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UNIDADE 5 
POTÊNCIAS E RAÍZES
Prof.: Msc. Vanessa da Luz
5.1 POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL
A potenciação, também conhecida como exponenciação, é a multiplicação
de um determinado número por ele mesmo diversas vezes.
𝒂𝒏 = 𝒂. 𝒂. 𝒂 . . . 𝒂
𝒏 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
.
Na representação acima lê-se “𝒂 elevado à 𝒏”. O número real não-nulo 𝒂 é
chamado de base. Já o número natural 𝒏 é chamado de expoente e,
representa a quantidade de vezes que o número é multiplicado. O resultado
dessa multiplicação é chamado de potência.
BASE EXPOENTE REPRESENTAÇÃO POTÊNCIA
2 4 𝟐𝟒 = 𝟐. 𝟐. 𝟐. 𝟐 = 𝟏𝟔
(2 elevado à 4 é igual à 16)
16
5 2 𝟓𝟐 = 𝟓. 𝟓 = 𝟐𝟓
(5 elevado à 2 é igual à 25)
25
3 5 𝟑𝟓 = 𝟑. 𝟑. 𝟑. 𝟑. 𝟑 = 𝟐𝟒𝟑
(3 elevado à 5 é igual à 243)
243
7 1 𝟕𝟏 = 𝟕
(7 elevado à 1 é igual à 7)
7
Caso o expoente seja zero, independente da base, a potência será
sempre igual à 1.
𝟎, 𝟐𝟕 𝟎 = 𝟏
𝟏𝟖𝟗𝟒𝟕𝟔𝟐𝟑𝟎 = 𝟏
PROPRIEDADES
Considere 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ e 𝒎,𝒏 ∈ ℕ. Então valem as seguintes propriedades:
Produto e potências de mesma base:
𝒂𝒎. 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏;
Divisão de potências de mesma base:
𝒂𝒎
𝒂𝒏
= 𝒂𝒎−𝒏, com 𝒎 ≥ 𝒏;
Potência de um produto:
𝒂. 𝒃 𝒎 = 𝒂𝒎. 𝒃𝒎;
Potência de um quociente:
𝒂
𝒃
𝒎
=
𝒂𝒎
𝒃𝒎
com 𝒃 ≠ 𝟎;
Potência de potência:
𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎.𝒏.
Exemplos:
• 𝟓𝟏. 𝟓𝟐 = 𝟓𝟏+𝟐 = 𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓;
•
𝟏𝟎𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟏𝟗
= 𝟏𝟎𝟐𝟎−𝟏𝟗 = 𝟏𝟎𝟏 = 𝟏𝟎;
• 𝟓. 𝟕 𝟐 = 𝟓𝟐. 𝟕𝟐 = 𝟐𝟓. 𝟒𝟗 = 𝟏𝟐𝟐𝟓;
•
𝟏
𝟐
𝟑
=
𝟏𝟑
𝟐𝟑
=
𝟏
𝟖
;
• 𝟐𝟑
𝟐
= 𝟐𝟔 = 𝟔𝟒
5.2 POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO E NEGATIVO
Dado um número real não-nulo 𝒂 e um número natural 𝒏, definimos a
potência 𝒂−𝒏 da seguinte forma:
𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
,
ou seja, a potência de base real não-nula e expoente inteiro negativo é
definida como o inverso da potência correspondente de expoente positivo.
Exemplos:
• 𝟑−𝟏 =
𝟏
𝟑𝟏
=
𝟏
𝟑
;
•
𝟐
𝟑
−𝟐
=
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐 =
𝟏
𝟐𝟐
𝟑𝟐
=
𝟏
𝟒
𝟗
=
𝟗
𝟒
=
𝟑
𝟐
𝟐
As potências de expoentes
inteiros negativos possuem as
mesmas propriedades
anteriores.
Exemplos:
Calcule o valor da expressão 
𝟐𝟐. 𝟒−𝟑. 𝟐𝟓
𝟐𝟔. 𝟖−𝟏
.
Solução: Observe que 𝟒−𝟑 = 𝟐𝟐
−𝟑
= 𝟐−𝟔 e 𝟖−𝟏 = 𝟐𝟑
−𝟏
= 𝟐−𝟑. Assim 
temos
𝟐𝟐. 𝟒−𝟑 . 𝟐𝟓
𝟐𝟔. 𝟖−𝟏
=
𝟐𝟐. 𝟐−𝟔. 𝟐𝟓
𝟐𝟔. 𝟐−𝟑
=
𝟐𝟐+ −𝟔 +𝟓
𝟐𝟔+ −𝟑
=
𝟐𝟏
𝟐𝟑
= 𝟐𝟏−𝟑 = 𝟐−𝟐 =
𝟏
𝟐𝟐
=
𝟏
𝟒
.
5.3 Radiciação 
A representação da radiciação é definida como: 𝒏 𝒂 = 𝒃, sendo:
• radical
• a radicando
• b a raiz
• n o índice da raiz, um número natural maior ou igual a 1.
Quando o radicando é negativo, não existe raiz com índice par, pois um 
número elevado a um expoente par sempre dará positivo nos reais. Por 
exemplo, 
4
−16 = ∄, 𝑝𝑜𝑖𝑠 −2 4 = 16
Exemplos:

𝟐
𝟗 = 𝟑, 𝒑𝒐𝒊𝒔 𝟑𝟐 = 𝟗

𝟑
𝟖 = 𝟐, 𝒑𝒐𝒊𝒔 𝟐𝟑 = 𝟖

𝟑
−𝟐𝟕 = −𝟑

𝟐
−𝟐𝟓 = ∄ 𝒆𝒎ℝ
Considere 𝒂 um número real positivo e seja 
𝒑
𝒒
um número racional, 
definimos a potência de base 𝒂 e expoente 
𝒑
𝒒
da seguinte forma:
𝒂
𝒑
𝒒 =
𝒒
𝒂𝒑.
Exemplos:
• 𝟒
𝟏
𝟐 =
𝟐
𝟒𝟏 =
𝟐
𝟒 = 𝟐;
• 𝟓−
𝟐
𝟑 =
𝟏
𝟓
𝟐
𝟑
=
𝟑 𝟏
𝟓
𝟐
=
𝟑 𝟏𝟐
𝟓𝟐
=
𝟑 𝟏
𝟐𝟓
;
Podemos destacar algumas propriedades da radiciação. 
Índices inteiros e positivos
Considere m, n, p inteiros e n > 1, p > 1 e m > 1, então, temos:
•
𝒏
𝒂𝒃 = 𝒏 𝒂.
𝒏
𝒃
•
𝒏 𝒂
𝒃
=
𝒏 𝒂
𝒏
𝒃
• 𝒏 𝒂
𝒎
=
𝒏
𝒂𝒎
•
𝒑 𝒏 𝒂 =
𝒑𝒏
𝒂
Exemplos: 
•
𝟑
𝟖. 𝟕 =
𝟑
𝟖.
𝟑
𝟕 = 𝟐.
𝟑
𝟕 = 𝟐
𝟑
𝟕
•
𝟓 𝟑
𝟓
=
𝟓
𝟑
𝟓
𝟓
Uma vez que os números decimais são números racionais, para
calcularmos potências cujos expoentes são números decimais, basta
escrevermos esse decimal em forma de fração e utilizarmos a
definição de potências de expoente racional.
Exemplos:
• 𝟑𝟎,𝟓 = 𝟑𝟓/𝟏𝟎 = 𝟑𝟏/𝟐 =
𝟐
𝟑;
• 𝟎, 𝟐𝟎,𝟕 = 𝟎, 𝟐𝟕/𝟏𝟎 =
𝟏𝟎
𝟎, 𝟐𝟕;
• 𝟓𝟏,𝟑 = 𝟓𝟏𝟑/𝟏𝟎.
Exemplos:
Simplificar fazendo o uso das propriedades:
• 𝟏𝟔𝟑/𝟒
• 𝟐𝟕−𝟒/𝟑
• 𝟖𝟏𝟐
𝟏/𝟒
Solução: 
𝟏𝟔𝟑/𝟒 = 𝟐𝟒
𝟑/𝟒
= 𝟐𝟒.
𝟑
𝟒 = 𝟐𝟑 = 𝟖.
• 𝟐𝟕−𝟒/𝟑 = 𝟑𝟑
−𝟒/𝟑
= 𝟑
𝟑. −
𝟒
𝟑 = 𝟑−𝟒 =
𝟏
𝟑𝟒
=
𝟏
𝟖𝟏
.
• 𝟖𝟏𝟐
𝟏/𝟒
= 𝟑𝟒
𝟐
𝟏/𝟒
= 𝟑𝟒.𝟐.
𝟏
𝟒 = 𝟑𝟐 = 𝟗.
5.4 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
A racionalização de denominadores tem como objetivo transformar uma
fração que possui um denominador irracional em uma nova fração, que seja
equivalente à fração anterior, com denominador racional.
Quando multiplicamos o numerador e o denominador de uma fração por um
mesmo número real, obtemos como resultado uma fração equivalente.
Dessa forma, para racionalizar uma fração, basta multiplicar seu numerador
e denominador por um número que transforme o irracional do denominador
em racional. Esse número é chamado de conjugado.
Exemplos:
• O conjugado de
𝟐
𝟐 é
𝟐
𝟐 pois,
𝟐
𝟐.
𝟐
𝟐 =
𝟐
𝟐
𝟐
= 𝟐𝟏/𝟐
𝟐
= 𝟐.
• O conjugado de
𝟑
𝟕 é
𝟑
𝟕𝟐 pois,
𝟑
𝟕.
𝟑
𝟕𝟐 = 𝟕𝟏/𝟑. 𝟕𝟐/𝟑 = 𝟕
𝟏
𝟑
+
𝟐
𝟑 = 𝟕𝟑/𝟑 = 𝟕.
Para encontrar o conjugado de um número irracional do tipo
𝒃
𝒙𝒂
devemos:
• 1º) Escrever esse número na forma 𝒙𝒂/𝒃;
• 2º) Pensar no menor número 𝒄 ∈ 𝟏, 𝟐, 𝟑, . . . , 𝒃 − 𝟏 tal que 𝒂 + 𝒄 seja
um múltiplo de 𝒃;
• 3º) O conjugado será
𝒃
𝒙𝒄.
Para racionalizar uma fração devemos encontrar o conjugado do
denominador, multiplicar o numerador de denominador da fração pelo
conjugado e, por fim, simplificar a fração equivalente encontrada.
Exemplos:
Racionalize as seguintes frações:
•
𝟏
𝟑
𝟒
•
𝟑
𝟓
𝟔
5.5 EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Primeiro eliminamos os parênteses resolvendo tudo que está dentro
dele. Depois fazemos o mesmo para os colchetes e em seguida para as
chaves. Dentro de cada um desses delimitadores obedecemos a seguinte
ordem:
• 1º) Potenciação e radiciação;
• 2º) Multiplicações e divisões;
• 3º) Adições e subtrações.
FIXANDO O CONTEÚDO
7) (UFPB-1977) A expressão 𝟐 𝟐𝟕 − 𝟕𝟓 + 𝟑 𝟏𝟐 é igual a:
A) 𝟐 𝟑
B) 𝟒 𝟏𝟐
C) 𝟒 𝟐𝟕
D) 𝟕 𝟑
E) 𝟕 𝟔