Didática e Avaliação em Matemática - Livro - Pós em Mat Unicesumar

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INTRODUÇÃO AO CONCEITO 
DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA 
Professor: 
Me. Alexandre Hungaro Vansan 
Objetivos de aprendizagem 
• Apresentar os conceitos acerca da didática em sala de aula. 
• Identificar as diferentes didáticas em Matemática e o estudo do “Milieu”. 
• Estudar diferentes situações didáticas em Matemática. 
Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
• Didática 
• Didática matemática 
• Situações didáticas em matemática 
Introdução 
Estudaremos agora conceitos ligados à didática e à didática Matemática, em que a didática se apresenta como uma arte ligada ao ensinar e a transmitir conhecimento aos nossos 
alunos. Essa didática que veremos vai muito além dessa transmissão de saber, onde o(a) professor(a) é o sujeito. O(a) professor(a) passará a ser visto como uma ponte entre o saber 
e o(a) aluno(a), mas não o único caminho para isso, onde o(a) próprio(a) pode tomar as decisões ligadas ao seu processo de aprendizagem Matemática. O(a) aluno(a) passa a ser o 
principal personagem do processo de construção da aprendizagem, deixando de ser passivo e assumindo um papel ativo na escola, e do sistema que melhor se encaixa a sua forma 
de aprender a Matemática. 
Faremos um breve histórico sobre os processos de avaliação e da didática, em que os processos de avaliação se resumiam a fazer testes na busca de uma classificação dos 
estudantes, e que o professor se apresentava como o detentor máximo de conhecimento, e um ditador, que impunha as suas regras e formas de agir. Muito diferente dos tempos 
atuais, que o aluno participa ativamente das decisões a respeito da sua aprendizagem. 
Outro estudo apresentado será o desenvolvido por Guy Brousseau em que ele apresenta a Teoria das Situações Didáticas, que se opõem as ideias da Matemática Moderna, e ele 
apresenta o “Milieu”, o qual é o terceiro elemento entre o saber matemático e o aluno, que interage com o estudante de forma contrária, ou seja, desafia o aluno para pensar em 
como apresentará a resolução de problemas. 
Por último, você verá contratos didáticos que são institucionalização e devolução, o primeiro se apresenta com o professor na função de determinar o que é fundamental para o 
aluno, e o segundo contrato, a devolução, o aluno é o responsável por dar uma resposta aos problemas e atividades. 
Convido você, aluno(a), a prosseguir nesse estudo pelos conceitos didáticos da Matemática. 
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DIDÁTICA 
Desde muito cedo o aluno aprende com seus pais ou com professores o quanto a Matemática é difícil e incompreensível, e por sua forma abstrata e rigorosa deixa, desde suas 
teorias mais simples até as mais complexas, um rastro de desmotivação para a maioria de seus estudantes. 
Apesar dos matemáticos utilizarem, na sua maioria, exemplos concretos na descoberta de resultados importantes e metodologias, ainda prevalece a demonstração com rigor 
utilizando o raciocínio lógico. Todo esse rigor e raciocínio rico em detalhes faz da Matemática a ciência exata que ela é. Falta ao nosso aluno perceber o quanto a Matemática é 
importante, não só para provas e testes, mas também em várias aplicações em ciências, engenharias, área da saúde, entre outras, e que não há como se desligar da Matemática. 
Devemos ter a Matemática em todas as relações cotidianas, transformando o aluno em usuário do seu conhecimento a cada momento de sua vida. 
Cabe a você professor, levar tudo isso ao conhecimento do aluno, baseando-se nas mais variadas formas de interação para o aprendizado. Você é aquele que deve transmitir a 
importância que a Matemática tem e saber responder perguntas do tipo: onde vou usar isso? Para que tenho que estudar isso? Em que isso muda a minha vida? As respostas a essas 
perguntas devem ir além da mais comum que é: “você estuda isso para desenvolver o raciocínio” ou ainda “um dia você vai saber onde usar”. 
No dicionário, encontramos a definição de didática como: técnica ou arte de ensinar, de transmitir conhecimentos. Ramo ou seção específica da pedagogia que se concentra nos 
conteúdos do ensino e nos processos próprios para a construção do conhecimento; ciência e arte do ensino. 
Comenius em 1648 nos diz que há um único método para ensinar todas as ciências e artes. E foram necessários muitos anos (séculos) para que fosse estabelecida uma maneira 
definitiva de que a didática não pode ser tão específica. No século XIX encontramos a seguinte definição de didática: projeto para ensinar qualquer coisa a qualquer um que não 
queira aprender. Já no século XX, encontramos as definições: projeto social de uma instituição ou de uma pessoa, que outra instituição ou pessoa se apropria de um saber 
constituído ou em vias de constituição (1975). Ciência das condições da produção e da difusão dos conhecimentos úteis aos homens e as suas instituições (1986). A didática de um 
conhecimento pode ser redefinida como um projeto social de fazer adquirir esse conhecimento por meio de um organismo. 
Não é novidade a ninguém o quanto a Matemática é importante ao aluno, não só no contexto escolar, mas também na vida fora dela, em que o aprendizado de Matemática acontece 
em diversos lugares onde as pessoas circulam. O problema que enfrentamos é a falta de interesse dos alunos com relação à Matemática, onde deixam de lado muitas informações 
que serão úteis ao seu uso diário. Há notadamente um desespero dos professores em ensinar alguns conteúdos matemáticos, e isso acaba gerando uma distância entre ensinar e 
aprender, uma vez que os alunos não sabem o que é Matemática, muito menos para que precisam estudar tais conteúdos. 
Desde o início da escolaridade, independente de crenças ou sistemas políticos, a Matemática é essencial nos currículos escolares, ao lado da linguagem. Seu ensino é indispensável, 
e se não acontecer de forma correta, é como se a alfabetização não tivesse acontecido. Como a Matemática também serve de ferramenta de exclusão por grande parte de concursos 
seletivos para o mercado de trabalho, geram aos professores um gigantesco desafio, que vai além da simples difusão de conteúdos. 
A matemática é um grande e sofisticado jogo que resulta ser, ao mesmo tempo, uma obra de arte intelectual, que proporciona uma intensa luz na 
exploração do universo e tem grandes repercussões práticas. Na aprendizagem matemática se podem utilizar com grande proveito, sua história, as 
biografias dos matemáticos mais interessantes, suas relações com a filosofia ou com outros aspectos da mente humana. 
Fonte: Guzmán (2002). 
A Matemática pode ser entendida como complexa por muitos, mas outros defendem que ela precisa ser mais bem compreendida para ser entendida com mais facilidade. Há muitas 
criticas a respeito de seu estudo, pois parece sem história e sem sentido. Partindo desse início, buscou-se com este objetivo de investigação compreender uma pequena parte, 
dentro de muitas situações onde a Matemática esta inserida, para que o ensino de Matemática seja transformado em ações cotidianas que tornem todo o seu conhecimento 
acessível aos alunos. 
As relações, positivas ou negativas, que o estudante terá com a Matemática dependem do trabalho feito com os números naturais enquanto ainda ele for criança. Muitas vezes esse 
trabalho é feito por alguém que não gosta da Matemática ou que não foi bem formado para ensinar conteúdos matemáticos. 
Durante muito tempo ensinar Matemática tem acontecido através de uma cansativa prática oral e exposição de conteúdos que não levam ao raciocínio do aluno. É um muito comum 
o professorapresentar os conteúdos e os estudantes apenas reproduzirem de forma a enfatizar a memorização. Essa prática sempre se mostrou sem eficácia, e cabe a nós 
professores nos mostrarmos mais dinâmicos, e levando os alunos há uma troca de conhecimentos. Trabalhar em grupos é uma ideia que ajuda o estudante a ter oportunidade de 
conhecer outras formas de trocar informações, outras opiniões, fazendo sua socialização ser maior, e buscar alternativas para outras soluções apresentadas coletivamente. 
A Matemática tem que ser vista como uma matéria simples e objetiva, deixando de lado esse terrorismo que faz com os alunos, pois sua importância é extrema em vários momentos 
da ciência humana, saúde, tecnologia, ciências sociais e até mesmo no cotidiano. Quem rejeita a Matemática faz isso por simples ignorância ou falta de habilidade em manuseá-la, 
desconhecendo uma maneira de utilizá-la eficientemente. E por desconhecer o conteúdo matemático ou não perceber utilidade diária da mesma, algumas pessoas não 
compreendem que adquirir seus conceitos e símbolos será útil a vida diária, como em geometria, aritmética, conjuntos numéricos, entre outros. Um local onde o aluno pode tirar 
suas dúvidas acerca da Matemática é a sala de aula, esse ambiente muitas vezes faz com que a repulsa do aluno aumente ainda mais, e o interesse na aplicabilidade Matemática se 
torna cada vez menor. 
Você, professor, deve ter consciência da necessidade de iniciar o estudo de Matemática a partir do conhecimento prévio do aluno, e que desprezar esse conhecimento fora da escola 
é aumentar a relação de que o professor sabe tudo e o aluno não sabe nada e esse deve ser exposto ao aprendizado, de forma que o professor seja facilitador. 
Hoje, o ensino de Matemática deve ir além dos muros das escolas, e que o papel do professor é o de moldar os alunos com a intenção de que eles possam de forma autônoma buscar 
respostas dentro e fora das escolas. 
Freire (1996) diz a respeito da prática do professor em sala: "Quando entro em uma sala de aula devo estar sendo um ser aberto a indagações, à curiosidade, às perguntas dos 
alunos, a suas inibições; um ser crítico e inquiridor, inquieto a tarefa que tenho – a de ensinar e não a de transferir conhecimento" (FREIRE, 1996, p. 47). 
Nós professores temos que ter em mente que ao nos formar e entrar em uma sala de aula, além de ensinar, nós aprendemos. Somos mediadores de informações que servirão de 
base para o estudante construir e assimilar novos saberes e, com isso, criar condições para que o ensino melhore, e que todos, professores e alunos, estejam constantemente em 
formação. 
Cada professor ao ensinar deve tomar muito cuidado e se atentar a pequenos detalhes o tempo todo, buscando, sempre que possível, uma maneira de ilustrar o conteúdo passado 
com algo concreto, palpável e perceptível pelo estudante, com aplicações no dia a dia. Na Matemática, muitos conteúdos podem ser vistos com aplicações perceptíveis pelos alunos, 
que previamente eles mesmos perceberam que estão ao seu redor em muitos ambientes. 
Vasconcelos (2009, p. 30) traz um foco ao ponto de vista do professor, e como são seus sentimentos ao que acontece em sala: 
Os professores mostram-se igualmente descontentes, queixam-se dos programas que são grandes, pouco flexíveis, demasiado abstratos. Não sabem 
como interessar os seus alunos. E, além disso, sentem-se isolados, com poucas oportunidades para discutirem com os colegas ou para conhecerem as 
experiências mais interessantes que, apesar de tudo, se vão realizando. A muitos professores cada vez agrada menos o que fazem; os resultados do 
seu trabalho, o modo como os alunos reagem àquilo que eles lhes ensinam (VASCONCELOS, 2009, p. 30). 
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Os próprios professores de Matemática e ainda mais os pedagogos reclamam que a Matemática deveria ser mais fácil, dando a entender que ela é difícil. Se o profissional pensa isso 
a respeito do que ele trabalha, imagina o que o aluno sente ao se deparar com conteúdos novos e “assustadores”, que todos ao redor dele, amigos e familiares, sentem pavor só em 
falar. Desde pequeno, a criança ouve horrores a respeito do que ele verá em Matemática, e cabe a nós profissionais mudar essa concepção, pensando em uma disciplina que não seja 
atormentadora, mas que favoreça positivamente suas aplicações em muitas situações que ela aparece. Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN) de 1997 sobre 
o saber matemático, explica que: 
Esse processo de transformação do saber científico em saber escolar não passa apenas por mudanças de natureza epistemológica, mas é 
influenciado por condições de ordem social e cultural que resultam na elaboração de saberes intermediários, como aproximações provisórias, 
necessárias e intelectualmente formadoras. É o que se pode chamar de contextualização do saber (BRASIL, 1997, p. 30). 
Ainda sobre o conhecimento, nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, é discutido que: 
Um conhecimento só é pleno se for mobilizado em situações diferentes daquelas que serviram para lhe dar origem. Para que sejam transferíveis a 
novas situações e generalizados, os conhecimentos devem ser descontextualizados, para serem contextualizados novamente em outras situações. 
Mesmo no ensino fundamental, espera-se que o conhecimento aprendido não fique indissoluvelmente vinculado a um contexto concreto e único, 
mas que possa ser generalizado, transferido a outros contextos (BRASIL, 1997, p. 30). 
Durante o aprendizado, percebemos que o indivíduo é capaz de construir seu próprio conhecimento, e o professor está em sala apenas para mediar e orientar em alguns momentos 
a organização do processo de aprendizagem. O papel de mediador do professor é o de confrontar quando o aluno apresenta suas propostas, expõe suas soluções, questiona ou 
contesta ideias e conteúdos. É você professor quem decide se é preciso prosseguir em determinado trabalho em um tema, ou se é necessário elaborar uma síntese, ou quais 
atividades serão elaboradas, se vão ser aplicados jogos, problemas ou ainda atividades extraclasse. 
Em todas as instâncias de discussão, educadores quando discutem o ensino de Matemática chegam a um consenso de que a educação Matemática básica deveria contribuir para o 
exercício da cidadania, desenvolver a solidariedade, a vontade de justiça, o respeito ao próximo e a dignidade humana, entre outros aspectos com relação à formação de valores que 
estão acima de conhecimentos específicos. 
Outro desafio a ser vencido pelo educador de Matemática é o de fazer o aluno pensar e desenvolver seu raciocínio lógico. Uma reclamação dos professores é que a dificuldade de 
aprender Matemática esta ligada à baixa habilidade de pensamento dos alunos. Muitas vezes percebemos que esse fato está ligado ao fato de que os jovens hoje querem tudo muito 
rápido. As informações chegam a nossas casas cada vez mais cedo, e o pensar em Matemática exige tempo e paciência, coisas que muitos não têm nesses tempos modernos. 
Voltando nosso olhar sobre esses dois aspectos, o pensar e o sentir, parecem estar em lados opostos. Um pensamento precipitado nosso seria o de que os professores de 
Matemática devem se preocupar antes com o desenvolvimento do pensamento dos alunos, e só depois com os sentimentos ou valores humanos. Afinal de conta, a Matemática 
estuda a razão, é a ciência do pensamento dos números, e outras disciplinas como sociologia, filosofia, arte ou geografia se encarregam de analisar o comportamento ou os valores 
que regem a humanidade. Se por um lado a relação entre a Matemática e o pensamento são inseparáveis e legítimos, por outro lado, nós seres humanos somos capazes de sentir e 
de querer. Na construção do ser humano e do ser que aprende, o querer, o pensar e o sentirsão de suma importância, e assim a escola não pode desconsiderar essas dimensões, nem 
mesmo nas aulas de Matemática. 
A Matemática se transforma por fim na ciência que estuda todas as possíveis relações e interdependências quantitativas entre grandezas, 
comportando um vasto campo de teorias, modelos e procedimentos de análise, metodologias próprias de pesquisa, formas de coletar e interpretar 
dados. Como as demais ciências, reflete as leis sociais e serve de poderoso instrumento para o conhecimento do mundo e (compreensão) da 
natureza. 
Fonte: PCN-Matemática. 
DIDÁTICA MATEMÁTICA 
A didática da Matemática é a ciência que cria e prepara condições que podem determinar a aprendizagem de um conhecimento matemático por parte de alguém, que pode ser uma 
pessoa, uma instituição de ensino ou mesmo o próprio sistema de ensino. 
Aprendizagem é o conjunto de modificações de comportamentos que assinalam, para um sujeito pré-determinado, segundo sujeito em jogo, que o 
primeiro sujeito dispõe de um conhecimento ou conjunto de conhecimentos, o que impõe a gestão de diversas representações, a criação de 
convicções específicas, o uso de diferentes linguagens, o domínio de um conjunto de repertórios de referências idôneos, de experiências, de 
justificações ou de obrigações. 
Fonte: D´Amore (2007). 
Aqui vão alguns aspectos didáticos que nos levaram às reflexões que podem nos ajudar em sala: 
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Quando uma criança ingressa na escola, há um desejo de aprender, de saber e de se desenvolver. Nós temos o dever de manter vivos esses sentimentos por toda a sua vida escolar, e 
esperamos que o saber matemático faça a sua contribuição, de forma que o aluno recorra a Matemática para resolver problemas que aparecem nas mais variadas situações, 
decidam sobre o caminho a percorrer e como tomar as suas decisões. 
As aulas de Matemática devem ser um ambiente de debate entre professor e aluno e entre alunos. Esse é um espaço de conhecimento compartilhado, onde todos devem ser 
observados e vistos como capazes de construir, modificar e integrar ideias. Cada aluno é sujeito da sua sala de aula, com capacidade de interagir com outros, onde usam todo o 
tempo para pensar e refletir sobre sua aprendizagem e as dificuldades a superar. 
Aqui, vamos abordar um pouco da Teoria das situações didáticas (em francês: Théorie des situations didactiques ) a qual é uma teoria de aprendizagem desenvolvida por Guy 
Brousseau em oposição à Matemática Moderna, cujos trabalhos têm características formalistas. Um conceito importante nessa teoria é o “milieu” (meio). Esse conceito é tudo o que 
interage com o aluno de forma contrária, ou seja, é tudo o que desafia o aluno a pensar nas respostas das situações problemas. 
Guy Brousseau nasceu em 4 de fevereiro de 1933, em Taza, no Marrocos. No fim da década de 60, antes de se formar em Matemática, lecionou na 
Universidade de Bordeaux. Atualmente, exerce na universidade a função de diretor do Laboratório de Didática das Ciências e das Tecnologias. Em 
1991, tornou-se docente do Instituto Normal superior local. Recebeu o título de doutor honoris causa das universidades de Montreal, Genebra e 
Córdoba. Guy Brousseau é um dos pioneiros da didática da Matemática, ele desenvolveu uma teoria para compreender as relações que se operam na 
sala de aula. Os educadores e os educandos são atores da relação ensino-aprendizagem. A Teoria das Situações Didáticas se baseia na ideia de que 
cada conhecimento ou saber pode ser determinado por uma situação. 
Fonte: Blog Professor Janil do Arantes ( 2013, on-line). 
Nessa teoria, o professor, é o provocador de comportamentos no aluno, com o objetivo de manifestar seu conhecimento, o qual teria que adotar autonomamente. Isso parece 
contraditório! E é sim! A solução é envolver um terceiro elemento, o “milieu”, e fazer a resposta do aluno se referir às necessidades do “milieu”, que o professor conhece ou que ele 
predispôs para esse objetivo. O trabalho do professor será o de organizar uma relação entre o estudante e o “milieu”, que se de um lado deixa uma incerteza que é diminuída pelos 
conhecimentos do aluno, por outro lado, faz com que essa redução possa ocorrer, ou seja, do ponto de vista do professor, tem um grau de incerteza limitado. 
A partir daí entendemos que o “milieu” é fundamental para entender como funciona a Teoria das Situações Matemáticas. Ela tem como objetivo definir condições que levam o 
estudante, sem a influência de condições didáticas específicas explicadas pelo professor, criar ou fazer Matemática. Essa teoria tem o objetivo de criação, organização e utilização 
de problemas que levam à construção de conceitos e teorias matemáticas por um aluno, com conhecimentos mínimos, que objetiva o desenvolvimento de todo o processo 
determinado pela situação. Com relação a esses pontos, um ou mais sujeitos, que precisam de um conhecimento mínimo anterior para poder agir, encaram as situações como 
sistemas de interação com um “milieu”. É um método semelhante ao que a Matemática usa, pois aqui algo é definido com base em outras definições anteriores, por exemplo, um 
teorema usa definições para ter validade. D´Amore (2007, p. 5) afirma que: 
Um evento didático se torna um conjunto de fatos que podem ser interpretados a respeito da evolução de uma situação didática. Essa interpretação 
é um dos objetivos da didática da matemática, e leva à concepção de microdidática, entendida como o estudo das condições de difusão ou de trocas 
de conhecimentos (por exemplo, por meio de aulas), entre pessoas, organizações sociais, econômicas ou culturais. 
Recentemente passou a se utilizar esquemas (polígonos) que Brousseau chama de “Polígonos” da Didática. O primeiro “polígono” que vamos ver é o Triângulo da Didática, onde há 
uma comunicação entre o sistema educativo (saber) com o aluno, uma transposição didática entre o sistema educativo e o saber escolar (professor), e ainda uma relação de ensino 
entre aluno e o saber escolar, em que não há como separar essas relações, e nem prever quando uma começa e outra termina, é um “circulo” sem fim. 
Figura 1 - Triângulo da Didática / Fonte: o autor. 
É um esquema insuficiente, pois nele o “milieu” não aparece, e quando introduzimos o “milieu”, passamos a ter o “Quadrilátero” da Didática, em que envolve a aprendizagem 
espontânea. Aqui, o “milieu” aparece em constante processo com o saber, o aluno e o professor. Novamente aqui a interação é tão grande que não há como separar cada um deles, 
pois são dependentes um do outro, e trabalham para um bem comum. 
Figura 2 - Quadrilátero da Didática / Fonte: o autor. 
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Esse esquema também possui uma ineficiência, pois ele não traz a diferença entre o que já foi ensinado ao aluno, o que ainda falta para ser ensinado ou os conhecimentos prévios 
que ele tem. Além disso, há ainda particularidades que cada aluno tem na hora de aprender, e assim Guy Brousseau apresenta o “Hexágono da Didática”. Primeiro apresentaremos 
as fusões e confusões, em que o saber escolar e o conhecimento se interagem e em certos momentos se confundem, e o mesmo acontece com o estudante e o aprendiz, que em 
certos momentos o estudante assume o papel de aprendiz, mas também o sujeito de seu aprendizado. O sistema educativo e o “milieu” fazem a “ponte” que liga o 
estudante/aprendiz com o conhecimento e o saber escolar. 
Figura 3 - “Confusões” do saber / Fonte: o autor. 
Apresentamos agora o “Hexágono” da Didática, semelhante ao diagrama anterior, mas com algumas melhoras. Todo o processo faz parte do ensino, o conhecimento, “milieu” e o 
aprendiz estão em um mesmo processo, e toda a ação do sistema educativo leva a esse processo que inclui o “milieu”. 
Figura 4 - Hexágono da Didática / Fonte: o autor. 
Uma situação não didática possui uma relação de uma situaçãodidática que o professor devolve ao aluno. O professor procura não fazer intervenções pertinentes às soluções. O 
aluno interage com um “milieu” quase que não didático, em que ele não dá atenção às intenções didáticas do professor. O que o aluno produz em diferentes ações, formulações e 
validações só respondem a suas próprias necessidades que não são didáticas. Vamos também explicar e entender como os resultados das pesquisas em didática da Matemática. 
Segundo Guy Brousseau, os resultados são de dois tipos: 
O primeiro tipo de resultado apresenta os seguintes exemplos: 
O segundo tipo de resultado possui os seguintes exemplos: 
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Com o objetivo de tomada de decisões, os professores utilizam muitos tipos de conhecimentos, convicções, métodos sobre como encontrar, descobrir e acomodar um saber. Esse 
entendimento epistemológico é construído durante toda a vida escolar para agradar às necessidades didáticas. É o único instrumento que deixa indicar os processos didáticos 
escolhidos e fazer com que estudantes aceitem. 
O conjunto das convicções dos professores, dos alunos ou dos pais sobre o que convém fazer para ensinar, para aprender e para compreender os 
saberes que estão em jogo constitui uma epistemologia prática que é impossível ignorar ou eliminar. A epistemologia filosófica ou científica está 
longe de poder pretender assumir esse papel. A epistemologia espontânea tem suas raízes numa prática antiga, dado que a tendência para comunicar 
experiências de uma geração para a sucessiva é característica essencial da humanidade. 
Fonte: D´Amore (2007). 
Essa epistemologia deve ser respeitada, compreendida e estudada como algo “natural”. Nunca devemos colocá-la em contestação aos conhecimentos científicos. 
SITUAÇÕES DIDÁTICAS EM MATEMÁTICA 
Os tipos de situações didáticas em Matemática são determinados pela divisão das responsabilidades entre alunos e professor. Podemos definir alguns tipos de contratos didáticos. 
O primeiro tipo de contrato é a institucionalização. O valor do conhecimento não é determinado automaticamente, ele é garantido pela sociedade e cultura. Ele se manifestará em 
atividades que podem ser didáticas ou não. É utilizado como referência para futuras, coletivas ou pessoais ações. Aqui, o professor determina o que é fundamental e interessante 
para os alunos, que devem esquecer o que pensam e formulam, e devem fixar o que lhe é transmitido. O professor exige dos alunos, no futuro, certos conhecimentos que eles devem 
saber, ou que eles percebem ser familiares, pois já lhes tinham sido transmitidos. Algumas vezes o aluno pode escolher objetivos de aprendizagem, e a responsabilidade é dividida 
entre professor e alunos. Os objetos da institucionalização são: 
Outro tipo de contrato didático é a devolução, onde o aluno assume a responsabilidade de suas atitudes, mesmo que em situações incertas. Aqui o professor faz com que o aluno 
aceite uma situação a-didática. Essa é a situação mais difícil do ato didático, pois produz muitos efeitos indesejáveis. É a concepção e gestão da incerteza das situações não didáticas. 
Nesse contrato, é o aluno o responsável por dar a resposta a um problema ou situação, e o professor se retira dessa responsabilidade. O professor procura fazer com que o aluno 
entenda e aceite essa incumbência. Você deve estar pensando em como fazer o aluno aceitar? Não é simplesmente obrigá-lo a fazer. Ele deve entender e compreender a situação 
não didática e perceber que há recursos ou estratégias para resolver a situação. Há algumas formas de devolução que devem ser destacadas: 
Outra definição é a de processo didático, o qual consiste em uma série de situações didáticas relacionadas a um mesmo objeto de ensino e aprendizagem, de forma que o 
desenvolvimento de cada circunstância exige o desenvolvimento de todos os preliminares. Uma situação é sugerida se ela é motivada por questões estimulada por situações 
antecedentes, e graças às obtenções feitas nesta ocasião. As explicações de uma situação se referem ao projeto do educador e às possibilidades dos alunos de perceber bem e 
entender as situações, aceitabilidade e interesse instantâneo de questões, probabilidade de resolver etc. 
Um processo estabelece uma “cronogênese”, ou seja, a origem que se estabelece entre os saberes com ligações determinadas por suas posições históricas e pelas ligações entre as 
situações (Origogênese). Já a “topogênese” da Matemática é uma sistematização tal que cada objeto se localiza, em função de sua explicação, de suas peculiaridades e 
particularidades, em uma ordem parcial regida pelas relações necessariamente coerentes e de organização. 
Aqui há um dilema: para permitir um aprendizado, a “origogênese” não deve corresponder em todos os momentos com a “topogênese”, entretanto no final os resultados podem 
coincidir. 
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Muitos dos estudantes no início da sua escolaridade foram objeto de grandes processos de formação, com números naturais e as operações, números decimais, racionais, medidas 
de tempo, massa, comprimento, espaço, geometria, funções e probabilidades. A maior parte não sendo teorias de ensino, mas de experiências de epistemologia que procuram 
mostrar que o encaminhamento das situações deixaria possível a devolução de uma “cronogênese” aperfeiçoada dessas noções e a provar o elevado papel das situações sobre 
certos motivos “genéticos”. 
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ATIVIDADES 
1. A respeito do “Milieu”, assinale a alternativa incorreta: 
a) É uma teoria que contrapõe as ideias da Matemática Moderna. 
b) É um trabalho com características formalistas. 
c) “Milieu” é tudo o que interage com o aluno de forma contrária, ou seja, o que faz ele pensar nas respostas. 
d) O aluno tem que criar ou fazer Matemática sem a influência do professor. 
e) O “Milieu” é o terceiro elemento que age entre professor e aluno, em que o professor é o detentor do saber. 
2. Nos contratos didáticos, há o contrato de devolução. A respeito desse contrato assinale a alternativa correta: 
a) Não deve haver devolução de uma situação não didática. 
b) Deve haver uma devolução da responsabilidade por uma solução. 
c) Não há devolução da responsabilidade de adiantar. 
d) Não há devolução de uma proposta ou programa. 
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta. 
3. A avaliação tradicional surgiu no século XVII, na Europa, onde a burguesia buscava uma classificação dos alunos e fim de selecioná-los. A respeito da avaliação tradicional, assinale 
a alternativa correta: 
a) Existem muitas formas de avaliar o aluno, e essas buscam dar o retorno ao professor para que ele planeje as suas ações futuras. 
b) Busca avaliar diariamente os alunos. 
c) Esta baseada em um sistema com provas escritas e avaliação do desempenho do aluno de forma diária. 
d) O professor é o único detentor do saber. 
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta. 
Resolução das atividades 
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RESUMO 
Neste estudo vimos os conceitos acerca da didática e da didática Matemática, em que a didática é vista como uma ciência ou até mesmo uma arte voltada ao ensino. Essa didática 
reúne técnicas que visam à difusão do conhecimento para os alunos. A didática da Matemática é a ciência que cria e prepara condições que podem determinara aprendizagem de 
um conhecimento matemático por parte de alguém, que pode ser uma pessoa, uma instituição de ensino ou mesmo o próprio sistema de ensino. 
Os alunos são vistos como sujeitos de sua própria aprendizagem, cabendo ao professor o papel de coadjuvante, e não um ditador de regras e saberes, em que somente ele tem o 
conhecimento. Todo o conhecimento prévio do aluno é levado em consideração, ou seja, tudo o que ele traz do seu ambiente fora da escola, e o que ele aprendeu e assimilou de anos 
anteriores são importantes na sequência do aprendizado. 
Entre as diferentes didáticas que se destacam, foi enfatizado o estudo do “Milieu”, o qual é “definido” como um elemento de contraposição ao aluno, levando ele a pensar nas 
possíveis respostas aos seus problemas matemáticos e atividades diárias. O “Milieu” faz a ponte entre o saber e o aluno. Todo o conhecimento mínimo anterior adquirido pelo aluno 
é usado para que ele possa agir, encarando as situações como sistemas que interagem com o “Milieu”. 
Entre várias situações didáticas matemáticas estudadas, destacamos os contratos de institucionalização e devolução. A institucionalização do conhecimento não é determinado 
automaticamente, ele é garantido por toda a sociedade e pela cultura que o aluno vivencia. Já na devolução, o professor determina o que é fundamental para o aluno, sendo esse 
(aluno) responsável por dar a resposta a um problema ou situação. O professor deve fazer com que o aluno aceite uma situação que não seja didática. 
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Material Complementar 
Leitura 
Didática da Matemática – Reflexões Psicopedagógicas 
Autores: Cecilia Parra; Irma Saiz; Delia Lerner; Grecia Gálvez; Guy Brousseau; Luis A. Santaló; 
Patricia Sadovsky; Roland Charnay 
Editora: Penso 
Sinopse : esta obra traz reflexões sobre qual é a matemática que deve ser ensinada na educação 
básica, analisando, ainda, a situação atual do ensino e da aprendizagem de conteúdos importantes do 
ensino fundamental, e apresentando propostas didáticas que dão ao aluno a oportunidade de colocar 
em jogo suas conceitualizações, suas reflexões e seus questionamentos. 
Filme 
Didática da Matemática 
Ano: 2013 
Sinopse : o objeto das pesquisas de Brousseau era observar as condições nas quais os alunos fazem 
matemática, ou seja, aprendem a partir da resolução, discussão e sistematização de questões 
matemáticas. 
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REFERÊNCIAS 
BROUSSEAU, G. Introdução ao estudo das situações didáticas : conteúdos e métodos de ensino. São Paulo: Ática, 2008. 
BROUSSEAU, G. Fondements et méthodes de la Didactique des Mathématiques . In: BRUN, J. et ali. Didactique des Mathématiques. Paris: Delachaux et Niestlé S.A, 1996. 
BROUSSEAU, G. Epistemologia e didattica della matematica. La matematica e la sua Didattica , Bologna, n. 4, p. 621-655, 2006a. 
COMENIUS, J. A. [Komenský J.A.] Didáctica magna . Amsterdam, 1657. Veja18 se a edição: VON FLITNER, A. (Ed.) Die große Didaktik . Düsseldorf: Helmut Küpper, 1966. 
D’Amore B. (2007). Epistemologia, Didática da Matemática e Práticas de Ensino . Bolema. Boletim de Educação Matemática. Vol. 20, n° 28, 1179-205. ISSN: 0103-636X. 
FREIRE, P. Pedagogia da autonomia : saberes necessários à prática educativa. 28. ed. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1996. 
MEDEIROS, João Bosco. C omo tornar o estudo e a aprendizagem mais eficazes . In: ______. Redação científica: a prática de fichamentos, resumos, resenhas. 11. ed. São Paulo: Atlas, 
2011. cap. 1, p. 5- 27. 
VASCONCELOS, C. C. Ensino-aprendizagem da Matemática : velhos problemas, novos desafios. Revista Millenium. Nº 20. São Paulo. 2009. 
REFERÊNCIAS ON-LINE 
Guy Brousseau: o pai da didática da Matemática. Professor Janil do Arantes Blogspot. Publicado em 31/07/2013. Disponíve em: 
https://professorjanildoarantes.blogspot.com.br/2013/07/guy-brousseau-o-pai-da-didatica-da.html . Acesso em 23 ago. 2017. 
GUZMÁN, M. Tendencias innovadoras em educación matemática. Internet em http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/tendencia/esen.htm . Acesso em 20/07/2017. 
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN-Matemática). http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro01.pdf . Acesso em 26/07/2016. 
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APROFUNDANDO 
Caro(a) aluno(a), durante todo o desenvolvimento da didática e da didática Matemática, buscou-se algo que parece muito simples, mas que exigiu e ainda exige muito estudo e 
dedicação dos pesquisadores para entender como ela acontece: a aprendizagem. 
No dicionário, encontramos que aprendizagem é um substantivo feminino que se refere a aprendizado, o qual significa ato ou efeito de aprender; experiência inicial do que 
aprendeu, prática, experiência, aprendizagem. 
O professor deve saber que aprendizagem é um processo, no qual o aluno adquiriu ou modificou competências, habilidades, comportamentos, valores ou conhecimentos. Tudo isso 
é resultado de muito estudo, esforço conjunto entre ele, o aluno e todo o sistema escolar. A aprendizagem é adquirida por experiências, dentro e fora da escola, formações, 
raciocínios e observação. Na Matemática, principalmente o raciocínio, é fundamental para que haja aprendizagem. 
A aprendizagem está intimamente ligada à educação e ao desenvolvimento pessoal, pois a aprendizagem deve levar o ser humano a ser melhor do que antes desse processo. E 
entendesse aqui o “ser melhor” com relação ao seu conhecimento e entendimento que lhe foi transmitido. 
Esse processo de aprendizagem é uma das funções mentais mais importantes em seres humanos e animais, o qual também pode ser aplicado a sistemas artificiais. Diferentes áreas 
estudam a aprendizagem e utilizam conhecimentos, como o da pedagogia, da psicologia e da neuropsicologia, para esses estudos. 
É obvio que no processo de aprendizagem, algo muito importante é o estudo. Medeiros (2011, p. 5) define que estudo: "[...] é realizar experiências submetidas à análise crítica e à 
reflexão com o objetivo de apreender informações que sejam úteis à resolução de problemas". 
Para que haja a aprendizagem de forma adequada, o estudo deve incluir: 
• Análise do que se irá estudar; 
• Exame sistemático; 
• Organização de trabalhos; 
• Busca de informações; 
• Anotações; 
• Leitura; 
• Elaboração de resumos; 
• Memorização. 
Um dos “defeitos” encontrados em nós, professores, é acreditarmos que nossos alunos sabem estudar e, por isso, a aprendizagem será uma consequência imediata. O(a) aluno(a) 
deve ser orientado sempre por seus professores como estudar. Os primeiros passos do(a) aluno(a) está em analisar, examinar e organizar os trabalhos, para que ele possa perceber o 
que deve ser estudado e o que eleprecisa fazer durante todo esse processo de aprendizagem. Quando o(a) professor(a) transmite os conteúdos, o(a) aluno(a) deve buscar 
informações que vão além daquilo que ficou na sala de aula, ele deve também realizar anotações, resumos e leitura referentes a tudo o que o professor fez. E, por último, ele(a) deve 
buscar uma memorização, que não significa decorar os textos ou fórmulas, mas guardar para si a essência. 
Além disso, o estudo para levar a uma boa aprendizagem, deve ter: 
• Organização; 
• Assiduidade; 
• Adequação do ambiente; 
• Motivação. 
Tudo isso em conjunto com a motivação que deve existir no aluno, deve levar a um processo de aprendizagem que seja eficiente. 
PARABÉNS! 
Você aprofundou ainda mais seus estudos! 
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EDITORIAL 
DIREÇÃO UNICESUMAR 
Reitor Wilson de Matos Silva 
Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva 
Pró-Reitor de Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin 
Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi 
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ . Núcleo de Educação a Distância; VANSAN, Alexandre Hungaro. 
Didática e Avaliação em Matemática . 
Alexandre Hungaro Vansan. 
Maringá-Pr.: UniCesumar, 2017. 
31 p. 
“Pós-graduação Universo - EaD”. 
1. Matemática. 2. Didática. 3. EaD. I. Título. 
CDD - 22 ed. 510 
CIP - NBR 12899 - AACR/2 
Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar 
Diretoria de Design Educacional 
Equipe Produção de Materiais 
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PROCESSO DE AVALIAÇÃO EM 
MATEMÁTICA 
Professor : 
Me. Alexandre Hungaro Vansan 
Objetivos de aprendizagem 
• Apresentar formas diferentes de avaliação. 
• Conceituar as diferentes maneiras de avaliar, em Matemática, e que testes escritos não são a única alternativa. 
• Apresentar o que se deve avaliar em Matemática. 
Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
• Introdução à avaliação 
• Avaliação de matemática 
• Avaliação na prática 
Introdução 
Nesse estudo apresentaremos conceitos ligados à avaliação e à avaliação Matemática, em que perceberemos que todo o processo avaliativo da Matemática parte da ideia de que 
nós professores precisamos nos defrontar com dificuldades para chegar ao aprendizado. Fazer o diagnóstico de todas as dificuldades e facilidades dos alunos é o nosso objetivo 
principal como avaliadores para que possamos fazer uma boa análise da situação do aluno, de forma a não sermos injustos com possíveis reprovações. 
Para todos nós professores, a avaliação deve servir para um bem maior que é o aprendizado. Ainda mais você, professor de Matemática, deverá entender que a avaliação não é um 
momento de punição para o aluno, e sim um momento diário e contínuo, o qual deve usar para entender como está sendo o processo de aprendizagem. 
Apresentaremos a você dois conceitos de avaliação somativa e a avaliação informativa, a primeira foca no aluno, para saber se ele será aprovado ou reprovado. Já a avaliação 
formativa tem como objetivo principal informar ao professor como está a assimilação de conteúdos dos alunos, e encontrar problemas nesse processo para que nós possamos 
traçar caminhos alternativos na disseminação do saber, e tentar solucionar os problemas detectados. Esse processo de avaliação é feito ao longo do processo e, ao contrário da 
avaliação somativa, não tem o objetivo de classificar o aluno. 
Trataremos de assuntos ligados às estratégias que você poderá seguir na organização de uma avaliação de Matemática. Essas estratégias são: o que avaliar? Quando avaliar? E como 
avaliar? Ou seja, devemos avaliar os saberes dos estudantes ligados aos comportamentos, habilidades, atitudes e os conhecimentos. E esses saberes devem ser avaliados a todo o 
momento de forma contínua, para que possamos acompanhar de perto o saber que nosso aluno adquiriu. Tudo isso deve ser envolvido num processo de avaliação que visa a integrar 
o conhecimento prévio que o aluno traz do seu dia a dia de fora da escola, com o conhecimento de períodos anteriores e mais os saberes novos aprendidos. 
Que você possa se sentir motivado a fazer esse estudo e compreender como se dá todo esse processo avaliativo. 
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INTRODUÇÃO À AVALIAÇÃO 
A avaliação está presente no dia a dia nas mais variadas atividades. Estamos sempre julgando ou comparando algo ou alguma coisa. Na educação, essa avaliação fica mais evidente, 
pois sem qualquer tipo de avaliação, a escola não pode tomar qualquer decisão a respeito do seu próprio desempenho ou do desempenho do aluno. 
Nesse contexto, o processo de avaliação Matemática não é diferente. Ela passa por um processo que permite criar estratégias metodológicas para tentar “medir” o conhecimento 
adquirido pelo aluno. Mas esse processo não se resume a isso. Cabe a ele também ser um instrumento que indique o caminho a ser percorrido nesse processo de ensino- 
aprendizagem. 
Nos últimos anos a avaliação parece mais um processo que classifica o aluno a fim prepará-lo para testes externos ao ambiente escolar (vestibulares e concursos, por exemplo). Mas 
a avaliação escolar vai muito além. Ela tem como objetivo analisar o desempenho do aluno, do professor e de toda a situação de ensino que se realiza no contexto escolar. Sua função 
é ajudar o professor, a equipe pedagógica e o próprio sistema no aperfeiçoamento do ensino. Para tornar o ensino mais efetivo, a avaliação fornece informações que possibilitam 
tomar decisões sobre o que fazer e como fazer. É, portanto, uma prática valiosa, quando utilizada com o propósito de compreender o processo de aprendizagem que o aluno está 
percorrendo na Matemática, com cumprimento dos objetivos previstos e assumidos por toda comunidade escolar. 
Vamos observar o que a LDB (Leis de Diretrizes e Bases da Educação Básica) em seu artigo 24, parágrafo V diz a respeito da avaliação: 
A verificação do rendimento escolar observará os seguintes critérios: 
a. avaliação contínua e cumulativa do desempenho do aluno, com prevalência dos aspectos qualitativos sobre os quantitativos e dos resultados ao 
longo do período sobre os de eventuais provas finais; 
e. obrigatoriedade de estudos de recuperação, de preferência paralelos ao período letivo, para os casos de baixo rendimento escolar, a serem 
disciplinados pelas instituições de ensino em seus regimentos; 
Fonte: Lei número 9394, de 20 de Dezembro de 1996 e suas atualizações. 
Todo o processo avaliativo da Matemática parte da ideia que de precisamos nos defrontar com dificuldades para chegar ao aprendizado. Assim, diagnosticar as dificuldades e 
facilidades serve de análise da situação escolar do aluno perante tudo o que oferecemos a ele enquanto professor e escola. As perguntas que devemos respondersão: quais 
problemas o aluno enfrenta? Por que ele apresentou tais resultados (bons ou ruins)? Qual o processo aplicado a ele? Os resultados são significativos? 
A avaliação tem sido reduzida a um instrumento de coleta de informações. O próprio aluno ou até mesmo alguns professores quando falam de avaliação se referem a “prova escrita” 
ou “oral” que será aplicada para obter a média. Não entendem que avaliação é muito mais amplo e não termina quando se obtém o levantamento de informações, as quais devem ser 
comparadas e julgadas a partir do contexto em que foram produzidas. 
Simplesmente usar uma nota ou conceito para garantir se um aluno será aprovado ou reprovado em Matemática é um recurso muito simples perante toda complexidade que está 
por traz do aprendizado. É preciso analisar antes da tomada de decisão, como se deu o processo de aprendizagem, quais as condições que esse aluno foi submetido, e os 
instrumentos de avaliação que foram utilizados. Também se devem levar em conta quais tipos de “erros” o aluno cometeu durante todo o processo. 
Observe a adição de frações: 
É comum encontrarmos erros como esse acima, em que podemos identificar vários problemas, que vão desde a falta de 
conhecimento sobre a adição de frações, quanto ao aluno não saber o conceito de frações equivalentes, ou o mesmo desconhecer 
todo o mecanismo que envolve a soma de frações. Precisamos identificar o que está por traz dessa falha, não buscando culpados, mas 
sim buscando soluções para que o processo de aprendizado tenha bons resultados. 
A avaliação não é um ente com vida própria e que está a serviço de alguém. A avaliação é um meio que se usa para um bem maior que é o aprendizado. Está dimensionada por um 
modelo teórico de sociedade, de homem, de educação e, consequentemente, de ensino e de aprendizagem, expresso na teoria e na prática pedagógica. 
Cunha (1998) pesquisou as concepções de conhecimento que fundamentam a prática pedagógica no ensino superior. Ele afirma que a compreensão de que a concepção de 
conhecimento preside a definição da prática pedagógica desenvolvida na Universidade foi muito importante para ultrapassar a análise simplista, realizada sobre as regras didáticas 
aplicadas ao ensino superior. 
Apesar das grandes mudanças educacionais, a maioria das escolas se comporta como espaços opressores, autoritários, nos quais diretores, professores e alunos vivem numa eterna 
hierarquia de poderes. Ainda a escola vê a avaliação como uma forma de classificar e rotular os alunos entre bons e os maus, de forma a separá-los em classes e dar mais atenção aos 
bons, pois esses produzem “resultados melhores” para a escola. 
Uma única prova bimestral servia como ameaça a turma, pois era a chance de ir bem ou mau. Era o divisor de águas para o aluno. Entretanto esse modelo de avaliação ficou 
ultrapassado e atualmente a avaliação é vista como uma das mais importantes ferramentas à disposição dos professores para alcançar o principal objetivo da escola: fazer com que 
todos os alunos avancem. Avaliação passou a ser discutida como algo que deve ser aplicado de forma contínua e diária. O importante passou a ser como encontrar caminhos para 
medir a qualidade do aprendizado dos educandos e oferecer alternativas para uma evolução mais segura todos os dias. 
Para transformar a avaliação matemática, é preciso fazer da escola um local de debate, discussão e apresentação de argumentos entre todos, voltados para a melhoria da educação 
Matemática. O primeiro passo é começar pela reflexão das práticas avaliativas que erroneamente são compreendidas como o momento do acerto de contas entre o educando e o 
educador. Muitas vezes esse momento é usado pelo professor como uma ferramenta de “vingança” por tudo o que o aluno faz durante as aulas. É um elemento usado para corrigir a 
“postura” do aluno quando ele conversa excessivamente, brinca de forma inadequada, ou ainda tem momentos de distração e falta de interesse pelo que o professor está falando. 
Para Álvarez Méndez (2002), a avaliação está intimamente ligada ao conhecimento, e uma vez reconhecida sua natureza, a avaliação deverá ajustar-se a ela se quiser ser fiel e 
manter a coerência epistemológica. 
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Figura 1 - Escola de Atenas 
Figura 2 - Sala de aula Tradicional 
No início da educação não existiam as salas de aula como conhecemos hoje (Figura 2). Havia apenas o conceito de mestre e discípulos, em que um mestre ensina a dois ou três 
discípulos no máximo, como visto acima na Figura 1 da Escola de Atenas, na qual encontramos vários estudiosos com seus mestres em pequenos grupos. Dessa forma, não havia 
nesse período a necessidade de avaliar da forma que é feita nos dias atuais. Entretanto, com o passar do tempo houve a necessidade de que cada mestre tivesse um número maior 
de discípulos, e isso fez com que um sistema de avaliação e classificação dos estudantes fosse criado. Foi a partir do século XVI, que se convencionou chamar de “Pedagogia 
Tradicional”, da qual decorre a concepção de que avaliação e exame se equivalem. Foram os Jesuítas e algumas escolas protestantes, que conceituam a avaliação seguindo a forma 
de exames e provas. Os exames escolares como conhecemos hoje, na maioria de nossas escolas, foi sistematizada nos séculos XVI e XVII, com os Padres Jesuítas e pelo Bispo John 
Amós Comênio no fim do séc. XVI e na primeira metade do século XVII (LUCKESI, 2003). Entretanto, há registros históricos que o exército chinês, cerca de três mil anos antes de 
Cristo, já usava testes para selecionar seus soldados. Claro que testes aplicados da forma que conhecemos hoje, só passaram a existir com o início da idade moderna e o início das 
atividades escolares. 
Como forma de uma ascensão social e para garantir certa riqueza, a burguesia passa a utilizar os estudos para esse fim e, com isso, os exames passaram a ser fortemente utilizados, 
até para o serviço público, o que valia mais era a meritocracia. Ao longo do século XIX, há uma forte valorização de exames e diplomas, Afonso (2000) diz que o Estado passou a 
controlar os processos de certificação. 
Ainda hoje, tanto no ensino público quanto no ensino privado, a escola passa por esse processo de exames escolares ao invés de avaliação de aprendizagem, grande parte pela 
pressão sofrida pelas escolas em mostrar números que vão a favor dos índices governamentais ou em mostrar quem aprova mais nas grandes universidades. É o “ensino para passar 
nos testes”, ou como Luckesi (2003) chama de “Pedagogia do Exame”. 
Temos que entender aqui que classificar alunos não é o mesmo que classificar candidatos. Vestibulares e concursos precisam de classificações para seus processos de admissão, 
entretanto a sala de aula não deve se resumir a isso. A sala de aula deve trazer o acompanhamento diagnóstico da aprendizagem e a reorientação de toda a escola acerca dessa 
aprendizagem. 
Essa análise histórica nos ajudou até aqui a verificar que o primeiro conceito de avaliação está em examinar. Além desse, encontramos o conceito de que avaliar é medir o 
desempenho. Esse conceito surgiu no início do século XX nos Estados Unidos. Estudos de Edward Lee Thorndike sobre testes educacionais resultaram no desenvolvimento de 
testes padronizados para medir as habilidades de alunos. Também nesse período houve uma grande contribuição da psicologia à avaliação educacional, criando o primeiro teste de 
inteligência para crianças e adultos. Esses testes evoluíram de tal forma que a cultura dos testes e medidas na educação passou a ser visto como uma forma de avaliação. Havia 
também estudos referentes à psicologia comportamental, e considerava que aprendizagem poderia ser quantificada. 
Outra ideia de avaliação iniciou com o Positivismo na França, por meio de AugusteComte e John Stuart Mill. Essa corrente filosófica conceitua a avaliação como a sistemática de 
dados que determinam a mudança de comportamento do aluno e como essas mudanças acontecem (BLOOM et al ., 1975). A avaliação torna-se medida e separa o processo de 
ensino e o seu resultado. De acordo com Hadji (2001), a ideia de que a avaliação é uma medida dos desempenhos dos alunos encontra-se fundida na mente dos professores e ainda 
mais na mente da maioria dos alunos. A dificuldade para superar essa concepção esbarra na “confiabilidade” das medidas em educação e nos parâmetros “objetivos” utilizados pelos 
professores para atribuir notas às tarefas dos alunos: uma medida é objetiva no sentido de que, uma vez definida a unidade, devesse ter sempre a mesma medida do mesmo 
fenômeno. 
Ainda para Hadji (2001) afirma que reduzir a avaliação (prova) à medida implica aceitar a confiabilidade da prova como instrumento de medida e desconsiderar que a subjetividade 
do avaliador pode interferir nos resultados da avaliação. O avaliador não é um instrumento, e o avaliado não é um objeto. Devemos como avaliador compreender que a “nota 
verdadeira” tem pouco sentido. 
Segundo Saul (1988), a partir da década de 60, surge grandes críticas sobre as formas e ideias da avaliação nas escolas. Houve um rápido desenvolvimento de enfoques teóricos bem 
diferentes de avaliação, com pressupostos éticos, epistemológicos. Houve uma busca por uma nova forma de avaliar dentro da escola. Procurou-se desenvolver uma chamada 
avaliação “qualitativa”. Passou-se a acreditar que o rendimento não poderia ser medido a partir de uma prova e que os testes não informavam aos professores o que realmente os 
alunos aprenderam. Essa concepção qualitativa de avaliação envolve uma preocupação em compreender o significado de resultados a curto e longo prazos, o que está explícito ou 
oculto, o que pode ser reorientado ou uma mudança de foco, deve-se sair de um foco nos resultados para um foco no processo. 
Observe como a resolução de uma expressão numérica feita por um aluno do sétimo ano: 
{[(2⁴+12) - 3⁴ ] ∙ 20} = 
{[(8 + 12) - 34 ] ∙ 20} = 
{[20 - 12] ∙ 20} = 
{8 ∙ 20} = 160 
Esse exemplo mostra que o aluno sabe todo o processo de ordem dos sinais, parênteses, colchetes e chaves, entretanto o aluno não fez corretamente 
o cálculo da potenciação. Cabe ao professor perceber não só o resultado incorreto, mas onde foi o erro e qual o motivo desse erro. Avaliar nesse caso 
os erros e acertos do aluno é fundamental. Zerar toda a questão parece incoerente com o conceito de avaliar e se parece mais com o conceito apenas 
de medir. 
Ainda segundo Saul (1988) a “avaliação qualitativa” incorpora um conjunto de técnicas, orientações e pressupostos da metodologia etnográfica, da investigação de campo. Ainda a 
avaliação qualitativa é flexível de forma a dar um enfoque progressivo, ou seja, está centrada num processo que evolui em virtudes de descobertas sucessivas e de transformações 
do contexto (CHUEIRI, 2008). A avaliação qualitativa não veio para dispensar a avaliação quantitativa, mas pretende ultrapassá-la. A avaliação qualitativa procura compreender os 
processos dos alunos e a aprendizagem, causando uma ruptura com a preocupação com o resultado que configura a avaliação quantitativa. 
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Podemos observar em muitas escolas uma proposta que tenta “misturar” avaliação quantitativa com qualitativa de forma a suavizar a preocupação com resultados pela inclusão de 
subjetividade nessa avaliação. Aparentemente é uma tentativa de transformar o modelo de avaliação. Tanto escola, aluno ou família parecem ter necessidade de transformar todo o 
conhecimento adquirido, todos os conceitos e procedimentos em um número, ou em um resultado que pudesse ser palpável. Apesar de toda intenção de incorporar a avaliação 
qualitativa e avançar numa nova proposta avaliativa, ainda não é suficiente para um avanço. 
Essa forma de avaliar qualitativamente e quantitativamente mantém o sujeito individualizado e não leva em consideração o meio em que ele vive ou as relações pessoais, as 
possibilidades, as dificuldades, traumas ou distúrbios psicológicos que possam fazer parte de sua vida. Há uma concepção de que o indivíduo é que deve se alinhar com as condições 
impostas pela forma de avaliar. 
Cabe a nós professores avaliar nossas ações em sala de aula, por exemplo: linguagem que usamos, forma de explicar os conteúdos ou como resolvemos situações de sala no dia a dia. 
Nossa fala expressa o que entendemos como adequado em educação e aquilo que queremos alcançar. Nossas práticas estão cheias de ações que fazem parte de nossa cultura e 
expressam um modo de ver o mundo que é de cada um, e essa maneira de ver o mundo está enraizada nas ações de cada professor e isso traz para nossas ações reflexos de tudo o 
que vivemos no cotidiano, e que ainda estão muito envolvidos pela ideia da classificação e da seleção, no que envolve a avaliação escolar. Um exemplo disso é o uso das notas 
escolares para classificar os alunos com os mais variados objetivos: classificar os melhores, reprovar ou aprovar um aluno apenas olhando os números, dar desconto em bolsa de 
estudo, ingresso em escolas etc. Isso faz com que apenas as melhores notas seguiram uma vida escolar cheia de méritos, e os piores terão dificuldades e deverão iniciar tudo de 
novo, como se todo o trabalho tivesse sido em vão. Nota ruim virou sinônimo de falta de conhecimento! 
Em nossa sociedade, ainda é bem comum às pessoas entenderem que não se pode avaliar sem que os estudantes recebam uma nota por sua produção. Cabe a nós professores 
percebermos e entendermos que nossas ações devem ir além do que é comum e não devemos confundir de forma alguma avaliar e medir. Você leitor já deve ter percebido até aqui 
que dar uma nota ou um conceito faz parte do processo de avaliar, é uma pequena parte de algo muito maior. A avaliação deve ser vista como uma atividade que visa olhar o futuro 
do aluno, tanto em relação ao que o aluno fará quanto com relação às nossas atitudes como educadores. Medir deve ter o intuito de ver o progresso feito pelo estudante, enquanto 
avaliar requer observar o progresso de forma a planejar o futuro. Portanto, medir não é avaliar, mas faz parte do processo. 
Avaliação busca garantir o sucesso, ela é a parceira de quem produz o resultado e busca o melhor possível. A avaliação não resolve todos os problemas, ela produz informações para 
que o gestor (quem administra alguma coisa) chegue a algum lugar. Desde o século XVI até o hoje, o fracasso é atribuído ao estudante, por exemplo: é o estudante que não lê, que 
não estuda, que é disperso em sala. Ou Ainda dizemos que o fracasso pode ser atribuído por uma dificuldade social, econômica ou cultural. O que nos leva a refletir é: será que o 
fracasso é só do estudante? Será que a instituição escolar também não fracassou? No final da década de 80 descobriu-se que a instituição também poderia fracassar. Foram criadas 
então várias avaliações de grande escala com o objetivo de avaliar a instituição como um todo, por exemplo, ENEM, ENAD, SAEB entre outras. O objetivo é observar se o sistema 
produz o que promete ou ele também fracassa, e utilizar desses resultados para planejar futuras ações. 
O ato de avaliar é investigar e produzir conhecimento, e se assemelha a pesquisa científica, e a diferença está no objetivo, enquanto a pesquisa científica pretende desvendar como 
funciona a realidade a avaliação quer desvendar a qualidade da realidade. Se pudesse trabalhar com as causas e os efeitos sobre a aprendizagem, poderíamos manipular as causas 
para mudar os efeitos. 
Atualmente dois conceitos de avaliação dividem opiniões sobre o assunto, onde não há um melhor que o outro, mas apenas conceitos diferentes: a avaliação somativa e a avaliação 
formativa. 
A avaliação somativa, ela é feita no final do período, no momentoem que o tratamento pedagógico já acabou. Nesse caso os resultados devem ser utilizados para julgar o programa. 
O problema é que esse tipo de avaliação muitas vezes é usado apenas para avaliar o aluno, ou seja, saber se ele vai ser reprovado ou não. Entretanto, essa forma de avaliar foi criada 
para que ao final do período possa verificar o que foi feito com esse aluno, qual era a proposta pedagógica e quais as expectativas de aprendizagem. 
Em muitos casos, a avaliação acontece ao longo do processo, de forma a subsidiar o trabalho pedagógico, redirecionando o processo ensino-aprendizagem para acabar (ou diminuir) 
com as dificuldades encontradas na aquisição de todo o conhecimento aperfeiçoando a prática escolar. Dessa maneira, a avalição passa a ser vista como um diagnóstico contínuo e 
dinâmico, fundamental para mudar os métodos e procedimentos caso necessário, de forma a realmente levar o aluno a aprender. É uma forma de o professor rever todas as ações 
tomadas por ele, rever os processos de ensino e analisar materiais pedagógicos utilizados, e que pudesse permitir outras ações em relação aos alunos para que eles atingissem seus 
objetivos de aprendizagem. Essa forma de avaliação é chamada de formativa. Essa ainda é uma prática pouco utilizada nas escolas. O que se vê é a ideia de que a prova no final do 
ano é que vai julgar a “sorte” de quem será aprovado. 
A avaliação formativa tem por característica a autonomia do estudante. Nesse processo ele passa a ser protagonista do seu aprendizado e não um mero expectador daquilo que lhe 
oferecerem. Há uma interação, um diálogo constante entre professor e aluno, de forma a responsabilizar os dois pelo aprendizado, avanços e necessidades. Para que isso ocorra, é 
preciso que o aluno saiba como se dará todo o processo, quais os objetivos, as expectativas e como será avaliado, para que no final do período, ele possa fazer uma autoavaliação 
capaz de ter maior responsabilidade sobre seu próprio processo ensino-aprendizagem. Nesse processo, o professor deve estar sempre atento à aprendizagem do aluno. O professor 
não deve estar preocupado em dar uma nota, pois ela, a nota, não é o fim do processo, mas uma decorrência dele. Continuamente, avaliar faz parte do dia a dia das atividades 
pedidas, das observações em sala feitas pelo professor, e das práticas também diárias. Podemos concluir que avaliação formativa orienta o próprio aluno para a produção de seus 
trabalhos e realização de suas aprendizagens, fazendo os alunos localizarem suas potencialidades e suas dificuldades, redirecionando-os em seus percursos, favorecendo a 
autoavaliação. 
Há ao menos dois aspectos sobre os quais a escola deve refletir, como parte de sua concepção de educação. O primeiro é a exclusão que ela realiza se afastar os estudantes da 
cultura, do conhecimento escolar e da própria escola, pela inferência da evasão através de uma reprovação. Nesse aspecto a reprovação pode excluir mais do que incluir o aluno, 
dando a ele a responsabilidade de exclusão a ele mesmo. O segundo aspecto diz respeito à responsabilidade esperada dos estudantes na escola e o progresso de sua autonomia. 
Aqui a avaliação é usada para gerar a dependência do estudante e não para valorizá-lo como sujeito de direitos com capacidade para tomar as suas decisões. A escola não serve 
apenas para aprender um conteúdo escolar, mas um local de se relacionar com o mundo, natural e social. Essas relações devem fazer com que o aluno se sinta incluído e o 
desenvolva de forma plena a sua autonomia e a sua tomada de direção para construir sua vida social. 
AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 
Paulo Freire no VIII Congresso Internacional de Educação Matemática ao falar sobre a necessidade dos homens se conscientizarem da existência de uma forma Matemática de se 
estar no mundo, diz: 
Quando a gente desperta, já caminhando para o banheiro, a gente já começa a fazer cálculos matemáticos. Quando a gente olha o relógio, por 
exemplo, a gente já estabelece a quantidade de minutos que a gente tem para, se acordou mais cedo, se acordou mais tarde, para saber exatamente a 
hora em que vai chegar à cozinha, que vai tomar o café da manhã, a hora que vai chegar o carro que vai nos levar ao seminário, para chegar às oito. 
Quer dizer, ao despertar os primeiros movimentos, lá dentro do quarto, são movimentos matematicizados (PAVANELLO; NOGUEIRA , 2006, p. 36). 
Percebemos, aqui, por essa “pequena” fala de Paulo Freire, o quanto a Matemática é importante e útil em nosso dia a dia, mas você professor que está lendo esse material já deve 
saber disso. Entretanto, será que nossos alunos sabem disso? Qual é o nível de entendimento da importância da Matemática nosso aluno tem? Será que ele apenas está interessado 
em passar de ano ou no vestibular? Cabe a nós professores de Matemática mostrar ao aluno durante todo o processo de avaliação e aprendizagem o quão necessária é a 
Matemática em nossas vidas, mesmo sendo uma ciência tão abstrata em certos momentos. 
A avaliação Matemática não é uma prática neutra e simplesmente técnica, mas é um modelo teórico de mundo, de ciência e de educação. Ela envolve práticas pedagógicas que 
envolvem intencionalidade de ação, objetivadas em condutas, atitudes e habilidades dos seres envolvidos. O papel do professor é o de interpretador, ele é aquele de dá sentido e 
significado a avalição, com base em suas concepções, experiências e conhecimentos. 
Nós professores de Matemática estamos a todo o momento buscando soluções que possam atrair mais nossos alunos para as aulas, e dessa forma fazer com que eles se sintam a 
vontade e confiantes de participar de todo o processo de avaliação. Não devemos mais ter o conceito de autoritarismo quando estamos falando de avaliar, mas sim o conceito de 
avaliação diagnóstica, a qual é aplicada de forma continuada e com o interesse de buscar novos caminhos para o aprendizado. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/deaem2/p�gina-inicial/unidade-2
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Um fato muito importante é que durante esse processo avaliativo, o aluno deve sentir que também está no controle para poder perceber quais são os seus erros, seus acertos e 
saber quais são os objetivos e caminhos que terá. O estudante deve poder opinar sobre as aulas e colocar-se como participantes dela de forma a fazer uma autoavaliação. 
Na nossa prática como professores de Matemática, a avaliação tradicionalmente está centrada em conhecimentos específicos e na obtenção de erros. Nós ficamos mais 
preocupados com os erros dos alunos e não com todo o processo, ou em como foi o seu crescimento durante o período. Aqui entra o conceito já discutido de Avaliação Somativa, em 
que devemos ir muito além do simples olhar sobre os números e análise fria de erros e acertos. 
Nós devemos tratar os erros sem escândalo e com naturalidade, de forma que eles possam ser usados para a construção do conhecimento, sem fazer com que o aluno se sinta um 
fracassado, mas que esteja motivado a superar as dificuldades e aprender o que ficou sem compreensão. É por isso que Vergani (1993, p. 152) afirma: “interessar-se pelo aluno é 
interessar-se pelos seus erros”. 
Mesmo em uma avaliação tradicional, é possível não focar apenas nos resultados e ir além. É possível observar quais conceitos matemáticos ele usou, as escolhas feitas por ele, se 
utilizou a Matemática apresentada nas aulas, se fez correlação com outros conteúdos e como ele interpretou as questões. Quando você, professor de Matemática ou pedagogo, 
contempla essas observações e outras possíveis, faz a qualidade de sua avaliação crescer muito e transforma todo o processo de ensino aprendizagem, mesmo sem mudar como 
trabalha em sala de aula. 
Em contrapartida a avaliação formativa ou para nós matemáticos, a Matemática Formativa, refere-se à estruturação e agilização do raciocínio, intimamente ligada ao fazer 
Matemática como um profissional. De acordo com Pavanello e Nogueira (2006, p. 38), o trabalho matemático de ensinare aprender deve ter as seguintes características: 
• Partir de situações-problema internas ou externas à matemática. 
• Analisar as situações. 
• Pesquisar acerca de conhecimentos que possam auxiliar na solução dos problemas. 
• Elaborar conjecturas, fazer afirmações sobre elas e testá-las. 
• Refinar as conjecturas. 
• Perseverar na busca de soluções, mesmo diante de dificuldades. 
• Sistematizar o conhecimento construído a partir da solução encontrada, generalizando, abstraindo e desvinculando-o de todas as condições particulares. 
• Submeter os resultados obtidos à comunidade, utilizando, para isso, uma linguagem adequada. 
• Argumentar a favor ou contra os resultados. 
A autora acima ainda afirma que todas essas atitudes devem ser tomadas pelo aluno durante todo o processo avaliativo, sempre com a orientação e observação atenta do professor. 
O acompanhamento que você professor dará, deve ser de modo mais individualizado possível, de forma ativa e intervencionista, conversando com os alunos, para ele compreender 
melhor todo o processo. 
É muito importante essa compreensão, no processo pedagógico, e orientar a avaliação para essas finalidades. Entretanto deve-se manter a importância da aprendizagem dos 
conteúdos mais específicos e de grande importância para a formação do aluno. Devemos criar um meio termo entre valorizar a criação do estudante e sua expressão cultural, com a 
vivência em um mundo tecnológico e exigente que necessita das várias ciências e artes já sistematizadas. O professor deve selecionar apenas o que é importante, de modo que ele 
consiga executar outras tarefas didáticas. 
Você, professor de Matemática, deve fazer as seguintes observações em sala de aula: com qual interesse o aluno entrega os trabalhos e atividades, se ele insiste mesmo quando tem 
dificuldades, se explora novas ideias, se avalia de forma criteriosa a solução que encontrou, se ele reflete sobre como organizar seu trabalho, se pede a sua ajuda ou se interage com 
os colegas sobre suas dúvidas. Além disso, nós professores devemos avaliar o que o aluno sabe ou como sabe e o que pensa matematicamente, avaliar se ele desenvolveu atitudes 
positivas em relação à Matemática, e avaliar o processo e o grau de criatividade das soluções dadas pelo aluno, ter uma grande variedade de atividades matemáticas, desenvolver 
situações-problema que envolva um conjunto de ideias Matemáticas, propor situações que tenham mais de uma solução e propor ao aluno criar, formular e resolver seus próprios 
problemas. Não devemos também nos esquecer de usar muitas formas de avaliação, incluindo as escritas e as orais (exposições, entrevistas, conversas informais) e as de 
demonstração (materiais pedagógicos). E para atender outras demandas, a utilização de materiais manipuláveis, calculadoras e computadores nas avaliações são de extrema 
importância. Para que todas essas atitudes sejam contempladas, não pode existir ainda um professor que privilegie somente aulas expositivas e que objetivem a memorização de 
conteúdos. O que deve existir é o desenvolvimento do pensamento. Os caminhos que levam a esse desenvolvimento do pensamento, e mais especificamente o pensamento 
matemático é a resolução de problemas, a utilização de jogos e investigações matemáticas. 
Um pequeno exemplo do que estamos falando quando avaliamos um aluno, é o de divisão de frações, o qual pode ser feito de várias formas. Quando um aluno resolve a divisão de 
frações de forma diferente daquela que você professor ensinou, qual a sua reação? Você considera como errado? O entendimento da maioria dos professores de Matemática é o de 
que nós não podemos ensinar o aluno de uma única forma. Devemos levar os alunos a pensar e escolher para ele qual o melhor caminho para resolver um determinado exercício ou 
problema. Observe o exemplo: 
Na divisão de frações temos as seguintes formas: 
1ª forma : podemos usar a ideia de repartir , por exemplo, uma criança que vai repartir 1/3 de uma barra de chocolate entre ela e um amigo. 
2ª forma : em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um número cabe no outro. Para a divisão de 1/2 por 1/4, podemos pensar em quantas vezes 1/4 cabe 
em 1/2. O desenho a seguir nos ajudará a entender. 
As ideias de quanto cabe e repartir se equivalem, e cabe a nós professores decidir qual a melhor opção para o aprendizado dos alunos. 
3ª forma : quando usamos o inverso multiplicativo. Por exemplo, na divisão de 1/2 por 3/4, procedemos transformando o divisor em 1, o que facilita a divisão, pois qualquer número 
dividido por 1 resulta nele mesmo. 
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Entre as três formas apresentadas no exemplo acima, o professor de Matemática deveria utilizar todas as formas para que os alunos, que aprendem de formas diferentes, assimilem 
o conteúdo, e não devemos exigir uma única maneira de resolução pelo aluno. 
Apesar de sabermos que a avaliação é uma forma de verificar se o estudante aprendeu ou não o conteúdo ensinado, todos sabemos que na sala de aula o professor utiliza a 
avaliação para controlar o comportamento dos alunos. Isso porque a avaliação isolou-se do mundo real, deixando as motivações naturais de aprendizagem por motivos artificiais 
dentre as quais a nota final. E percebemos que se estuda apenas para obter a nota e não para ter o pensamento lógico matemático desenvolvido. Quem nunca se deparou com um 
aluno que comemora apenas por ter tirado uma nota acima da média, ao invés de se empolgar com uma solução-problema encontrada. Os próprios pais ou responsáveis por esse 
estudante cobra se ele tirou uma boa nota, ou se essa nota é “vermelha”. Também é sabido que muitos professores trocam um bom comportamento por notas de forma a subordinar 
os alunos, ou ainda usam atitudes em sala de aula, por exemplo, se o aluno deixou de fazer bagunça como critério de avaliação, mesmo sabendo que avaliar é verificar o quanto o 
aluno aprendeu durante o processo avaliativo. 
Apesar de a Matemática ser considerada uma área distante das questões sociais e políticas, seus processos avaliativos não estão desligados da subjetividade pessoal. Ainda mais 
sabendo que nós professores desenvolvemos maneiras de avaliar que concordam com as opiniões intelectuais, suas atitudes diante da sociedade e seus referencias teórico- 
metodológicos. 
Sabemos que a avaliação deve levar em conta a especificidade do conteúdo abordado. Se o conhecimento matemático tem sua forma de expressar e produzir, então ele necessita de 
uma abordagem que leve em conta cada característica desse conhecimento. Dessa maneira, se percebe que o aprender depende do conteúdo a ser abordado, da mesma forma que 
uma didática geral não dá conta de todo conhecimento que requer. 
Para investigar o processo de avaliação é preciso considerar todos os resultados obtidos em pesquisas da didática Matemática. Infelizmente, na educação Matemática, existem 
poucas pesquisas voltadas para a avaliação da aprendizagem. Uma rápida pesquisa em bancos de dados e bibliotecas, encontramos poucas experiências relatadas e que podem 
ajudar outros professores. 
Tais pesquisas tendem a analisar mais os resultados do que levantar questões ou problemas para serem solucionados, ou seja, procuram identificar por meio dos resultados dos 
alunos ou de seus erros o significado disso na aprendizagem de Matemática. Elas deveriam abordar o processo de avaliação Matemática, ou ainda, de que forma o conhecimento 
matemático entra na vida do aluno, e de que forma esse conhecimento influencia na decisão do professor. 
Se há pouca contribuição dos professores de Matemática para pesquisas que relatam suas experiências em sala de aula sobre a avaliação da 
aprendizagem, porque então você professor ou pedagogo tome a iniciativa de fazer a sua contribuição. Que tal se tornar um escritor contanto suas 
experiências positivas em sala? 
Sabemos que a aprendizagem não depende exclusivamente