modelos-probabilisticos-binomial-e-normal-lmn-lmd

Prévia do material em texto

Material didático – Profa. Dra. Adriana Barbosa Santos 
 
Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias 
 
Modelo binomial 
Definição: Seja a variável aleatória X o número total de sucessos em n ensaios de Bernoulli (sucesso ou fracasso). Dizemos que X tem uma distribuição 
binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por: 
𝑝(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) = (
𝑛
𝑥
) 𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥; 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 
 
Notação: X~b(n,p) 
A média (ou valor esperado) e a variância de uma v.a. X com distribuição binomial de parâmetros n e p são dadas por: 
 
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 
𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) 
 
Exercícios: 
1. Uma livraria vende caixas de livros de 100 unidades, as quais devem ser ou totalmente rejeitada ou vendida, dependendo do resultado do seguinte 
procedimento: serão escolhidos aleatoriamente 4 livros e analisados quanto a presença de defeitos. Se 2 ou mais forem defeituosos, a caixa será rejeitada. 
Caso contrário, será aceita. Suponha que cada livro custe R$ 35,00 e seja vendido por R$80,00. Suponha que em média há em cada caixa 2 livros defeituosos, 
qual será o lucro esperado da livraria ? 
2. Numa fábrica, a máquina 1 produz por dia o dobro de peças que a máquina 2. Sabe-se que 4% das peças fabricadas pela máquina 1 são defeituosas e que 
a no caso da máquina 2 o percentual é de 7%. A produção diária das máquinas é misturada. Extraída uma amostra aleatória de 20 peças, qual é a probabilidade 
de que essa amostra contenha: (a) duas peças defeituosas? (b) pelo menos duas defeituosas? 
3. Um industrial fabrica peças, das quais 1/5 são defeituosas. Dois compradores A e B classificam as partidas adquiridas em categorias I e II, pagando $1,20 e 
$0,80 respectivamente da seguinte forma: 
Comprador A: retira uma amostra de 5 peças; se encontrar mais que uma defeituosa, classifica como II 
Comprador B: retira amostra de dez peças; se encontrar mais que duas defeituosas, classifica como II. 
Em média, qual comprador oferece maior lucro? Se o comprador B pagasse $1,30 e $0,70 você mudaria sua conclusão sobre o item (a)? 
 
 
Modelo Normal 
Definição: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição Normal se sua função densidade de probabilidade for dada por: 
 
Notação: 𝑋~𝑁(𝜇; 𝜎2). 
A média (ou valor esperado) e a variância de uma v.a. X com distribuição normal de parâmetros 𝜇 𝑒 𝜎2, são dadas por: 
 
𝐸(𝑋) = 𝜇 
𝑉(𝑋) = 𝜎2 
 
Gráfico da função densidade de probabilidade: 
Exercícios: 
1. Uma enchedora automática de garrafas de refrigerantes está regulada 
para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 ml e o desvio 
padrão de 10 ml. Pode-se admitir que a variável volume seja normal. a) qual é a 
porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 ml? b) 
qual é a porcentagem das garrafas em que o volume líquido não se desvia da 
média em mais que dois desvios padrões? c) o que acontecerá com a 
porcentagem do item (b) se a máquina for regulada de forma que a média seja 
1.200 ml e o desvio padrão 20 ml? 
 
2. Uma clinica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso 
seguindo uma distribuição Normal de média 130 Kg e desvio padrão de 20 Kg. 
Para efeito de determinar o tratamento mais adequado, os 25% pacientes de 
menor peso são classificados de “magros”, enquanto os 25% de maior peso de 
“obesos”. Determine os valores que delimitam cada uma dessas classificações. 
 
3. Um teste de aptidão feito para pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão. 
Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído de acordo com uma Normal de média 90 minutos e desvio padrão 20 minutos. 
a) Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se 65 candidatos tomam o teste, quantos são esperados passar? b) Se 
os 5% melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores, quão rápido deve ser o candidato para que obtenha essa posição? 
4. A quantidade de óleo contida em cada lata fabricada por uma indústria tem peso distribuído normalmente, com média 990 g e desvio padrão de 10g. Uma 
lata é rejeitada no comércio se tiver peso menor que 976g. a) Se observarmos uma sequência casual destas latas em uma linha de produção, ou seja, uma 
amostra das latas, qual a probabilidade de que em 20 latas observadas, 3 sejam rejeitadas? 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel_aleat%C3%B3ria