Faculdade Unyleya_Atividade 1_Ajustamento de Observaçoes

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UNYEAD EDUCACIONAL S.A. ; CNPJ. 24.531.339/0001-82,
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Faculdade Unyleya - Educação à Distância (EaD)
Curso de Pós-Graduação em Georreferenciamento de Imóveis Rurais
Avaliação 1 - Prática
Aluno David Salomão Pinto Castanho Bizarro, Matrícula nº 1148652
Disciplina Ajustamento de Observações Data de entrega 01/02/2023
Professor Luís Antônio dos Santos Tipo de prova Prática
Curso Georreferenciamento de Imóveis Rurais Turma 2022/23 Nota
ATENÇÃO: A avaliação deverá estar entregue de acordo com as normas da ABNT.
Referências
DOS SANTOS, Luís A.; Ajustamento de Observações. Pós-Graduação em
Georreferenciamento de Imóveis Rurais, Faculdade UnyLeya, Brasília-DF, 2022.
Tarefa
Após os estudos da Unidade 1, crie um o arquivo TXT com os dados presentes abaixo e rode
o Sistema Estatístico R para encontrar os seguintes valores:
Ponto ET GT
1 947.530 947.523
2 956.299 956.304
3 954.269 954.274
4 949.751 949.742
5 953.566 953.570
6 952.864 952.874
7 952.514 952.509
8 950.919 950.923
9 939.275 939.279
10 941.756 941.747
11 942.866 942.878
Verifique se os dados obedecem à distribuição normal (Shapiro); em seguida, comente os
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valores obtidos: Cálculo do desvio padrão; Cálculo do desvio médio; Cálculo de distribuição
qui-quadrado; Cálculo do RMSE. Bom trabalho!
De acordo com o material didático (DOS SANTOS, 2022), primeira unidade de estudo da apostila da
disciplina de ajustamento de observações, a conclusão realizada no artigo da revista (A MIRA, Ano XXII,
no 163; SANTOS et al., 2014) apenas dispõe numa forma vaga que os resultados estão bem próximos, isto
é, os dados altimétricos das observações obtidas pelo Método de Nivelamento Trigonométrico com Estação
Total e pelo Método de Posicionamento Cinemático com correção em Tempo-Real (RTK) relativamente a
Sistemas Globais de Navegação por Satélite (GNSS) por Sistema de Posicionamento Global (GPS) estão
supostamente próximos, sem nenhum prova científica, sem teste estatístico para validar os resultados.
Em certas situações, o interesse está voltado para o efeito de um fator, por exemplo: comparação entre
métodos de levantamento (ET e GPS), sobre uma variável quantitativa (Altimetria). Porém, outro fator, por
exemplo: qualidade do operador, que nem sempre podemos observar ou controlar, também pode estar
presente, e ainda existem outros fatores, que também não se conhece como se relacionam com os dados em
estudo. Por exemplo, observe-se que a primeira medição usando ET e GPS, ou qualquer outro método, foi
uma medição de controle e de alta precisão, mas no decorrer dos trabalhos outras medições serão realizadas,
com novos métodos ou outros equipamentos menos precisos, e comparadas com as medições originais.
Outro comentário envolve o cálculo do erro, uma medida, ou um sinal, como por GPS, por exemplo,
deveriam ser medidos com certo grau de erro que deve ser considerado aceitável, ou seja, a quantidade, ou
qualidade de erro entre o sinal original (enviado pelo satélite) e a versão reconstruída, ou reconstituída
(gerada no receptor), poderia ser encontrada somando-se os valores das diferenças entre as medições.
Segundo a teoria de probabilidades e estatística, que pode ser aprofundada, o vetor dos erros (v) deveria
seguir idealmente uma curva padrão da distribuição normal ou Gauss, portanto, vamos testar a normalidade
dos dados, quando os dados seguem essa distribuição eles distribuem-se ao longo de uma reta, caso os dados
não obedeçam à distribuição, então será necessária uma transformação matemática, por exemplo, usando
logaritmo ou expansão em série de Taylor.
Antes de mais, como primeiros elementos em observação percebe-se que as maiores diferenças são
provenientes do Método de Posicionamento Cinemático com correção em Tempo-Real (RTK) usando
Sistemas Globais de Navegação por Satélite (GNSS) por Sistema de Posicionamento Global (GPS), também
que o resultado do desvio padrão relativo {5.88} demonstra que os valores amostrais apresentam expressiva
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dispersão em relação à média da amostra sem qualquer condensação em torno da média, igualmente essa
constatação de dispersão de dados pode ser comprovada pelo desvio padrão da média {0.00226} que apesar
de não produzir qualquer pressuposto sobre a distribuição da variável em estudo permite entender que um
aumento do número de observações na vizinhança da média tenderia para uma afirmação de proximidade à
distribuição normal, considerando como regra de ouro que numa distribuição normal cerca de 68% dos
valores estarem dentro de um desvio padrão da média, 95% dos valores estarem dentro de dois desvios
padrão, e ainda 99.7% dos valores estarem dentro de três desvios padrão.
Criando uma distribuição normal com base na média (mv) e de desvio padrão (sd) dos dados, será que o
erro (nesse caso a variável) segue uma distribuição normal? Esse teste indica a não normalidade (rejeito a
hipósete nula H0), a pergunta será: qual a probabilidade da variável ser normal? Observando o gráfico
(qqnorm e qqline) observa-se que alguns pontos não estão tão próximos da reta principalmente no que diz
respeito ao meio e na extremidade superior no traçado da reta, ou seja, surgem evidências a favor de desvio
normalidade da curva padrão na variável de erros (dados em estudo), contudo pelo motivo de envolver
apenas um trabalho acadêmico com finalidade didática assume-se como ideal a curva padrão da normal.
No caso em estudo, o teste Shapiro-Wilk indica ou não normalidade (rejeito a hipósese de nula H0), cuja
pergunta será (H0): qual a probabilidade da variável ser normal? Relativamente ao resultado estatístico da
amostra expressa {0.88} no teste em questão (probabilidade da variável ser normal), e ainda um valor de
significância próximo de 10% (cujo resultado p-value precisa ser maior do que 0.05), noutras palavras, uma
probabilidade de signifícância de 10% que representa a obtenção estatística de teste igual ou mais extrema
que aquela observada em outra amostra sob mesma a hipótese nula.
Outra análise é o teste-t com apresentação do resultado em p-value, cuja análise será suficiente para outra
prévia conclusão da cauda, e mais técnica do trabalho. Pelo teste-t verifica-se a média da amostra como
igual à média da população (todo o conjunto de dados, muitas vezes desconhecida), e no caso em estudo a
hipótese nula do teste (H0): a diferença da média é igual a zero? O resultado do valor-t aponta que existe
uma diferença de {-0.564} em relação à variação dos dados (magnitude proxima da evidência da média nula
como hipótese), o que se pode inferir como teste realizado ao tipo bicaudal com significância superior que
50% (p-value), e para um valor de média {-0.00127} corresponderá um intervalo de confiança do teste
estabelecido em 95% [-0.00630 ; 0.00376], respectivamente.
Importante observar que o teste t-student embora não conduza para pressuposições sobre a distribuição
da população, haja vista que o funcionamento está ligado ao Teorema do Limite Central, por consenso este
https://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tese_nula
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teste será adequado aos dados com distribuição simétrica, o que implica numa simplificação de que o teste
possa ser adequado para dados com distribuição normal. No caso em estudo, apesar da presença de desvio à
média ideal assumindo possível ajustamento com a distribuição normal, issonão implica necessariamente
numa perda de aceitação como hipóteses nula discutida anteriomente pelo teste Shapiro-Wilk.
Em outro sentido de análise pela correlação linear surge outra observação importante, por ter aplicação
em praticamente tudo poderia ser aprofundada como outro detalhe, no entanto no momento basta saber que
pode variar em {-1.00 ; 1.00} e quanto mais perto da unidade melhor. No caso em estudo, a correlação do
vetor dos erros com uma distribuição normal padrão ideal com base na média (vmp) e no desvio padrão (sd)
desses dados corresponde num resultado de {0.33} com significado de correlação moderada e diretamente
relacionada às ocorrências apresentadas, e com possível circunstância de correlação não linear pela análise
gráfica (amostra de pontos insuficientes para definição correta de sua forma matemática).
Uma observação ao teste de qui-quadrado torna-se-ia importante, quando se quer verificar o ajustamento
de uma distribuição de frequência de uma amostra para uma distribuição teórica, tal como no caso presente
à distribuição normal. Realizando o teste de qui-quadrado (importante quando estamos trabalhando com
modelos), o ajuste será a tabela de comparação entre os erros (medidos) e os valores esperados (numa
distribuição), cujo erro (não apurado) indica que a amostra é pequena (o sistema estatística R dá uma saída,
porém não mostra o valor de qui-quadrado), outrosssim porque pela significância ser inferior a 5%. Em todo
caso, ainda assim é possível o cálculo da estatística de teste cumulativa de Pearson que assintoticamente se
aproxima da distribuição qui-quadrado, e a pergunta da hipótese nula será outra (H0): qual a probabilidade
dos valores serem iguais? Esclarecendo que o resultado da ocorrência {3.397} seria zero, se e só se, o valor
esperado e o valor observado fosse igual em todas as células, no entanto como o parâmetro é inferior ao
igual ao número de graus de liberdade existe uma boa concordância em assumir não existir diferença entre
as frequências obtidas na amostra e as frequências esperadas, isto é, a hipótese de distribuição normal seria
aceitável (no entanto, o resultado do p-value seria interessante para discussão), devendo ressaltar que o teste
de qui-quadrado aplica-se numa aproximação assumindo que a amostra é grande, enquanto o teste exato de
Fisher (mais apropriado ao caso) executa o procedimento especialmente para amostras de tamanho pequeno.
Percebe-se claramente que ET e GPS não são iguais, mas como as diferenças positivas e as diferenças
negativas cancelam uma a outra, a adopção de um método simples faz com que eles pareçam ser iguais. O
erro entre sinais, ET e GPS, pode ser encontrado e melhorado noutra forma mais sofisticada, medição do
erro conhecida como RMSE (raiz quadrada do erro médio quadrático – bem parecido com o desvio padrão),
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cujo cálculo para o caso em discussão resulta inferior ao desvio padrão pela razão supracitado, elucidando
que o desvio padrão tem haver com a dispersão envolvendo tipos de erro (aleatório, sistemático e grosseiro).
A normalização no RMSD (raiz quadrada do desvio quadrático médio) facilita ainda mais a comparação
entre conjuntos de dados ou modelos com diferentes escalas, cabendo observar-se no presente estudo um
resultado com valor em torno de {0.345} indicando uma presença de variância residual, pois surgem
algumas dificuldades em observações especialmente pela pequena amostra e por existir intervalo da amostra
afetando os resultados (efeitos do tamanho da amostra).
Alguns outros comentários podem ser efetuados em relação à distribuição normal com média (vmp) e
desvio padrão (sv): a probabilidade de ocorrência com 8.49% para o máximo da amostra {0.009}, a
probabilidade de ocorrência de 7.58% para o mínimo da amostra {-0.012}, a probabilidade de ocorrência
com 12.01% para um valor negativo equivalente ao desvio padrão, e a probabilidade de ocorrência com
20.33% para um valor positivo equivalente ao desvio padrão; e tais circunstância demonstram a existência
de possível tendência para forma assimétrica na distribuição estatística. De forma semalhante, assumindo
uma distribuição t-student com cauda simétrica para significância de {0.005} existe uma correspondência de
percentual da amostra em 54.54% para o intervalo de confiança nos limites críticos à esquerda e à direta,
outrossim, assumindo uma distribuição qui-quadrado com cauda assimétrica à esquerda para significância
de {0.05} o intervalo de confiança nos limites críticos à esquerda e à direita será [-0.01878 ; 0.00404], cujo
resultado demonstra ser aceitável como hipótese uma distribuição qui-quadrado da mesma forma que seria
aceitável uma distribuição normal (outros testes e resultados de p-value seriam interessantes para discussão).
Em resumo, toda vez que se realiza uma série de medições deverá existir uma comparação entre a média
e o desvio padrão em relação à hómologa padronizada, ou outra distribuição para alguma medição realizada
com maior precisão, bem como carece uma série de testes para conhecer se há ou não ocorrência de ajuste.
Neste estudo os dados foram observações cruzadas ao vivo, mas a coleta amostral e a distribuição adoptados
não tiveram objetivo de corresponder à realidade, por exemplo, um ajustamento exato precisaria pelo menos
6 meses, portanto, num dia a dia profissional os dados vão mudar para alcançar precisão necessária, pois o
importante no ajustamento não é uma frequência (captada através dos testes estatísticos) e sim alcançar uma
redundância, devendo a estatística estar como base, salvo aqui apenas realizada como introdução.
Outra circunstância interessante para observação envolve os erros máximo {0.009} e mínimo {-0.012}
atendenderem ao disposto dos itens 8.4.2 e 8.4.3 da norma NBR 13.133/1994 que dispõe o desvio-padrão
decorrentes das discrepâncias entre altitudes ou cotas de pontos não exceder desvio-padrão admissível como
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um terço do valor da equidistância das curvas de nível, atendendo ao disposto na Tabela 5 de Levantamento
topográfico planialtimétrico que coloca como 2 metros o valor da equidistância das curvas de nível a partir
da densidade mínima de 10 pontos num terreno com declividade acima de 20%, e por outro lado, também
encontra-se cumprido o critério de aceitação pelo estabelecido no item 8.4.4, pois nenhum dos pontos dispõe
de discrepância na altitude superior ao padrão de exatidão estabelecido pelo desvio-padrao admissível; esta
observação é justificável pela origem dos dados coletados serem provenientes de obra de pequeno porte.
Relativamente à possível origem das diferenças, as altitudes ortométricas por nivelmento trigonométrico
poderam ser obtidas diretamente com estação total a partir de ponto de partida com altitude conhecida,
quanto à obtenção por GNSS que proporcionou altitudes geométricas necessitou de complementação da
ondulação geoidal por interpolação, permitindo assim a conversão das altitudes geométricas para homólogas
ortométricas, as quais obtidas a partir da Referência de Nível próxima ao local (por exemplo: transmitindo a
correção via rádio) usando nivelamento de precisão com correção por GPS em tempo real.
Palavras-chave: Sistema Estatístico R; Comparação de Dados; Altimetria por ET e GPS.
R Console Page 1
R version 4.2.2 (2022-10-31 ucrt) -- "Innocent and Trusting"
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Platform: x86_64-w64-mingw32/x64 (64-bit)
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[Previously saved workspace restored]
> Altimetria<-read.table("C:/Users/BIZARRO/Desktop/curso unylela/Ajustamento de Observações/pr
ojeto 1/Altimetria.txt", header=TRUE)
> Altimetria
 ET GT
1 947.530 947.523
2 956.299 956.304
3 954.269 954.274
4 949.751 949.742
5 953.566 953.570
6 952.864 952.874
7 952.514 952.509
8 950.919 950.923
9 939.275 939.279
10 941.756 941.747
11 942.866 942.878
> ET<-Altimetria[,1] #Dados-Estação Total
> ET
 [1] 947.530 956.299 954.269 949.751 953.566 952.864 952.514 950.919 939.275
[10] 941.756 942.866
> GPS<-Altimetria[,2] #Dados-GNSS/GPS
> GPS
 [1] 947.523 956.304 954.274 949.742 953.570 952.874 952.509 950.923 939.279
[10] 941.747 942.878
> Erro<-ET-GPS #Vetor dos Erros ou Diferenças entre Métodos
> Erro
 [1] 0.007 -0.005 -0.005 0.009 -0.004 -0.010 0.005 -0.004 -0.004 0.009 -0.012
> plot(Erro) #Dispersão de Pontos
> hist(Erro) #Histograma de Frequência
> n<-length(Erro) #Quantidade de Dados
> n
[1] 11
> vmp<-mean(Erro) #Média Erro
> vmp
[1] -0.001272727
> sv<-sd(Erro) #Desvio Padrão
> sv
[1] 0.007484529
> ep<-sv/sqrt(n) #Desvio da Média
> ep
[1] 0.002256671
> sm<-sum(abs(Erro)/n) #Desvio Médio
> sm
[1] 0.006727273
> cov<-abs(sv/vmp) #Desvio Padrão Relativo
> cov
[1] 5.880702
> max<-max(Erro) #Máximo Erro
> max
[1] 0.009
> min<-min(Erro) #Mínimo Erro
> min
[1] -0.012
> r<-max-min #Amplitude da Amostra
> r
R Console Page 2
[1] 0.021
> sigma_squared<-sum(Erro*Erro)
> sigma_squared
[1] 0.000578
> RMSE<-sqrt(sigma_squared/n) #Raiz quadrada do erro médio quadrático
> RMSE
[1] 0.007248824
> NRMSD<-RMSE/(max-min) #Desvio quadrático médio normalizado
> NRMSD
[1] 0.3451821
> qqnorm(Erro)
> qqline(Erro)
> pnorm(vmp,vmp,sv) #Probabilidade de ocorrência de valor média (obs; 1-p = 50%?)
[1] 0.5
> pnorm(sv,vmp,sv) #Probabilidade de ocorrência do desvio padrao positivo (obs: 1-p = xxx %?)
[1] 0.8790091
> pnorm(-sv,vmp,sv) #Probabilidade de ocorrência do desvio padrao negativo (obs: 1-p = xxx %?)
[1] 0.2032829
> pnorm(min,vmp,sv) #Probabilidade de ocorrência do maximo negativo (obs: 1-p = xxx %?)
[1] 0.07589185
> pnorm(max,vmp,sv) #Probabilidade de ocorrência do maximo positivo (obs: 1-p = xxx %?)
[1] 0.9150505
> distNorm<-rnorm(n,mean=vmp,sd=sv) #Distr.Normal: Nº Observações, Média, Desvio Padrão
> plot(distNorm) #Dispersão de pontos com normalizaçao (media = 0 ; variancia = 1)
> hist(distNorm) #Histograma de frequencia com normalização (media = 0 ; variancia = 1)
> cor(Erro,distNorm) #Correlação de dados entre Vetor dos Erros e Distribuição Normal
[1] 0.3306409
> shapiro.test(Erro) #Shapiro-Wilk: Teste à semelhança com distribuição normal
 Shapiro-Wilk normality test
data: Erro
W = 0.88011, p-value = 0.1044
> t.test(Erro) #t-Student: Teste à média da amostra com média de população normal
 One Sample t-test
data: Erro
t = -0.56398, df = 10, p-value = 0.5852
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.006300903 0.003755448
sample estimates:
 mean of x 
-0.001272727 
> LTdir<-vmp+3.581*sv/sqrt(n) #Limite crítico à direita para distribuição t-student com cauda 
simétrica para significância de 0.005
> LTdir
[1] 0.00680841
> LTesq<-vmp-3.581*sv/sqrt(n) #Limite crítico à esquerda para distribuição t-student com caud
a simétrica para significância de 0.005
> LTesq
[1] -0.009353865
> Cesq<-table(Erro>(LTesq)&Erro<(vmp)) #Margem da amostra no limite inferior
> Cesq
FALSE TRUE 
 6 5 
> Cdir<-table(Erro<(LTdir)&Erro>(vmp)) #Margem da amostra no limite superior
> Cdir
FALSE TRUE 
 10 1 
> conjunto<-matrix(c(Cesq,Cdir),2,2)
> colnames(conjunto)<-c("Conj.1-Limit.Esq.","Conj.2-Limit.Dir.")
> rownames(conjunto)<-c("Falso","Verdadeiro")
> conjunto
 Conj.1-Limit.Esq. Conj.2-Limit.Dir.
Falso 6 10
Verdadeiro 5 1
> percentual<-sum((conjunto[2,])/n) #Margem da amostra no intervalo de confiança da distribuiç
R Console Page 3
ão para significância de 0.005
> percentual
[1] 0.5454545
> ajuste<-table(Erro,distNorm)
> qui<-chisq.test(ajuste) #Qhi-Quadrado de Pearson: Teste da aderência entre dados experimenta
is e teoricos
Warning message:
In chisq.test(ajuste) : Chi-squared approximation may be incorrect
> fisher.test(ajuste) #Fischer: Teste da independência entre dados experimentais e teoricos
 Fisher's Exact Test for Count Data
data: ajuste
p-value = 1
alternative hypothesis: two.sided
> gl<-n-1 #Graus de Liberdade
> gl
[1] 10
> S0<-sum(sqrt(Erro*Erro)/gl) #Estimador amostral de variância desconhecida
> S0
[1] 0.0074
> LQesq<--gl*S0/3.94 #Limite critíco à esquerda para distribuição qui-quadrado com cauda assim
étrica à esquerda para significância de 0.05
> LQesq
[1] -0.01878173
> LQdir<-gl*S0/18.31 #Limite crítico à direita para distribuição qui-quadrado com cauda assimé
trica à esquerda para significância de 0.05
> LQdir
[1] 0.004041507
> c2<-table(Erro>(vmp-sv)&Erro<(vmp)) #Construção de 04 Classes de Valores
> c2
FALSE TRUE 
 6 5 
> c3<-table(Erro<(vmp+sv)&Erro>(vmp))
> c3
FALSE TRUE 
 10 1 
> c1<-table(Erro>(vmp-2*sv)&Erro<(vmp-sv))
> c1
FALSE TRUE 
 9 2 
> c4<-table(Erro<(vmp+2*sv)&Erro>(vmp+sv))
> c4
FALSE TRUE 
 8 3 
> classes<-matrix(c(c1,c2,c3,c4),2,4)
> colnames(classes)<-c("[vmp-sv]>Clas.1>[vmp-2*sv]","[vmp]>Clas.2>[vmp-sv]","[vmp]<Clas.3<[vmp
+sv]","[vmp+sv]<Clas.4<[vmp+2*sv]")
> rownames(classes)<-c("Falso","Verdadeiro")
> classes
 [vmp-sv]>Clas.1>[vmp-2*sv] [vmp]>Clas.2>[vmp-sv]
Falso 9 6
Verdadeiro 2 5
 [vmp]<Clas.3<[vmp+sv] [vmp+sv]<Clas.4<[vmp+2*sv]
Falso 10 8
Verdadeiro 1 3
> esperado<-c(n*0.1577,n*0.3413,n*0.3413,n*0.1577) #Assumir Distribuição Normal Padrão Ideal d
e Observações
> esperado
[1] 1.7347 3.7543 3.7543 1.7347
> Qqd<-sum((classes[2,]-esperado)^2/esperado) #Estudo de concordância por classes de valores e
xperimentais e esperados
> Qqd
[1] 3.397483
> 
2 4 6 8 10
-0
.0
1
0
-0
.0
0
5
0
.0
0
0
0
.0
0
5
Index
E
rr
o
Histogram of Erro
Erro
F
re
q
u
e
n
c
y
-0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010
0
1
2
3
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
-0
.0
1
0
-0
.0
0
5
0
.0
0
0
0
.0
0
5
Normal Q-Q Plot
Theoretical Quantiles
S
a
m
p
le
 Q
u
a
n
ti
le
s
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
-0
.0
1
0
-0
.0
0
5
0
.0
0
0
0
.0
0
5
Normal Q-Q Plot
Theoretical Quantiles
S
a
m
p
le
 Q
u
a
n
ti
le
s
2 4 6 8 10
-0
.0
1
5
-0
.0
1
0
-0
.0
0
5
0
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0
0
0
.0
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0
.0
1
0
0
.0
1
5
Index
d
is
tN
o
rm
Histogram of distNorm
distNorm
F
re
q
u
e
n
c
y
-0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
0
1
2
3
BIZARRO
Máquina de escrever
Obs.:
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