação média é:
Rotacione a tela. 
Exemplo 2
Vamos calcular as taxas médias de variação apresentadas pelo gráfico a seguir para os intervalos e .
Considerando e , teremos e . Portanto, a taxa média de variação de em relação a será dada por:
Rotacione a tela. 
Agora, se considerarmos e , teremos e . Portanto, a taxa média de variação de em relação a será dada por:
Rotacione a tela. 
Δy = 6 − 4 = 2
Δy
Δx =
2
4 = 0, 5
2 ≤ x ≤ 4
Δx = 4 − 2 = 2 Δy = 5 − 4 = 1
Δy
Δx =
1
2 = 0, 5
1 ≤ x ≤ 3 −1 ≤ x ≤ 2
x1 = 1 x2 = 3 y1 = 2 y2 = 6 y x
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
6 − 2
3 − 1
=
4
2
= 2
x1 = −1 x2 = 2 y1 = −2 y2 = 1 y x
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
1 − (−2)
2 − (−1)
=
3
3
= 1

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Mão na massa
Questão 1
No gráfico apresentado, a taxa de variação de quando varia de —2 a 4 é:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c-table%20u-centered'%3EPara%20%5C(x%20_%7B1%7D%3D-
2%5C)%2C%20temos%20%5C(y%20_%7B1%7D%3D4%5C)%20e%20para%20%5C(x%20_%7B2%7D%3D4%5C)%2C%20temos%20%5C(y%20_%7B2%7D%
5%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20u-
centered'%3EPortanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'u-
medium%20c-table%20u-centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7By_%7B2%7D-
y_%7B1%7D%7D%7Bx_%7B2%7D-
x_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B-
5-4%7D%7B4-
(-2)%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B-
9%7D%7B6%7D%3D-1%2C5%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
A taxa de variação da função, representada pelo gráfico, para variando de 2 a 5 é:
y x
A -3,5
B -2,3
C -1,5
D -1,2
E -0,7
x
A 0,5
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Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EPara%20%5C(x%20_%7B1%7D%3D2%5C)%2C%20temos%20%5C(y%20_%7B1%7D%3D1%2C2%5C)%20e%20para%20%5C(x%20_%7B2%7
paragraph%20u-
centered'%3EPortanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'u-
medium%20c-table%20u-centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7By_%7B2%7D-
y_%7B1%7D%7D%7Bx_%7B2%7D-
x_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B0-
1%2C2%7D%7B5-2%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B-
1%2C2%7D%7B3%7D%3D-0%2C4%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 3
A taxa de variação da função representada pelo gráfico acima para variando de -4 a -3 é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20c-table%20u-
centered'%3EPara%20%5C(x%20_%7B1%7D%3D-4%5C)%2C%20temos%20%5C(y%20_%7B1%7D%3D-
B -0,4
C -0,25
D -0,5
E 0
x
A -2,4
B 1,25
C -3,2
D -4,8
E 0
19/12/2022 13:46 Aplicações de funções
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00348/index.html# 19/46
1%5C)%20e%20para%20%5C(x%20_%7B2%7D%3D-3%5C)%2C%20temos%20%5C(y%20_%7B2%7D%3D-
3%2C4%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph%20u-
centered'%3EPortanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'u-medium%20c-
table%20u-centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7By_%7B2%7D-
y_%7B1%7D%7D%7Bx_%7B2%7D-
x_%7B1%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B-
3%2C4%2B1%7D%7B-3%2B4%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B-
2%2C4%7D%7B1%7D%3D-2%2C4%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 4
No gráfico, considere os intervalos —1 ≤ ≤ 2 e 0 ≤ ≤ 3.
Suas taxas médias de crescimento são, respectivamente:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20analisarmos%20a%20maior%20taxa%20m%C3%A9dia%20de%20crescimento%2C%20uma%20das%20formas%20%C3%A9%20
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20start%20--
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%20px-
0%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'row%20align-items-center%20justify-
content-center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'col-12%20col-md-
10%20col-lg-6'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-
image%20src%3D%22img%2F09.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Andr%C3%A9%20Lu%C3%ADs%20Corte%20Brochi%22%20loading%3D%
image%3E%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
-%3Cdiv%20class%3D%22c-legenda%20mt-
3%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22c-
paragraph%20u-
text%22%3EForte%20em%20Saint%20Tropez%20ao%20por%20do%20sol.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
-
%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C
-%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20end%20--%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20termos%20certeza%20de%20que%20h%C3%A1%20ou%20n%C3%A3o%20diferen%C3%A7a%2C%20determinaremos%20as%20
table%20u-centered'%3E%5C(x%20_%7B1%7D%3D-
1%20%3B%20x%20_%7B2%7D%3D2%20%3B%20y%20_%7B1%7D%3D3%5C)%20e%20%5C(y%20_%7B2%7D%3D9%5C).%3C%2Fspan%3E%3C%2Fp%3E
paragraph%20u-
centered'%3EA%20taxa%20de%20varia%C3%A7%C3%A3o%20m%C3%A9dia%20%C3%A9%2C%20portanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20
medium%20c-table%20u-centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7B9-3%7D%7B2-
(-1)%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B6%7D%7B3%7D%3D2%5C).%3C%2Fp%
paragraph%20u-centered%20c-
table'%3EPara%20o%20intervalo%200%20%E2%89%A4%20%5C(x%5C)%20%E2%89%A4%203%2C%20temos%3A%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%
x x
A 2 e 2
B 3 e 2
C 2 e 3
D 3 e 3
E 8 e 7
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paragraph%20u-
centered'%3EA%20taxa%20de%20varia%C3%A7%C3%A3o%20m%C3%A9dia%20%C3%A9%2C%20portanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20
medium%20c-table%20u-centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7B7-1%7D%7B3-
0%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B6%7D%7B3%7D%3D2%5C).%3C%2Fp%3E
Questão 5
O gráfico representa a produção de aço de uma mineradora no período de 2013 a 2019.
A taxa média de variação aproximada na produção de aço nesse período é:
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EEm%202013%2C%20podemos%20considerar%20uma%20produ%C3%A7%C3%A3o%20de%204%2C5%20toneladas.%20Em%202019%2
medium%20c-table%20u-centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B5%2C0%20%5Ctext%20%7B%20ton%20%7D-
4%2C5%20%5Ctext%20%7B%20ton%20%7D%7D%7B(2019-
2013)%20%5Ctext%20%7B%20anos%20%7D%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B5%2C
4%2C5%20%5Ctext%20%7B%20ton%20%7D%7D%7B6%20%5Ctext%20%7B%20anos%20%7D%7D%20%5Ccong%5C)%200%2C083%20ton%2Fano.%3C
Questão 6
O gráfico mostra a evolução do consumo de certo cereal entre os anos de 2010 e 2015 em uma grande região.
Sabe-se que, de 2015 a 2019, houve uma redução de 20% na taxa média de consumo, se comparada ao período 2010-2015. Sendo assim, qual
foi a quantidade consumida desse cereal em 2019?
A 0,75 ton/ano.
B -0,025 ton/ano.
C 0,097 ton/ano.
D 0,083 ton/ano.
E 0,5 ton/ano.
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Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVemos%20que%2C%20de%202010%20a%202015%2C%20houve%20um%20aumento%20de%200%2C75%20ton%20no%20consumo%2
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B0%2C75%20%5Ctext%20%7B%20ton%20%7D%7D%7B5%20%5Ctext%20%7B%20anos%20%7D%7D%3D%5C)%200%2C1
paragraph'%3EComo%2C%20no%20per%C3%ADodo%20entre%202015%20e%202019%2C%20houve%20diminui%C3%A7%C3%A3o%20da%20taxa%20
table%20u-centered'%3E%5C((1-
0%2C20)%20%5Ccdot%200%2C15%3D0%2C80%20%5Ccdot%200%2C15%3D0%2C12%5C)%20ton%5C(%2F%5C)ano.%3C%2Fspan%3E%3C%2Fp%3E%
Teoria na prática
O cálculo da taxa média de variação é utilizado em diversas situações das mais diversas áreas. Inclusive, já vimos algumas dessas aplicações.
No campo da Economia e das Finanças, um conceito bastante utilizado é o de custo marginal, que consistena mudança no custo total de produção
resultante da variação em uma unidade da quantidade produzida.
Para melhor compreensão, apresentaremos, adiante, uma situação de análise de custos.
Quando se produz certa utilidade, é importante analisar os custos de produção e a receita gerada pela sua comercialização. Dessa forma, torna-se
possível a avaliação dos lucros obtidos em tal processo. Dois dos principais conceitos que devem ser considerados nessa análise são: custo
variável médio e custo marginal.
Em situações em que se conhece a função que modela o custo de produção, utilizamos um conceito que foge ao escopo desse texto, que é o de
derivada de uma função para definir e obter o custo marginal. Porém, quando os custos são analisados com base em tabelas que os relacionam
com a quantidade produzida, esse conceito remete ao uso da taxa de variação média.
Quantidade de garrafas Custo total (R$)
0 5.000,00
1.000 11.000,00
1.500 12.000,00
1.800 14.000,00
A 1,87 ton.
B 2,98 ton.
C 3,15 ton.
D 3,75 ton.
E 2,00 ton.
_black
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Quantidade de garrafas Custo total (R$)
2.000 17.000,00
O gráfico a seguir representa os dados dessa tabela.
Como seria o cálculo do custo fixo, custo variável médio e custo marginal médio?
Quantidade de garrafas Custo total (R$) Custo marginal Custo médio (R$) Custo marginal médio (R$)
0 5.000 - - -
1.000 11.000 6.000 6,00 6,00
1.500 12.000 1.000 0,67 2,00
1.800 14.000 2.000 1,11 6,67
2.000 17.000 3.000 1,50 15,00
Note que, quando aumentamos a quantidade produzida de 1.000 para 1.500 unidades, o custo total varia R$1.000,00, ou seja, cada unidade
produzida a mais, nesse intervalo, gera um aumento de R$2,00 no custo total.
Esse é o custo marginal médio do intervalo, e é o menor dos valores apresentados. Entretanto, quando a produção passa de 1.800 para 2.000
unidades, o custo marginal é demasiadamente grande.
Isso indica que o cenário é mais favorável à produção quando a quantidade produzida gira em torno de 1.500 unidades, e menos favorável quando
ela se aproxima de 2.000 unidades.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considerando dois pontos e em um gráfico, a taxa de variação média de para o intervalo é dada
por:
Mostrar solução
A = (x1, y1) B = (x2, y2) y x1 ≤ x ≤ x2
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20taxa%20de%20varia%C3%A7%C3%A3o%20de%20uma%20vari%C3%A1vel%20%5C(y%5C)%20em%20rela%C3%A7%C3%A3o%20%
large%20c-table%20u-centered'%3E%5C(%5Cfrac%7By_%7B2%7D-y_%7B1%7D%7D%7Bx_%7B2%7D-
x_%7B1%7D%7D%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
Considere o gráfico a seguir, que mostra os custos totais de produção de certa utilidade para determinadas quantidades produzidas.
O custo variável médio quando são produzidos 40kg dessa utilidade é:
A
y2
y1
B
y2
x2
C
y2−y1
x2−x1
D
x2−x1
y2−y1
E
y2−x2
y1−x1
A 180 R$/kg.
B 160 R$/kg.
C 72,00 R$/kg.
D 32,50 R$/kg.
E 175 R$/kg.
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Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20custo%20vari%C3%A1vel%20m%C3%A9dio%20para%20certa%20quantidade%20%C3%A9%20a%20taxa%20de%20varia%C3%A7%
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B7.200-800%7D%7B40-
0%7D%3D%5Cfrac%7B6.400%7D%7B40%7D%3D160%20%5Cmathrm%7BR%24%7D%20%2F%20%5Cmathrm%7Bkg%7D%20%5Ctext%20%7B.%20%7D%
3 - Funções custo, receita e lucro
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar as funções custo, receita e lucro, bem como seu grá�cos.
Vamos começar!
Funções Matemáticas Aplicadas à Área Financeira
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre as funções matemáticas aplicadas à área financeira. Vamos lá!
Funções custo, receita e lucro totais
As funções matemáticas, das mais elementares às mais complexas, são utilizadas nas análises de variação de duas grandezas, uma em relação à
outra, em vários cenários e têm uma infinidade de aplicações práticas. Neste módulo, serão abordadas as funções custo, receita e lucro totais.

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Elas são largamente utilizadas na Administração, Economia, nas Ciências Contábeis e em áreas afins.
A função custo total de uma utilidade relaciona o seu custo total de produção com a quantidade produzida que é dada pela soma dos
custos fixos e dos custos variáveis , como a seguir:
Os custos variáveis, geralmente, são obtidos pela multiplicação do custo unitário pela quantidade produzida q. Dessa forma, a função custo
total pode ser expressa por:
Observe que esse é o formato de uma função de primeiro grau. Apesar de poder assumir outras formas, a função custo total geralmente
apresenta esse tipo de comportamento linear.
Os custos fixos são aqueles que não estão diretamente relacionados à produção. Eles são compostos, por exemplo, pelo aluguel que a
empresa paga pela instalação, pelos salários de seus colaboradores etc. Mesmo que, em determinado período, não seja produzida nenhuma
unidade do produto, o custo fixo ocorre. Já o custo variável é aquele que tende a variar de forma direta à quantidade produzida: quanto mais
se produz, maior é o custo variável (total). Se nenhuma unidade for produzida, o custo variável será nulo.
A função receita total de uma utilidade relaciona o valor total recebido pela comercialização de unidades dessa utilidade e é expressa
pelo produto entre o seu preço unitário e a quantidade comercializada, como a seguir:
Apesar de expressa em relação a duas variáveis (preço e quantidade), conseguimos representá-la com função apenas da variável . Isso
porque o preço pode ser fixado ou expresso em relação à quantidade. Quando o preço é fixo, a função receita tem comportamento linear.
Porém, quando o preço se relaciona com a quantidade (por meio de uma função de demanda, como veremos no próximo módulo), assume
outras formas, como, por exemplo, a de uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola.
O ponto no qual o custo se iguala à receita é denominado ponto de nivelamento. Ele é importante na determinação da meta de produção e
venda, pois, a partir dele, começa-se a verificar a ocorrência de lucro.
A função denominada função lucro total associa, a cada quantidade q produzida e comercializada, a diferença entre as respectivas
funções receita total e o custo total. Sua forma é:
Ela fornece o lucro obtido com a produção e comercialização de q unidades de uma utilidade, podendo assumir valores negativos (prejuízo),
positivos (lucro), ou até mesmo ser nula. Neste último caso, consideramos que custo e receita se igualam.
Função custo total 
CT
CF CV
CT = CF + CV
c
CT = CF + c ⋅ q
Função receita total 
RT q
p
RT = p ⋅ q
q
p
Função lucro total 
(LT)
LT = RT − CT
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Exemplo
Para produzir certa utilidade, uma fábrica gasta R$10,00 por unidade, além de uma despesa fixa (que independe da quantidade produzida) de
R$800,00. Cada unidade produzida é vendida por R$14,00.Temos:
Custo fixo: = R$800,00.
Custo unitário: = R$10,00.
Preço unitário de venda: = R$14,00.
Para expressar o custo total em relação à quantidade produzida , colocamos esses valores na expressão:
Rotacione a tela. 
Assim, temos:
Rotacione a tela. 
A função receita total tem a forma:
Rotacione a tela. 
Nesse caso, ela é expressa por:
Rotacione a tela. 
Oponto de nivelamento é aquele em que custos e receita se igualam. Para determiná-lo, começamos resolvendo a equação:
Rotacione a tela. 
Concluímos, portanto, que, quando são produzidas e comercializadas 200 unidades, não há lucro nem prejuízo, pois receita e custo assumem o
mesmo valor.
Para determinar esse valor, basta substituir q por 200 na função custo ou receita.
Veja:
Rotacione a tela 
CF
c
p
CT q
CT = CF + c ⋅ q
CT = 800 + 10 ⋅ q
RT = p ⋅ q
RT = 14 ⋅ q
RT = CT
14q = 800 + 10q
14q − 10q = 800
4q = 800
q =
800
4
q = 200
CT(200) = 800 + 10 ⋅ 200 = 800 + 2.000 = 2.800 reais 
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Rotacione a tela. 
ou
Rotacione a tela. 
Logo, o ponto de nivelamento será dado por (200, 2.800).
A seguir, veja o gráfico com as funções custo e receita e com o ponto de nivelamento.
Observe, no gráfico, que o encontro dos segmentos que representam as funções custo e receita ocorre quando . À esquerda desse ponto, o
custo supera a receita, indicando, portanto, que, para (quantidades inferiores a 200 unidades), ocorre prejuízo. À direita, é a receita que
supera o custo, indicando que, para , ocorre lucro.
A função lucro total pode ser obtida considerando:
Rotacione a tela. 
Daí, temos:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Inserindo a representação dessa função no mesmo gráfico em que estão representadas as funções custo total e receita total, podemos comparar as
variações dessas três funções. Veja a seguir:
Note que o segmento que representa a função lucro total intercepta o eixo horizontal no valor = 200 (isso significa que o lucro é igual a zero
quando a quantidade é igual a 200), que é a mesma quantidade do ponto de nivelamento, pois, quando receita e custo se igualam, o lucro é nulo.
A função lucro total pode ser utilizada para estimar o lucro obtido com a venda de certa quantidade q dessa utilidade e para determinar qual
quantidade deve ser produzida e vendida para que determinada meta de lucro seja alcançada. Por exemplo, se queremos determinar o lucro quando
são produzidas e comercializadas 500 unidades, fazemos:
Rotacione a tela 
RT(200) = 14 ⋅ 200 = 2.800 reais 
q = 200
q < 200
q > 200
LT
LT = RT − CT
LT = 14q − (800 + 10q)
LT = 14q − 800 − 10q
LT = 4q − 800
q
LT(500) = 4.500 − 800 = 2.000 − 800 = 1.200 reais 
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Rotacione a tela. 
Agora, se pretendemos determinar qual quantidade deve ser produzida para que o lucro seja de, por exemplo, R$3.000,00, devemos resolver a
equação:
Rotacione a tela. 
Isto é:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Mão na massa
Questão 1
Para certa utilidade, a função custo total, em reais, para uma quantidade produzida q, em quilogramas, é dada por C(q) = 3.000 + 50q.
Analise os gráficos a seguir e marque a alternativa com o gráfico que representa essa função no intervalo 0 ≤ q ≤ 200 é:
LT(q) = 3.000
4q − 800 = 3.000
4q = 3.000 + 800
4q = 3.800
q = 3.8004
q = 950

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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EComo%20a%20fun%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9%20de%20primeiro%20grau%2C%20seu%20gr%C3%A1fico%20%C3%A9%20parte%2
lo.%20Vamos%20considerar%2C%20para%20obt%C3%AA-
los%2C%20as%20quantidades%20limites%200%20e%20200.%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
table%20u-
centered'%3E%5C(q%3D0%20%5Crightarrow%20C(0)%3D3.000%2B50%20%5Ccdot%200%3D3.000%5C)%20reais%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%2
table%20u-
centered'%3E%5C(q%3D200%20%5Crightarrow%20C(200)%3D3.000%2B50%20%5Ccdot%20200%3D3.000%2B10.000%3D13.000%5C)%20reais%3C%2
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20start%20-
-%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%20px-
0%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'row%20align-
items-center%20justify-content-
center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'col-
12%20col-md-10%20col-lg-
12'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C
image%20src%3D%22img%2F17.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Andr%C3%A9%20Lu%C3%ADs%20Corte%20Brochi%22%20loading%3D%
image%3E%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
-%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20end%20--%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
As funções custo total e receita total referentes a certo componente eletrônico são: 
 
e 
O seu ponto de nivelamento é:
A Imagem 1
B Imagem 2
C Imagem 3
D Imagem 4
E Imagem 5
CT = 4.000 + 12q
RT = 20q
A (125; 2.500)
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20ponto%20de%20nivelamento%20%C3%A9%20aquele%20em%20que%20%5C(R_%7BT%7D%3DC_%7BT%7D%5C).%20Portanto%2C
table%20u-
centered'%3E%5C(R_%7BT%7D%3DC_%7BT%7D%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(20%20q%
table%20u-
centered'%3E%5C(R_%7BT%7D(500)%3D20.500%3D10.000%5C)%20reais.%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
Questão 3
O gráfico representa a função custo total referente a certo bem.
O custo fixo de produção desse bem e o seu custo unitário (variável) são, respectivamente:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20custo%20fixo%20corresponde%20ao%20valor%20do%20custo%20total%20quando%20%5C(q%3D0%5C).%20Observe%2C%20no%
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(%5Cfrac%7B%5CDelta%20C_%7BT%7D%7D%7B%5CDelta%20q%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20
1.000%7D%7B200-
B (600; 12.000)
C (600; 12.000)
D (500; 10.000)
E (125,1.500)
A R$1.000,00 e R$50,00.
B R$5.000,00 e R$10,00.
C R$1.000,00 e R$25,00.
D R$5.000,00 e R$50,00.
E R$0,00 e R$30,00.
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0%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B5.000%7D%7B200%7D%3D%5C)
paragraph%20u-centered'%3E%3Cb%3E25%20reais%2Funidade%3C%2Fb%3E.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 4
Dadas as funções custo total e receita total e , o gráfico de sua função lucro total no intervalo é:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPrimeiro%2C%20vamos%20obter%20a%20express%C3%A3o%20que%20fornece%20o%20lucro%20total%20desse%20produto%20em%
medium%20c-table%20u-centered'%3E%5C(L_%7BT%7D%3DR_%7BT%7D-
C_%7BT%7D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(L_%7BT%7D%3D280%20q-
(2.500%2B150%20q)%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(L_%7BT%7D%3D280%20q-2.500-
150%20q%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(L_%7BT%7D%3D130%20q-
2.500%5C).%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
medium%20c-table%20u-centered'%3E%5C(L_%7BT%7D(0)%3D130%20%5Ccdot%200-2.500%3D0-2.500%3D-
2.500%5C)%20reais%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20e%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
2.500%3D13.000-
2.500%3D10.500%5C)%20reais.%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C!--%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20start%20--CT = 2.500 + 150q RT = 280q 0 ≤ q ≤ 100
A Imagem 1
B Imagem 2
C Imagem 3
D Imagem 4
E Imagem 5
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%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D%22container%20px-
0%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'row%20align-items-
center%20justify-content-
center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20class%3D'col-12%20col-md-
10%20col-lg-
12'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-
image%20src%3D%22img%2F20.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Andr%C3%A9%20Lu%C3%ADs%20Corte%20Brochi%22%20loading%3D%
image%3E%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
-%20Recurso%20Dev%20Image%20-%20end%20--%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
section%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 5
Uma empresa fabrica apenas um modelo de camiseta e sabe-se que, no mês em que são fabricadas 500 camisetas, o custo total de produção é
de R$22.000,00. Já no mês em que são fabricadas 1.000 camisetas, esse custo passa a ser de R$30.000,00.
Considerando que o custo total é representado por uma função de primeiro grau, é correto concluir que o custo fixo de produção desse modelo
de camiseta é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20custo%20total%20tem%20a%20forma%20%5C(C_%7BT%7D%3DC_%7BF%7D%2BC_%7BV%7D%5C).%20Como%20a%20fun%C3%A
medium%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(C%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20C_%7BT%7D%7D%7B%5CDelta%20q%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%2
22.000%7D%7B1.000-
500%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B8.000%7D%7B500%7D%3D16%5C)%3C%2Fp%3
paragraph'%3EAgora%2C%20considerando%2C%20por%20exemplo%2C%20que%20o%20custo%20total%20para%20produzir%20500%20camisetas%2
paragraph%20c-table%20u-
centered'%3E%5C(C_%7BF%7D%2B16%20%5Ccdot%20500%3D22.000%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(C
Questão 6
As funções custo total e receita total, dadas em reais, para determinado bem são, respectivamente: 
 e 
Onde (em toneladas) é a quantidade produzida e comercializada. Qual deve ser a quantidade (aproximada) produzida e comercializada desse
bem para que o lucro seja igual a R$60.000?
A R$14.000,00
B R$22.000,00
C R$12.000,00
D R$8.000,00
E R$16.000,00
C = 50.000 + 400q R = 700q
q
A 367 ton.
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20determinarmos%20a%20fun%C3%A7%C3%A3o%20lucro%20desse%20bem%2C%20devemos%20subtrair%20o%20custo%20da
paragraph%20c-table%20u-centered'%3E%5C(L%3DR-C%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(L%3D700%20q-
(50.000%2B400%20q)%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(L%3D700%20q-50.000-
400%20q%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(L%3D300%20q-
50.000%5C).%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph'%3EIgualando-
se%20o%20lucro%20a%20R%2460.000%20e%20resolvendo%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%20resultante%2C%20chegamos%20ao%20valor%20sol
paragraph%20c-table%20u-centered'%3E%5C(300%20q-
50.000%3D60.000%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(300%20q%3D110.000%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%
Teoria na prática
Os custos de produção são avaliados em diversas situações, como, por exemplo, no estudo da viabilidade de instalação de produção em
determinadas filiais ou regiões. Assim, as funções custo e receita são primordiais nesse tipo de estudo.
(Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes – 2012 – Administração – Questão 13) As decisões sobre a localização de empresas são
estratégicas e integram o planejamento global do negócio. Considerando que o preço de venda da grande maioria dos bens produzidos é
estabelecido pelo mercado, é preciso que as empresas conheçam em detalhes os custos nos quais incorrerão em determinada localidade. O
modelo padrão custo-volume-lucro é útil na decisão de localização. A figura a seguir apresenta, em um único gráfico, as curvas de custo total versus
a quantidade produzida mensalmente para as cidades de Brasília, São Paulo e Goiânia, as quais foram previamente selecionadas para receber uma
nova fábrica de brinquedos. Sabe-se que a receita total é a mesma para as três localidades e que a decisão com base no lucro esperado em cada
localidade varia com a quantidade produzida.
A análise do modelo de custo-volume-lucro apresentado no gráfico revela que:
A) São Paulo é a localidade que proporcionará maior lucro para a nova fábrica, se a quantidade mensal a ser produzida variar entre 5.000 e 10.000
unidades, considerando a estrutura de custos apresentada.
B) São Paulo é a cidade na qual deve ser instalada a nova unidade produtiva, se a quantidade a ser produzida mensalmente for maior que 7.500
unidades, pois, a partir desse volume de produção, é a localidade que proporcionará maior lucro.
B 350 ton.
C 338 ton.
D 383 ton.
E 393 ton.
_black
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C) Brasília é a localidade mais indicada para receber a nova fábrica para volumes de produção mensal inferiores a 5.000 unidades, pois é a cidade
que viabilizará maior lucro.
D) Goiânia deve receber a instalação da nova fábrica, se a quantidade produzida mensalmente for superior a 10.000 unidades, tendo em vista que,
nas condições apresentadas, é a cidade que poderá dar maior lucro.
E) Tanto Goiânia quanto Brasília podem receber a nova fábrica, se o objetivo é produzir uma quantidade mensal exatamente igual a 5.000 unidades,
considerando que o lucro será o mesmo nas duas localidades.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(Enade 2015 – Tecnologia em Gestão da Qualidade – adaptada) Suponha que uma empresa – cujo faturamento anual é de R$840 milhões, o
custo unitário do produto é de R$350,00 e o preço de venda é de R$420,00 por unidade – esteja estudando alterar o processo de gestão de
qualidade a fim de gerar um aumento de 10% na quantidade de produtos vendidos. Considerando esse novo cenário de vendas, o incremento no
valor do lucro final é de:
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESe%20o%20pre%C3%A7o%20de%20venda%20%C3%A9%20de%20%5C(R%20%5C%24%20420%2C00%5C)%20e%20o%20faturamento%2
Questão 2
(Enade 2006 – Administração – Questão 32 – adaptada)
A figura a seguir representa os custos de diferentes formas de processos de produção (celular, automatizada e intermitente) e a receita de
vendas de determinado produto.
Mostrar solução
A R$2 milhões
B R$14 milhões
C R$16,8 milhões
D R$70 milhões
E R$84 milhões
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Considerando a figura, analise as afirmações a seguir:
I. Se for esperado um volume de produção abaixo de 10.000, a manufatura intermitente é a preferível; entre 10.000 e 43.000, a manufatura
celular é a preferível; acima de 43.000, a manufatura automatizada é a preferível.
Porque
II. Os pontos de equilíbrio (quantidade/valor para os quais as receitas igualam os custos) são de 27.000, 30.000 e 40.000, respectivamente, para
as manufaturas celular, automatizada e intermitente. A respeito das informações anteriores, conclui-se que:
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20primeira%20afirma%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9%20correta%2C%20pois%20podemos%20notar%20que%2C%20para%20cada%
paragraph'%3EA%20segunda%20tamb%C3%A9m%20est%C3%A1%20correta%2C%20pois%20os%20pontos%20de%20equil%C3%ADbrio%20para%20aparagraph'%3ENo%20entanto%2C%20a%20segunda%20afirmativa%20n%C3%A3o%20justifica%20a%20primeira%2C%20porque%20os%20pontos%20d
A As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
B As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
C A primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
D A primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.
E Ambas as afirmações são falsas.
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4 - Demanda e a oferta de produtos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar, por meio de funções, a demanda e a oferta de produtos a partir do preço
praticado.
Vamos começar!
De�nições das Funções: Demanda, Oferta e Preço de Equilíbrio
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre as definições das funções: demanda, oferta e preço de equilíbrio.
Vamos lá!
Análise das funções demanda e oferta
Duas funções matemáticas largamente utilizadas no campo da Economia são a demanda e a oferta. Delas deriva o preço de equilíbrio de mercado,
que é peça fundamental em diversas análises econômicas.
Demanda ou quantidade demandada 
A demanda ou quantidade demandada de certa utilidade (bem ou serviço) a um preço unitário é a soma das quantidades que todos os
compradores do mercado desejam e estão aptos a adquirir a esse preço em certo período.
A função matemática que relaciona as variáveis e de uma utilidade é denominada função demanda dessa utilidade.

QD
QD P
QD P
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A tendência que, geralmente, se observa é que, se o preço aumenta, a quantidade demandada cai, pois o produto torna-se menos interessante para o
consumidor.
Porém, se o preço cai, a demanda tende a subir.
Oferta e preço são grandezas que costumam variar no mesmo sentido.
Oferta ou quantidade ofertada 
A oferta ou quantidade ofertada de uma utilidade (bem ou serviço) a um preço unitário é a soma das quantidades que todos os fornecedores
ou produtores estão aptos e dispostos a vender desse produto ao preço em certo período.
A função matemática que relaciona as variáveis e é denominada função oferta dessa utilidade.
Com relação ao estudo da quantidade ofertada e do preço, a tendência que geralmente se observa é que, se o preço aumenta, a quantidade ofertada
aumenta, pois o produto torna-se mais atrativo para quem o fornece. Porém, se o preço cai, a oferta também tende a cair.
Preço 
O preço P de uma utilidade para a qual as quantidades demandada e ofertada se igualam é denominado preço de equilíbrio de mercado ou,
simplesmente, preço de equilíbrio.
Preço superior ao de equilíbrio
Se o preço praticado for superior ao de equilibrio, a demanda será inferior à oferta e, dessa forma, haverá sobra do produto no mercado.
Preço inferior ao de equilibrio
Se o preço praticado for inferior ao de equilíbrio, a oferta será maior que a demanda, provocando falta ou escassez do produto no mercado.
Por tais motivos, é desejável um preço que se aproxime do preço de equilíbrio.
Representação grá�ca
QO
Q0 P
P
Q0 P
P
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Recorrer à representação gráfica das funções demanda e oferta é bastante útil para facilitar suas análises e a do ponto de equilíbrio. O gráfico a
seguir mostra uma situação genérica que representa tais elementos.
Exemplo
Certo produto tem sua quantidade demanda e sua quantidade ofertada dadas, respectivamente, por:
Rotacione a tela. 
e
Rotacione a tela. 
 é o preço unitário de venda e varia de 100 a 500 reais.
Nesse caso, as duas funções são de primeiro grau, isto é, são representadas graficamente por um segmento de reta no intervalo designado.
Portanto, para traçá-las, podemos tomar apenas dois pontos de cada.
Vamos considerar os preços R$100 e R$500, que são os extremos do intervalo considerado, para calcular os valores apresentados na tabela a
seguir.
Preço (R$) Quantidade Demandada Quantidade Ofertada
100 8.500 1.300
500 2.500 11.300
Tabela: Preço / Quantidade demandada / Quantidade ofertada. 
André Luís Corte Brochi.
Outro ponto que já podemos localizar no gráfico é o ponto de equilíbrio. Para obtê-lo algebricamente, basta resolver a equação a seguir:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela 
QD Q0
QD = 10.000 − 15p
Q0 = −1.200 + 25p
P
Qo = QD
−1.200 + 25p = 10.000 − 15p
25p + 15p = 10.000 + 1.200
40p = 11.200
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Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Esse é, portanto, o preço de equilíbrio.
A quantidade de equilíbrio pode ser obtida substituindo esse valor em qualquer uma das funções, demanda ou oferta. Substituindo-o na função
demanda, temos:
Rotacione a tela. 
Logo, o ponto de equilíbrio é a interseção entre 280 e 5.800. Esse ponto, bem como as funções demanda e oferta, é apresentado no gráfico a seguir.
Pela análise do gráfico, podemos concluir que:
Falta
À medida que os preços vão se afastando de R$280,00 para valores menores, a tendência é que haja falta do produto no mercado, já que a demanda
superará a oferta.
Sobra
No caso de preços maiores que o preço de equilíbrio, a oferta deverá superar a demanda, portanto haverá sobra desse produto no mercado.
As funções demanda nem sempre são representadas por segmentos de reta. Elas podem ser de outros tipos, como quadráticas, exponenciais,
logarítmicas, entre outros formatos. Contudo, o tipo de análise gráfica que fizemos há pouco pode ser realizado quaisquer que sejam os tipos de
funções que caracterizam essas duas variáveis em relação ao preço.
p = 11.20040
p = 280 reais
QD = 10.000 − 15.280 = 10.000 − 4.200 = 5.800 unidades 
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Na prática, diferentemente das funções custo, receita e lucro que vimos no módulo anterior, as funções demanda e oferta são obtidas por meio de
processos estatísticos. Esses, por sua vez, obtêm equações relacionando duas variáveis a partir de levantamentos, para, assim, obter valores
associados dessas variáveis.
Mão na massa
Questão 1
1. A função demanda , em toneladas, de certo produto é dada por , em que é o seu preço por tonelada. O seu preço atual 
 proporciona demanda de 80 toneladas. O valor de :
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EIgualando%20a%20demanda%20a%2080%20toneladas%2C%20temos%3A%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%
table%20u-centered'%3E%5C(200-
3%20p%3D80%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(-3%20p%3D-
120%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(p%3D%5Cfrac%7B-120%7D%7B-
3%7D%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(p%3D40%5C).%3C%2Fspan%3E%3C%2Fp%
Questão 2
As funções demanda e oferta de certo bem são dadas, respectivamente, por: 
 
e 
O ponto de equilíbrio desse produto é:

QD QD = 200 − 3p p
pO pO
A é menor do que R$30,00.
B é maior do que R$50,00.
C está entre R$32,00 e R$37,00.
D está entre R$39,00 e R$45,00.
E está entre R$30,00 e R$32,00.
QD = 3.600 − 28p
QO = 20p − 1.200
A (100; 800)
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EIgualando%20a%20demanda%20e%20a%20oferta%2C%20o%20pre%C3%A7o%20de%20equil%C3%ADbrio%20pode%20ser%20obtido%2
table%20u-
centered'%3E%5C(Q_%7BO%7D%3DQ_%7BD%7D%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(20%20p-
1.200%3D3.600-28%20p%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(20%20p%2B28%20p%3D3.600%2B1.200%5C)%3C
table%20u-centered'%3E%5C(Q_%7B0%7D%3D20%20%5Ccdot%20100-1.200%3D2.000-
1.200%3D800%5C)%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Portanto%2C%20o%20ponto%2
Questão 3
A demanda de um produto é de 1.300 unidades quando seu preço é de R$42,00. Sabe-se que a função que relaciona sua quantidade demanda
com seu preço é do primeiro grau. Além disso, cada aumento de R$1,00 em seu preço unitário causa uma queda de 25 unidades na sua
demanda. Denotando por D sua quantidade demandada e por p seu preço unitário de venda, a função que representa corretamente a relação
entre essas duas variáveis é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'Se%20a%20fun%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9%20de%20primeiro%20grau%2C%20ent%C3%A3o%20ela%20tem%20a%20forma%3A%3Cbr%
table%20u-
centered'%3E%5C(D%3Da%20p%2Bb%5C).%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%2
25%5C).%20Al%C3%A9m%20disso%2C%20sabe-
se%20que%20%5C(D%3D1.300%5C)%20quando%20%5C(p%3D42%5C).%20Ent%C3%A3o%3A%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%
table%20u-centered'%3E%5C(1.300%3D-
25%20%5Ccdot%2042%2Bb%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(1.300%3D-
25%20%5Ccdot%2042%2Bb%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(1.300%2B1.050%3Db%5C)%3Cbr%3E%
25%20p%2B2.350%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
B (120; 560)
C (800; 100)
D (560; 120)
E (560; 120)
A D = −p + 1.300
B D = −25p + 2.350
C D = 25p − 2.350
D D = p − 1.300
E D = 21p + 6.500
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Questão 4
A relação entre a quantidade vendida de certo produto relaciona-se com seu preço de forma linear. Sabe-se que a redução no preço de R$50,00
para R$40,00 aumenta a quantidade vendida de 200 para 250 unidades. Se denotarmos por a quantidade vendida e por o preço do produto,
a expressão que relaciona corretamente essas variáveis é:
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20coeficiente%20angular%20%5C(a%5C)%20dessa%20reta%20(fun%C3%A7%C3%A3o%20do%20primeiro%20grau)%20%C3%A9%20
medium%20c-table%20u-centered'%3E%5C(a%3D%5Cfrac%7B250-200%7D%7B40-
50%7D%3D%5C)%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cfrac%7B50%7D%7B-10%7D%3D-
5%5C).%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Com
5%5C)%20e%20considerando%20que%20%5C((40%2C250)%5C)%20%C3%A9%20um%20de%20seus%20pontos%2C%20podemos%20escrever%3A%3
table%20u-centered'%3E%5C(250%3D-5.40%2Bb%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(250%3D-
200%2Bb%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(b%3D450%5C).%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20
table%20u-centered'%3E%5C(q%3D-5%20p%2B450%5C).%3C%2Fspan%3E%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 5
As funções demanda e oferta de certo bem são dadas, respectivamente, por: 
 
e 
Considerando que as quantidades e são positivas, os valores de preço para os quais haverá sobra desse bem no mercado será dado pelo
intervalo:
q p
A q = −10p + 50
B q = 5p − 450
C q = 10p − 50
D q = −5p + 450
E q = 10p + 450
D S
D = 80 − 5p
S = 3p − 18
D S
A (0 < p < 16)
B (12,25 ≤ p < 16)
C (0 < p < 12,25)
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EIgualando%20as%20fun%C3%A7%C3%B5es%20dadas%2C%20temos%3A%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2
table%20u-centered'%3E%5C(3%20p-18%3D80-
5%20p%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(8%20p%3D98%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 6
Dadas (demanda) e (oferta), o preço de equilíbrio é igual a:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20determinar%20o%20pre%C3%A7o%20de%20equil%C3%ADbrio%2C%20devemos%20igualar%20as%20fun%C3%A7%C3%B5es%
table%20u-centered'%3E%5C(7%20p-10%3D-p_%7B2%7D-
2%20p%2B80%5C).%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Assim%2C%20chegaremos%20%C3%A0%20equa%C3%A7%
table%20u-centered'%3E%5C(p_%7B2%7D%2B9%20p-
90%3D0%5C).%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Como%20s%C3%B3%20nos%20
Teoria na prática
No módulo anterior, você estudou a função receita referente à venda de certa utilidade dada em relação à sua quantidade vendida. Essa função pode
ser expressa na forma:
Em que:
 é o seu preço de venda unitário.
 é a quantidade comercializada.
D (3 < p < 5).
E (0 < p < 3)
D = −p2 − 2p + 80 S = 7p − 10
A 4
B 5
C 6
D 7
E 8
_black
RT = p ⋅ q
p
q
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Vejamos, a seguir, alguns pontos importantes para a análise:
Quando o preço p é fixo, como já vimos, o gráfico dessa função será representado por uma semirreta. Nesse caso, quanto maior for a quantidade
vendida, maior será o lucro. E, se a função custo dessa utilidade também for de primeiro grau, podemos concluir que, quanto maior for a quantidade
produzida e vendida, maior será o lucro obtido.
Nem sempre o preço é fixo; na maior parte dos casos, o preço do produto varia. Essa variação geralmente pode ser expressa por uma função
demanda. Nesse caso, você sabe que, geralmente, as variáveis preço e quantidade variam em sentidos inversos. Se a demanda está abaixo do
esperado para um produto, seus fornecedores tendem a diminuir seu preço, a fim de que o número de consumidores dispostos a consumi-lo
aumente. De modo semelhante, se a demanda está alta, pode ser que que haja aumento no preço.
A variação do preço logicamente interferirá na receita da empresa. Podemos pensar que o aumento do preço, por exemplo, aumentará a receita.
Porém, se a quantidade demandada do produto diminuir, o que garantirá o aumento da receita? Da mesma forma, a diminuição do preço poderia nos
levar a concluir pela diminuição da receita. No entanto, se o aumento da quantidade vendida resultante dessa queda no preço tiver mais peso sobre
a receita, o que podemos concluir?
Isso mostra que nem sempre o lucro aumentará se a quantidade produzida e vendida também aumentar. Se o aumento do preço provoca diminuição
na quantidade vendida, é preciso avaliar esse tipo de relação matematicamente para obter as conclusões corretas. Nesse caso, podemos utilizar a
função demanda para obter a função receita de uma utilidade.
Vamos considerar o exemplo a seguir para ilustrar como ocorre esse tipo de análise e qual sua importância na determinação de um nível de
produção e venda que pode levar ao maior lucro possível.
Considere um produto que tenha custo fixo de R$6.000,00 e custo variável unitário de R$80,00. A sua quantidade demanda q, em unidades,
relaciona-se com seu preço de venda unitário p, em reais, através da função demanda:
Com as informações dadas, podemos escrever sua função custo total na forma:
Com relação à função receita total RT, como não temos um preço fixo, vamos obtê-lo a partir da sua relação com a quantidade q dada pela função
demanda. Tomando essa função, podemos isolar a variável p, isto é, escrever p em função de q. Assim, teremos:
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A função de demanda para certo produto é , onde caixas são demandadas quando é o preço por caixa.
A receita gerada pela venda de 200 caixas é igual a:
q = 400 − p
CT = 6.000 + 80q
q + p = 400
Mostrar solução
q = 8.000 − p q p
A R$1.560.000
B R$720.000
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Parabéns! A alternativaA está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20obter%20a%20fun%C3%A7%C3%A3o%20receita%20total%20em%20fun%C3%A7%C3%A3o%20da%20quantidade%20%5C(q%5
paragraph%20u-centered%20c-table'%3E%5C(p%3D8.000-
q%5C).%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Substituindo%20essa%20express%C3%
paragraph%20u-centered%20c-table'%3E%5C(R%3D(8.000-
q)%20%5Ccdot%20q%5C)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(R%3D8.000%20q-
q%5E%7B2%7D%5C).%3C%2Fspan%3E%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20
paragraph%20u-centered%20c-table'%3E%5C(R%3D8.000%20%5Ccdot%20200-
200%5E%7B2%7D%3D1.560%20.000%5C)%20reais.%3C%2Fspan%3E%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
O lucro referente à produção e venda de unidades de certo produto é dado por reais, para variando entre 0 e
80 unidades. Segundo tal função, o valor máximo de lucro que pode ser obtido é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EComo%20o%20lucro%20%C3%A9%20expresso%20por%20uma%20fun%C3%A7%C3%A3o%20quadr%C3%A1tica%20com%20%5C(a%20
%5CDelta%7D%7B4%20a%7D%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-
%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7D-4%20a%20c%7D%7B4%20a%7D-%5Cfrac%7B150%5E%7B2%7D-
4%20%5Ccdot(-1)%20%5Ccdot(-3.000)%7D%7B4%20%5Ccdot(-1)%7D%3D%5C%202.625%5C%20reais.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
Considerações �nais
C R$1.980.000
D R$875.000
E R$8.000
q L(q) = −q2 + 150q− 3.000 q
A R$2.000,00
B R$2.625,00
C R$3.000,00
D R$3.775,00
E R$4.250,00
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Entender taxas de variação é uma importante habilidade de qualquer profissional, em especial daqueles em cargo de gestão. Essas taxas nos
ajudam a estimar o que acontece com uma grandeza quando outra grandeza relacionada varia. Podemos reconhecer os períodos de crescimento ou
decrescimento de uma grandeza que acompanhamos. Em especial para os gestores, podemos descrever inúmeras situações onde esse
conhecimento é aplicado. Neste estudo, vimos a aplicação direta nas situações com custo de produção, receita e lucro (algo bem presente na vida
de muitos profissionais!). Também vimos a aplicação direta na relação de oferta de demanda, onde, para cada preço, temos uma demanda.
Essas são algumas das aplicações desses conceitos fundamentais da Matemática, mas existem muitas outras! O importante é que, utilizando
esses conhecimentos como ferramentas, podemos tomar decisões mais acertadas em situações futuras.
Podcast
Para encerrar, ouça um breve resumo dos principais tópicos que foram abordados ao longo dos módulos.

Referências
GOLDSTEIN, L. J.; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I. Matemática aplicada. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.
LEITE, A. Aplicações da matemática. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática: para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. São Paulo: Atlas,
1997.
TAN, S. T. Aplicada à administração e economia. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
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