calculo 1- TRABALHO SOBRE DERIVADAS E APLICAÇÕES DA DERIVADA

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA.
 DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS – DCT.
 CAMPUS DE JEQUIÉ.
 DISCIPLINA: CÁLCULO I
 DOCENTE: FRANCISLEIDE DA SILVA PIRES DE SANTANA
 DISCENTES: ISADORA SILVA E RAQUEL SAMPAIO 
TRABALHO SOBRE DERIVADAS E APLICAÇÕES DA DERIVADA
 DERIVADAS SUCESSIVAS: 
Seja f uma função contínua em um intervalo I e seja I1 o conjunto dos pontos de I em que f é derivável. Em I1 já definimos a função f', chamada função derivada primeira de f. Seja I2 o conjunto dos pontos de I1 em que f' é derivável. Em I2 podemos definir a função derivada de f' que chamaremos de derivada segunda de f e indicaremos por f". Repetindo o processo, podemos definir as derivadas terceira, quarta, etc. de f. A derivada de ordem n de f representaremos por f(n)[1].
Exemplo:
1) Calcular as derivadas de f(x)= 3x2 + 5x + 6. Temos:
 f'(x)= 6x + 5
 f''(x) = 6
 f'''(x) = f(4)(x) = f(5)(x) = ... = 0
2) Calcular as derivadas de f(x) = sen 2x. Temos:
 f'(x) = 2 . cos 2x
 f''(x) = – 4 . sen 2x = 22 . cos (2x + _π_)
 2
 f'''(x)= – 8 . cos 2x= 23 . cos(2x + π)
 f(n)= 2n . cos(2x + (n–1)π)
 2
DIFERENCIAL: 
 Se para Newton a ideia central do cálculo era a de taxa de variação (velocidade), para Leibniz era a de diferencial. Embora sem dar uma definição precisa (nem havia como), diferencial para Leibniz era uma diferença entre dois valores infinitamente próximos de uma variável. Muito mais preocupado do que Newton com simbologia, fórmulas e regras, Leibniz acabou optando pela notação dx, dy,... Para as diferenciais de x, y,..., respectivamente. E num artigo de 1682 estabeleceu regras como: (i) da = 0, se a é constante; (ii) d(u + v) = du + dv; (iii) d(uv) = udv + vdu. Na redução desta última desprezou (du)(dv) (sempre procedia assim com produtos de diferenciais). Seu cálculo integral foi explicado noutro artigo, dois anos depois. A relação deste com o cálculo diferencial, cerne da questão, é focalizada em termos de somatórios de áreas infinitesimais. Cada uma destas sob a curva y 5 y(x) é dada por ydx. Para a soma de todas inventou o símbolo (um S alongado). Logo a área total sob a curva y = y(x) é: ydx Sendo Área (OCD) – Área (OAB) = ydx a diferencial da área, então d Integral de ydx = ydx, o que mostra a invertibilidade de derivadas e integrais. Hoje não há dúvida de que Newton e Leibniz seguiram linhas diferentes na criação do cálculo. Mas o segundo levou a pior na polêmica entre ambos, o que contribuiu para que tivesse um fim obscuro [1]. 
Exemplo: 
TAXA DE VARIAÇÃO
Pode ser interpretada como a taxa de variação da variável y em relação à variável x, isto é, esta taxa pode ser interpretada como uma forma de medir "quão rápido" a variável y está mudando na medida em que a variável x muda.
Suponha que y seja uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y é uma função de x e escrevemos y = f(x). Se x variar de a, então a variação em x (também chamada de incremento) será:
 = − 
E a variação correspondente em y será
) – f().
Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função y= (x). Quando a variável independente varia de x a x + a correspondente da variação de y será = f( x + ) – f(x). O quociente será:
Representa a taxa media de variação de y em relação à x.
f’(x) = 
Portanto, a taxa de variação pode ser calculada a partir do limite, sendo uma definição formal. Mas, além disso, é viável também calcular pelas regras de derivação de funções mais comuns e de uma forma mais prática e rápida.
Em uma função do 1º grau temos que a taxa de variação é dada pelo coeficiente a. Temos que uma função do 1º grau respeita a seguinte lei de formação f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e b ≠ 0.
Exemplo:
Vamos através de uma demonstração provar que a taxa de variação da função f(x) = 2x + 3 é dada por 2.
f(x) = 2x + 3
f(x + h) = 2 * (x + h) + 3 → f(x + h) = 2x + 2h + 3 (h ≠ 0)
Dessa forma temos que:
f(x + h) − f(x) = 2x + 2h + 3 – (2x + 3)
f(x + h) − f(x) = 2x + 2h + 3 – 2x – 3
f(x + h) − f(x) = 2h
Observe que após a demonstração constatamos que a taxa de variação pode ser calculada diretamente, identificando o valor do coeficiente a na função dada. Por exemplo, nas funções seguintes a taxa de variação é dada por:
a) f(x) = –5x + 10, taxa de variação a = –5
b) f(x) = 10x + 52, taxa de variação a = 10
c) f(x) = 0,2x + 0,03, taxa de variação a = 0,2
d) f(x) = –15x – 12, taxa de variação a = –15
REGRA DE L’HOPITAL
A regra de L'Hopital nos ajuda a calcular limites indeterminados do tipo ou , então 
Caso o limite (sendo finito ou infinito). O mesmo vale se é substituído por ou , ou se = .
Primeira regra:
Sejam f e g duas funções contínuas num intervalo I, deriváveis no interior de I, tais que g’(x)≠0 para todo x no interior de I. Seja α∈Ι e suponhamos que F(a)= g(a)=0 e que existe  , finito ou infinito. Então existe   e mais ainda 
Segunda regra: 
Sejam g deriváveis em ]m,p[, com g’(x)em ]m,p[. nesta condições :
 
E se existir ( finito e infinito) então existirá e
.
Observamos que na segunda regra continua válida se substituirmos “x por “x . A regra permanece válida se substituirmos um dos símbolos +, ou ambos por 
Exemplo:
1) 
O cálculo direto do limite nos dá a forma indeterminada 
Perceba que as hipóteses necessárias para a aplicação da regra de L’Hospital são satisfeitas .
Então devemos derivar numerador e denominador separadamente, onde obtermos o limite desejado
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
[1] IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 8 : limites, derivadas, noções de integral / Gelson Iezzi, Carlos Murakami, Nilson José Machado. — 7. ed. — São Paulo : Atual, 2013.
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6. ed. Pearson, 2007. 464 p. Acesso em: 20 nov. 2022.
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Taxa de Variação da Função do 1º Grau "; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/taxa-variacao-funcao-1-o-grau.htm. Acesso em 23 de novembro de 2022
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: Ltc, 2001. 1 v. Acesso em: 20 nov. 2022.