Apostila sobre Potenciação

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âmpus Ca 
Expoente 
a . a . a ....... a 
n fatores 
Dados um número real a e um número natural n, com n ≥ 2, chama-se potência de base a e expoente n o número an 
que é o produto de n fatores iguais a a. 
an = 
 
 
 
Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto. 
Quando os fatores são todos iguais, existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é por meio 
da potenciação. 
 
2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais. 
 
Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma: 
 
2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16 
↓ 
Fatores iguais. 
 
Essa representação é conhecida como potenciação. Na potenciação, podemos destacar os seguintes elementos: 
 
 
2 4  16 
 
Base 
Potência 
A base é o fator que se repete. 
O expoente indica quantas vezes a base irá se repetir. 
A potência é o resultado do produto. 
 
 
Definição 
Exemplos: 
a) 24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16 
b) 0,15 = 0,1 . 0,1 . 0,1 . 0,1 . 0,1 = 0,00001 
 3 
3 
 3  


3   3  27 
c)   =   .   .   = – 
 5   5   5   5  125 
Observação: Para expoente um e expoente zero, adotam-se as seguintes definições: 
 a1 = a  a0 = 1, com a ≠ 0 
 
Exemplos: 
 1 
0
 
a) 21 = 2 b)  
2 
 = 1 
 
Propriedades 
As propriedades a seguir são consequência da definição apresentada de potenciação. Essas propriedades serão muito 
úteis na simplificação de cálculos. 
 
P1 Na multiplicação de potências de mesma base, a potência resultante é obtida conservando-se a base e somando-se os 
expoentes. 
am . an = am + n 
 
P2 Na divisão de potências de mesma base, a potência resultante é obtida conservando-se a base e subtraindo-se os 
expoentes. 
am : an = am - n, sendo a ≠ 0 
Potência com expoente natural 
Potenciação de números reais 
Aluno(a) 
 
IFRN 
Campus Caicó ANO: Bimestre: Tipo de Atividade: Revisão sobre potenciação 
Curso: Professor: Disciplina: Matemática 
3 3 8 
5 32 
2 
1 

Potência com expoente inteiro negativo 
Potência com expoente racional 
P3 Na potência de potência, o resultado é obtido conservando-se a base e multiplicando-se os expoentes. 
(am)n = am . .n- 
Atenção! (am)n ≠ am
n
 
Exemplo: Calcular (22)3 e 2 2
3
 
(22)3 = 26 = 64 
3 
2 = 28 = 256 
P4 A potência de um produto de dois ou mais fatores pode ser calculada elevando-se cada termo do produto ao expoente. 
(a . b)m = am . bm 
 
P5 A potência de um quociente é o quociente das potências. 
 
, sendo b ≠ 0 
 
 
Definição 
 
Exemplos: 
a) 3- 5 = 
1 
= 
 
 
1 b) (- 5)- 2 = 
1 
= 
1
 
 
 
 
 7 
3
 
 
 
 4 
3 
64 
 
 35 243 ( 5)2 25 c)  4 =  7 = – 343 
   

Propriedades 
As cinco propriedades enunciadas para potência de expoente natural são válidas para potência de expoente inteiro 
negativo, quais quer que sejam os valores dos expoentes m e n inteiros. 
 
Definição 
 
 
Exemplos: 
1 1 
 
 
 
 
1 1 1 1 
 
 
a) 32  b) 83   2 
 
Propriedades 
c) 32 5   
325 
2
 
Sendo a e b reais positivos e 
p 
e 
r
 
q s 
 
racionais, valem as seguintes propriedades: 
 
p r p r 
q s q s 
 
r 
 
 p  s p . r 
 
 
 
p p p 
q q q 
 
 a . a  a   a   a q s  (a . b)  a . b 
 
p r p  r 
 
 
 
p p p 
 
 
 aq : as  a q s  (a : b) 
q
  a q : bq 
q 
Dados um número real positivo a, um número inteiro m e um número natural n (n ≥ 1) , chama-se potência de base 
a e expoente 
m 
a raiz enésima (n-ésima) aritmética de am. 
n 
m 
a n  n am 
Dados um número real a, não nulo, e um número natural n, chama-se potência de base a e expoente -n o número a-n 
que é o inverso de an. 
a- n = 
1 
an 
( )m = 
b 
a a
m 
bm 
2 
2 
2 
2 
2 
Potência com expoente real 
Notação científica 
Exercícios Propostos 
 
Estudaremos potências com expoente irracional por meio de aproximações. Para calcularmos 2 , por exemplo, vamos 
considerar aproximações racionais do número (  1,41421356...), que são: 
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... 
e temos definidas as potências com expoente racional 
21; 21,4; 21,41; 21,414; 21,4142; ... 
À medida que: 
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... se aproxima de , 
 
21; 21,4; 21,41; 21,414; 21,4142; ... se aproxima de 2 . 
Usando a calculadora, obtemos: 
 
21 = 2; 21,4 = 2,639; 21,41 = 2,657; 21,414 = 2,6647; 21,4142 = 2,6651; ...; 2 = 2,665144... 
Obtemos assim, por aproximação de racionais, a potência ax, com x irracional e a real positivo. É importante observar 
que ax é sempre um número real positivo. 
 
Seja a  , a > 0. 
Já estudamos os diferentes tipos de potências ax com x racional ou irracional. 
Em qualquer caso, ax > 0, isto é, toda potência de base real e expoente real é um número positivo. 
Para essas potências, continuam válidas todas as propriedades apresentadas nos itens anteriores. 
 
 
Quando trabalhamos com números muito grandes ou muito pequenos, utilizamos uma escrita abreviada denominada 
notação científica. Os números representados com essa notação são escritos na forma α . 10n, em que: 
 α é um número racional maior ou igual a 1 e menor que 10. 
 n é um número inteiro. 
Veja alguns exemplos de números escritos em notação cientifica. 
 Massa da Lua: 73 600 000 000 000 000 000 000 kg 
73 600 000 000 000 000 000 000 = 7,36 . 1022 
 A velocidade da luz: 300 000 km/s 
300 000 = 3 . 105 
 Tamanho da molécula de água: 0,00000001 m 
0,00000001 = 1 . 10- 8 
 
 
1. Calcule os valores das potências: 
a) 62 
b) (- 6)2 
c) - 62 
d) (- 8)0 
e) 113 
 
f) 05 
g) 103 
h) (  
3 
)4 
2 
i) 4- 2 
 
j) (  
3 
)- 2 
5 
k) - (  
2 
)- 3 
7 
l) (- 5)- 1 
 
2. Escreva na forma de potência de base 2: 
a) 32 b) 1024 
c)
 
3. Escreva na forma de potência de base 3: 
a) 27 b) 729 
c)
 
 
1 d) 
16 
 
1 d) 
81 
Potência com expoente irracional 
5 8 
3 9 
2 
2 2 
b 
3 
3 
2 
4. Expresse as potências sob a forma de radical: 
2 
 
a) 5 3 
3 
 
b) 7 5 
1 
 
c) 9 2 
1 
 
d) 643 
 
5. Escreva na forma de potência de base 10: 
a) 100 
b) 1 000 
c) 10 000 
d) 1 000 000 
e) 0,1 
f) 0,01 
g) 0,001 
h) 0,00001 
 
6. Escreva os seguintes números em notação cientifica. 
a) 12.500 
b) 0,0000012 
c) 0, 032 
d) 82 . 103 
e) 640 . 105 
f) 9.150 . 10-3 
g) 200 . 10-5 
h) 0,05 . 103 
i) 0,0025 . 10-4 
 
7. Indique sob forma de potência de base 2 o número representado pela expressão 
( 
1 
)- 5 : ( 
1 
)2 . (82)2. 
2 2 
 
8. Sendo a . b ≠ 0, simplifique as expressões: 
a5 . (b2 )3 
 
 
 
 a 8 
 
b10 
a) 
a . b4 
c)  
  . 
a . a2 . a3 
 
(a2 )5 . (b3)3 
b) 
a 4 . b3 
d) (a- 1 + b- 1) . ab 
 
(38 )4 .(34 ) 2 
9. Calcule o valor da expressão 
(37 )2 .( 3)20 
.
 
 
 
10. Sendo a = (0,02)- 3 e b = (0,004)- 2, obtenha o valor de: 
a) a . b- 1 
b) 
b 
a 
c) a . 10- 1 + b . 10- 2 
 
11. A expressão E = [( ) ] é igual a: 
a) 4 b) 4 c) 2 d) 2 e) 2 
 
 
 1 
1 
2 
 
 1 2 
12. Qual é o valor de ab, sendo a =  
 4 
 1 2 
+  
 
e b = 
2 .    2 
  ? 
 1 2 
 
 







Gabarito: 
6. a) 1,25 . 104 b) 1,2 . 10-6 c) 3,2 . 10-2 d) 8,2 . 104 e) 6,4 . 107 
f) 9,15 . 100 g) 2,0 . 10-3 h) 5,0 . 101 i) 2,5 . 10-7 
7. 219 8. a) a4 . b2 b) a14 . b12 c) a2 . b2 d) a + b 9. 1 10. a) 2 b) 
1
 
2 
c) 750 11. E 12. 5 
2 2 
2 
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