Faculdade Unyleya_Atividade 3_Ajustamento de Observaçoes

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UNYEAD EDUCACIONAL S.A. ; CNPJ. 24.531.339/0001-82,
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Faculdade Unyleya - Educação à Distância (EaD)
Curso de Pós-Graduação em Georreferenciamento de Imóveis Rurais
Avaliação 3 - Prática
Aluno David Salomão Pinto Castanho Bizarro, Matrícula nº 1148652
Disciplina Ajustamento de Observações Data de entrega 01/02/2023
Professor Luís Antônio dos Santos Tipo de prova Prática
Curso Georreferenciamento de Imóveis Rurais Turma 2022/23 Nota
ATENÇÃO: A avaliação deverá estar entregue de acordo com as normas da ABNT.
Referências
DOS SANTOS, Luís A.; Ajustamento de Observações. Pós-Graduação em
Georreferenciamento de Imóveis Rurais, Faculdade UnyLeya, Brasília-DF, 2022.
Tarefa
Após o estudo da Unidade 3 e com os dados da tabela abaixo, calcule:
a) MMQ.
b) Regressão linear.
Ponto X Y
1 3 9
2 12 12
3 9 7,5
4 15 1,5
Bom trabalho!
Para aplicação do Método dos Mínimos Quadrados foi escolhida uma função polinomial de 3º grau e
para encontro dos parâmetros foi utilizada a forma matricial usando o Script 12 presente na apostila da
disciplina de Ajustamento de Observações (páginas 78 a 79), estabelecendo a matriz de coeficientes (coefs)
e o vetor dos termos independentes (ys) para encontro do vetor das incógnitas (m), e cuja solução exata foi
respondida para as incógnitas da seguinte forma: a=42.75; b= -17.2291(6); c=2.25; d= -0.08564815; para o
polinômio y(x)=a+b*x+c*x^2+d*x^3, respectivamente (gráfico e resolução pelo sistema estatístico R).
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Na aplicação da regressão linear foi escolhido o método tradicional de cálculo analitíco para encontro
dos parâmetros, tendo sido usado o Script 7 demonstrado na apostila da disciplina de Ajustamento de
Obsevações (páginas 48 a 49), calculando os parâmetros de variância e covariância (sqxx, sqyy e sqxy) para
obtenção das incógnitas seguintes: a= -0,40; b=11,4; correspondentes da reta de regressão y(x)=a+b*x,
respectivamente (gráfico e resolução pelo sistema estatístico R). Relativamente ao cálculo do coeficiente de
determinação (R2) enquanto medida estatística que cuida de expressar quanto a linha de regressão ajustada
está próxima dos dados, o resultado atingiu {0.2153846} que se traduz na classificação de fraca no ajuste.
Palavras-chave: Sistema Estatístico R; Método dos Mínimos Quadrados; Regressão Linear.
R Console Page 1
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> x<-c(3,12,9,15)
> x
[1] 3 12 9 15
> y<-c(9,12,7.5,1.5)
> y
[1] 9.0 12.0 7.5 1.5
> nx<-length(x)
> nx
[1] 4
> ny<-length(y)
> ny
[1] 4
> sx<-sum(x)
> sx
[1] 39
> sy<-sum(y)
> sy
[1] 30
> sxx<-sum(x^2)
> sxx
[1] 459
> syy<-sum(y^2)
> syy
[1] 283.5
> sxy<-sum(x*y)
> sxy
[1] 261
> sqxy<-sxy-(sx*sy)/ny
> sqxy
[1] -31.5
> sqxx<-sxx-(sx*sx)/nx
> sqxx
[1] 78.75
> b<-sqxy/sqxx
> b
[1] -0.4
> a<-(sy/ny)-b*(sx/nx)
> a
[1] 11.4
> plot(y~x)
> modLn<-lm(y~x)
> modLn
Call:
lm(formula = y ~ x)
Coefficients:
(Intercept) x 
 11.4 -0.4 
> abline(modLn)
> sqyy<-syy-(sy*sy)/ny
> sqyy
[1] 58.5
R Console Page 2
> r2<-(sqxy/sqrt(sqxx*sqyy))^2
> r2
[1] 0.2153846
> coefs<-matrix(c(1,3,3^2,3^3,1,12,12^2,12^3,1,9,9^2,9^3,1,15,15^2,15^3),4,4,byrow=T)
> coefs
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 3 9 27
[2,] 1 12 144 1728
[3,] 1 9 81 729
[4,] 1 15 225 3375
> ys<-c(9,12,7.5,1.5)
> ys
[1] 9.0 12.0 7.5 1.5
> coefsT<-t(coefs)
> coefsT
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 1 1 1
[2,] 3 12 9 15
[3,] 9 144 81 225
[4,] 27 1728 729 3375
> n1<-coefsT%*%coefs
> n1
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 39 459 5859
[2,] 39 459 5859 78003
[3,] 459 5859 78003 1067499
[4,] 5859 78003 1067499 14908779
> invn1<-solve(n1)
> invn1
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 58.5000000 -27.68055556 3.36111111 -0.1188271605
[2,] -27.6805556 13.42399691 -1.64737654 0.0585991084
[3,] 3.3611111 -1.64737654 0.20370370 -0.0072873800
[4,] -0.1188272 0.05859911 -0.00728738 0.0002619646
> n2<-coefsT%*%ys
> n2
 [,1]
[1,] 30
[2,] 261
[3,] 2754
[4,] 31509
> m<-invn1%*%n2
> m
 [,1]
[1,] 42.75000000
[2,] -17.22916667
[3,] 2.25000000
[4,] -0.08564815
> solve(coefs,ys)
[1] 42.75000000 -17.22916667 2.25000000 -0.08564815
> plot(x, y, xlim=c(min(x), max(x)), ylim=c(min(y), max(y)+10), pch=20)
> xx <- seq(min(x), max(x), 0.01)
> lines(xx, m[4,1]*xx^3+m[3,1]*xx^2+m[2,1]*xx+m[1,1], col='red', lwd=3, lty=5)
> resultados<-matrix(c(9,12,7.5,1.5,a+b*3,a+b*12,a+b*9,a+b*15,m[1,1]*1+m[2,1]*3+m[3,1]*3^2+m[4
+ ,1]*3^3,m[1,1]*1+m[2,1]*12+m[3,1]*12^2+m[4,1]*12^3,m[1,1]*1+m[2,1]*9+m[3,1]*9^2+m[4,1]*9^3,m
[1
+ ,1]*1+m[2,1]*15+m[3,1]*15^2+m[4,1]*15^3),3,4,,byrow=T)
> colnames(resultados) <- c("Coord x=3", "Coord x=12", "Coord x=9", "Coord x=15")
> rownames(resultados) <- c("pontos_exercicio","regressao_linear","Minimos_quadrados_polinomia
+ rownames(resultados) <- c("pontos_exercicio","regressao_linear","Minimos_quadrados_polinomia
")
Error: unexpected symbol in:
"rownames(resultados) <- c("pontos_exercicio","regressao_linear","Minimos_quadrados_polinomia
rownames(resultados) <- c("pontos_exercicio"
> rownames(resultados) <- c("pontos_exercicio","regressao_linear","Minimos_quadrados_polinomia
")
> resultados
 Coord x=3 Coord x=12 Coord x=9 Coord x=15
pontos_exercicio 9.0 12.0 7.5 1.5
regressao_linear 10.2 6.6 7.8 5.4
Minimos_quadrados_polinomia 9.0 12.0 7.5 1.5
> 
4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
1
0
1
2
x
y
4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
1
0
1
2
x
y
4 6 8 10 12 14
5
1
0
1
5
2
0
x
y
4 6 8 10 12 14
5
1
0
1
5
2
0
x
y