Ajustamento de Redes Geodésicas

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Ajustamento de redes geodésicas
Imagine começar um projeto enorme, que deve levar dez anos, e precisar de milhares de pessoas para construir e
resolver um sistema de equações lineares 1.800.000 por 900.000. Foi exatamente isso que o National Geodetic
Survey (Levantamento Geodésico Nacional) fez em 1974, quando começou a atualizar o North American Datum
(Dados da América do Norte, NAD) – uma rede de 268.000 pontos de referência marcados com precisão,
abrangendo todo o continente norte-americano e agregando Groenlândia, o Havaí, as Ilhas Virgens, Porto Rico e
outras ilhas do Caribe. (Lay, 2013)
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AJUSTAMENTO DE REDES GEODESICAS
As latitudes e longitudes contidas no NAD têm de ser determinadas com erro de poucos centímetros, já que formam
a base de todos os levantamentos, mapas, limites legais de propriedades e desenhos de projetos de engenharia
civil, tais como estradas e passagens de linhas de utilidade pública. Mais de 200.000 pontos foram adicionados ao
antigo conjunto de medidas desde a última atualização dos pontos de referência geodésica em 1927, e os erros
foram se acumulando gradualmente ao longo dos anos devido a medidas imprecisas e ao movimento da crosta
terrestre. O levantamento de dados para o ajuste do NAD foi completado em 1983. (Lay, 2013)
O sistema de equações para o NAD não tinha solução no sentido usual; em vez disso, tinha uma solução de mínimos
quadrados, que associava latitude e longitude a pontos de referência de maneira a corresponder o melhor possível
ao 1,8 milhão de observações. A solução de mínimos quadráticos foi encontrada em 1986 resolvendo um sistema
linear relacionado de equações normais, que envolviam 928.735 equações em 928.735 incógnitas. (Lay, 2013)
Vamos discutir o relatório do Ajustamento da Rede Planimétrica do Sistema Geodésico Brasileiro de julho de 1996.
O estabelecimento da Rede Planimétrica do Sistema Geodésico Brasileiro na década de 40 foi o passo inicial para o
desenvolvimento sistemático da Geodésia no Brasil. Desde então, cadeias de triangulação se espalharam em larga
escala em quase todo o território brasileiro, dando lugar em seguida aos projetos de densificação pela poligonação
e atualmente às técnicas de posicionamento através do rastreio de satélites.
Verifica-se então que, desde o início da sua implantação, a Rede Planimétrica de Alta Precisão vem sofrendo
evoluções nos métodos e instrumentos utilizados na obtenção das coordenadas planimétricas, principalmente no
que diz respeito à precisão.
Atualmente a rede conta com um quantitativo de 3.498 vértices de triangulação, 1.158 estações de poligonal, 26
pontos de trilateração (HIRAN), 1.143 estações DOPPLER e 187 estações GPS, totalizando 6012 pontos, cujas
coordenadas vêm sendo determinadas até hoje através de vários ajustes em diferentes Sistemas Geodésicos. A
necessidade de processar todos estes dados em um único ajuste sempre foi um grande desafio para o IBGE, pelos
seguintes motivos:
Exercício: Vamos discutir os inúmeros objetivos da RBMC – Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo: (Fortes et.
al., 1991)
I. Estabelecimento de uma rede geodésica ativa de referência para posicionamento relativo com o GPS, para uso
geral;
II. Disponibilidade de um elenco de observações de duas frequências (L1 e L2) em todas as regiões do território
nacional que permitirá a realização de pesquisas de modelos de correção da refração ionosférica para serem
empregados por usuários que utilizarem receptores com apenas uma frequência (L1);
III. Possibilidade de execução de cálculos de refinamento das órbitas dos satélites GPS, bem como a integração da
RBMC às demais redes internacionais de monitoramento, como, por exemplo, a CIGNET (Cooperative International
Gps NETwork). A efetivação de tal intercâmbio possibilitaria ao Brasil participar ativamente do desenvolvimento
científico e tecnológico internacional e, do ponto de vista prático, obter precisões da ordem de 0,1 partes por
milhão (ppm).
IV. Estabelecimento de uma estrutura de controle altamente precisa para a atual rede planimétrica do SGB,
subsidiando a obtenção de resultados mais refinados no projeto de ajustamento global simultâneo da rede. Esta
estrutura de controle, por sua vez, seria permanentemente refinada, em função da contínua obtenção de novas
observações nas estações.
V. Refinamento do Mapa Geoidal do Brasil, tão necessário aos serviços de posicionamento pelo rastreamento de
satélites artificiais, através do aumento significativo de determinações relativas das ondulações geoidais ao longo
do território brasileiro.
VI. No caso específico do posicionamento cinemático (navegação), a RBMC representa um arcabouço valioso para
a determinação ágil de dados alimentadores de Sistemas de Informações Geográficas, aplicação emergente do
Sistema GPS. Além disto, a RBMC possui a potencialidade de poder propiciar aos usuários correções diferenciais às
respectivas posições, em tempo real ou quase real. A implementação de tal recurso dependeria, dentre outros
fatores, da disponibilidade de linhas de comunicação entre as estações da rede e os usuários.
Rede de referência cadastral: Rede de apoio básico de âmbito municipal para todos os levantamentos que se
destinem a projetos, cadastros ou implantação de obras, sendo constituída por pontos de coordenadas
planialtimétricas materializados no terreno, referenciados a uma única origem (Sistema Geodésico Brasileiro – SGB)
e a um mesmo sistema de representação cartográfica, permitindo a amarração e consequente incorporação de
todos os trabalhos de topografia num mapeamento de referência cadastral. Compreende, em escala hierárquica
quanto à exatidão, os pontos geodésicos (de precisão e de apoio imediato), pontos topográficos e pontos
referenciadores de quadras ou glebas, todos codificados, numerados e localizados no mapeamento de referência
cadastral.(NBR 13133, 1994)
Rede de referência cadastral
Nivelamento geométrico (ou nivelamento direto): Nivelamento que realiza a medida da diferença de nível entre
pontos do terreno por intermédio de leituras correspondentes a visadas horizontais, obtidas com um nível, em
miras colocadas verticalmente nos referidos pontos. (NBR 13133, 1994)
Nivelamento Geométrico, definições e fórmulas básicas:
a) A altura do instrumento AI: diferença de cota entre o plano horizontal, que contém a linha de vista, e o
plano de referência de cota zero.
b) Visada à ré, V Ré: toda a leitura de mira que for feita com a finalidade de calcular AI, qualquer que seja a
sua direção.
c) Visada à vante, V Vante: toda leitura de mira que for feita para determinar a cota do ponto visado;
qualquer quer que seja a direção. Portanto vante e ré, em nivelamento geométrico, nada tem ver com a direção
para frente ou para trás.
Nivelamento geometrico
d) Visada à vante de mudança, Vmud é a visada vante que determina a cota de um ponto que a seguir
recebe uma visa à ré.
e) Visada á vante intermediárias, Vint são todas as demais visadas à vante.
f)Cota de um ponto é a diferença de nível do plano horizontal que contém o ponto e o plano horizontal de
referência de cota zero.
Fórmulas básicas:
AI = Cota + V Ré
Cota = AI – V Vante
RN. Referência de nível é a cota de um ponto que serve de referência para um trabalho de nivelamento
geométrico. A referência de nível absoluta é o nível do mar assumido como cota zero. Nos trabalhos de
interesse particular pouco importantes, pode-se assumir uma referência arbitrária. (Borges, 2001)
Nivelamento geométrico 
Problema
Calcula as cotas do nivelamento geometrico:
Estacão V Ré Al V Vante Conta
Int Mud 105,215
RN-1
0,25
2 2,841
3 3,802
4 0,857
3,711
5 0,44
6 3,123
0,398
7 2,404
8 3,816
Prova do calculo:
Cota final = cota inicial + ΣRe - ΣVante
Tabela 1 – Nivelamento Geométrico 
Fonte: Borges, 1975
Problema
Determinar as coordenadas planas (x, y) do ponto P, a partir da media de três distâncias de pontos conhecidos A,
B e C a P.
Coordenadas dos pontos conhecidos:A=(200,00; 400,00) B=(600,00; 700,00) C=(1100,00; 300,00)
Figura 1. Fonte: Autor
Coordenadas aproximadas de P: P(585,00; 112,00)
Distâncias medidas com precisão sv = 0,05 m:
Distância AP= 449,92 m
Distância BP= 600,02 m
Distância CP= 538,48 m 
Figura 2
Fonte: Autor
Incógnitas (parâmetros):
Xa=
Observações:
Lb
Parâmetros aproximados (Poderia ser uma coordenada obtida com GPS de navegação):
XT0 = [585,00 112,00]T = [X0 Y0]T
D = ((x – xi )2 + (y – yi)2)1/2
Ou
F1 → d1 = ((xP – xA)2 + (yP – yA)2)1/2
F2 → d2 = ((xP – xB)2 + (yP – yB)2)1/2
F3 → d3 = ((xP – xC)2 + (yP – yC)2)1/2
Modelo matemático linearizado:
AX + L = V
Onde:
Sistema de Equações normais:
Ax = B => x = (At A)-1 At Lb
Parâmetros corrigidos:
Xa = Xo + X Ou
Xa = Xo + AX
Trabalho Adaptado de Lachtermacher (2004)
Problema de localização:
Segundo Lachtermacher (2004) na área de negócios é muito comum a identificação de problemas de localização.
Como a localização de fábricas, armazéns, centros de distribuição, usinas de produção de energia elétrica, torres
de transmissão telefônica, etc. Em problemas desse tipo, um dos métodos utilizados para resolução do mesmo é o
de Minimizar a Distância Total entre os centros de consumo e o centro, ou os centros, de distribuição. Reduzindo
assim, teoricamente, o custo de transporte ou das perdas de sinal de transmissão.
Vamos imaginar o caso da LSM Telefonia Celular DF
O Gerente de projetos da LSM Telefônica DF precisa localizar uma antena de transmissão para atender três
localidades de Brasília, no distrito federal. Mas devido a problemas técnicos a nova torre não pode estar a mais de
30 km do centro de Brasília, no Plano Piloto.
Considerando as localizações relativas abaixo, o gerente deve tomar a decisão do melhor posicionamento para a
nova antena.
Localizar as coordenadas UTM de cada centro consumidor 
Tabela 3
Fonte: Lachtermacher, 2004.
Localidades X UTM(E) Y UTM (N)
Ceilandia
Gama
Planaltina
Local a Ser Escolhido E a coordenada teoricamente aproximada e 
que sera ajustada
E a coordenada teoricamente aproximada e 
que sera ajustada
Foi contratada a empresa LS geoprocessamento que usou o Google Earth para mapear a localização de cada
ponto de interesse. Obtendo assim as distâncias e, principalmente, as coordenadas UTM do centro de cada
cidade satélite de interesse, em relação ao Plano Piloto de Brasília.
Figura 4 Fonte: Autor
Distância de Ceilandia ao centro de Brasília DF
Googleearth
Reparem que as localidades foram determinadas a partir de um ponto com origem no centro do plano piloto. As
coordenas UTM podem ser desenhas, ou plotadas, usando o DraftSifht
Assumindo agora que as localidades são pontos num planto cartesiano e que podem ser identificado pelas
coordenas (x, y) para os centros de cada cidade satélite e pelas coordenadas (X, Y) para o local onde deverá ser
construída a nova torre de transmissão, o nosso objetivo será minimizar a distância total entre o ponto da nova
ANTENA e os centros consumidores, ou seja, os centros de cada cidade satélite.
As variáveis de decisão serão dadas por:
X – Coordenada no eixo X da torre de transmissão
Y – Coordenada no eixo Y da torre de transmissão
x – Coordenada no eixo x das localizações
y – Coordenada no eixo y das localizações
Lembre-se que a distância entre dois pontos é:
√(X₁ − x₁)² +(Y₁ − y₁)²
Nosso objetivo e minimizar
Min ∑ √(X₁ − x₁)² +(Y₁ − y₁)² + √(X1 − x2)² +(Y₁ − y2)² + √(X1 − x3)² +(Y₁ − y4)²
As restrições de distância representam a condição de que a nova torre não pode estar localizada a uma distância 
superior 30 km:
√(X₁ − x₁)² +(Y₁ − y₁)² <= 30
√(X1 − x2)² +(Y₁ − y2)² <= 30
(X1 − x3)² +(Y₁ − y4)² <= 30
OBS: Podemos usar o Solver do LibreOffice Calc para resolver o problema. 
OBS: A partir daqui poderíamos sair do método paramétrico e entrar no método condicional, usando 
multiplicadores de Lagrange.
Nossa viagem até aqui é apenas um início neste vasto campo que é o ajustamento de observação. Podemos
aplicar esse conhecimento em topografia, que será o tema da nossa próxima disciplina. Como também no largo
campo do posicionamento geodésico, por satélites GNSS. Temos ferramentas tecnológicas, como as oferecidas
pelo IBGE, chamadas de PPP – Posicionamento por Ponto Preciso; com o rastreio de um único ponto, usando
apenas um aparelho de GPS, podemos obter um ponto de controle para o nosso trabalho topográficos.
Também temos o chamado Rinex Virtual (GEGE – UNESP, software on-line FCT_RTK_NET – VRS), que ainda não
está operando em todo país, mas logo poderá estar disponível na RIBac, a rede de monitoramento contínuo do
INCRA.
Figura 5 PPP
Fonte: https://www.ibge.gov.br/geociencias/informacoes-sobre-posicionamento-geodesico/servicos-para-posicionamento-geodesico/16334-servico-online-para-pos-processamento-de-dados-gnss-ibge-ppp.html?=&t=processar-os-dados
OBS: Acessar o site do IBGE RBMC ou do INCRA RIBaC e fazer o cadastro, baixar os dados Rinex de um ponto da rede
e submetê-lo novamente para o processamento do PPP, ou usar uma coordenada (Rinex) obtida com o seu próprio
aparelho GPS, ou ainda, conseguir as coordenadas no site do GEGE – UNESP, software on-line FCT_RTK_NET – VRS
(Virtual Rinex).
(http://www.fct.unesp.br/#!/pesquisa/grupos-de-estudo-e-pesquisa/gege/)
OBS: Mas não importa a tecnologia ou os novos métodos de mensuração, ou mesmo os instrumentos ou
equipamentos, que ainda nem formam inventados, todas as medições topográficas e geodésicas devem seguir ou
se orientar pelo princípio da vizinhança.
Figura 6 - RIBAC 
Fonte: http://ribac.incra.gov.br/ribac/ribac.php
Princípio da vizinhança
Regra básica da geodésia, que deve ser também aplicada à topografia. Esta regra estabelece que cada ponto novo
determinado deve ser amarrado ou relacionado a todos os pontos já determinados, para que haja uma otimização da
distribuição dos erros. É importante a hierarquização, em termos de exatidão dos pontos nos levantamentos
topográficos, pois cada ponto novo determinado tem exatidão sempre inferior à dos que serviram de base a sua
determinação, não importando o grau de precisão desta determinação. (NBR 13133, 1994)
Esse nosso material é basicamente um caderno de notas e para quem quiser se aprofundar, realmente, sugerimos
consultar as referências bibliográficas apresentadas aqui. Existem inúmeras outras questões que não serão tratadas,
como, por exemplo, as Séries de Fourier que são usadas para encontra a função matemática, quando não conhecemos a
distribuição dos dados, com aplicação na propagação das ondas dos satélites GNSS ou medição das séries temporais
para os estudos de deslocamento, por exemplo, numa barragem. Cheguei a pensar sobre um capítulo para falar de
outras distribuições, mas é muita coisa.
Princípio da vizinhança
O resumo, então, é saber que as medições devem ser superabundantes, devemos calcular as médias e os erros e,
principalmente, saber que esses erros são propagados durante as medições. Não importa se fazemos uma série
de medidas sobre uma variável, que deverá ser medida, ou se usamos uma rede (ou vários caminhos) para
calcular uma coordenada, o processo é sempre o mesmo.
Problema
OBS: Mas quando falamos em rede, porém, entra em ação um conceito fundamental, o de dimensão. As redes
podem ser 1D (Nivelamento), 2D (Planimetria), 3D (GNSS) ou até 4D, como é o caso da rede do IGS – Sistema
Geodésico Internacional, quando o tempo também é mensurado.
Trabalho adaptado de (Wolf, 1997)
Exercício 18: Calcular as cotas A, B e C (Coordenada Z) AJUSTADAS da rede de nivelamento apresentada:
Segundo os dados:
Linha Dif. De Nivel (m)
1 5,10
2 2,34
3 -1,25
4 -6,13
5 -0,68
6 -3,00
7 1,70
Tabela 4
Fonte: Autor
OBS: Comentando o exercício:
1 – Vamos lembrar da equação matricial do método paramétrico:
Ax = L => x = (AtA)-1At L
2 – L é o vetor das medições, ou seja, a própria coluna da diferença de nível.
3 – x é o vetor das incógnitas A, B e C, ou seja, o resultado que estamos procurando.
4 – E a matrizA, como vamos obtê-la? A primeira regra seria achar a função do problema e depois derivar
aplicando o MMQ – Método dos Mínimos Quadrados. Mas há uma outra regra da Teoria dos Grafos (Netto, 1996)
que simplifica o problema. A topologia da rede é composta por Arco e Nó e quando o grafo é orientado, como no
nosso caso, a matriz A será uma matriz de 3 colunas (Nós ou incógnitas) por 7 linhas (Arco ou alinhamento),
composta apenas de 0 e 1. Pois de onde a seta sai (Vetor orientado) o valor é 0 (Zero) e onde a seta chega o valor
é 1 (Um).
Figura 7
Fonte: Autor
Problema
Exercício 20: Achar a matriz A:
A B C L
1 1 0 0 105.10
2 -1 0 0 -105.16
3 0 0 1 106.25
4 0 0 -1 -106.13
5 -1 1 0 -0.68
6 0 1 0 104.50
7 0 -1 1 1.70
Tabela 5 
Fonte: Autor
5 – Depois é só álgebra matricial para calcular os resultados.
Problema
Vamos imaginar um levantamento feito com GPS, poderia desenha a rede, mas vamos imaginar. As coordenas do
ponto A (100,200) e as coordenadas do ponto B (200, 200). E desejamos fazer o transporte de coordenadas para
o ponto C, onde foram medidos os seguintes vetores:
ΔXAC = 50
ΔYAC = - 100
ΔXBC = - 50
ΔYBC = - 100
Vamos dar uma olhada na figura abaixo, todos os dados são conhecidos: as coordenadas dos satélites, as coordenadas
dos pontos de controle, as linhas tracejadas (que são as distâncias satélites-receptores), e até mesmo as coordenas
aproximadas do ponto que desejamos ajustar, são conhecidas.
Então o que precisamos calcular? São os ΔX, ΔY, ΔZ. E como fazemos isso? Expandido a equação da distância Euclidiana
em série de Taylor.
D = [(xj0-xi0)2 + (yj0-yi0)2]1/2
F(xi,yi, xj, yj) = (xi0,yi0, xj0, yj0) + (∂F/∂xi) dxi + (∂F/∂yi) dyi + (∂F/∂xj) dxj + (∂F/∂yj) dyj
Figura 8
Fonte: Autor
Acho que não existe dúvida sobre as coordenadas dos satélites, em GPS vamos estudar melhor isso. Mas a matriz L pode causar 
alguma dúvida: no livro do Galera isso é bem desenvolvido, basicamente ele parte de uma relação onde à distância é calculada 
por um função que relaciona velocidade e tempo, mas não vamos explorar isso aqui, pois seria como ficar dando explicações 
sobre as distâncias calculadas por uma ET – Estação Total. 
Conclusão
Satélite
Coord. Cartesianas no Instante da Transmissão (m)
L
x y Z
2 13191926,036 -9634277,149 -20330138,156 27158681,742
7 21244105,748 -15360752,012 -2877135,125 27158712,879
10 -135122,979 -25794393,804 5954578,737 27158675,190
13 19720605,766 -17653994,853 -1657890,383 27158692,746
19 25910284,743 5823456,939 -2525126,594 27158738,028
26 -1932297,136 -16733519,796 -20382553,367 27158658,074
27 22374439,683 -3351761,100 -14280051,988 27158719,047
Tabela 6 – Efemerides dos satélites. 
Fonte: Monico 2000
Coord. Aproximadas do Ponto (m)
X0 X0 Z0
3687627,3634 -4620821,5137 -2386884,4153
Obrigado!