RESUMO - CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

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CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
1.1 Funções de duas ou mais variáveis 
1 - Calcule o valor da função f(x, y) = x + yx³ em cada ponto (2, 2) , (-1 , 4) , (6 ½ ). 
f(2, 2) = 18 
f(- 1 , 4) = -5 
f( 6, ½) = 114 
 
2. Esboce o domínio da função f(x, y) = 4x – 7y. 
E. O domínio é todo o plano xy. 
 
Explicação: A função não tem nenhum termo que determine restrições, como radicais, frações ou logaritmos. Logo f(x, y) admite 
qualquer valor real como solução. Portanto, o domínio é todo o plano xy. 
 
3. A interseção de um plano P com um plano coordenado, ou um plano paralelo a um plano coordenado, é 
denominada traço. Para encontra-lo, basta substituir a variável em questão por 0, no caso de considerar os planos 
coordenados, ou por uma constante no caso de um plano paralelo aos planos coordenados. Assim, encontre os 
traços horizontal e vertical do plano de equação 12 – 3x – 4y = z, considerando planos paralelos aos eixos 
coordenados. 
Traço Horizontal: 3x +4y = 12 – c 
Traço Vertical: z = 12 – 3a – 4y e z = - 3x + 12 – 4ª 
 
Explicação: A solução para o traço horizontal é dada por f(x, y) = c 
No caso: 12 – 3x – 4y = c 
3x +4y = 12 – c no plano z = c. 
Para o caso do traço vertical, há 2 situações: 
Traço tomando x = a 
Substituindo x por a na equação do plano: z = 12 – 3a – 4y 
Traço tomando y = a 
Substituindo y por a na equação do plano: z = –3x + 12 – 4a 
 
4. Descreva o domínio da função f(x, y, z) = √(9- x2- y2- z2). Analise a resposta CORRETA. 
 
A.｛(x,y,z) / x2 + y2+z2≤9｝ 
 
 
Explicação: f(x, y, z) = √(9- x2- y2- z2), a função é definida sempre que o resultado de √(9- x2- y2- z2) for um 
número real, ou seja, sempre que tivermos um radicando maior ou igual a zero. 
Assim, 9- x2- y2- z2 ≥0 
- x2- y2- z2 ≥- 9 . (- 1 ) e 
x2 + y2+z2 ≤9, que é a solução do problema. 
 
5. Determine o valor da função f(x, y, z) = xyz-2 em cada um dos pontos: (3, 8, 2) e (3, -2, -6). 
 
D. f(3, 8, 2) = 6 
 f(3, -2, -6) = -1/6 
 
Explicação: A solução é dada pela substituição de x, y, z pelas coordenadas dos pontos. 
Assim: 
f(3, 8, 2) = xyz-2 3.8.(2)-2 = 6 
f(3, -2, -6) = 3.(-2).(-6)-2 = -1/6 
 
 
1.2 Derivação e integração complexa 
 
1. Dada a função f(z)=1/z, com z ≠ 0. Qual o valor de f′(z)? 
 
 
 
 
 
 
2. Calcule a derivada da função polinomial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule a primeira derivada da função 
 
 
 
 
 
4. Calcule a integral da função f(z) = z² ao longo do caminho C da função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Calcule a integral: Ao longo do caminho C, onde: 
 
 
 
Conforme a figura de suporte abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Integração em várias variáveis 
1. As integrais iteradas são um método para calcular as integrais duplas de f (x , y), ou seja, é possível 
transformar o cálculo de uma integral dupla em duas integrais de uma variável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. A noção de integral definida de função de uma variável pode ser estendida para funções de várias 
variáveis. Diversas situações requerem integrar em mais de uma variável, como, por exemplo, no 
cálculo de áreas, volumes, campos de velocidades e deslocamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. A resolução de problemas com integrais múltiplas consiste, na maioria dos casos, em achar um 
método de reduzir a integral múltipla a uma série de integrais de uma variável, sendo cada uma 
diretamente solúvel. Fórmulas de redução usam o conceito de domínio simples para possibilitar a 
decomposição da integral múltipla como um produto de integrais simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. É comum fazer uso de fórmulas de redução para possibilitar a decomposição de uma integral 
múltipla como um produto de integrais simples. Estas têm de ser resolvidas da direita para a 
esquerda, considerando as outras variáveis constantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Quando trabalhamos com integrais duplas, é importante atentar à sua estrutura. Se na mais interna 
delas tivermos o intervalo de x, é necessário integrar primeiro em relação a x e depois em relação 
a y. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Integração em várias variáveis II 
 
1. Antes de calcular uma integral tripla, é importante identificar o seu domínio, que pode ser uma 
região retangular ou uma região mais geral. Considere: 
2. 
 
 
 
Utilizando o Teorema de Fubini, o valor da integral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. No cálculo das integrais triplas, utilizamos o teorema de Fubini para transformá-las em uma 
integral iterada. Nesse caso, devemos calcular três integrais simples. Nesse contexto, considere 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Assim como nas integrais duplas, nas integrais triplas é importante reconhecer o domínio de 
integração, que pode tanto ser uma região retangular R no R³ quanto uma região não retangular 
W. Nesse contexto, considere 
 
 
e a região não retangular 
 
Calcule o valor da integral: 
 
 
 
 
 
 
4. Em problemas aplicados, nem sempre os sólidos envolvidos têm volumes que podem ser 
calculados por fórmulas conhecidas. Nesses casos, as integrais triplas são muito úteis para o 
cálculo de volumes de sólidos delimitados por funções. Marque a alternativa que contém o volume 
do sólido do primeiro octante limitado pelos planos coordenados e o plano 3x + 6y + 4z = 12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, o domínio de integração é 
Primeiramente determinamos os limites de integração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. O valor médio de uma função contínua f(x, y, z) em um sólido W é definido por 
 
 
 
 
Assim, o valor médio de f(x,y,z) = x no tetraedro mostrado na figura abaixo é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 Cálculo das integrais múltiplas 
 
1. Utilize a integral tripla para determinar o volume do sólido que tem as seguintes coordenadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Resolva a integral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule 
 
 
 
 
onde R é a área da região limitada por y = 2x e y = x2. 
 
 
 
 
Primeiramente, deve ser feito um esboço do gráfico: 
 
Note que a reta 2x está “por cima” da parábola x2, 
e o intervalo está entre x = 0 e x = 2. 
Diante disso, é possível montar a integral: 
 
 
4. Determine a área entre a parábola e a reta a seguir, sabendo que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Calcule a integral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 Integrais duplas em regiões mais gerais 
 
1. Calcule as somas de Riemann para f(x,y) = x - y e o domínio D da figura abaixo, escolhendo os pontos como 
pontos amostrais e marque a alternativa que contém a aproximação da integral de f em D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. As integrais múltiplas são utilizadas para calcular muitas quantidades importantes, tais como 
volumes, áreas de superfície, centros de massa, entre outros. Suponha que uma lâmina na forma 
da região delimitada por y = x-1 e y = 0 ao longo de 1 ≤ x ≤ 4 tem densidade de massa ρ (x,y) = y/x. 
Marque a alternativa que contem a massa total da lâmina. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Seja D o domínio definido por 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 4 – x2. Marque a alternativa que contém o 
resultado da integral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Em alguns cálculos envolvendo integrais duplas, é necessário esboçar o domínio D e trocar a 
ordem de integração para que tenhamos uma integral iterada que sabemos calcular. Considere a 
integral 
 
 
 
 
troque a ordem de integração e marque a alternativa que contém o valor da integral. 
 
A figura a seguir ilustra a região: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Considere a região D representada na figura abaixo. Marque a alternativa que contém o valor da 
integral dupla 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1 Teorema de Fubini 
 
1. Encontre o volume da região delimitada superiormente pelo paraboloide elíptico z = 10 + x2 + 3y2 e 
inferiormentepelo retângulo 
R=[0,1]x[0,2]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcule a integral dupla de z = 6y2 - 2x sobre a região R dada pelo conjunto dos pares ordenados 
(x,y) tais que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule a integral dupla de z = 100 - 6x2y, no retângulo R=[0,2]x[-1,1] . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Encontre o volume da região delimitada pela função z = x2 + y2 e por R=[-1,1]x[-1,1]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Encontre o volume da região delimitada por z = 2 – x – y e pelo retângulo dado pelo conjunto dos 
pares ordenados (x,y) tais que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Formula integral de cauchy 
 
 
1. Qual o valor de onde , ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Qual o valor de onde , ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Dado um contorno fechado , qual o valor de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Dado um contorno fechado , qual o valor de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Seja um contorno que envolve a origem. A integral tendo 
 
 
E , é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1 Limites e continuidade em várias variáveis 
 
 
1. Calcule o limite: 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcule o limite ou determine que não existe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine o limite se for o caso ou conclua que ele não existe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Calcule , supondo que : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Calcule 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2 Diferenciabilidade, aproximação linear e planos tangentes 
 
1. Considerando os conhecimentos adquiridos em relação aos planos tangentes, observe a figura a 
seguir e assinale a alternativa correta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Em relação às derivadas parciais de funções de várias variáveis, é correto afirmar que: 
 
 
 
 
3. Calcule fy (2,3,1) em que f(x,y,z) = xyz e assinale a alternativa correta: 
 
 
4. Sabendo que o volume do cone circular reto de raio r e altura h é dado por , 
calcule as derivadas parciais e assinale a alternativa correta: 
 
 
 
 
5. Calcule as derivadas parciais da função f(x,y) = x3+y2-6x2+y-1 e assinale a alterativa correta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1 Limites trigonométricos 
 
1. Verifique se o limite existe. Caso exista, qual o seu valor? 
 
 
 
2. Analise o comportamento da função . 
 
 
 
 
3. Determine o valor do 
 
 
 
 
 
 
 
4. Verifique o limite . 
 
 
 
 
 
 
5. Verifique a existência e o valor, caso exista, do limite 
 
 
 
 
6.2 Substituição trigonométrica 
 
1. Calcule a seguinte integral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcule a seguinte integral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule a seguinte integral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Qual o valor da integral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Calcule a seguinte integral: